线性代数 4-3实对称矩阵的相似对角化
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线性代数第三章第四节实对称矩阵的正交对角化
系,从而对应的特征向以量取可实向.量
下 面 设 n阶 对 称 矩 阵 A的 特 征 多 项 式 均 为 ：
fA1n1 2n2 mnm，
其 中 n1n2 nmn,i j,ij.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定 理 3 . 4 . 3 设 1 ,2 是 对 称 矩 阵 A 的 两 个 特 征 值 ,p 1 , p 2 是 对 应 的 特 征 向 量 ,若 1 2 ,则 p 1 与 p 2 正 交 .
第三步 将特征向量正交化
令 1=1,2=2,
3=
3
2 , 3 2 , 2
2
1 2
1 2
1
.
第四步 将特征向量单位化
令 i
i i
,
i1,2,3.
1
3
1
2
1
6
得
1
1 3
,
2
1 2
,
3
1 6
.
1
0
2
3
6
命P1 ， 2 ， 3,
3 0 0
2 3
2 2 1
命 P1，2，3132 1 2,
1 2 2
4 0 0
则
P1AP0 1 0 .
0 0 2
1 1 1 例 设A 1 1 1,求一个正交矩阵P，
1 1 1 使得P1AP为对角矩阵.
下 面 设 n阶 对 称 矩 阵 A的 特 征 多 项 式 均 为 ：
fA1n1 2n2 mnm，
其 中 n1n2 nmn,i j,ij.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定 理 3 . 4 . 3 设 1 ,2 是 对 称 矩 阵 A 的 两 个 特 征 值 ,p 1 , p 2 是 对 应 的 特 征 向 量 ,若 1 2 ,则 p 1 与 p 2 正 交 .
第三步 将特征向量正交化
令 1=1,2=2,
3=
3
2 , 3 2 , 2
2
1 2
1 2
1
.
第四步 将特征向量单位化
令 i
i i
,
i1,2,3.
1
3
1
2
1
6
得
1
1 3
,
2
1 2
,
3
1 6
.
1
0
2
3
6
命P1 ， 2 ， 3,
3 0 0
2 3
2 2 1
命 P1，2，3132 1 2,
1 2 2
4 0 0
则
P1AP0 1 0 .
0 0 2
1 1 1 例 设A 1 1 1,求一个正交矩阵P，
1 1 1 使得P1AP为对角矩阵.
线性代数-矩阵相似对角化
r3 − r2 1 0 0 r1 ( −1) 0 1 0 r2 ( −1) 0 0 0
取x 3为自由未知量 令 x 3＝1
λ
= 2
得：1=(0,0,1)T ξ
所以 A的属于特征值 λ1 = 2所有特征向量为
k1ξ 1 ( k1 ≠ 0).
7
所以对应于
1
的全部特征向量为
所以 A的属于特征值 λ 2 = λ 3 = 1所有特征向量为 k 2ξ 2 ( k 2 ≠ 0).
8
－2 1 1 例4 求矩阵 A = 0 2 0 的特征值和特征向量 的特征值和特征向量. －4 1 3 1 1 λ +2 － －
解 A的特征多项式 λE − A = 0
∴ λ1 + λ 2 + L + λ n = a11 + a 22 + L + a nn
λ1λ 2 Lλ n =| A |
12
推论： 推论： n 阶方阵 A 可逆 ⇔ A 的特征值均非零 Q n 阶方阵 A 可逆 ⇔ A ≠ 0 ⇔ λ 1 λ 2 L λ n ≠ 0 ⇔ λ i ≠ 0 定理 2：
1 0 − 1 0 1 0 0 0 0
当λ1 = －1时： 解齐次方程组 (λ 1E − A)x = 0
(－E − A)
r
取x 3为自由未知量 令 x 3＝1
λ
= 2
得：1=(0,0,1)T ξ
所以 A的属于特征值 λ1 = 2所有特征向量为
k1ξ 1 ( k1 ≠ 0).
7
所以对应于
1
的全部特征向量为
所以 A的属于特征值 λ 2 = λ 3 = 1所有特征向量为 k 2ξ 2 ( k 2 ≠ 0).
8
－2 1 1 例4 求矩阵 A = 0 2 0 的特征值和特征向量 的特征值和特征向量. －4 1 3 1 1 λ +2 － －
解 A的特征多项式 λE − A = 0
∴ λ1 + λ 2 + L + λ n = a11 + a 22 + L + a nn
λ1λ 2 Lλ n =| A |
12
推论： 推论： n 阶方阵 A 可逆 ⇔ A 的特征值均非零 Q n 阶方阵 A 可逆 ⇔ A ≠ 0 ⇔ λ 1 λ 2 L λ n ≠ 0 ⇔ λ i ≠ 0 定理 2：
1 0 − 1 0 1 0 0 0 0
当λ1 = －1时： 解齐次方程组 (λ 1E − A)x = 0
(－E − A)
r
线性代数课件-对称矩阵的对角化
2
2 0 0
则
P 1AP
0
4
0
.
0 0 4
例
设A
2 1
21 , 求An .
解:
由 A E
2
1
( 1)( 3)
1 2
得A的特征值 1 1, 2 3.
所 以
1 0
03,n
1 0
0 3n
对1
1,由A
E
~
1 0
01,得1 11;
对2
3,由A
3E
~
1 0
1 0
,
得
2
11
所以P 1
§4 实对称矩阵的对角化
一、实对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化
一、实对称矩阵的性质
定理1 实对称矩阵的特征值为实数.
定理2 设1, 2 是实对称矩阵A的两个特征值, p1, p2是对应的特征向量,若1 2,则p1与p2正交.
例1 设A为对称矩阵，1=(1,1,3)T，2 (4, 5, a)T 分别是属于A 不同特征值1, 2的特征向量，求a.
二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法
利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为：
1. 求A的特征值 1,2 , ,n ;
2. 由 A i E x 0,求出A的属于i的线性无关的特征向量;
3. 将属于重根的线性无关的特征向量正交化; 4. 将所有特征向量单位化得 p1, p2,L , pn .
