分形几何学的新特例与物理新思维增补(课堂PPT)
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《分形理论及其应用》课件
群算法等，这些算法在人工智能领域有重要的应用价值。
03
分形在机器学习中的应用
分形理论在机器学习中也有一定的应用价值，如分形神经网络、分形特
征提取等，这些方法有助于提高机器学习的性能和效率。
05
分形理论的未来展望
分形理论与其他学科的交叉研究
物理学
分形理论在物理学的多个领域，如混沌理论、量子力学和统计物理中有着广泛的应用。通过与其他学科的交叉研究， 可以进一步揭示分形现象的本质和规律。
分形在时间序列分析中的应用
时间序列数据中往往存在分形现象，利用分形理论可以更准确地预测和分析时间序列数据 的未来趋势。
分形在人工智能领域的应用
01
分形在计算机图形中的应用
分形理论在计算机图形学中有着广泛的应用，如分形图像的生成、分形
自然现象的模拟等。
02
分形优化算法
分形理论为优化算法的设计提供了新的思路和方法，如遗传算法、粒子
在规律。
迭代函数系统由一组压缩映射和 转移函数组成，通过迭代地应用 这些函数，可以生成复杂的分形
图形。
分数布朗运动
分数布朗运动是一种随机过程，其轨 迹具有分形结构。
分数布朗运动通过随机游走的方式， 在时间和空间上呈现出连续但非光滑 的轨迹，具有长期依赖性和自相似性 等特征。
它模拟了布朗运动的特性，但适用于 描述具有非整数维度的分形现象。
分形理论在解决实际问题中的应用前景
图像处理
增强等方面具有优异的表现。 随着数字图像处理技术的发展 ，分形理论在图像处理领域的 应用前景将更加广阔。
分形理论在处理非线性数据和 预测复杂系统行为方面具有独 特的优势。在金融、气象、交 通等领域，分形理论可以帮助 我们更好地理解和预测数据的 内在规律和趋势。
几何新方法的开创与几何学的大革命 ppt课件
几何学上的一场大革命（2）
• 从时间上说，紧接高斯之后提出 非欧几何设想的是匈牙利的数学家 鲍耶。
鲍耶（J.Bolyai,1802-1860）
• 鲍耶自幼勤奋好学，13岁 就掌握了微积分，并把它 应用到力学上去。他的父 亲是高斯的挚友，是终身 从事证明“第五公设”而 无所收获的数学家，曾劝 儿子“不要再作克服平行 公设的尝试”，以免剥夺 儿子“生活中的一切时间、 健康、休息和幸福”，但 是小鲍耶未听劝告，仍然 不懈地研究“第五公设”。
∠＜B1AB）= 。2 －a＞∠CAB=
2
－
，（因为α
于所假是以设A，矛C作盾必得与一底个边△BBA1相BB交1,而。直这线与AACC经与a过不其相内交部的，
非欧几何学的先兆
从反面证明第五公设，意大利耶稣会教士、数学 家萨凯里（1667~1733）于1733年第一次发表了其极 具特色的成果。德国数学家兰伯特也得到相同结果。
• 他的非欧几何思想产生于1820年，这时他才18岁。 1823年已发展到相当完善的地步，他大胆地从 “三角形之内角和小于1800”出发，建立了一套完 整协调、天衣无缝的新几何体系。其父将其成果 信告高斯，过分小心的高斯既不敢发表自己的成 果，也不敢对小鲍耶给以满腔热情的支持，致使 小鲍耶非常灰心，发誓永远不再研究数学。
笛沙格
• 1591年生于法国里昂， 1661年卒于同地。笛 沙格曾在法国军队当 过军官，以后在巴黎 公开讲学，又当过建 筑师和工程师。他自 学成才，对透视学极 有研究。
笛沙格的学术成就及影响
• 1636年他在巴黎出版了《用透视法表示对 象的一般方法》一书，这是射影几何学的 第一本著作，在这本书中，笛沙格已引入 了无穷远点、无穷远线、交比、对合等射 影几何的许多概念。
分形理论PPT课件
球等简单形状加以组合，就能很好地与其构造近似。
二、非欧氏几何学（分形几何学）
欧几里德几何学（简称欧氏几何学），是一门具有
2000多年历史的数学分支，它是以规整几何图形为研
究图象。所谓规整几何图形就是我们熟悉的点、直线与
线段；平面与平面上的正方形、矩形、梯形、菱形、各
种三角形以及正多边形等。空间中的正方体、长方体、
式中a和b为常数，称为几何因子，与具体的几何图
形的形状有关，如对圆 a ；对球， b .由4式（2.1）
可以得出如下结论：
3
它们是以两点间的距离为基础的，而且它们的量纲 数分别等于几何图形存在的空间的维数。
在物理学中，大于3维的空间也是存在的，如把时间和 空间一起加以考虑，就得到了所谓的四维空间。
以上讨论的维数都是整数，它们的数值与决定几何形
人们在观察和研究自然界的过程中，认识到自相似性
可以存在于物理、化学、天文学、生物学、材料科学、
经济学，以及社会科学等众多的科学之中，可以存在于
物质系统的多个层次上，它是物质运动、发展的一种普
遍的表现形式，即是自然界普遍的规律之一。下面举几
个例子来说明自相似性。
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太阳系的构造与原子的结构作一对比，就会发 现这两个系统在某些方面具有惊人的相似。虽然这 两个系统在自然界中尺度相差如此悬殊，但它们物 质系统之间存在着自相似的性质。
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如
下二点： (1)长度= l, 面积= 2,l体积= 3（l正方体）；
(2)长度（半径）= ,面r积= , 体r 2积= (球）4 ；r 3
3
