解三角形培优

合集下载

认识三角形能力培优训练(含答案)

认识三角形

专题一与三角形有关的规律探究题 1. 观察图中的一组图形，根据它的变化规律填空，第一个图中有

个三角形，第二个

图中有个三角形，第三个图中有个三角形，如此下去，第五个图形时，有个三角形；第十个图形时，有个三角形.

2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，且AC 在直线l 上，将△ABC 绕点

A 顺时针旋转到位置①，可得到点P 1，此时AP 1＝2；将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②，可得到点P 2，此时AP 2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③，可得到点P 3，此时AP 3＝3＋3；……按此规律继续旋转，直至得到点P 2012为止，则AP 2012等于（）

A ．2011＋6713

B ．2012＋6713

C ．2013＋6713

D ．2014＋6713

专题二火柴棒搭建三角形问题

3. 如图，12根火柴棒组成的图形，图中有六个三角形，你能拿掉其中的3根，使图中只有

3个三角形吗请出画示意图.

C * A

③ ①

②

P 1 P 2 l P 3 !

4. 我们知道，三根火柴能搭1个三角形，5根火柴能搭成一个三角形吗可以搭几种三角形

12根火柴呢

专题题三利用角平分线探究规律

5. 如图，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线相交于点Ｄ．

⑴若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠A和∠D的度数．

⑵由第（１）小题的计算，发现∠A和∠D有什么关系它们是不是一定有这种关系请给

出说明．

—

课时笔记

【知识要点】

1. 三角形的概念

第二节解锐角三角形及应用-学而思培优

解锐角三角形是三角函数中的重要内容，也是后续研究几何和三角学的基础。本节课将介绍解锐角三角形的基本概念、性质及应用。

一、基本概念

1. 锐角三角形：指三个内角都是锐角的三角形。锐角的度数小于90度。

2. 感状角：指与锐角三角形的一个内角相等的锐角。

3. 代角：指与感状角对顶的外角。

二、性质

1. 锐角三角形内角和等于180度。即：$A + B + C = 180$，其中A、B、C分别为三角形的三个内角度数。

2. 锐角三角形的感状角对应的代角是锐角。

3. 锐角三角形的内心、重心、垂心和外心四点共线。

三、应用

锐角三角形及其性质在几何和三角学的应用中具有重要意义，

常见的应用包括：

1. 三角定理：锐角三角形中，正弦定理和余弦定理分别描述了

三角形的边与角度之间的关系。

2. 解三角形问题：通过已知锐角三角形的某些边长或角度，求

解其它未知部分的问题。

3. 几何证明：锐角三角形的性质可用于解决一些几何问题，例

如判定锐角三角形的相似性、直角三角形的判定等。

4. 三角函数应用：解锐角三角形可用于理解和应用正弦、余弦、正切等三角函数。

四、总结

解锐角三角形及其应用是研究几何和三角学的基础内容。通过

掌握锐角三角形的基本概念、性质和应用，我们能够更好地理解和

应用三角函数，解决几何问题，以及在数学问题中进行准确推理和

证明。

以上是本节课的研究内容概述，希望对同学们的研究有所帮助。谢谢！

初中几何经典培优题型(三角形)

