2019-2020年高中数学 1.3.2 球的体积和表面积训练 北师大版必修2

2019-2020年高中数学 1.3.2 球的体积和表面积训练北师大版必修2一、教学目标1、知识与技能：⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。

⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。

⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

2、过程与方法：通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝πR3和面积公式Ｓ＝４πR2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。

3、情感与价值观：通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。

二、教学重点、难点重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

三、学法和教法1、学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。

2、教法：探究讨论法四、教学过程（一）、创设情景1、教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。

2、教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。

（二）、探究新知1．球的体积：如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。

步骤：第一步：分割如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n 等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n 个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为，底面是“小圆片”的底面。

如图：得)1(])1(1[232n i ni n R n R r V i i ⋯⋯=--=⋅⋅≈、２ ππ 第二步：求和]6)2)(1(1[113321n n n R v v v v ---≈++++π ＝Ｖ半球第三步：化为准确的和当n →∞时， →0 （同学们讨论得出）所以 3332)6211(R R ππ=⨯-＝Ｖ半球 得到定理：半径是Ｒ的球的体积练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm 3) 2．球的表面积：球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R 的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导。

思考：推导过程是以什么量作为等量变换的？半径为R 的球的表面积为 Ｓ＝４πR 2练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 。

（答案50元） （三）、典例分析：课本P 47 例4和P 29例5 （四）、巩固深化、反馈矫正1、正方形的内切球和外接球的体积的比为 ，表面积比为 。

（答案： ； 3 ：1） 2、在球心同侧有相距9cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm 2和400πcm 2，求球的表面积。

（答案：2500πcm 2）（五）、课堂小结本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题，了解了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”的解题方法。