由上面两式可以看到，长度、面积和体积的量纲是长 度单位的1、2和3次方，它们恰好与这些几何图形存在空 间的欧氏维数相等，而且均为整数。
分形几何的数学探究ppt 人教课标版
图2、图3将图1中两个矩形框区域放大后的 图形。
你会惊奇地发现：当你放大某个区域，它的 结构就在变化，展现出新的结构元素。无论您怎 样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续 不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的 生活中是不存在的。所以说，Mandelbrot集合是 向传统几何学的挑战。 他开创了一个全新的几何 学的分支！
1.谢尔斯基三角形的探究
经过n次
三角 形形 状：
边长 （l）
面积： 相 差 倍 数 底 值 X 高 /2
每个三 角形分 离的图 形
总数
新增图形与初始 三角形比
2.自创分形并加以研究
总结：
在对分形的初步认识的基础上，我们进一步 利用自己所学到的知识（如：数列.数学归纳法等） 着重对谢尔斯基三角形进行探究，并得到了它的 渐变规律等结论。
分形是一个新的数学领域——有时也把它归为 自然界的几何，因为这些奇异而混沌的形状，不仅 描绘了诸如地震、树、树枝、生姜根、海岸线等自 然现象，而且在天文、经济、气象、电影制片等方 面也有广泛应用。所以说，分形几何突破了传统欧 氏几何的局限，开创了前所未有的研究领域。
分形的艺术欣赏 分形图可以体现出许多传统美学的标准，如平 衡、和谐、对称等等，但更多的是超越这些标准的 新的表现。比如，分形图中的平衡，是一种动态的 平衡，一种画面各个部分在变化过程中相互制约的 平衡；分形图的和谐是一种数学上的和谐，每一个 形状的变化，每一块颜色的过渡都是一种自然的流 动，毫无生硬之感；而最特别的是分形的对称，它 既不是左右对称也不是上下对称，而是画面的局部 与更大范围的局部的对称，或说局部与整体的对称。 在分形图中更多的是分叉、缠绕、不规整的边缘和 丰富的变换，它给我们一种纯真的追求野性的美感， 一种未开化的，未驯养过的天然情趣。 （图库）
分形几何 ppt课件
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❖ f(z) = |z2|
分形几何
28
分形几何 ❖可以看到，这一操作让模的变化更剧烈了，
等高线变得更加密集了。外面浩瀚的蓝色空 间，就对应着那些模已经相当大了的复数。
29
分形几何
❖如果对上图中的每个点再加上某个数，比如 0.3 ， 那么整个图会怎样变化呢？
❖对于模相同的复数来说，给实数部分加上 0.3 ， 这对实数部分本来就较大的数影响会更大一些。 因此，上图将会变得更扁，整个图形会在水平方 向上拉伸。这也就是 f(z) = |z2 + 0.3| 的等高线地 形图。见下图（为便于观察，对图像进行了旋 转）。
36
分形几何
❖ 我们照这个思路（加0.2然 后平方）迭代12次后，可 得到右图图形。可以看见 整个图形已经具有了分形 图形的复杂程度（图形的 “黑边”其实是密集的等 高线）。
37
分形几何
❖ 上图中，大部分区域内的数都变得越来越大，直 达无穷。而原点附近这个四叶草形区域内的数， 至少目前还不算太大。
8
分形几何
9
分形几何 ❖康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于
非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其 局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。
10
分形几何
4. Mandelbrot集合 曼德博集合可以用复二次多项式来定义： fc(z)=z2+C; 其中 c 是一个复数参数。
➢ 从 z = 0 开始对 fc(z) 进行迭代：
① 将线段分成三等份（AC,CD,DB）； ② 以CD为底，向外（内外随意）画一个等边三角
形DMC ； ③ 将线段CD移去； ④ 分别对AC,CM,MD,DB重复1~3。
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分形几何
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❖ f(z) = |z2|
分形几何
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分形几何 ❖可以看到，这一操作让模的变化更剧烈了，
等高线变得更加密集了。外面浩瀚的蓝色空 间，就对应着那些模已经相当大了的复数。
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分形几何
❖如果对上图中的每个点再加上某个数，比如 0.3 ， 那么整个图会怎样变化呢？
❖对于模相同的复数来说，给实数部分加上 0.3 ， 这对实数部分本来就较大的数影响会更大一些。 因此，上图将会变得更扁，整个图形会在水平方 向上拉伸。这也就是 f(z) = |z2 + 0.3| 的等高线地 形图。见下图（为便于观察，对图像进行了旋 转）。
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分形几何
❖ 我们照这个思路（加0.2然 后平方）迭代12次后，可 得到右图图形。可以看见 整个图形已经具有了分形 图形的复杂程度（图形的 “黑边”其实是密集的等 高线）。