实对称矩阵的对角化线性代数课件典型实例
THANKS
感谢观看
在经济学中的应用
在经济学中，许多问题也可以通过建立数学模型转化为线性代数问题。例如，在投入产出 分析中，可以利用实对称矩阵表示产业的关联程度，通过对实对称矩阵进行对角化，可以 得到产业的相对重要性以及产业之间的关联程度。
对实对称矩阵对角化的进一步研究与探索
进一步研究实对称矩阵的性质
实对称矩阵具有许多特殊的性质，如特征值和特征向量的性质、正定性、半正定性等。对这些性质进行深入研究，有 助于更好地理解实对称矩阵对角化的过程和结果。
实对称矩阵对角化的方法
通过求解实对称矩阵的特征值和特征向量，可以将原矩阵表示为特征向 量的矩阵与对角矩阵的乘积，从而实现实对称矩阵的对角化。
03
实对称矩阵对角化的应用
实对称矩阵在许多实际问题中都有广泛应用，如物理、工程、经济等领
域。掌握实对称矩阵对角化方法，有助于解决这些实际问题。
对实对称矩阵对角化在实际问题中的应用
实对称矩阵的相似对角化过程
首先求出实对称矩阵的特征值和特征向量，然后构造一个正交矩阵P，使得$P^{1}AP$为对角矩阵。
03
实对称矩阵对角化的应用
在二次型中的应用
二次型是实对称矩阵的一种特殊形式 ，通过实对称矩阵的对角化，可以将 二次型转化为标准型，便于求解最值 和判断正定性。
在二次型中，实对称矩阵对角化可以 简化计算过程，提高计算效率，减少 计算误差。
线性代数 矩阵相似对角化
当 3 1 时，线性无关的特征向量：31 0 1T
1
A1,2,31,2,3
1
1
P 1,2,3
0 1 0
例3、设矩阵 A
0 6
0 11
1 6
,求An
（简化计算）
分析：直接求An比较困难，分块矩阵也很难应用。故利用
推论 如果n阶矩阵Ａ有n个不同的特征值，则矩阵Ａ
可相似对角化．
推论 若n阶矩阵Ａ可相似对角化Ａ的任 t i 重特征值
i 对应 t i 个线性无关的特征向量．
注意 （1）P中的列向量 p1,p2, ,pn的排列顺序要与
1,2, ,n的顺序一致．
（2）因 p i 是 (A E )x0 的基础解系中的解向量，
特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法复习复习求出a的所有特征值n阶方阵a的特征值就是使齐次线性方程组t重根对应t个相同的特征值2将求得的的非零解即为对应的特征向量注
特征值与特征向量的求法（复习）
n阶方阵Ａ的特征值，就是使齐次线性方程组
EA x0有非零解的λ值，即满足 EA0
x1 x2 x3
上述微分方程组很难直接求解，若改成如下方程则易求解
xx12''01
0
2
0x1
0x2xi' ixi xi cieit
线性代数4.3 实对称矩阵
量。
定理4.9
设A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使得
PAP diag (1 , 2 ,n ) 其中 1 , 2 ,n 是A的n个特征值. 证明 设A的互不相同的特征值为 1 , 2 ,s , 它们的重数为 r1 , r2 ,, rs , 其中 r1 r2 rs n.
A ( A A)
正交变换
1 2 PAP n
P (e1 e2 en )
I A 0
求出基础解系i 解出特征值i
Schimidt正交化过程
i I A x 0
单位化得
ei
2 2 2 例：用正交变换把下列对称矩阵对角化 2 5 4 2 4 5 解 （１）求方阵Ａ的特征值 由 E A 0 得特征值 1 2 1, 3 10
对称矩阵
Baidu Nhomakorabea
AT A
即
ai j a j i
a11 a12 a 1n a11 T a12 A a 1n
i, j 1, 2,, n
a1n a2 n ann
a21 an1 a11 a12 a22 an 2 a21 a22 a a a2 n ann n1 n 2 a21 an1 a22 an 2 a2 n ann a11 a21 A a n1
定理4.9
设A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使得
PAP diag (1 , 2 ,n ) 其中 1 , 2 ,n 是A的n个特征值. 证明 设A的互不相同的特征值为 1 , 2 ,s , 它们的重数为 r1 , r2 ,, rs , 其中 r1 r2 rs n.
A ( A A)
正交变换
1 2 PAP n
P (e1 e2 en )
I A 0
求出基础解系i 解出特征值i
Schimidt正交化过程
i I A x 0
单位化得
ei
2 2 2 例：用正交变换把下列对称矩阵对角化 2 5 4 2 4 5 解 （１）求方阵Ａ的特征值 由 E A 0 得特征值 1 2 1, 3 10
对称矩阵
Baidu Nhomakorabea
AT A
即
ai j a j i
a11 a12 a 1n a11 T a12 A a 1n
i, j 1, 2,, n
a1n a2 n ann
a21 an1 a11 a12 a22 an 2 a21 a22 a a a2 n ann n1 n 2 a21 an1 a22 an 2 a2 n ann a11 a21 A a n1
43相似矩阵—线性代数(吴赣昌-第四版)
当A的特征方程有重根时，它不一定有n个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化。
设 1, 2 ,L , s是矩阵A的所有特征值，重数分别为 m1, m2 ,L , ms ,
xj1, xj2 ,L , xjmj 是方程组
(A jE)x 0
的一个基础解系, j=1, 2, …, s, A的特征向量组为
,n ) (1,2 ,L
,
n
)
2
O
n
因而, Ai ii ,i 1, 2,L , n,
因为P (1,2 ,L
,n )可逆,故1,2 ,L
,
线性无关且
n
它们分别是A对应于特征值1,2,L ,n的特征向量。
设矩阵A有n个线性无关的特征向量 1,2 ,L ,n 它们对应的特征值分别为1，2，L ，n,则Ai ii ,
1
A(1 ,2 ,L
,n ) (1,2 ,L
,
n
)
2
O
n
即 AP PΛ
又1,2 ,L ,n线性无关 ,故P (1,2 ,L ,n )可逆
从而 P1AP Λ, 即A与Λ相似.
推论１若n阶方阵A有n个相异的特征值1, 2 ,L n， 则A可对角化，且A相似于diag(1, 2 ,L n ).
第四章 矩阵的特征值
第三节 相似矩阵
一、特征值和特征向量 二、特征值和特征向量的性质
设 1, 2 ,L , s是矩阵A的所有特征值，重数分别为 m1, m2 ,L , ms ,
xj1, xj2 ,L , xjmj 是方程组
(A jE)x 0
的一个基础解系, j=1, 2, …, s, A的特征向量组为
,n ) (1,2 ,L
,
n
)
2
O
n
因而, Ai ii ,i 1, 2,L , n,
因为P (1,2 ,L
,n )可逆,故1,2 ,L
,
线性无关且
n
它们分别是A对应于特征值1,2,L ,n的特征向量。
设矩阵A有n个线性无关的特征向量 1,2 ,L ,n 它们对应的特征值分别为1，2，L ，n,则Ai ii ,
1
A(1 ,2 ,L
,n ) (1,2 ,L
,
n
)
2
O
n
即 AP PΛ
又1,2 ,L ,n线性无关 ,故P (1,2 ,L ,n )可逆
从而 P1AP Λ, 即A与Λ相似.
