2021年八省联考福建新高考适应性考试数学试题及答案
福建省龙岩市2021届新高考适应性测试卷数学试题(3)含解析
福建省龙岩市2021届新高考适应性测试卷数学试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下-个10米时，乌龟先他1米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A ．5101900-米B ．510990-米C ．4109900-米D ．410190-米【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，是一个等比数列模型，设11100,,0.110n a q a ===，由110.110010n n a -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，解得4n =，再求和. 【详解】根据题意，这是一个等比数列模型，设11100,,0.110n a q a ===， 所以110.110010n n a -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，解得4n =，所以()44441110011011111001190a q S q⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==-=--. 故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列的实际应用，还考查了建模解模的能力，属于中档题.2．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞和0,1x x ==处函数的特征即可确定函数图像. 【详解】函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在1x =处取得极大值，∴当1x >时，()0f x '<；当1x =时，()0f x '=；当1x <时，()0f x '>.0x ∴<时，()0y xf x '=->，01x <<时，()0y xf x '=-<，当0x =或1x =时，()0y xf x '=-=；当1x >时，()0xf x '->. 故选：B 【点睛】根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度. 3．已知数列{}n a 满足()*331log 1log n n a a n N ++=∈,且2469aa a ++=,则()13573log a a a ++的值是( ) A ．5 B ．3-C ．4D ．991【答案】B 【解析】由331log 1log n n a a ++=，可得13n n a a +=，所以数列{}n a 是公比为3的等比数列，所以2462222981919a a a a a a a ++=++==，则2991a =， 则3135712221333log ()log (327243)log 33a a a a a a ++=++==-，故选B. 点睛：本题考查了等比数列的概念，等比数列的通项公式及等比数列的性质的应用，试题有一定的技巧，属于中档试题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，等比数列的性质和在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.4．已知12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于,A B 两点，若22240,5BF AB BF AF ⋅==，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．13 B ．4C ．2D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由已知得2AB BF ⊥，24BF x =，由已知比值得25,3AF x AB x ==，再利用双曲线的定义可用a 表示出1AF ，2AF ，用勾股定理得出,a c 的等式，从而得离心率． 【详解】2220,0,0,90AB BF AB BF ABF ⋅=≠≠∴∠=︒.又2245BF AF =，∴可令24BF x =，则25,3AF x AB x ==.设1AF t =，得21122AF AF BF BF a -=-=，即()5342x t x t x a -=+-=，解得3,t a x a ==，∴24BF a =,116BF AB AF a =+=, 由2221212BF BF F F +=得222(6)(4)(2)a a c +=，2213c a =，13c a =，∴该双曲线的离心率13ce a==. 故选：A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系，利用双曲线的定义把双曲线上的点,A B 到焦点的距离都用a 表示出来，从而再由勾股定理建立,a c 的关系．2,2⎡-；②函数4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数；③函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减；④若对任意x ∈R ，都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为3π；其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】化()f x )4x π-可判断①，求出4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的解析式可判断②，由,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得353[,]444x πππ-∈，结合正弦函数得图象即可判断③，由()()()12f x f x f x ≤≤得12min 2Tx x -=可判断④.【详解】由题意，())4f x x π=-，所以()f x ∈⎡⎣，故①正确；4f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭)]44x ππ+-=)2x π+=x 为偶函数，故②错误；当,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，353[,]444x πππ-∈，()f x 单调递减，故③正确；若对任意x ∈R ，都有 ()()()12f x f x f x ≤≤成立，则1x 为最小值点，2x 为最大值点，则12x x -的最小值为23T π=，故④正确. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题. 6．