（六）、 作业 P 30 练习1、3 ，B （1） 五、教后反思：2019-2020年高中数学 1.3.2 三角函数的图象与性质教案1 苏教版必修4●三维目标 1．知识与技能(1)能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象． (2)弄清正弦、余弦函数的图象之间的关系，记住正、余弦函数的特征，会用五点法画正、余弦函数的图象．(3)借助图象理解正、余弦函数的定义域、值域、周期性、单调性、对称性等性质． (4)通过观察、猜想、归纳，培养学生的数学能力，掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的能力．2．过程与方法借助单位圆，利用三角函数线作出正弦函数图象；让学生通过类比，联系诱导公式，自主探究出余弦函数的图象，尝试用五点作图法作正、余弦函数图象，并能结合图象分析有关性质．充分发挥图象在认识和研究函数性质中的作用，渗透“数形结合”思想．3．情感、态度与价值观(1)通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责、一丝不苟的学习精神． (2)通过正、余弦函数图象性质的理解，使学生体会从感性认识到理性认识，理解动与静的辨证关系，激发学生的学习积极性．●重点难点重点：正、余弦函数的图象、性质及“五点法”作图． 难点：正、余弦函数的性质及应用．(教师用书独具)分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质求球的半径●教学建议1．作正弦曲线关于作正弦曲线的教学，建议教师在教学过程中：(1)给学生讲清作正弦曲线既是本课的重点，又是学好后面内容的关键，故要对这一点进行重点教学；(2)引导学生明确正弦曲线的作法有两种，有条件的教师应利用多媒体演示两种方法，并指明两种方法的优缺点；(3)要突出作图象的两个过程，明确意义．2．正、余弦函数的性质关于正、余弦函数性质的教学建议教师让学生利用定义从理论上简单总结正、余弦函数的性质，然后借助正、余弦函数的图象，通过对图象的深入分析，引导学生得出正、余弦函数的所有性质．在教学过程中，要重点强调处理函数问题时，我们经常从图象看性质，用性质画图象，在反复演练中逐步渗透给学生数形结合思想．3．“五点法”作图关于“五点法”作图的教学，建议教师在教学过程中：(1)让学生观察函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，找出对图象形状起关键作用的五个点；(2)重视“五点法”作图的作用，明确作图的步骤，通过适当的练习，让学生熟练掌握这种方法．●教学流程创设问题情境，借助单位圆，利用三角函数线，作出正弦函数的图象.⇒引导学生结合诱导公式和正弦函数图象，自主探究余弦函数的图象，并分析正、余弦函数的有关性质.⇒引导学生探究函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，找出对图象形状起关键作用的五个点，完成例1及其变式训练，从而解决利用“五点法”作简图的问题.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握求三角函数值域的方法.⇒探究正、余弦函数的单调性，完成例3及其变式训练，从而掌握求单调区间的方法及注意事项.⇒通过例4及其变式训练，使学生掌握利用三角函数的单调性比较三角函数值大小的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解正弦函数、余弦函数的图象．2．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．(重点)3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质．(重点、难点)正弦、余弦函数的图象与性质【问题导思】1．你能说出正弦函数、余弦函数定义域、值域吗？【提示】 定义域都是R ，由三角函数的定义知，值域都是[－1,1]． 2．正、余弦函数的奇偶性如何？【提示】 由sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x 可知，正弦函数y ＝sin x 为奇函数，余弦函数y ＝cos x 为偶函数．1．正弦、余弦函数的图象(1)正弦函数的图象叫做正弦曲线，余弦函数的图象叫做余弦曲线．(2)函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上起关键作用的五个点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)，(3)函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上起关键作用的五个点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．(4)正弦函数、余弦函数图象间的关系是：将正弦函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位就得到余弦函数y ＝cos x 的图象，因此正弦曲线和余弦曲线的形状完全相同，只是在直角坐标系中的位置不同．2．正弦函数、余弦函数的图象与性质 函数 正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 图象定义域 R R 值域[－1,1][－1,1]最值当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y max ＝1；当x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，y min ＝－1 当x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；当x ＝2k π＋π(k ∈Z )时，y min ＝－1周期性 周期函数，T ＝2π 周期函数，T ＝2π 奇偶性 奇函数，图象关于原点对称 偶函数，图象关于y 轴对称 单调性在[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )上是增函数；在[2k π－π，2k π](k ∈Z )上是增函数；在[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )上是在[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )上是减函数减函数利用“五点法”作简图用“五点法”作出下列函数的图象． (1)y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]； (2)y ＝2＋cos x ，x ∈[0,2π]．