推论１若n阶方阵A有n个相异的特征值1, 2 ,L n， 则A可对角化，且A相似于diag(1, 2 ,L n ).
第四章 矩阵的特征值
第三节 相似矩阵
一、特征值和特征向量 二、特征值和特征向量的性质
16实对称矩阵的相似对角化-线性代数重点
实对称矩阵的相似对角化一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质：,),,,(,)(21T n n n ij a a a a A ==⨯αT
A A A A ==为实对称阵，故由于性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。
,的特征值阶实对称矩阵是设A n λ（1）两端取转置，得：
T T T A αλα =α两端同时右乘ααλααλT T =⇒ λλααα=∴≠=02T 性质2：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向
量必定正交。
对一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向量线性无关。
T n a a a )
,,,(21 =α，
即是对应的特征向量αλα =A ,两边取共轭，得：)
1(αλα =A T T A α
λα =⇒ααλααT T A =⇒0)(=-⇒ααλλT
的特征向量。
的属于特征值征向量，求的特的属于特征值是），，（），，（个特征值，
的是三阶实对称方阵，，例：设11122,111311121-==-A A A T
T αα,
13213T x x x A ），，（的特征向量为的属于特征值设=-α正交，与213,ααα ⎩⎨⎧=++=++⇒0
220321321x x x x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122111A ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-→100111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→100011⎩⎨⎧=-=⇒0
312x x x T ），，（0113-=⇒α0,,2313==∴）（）（αααα
性质3：实对称矩阵A 的k 重特征值所对应的线性无关的特征向量恰有k 个。
由此推出：实对称矩阵A 一定与对角矩阵相似。
二、实对称矩阵的相似对角化：
线性代数4.3 实对称矩阵
（２）求特征向量
对于 1 2 1, 解方程组 E A X 0 得一个基础解系 1 2,1, 0T ,2 2, 0,1T 对于 3 10, 解方程组 10E A X 0 得一个基础解系 3 1, 2, 2T
（３）将特征向量组正交化
令 1 1 2,1, 0T
2
2
2 ,1 1,1
根据th4.8,对应特征值 i 恰有 ri 个线性无关的特征向量(i 1,2,L , s)
用施密特正交化然后再单位化,得到 ri 个正交的单位特征向量.
由th4.7知对应于不同特征值所对应的特征向量正交的, 故这n个单位特征向量是两两正交的。若以它们为列向量构成正交
矩阵P, 则 PAP P1AP diag(1, 2 ,L n )
(1) 实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数. (2) 奇数阶反对称阵对应的行列式为0.
(3) 非零的实反对称矩阵不可能相似于实对角矩阵.
补充：幂等矩阵
定义
设 A 为 n 阶方阵, 若满足 A2 A 则称 A 为幂等矩阵.
性质
(1) 幂等矩阵的特征值为0或1.
(2)
幂等矩阵一定相似于形如
Ir
0
0 0
第三节 实对称矩阵
一 对称矩阵
如果方阵A满足 AT A, 就称A为对称矩阵
例 如
110 11
0 3
03
3 2 4 2 0 7 4 7 5
对于 1 2 1, 解方程组 E A X 0 得一个基础解系 1 2,1, 0T ,2 2, 0,1T 对于 3 10, 解方程组 10E A X 0 得一个基础解系 3 1, 2, 2T
（３）将特征向量组正交化
令 1 1 2,1, 0T
2
2
2 ,1 1,1
根据th4.8,对应特征值 i 恰有 ri 个线性无关的特征向量(i 1,2,L , s)
用施密特正交化然后再单位化,得到 ri 个正交的单位特征向量.
由th4.7知对应于不同特征值所对应的特征向量正交的, 故这n个单位特征向量是两两正交的。若以它们为列向量构成正交
矩阵P, 则 PAP P1AP diag(1, 2 ,L n )
(1) 实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数. (2) 奇数阶反对称阵对应的行列式为0.
(3) 非零的实反对称矩阵不可能相似于实对角矩阵.
补充：幂等矩阵
定义
设 A 为 n 阶方阵, 若满足 A2 A 则称 A 为幂等矩阵.
性质
(1) 幂等矩阵的特征值为0或1.
(2)
幂等矩阵一定相似于形如
Ir
0
0 0
第三节 实对称矩阵
一 对称矩阵
如果方阵A满足 AT A, 就称A为对称矩阵
例 如
110 11
0 3
03
3 2 4 2 0 7 4 7 5
实对称矩阵一定可以相似对角化的证明
实对称矩阵一定可以相似对角化的证明
实对称矩阵是线性代数中非常重要的概念，它具有许多独特的性质。其中一个重要的性质是实对称矩阵一定可以相似对角化。在本文中，我们将证明这一性质，并解释其重要性。
让我们回顾一下对角化的概念。对角化是指将一个矩阵相似变换成对角矩阵的过程。对角矩阵是一种特殊的矩阵，它只在对角线上有非零元素，其他位置都是零。通过对角化，我们可以简化矩阵的运算，并更好地理解矩阵的性质。
现在让我们来证明实对称矩阵可以相似对角化的性质。假设A是一个n阶实对称矩阵，我们需要证明存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP是一个对角矩阵。
由于A是实对称矩阵，所以A一定可以对角化。也就是说，存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP是一个对角矩阵。我们设对角矩阵为D，即P^(-1)AP=D。我们可以进一步将D写成对角线上元素的形式，即D=diag(λ1, λ2, ..., λn)，其中λ1, λ2, ..., λn是A的特征值。
接下来，我们来证明对角线上元素都是实数。由于A是实对称矩阵，它的特征值一定是实数。因此，对角线上的元素λ1, λ2, ..., λn都是实数。
我们需要证明P也是实的。由于P是可逆矩阵，它的逆矩阵也是实的。因此，P是一个实矩阵。
我们证明了实对称矩阵可以相似对角化的性质。这个性质在实际应用中非常重要，因为它简化了矩阵的运算，并帮助我们更好地理解矩阵的结构和性质。