已知集合{}|26Mx x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（ ）A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数性质可知【详解】∵25log 356<<， 集合{}|26Mx x =-<<，∴由交集运算可得{}2|2log 35M N x x ⋂=-<<.故选：A. 【点睛】本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题.7．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种 B ．36种C ．24种D ．18种【答案】B 【解析】 【分析】根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可． 【详解】2名内科医生，每个村一名，有2种方法，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士， 若甲村有1外科,2名护士,则有，其余的分到乙村， 若甲村有2外科,1名护士,则有，其余的分到乙村，则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型. 8．已知||23z z i =-（i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数），则复数z 在复平面内对应的点在（ ）. A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】设i,(,)z a b a b R =+∈，由||23z z i =-，得2i=(z a b --+，利用复数相等建立方程组即可. 【详解】设i,(,)z a b a b R =+∈，则2i=(2)i=3z a b --+，所以320a b ⎧⎪=⎨⎪+=⎩，解得2a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩2i 2z =-，复数z在复平面内对应的点为(2)2-，在第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 9．若1tan 2α=，则cos2=α( ) A ．45-B ．35C ．45D ．35【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果． 【详解】 ∵1tan 2α=， ∴22222211cos sin 1tan 34cos21cos sin 1tan 514ααααααα---====+++， 故选D 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10．已知集合{}21|A x log x =<，集合{|B y y ==，则A B =（ ）A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()0,2D ．[)0,+∞【答案】D可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可． 【详解】解：{}|02A x x =<<，{}|0B y y =≥；∴[)0,A B =+∞．故选D ． 【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算． 11．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．2C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】 计算得到，，代入双曲线化简得到答案.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，是第一象限内双曲线渐近线上的一点，，故，，故，代入双曲线化简得到：，故.故选：. 【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.12．tan570°=（ ） A 3B ．3C 3D 3【分析】直接利用诱导公式化简求解即可． 【详解】tan570°=tan （360°+210°）=tan210°=tan （180°+30°）=tan30°故选：A ． 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省三明市2021届新高考适应性测试卷数学试题(2)含解析
福建省三明市2021届新高考适应性测试卷数学试题（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知(,)a bi a b R +∈是11ii +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1- B ．12- C ．12D ．1【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算法则求出11ii+-的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi ，从而确定a ，b 的值，求出a+b ． 【详解】()()21(1)21112i i ii i i ++===-+-i ， ∴a+bi ＝﹣i ， ∴a ＝0，b ＝﹣1， ∴a+b ＝﹣1， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．2．近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数； ②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏； ③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】根据利用app 主要听音乐的人数和使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用app 主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用app 主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论. 【详解】使用app 主要听音乐的人数为5380，使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确； 使用app 主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，81300.1456290≈，故超过10%的大学生使用app 主要玩游戏，所以②错误；使用app 主要找人聊天的大学生人数为16540，因为165401562904>，所以③正确.