全等三角形辅助线

找全等三角形的方法：

〔1〕可以从结论出发，看要证明相等的两条线段〔或角〕分别在哪两个可能全等的三角形中；

〔2〕可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；

〔3〕从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；

〔4〕假设上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形中常见辅助线的作法：

①延长中线构造全等三角形；

②利用翻折，构造全等三角形；

③引平行线构造全等三角形；

④作连线构造等腰三角形。

常见辅助线的作法有以下几种：

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．

2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的

思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是

全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相

等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

常见辅助线写法：

⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F

⑵过点A作BC的垂线，垂足为D

三角形培优专题 - 参考答案

《三角形培优专题》参考答案

【例题讲解】

例题1．已知等腰三角形的周长为24，试求腰长x 的取值范围和底边长y 的取值范围．【解答】解：依题意有2x +y = 24 ；

对于腰长，有：y < 2x < 24 ，即：24 - 2x < 2x < 24 ，

解得：6 <x < 12 ；

对于底长，有：0 <y < 2x ，即：0 <y < 24 -y ，

解得：0 <y < 12 ．

故腰长x 的取值范围是 6 <x < 12 ，底边长y 的取值范围是0 <y < 12 ．

例题2．如图，已知∠B =∠C =∠BAD ，∠ADC =∠DAC ，AE ⊥BC ，求∠DAE 的度数．

【解答】解： ∠ADC =∠B +∠BAD ，∠B =∠C =∠BAD ，∠ADC =∠DAC ，

∴∠B +∠C +∠BAD +∠DAC = 180︒，

∴ 5∠B = 180︒，

解得∠B = 36︒，

∴∠ADC = 72︒．

AE ⊥BC ，

∴∠DAE = 90︒-∠ADE = 90︒- 72︒= 18︒．

例题3．（1）如图1，这是一个五角星ABCDE，你能计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数吗？为什么？（必须写推理过程）

（2）如图2，如果点B 向右移动到AC 上，那么还能求出∠A +∠DBE +∠C +∠D +∠E 的大小吗？若能结果是多少？（可不写推理过程）

（3）如图，当点 B 向右移动到AC 的另一侧时，上面的结论还成立吗？

高中数学培优专题06 解三角形(解析版)

【 B C b c 【

专题 06 解三角形

1．【2018 年新课标 2 理科 06】在△ABC 中，cos

A ．4

B ．

C ．，BC ＝1，AC ＝5，则 AB ＝（）

D ．2

【解答】解：在△ABC 中，cos

，cosC ＝2 ，

BC ＝1，AC ＝5，则 AB

故选：A ．

4 ．

2．2018 年新课标 3 理科 09△】 ABC 的内角 A ，，的对边分别为 a ，△，．若 ABC 的面积为

则 C ＝（

）

A ．

B ．

C ．

D ．

【解答】解：∵△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．

△ABC 的面积为

，

∴△S ABC

，

∴sinC

cosC ，

，

∵0＜C ＜π，∴C

故选：C ．

．

3． 2019 年全国新课标 2 理科 15△】 ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．若 b ＝6，a ＝2c ，B

则△ABC 的面积为．

，

【解答】解：由余弦定理有b2＝a2+c2﹣2accosB，

∵b＝6，a＝2c，B，

∴

∴c2＝12，

，

∴，

故答案为：．

4．【2019年浙江14△】在ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，若∠BDC＝45°，则BD＝，cos∠ABD＝．

