第四章 同余方程

例4 解同余方程6x 7 (mod 23)。 解 由例3，依次得到
6x 7 (mod 23) 5x 73 2 (mod 23) 3x 24 8 (mod 23) 2x 8(7) 10 (mod 23) x 5 (mod 23)。
第一节 同余方程的基本概念
第一节 同余方程的基本概念
定理2 设a，b是整数, a 0 (mod m). 则同余方
程
ax b (mod m) (2)
有解的充要条件是(a, m)b。若有解，则恰有d
= (a, m)个解。 证明 显然，同余方程(2)等价于不定方程 ax my = b， (3)
第一节 同余方程的基本概念
(9)
有解的充要条件是 a1 a2 (mod (m1, m2))。 (10) 若有解，则对模[m1, m2]是唯一的，即若x1与x2
都是同余方程组(9)的解，则
x1 x2 (mod [m1, m2])。 (11)
第一节 同余方程的基本概念
证明 必要性是显然的。下面证明充分性。
若式(10)成立，由定理2，同余方程
因此，第一个结论可由第四章第一节定理 1得出。 若同余方程(2)有解x0 ，则存在y0 ，使得x0 与y0 是方程(3)的解，此时，方程(3)的全部解是
m t x x0 (a , m ) t Z. a y y t 0 (a , m )
(4)
第一节 同余方程的基本概念
m2y a1 a2 (mod m1)
有解y y0 (mod m1)，记x0 = a2 m2y0，则
x0 a2 (mod m2) 并且 x0 = a2 m2y0 a2 a1 a2 a1 (mod m1)， 因此x0是同余方程组的解。
第一节 同余方程的基本概念
若x1与x2都是方程组(9)的解，则 x1 x2 (mod m1)，x1 x2 (mod m2)， 由同余的基本性质，得到式(11)。
习题一
1. 证明定理1。 2. 解同余方程： (ⅰ) 31x 5 (mod 17)； (ⅱ) 3215x 160 (mod 235)。 3. 解同余方程组：
3 x 5 y 38 (mod 47 )。 x y 10 (mod 47 )
习题一
4. 设p是素数，0 < a < p，证明：
第四章 同余方程
• 本章主要介绍同余方程的基础知识, 并介绍几类特殊的同余方程的解法.
第一节 同余方程的基本概念
本节要介绍同余方程的基本概念及一次同
余方程。 在本章中，总假定m是正整数。
定义1 设f(x) = anxn a1x a0是整系数多 项式，称
f(x) 0 (mod m)
例2 解同余方程
325x 20 (mod 161)
解 同余方程(6)即是 3x 20 (mod 161)。 解同余方程 161y 20 (mod 3)， 2y 1 (mod 3)， 得到y 2 (mod 3)，因此方程(6)的解是 x 20 2 161 = 114 (mod 161)。
第一节 同余方程的基本概念
x 0， x 0 m d ， x0 2m d ， ， x0 (d 1)m d
对于模m是两两不同余的，所以同余方程 (2)恰有d个解。证毕。 在定理的证明中，同时给出了解方程(2) 的方法，但是，对于具体的方程(2)，常常可 采用不同的方法去解。
第一节 同余方程的基本概念
例5 设(a, m) = 1，并且有整数 > 0使得 a 1 (mod m)，
则同余方程(2)的解是
x ba 1 (mod m)。 解 直接验证即可。 x ba(m) 1 (mod m) 总是同余方程(2)的解。
注: 由例5及Euler定理可知，若(a, m) = 1，则
m的同余方程。 若an 0 (mod m)，则称为n次同余方程。
(1)
是关于未知数x的模m的同余方程，简称为模
第一节 同余方程的基本概念
定义2 设x0是整数, 当x = x0时式(1)成立, 则称x0
是同余方程(1)的解. 凡对于模m同余的解, 被
视为同一个解. 同余方程(1)的解数是指它的
x b( 1)
a 1
( p 1 )( p 2 ) ( p a 1 )(mod a!
p)。
是同余方程ax b (mod p)的解。
习题一
5. 证明：同余方程a1x1 a2x2 anxn b (mod m)有解的充要条件是 (a1, a2, , an, m) = db。 若有解，则恰有dmn 1个解，mod m。 6. 解同余方程：2x 7y 5 (mod 12)。
第一节 同余方程的基本概念
再代入(8)的前一式得到
3x 10 1 (mod 7)，
x 4 (mod 7)。
即同余方程组(8)的解是:
x 4，y 2 (mod 7).