【思路探究】 在[0,2π]上找出五个关键点，用光滑曲线连接即可． 【自主解答】 (1)列表如下：x0 π2 π 32π 2π sin x 0 1 0 －1 0 sin x －1－1－1－2－1描点连线，如图(1)所示．图(1)(2)列表如下：x0 π2 π 32π 2π cos x 1 0 －1 0 1 2＋cos x32123描点连线，如图(2)所示．图(2)1．“五点法”中的五点即y ＝sin x 或y ＝cos x 的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x 轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．2．列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节．作出下列函数的简图．(1)y ＝－1－cos x ，x ∈[0,2π]； (2)y ＝sin 2x ＋1，x ∈[0，π]． 【解】 (1)列表：x0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x－2－1－1－2描点作图，如图所示：(2)列表：x0 π4 π2 3π4 π 2x0 π2 π 3π2 2π sin 2x 0 1 0 －1 0 sin 2x ＋1121 01描点、连线，如图所示：求三角函数的值域求下列函数的值域． (1)y ＝3－2cos x ；(2)y ＝cos 2x ＋2sin x －2.【思路探究】 (1)由－1≤cos x ≤1―→求3－2cos x 的范围得值域． (2)令t ＝sin x ，化成关于x 的二次函数求解． 【自主解答】 (1)∵－1≤cos x ≤1，∴－1≤－cos x ≤1，∴－2≤－2cos x ≤2， ∴1≤3－2cos x ≤5，即1≤y ≤5.故函数y ＝3－2cos x 的值域为[1,5]．(2)令t ＝sin x (x ∈R )，则由－1≤sin x ≤1， 知－1≤t ≤1.∴y ＝cos 2 x ＋2sin x －2＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－t 2＋2t －1＝－(t －1)2(－1≤t ≤1)，∵－1≤t ≤1，∴－2≤t －1≤0，∴0≤(t －1)2≤4， 即－4≤y ≤0.故函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2的值域为[－4,0]．1．求形如y ＝A sin x ＋B 或y ＝A cos x ＋B 型的三角函数的最值问题，一般运用三角函数的有界性求最值．求最值时要注意三角函数的定义域，尤其要注意题目中是否给定了区间．2．求解形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c )，x ∈D 的函数的值域或最值时，通过换元，令t ＝sin x (或cos x )，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t ＝sin x (或cos x )的有界性．本例函数解析式不变，定义域缩小为x ∈[－π4，π4]，如何求解？【解】 (1)∵－π4≤x ≤π4，∴22≤cos x ≤1，∴－1≤－cos x ≤－22， ∴－2≤－2cos x ≤－2， ∴1≤3－2cos x ≤3－ 2.故函数y ＝3－2cos x ，x ∈[－π4，π4]的值域为[1,3－2]．(2)y ＝cos 2 x ＋2sin x －2＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－(sin x －1)2.∵－π4≤x ≤π4，∴－22≤sin x ≤22，∴－22－1≤sin x －1≤22－1. ∴0≤(sin x －1)2≤32＋ 2.∴－32－2≤y ≤0，故所求函数值域为[－32－2，0].求三角函数的单调区间(1)求函数y ＝cos(x 2＋π3)的单调区间；(2)求函数y ＝2sin(π3－2x )的单调增区间．【思路探究】 对于第(1)小题，可将角x 2＋π3看成一个整体，运用余弦函数的单调性求出x 的范围，得到所求的单调区间；对于第(2)小题，先用诱导公式把x 的系数化为正，然后用解第(1)小题的方法求解．【自主解答】 (1)令2k π＋π≤x 2＋π3≤2k π＋2π，k ∈Z ，则4k π＋4π3≤x ≤4k π＋103π，k ∈Z ，故函数的单调增区间是[4k π＋4π3，4k π＋10π3]，k ∈Z . 令2k π≤x 2＋π3≤2k π＋π，k ∈Z ，则4k π－2π3≤x ≤4k π＋4π3，k ∈Z ，故函数的单调减区间是[4k π－2π3，4k π＋4π3]，k ∈Z .(2)函数y ＝2sin(π3－2x )＝－2sin(2x －π3)，因此要求函数y ＝2sin(π3－2x )的单调增区间只需求函数y ＝2sin(2x －π3)的单调减区间即可．令π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π，k ∈Z ，即原函数的单调增区间为[5π12＋k π，11π12＋k π]，k ∈Z .求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω≠0)的单调区间的一般步骤：(1)当ω>0时，把“ωx ＋φ”看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，即为函数递增区间；由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的范围，即为函数递减区间．(2)当ω<0时，可先用诱导公式转化为y ＝－sin(－ωx －φ)，则y ＝sin(－ωx －φ)的递增区间即为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间．