【解答】解：在直角三角形ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，sinC，

在△BCD中，可得，可得BD；

∠CBD＝135°﹣C，sin∠CBD＝sin（135°﹣C）（cosC+sinC）（），即有cos∠ABD＝cos（90°﹣∠CBD）＝sin∠CBD，

高中数学培优——解三角形

解三角形

课题：正弦定理（两课时）教学目的：

⑴使学生掌握正弦定理

⑵能应用解斜三角形，解决实际问题。教学过程：一、

引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由

已知的边和角求出未知的边和角。那么斜三角形怎么办？

（创设情景）早在1671年，两个法国天文学家就测出了地球与月亮之间的距离大约是385400公里，你能设计一种近似的测量方法吗？

——提出课题：正弦定理

二、讲解新课：

正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即

A a sin =

B b sin =C

sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 1．直角三角形中：sinA=c a ，sinB=c

， sinC=1 即 c=

A a sin ， c=

B b sin ， c=C

sin ． ∴

A a sin =

B b sin =C

c sin 2．斜三角形中

证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S △ABC =

A bc

B ac

C ab sin 2

sin 21sin 21== 两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =C

sin

证明二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ

∴

R CD D

a A a 2sin sin === 同理

B b sin =2R ，C

sin ＝2R 证明三：（向量法）

过A 作单位向量垂直于

由 AC +CB =AB

两边同乘以单位向量得 •(AC +CB )=•AB 则j •AC +j •CB =j •AB

∴||•||cos90︒+||•||cos(90︒-C)=||•||cos(90︒-A) ∴A c C a sin sin = ∴

成都七中初中学校数学三角形解答题（培优篇）（Word版含解析）

成都七中初中学校数学三角形解答题（培优篇）（Word版含

解析）

成都七中初中学校数学三角形解答题（培优篇）（Word版含解析）

一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）

1．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．

如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C （规定0°< ∠OAC < 90°）．

（1）∠ABO的度数为°，△AOB（填“是”或“不是”灵动三角形）；

（2）若∠BAC＝60°，求证：△AOC为“灵动三角形”；

（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．

【答案】（1）30°；（2）详见解析；（3）∠OAC=80°或52.5°或30°.

【解析】

【分析】

（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；

（2）根据“智慧三角形”的概念证明即可；

（3）分点C在线段OB和线段OB的延长线上两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算．【详解】

（1）答案为：30°；是；

（2）∵AB⊥OM

∴∠B AO＝90°

∵∠BAC＝60°

∴∠OAC＝∠B AO-∠BAC=30°

∵∠MON＝60°

∴∠ACO＝180°-∠OAC-∠MON＝90°

∴∠ACO＝3∠OAC，

∴△AOC为“灵动三角形”；

（3）设∠OAC= x°则∠BAC=90-x, ∠ACB=60+x ,∠ABC＝30°

全等三角形证明题培优(38题)(方法)

全等三角形证明题（经典38题）（方法）

1.(方法：巧做辅助线）如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD⊥BC于D,求证：CD=BD+AB.

2.(方法：巧做辅助线）如图所示，在△ABC中，AB=AC，在AB上取一点E，在AC延长线上取一点F，使BE=CF，EF交BC于G.求证：EG=FG。

3.(方法：巧做辅助线）如图，已知AC=BD,AD⊥AC,BC⊥BD，求证：AD=BC.

4.图，∠B=∠E,∠C=∠D,BC=DE,M为CD中点，求证：AM⊥CD.

5.(方法：巧做辅助线）如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连结AE、BF。求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF。

6.(方法：巧做辅助线）如图，在△ABC中，AB=AC，E在线段AC上，D在AB的延长线，连D E交BC于F，过点E作EG⊥BC于G．（1）若∠A=50°，∠D=30°，求∠GEF的度数；（2）若BD=CE，求证：FG=BF+CG．

7.(方法：火眼金睛找条件）如图所示，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中点，AB=AC，AD=AE，求证：（1）CD=2AM,（2）AM⊥CD．

8.(方法：火眼金睛找条件）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM, △CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F.

(1)求证：AN=BM;

(2)求证：△CEF为等边三角形

9.(方法：火眼金睛找条件）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，过点E 作EF∥AD交AB于点G，交CA的延长线于点F．求证：BG=CF．

专题03 7.5解直角三角形培优训练(解析版)九下数学专题培优训练

专题03 7.5解直角三角形培优训练

班级：___________姓名：___________得分：___________

一、选择题

1.如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D

是线段BE上的一个动点，则CD+√5

BD的最小值是()

A. 2√5

B. 4√5

C. 5√3

D. 10

【答案】B

【解析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M.由tanA=BE

=2，设AE=a，BE=2a，

利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH=√5

5BD，推出CD+√5

BD=CD+DH，由垂

线段最短即可解决问题．

本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．

∵BE⊥AC，

∴∠ABE=90°，

∵tanA=BE

=2，设AE=a，BE=2a，

则有：100=a2+4a2，

∴a2=20，

∴a=2√5或−2√5(舍弃)，

∴BE=2a=4√5，

∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AC，

∴CM=BE=4√5(等腰三角形两腰上的高相等))

∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，

∴sin∠DBH=DH

BD =AE

=√5

，

∴DH=√5

BD，

∴CD+√5

BD=CD+DH，

∴CD+DH≥CM，

∴CD+√5

BD≥4√5，

∴CD+√5

BD的最小值为4√5．

故选：B．

2.将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD，连接AC，则

tan∠ACD的值为()

(完整版)三角形的证明培优习题解析

三角形的证明培优习题解析

1、如图，△ABC 中，AB=BC ，BE ⊥AC 于点E ，AD ⊥BC 于点D ，∠BAD=45°，AD 与BE 交于点F ，连接CF ．（1）求

证：BF=2AE ；（2）若CD= 2，求AD 的长．

（1）证：∵AD ⊥BC,∠BAD=45°，

∴⊿ADB 是等腰直角三角形，∠ABD=∠BAD

∴AD=BD ；

∵AB ⊥BC ，BE ⊥AC ，

∴∠ACD+∠DAC=90°，∠ACD+∠CBE=90°,

∴∠DAC=∠CBE,

又∵∠ADC=∠BDF=90°,

∴△ADC ≌△BDF(ASA),

∴AC=BF,

∵AB ⊥BC ，BE ⊥AC ，

∴AE=EC ，即AC=2AE ，

∴BF=AC=2AE 。

（2）∵△ABF ≌△CBF

∴DF=CD=2

∴在Rt △CDF 中，CF=22CD DF +=22)2()2(+=4=2

∵BE ⊥AC ，AE=EC,

∴AF=FC,

∴AD=AF+DF=2+2 。

2、如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，P 是AC 边上一动点，由A 向C 运动（与A 、C 不重合），Q 是CB 延长线上一点，与点P 同时以相同的速度由B 向CB 延长线方向运动（Q 不与B 重合），过P 作PE ⊥AB 于E ，连接PQ 交AB 于D ．

（Ⅰ）若设AP=x ，则PC=__________ ，QC=___________ ；（用含x 的代数式表示）

（Ⅱ）当∠BQD=30°时，求AP 的长；

（Ⅲ）在运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果变化请说明理由．

三角函数与解三角形(培优)

第8讲三角函数的图象与性质

【题型精讲】

题型（一）三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的基本关系

1．（2021·湖北·高三月考）已知点()5,P m -为角α终边上一点，2αβ=，且1cos 2

tan sin 2β

ββ

++=，则m =（）

A ．2

B ．2±

C ．1

D ．±1

2．（2021·全国·模拟预测（文））已知点(,P x 是角α终边上一点，且

cos 3α=-，则πcos()6

α+等于（）

A ．

C D

3．（2021·河南·高三月考（理））已知sin cos θθ+=tan tan 2πθθ⎛⎫+-=

⎪⎝⎭（） A ．97

B ．18

C ．

718 D ．79

4．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设0απ<<，7

sin cos 13

αα+=，则1tan 1tan α

-+的值为（）

A ．

177

B ．

717

C ．177

D ．717

5．（2021·江苏省镇江中学高三月考）若tan 2θ=-，则

()