故选：C. 【点睛】本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.3．不等式组201230x y y x x y -≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，则（ ）A ．(),x y ∀∈Ω，23x y +>B ．(),x y ∃∈Ω，25x y +>C ．(),x y ∀∈Ω，231y x +>- D ．(),x y ∃∈Ω，251y x +>- 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分析不等式组的几何意义，可得其表示的平面区域，设1222,1y z x y z x +=+=-，分析12,z z 的几何意义，可得12,z z 的最小值，据此分析选项即可得答案. 【详解】解：根据题意，不等式组201230x y y x x y -≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩其表示的平面区域如图所示，其中()2,1A ，()1,2B ，设12z x y =+，则122z x y =-+，1z 的几何意义为直线122zx y =-+在y 轴上的截距的2倍， 由图可得：当122zx y =-+过点()1,2B 时，直线12z x y =+在y 轴上的截距最大，即25x y +≤，当122zx y =-+过点原点时，直线12z x y =+在y 轴上的截距最小，即20x y +≥，故AB 错误； 设221y z x +=-，则2z 的几何意义为点(),x y 与点()1,2-连线的斜率， 由图可得2z 最大可到无穷大，最小可到无穷小，故C 错误，D 正确； 故选：D. 【点睛】本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用，关键是对目标函数几何意义的认识，属于基础题. 4．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++⎪-⎝⎭，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】求出函数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式． 【详解】 由101xx+>-得11x -<<， 在(1,1)x ∈-时，3y x =是增函数，sin y x =是增函数，12lnln(1)11x y x x+==-+--是增函数，∴31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++⎪-⎝⎭是增函数，∴由(21)(0)f a f ->得0211a <-<，解得112a <<． 故选：C. 【点睛】本题考查函数的单调性，考查解函数不等式，解题关键是确定函数的单调性，解题时可先确定函数定义域，在定义域内求解．5．集合{2,0,1,9}的真子集的个数是（ ） A ．13 B ．14C ．15D ．16【答案】C 【解析】 【分析】根据含有n 个元素的集合，有2n 个子集，有21n -个真子集，计算可得； 【详解】解：集合{2,0,1,9}含有4个元素，则集合{2,0,1,9}的真子集有42115-=（个）， 故选：C 【点睛】考查列举法的定义，集合元素的概念，以及真子集的概念，对于含有n 个元素的集合，有2n 个子集，有21n -个真子集，属于基础题．6．已知函数31,0()(),0x x f x g x x ⎧+>=⎨<⎩是奇函数，则((1))g f -的值为（ ）A ．－10B ．－9C ．－7D ．1【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数表达式，先求得()1f -的值，然后结合()f x 的奇偶性，求得((1))g f -的值. 【详解】因为函数3,0()(),0x x x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩是奇函数，所以(1)(1)2f f -=-=-，((1))(2)(2)(2)10g f g f f -=-=-=-=-.故选：B 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力.7．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]【答案】B 【解析】 由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.8．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ⋅=u u u r u u u r，则()2AE AC +u u u r u u u r 的最小值为（ ） A ．232B ．12C ．252D ．13【答案】C 【解析】 【分析】分别以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴建立平面直角坐标系，设(,)E x y ，根据2AE AC ⋅=u u u r u u u r，可求1x y +=，而222()(2)(2)AE AC x y u u u r u u u r+=+++，化简求解.【详解】解：建立以A 为原点，以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴的平面直角坐标系.设(,)E x y ，(0,2)x ∈，(0,2)y ∈，则(,)AE x y =u u u r ，(2,2)AC =u u u r ，由2AE AC ⋅=u u u r u u u r，即222x y +=，得1x y +=.所以222()(2)(2)AE AC x y u u u r u u u r +=+++224()8x y x y =++++22213x x =-+=21252()22x -+，所以当12x =时，2()AE AC +u u u r u u u r 的最小值为252. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题.9．已知双曲线22221x y a b-= (a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞B ．(1,2),C ．(2,)+∞D ．(1,2]【答案】A 【解析】 【分析】若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围． 【详解】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率ba， ∴3b a …，离心率22224a b e a +=…， 2e ∴…，故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件． 