余弦函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω≠0)的单调性讨论同上．求函数y ＝2sin(π4－x )的单调区间．【解】 y ＝2sin(π4－x )＝－2sin(x －π4)，由2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2，得2k π－π4≤x ≤2k π＋34π，k ∈Z .由2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋32π，得2k π＋34π≤x ≤2k π＋74π，k ∈Z ，故函数y ＝2sin(π4－x )的递增区间为[2k π＋34π，2k π＋74π]，k ∈Z ；递减区间为[2k π－π4，2k π＋34π]，k ∈Z .利用三角函数的单调性比较大小比较下列各组数的大小：(1)sin 1，sin 2，sin 3，sin 4； (2)cos 217°，cos(－1 220°)．【思路探究】 第(1)小题把自变量2,3都化到区间[0，π2]上，利用单调性比较大小，而sin 4＜0，从而可得四者的关系；第(2)小题只需把自变量化到0°～90°上即可比较大小．【自主解答】 (1)因为sin 2＝sin(π－2)，sin 3＝sin(π－3)，且0＜π－3＜1＜π－2＜π2，π＜4＜3π2，又函数y ＝sin x 在[0，π2]上单调递增，所以sin 2＞sin 1＞sin3＞0，而sin 4＜0，故sin 2＞sin 1＞sin 3＞sin 4.(2)因为cos 217°＝－cos 37°，cos(－1 220°)＝－cos 40°，又y ＝cos x 在0°～90°上是减函数，所以cos 37°＞cos 40°，即－cos 37°＜－cos 40°， 即cos 217°＜cos(－1 220°)．比较三角函数值的大小时，若函数名不同，一般应先化为同名三角函数，再运用诱导公式把它们化到同一单调区间上，以便运用函数的单调性进行比较．比较下列各组数的大小．(1)cos(－π8)与cos 13π7；(2)sin 194°与cos 160°.【解】 (1)cos(－π8)＝cos π8，cos 13π7＝cos(2π－π7)＝cos(－π7)＝cos π7.0<π8<π7<π2，y ＝cos x 在(0，π2)上是减函数． ∴cos π8>cos π7，即cos(－π8)>cos 13π7.(2)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(90°＋70°)＝－sin 70°， ∵sin 14°<sin 70°，∴sin 194°>cos 160°.判断函数奇偶性时忽略判断定义域是否关于原点对称判断f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x的奇偶性．【错解】 f (x )＝sin x ＋sin 2x 1＋sin x ＝sin x ＋sin x1＋sin x＝sin x ，∴f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数.【错因分析】 判断函数的奇偶性，必须先判断函数的定义域是否关于原点对称，上述解法错误的原因是没有考虑定义域，事实上，此函数的定义域不关于原点对称．【防范措施】 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的基本条件，因此在判断函数的奇偶性时要先判断定义域是否关于原点对称．【正解】 由题意得1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ≠2k π－π2(k ∈Z )．∴函数的定义域不关于原点对称，∴函数f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x是非奇非偶函数．1．“五点法”作图(1)利用“五点法”画正弦、余弦函数的图象时应注意图象的对称性和凸凹方向． (2)利用“五点法”作出正弦、余弦函数在[0,2π]内图象后，再通过平移即可得到正弦、余弦曲线．2．判断三角函数的奇偶性判断函数奇偶性要按函数奇偶性的定义，定义域关于原点对称是正确判断奇偶性的前提．另外还要注意诱导公式在判断f (x )与f (－x )之间关系时的应用．3．正、余弦曲线的对称性正弦曲线和余弦曲线既是中心对称图形也是轴对称图形，并且有无数个对称中心和对称轴，其中正弦曲线对称中心坐标为(k π，0)(k ∈Z )，对称轴方程x ＝k π＋π2(k ∈Z )，余弦曲线的对称中心坐标为(k π＋π2，0)(k ∈Z )，对称轴方程为x ＝k π(k ∈Z )．1．下列函数的图象相同的是________．(填序号) ①y ＝cos x 与y ＝cos(π＋x )；②y ＝sin(x －π2)与y ＝sin(π2－x )；③y ＝sin x 与y ＝sin(－x )； ④y ＝sin(2π＋x )与y ＝sin x .【解析】 y ＝cos(π＋x )＝－cos x ，与y ＝cos x 的图象不同；y ＝sin(x －π2)＝－cos x ，与y ＝sin(π2－x )＝cos x 图象不同；y ＝sin(－x )＝－sin x 与y ＝sin x 的图象不同； y ＝sin(2π＋x )＝sin x 与y ＝sin x 的图象相同． 【答案】 ④2．使cos x ＝1＋m1－m有意义的实数m 的取值范围是________．【解析】 由题设|1＋m1－m|≤1⇒|1＋m |≤|1－m |且m ≠1，得m ≤0.【答案】 (－∞，0]3．当φ取30°，60°，90°，180°中的________时，函数y ＝sin(φ－x )是奇函数． 【解析】 要使此函数为奇函数，必须不改变函数名称，结合所给的角，当φ＝180°时，y ＝sin(180°－x )＝sin x 是奇函数．【答案】 180°4．不求值，比较各组中三角函数值的大小：(1)sin(－π18)与sin(－π10)；(2)cos(－13π5)与cos 11π5.【解】 (1)∵－π2＜－π10＜－π18＜0，y ＝sin x 在(－π2，0)上是单调增函数，∴sin(－π18)＞sin(－π10)．