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分形几何
❖ 上图中，大部分区域内的数都变得越来越大，直 达无穷。而原点附近这个四叶草形区域内的数， 至少目前还不算太大。
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分形几何
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分形几何 ❖康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于
非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其 局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。
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分形几何
4. Mandelbrot集合 曼德博集合可以用复二次多项式来定义： fc(z)=z2+C; 其中 c 是一个复数参数。
➢ 从 z = 0 开始对 fc(z) 进行迭代：
① 将线段分成三等份（AC,CD,DB）； ② 以CD为底，向外（内外随意）画一个等边三角
形DMC ； ③ 将线段CD移去； ④ 分别对AC,CM,MD,DB重复1~3。
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分形几何
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分形几何概述课件阮火军共49页
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
分形几何概述课件阮火军
1、战鼓一响，法律无声。——理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
分形几何学.ppt
一、什么是分形几何学
通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的 自相似图形和结构的几何学。 分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层 次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方 面具有统计意义上的相似性，称为自相似性。例如，一块磁 铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去， 每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次 结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。 又如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上 没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相 似关系；一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质； 动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛 的全部生长信息；还有高山的表面，无论怎样放大其局部，它都 如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何 揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。
随机康托尔集都是随机分形，著名的随机分形还有布朗 （R.Brown）粒子运动的轨迹
（2）Sierpinski地毯： 三分康托尔集等数学怪物的出现，使相当一部分传统数学 家感到“直觉的危机”的同时，也引起了一些数学家的兴 趣.1915~1916年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)将三 分康托尔集的构造思想推广到二维平面，构造出谢尔宾斯基 “垫片”：设E0是边长为1的等边三角形区域，将它均分成四个 小等边三角形，去掉中间一个得E1，对E1的每个小等边三角形 进行相同的操作得E2，……，这样的操作不断继续下去直到无 穷，所得图形F称为谢尔宾斯基“垫片”（图）.它被用作超导 现象和非晶态物质的模型
⑴ 康托尔三分集 1883年，德国数学家康托尔(G.Cantor)构造了一个奇异集合： 取一条长度为1的直线段E0，将它三等分，去掉中间一段，剩下 两段记为E1，将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段， 剩下更短的四段记为E2，……，将这样的操作一直继续下去， 直至无穷，得到一个离散的点集F（图），称为康托尔三分集. 在康托尔三分集的构造过程中，如果每一步都用掷骰子的方法 来决定去掉被分成的三段中的哪一段，或来选择子区间的长度， 就会得到很不规则的随机康托尔集（如图），它被当时在美国 IBM公司任职的曼德尔布罗特用作描述通讯线路中噪声分布的 数学模型，如今在现代非线性动力学的理论研究中有重要地位.