sin cos sin 1sin 2θθ

θθ+=+（） A ．56

B ．5

C ．5

D ．56

6．（2021·全国·高三月考）已知sin 2sin 026ππαα⎛⎫⎛

⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭，则

2cos 12cos ααα⋅+=__________．

题型（二）三角函数的图象与解析式

1．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））已知

()()()0,0,f x Asin x A ωϕωωπ=+>><的一段图象如图所示，则（）

(完整版)三角形的证明培优习题解析

三角形的证明培优习题解析

1、如图，△ABC 中，AB=BC ，BE ⊥AC 于点E ，AD ⊥BC 于点D ，∠BAD=45°，AD 与BE 交于点F ，连接CF ．（1）求

证：BF=2AE ；（2）若CD= 2，求AD 的长．

（1）证：∵AD ⊥BC,∠BAD=45°，

∴⊿ADB 是等腰直角三角形，∠ABD=∠BAD

∴AD=BD ；

∵AB ⊥BC ，BE ⊥AC ，

∴∠ACD+∠DAC=90°，∠ACD+∠CBE=90°,

∴∠DAC=∠CBE,

又∵∠ADC=∠BDF=90°,

∴△ADC ≌△BDF(ASA),

∴AC=BF,

∵AB ⊥BC ，BE ⊥AC ，

∴AE=EC ，即AC=2AE ，

∴BF=AC=2AE 。

（2）∵△ABF ≌△CBF

∴DF=CD=2

∴在Rt △CDF 中，CF=22CD DF +=22)2()2(+=4=2

∵BE ⊥AC ，AE=EC,

∴AF=FC,

∴AD=AF+DF=2+2 。

（Ⅰ）若设AP=x ，则PC=__________ ，QC=___________ ；（用含x 的代数式表示）

（Ⅱ）当∠BQD=30°时，求AP 的长；

（Ⅲ）在运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果变化请说明理由．

解三角形新高考数学重难点专题培优

解三角形

一、利用正弦、余弦定理解三角形

例1：在锐角ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知2c =，若2

sin sin A B +-

2sin sin sin A B C =，则下列说法正确的是（）

A ．π

C =

B ．,62ππA ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

C ．π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

D ．(23,4]a b +∈

二、利用正弦、余弦定理判断三角形的形状

例2：设在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC △的形状为（） A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不确定

三、与三角形面积有关的问题

例3：ABC △的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224

a b c

+-，

则C =（） A ．π2

B ．

π3

C ．

π4

D ．

π6

四、解三角形的实际应用

例4：某市规划一个平面示意图为如下图五边形ABCDE 的一条自行车赛道，ED ，DC ，CB ，BA ，AE 为赛道（不考虑宽度）

，BE 为赛道内的一条服务通道，BCD CDE ∠=∠= 2π

BAE ∠=

，DE =4km ，3km BC CD ==．

（1）求服务通道BE 的长度；

（2）当π

AEB ∠=时，赛道BA 的长度？

增分训练

一、选择题

1．（多选题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知45B =︒，6c =，若解该三角形有且只有一解，则b 的可能值为（） A ．5

全等三角形经典培优题型(含答案)

1.已知三角形ABC中，AB=4，AC=2，D是BC的中点，AD是整数，求AD的长度。

解：由题意可得AD=AB-DB，又BD=DC=AC/2=1，故AB=AD+DB=AD+1，代入AB=4得AD=3.

2.已知四边形BCDE中，BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD的中点，证明∠1=∠2.

解：由于BC=DE，且∠B=∠E，所以△BCE≌△EDC，从而∠1=∠BCE=∠EDC=∠2.

3.已知四边形ABCD中，∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，证明EF=AC。

解：由于EF//AB，所以△EFC∼△ABC，从而

EF/AC=FC/BC，而CD=DE，所以FC=CD，代入得

EF/AC=CD/BC，又由于∠1=∠2，所以△BCD∼△ECD，从而CD/BC=ED/AC，代入得EF/AC=ED/AC，即EF=AC。

4.已知三角形ABC中，AD平分∠BAC，AC=AB+BD，

证明∠B=2∠C。

解：由于AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，从而

∠B=∠BAD+∠ABD=∠CAD+∠ACD，又由于AC=AB+BD，所以BD=AC-AB，代入得

∠B=∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠ABC，又由于

∠CAD=∠CAB，所以∠B=∠CAB+∠ABC=2∠C。

5.已知三角形ABC中，AC平分∠BAD，CE⊥AB，

∠B+∠D=180°，证明AE=AD+BE。

解：由于AC平分∠BAD，所以∠CAD=∠CAB，从而

△ABE∼△DCE，所以AE/AD=BE/CD，又由于

∠B+∠D=180°，所以CD=AB，代入得AE/AD=BE/AB，即

高考数学总复习培优练习：解三角形(含答案)