(2)cos(－13π5)＝cos 13π5＝cos(2π＋3π5)＝cos 3π5，cos 11π5＝cos(2π＋π5)＝cosπ5. ∵0＜π5＜3π5＜π，y ＝cos x 在[0，π]上是单调减函数，∴cos π5＞cos 3π5，∴cos(－13π5)＜cos 11π5.一、填空题1．下列所给的四个图象中，y ＝－sin x ，x ∈[0,2π]的图象是________．图1－3－2【解析】 x ＝π2时，y ＝－sin π2＝－1，排除①②③，利用“五点法”作图验证④正确．【答案】 ④2．函数f (x )＝sin 2xsin x－1是________函数．(填“奇”或“偶”)【解析】 定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，关于原点对称，且f (－x )＝－2x－x－1＝sin 2x sin x－1＝f (x )．【答案】 偶3．函数y ＝3＋3cos(2x ＋π3)的值域是________．【解析】 －1≤cos(2x ＋π3)≤1，∴0≤y ≤6.【答案】 [0,6]4．函数y ＝cos(2x －π2)的单调减区间是________．【解析】 由2k π≤2x －π2≤2k π＋π，k ∈Z ，解得k π＋π4≤x ≤k π＋34π，k ∈Z ，故单调递减区间是[k π＋π4，k π＋34π]，k ∈Z .【答案】 [k π＋π4，k π＋34π]，k ∈Z5．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为________． 【解析】 cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0，cos 760°＝cos 40°＞0且cos 20°＞cos 40°，所以cos 150°＜cos 760°＜sin 470°.【答案】 cos 150°＜cos 760°＜sin 470°6．已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论错误的是________．(只填序号)①函数f (x )的最小正周期为2π；②函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称；④函数f (x )是奇函数．【解析】 ∵y ＝sin(x －π2)＝－cos x ，∴T ＝2π，即①正确．y ＝cos x 在[0，π2]上是减函数，则y ＝－cos x 在[0，π2]上是增函数，即②正确．由图象知y ＝－cos x 的图象关于x ＝0对称，即③正确．y ＝－cos x 为偶函数，即④不正确．【答案】 ④7．(xx·南京高一检测)函数y ＝sin(x ＋π3)在区间[0，π2]的最小值为________．【解析】 ∵0≤x ≤π2，∴π3≤x ＋π3≤5π6，∴12≤sin(x ＋π3)≤1. 【答案】 128．函数f (x )＝lg(cos x －12)＋sin x 的定义域是________．【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧cos x －12＞0，sin x ≥0，解得2k π≤x ＜2k π＋π3，∴定义域为{x |2k π≤x ＜2k π＋π3，k ∈Z }．【答案】 {x |2k π≤x ＜2k π＋π3，k ∈Z }二、解答题9．用“五点法”画函数y ＝2cos x ＋1在[0,2π]上的图象．(要求：列表，描点) 【解】 列表如下：x 0 π2 π 3π22πcos x 1 0 －1 0 1 y 3 1 －1 1 3描点，连线得：10．求函数y ＝sin(x －π4)在[－3π4，π4]上的单调递减区间．【解】 由π2＋2k π≤x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )得3π4＋2k π≤x ≤7π4＋2k π(k ∈Z )，当k ＝－1时，－5π4≤x ≤－π4.又x ∈[－3π4，π4]，所以单调递减区间为[－3π4，－π4]．11．求下列函数的值域： (1)y ＝|sin x |＋sin x ；(2)y ＝2sin(2x ＋π3)，x ∈[－π6，π6]．【解】 (1)y ＝|sin x |＋sin x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin xx ，x ＜，又∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[0,2]，即值域为[0,2]．(2)∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3，∴0≤sin(2x ＋π3)≤1，从而0≤2sin(2x ＋π3)≤2，∴0≤y ≤2，即值域为[0,2].(教师用书独具)求函数y ＝2cos(2x －π3)的对称中心和对称轴方程．【思路探究】 本题主要利用正、余弦函数的对称中心与对称轴坐标再结合整体代入的思想求解．【自主解答】 y ＝cos x 的对称中心为(k π＋π2，0)(k ∈Z )，对称轴方程为x ＝k π(k∈Z )．由2x －π3＝k π＋π2，得x ＝k π2＋512π(k ∈Z )；2x －π3＝k π，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．故y ＝2cos(2x －π3)的对称中心为(k π2＋512π，0)(k ∈Z )，对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k∈Z )．1．正弦曲线y ＝sin x ，x ∈R 的对称轴方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ；对称中心为(k π，0)，k ∈Z .2．余弦曲线y ＝cos x ，x ∈R 的对称轴方程为x ＝k π，k ∈Z ；对称中心为(k π＋π2，0)，k ∈Z .求函数y ＝3sin(12x －π4)的对称轴、对称中心．【解】 令12x －π4＝π2＋k π，解得x ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，即函数的对称轴是直线x ＝3π2＋2k π(k ∈Z )．令12x －π4＝k π，解得x ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即对称中心为(π2＋2k π，0)(k ∈Z )．。