分形几何学(课堂PPT)
.
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分形几何图形
自然界中有许多分形的例子，如雪花、植物的枝条分叉、海岸线 等。在数学中，历史上也构造了许多分形模型，如Koch曲线、 weierstrass函数等。它们共同的特点是①处处连续但处处不可 微，即曲线处处是不光滑的，总有无穷的细节在里面；②具有自 相似性或统计自相似性，即在不同的标度下，它们的形状是相似 的，不可区分的；③刻划它们的维数不是整数，而是分数。这是 因为，这类曲线都有无穷的细节，所以用1维的直线来测量它， 其值为无穷大，然而它们又没有填满一个有限的平面，所以其维 数又不能等于2，因此，要想得到一个有限的长度，它的测量维 数必定在1和2之间。
斯（K.Weierstrass）1872年构造的以他的名字
命名的函数是这类集合的第一例. 它的图象处处连
续但处处无切线（如图）, 引起当时数学界的震惊.
孰不料在此后的半个世纪里，数学家们接二连三
地构造出一批这样的集合，它们的形状与性质和
传统的几何对象大相径庭.被人们称为“反直觉
的”，“病态”的“数学怪物”. 令人惊奇的是，
1973年，曼德尔勃罗特（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲 课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形（Fractal）一词， 是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，
分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。 Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名 字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相 似的结构（见图1）。
基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把 研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的 世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图 形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则 提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结 构的新方法。
分形几何概述(课件)_阮火军共49页文档
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
分形几何概述(课件)_阮火军
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
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1944年陈省身给出n维黎曼流形高斯-博内公式的内蕴证明， 以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究，引进了后来通称 的陈示性类，为大范围微分几何提供了不可缺少的工具并为 复流形的微分几何与拓扑研究开创了先河。半个多世纪，黎 曼几何的研究从局部发展到整体，产生了许多深刻的结果。 黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科 互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作 用。
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C1.笛卡尔坐标的维度
直线（射线）与直线构成平面； 以直线与平面为基础的坐标空间； 一般空间是限定在三维以内； 如果不加以额外定义其维度是对易； 在空间的域定义为无限的空间； 空间向量是有原点的； 空间无限包括向量正和向量负无限； 空间在域内连续的； 空间域是平移对易和旋转对易的； 空间可定义域值； 空间域值可积分可微分； 空间连续可导；
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欧式几何与黎ห้องสมุดไป่ตู้几何比较
欧式几何是把认识停留在平面上了，所研究的范围是绝对 的平的问题，认为人生活在一个绝对平的世界里。因此在 平面里画出的三角形三条边都是直的。两点之间的距离也 是直的。但是假如我们生活的空间是一个双曲面，（不是 双曲线），这个双曲面，我们可以把它想象成一口平滑的 锅或太阳罩，我们就在这个双曲面里画三角形，这个三角 形的三边的任何点都绝对不能离开双曲面，我们将发现这 个三角形的三边无论怎么画都不会是直线，那么这样的三 角形就是罗氏三角形，经过论证发现，任何罗氏三角形的 内角和都永远小于180度，无论怎么画都不能超出180度， 但是当把这个双曲面渐渐展开时，一直舒展成绝对平的面， 这时罗氏三角形就变成了欧式三角形，也就是我们在初中 学的平面几何，其内角和自然是180度。
但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，因 此黎曼几何只限于小范围的理论。大约在1925年H.霍普夫才 开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行了研究。 随着微分流形精确概念的确立，特别是E.嘉当在20世纪20年 代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立了李群与黎 曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定重要基础， 并开辟了广阔的园地，影响极其深远。并由此发展了线性联 络及纤维丛的研究。
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爱因斯坦与黎曼几何
1915年，A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了 新的引力理论—广义相对论。使黎曼几何（严格地说洛伦兹 几何）及其运算方法（里奇算法）成为广义相对论研究的有 效数学工具。而相对论近年的发展则受到整体微分几何的强 烈影响。例如矢量丛和联络论构成规范场（杨-米尔斯场） 的数学基础。
4
B1.维度的几何学含义
空间序的逻辑概念。 空间的位置和结构的关系的逻辑；
空间量的逻辑概念， 空间的迭代方式和迭代层次；
空间的域的定义特征， 是有限域还是无限域的逻辑；
空间域的拓扑性， 空间连续性或分裂性的逻辑；