高考数学总复习培优练习：解三角形（含答案）

1．解三角形中的要素

例1：ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2c 6b ，60B =，则C =_____．

【答案】30C =

【解析】（1）由已知B ，b ，c 求C 可联想到使用正弦定理：sin sin sin sin b c c B

C B C b

=⇒=，代入可解得：1

sin 2

C =．由c b <可得：60C B <=，所以30C =．

2．恒等式背景

例2：已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且有cos 3sin 0a C a C b c --=．（1）求A ；

（2）若2a =，且ABC △3b ，c ．【答案】（1）

π；（2）2，2．【解析】（1）cos 3sin 0a C a C b c --= sin cos 3sin sin sin sin 0A C A C B C ⇒--=

()sin cos 3sin sin sin sin 0A C A C A C C ⇒-+-=

sin cos 3sin sin sin cos sin cos sin 0A C A C A C C A C ⇒---=，

13cos 12sin 1sin 662A A A A ππ⎛⎫⎛

⎫-=⇒-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

∴66A ππ-

=或566A ππ

-=（舍），∴3

A π=；（2）1

sin 342ABC S bc A bc ==△，

222222cos 4a b c bc A b c bc =+-⇒=+-，

培优解直角三角形

1如图，港口B在港口A的西北方向，上午8时，一艘轮船从港口A出发，以15海里／时的速度向正北方向航行，同时一艘快艇从港口B出发也向正北方向航行．上午10时轮船到达D处，同时快艇到达C处，测得C处在D处的北偏西30°的方向上，且C、D两地相距100海里，求快艇每小时航行多少海里？（结果精确到0.1海里／时，参考数据2≈1.41，3≈1.73）

【答案】过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点

F，过点A作CB的垂线，交CB的延长线于点E．（如图）

在Rt△CDF中，∠CDF＝30°

∴CF＝

1CD＝50海里

DF＝CD·cos∠CDF＝503海里

∵CF⊥AF，EA⊥AF，BE⊥AE

∴∠CEA＝∠EAF＝∠AFC＝90°

∴四边形AECF是矩形

∴AE＝CF＝50海里

在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠EAB＝990°－45°＝45°

∴BE＝AE＝50海里

在矩形AECF中，CE＝AF，即CB＋BE＝AD＋DF

∴CB＝AD＋DF－BE＝15×2＋503－50＝

（5020

3-）海里

（5020

3-）÷2＝253－10≈25×1.73－10≈33.3（海里／时）

2 2011年3月11日13时46分日本发生了9.0级大

地震，伴随着就是海啸.山坡上有一颗与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）.已知山坡的坡角∠AEF=23°，测得树干的倾斜角为∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面的角∠ADC=60°，AD=4米

23题图

23°

60°38°A

G F

C B

解三角形培优

认识三角形 能力培优训练(含答案)

第二节 解锐角三角形及应用-学而思培优

初中几何经典培优题型(三角形)

三角形培优专题 - 参考答案

高中数学培优专题06 解三角形(解析版)

高中数学培优——解三角形

成都七中初中学校数学三角形解答题（培优篇）（Word版含解析）

全等三角形证明题培优(38题)(方法)

专题03 7.5解直角三角形培优训练(解析版)九下数学专题培优训练

(完整版)三角形的证明培优习题解析

三角函数与解三角形(培优)

(完整版)三角形的证明培优习题解析

解三角形新高考数学重难点专题培优

全等三角形经典培优题型(含答案)

高考数学总复习培优练习：解三角形(含答案)

培优解直角三角形

认识三角形能力培优训练(含答案)

第二节解锐角三角形及应用-学而思培优