教研一元一次方程知识点梳理

一元一次方程知识点梳理

一、方程的有关概念

1.方程：含有未知数的等式就叫做方程.

2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x ，未知数x 的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.例如：

1700+50x=1800， 2（x+1.5x ）=5等都是一元一次方程.

例 下列方程中是一元一次方程的是( )

A ．23x y =

B ．()7561x x +=-

C ．()21112x x +-=

D ．12x x

-= 3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.

注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程. ⑵ 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.

例 若方程315ax x -=的解为x =5，则a 等于（ ）

A. 80

B. 4

C. 6

D. 2

例 若x ＝2是方程k （2x －1）＝kx ＋7的解，那么求k 的值

二、等式的性质

等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等.

等式的性质(1)用式子形式表示为：如果a=b ，那么a±c=b±c

等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，

等式的性质(2)用式子形式表示为：如果a=b ，那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么a c =b c

三、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．

四、去括号法则

1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．

2. 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变．

五、解方程的一般步骤

步

骤 名 称 方 法

依 据 注 意 事 项

1 去分母 在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不

含分母的部分都乘以所有分母的最小

公倍数） 等式性质2 1、不含分母的项也要乘以最小公倍数；2、分子是多项式的一定要先用括号括起来。

2

去括号 去括号法则（可先分配再去括号） 乘法分配律 注意正确的去掉括号前带负数的括号 3

移项 把未知项移到议程的一边（左边），常数项移到另一边（右边） 等式性质1 移项一定要改变符号 4 合并 同类项 分别将未知项的系数相加、常数项相加

1、整式的加减；

2、有理数的加法法则 单独的一个未知数的系数为“±1” 5 系数化为“1” 在方程两边同时除以未知数的系数（方程两边同时乘以未知数系数的倒数） 等式性质2 不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数——分母）

*6 检根

x=a 方法：把x=a 分别代入原方程的两边，分别计算出结果。

① 若 左边＝右边，则x=a 是方程的解； ② 若 左边≠右边，则x=a 不是方程的解。

注：当题目要求时，此步骤必须表达出来。

例 (1) 43

1261345x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ （2） 1.5110.52x x -+=-

六、同解

同解：同解指某几个方程的解相同

例 已知方程2

3

252x x -+=-的解也是方程32x b -=的解，则b =_______.

例 m 为何值时，关于x 的方程4231x m x -=-的解是23x x m =-的解的2倍？

七、用方程思想解决实际问题的一般步骤

1. 审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系．

2. 设：设未知数(可分直接设法，间接设法)

3. 找：找出题意的等量关系

4. 列：根据题意列方程．

5. 解：解出所列方程．

6. 检：检验所求的解是否符合题意．

7. 答：写出答案(有单位要注明答案)

八、有关常用应用类型题及各量之间的关系

1. 和、差、倍、分问题：

（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现.

（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.

2. 等积变形问题：

“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：

①形状面积变了，周长没变； ②原料体积＝成品体积.

3. 劳力调配问题：

这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：

（1）既有调入又有调出；

（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；

（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变

4. 数字问题

（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a ，十位数字是b ，个位数字为c （其中a 、b 、c 均为整数，且1≤a ≤9， 0≤b ≤9， 0≤c ≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c.

（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n 表示，连续的偶数用2n+2或2n —2表示；奇数用2n+1或2n —1表示.

5. 工程问题：

工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间

6.行程问题：

（1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程=速度×时间.

（2）基本类型有

① 相遇问题； ② 追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题.

例 拉萨市出租车的收费标准是：3千米内(含3千米)起步价为8元，3千米外每千米收费为1.8元，当你回家付

出车费20.6元，设你坐出租车x 千米？只列方程

例一个三位数，百位上的数字比十位上的数大1，个位上的数字比十位上数字的3倍少2，若将三个数字顺序颠倒后，所得的三位数与原三位数的和是1171，求这个三位数．