10．函数ln ||()xx x f x e =的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊点的坐标代入，排除掉C ，D ；再由1()12f -<判断A 选项正确. 【详解】1.11.1ln |1.1|( 1.1)0f e--=<，排除掉C ，D ； 1211ln 122()ln 22f e e---==，1ln 2ln 2e <=Q ，2e <，1()ln 212f e ∴-=<.故选：A ． 【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题.11．已知关于x 的方程3sin sin 2x x m π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭在区间[)0,2π上有两个根1x ，2x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是（ ） A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)1,2C ．[)0,1D ．[]0,1【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数2sin()6y x π=+，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合12x x π-≥，解得m 的取值范围. 【详解】由题化简得3sin cos x x m +=，2sin()6m x π=+，作出2sin()6y x π=+的图象，又由12x x π-≥易知01m ≤<． 故选：C. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题. 12．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离【答案】B 【解析】 化简圆到直线的距离，又 两圆相交. 选B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省厦门市2021届新高考适应性测试卷数学试题(2)含解析
福建省厦门市2021届新高考适应性测试卷数学试题（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC V 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan 2sin()a B b B C =+．则角B 的大小为( ) A ．π3 B ．π6 C ．π2 D ．π4【答案】A【解析】【分析】由正弦定理化简已知等式可得sin tan 2sin sin A B B A =，结合sin 0A >，可得tan 2sin B B =，结合范围()0,B π∈，可得sin 0B >，可得1cos 2B =，即可得解B 的值． 【详解】 解：∵()tan 2sin 2sin a B b B C b A =+=，∴由正弦定理可得：sin tan 2sin sin A B B A =，∵sin 0A >，∴tan 2sin B B =，∵()0,B π∈，sin 0B >， ∴1cos 2B =， ∴3B π=．故选A ．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 2．tan570°=（ ）A ．3B ．-3CD ．2【答案】A【解析】【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【详解】故选：A ．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题.3．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+ 【答案】A【解析】【分析】结合复数的除法运算和模长公式求解即可【详解】∵复数1z i =+，∴||z =()2212z i i =+=，则22||22(1)221211(1)(1)z i z i i i i i z i i i -+=+=+=-+=+++-， 故选：A.【点睛】本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题4．已知集合{}0,1,2,3A =，}{21,B x x n n A ==-∈，P A B =⋂，则P 的子集共有（ ） A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【答案】B【解析】【分析】 根据集合A 中的元素，可得集合B ，然后根据交集的概念，可得P ，最后根据子集的概念，利用2n 计算，可得结果.【详解】由题可知：{}0,1,2,3A =，}{21,B x x n n A ==-∈ 当0n =时，1x =-当1n =时，0x =当2n =时，3x =当3n =时，8x =所以集合}{{}21,1,0,3,8B x x n n A ==-∈=-所以P 的子集共有224=故选：B【点睛】本题考查集合的运算以及集合子集个数的计算，当集合P 中有n 元素时，集合P 子集的个数为2n ，真子集个数为21n -，非空子集为21n -，非空真子集为22n -，属基础题.5．如图，设P 为ABC ∆内一点，且1134APAB AC =+u u u v u u u v u u u v ，则ABP ∆与ABC ∆的面积之比为A ．14B ．13C ．23D ．16 【答案】A【解析】【分析】 作//PD AC 交AB 于点D ，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出ADP S ∆与ABC S ∆的比例，再由ADP S ∆与APB S ∆的比例，可得到结果.【详解】如图，作//PD AC 交AB 于点D ，则AP AD DP =+u u u r u u u r u u u r ，由题意，13AD AB =u u u r u u u r ，14DP AC =u u u r u u u r ，且180ADP CAB ∠+∠=o ， 所以11111||||sin ||||sin 223412ADP ABC S AD DP ADP AB AC CAB S ∆∆=∠=⨯⨯∠= 又13AD AB =u u u r u u u r ，所以，134APB ADP ABC S S S ∆∆∆==，即14APB ABCS S ∆∆=， 所以本题答案为A.本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本题的关键. 6．如图，已知三棱锥D ABC -中，平面DAB ⊥平面ABC ，记二面角D AC B --的平面角为α，直线DA 与平面ABC 所成角为β，直线AB 与平面ADC 所成角为γ，则（ ）A ．