在实对称矩阵可以相似对角化的基础上，我们可以进一步研究实对称矩阵的特征值和特征向量，以及它们在线性代数和其他领域中的应用。通过深入理解实对称矩阵的性质，我们可以更好地解决实际问题，并推动数学和科学领域的发展。
Ch5.4实对称矩阵的相似对角化
实对称矩阵的元素
实对称矩阵的元素可以取任何实数值，包括正数、负数和零。
实对称矩阵的性质
实对称矩阵的特征值
01
实对称矩阵的特征值都是实数。
实对称矩阵的行列式
02
实对称矩阵的行列式$det(A)$是一个实数。
实对称矩阵的转置
03
实对称矩阵的转置仍为实对称矩阵。
02 实对称矩阵的相似对角化
相似矩阵的定义
特征值和特征向量的计算方法
特征多项式
对于给定的矩阵$A$，其特征 多项式定义为$f(lambda) = |A - lambda I|$，其中$I$是
单位矩阵。
特征值的求解
通过求解特征多项式 $f(lambda) = 0$，可以得到
矩阵$A$的特征值。
特征向量的求解
对于求得的每一个特征值 $lambda$，通过解线性方程 组$(A - lambda I)mathbf{x} = mathbf{0}$，可以得到对
对实对称矩阵进行相似变换
利用构造的相似变换矩阵对实对称矩 阵进行相似变换，得到相似对角化的 矩阵。
05 实对称矩阵的相似对角化 实例
二阶实对称矩阵的相似对角化实例
总结词
二阶实对称矩阵可以通过相似变换化为对角矩阵，特征值和特征向量是关键。
详细描述
对于二阶实对称矩阵，可以通过求解特征值和特征向量，找到一个可逆矩阵，使得该矩阵与原矩阵相似，即可以 将原矩阵化为对角矩阵。
实对称矩阵的元素可以取任何实数值，包括正数、负数和零。
实对称矩阵的性质
实对称矩阵的特征值
01
实对称矩阵的特征值都是实数。
实对称矩阵的行列式
02
实对称矩阵的行列式$det(A)$是一个实数。
实对称矩阵的转置
03
实对称矩阵的转置仍为实对称矩阵。
02 实对称矩阵的相似对角化
相似矩阵的定义
特征值和特征向量的计算方法
特征多项式
对于给定的矩阵$A$，其特征 多项式定义为$f(lambda) = |A - lambda I|$，其中$I$是
单位矩阵。
特征值的求解
通过求解特征多项式 $f(lambda) = 0$，可以得到
矩阵$A$的特征值。
特征向量的求解
对于求得的每一个特征值 $lambda$，通过解线性方程 组$(A - lambda I)mathbf{x} = mathbf{0}$，可以得到对
对实对称矩阵进行相似变换
利用构造的相似变换矩阵对实对称矩 阵进行相似变换，得到相似对角化的 矩阵。
05 实对称矩阵的相似对角化 实例
二阶实对称矩阵的相似对角化实例
总结词
二阶实对称矩阵可以通过相似变换化为对角矩阵，特征值和特征向量是关键。
详细描述
对于二阶实对称矩阵，可以通过求解特征值和特征向量，找到一个可逆矩阵，使得该矩阵与原矩阵相似，即可以 将原矩阵化为对角矩阵。
线性代数第4章相似矩阵及二次型课件
一、向量的内积、长度
定义 1
x1 y1
设有
n
维向量
x
x2
,
y
y2
，
令
xn yn
x, y xT y x1 y1 x2 y2 xn yn， 称 x, y 为向量 x 与 y 的内积.
内积的性质（其中 x, y 与 z 都是 n 维列向量， 为实数）：
(i) x, y y, x；
四、正交矩阵
(1) (3) ：
因为 AT A E 与 AAT
E 等价， 所以将矩阵 按行分块
1T
T 2
，
T n
于是公式 AAT E 可表示为
T
1T
T 2
1
,
2
,
1
,
n
0
0 1
T n
0
0
0
0
，
1
所以
T i
j
ij
1, 0,
当i j, 当i j
i, j 1, 2,
证明 (i)与(ii)是显然的，下面证明(iii). 因为 x y 2 x y, x y x, x 2 x, y y, y，
由施瓦茨不等式,有 x, y x, x y, y ，
一、向量的内积、长度
从而
x y 2 x, x 2 x, x y, y y, y x 2 2 x y y 2 x y 2，
线性代数44实对称矩阵对角化
其中
s
f ( ) | E A | ( i )ki , i 1
i j (i j), 而且
s
ki n.
i 1
课件
9
2. 对 每 个 i求 正 交 单 位 特 征 向 量 ,
即求
iEAX 0
的基础解系
i1,i2,L , iki (i 1,2,L ,s);
然后再将
i1,i2,L,iki
课件
19
(2) 对 于 10,解 方 程 组 (1EA)X0,
1 1 1 1 1 1
1EAA1 1 10 0 0
1 1 1 0 0 0
得 到 同 解 方 程 组 为
x1x2x3,
课件
20
令
x2 x3
0 1,
0 1,
得到基础解系
1
1
1 1
,2 0
0
1
课件
21
将1, 2 正交化
1
1 1 1
12,p1Tp20. 即p1与p2正交 .
课件
7
定 理 设 A 为 n 阶 实 对 称 矩 阵 , 是 A 的 k 重 特 征 值 ,
则 :
( 1 ) 必 有 k 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 ;
( 2 ) 将 它 们 正 交 化 , 单 位 化 后 , 得 到 的 k 个 相 互 正 交 的
上海财经大学线性代数第六章习题
第六章习题课
一、利用特征值定义及性质的求矩阵的特征值
(1) λ1+λ２+…+λn = tr(A )， λ1λ２…λn = |A |,
(2)λ→ A 的特征值，则g (λ) g (A )＝a →t A t +a t-1A t-1 +…+a 1A +a 0I
(3) A 可逆iff A 的特征值均不为零. (|A|=0 iff 零是A 的一个特征值)
（4）A 与A T 有相同的特征值，但特征向量一般不同；可逆矩阵A 与A -1之间的特征值成倒数关系，且对应的特征向量相同。
（5）相似矩阵的特征值相同
例1 填空题
（1）设矩阵A 满足等式A 2-3A +2E =0, 则A 的特征值取值范围为 。
（2）设A 是三阶矩阵，0)(,0||,0||==+=A tr E A A ，则A 的特征值为 。
（3）设P 是n 阶可逆矩阵，B=P -1AP- P AP -1, 则B 的特征值之和 。
（4）已知|A |=E A B b a 2,01
1121
3
3=+=−−−−, 则B 的一个特征值是 。 例2 选择题
（5）设C=, 则C 的特征值是（ ）
⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛110101011 (A) 1，0，1； (B) 1，1，2；
（C ） -1，1，2； （D ）-1，1，1.
（6）设A 是n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征值，则A 的伴随矩阵A *的特征值之一是（ ）
(A) λ-1|A |; (B) λ|A |-1
; (C) λ|A | ; (D) λn A ||.