第一节 同余方程的基本概念
例8 设a1，a2是整数，m1，m2是正整数，证明： 同余方程组
x a 1 (mod m 1 ) x a 2 (mod m 2 )
3
(6)
第一节 同余方程的基本概念
例3 设a > 0，且(a, m) = 1，a1是m对模a的最 a1x b [ ] (mod m)
m a
小非负剩余，则同余方程
(7) 等价于同余方程(2)。
解 设x是(2)的解，则由m =
a1 x
a[
m a
] a1得到
m a
(m
a[
m a
]) x
ax [
m a
]
b[
(mod m)， ]
即x是同余方程(7)的解。
第一节 同余方程的基本概念
但是由假设条件可知同余方程(2)与(7)都
有且只有一个解.所以这两个同余方程等价.
注：用本例的方法，可以将同余方程(2)转化成 未知数的系数更小一些的同余方程，从而易 于求解。
第一节 同余方程的基本概念
第一节 同余方程的基本概念
例7 解同余方程组
3 x 5 y 1 (mod 7 ) 2 x 3 y 2 (mod 7 )
.
(8)
解
将(8)的前一式乘以2后一式乘以3再相减得 19y 4 (mod 7)，
到 5y 4 (mod 7)，
y 2 (mod 7)。
由式(4)所确定的x都满足方程(2)。记d = (a, m)， 以及
t = dq r，qZ，r = 0, 1, 2, , d 1，
则 x = x0 qm (mod m)，0 r d 1。 容易验证，当r = 0, 1, 2, , d 1时，相应的解
x 0， x 0 m d ， x0 2m d ， ， x0 (d 1)m d
第一节 同余方程的基本概念
例6 解同余方程 81x3 24x2 5x 23 0 (mod 7)。 解 原同余方程即是 3x3 3x2 2x 2 0 (mod 7)。 用x = 0，1，2，3逐个代入验证，得到它的 解是 x1 1，x2 2，x3 2 (mod 7)。 注: 本例使用的是最基本的解同余方程的方法, 一般说来, 它的计算量太大, 不实用.
(5)
的解, 这有两个便利之处：第一 , 将一个对于大
模m的同余方程转化为一个对于小模a的同余
方程, 因此有可能通过对模a的完全剩余系进 行逐个验证, 以求出方程(5)和(2)的解; 第二, 设m r (mod a), r < a, 则又可继续转化成一 个对于更小的模r的同余方程.
第一节 同余方程的基本概念
bf(x) 0 (mod m) 等价;
第一节 同余方程的基本概念
(ⅲ) 设m是素数, f(x) = g(x)h(x), g(x)与h(x)都
是整系数多项式, 又设x0是同余方程(1)的解,
则x0必是同余方程
g(x) 0 (mod m) 或 h(x) 0 (mod m)
的解. 证明 留做习题。 下面，我们来研究一次同余方程的解。
关于模m互不同余的所有解的个数, 也即在模
m的一个完全剩余系中的解的个数.
由定义2，同余方程(1)的解数不超过m。
第一节 同余方程的基本概念
定理1 下面的结论成立：
(ⅰ) 设b(x)是整系数多项式,则同余方程(1)与
f(xLeabharlann Baidu b(x) b(x) (mod m)
等价;
(ⅱ) 设b是整数, (b, m) = 1, 则同余方程(1)与
例1 设(a, m)=1, 又设存在整数y, 使得ab ym， 则
x b ym a
(mod m )
是方程(2)的解。 证明 直接验算，有 ax b ym b (mod m)。
第一节 同余方程的基本概念
注: 例1说明, 求方程(2)的解可以转化为求方程
my b (mod a)