αβγ≥≥B ．βαγ≥≥C ．αγβ≥≥D ．γαβ≥≥【答案】A【解析】【分析】 作'DD AB ⊥于'D ,DE AC ⊥于E ,分析可得'DED α=?,'DAD β=∠,再根据正弦的大小关系判断分析得αβ≥,再根据线面角的最小性判定βγ≥即可.【详解】作'DD AB ⊥于'D ,DE AC ⊥于E .因为平面DAB ⊥平面ABC ,'DD ⊥平面ABC .故,'AC DE AC DD ⊥⊥,故AC ⊥平面'DED .故二面角D AC B --为'DED α=?.又直线DA 与平面ABC 所成角为'DAD β=∠,因为DA DE ≥, 故''sin 'sin 'DD DD DED DAD DE DA ???.故αβ≥,当且仅当,A E 重合时取等号.又直线AB 与平面ADC 所成角为γ,且'DAD β=∠为直线AB 与平面ADC 内的直线AD 所成角,故βγ≥,当且仅当BD ⊥平面ADC 时取等号.故αβγ≥≥.故选：A【点睛】本题主要考查了线面角与线线角的大小判断,需要根据题意确定角度的正弦的关系,同时运用线面角的最小性进行判定.属于中档题.7．已知(cos ,sin )a αα=r ，()cos(),sin()b αα=--r ，那么0a b =r r g 是()4k k Z παπ=+∈的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】 由0a b =r rg ，可得cos20α=，解出即可判断出结论．【详解】 解：因为(cos ,sin )a αα=r ，()cos(),sin()b αα=--r 且0a b =r r g22cos cos()sin sin()cos sin cos20ααααααα∴-+-=-==g g ．222k παπ∴=±，解得()4k k Z παπ=±∈．∴0a b =r r g 是()4k k Z παπ=+∈的必要不充分条件． 故选：B ．【点睛】本题考查了向量数量积运算性质、三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．16B ．48C ．96D ．128【答案】B【解析】【分析】 列出每一次循环，直到计数变量i 满足3i >退出循环.【详解】第一次循环：12(11)4,2S i =+==；第二次循环：242(12)16,3S i =++==；第三次循环：3162(13)48,4S i =++==，退出循环，输出的S 为48.故选：B.【点睛】本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题. 9．已知数列{}n a 中，121,2a a ==，且当n 为奇数时，22n n a a +-=；当n 为偶数时，()2131n n a a ++=+．则此数列的前20项的和为（ ）A ．1133902-+ B ．11331002-+ C ．1233902-+ D ．12331002-+ 【答案】A【解析】【分析】 根据分组求和法，利用等差数列的前n 项和公式求出前20项的奇数项的和，利用等比数列的前n 项和公式求出前20项的偶数项的和，进而可求解.【详解】则数列奇数项是以1为首项，以2为公差的等差数列，当n 为偶数时，()2131n n a a ++=+，则数列中每个偶数项加1是以3为首项，以3为公比的等比数列.所以201232013192420S a a a a a a a a a a =++++=+++++++L L L()()()24201091012111102a a a ⨯=⨯+⨯++++++-L ()1101313100101333902-=+--+=-. 故选： A 【点睛】本题考查了数列分组求和、等差数列的前n 项和公式、等比数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.10．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】根据题意得到充分性，验证得出不必要，得到答案.【详解】，当时，，充分性； 当，取，验证成立，故不必要.故选：.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.11． 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞）【答案】D【解析】解：x 、y 满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由解得C （2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选D ．12．下列函数中，在区间()0,∞+上为减函数的是（ ）A ．1y x =+B ．21y x =-C ．12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．2log y x =【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间()0,∞+上的单调性，进而可得出结果.【详解】对于A 选项，函数1y x =+()0,∞+上为增函数；对于B 选项，函数21y x =-在区间()0,∞+上为增函数；对于C 选项，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()0,∞+上为减函数； 对于D 选项，函数2log y x =在区间()0,∞+上为增函数.故选：C.【点睛】本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年全国新高考“八省联考”高考数学适应性试卷(附解析)
2021年全国新高考“八省联考”高考数学适应性试卷一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知M，N均为R的子集，且∁R M⊆N，则M∪(∁R N)=()A. ⌀B. MC. ND. R2.在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为()A. 16B. 13C. 12D. 233.关于x的方程x2+ax+b=0，有下列四个命题：甲：x=1是该方程的根；乙：x=3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁4.椭圆x2m2+1+y2m2=1(m>0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2=π3，则m=()A. 1B. √2C. √3D. 25.已知单位向量a⃗，b⃗ 满足a⃗⋅b⃗ =0，若向量c⃗=√7a⃗+√2b⃗ ，则sin<a⃗，c⃗>=()A. √73B. √23C. √79D. √296.