二、相似对角化
（1） n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量.（即A 的k 重特征根有k 个线性无关的特征向量）
线性代数矩阵的相似对角化与特征值分解
线性代数矩阵的相似对角化与特征值分解
线性代数是现代数学的一个重要分支，研究向量空间、线性变换和
矩阵等代数结构及其相互关系。在线性代数中，矩阵是一种重要的数
学工具，而矩阵的相似对角化与特征值分解是矩阵理论中的两个重要
概念。
一、矩阵的相似对角化
在线性代数中，给定一个方阵A，如果存在一个非奇异矩阵P，使
得P的逆矩阵存在且AP=PD，其中D为对角矩阵，那么称矩阵A与对角矩阵D相似，并称P为可逆矩阵P的逆变形式。
相似对角化的概念其实是在矩阵的变相似的基础上提出的，即可以
通过改变坐标系，将一个矩阵转化为对角矩阵。这种转化有助于简化
矩阵的运算和分析，使得问题变得更加清晰和易于解决。
在相似对角化的过程中，对角矩阵D的对角元素就是矩阵A的特
征值。通过矩阵的特征值和特征向量可以得到矩阵的相似对角化形式。相似对角化的好处之一是可以在一定程度上简化矩阵的计算，比如求
矩阵的幂等运算、矩阵的矢量和等。
二、特征值分解
特征值分解是矩阵理论中的另一个重要概念。给定一个方阵A，如
果存在一个对角矩阵D和一个可逆矩阵P，使得P的逆矩阵存在且
A=PDP^-1，那么称矩阵A存在特征值分解。
特征值分解的概念可以看作是相似对角化的一种特殊情况，即P也
是矩阵A的特征向量构成的矩阵。因此，特征值分解可以理解为一种
将矩阵A分解为特征值和特征向量的表达方式。
特征值分解不仅可以用来描述矩阵的性质和特点，而且在很多实际
问题中有广泛的应用。比如在机器学习中，特征值分解可以用来降维
和特征提取。在信号处理中，特征值分解可以用于频谱分析和滤波器
设计。
线性代数-实对称矩阵的对角化
0
特征向量 1(2,1,2)T,
24
3 2 4
EA 2 6 2 (2)(7)2,
4 2 3
4
对2
7，7E
A
2
2 1
4 2 2 0
1 0
2 0 ,
4
2
4
0 0 0
特征向量 2(1,2,0)T,3(1,0,1)T,
1 1
3
0 1
1
5
2 0
1 5
4 2 5
,
3
的 内 积 (,)定 义 为 ：
(,) a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n T .
向量的内积具有如下基本特性：
(1)(,)(,)
( 2 ) ( ,) ( ,) ( ,)
( 3 ) ( k ,) k (,) （ k 为 实 数 ）
(4)(,)0， (,) 0 当 且 仅 当 。 证略.
3
定义 记 (,)， 称 为 向 量 的 长 度 。
由定义可知 a12a22 an2.
向量长度的性质:
( 1 ) 0 ， 0 当 且 仅 当 0 ；
( 2 ) k k, （ k为 实 数 ）
如 果 1 ， 则 称 为 单 位 向 量 。
例1 证 明 ： 对 任 意 非 零 向 量， 1 为 单 位 向 量 。
1 (2) 记 P 1
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T T
性质1的意义 性质1 由于实对称矩阵 A的特征值 λ i 为实数 , 所以齐次
线性方程组 ( A λ i E)x = 0
系, 从而对应的特征向量可 以取实向量 .
是实系数方程组 ,由 A λ i E = 0知必有实的基础解
推论 n 阶实对称矩阵有 n 个实特征值
（重根按重数计算） 重根按重数计算） 注意：一般 阶实矩阵的特征值虽然一定有 阶实矩阵的特征值虽然一定有n个 重根 注意：一般n阶实矩阵的特征值虽然一定有 个(重根 按重数计算)，但不一定都是实数。 按重数计算 ，但不一定都是实数。
1
Τ
1 2 2 例1 ：设A = 2 2 4 2 4 2 (1)求可逆阵P，使P 1 AP为对角阵。 (2)求正交阵Q，使Q 1 AQ为对角阵。 1 λ A λE = 2 2 2 2λ 4 2 4 2λ
2
= ( λ + 7)( λ 2)
λ1 = 7, λ2 = λ3 = 2.
Q A对称, A = AT ,
∴ λ1 p1 = (λ1 p1 ) = ( Ap1 ) = p1 T AT = p1 T A,
T T T
(λ 2 p2 ) = λ 2 p1T p2 , 于是 λ1 p p2 = p Ap2 = p
T 1 T 1 T 1
(λ1 λ 2 ) p1T p2 = 0.
Q λ1 ≠ λ2 , ∴ p p2 = 0. 即p1与p2正交.
1 0 ξ 2 = 0 , ξ 3 = 1 . ξ 2与ξ 3 恰好正交 , 0 1
所以 ξ1 , ξ 2 , ξ 3两两正交 .
ξi (i = 1,2,3)得 再将 ξ1 , ξ 2 , ξ 3单位化 , 令η i = ξi
0 1 0 η1 = 1 2 , η2 = 0 , η3 = 1 2 . 1 2 0 1 2
性质3： 性质 ：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性 无关的特征向量恰有k个。
性质3也可叙述为： 性质 也可叙述为： 也可叙述为
设 A为 n阶对称矩阵, λ0 是A的特征方程的k重根, 则矩阵 A λ0 E 的秩 r ( A λ0 E ) = n k , 从而 对应特征值 λ0 恰有k 个线性无关的特征向量.
T 1
例：设1 1 1是三阶实对称方阵A的3个特征值， ， ，
α1 = 1，1）, α 2 = 2， 1）是A的属于特征值1的 （ 1 ， （ 2，
T T
特征向量，求A的属于特征值 1的特征向量。
T 设A的属于特征值 1的特征向量为 α 3 = x1，x2，x3） , （
∴ = Qα 3与α1 ,α 2正交， （ α 3 , α 1） （ α 3 , α 2）= 0
P AP = P AP = Λ 其中对角矩阵 Λ的对角元素含 r1 个 λ1 ,L , rs 个λ s , 恰
是A的n个特征值 .