空间的对易关系的逻辑性， 例如：对于地球表面一点他的重力势能在一个维度上有序对 另外两个维度不对易，同时在同一高度上，或该点的水平面 两个维度完全对易。
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D1.黎曼几何坐标维度
在逻辑曲面上有以坐标原点； 在点极限附近的n维极限空间； N维极限空间的对易性或不对易； 空间域内可导性； N维空间维度的正交性； n维同一层次空间（不被定义为分形维度）； 在极限域的对第n维空间的n-1维空间的可导性 同理对第n-k维度，n-k-1维空间可导； 同理也是微分几何的空间基础； 由曲面的曲率决定其可以退化为欧氏几何。
8
几何结构
黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构，并且在同一流 形上可以有许多不同的度量。黎曼以前的数学家仅知道三维 欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2＝Edu2＋ 2Fdudv＋Gdv2，即第一基本形式，而并未认识到S还可以 有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。黎曼意识到区 分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性，从而摆脱了经典微 分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚，创立了黎曼几何学， 为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。
黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例。例如： 定义度量（a是常数），则当a＝0时是普通的欧几里得几何， 当a＞0时 ，就是椭圆几何 ，而当a＜0时为双曲几何。
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李群与黎曼几何
黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。该问 题大约在1869年前后由E.B.克里斯托费尔和R.李普希茨等人 解决。前者的解包含了以他的姓命名的两类克里斯托费尔记 号和协变微分概念。在此基础上G.里奇发展了张量分析方法， 这在广义相对论中起了基本数学工具的作用。他们进一步发 展了黎曼几何学。
3
A1.维度的数学含义
我们普遍将对一种序的归类方式称为维度 例如：思维-分析问题的途径和方法 所以这就涉及到归类和计量（单位和量） 数学上将这种考虑归类和计量的方式实际作
为维度，这里有明显标注的和不明显表示的 例如：自然数序，小数位数，几何形状与角
度，几何形状与边数，几何形状与其中的封 闭环路的拓扑路径。
黎曼 （1826～1866）
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黎曼几何简介
黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提 出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论 作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几 何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立 的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几 何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对 象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数 （x1，……，xn）作为坐标来描述。这是现代n维微分流形 的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种 空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn）与 （x1＋dx1，……xn＋dxn）之间的距离，用微分弧长度平 方所确定的正定二次型理解度量。亦即 （gij）是由函数构成 的正定对称矩阵。这便是黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流 形，就是黎曼流形。
分形几何学的新例 与物理学新思维
（增补版）
毛志彤 江都市 2011-4-22 1
目录
1.维度 2.线域分形 3.面域分形 4.体域分形旧例 5.体域分形新例 6.体域耦合复分形 7.电磁态 8.基本粒子结构 9. 分形微分几何与超弦发展
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1.维度
A1.维度的数学含义 B1.维度的几何学含义 C1.笛卡尔坐标的维度 D1.黎曼几何坐标维度 E1.罗巴切夫斯对几何解析 F1.维度的定义域 G1.周向维度域 H1.维度值的计算方式 I1.维度与分形逻辑
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C1.笛卡尔坐标的维度
直线（射线）与直线构成平面； 以直线与平面为基础的坐标空间； 一般空间是限定在三维以内； 如果不加以额外定义其维度是对易； 在空间的域定义为无限的空间； 空间向量是有原点的； 空间无限包括向量正和向量负无限； 空间在域内连续的； 空间域是平移对易和旋转对易的； 空间可定义域值； 空间域值可积分可微分； 空间连续可导；
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欧式几何与黎ห้องสมุดไป่ตู้几何比较
欧式几何是把认识停留在平面上了，所研究的范围是绝对 的平的问题，认为人生活在一个绝对平的世界里。因此在 平面里画出的三角形三条边都是直的。两点之间的距离也 是直的。但是假如我们生活的空间是一个双曲面，（不是 双曲线），这个双曲面，我们可以把它想象成一口平滑的 锅或太阳罩，我们就在这个双曲面里画三角形，这个三角 形的三边的任何点都绝对不能离开双曲面，我们将发现这 个三角形的三边无论怎么画都不会是直线，那么这样的三 角形就是罗氏三角形，经过论证发现，任何罗氏三角形的 内角和都永远小于180度，无论怎么画都不能超出180度， 但是当把这个双曲面渐渐展开时，一直舒展成绝对平的面， 这时罗氏三角形就变成了欧式三角形，也就是我们在初中 学的平面几何，其内角和自然是180度。