(1+x)2+(1+x)3+⋯+(1+x)9的展开式中x2的系数是()A. 60B. 80C. 84D. 1207.已知抛物线y2=2px上三点A(2,2)，B，C，直线AB，AC是圆(x−2)2+y2=1的两条切线，则直线BC的方程为()A. x+2y+1=0B. 3x+6y+4=0C. 2x+6y+3=0D. x+3y+2=08.已知a<5且ae5=5e a，b<4且be4=4e b，c<3且ce3=3e c，则()A. c<b<aB. b<c<aC. a<c<bD. a<b<c二、多项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知函数f(x)=xln(1+x)，则()A. f(x)在(0,+∞)单调递增B. f(x)有两个零点C. 曲线y=f(x)在点(−12,f(−12))处切线的斜率为−1−ln2D. f(x)是偶函数10.设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是()A. 若|z2|=|z3|，则z2=±z3B. 若z1z2=z1z3，则z2=z3C. 若z2−=z3，则|z1z2|=|z1z3|D. 若z1z2=|z1|2，则z1=z211.如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中()A. AE//CDB. CH//BEC. DG⊥BHD. BG⊥DE12.设函数f(x)=cos2x2+sinxcosx，则()A. f(x)=f(x+π)B. f(x)的最大值为12C. f(x)在(−π4,0)单调递增 D. f(x)在(0,π4)单调递减三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为______ ．14.若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______ ，______ ．15.写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)=______ ．16.对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差εn～N(0,2n)，为使误差εn在(−0.5,0.5)的概率不小于0.9545，至少要测量______ 次.(若X～N(μ,σ2)，则P(|X−μ|<2σ)=0.9545)．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知各项都为正数的数列{a n}满足a n+2=2a n+1+3a n．(1)证明：数列{a n+a n+1}为等比数列；(2)若a1=12，a2=32，求{a n}的通项公式．18.在四边形ABCD中，AB//CD，AD=BD=CD=1．(1)若AB=3，求BC；2(2)若AB=2BC，求cos∠BDC．19.一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．(1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．20.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π，所以正四面体在各顶点的3=π，故其总曲率为4π．曲率为2π−3×π3(1)求四棱锥的总曲率；(2)若多面体满足：顶点数−棱数+面数=2，证明：这类多面体的总曲率是常数．21.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上.当BF⊥AF时，|AF|=|BF|．(1)求C的离心率；(2)若B在第一象限，证明：∠BFA=2∠BAF．22.已知函数f(x)=e x−sinx−cosx，g(x)=e x+sinx+cosx．(1)证明：当x>−5π4时，f(x)≥0；(2)若g(x)≥2+ax，求a．答案和解析1.【答案】B【解析】解：如图所示易知M∪(∁R N)=M．故选：B．根据M，N均为R的子集，且∁R M⊆N，画出韦恩图，结合图形可求出M∪(∁R N)．本题主要考查了集合的并集与补集，解题的关键是作出符合题意的韦恩图，同时考查了学生推理的能力．2.【答案】C【解析】解：三张卡片随机分给三位同学，共有A33=6种情况，恰有1位学生分到写有自己学号卡片，则有C31×1=3种情况，所以恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为36=12．故选：C．先求出三张卡片随机分给三位同学的基本事件数，再求出恰有1位学生分到写有自己学号卡片的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．本题考查了古典概型及其概率计算公式的应用，涉及了排列组合的应用，解题的关键是确定总基本事件数和要求的基本事件数．3.【答案】A【解析】解：若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，可得x1=3，x2=−1，符合题意；若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，可得x1=1，x2=1，两根不异号，不合题意；若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，可得x1=3，x2=1，两根不异号，不合题意；若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，两根和不为2，不合题意．综上可知，甲为假命题．故选：A．分别设甲、乙、丙、丁为假命题，结合真命题中方程两根的情况判断．本题考查简单的合情推理，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：由题意可得c=√m2+1−m2=1，b=m，又因为∠F1AF2=π3，可得∠F1AO=π6，可得tan∠F1AO=1m =√33，解得m=√3．故选：C．由题意利用椭圆的性质可求c=1，b=m，可求∠F1AO=π6，解三角形即可求解m的值．本题主要考查了椭圆的性质，考查了计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：a⃗⋅c⃗=a⃗⋅(√7a⃗+√2b⃗ )=√7a⃗2+√2a⃗⋅b⃗ =√7，|c⃗|=√(√7a⃗+√2b⃗ )2=√7a⃗2+2b⃗ 2+2√14a⃗⋅b⃗ =√7+2=3，所以cos<a⃗,c⃗>=a⃗ ⋅c⃗|a⃗ ||c⃗ |=√71×3=√73，所以sin<a⃗,c⃗>=√23．故选：B．由已知结合向量数量积的定义及向量数量积性质可求cos<a⃗,c⃗>，然后结合同角平方关系即可求解．本题主要考查了向量数量积的定义及性质，考查了转化思想，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：(1+x)2+(1+x)3+⋯+(1+x)9的展开式中x2的系数为C22+C32+⋯+ C92=C33+C32+⋯+C92=C103=120．