这个定理说明了使实对称矩阵A化为对角阵的正交矩阵 的存 这个定理说明了使实对称矩阵 化为对角阵的正交矩阵P的存 化为对角阵的正交矩阵 在性，下面讨论这个矩阵P怎么求 怎么求？ 在性，下面讨论这个矩阵 怎么求？
1 1 A 例： = 1 0
1 3 + i 2 2 Λ= 0 0 1 3 i 2 2
性质2： 性质 ：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征 向量必定正交。
设λ1 , λ2 是 实 对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2 是对应的特征向量 , 若λ1 ≠ λ2 , 则p1与p2正交 . 证明 λ1 p1 = Ap1 , λ2 p2 = Ap2 , λ1 ≠ λ2 ,
的排列顺序一致。 要与特征向量 η1 ,η 2 ,L ,η n 的排列顺序一致。
对下列各实对称矩阵， 例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P ， 为对角阵. 使 P 1 AP为对角阵 2 2 0 4 0 0 (1) A = 2 1 2 , ( 2 ) A = 0 3 1 0 2 0 0 1 3 解 (1)第一步 第一步 求 A 的特征值
对 λ2 = 1,由( A E ) x = 0, 得
x1 + 2 x2 = 0 2 x1 + 2 x3 = 0 2x + x = 0 2 3
2 解之得基础解系 ξ 2 = 1 . 2
对 λ3 = 2,由( A + 2 E ) x = 0, 得
1 4 x1 + 2 x2 = 0 2 x1 3 x2 + 2 x3 = 0 解之得基础解系ξ 3 = 2 . 2 2x 2x = 0 2 3
x1 + x2 + x3 = 0 2 x1 + 2 x2 + x3 = 0 1 1 1 → 1 1 1 → 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1
x2 = x1 α 3 = 1， 1， T （ 0） x3 = 0
对于一般矩阵， 对于一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向 量线性无关，但不一定是正交的； 量线性无关，但不一定是正交的；实对称矩阵相异特 征值所对应的特征向量不仅线性无关，而且彼此正交。 征值所对应的特征向量不仅线性无关，而且彼此正交。
由此推出：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。 由此推出：实对称矩阵 一定与对角矩阵相似。 一定与对角矩阵相似
二、实对称矩阵的相似对角化： 实对称矩阵的相似对角化：
定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似 一定与对角矩阵相似。 定理 ：实对称矩阵 一定与对角矩阵相似。 定理2：实对称矩阵A一定与对角矩阵正交相似 一定与对角矩阵正交相似。 定理 ：实对称矩阵 一定与对角矩阵正交相似。
(ii ) 对每一个重特征值λi，求出对应的ri 个线性无关的特 征向量ξ i1 , ξ i 2 , L , ξ iri ； = 1,2, L , m ),由性质知∑ ri = n. (i
i =1 m
(iii ) 用施密特正交化方法将每一个重特征值λi 所对应的 ri 个线性无关的特征向量ξ i1 , ξ i 2 , L , ξ iri ； = 1,2, L , m ) (i 先正交化再单位化为ηi1 ,ηi 2 , L ,ηiri ； = 1,2, L , m )， (i 它们仍为属于λi的特征向量。
λ1 = 7的特征向量为 ξ1 = (1， 2 ) T . 2， 的线性无关的特征向量为： λ2 = 2 的线性无关的特征向量为： ξ 2 = ( 2,1,0)T , ξ 3 = ( 2,0,1)T
7 1 P AP = Λ = 1 2 T 将 ξ1 = (1， 2 ) 单位化，得： η1 = ， ， 2， （ 3 3 T T 将ξ 2 = ( 2,1,0) , ξ 3 = ( 2,0,1) 正交化，得：
T
P = (ξ1 ξ 2
1 2 2 ξ3 ) = 2 1 0 2 0 1
2 2
2 T ）. 3
（ξ 3，β 2） 1 β 2 = ξ 2 = ( 2,1,0) ，β 3 = ξ 3 β 2 = ( 2,4,5)T （β 2，β 2） 5
再单位化， 再单位化，得：
2 1 2 4 5 T T , η2 = ( ,0) ，η3 = ( , , ) 5 5 3 5 3 5 3 5
(iv ) 将上面求得的正交单位 向量作为列向量，排成 一个 n阶方阵Q，则Q即为所求的正交方阵。 此时 Q 1 AQ = Q T AQ = Λ为对角阵。
即：
λ1 λ2 1 Q AQ = Λ = .... λn 1 λn
必须注意： 必须注意：对角阵中 λ1 , λ2 ,L , λn 的顺序
由于A为实对称阵，故 A = A = A
T T T
T (1)两端取转置，得： 两端取转置， 两端取转置
α A = λoα α A = λoα 两端同时右乘 α α T Aα = λoα T α λoα T α = λoα T α 2 T T ( λo λo )α α = 0 Q α α = α ≠ 0 ∴ λo = λo
则
4 0 0 ( 2) A = 0 3 1 0 1 3 4λ A λE = 0 0 0 3λ 1 0
2 1 = (2 λ )(4 λ ) , 3λ
得特征值 λ1 = 2, λ2 = λ3 = 4.
0 对 λ1 = 2,由( A 2 E ) x = 0, 得基础解系 ξ1 = 1 1 对 λ 2 = λ 3 = 4,由( A 4 E ) x = 0, 得基础解系
设A为n阶对称矩阵 , 则必有正交矩阵 P, 使P 1 AP = Λ , 其中 Λ 是以 A的 n 个特征值为对角元素的 对角矩阵 .
证明 设A 的互不相等的特征值为 λ1 , λ2 ,L, λ s , 它们的重数依次为 r1 , r2 ,L, rs ( r1 + r2 + L + rs = n). 根据性质1（实对称矩阵的特征值为实数） 根据性质 （实对称矩阵的特征值为实数）和 性质3(实对称矩阵 实对称矩阵A的 重特征值所对应的线性无关 性质 实对称矩阵 的k重特征值所对应的线性无关 的特征向量恰有k个 可得 可得： 的特征向量恰有 个)可得：
1 3 2 η3 ) = 3 2 3 2 5 1 5 0 2 3 5 4 3 5 5 3 5
Q = (η1 η 2
7 1 Q AQ = Λ = 2 2
用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤： 用正交阵将实对称矩阵 化为对角阵的步骤： 化为对角阵的步骤 (i ) 求出A的所有相异的特征值λ1 , λ2 , L , λm ;
对应特征值 λ i ( i = 1,2,L , s ), 恰有 r i 个线性无 关的实特征向量 , 把它们正交化并单位化 ,即得 r i 个 单位正交的特征向量 . 由r1 + r2 + L + rs = n知,
这样的特征向量共可得 n 个. 由性质2知对应于不同特征值的特征向量正交， 由性质 知对应于不同特征值的特征向量正交， 故这 n 个单位特征向量两两正交 个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵 P ，则
来自百度文库
0 2 A λE = 2 1 λ 2 = (4 λ )(λ 1)(λ + 2) = 0 0 2 λ 得 λ1 = 4, λ2 = 1, λ3 = 2.