但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，因 此黎曼几何只限于小范围的理论。大约在1925年H.霍普夫才 开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行了研究。 随着微分流形精确概念的确立，特别是E.嘉当在20世纪20年 代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立了李群与黎 曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定重要基础， 并开辟了广阔的园地，影响极其深远。并由此发展了线性联 络及纤维丛的研究。
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爱因斯坦与黎曼几何
1915年，A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了 新的引力理论—广义相对论。使黎曼几何（严格地说洛伦兹 几何）及其运算方法（里奇算法）成为广义相对论研究的有 效数学工具。而相对论近年的发展则受到整体微分几何的强 烈影响。例如矢量丛和联络论构成规范场（杨-米尔斯场） 的数学基础。
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B1.维度的几何学含义
空间序的逻辑概念。 空间的位置和结构的关系的逻辑；
空间量的逻辑概念， 空间的迭代方式和迭代层次；
空间的域的定义特征， 是有限域还是无限域的逻辑；
空间域的拓扑性， 空间连续性或分裂性的逻辑；
空间的对易关系的逻辑性， 例如：对于地球表面一点他的重力势能在一个维度上有序对 另外两个维度不对易，同时在同一高度上，或该点的水平面 两个维度完全对易。
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D1.黎曼几何坐标维度
在逻辑曲面上有以坐标原点； 在点极限附近的n维极限空间； N维极限空间的对易性或不对易； 空间域内可导性； N维空间维度的正交性； n维同一层次空间（不被定义为分形维度）； 在极限域的对第n维空间的n-1维空间的可导性 同理对第n-k维度，n-k-1维空间可导； 同理也是微分几何的空间基础； 由曲面的曲率决定其可以退化为欧氏几何。
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几何结构
黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构，并且在同一流 形上可以有许多不同的度量。黎曼以前的数学家仅知道三维 欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2＝Edu2＋ 2Fdudv＋Gdv2，即第一基本形式，而并未认识到S还可以 有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。黎曼意识到区 分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性，从而摆脱了经典微 分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚，创立了黎曼几何学， 为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。
黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例。例如： 定义度量（a是常数），则当a＝0时是普通的欧几里得几何， 当a＞0时 ，就是椭圆几何 ，而当a＜0时为双曲几何。
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李群与黎曼几何
黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。该问 题大约在1869年前后由E.B.克里斯托费尔和R.李普希茨等人 解决。前者的解包含了以他的姓命名的两类克里斯托费尔记 号和协变微分概念。在此基础上G.里奇发展了张量分析方法， 这在广义相对论中起了基本数学工具的作用。他们进一步发 展了黎曼几何学。
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A1.维度的数学含义
我们普遍将对一种序的归类方式称为维度 例如：思维-分析问题的途径和方法 所以这就涉及到归类和计量（单位和量） 数学上将这种考虑归类和计量的方式实际作
为维度，这里有明显标注的和不明显表示的 例如：自然数序，小数位数，几何形状与角
度，几何形状与边数，几何形状与其中的封 闭环路的拓扑路径。
黎曼 （1826～1866）
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黎曼几何简介
黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提 出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论 作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几 何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立 的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几 何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对 象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数 （x1，……，xn）作为坐标来描述。这是现代n维微分流形 的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种 空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn）与 （x1＋dx1，……xn＋dxn）之间的距离，用微分弧长度平 方所确定的正定二次型理解度量。亦即 （gij）是由函数构成 的正定对称矩阵。这便是黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流 形，就是黎曼流形。
分形几何学的新例 与物理学新思维
（增补版）
毛志彤 江都市 2011-4-22 1
目录
1.维度 2.线域分形 3.面域分形 4.体域分形旧例 5.体域分形新例 6.体域耦合复分形 7.电磁态 8.基本粒子结构 9. 分形微分几何与超弦发展
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1.维度
A1.维度的数学含义 B1.维度的几何学含义 C1.笛卡尔坐标的维度 D1.黎曼几何坐标维度 E1.罗巴切夫斯对几何解析 F1.维度的定义域 G1.周向维度域 H1.维度值的计算方式 I1.维度与分形逻辑