故选：D．根据通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是C n r，表示出x2的系数，然后利用组合数的性质进行求解．本题主要考查了二项式定理的应用，以及二项式系数的求解，解题的关键是利用组合数公式C n m−1+C n m=C n+1m，属基础题．7.【答案】B【解析】解：把点A(2,2)代入抛物线方程可得p=1，所以抛物线的方程为y2=2x，又直线AB，AC是圆(x−2)2+y2=1的两条切线，设切线方程为y−2=k(x−2)，因为圆心到切线的距离等于半径，则有1=√k2+1，解得k=±√3，则直线AB的方程为y−2=√3(x−2)，直线AC的方程为y−2=−√3(x−2)，联立直线AB和抛物线的方程可求得B(83−√3,√3−2)，同理可求得C(83+√3,−√3−2)，由直线的两点式方程可得，直线BC的方程为3x+6y+4=0．故选：B．利用点A在抛物线上求出抛物线的方程，再利用直线与圆相切求出两条切线的方程，联立方程组求出B，C，利用直线的方程即可求解．本题考查了直线与圆的位置关系的应用，涉及了直线方程的求解、交点的求解，解题的关键是利用圆心到切线的距离等于半径求出切线的斜率．8.【答案】D【解析】解：根据题意，设f(x)=e xx，a<5且ae5=5e a，变形可得e aa =e55，即f(a)=f(5)，b<4且be4=4e b，变形可得e bb =e44，即f(b)=f(4)，c<3且ce3=3e c，变形可得e cc =e33，即f(c)=f(3)，f(x)=e xx ，其导数f′(x)=ex(x−1)x2，在区间(0,1)上，f′(x)<0，则f(x)为减函数，在区间(1,+∞)上，f′(x)>0，则f(x)为增函数，其草图如图：则有0<a<b<c<1，故选：D．根据题意，设f(x)=e xx，对三个式子变形可得f(a)=f(5)，f(b)=f(4)，f(c)=f(3)，求出f(x)的导数，分析其单调性，可得f(x)的大致图象，分析可得答案．本题考查函数的单调性的分析以及性质的应用，涉及利用导数分析函数的单调性，属于基础题．9.【答案】AC【解析】解：函数定义域(−1,+∞)，不关于原点对称，D 错误， 因为f′(x)=ln(x +1)+1(1+x)2，当x <0时，f′(x)>0恒成立，f(x)单调递增，A 正确， f″(x)=11+x+1(1+x)2=x+2(1+x)2，当x >−1时，f ″(x)>0，f′(x)单调递增且f′(0)=0，故当x ∈(−1,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x ∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 又f(0)=0，所以f(x)只有一个零点，B 正确，因为f′(−12)=ln 12−1=−1−ln2，C 正确． 故选：AC ．先对函数求导，然后结合导数与单调性关系，导数的几何意义及函数性质分别检验各选项即可判断．本题综合考查了导数与单调性，导数的几何意义，导数与函数性质的综合应用，属于中档题．10.【答案】BC【解析】解：由复数的形式可知，选项A 错误； 当z 1z 2=z 1z 3时，有z 1z 2−z 1z 3=z 1(z 2−z 3)=0， 又z 1≠0，所以z 2=z 3，故选项B 正确； 当z 2−=z 3时，则z 2=z 3−，所以|z 1z 2|2−|z 1z 3|2=(z 1z 2)(z 1z 2−)−(z 1z 3)(z 1z 3−)=z 1z 2z 1−z 2−−z 1z 3z 1−z 3−=0，故选项C 正确；当z 1z 2=|z 1|2时，则z 1z 2=|z 1|2=z 1z 1−， 可得z 1z 2−z 1z 1−=z 1(z 2−z 1−)=0， 所以z 1−=z 2，故选项D 错误． 故选：BC ．利用复数的模的有关性质和运算，结合共轭复数的概念对各个选项逐一分析判断即可．本题考查了复数的模，涉及了复数模的性质以及模的运算，解题的关键是熟练掌握模的运算性质并能够进行灵活的运用．11.【答案】BCD【解析】解：还原正方体直观图如图，可知AE与CD为异面直线，故选项A不正确；由EH−//BC，可得CH//BE，故选项B正确；正方形中易得DG⊥平面BCH，所以有DG⊥BH，故选项C正确；因为BG//AH，且DE⊥AH，所以BG⊥DE，故选项D正确．故选：BCD．把展开图恢复成正方体，判断其直线平面的位置关系，充分利用平行，垂直问题求解．本题考查了折叠问题，恢复到正方体，运用几何体中的性质，判断位置关系，属于中档题，但是难度不大．12.【答案】AD【解析】解：对于A：函数f(x)=cos2x2+sinxcosx =2×cos2x−0sin2x−(−4)，所以满足f(x)=f(x+π)，故A正确；对于B：f(x)的几何意义为单位圆上动点(sin2x,cos2x)与点(−4,0)连线的斜率的2倍，相切时，最大值为√15，故B错误；对于C：当x∈(−π4,0)时，动点在第二象限从左向右运动，斜率先增大后减小，故C错误；对于D：当x∈(π4,0)时，动点在第一象限从左向右运动，斜率逐渐减小，故D正确；如图所示：故选：AD．直接利用三角函数的关系式的变换和函数的性质及三角函数与斜率的关系的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的性质，关系式和斜率的转换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．13.【答案】61π【解析】解：如图所示：由题意可知，圆台的下底面为球的大圆，所以O为球心，∵BM=4，OB=5，∴OM=3，即圆台的高为3，所以其体积V=13πℎ(R2+r2+Rr)=13π×3×(52+42+5×4)=61π，故答案为：61π．由题意可知圆台的下底面为球的大圆，利用勾股定理求出圆台的高，再由圆台的体积公式即可求出结果．本题主要考查了圆台的结构特征，考查了圆台的体积公式，考查了学生的计算能力，是基础题．14.【答案】13−3【解析】解：设正方形一条边所在的直线倾斜角为α，则tan(α+π4)=2，解得tanα=13，所以该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为13，−3．故答案为：13；−3．设正方形一条边所在的直线倾斜角为α，则由正方形一条对角线所在直线的斜率为2，结合倾斜角与斜率的关系求出tanα，利用正方形的性质即可得到答案．本题考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用、互相垂直的直线斜率关系的应用，解题的关键是求出其中一条边的斜率．15.【答案】sinπx【解析】解：基本初等函数中的既为周期函数又为奇函数的是y =sinx ， 又最小正周期为2，故函数可为f(x)=sinπx ． 