2λ
( A 第二步 由 A λi E) x = 0,求出 的特征向量
对 λ1 = 4,由( A 4 E ) x = 0, 得
2 x1 + 2 x2 = 0 2 2 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 0 解之得基础解系 ξ1 = 2 . 1 2x + 4x = 0 2 3
第三步 将特征向量正交化 由于ξ 1 , ξ 2 , ξ 3是属于 A的3个不同特征值 λ1 , λ 2 ,
λ3的特征向量 , 故它们必两两正交 .
第四步 将特征向量单位化
ξi 令 ηi = , i = 1,2,3. ξi
23 2 3 1 3 η2 = 1 3 , η = 2 3 . 得 η1 = 2 3 , 3 2 3 1 3 2 3 2 2 1 1 1 2 , 作 P = (η1 , η 2 , η 3 ) = 2 3 1 2 2 4 0 0 1 P AP = 0 1 0 . 0 0 2
4.3 实对称矩阵的相似对角化
一 实对称矩阵特征值与特征向量的性质 二 实对称矩阵相似对角化 三 矩阵的合同
一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 性质1 实对称矩阵的特征值都是实数。 性质 ：实对称矩阵的特征值都是实数。 设λo是n阶实对称矩阵 A的特征值, α = ( a1 , a 2 , L , a n )T 两边取共轭，得： 是对应的特征向量 , 即Aα = λoα， A α = λoα (1) A = ( aij ) n × n , α = ( a1 , a 2 , L , a n )T ,
性质1的意义 性质1 由于实对称矩阵 A的特征值 λ i 为实数 , 所以齐次
线性方程组 ( A λ i E)x = 0
系, 从而对应的特征向量可 以取实向量 .
是实系数方程组 ,由 A λ i E = 0知必有实的基础解
推论 n 阶实对称矩阵有 n 个实特征值
（重根按重数计算） 重根按重数计算） 注意：一般 阶实矩阵的特征值虽然一定有 阶实矩阵的特征值虽然一定有n个 重根 注意：一般n阶实矩阵的特征值虽然一定有 个(重根 按重数计算)，但不一定都是实数。 按重数计算 ，但不一定都是实数。
1
Τ
1 2 2 例1 ：设A = 2 2 4 2 4 2 (1)求可逆阵P，使P 1 AP为对角阵。 (2)求正交阵Q，使Q 1 AQ为对角阵。 1 λ A λE = 2 2 2 2λ 4 2 4 2λ
2
= ( λ + 7)( λ 2)
λ1 = 7, λ2 = λ3 = 2.
Q A对称, A = AT ,
∴ λ1 p1 = (λ1 p1 ) = ( Ap1 ) = p1 T AT = p1 T A,
T T T
(λ 2 p2 ) = λ 2 p1T p2 , 于是 λ1 p p2 = p Ap2 = p
T 1 T 1 T 1
(λ1 λ 2 ) p1T p2 = 0.
Q λ1 ≠ λ2 , ∴ p p2 = 0. 即p1与p2正交.
1 0 ξ 2 = 0 , ξ 3 = 1 . ξ 2与ξ 3 恰好正交 , 0 1
所以 ξ1 , ξ 2 , ξ 3两两正交 .
ξi (i = 1,2,3)得 再将 ξ1 , ξ 2 , ξ 3单位化 , 令η i = ξi
0 1 0 η1 = 1 2 , η2 = 0 , η3 = 1 2 . 1 2 0 1 2
性质3： 性质 ：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性 无关的特征向量恰有k个。
性质3也可叙述为： 性质 也可叙述为： 也可叙述为
设 A为 n阶对称矩阵, λ0 是A的特征方程的k重根, 则矩阵 A λ0 E 的秩 r ( A λ0 E ) = n k , 从而 对应特征值 λ0 恰有k 个线性无关的特征向量.
T 1
例：设1 1 1是三阶实对称方阵A的3个特征值， ， ，
α1 = 1，1）, α 2 = 2， 1）是A的属于特征值1的 （ 1 ， （ 2，
T T
特征向量，求A的属于特征值 1的特征向量。
T 设A的属于特征值 1的特征向量为 α 3 = x1，x2，x3） , （
∴ = Qα 3与α1 ,α 2正交， （ α 3 , α 1） （ α 3 , α 2）= 0
P AP = P AP = Λ 其中对角矩阵 Λ的对角元素含 r1 个 λ1 ,L , rs 个λ s , 恰
是A的n个特征值 .
这个定理说明了使实对称矩阵A化为对角阵的正交矩阵 的存 这个定理说明了使实对称矩阵 化为对角阵的正交矩阵P的存 化为对角阵的正交矩阵 在性，下面讨论这个矩阵P怎么求 怎么求？ 在性，下面讨论这个矩阵 怎么求？
1 1 A 例： = 1 0
1 3 + i 2 2 Λ= 0 0 1 3 i 2 2
性质2： 性质 ：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征 向量必定正交。
设λ1 , λ2 是 实 对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2 是对应的特征向量 , 若λ1 ≠ λ2 , 则p1与p2正交 . 证明 λ1 p1 = Ap1 , λ2 p2 = Ap2 , λ1 ≠ λ2 ,
的排列顺序一致。 要与特征向量 η1 ,η 2 ,L ,η n 的排列顺序一致。
对下列各实对称矩阵， 例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P ， 为对角阵. 使 P 1 AP为对角阵 2 2 0 4 0 0 (1) A = 2 1 2 , ( 2 ) A = 0 3 1 0 2 0 0 1 3 解 (1)第一步 第一步 求 A 的特征值
对 λ2 = 1,由( A E ) x = 0, 得
x1 + 2 x2 = 0 2 x1 + 2 x3 = 0 2x + x = 0 2 3
2 解之得基础解系 ξ 2 = 1 . 2
对 λ3 = 2,由( A + 2 E ) x = 0, 得
1 4 x1 + 2 x2 = 0 2 x1 3 x2 + 2 x3 = 0 解之得基础解系ξ 3 = 2 . 2 2x 2x = 0 2 3
x1 + x2 + x3 = 0 2 x1 + 2 x2 + x3 = 0 1 1 1 → 1 1 1 → 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1
x2 = x1 α 3 = 1， 1， T （ 0） x3 = 0
对于一般矩阵， 对于一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向 量线性无关，但不一定是正交的； 量线性无关，但不一定是正交的；实对称矩阵相异特 征值所对应的特征向量不仅线性无关，而且彼此正交。 征值所对应的特征向量不仅线性无关，而且彼此正交。
由此推出：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。 由此推出：实对称矩阵 一定与对角矩阵相似。 一定与对角矩阵相似
二、实对称矩阵的相似对角化： 实对称矩阵的相似对角化：
定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似 一定与对角矩阵相似。 定理 ：实对称矩阵 一定与对角矩阵相似。 定理2：实对称矩阵A一定与对角矩阵正交相似 一定与对角矩阵正交相似。 定理 ：实对称矩阵 一定与对角矩阵正交相似。
(ii ) 对每一个重特征值λi，求出对应的ri 个线性无关的特 征向量ξ i1 , ξ i 2 , L , ξ iri ； = 1,2, L , m ),由性质知∑ ri = n. (i
i =1 m
(iii ) 用施密特正交化方法将每一个重特征值λi 所对应的 ri 个线性无关的特征向量ξ i1 , ξ i 2 , L , ξ iri ； = 1,2, L , m ) (i 先正交化再单位化为ηi1 ,ηi 2 , L ,ηiri ； = 1,2, L , m )， (i 它们仍为属于λi的特征向量。
λ1 = 7的特征向量为 ξ1 = (1， 2 ) T . 2， 的线性无关的特征向量为： λ2 = 2 的线性无关的特征向量为： ξ 2 = ( 2,1,0)T , ξ 3 = ( 2,0,1)T
7 1 P AP = Λ = 1 2 T 将 ξ1 = (1， 2 ) 单位化，得： η1 = ， ， 2， （ 3 3 T T 将ξ 2 = ( 2,1,0) , ξ 3 = ( 2,0,1) 正交化，得：
T
P = (ξ1 ξ 2
1 2 2 ξ3 ) = 2 1 0 2 0 1
2 2
2 T ）. 3
（ξ 3，β 2） 1 β 2 = ξ 2 = ( 2,1,0) ，β 3 = ξ 3 β 2 = ( 2,4,5)T （β 2，β 2） 5
再单位化， 再单位化，得：
2 1 2 4 5 T T , η2 = ( ,0) ，η3 = ( , , ) 5 5 3 5 3 5 3 5
(iv ) 将上面求得的正交单位 向量作为列向量，排成 一个 n阶方阵Q，则Q即为所求的正交方阵。 此时 Q 1 AQ = Q T AQ = Λ为对角阵。
即：
λ1 λ2 1 Q AQ = Λ = .... λn 1 λn
必须注意： 必须注意：对角阵中 λ1 , λ2 ,L , λn 的顺序
由于A为实对称阵，故 A = A = A
T T T
T (1)两端取转置，得： 两端取转置， 两端取转置
α A = λoα α A = λoα 两端同时右乘 α α T Aα = λoα T α λoα T α = λoα T α 2 T T ( λo λo )α α = 0 Q α α = α ≠ 0 ∴ λo = λo
则
4 0 0 ( 2) A = 0 3 1 0 1 3 4λ A λE = 0 0 0 3λ 1 0
2 1 = (2 λ )(4 λ ) , 3λ
得特征值 λ1 = 2, λ2 = λ3 = 4.
0 对 λ1 = 2,由( A 2 E ) x = 0, 得基础解系 ξ1 = 1 1 对 λ 2 = λ 3 = 4,由( A 4 E ) x = 0, 得基础解系
设A为n阶对称矩阵 , 则必有正交矩阵 P, 使P 1 AP = Λ , 其中 Λ 是以 A的 n 个特征值为对角元素的 对角矩阵 .
证明 设A 的互不相等的特征值为 λ1 , λ2 ,L, λ s , 它们的重数依次为 r1 , r2 ,L, rs ( r1 + r2 + L + rs = n). 根据性质1（实对称矩阵的特征值为实数） 根据性质 （实对称矩阵的特征值为实数）和 性质3(实对称矩阵 实对称矩阵A的 重特征值所对应的线性无关 性质 实对称矩阵 的k重特征值所对应的线性无关 的特征向量恰有k个 可得 可得： 的特征向量恰有 个)可得：
1 3 2 η3 ) = 3 2 3 2 5 1 5 0 2 3 5 4 3 5 5 3 5
Q = (η1 η 2
7 1 Q AQ = Λ = 2 2
用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤： 用正交阵将实对称矩阵 化为对角阵的步骤： 化为对角阵的步骤 (i ) 求出A的所有相异的特征值λ1 , λ2 , L , λm ;
对应特征值 λ i ( i = 1,2,L , s ), 恰有 r i 个线性无 关的实特征向量 , 把它们正交化并单位化 ,即得 r i 个 单位正交的特征向量 . 由r1 + r2 + L + rs = n知,
这样的特征向量共可得 n 个. 由性质2知对应于不同特征值的特征向量正交， 由性质 知对应于不同特征值的特征向量正交， 故这 n 个单位特征向量两两正交 个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵 P ，则
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0 2 A λE = 2 1 λ 2 = (4 λ )(λ 1)(λ + 2) = 0 0 2 λ 得 λ1 = 4, λ2 = 1, λ3 = 2.
2λ
( A 第二步 由 A λi E) x = 0,求出 的特征向量
对 λ1 = 4,由( A 4 E ) x = 0, 得
2 x1 + 2 x2 = 0 2 2 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 0 解之得基础解系 ξ1 = 2 . 1 2x + 4x = 0 2 3
第三步 将特征向量正交化 由于ξ 1 , ξ 2 , ξ 3是属于 A的3个不同特征值 λ1 , λ 2 ,
λ3的特征向量 , 故它们必两两正交 .
第四步 将特征向量单位化
ξi 令 ηi = , i = 1,2,3. ξi
23 2 3 1 3 η2 = 1 3 , η = 2 3 . 得 η1 = 2 3 , 3 2 3 1 3 2 3 2 2 1 1 1 2 , 作 P = (η1 , η 2 , η 3 ) = 2 3 1 2 2 4 0 0 1 P AP = 0 1 0 . 0 0 2
4.3 实对称矩阵的相似对角化
一 实对称矩阵特征值与特征向量的性质 二 实对称矩阵相似对角化 三 矩阵的合同
一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 性质1 实对称矩阵的特征值都是实数。 性质 ：实对称矩阵的特征值都是实数。 设λo是n阶实对称矩阵 A的特征值, α = ( a1 , a 2 , L , a n )T 两边取共轭，得： 是对应的特征向量 , 即Aα = λoα， A α = λoα (1) A = ( aij ) n × n , α = ( a1 , a 2 , L , a n )T ,