故答案为：f(x)=sinπx ．先考虑熟悉的基本初等函数，再结合周期性和奇偶性即可得到答案．本题属于开放性问题，主要考查的是函数的奇偶性和周期性的应用，解题的关键了解基本初等函数的性质并能够进行灵活的应用．16.【答案】32【解析】解：根据正态曲线的对称性知，要使得误差εn 在(−0.5,0.5)的概率不小于0.9545， 则(μ−2σ,μ+2σ)⊂(−0.5,0.5)且μ=σ，σ=√2n ，所以0.5≥2√2n，解得，n ≥32，即n 的最小值32． 故答案为：32．根据正态曲线的对称性知，要使得误差εn 在(−0.5,0.5)的概率不小于0.9545，问题转化为(μ−2σ,μ+2σ)⊂(−0.5,0.5)且μ=σ，σ=√2n ，可求．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．17.【答案】证明：(1)各项都为正数的数列{a n }满足a n+2=2a n+1+3a n ，得，a n+1+a n+2=3(a n+1+a n )，所以数列{a n +a n+1}是公比为3的等比数列； (2)因为a 1=12，a 2=32， 所以a 1+a 2=2，由(1)知数列{a n +a n+1}是首项为2，公比为3的等比数列， 所以a n +a n+1=2×3n−1，于是a n+1−12×3n =−a n +12×3n−1，a 2−32=0， 所以a n −3n−12=0，即a n =3n−12，a 1=12也符合．故a n =3n−12．【解析】(1)根据等比数列的定义，结合已知变形得，a n+1+a n+2=3(a n+1+a n)，可证明；(2)结合(1)可得a n+a n+1=2×3n−1，变形得a n+1−12×3n=−a n+12×3n−1，从而可求．本题主要考查了等比数列的定义在等比数列的判断中的应用，还考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，属于中档题．18.【答案】解：(1)在四边形ABCD中，AD=BD=CD=1.若AB=32，所以：cos∠ADB=AB 2+BD2−AD22⋅AB⋅BD=(32)2+12−122×32×1=34，由于AB//CD，所以∠BDC=∠ABD，即cos∠BDC=cos∠ABD=34，所以BC2=BD2+CD2−2⋅BD⋅CD⋅cos∠BDC=12+12−2×1×1×34=12，所以BC=√22．(2)设BC=x，则AB=2BC=2x，由余弦定理得：cos∠ADB=AB2+BD2−AD22⋅AB⋅BD =(2x)2+12−122×2x×1=x，cos∠BDC=CD2+BD2−BC22⋅CD⋅BD =12+12−x22×1×1=2−x22，故2−x22=x，解得x=√3−1或−√3−1(负值舍去)．所以cos∠BDC=√3−1．【解析】(1)直接利用余弦定理的应用求出结果；(2)利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，余弦定理，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)设部件1，2，3需要调整分别为事件A，B，C，由题意可知P(A)=0.1，P(B)=0.2，P(C)=0.3，各部件的状态相互独立，所以部件1，2都不需要调整的概率P(A−⋅B−)=P(A−)⋅P(B−)=0.9×0.8=0.72，故部件1，2中至少有1个需要调整的概率为1−P(A −⋅B −)=0.28． (2)X 的所有可能取值为0，1，2，3，P(X =0)=P(A −⋅B −⋅C −)=P(A −)⋅P(B −)⋅P(C −)=0.9×0.8×0.7=0.504， P(X =1)=P(A ⋅B −⋅C −)+P(A −⋅B ⋅C −)+P(A −⋅B −⋅C)=0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3=0.398，P(X =3)=P(A ⋅B ⋅C)=0.1×0.2×0.3=0.006， P(X =2)=1−P(X =0)−P(X =1)−P(X =3)=0.092， 所以X 的分布列为E(X)=0×0.504+1×0.39+2×0.092+3×0.006=0.6．【解析】(1)由相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率公式求解即可； (2)X 的所有可能取值为0，1，2，3，求出事件发生的概率，即可求得分布列及数学期望．本题主要考查了相互独立事件概率的计算，以及离散型随机变量的分布列及方差，属于中档题．20.【答案】解：(1)因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中四个侧面是三角形，一个底面是四边形，所以四棱锥的总曲率为5×2π−4π−2π=4π； (2)设多面体的顶点数为V ，棱数为E ，面数为F ， 每个面分别记为n i (i ∈[1,F])边形，则所有面角和为∑(F i=1n i −2)π=π∑n i Fi=1−2πF =π⋅2E −2πF =2π(E −F)，则多面体的总曲率为2πV −2π(E −F)=4π， 故这类多面体的总曲率是常数．【解析】(1)利用多面体的总曲率的公式即可求解； (2)利用多面体的总曲率的概念即可证明．本题考查了总曲率的概念的应用，考查了学生的推理转化能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)当|AF|=|BF|且BF ⊥AF 时，有c +a =b 2a=c 2−a 2a，所以a =c −a ，则e =ca =2；(2)由(1)可知，双曲线C：x2a2−y23a2=1，可设B(asecθ,√3atanθ)(0<θ<π2)，A(−a,0)，F(2a,0)，①当|BF|=|AF|且BF⊥AF时，∠BFA=2∠BAF=90°；②当BF与AF不垂直时，设∠BAF=α，则tanα=√3atanθ−0asecθ+a =√3tanθsecθ+1=√3sinθ1+cosθ，tan2α=2tanα2=2⋅√3sinθ1+cosθ1−(√3sinθ1+cosθ)2=2√3sinθ(1+cosθ) 2(2cosθ−1)(1+cosθ)=√3sinθ2cosθ−1，而tan∠BFA=−√3atanθasecθ−2a =√3sinθ2cosθ−1=tan2α，又0<∠BFA，∠BAF<π，所以∠BFA=2α=2∠BAF．综上可得，∠BFA=2∠BAF．【解析】(1)利用已知条件可得，c+a=b2a =c2−a2a，化简得到a和c的关系，即可得到答案；(2)设B(asecθ,√3atanθ)(0<θ<π2)，然后分两种情况进行证明，①当BF⊥AF时，∠BFA=2∠BAF=90°；②当BF与AF不垂直时，设∠BAF=α，然后利用同角三角函数关系以及二倍角公式进行化简变形，即可证明．本题考查了双曲线的综合应用，涉及了双曲线上动点的设法、同角三角函数的应用、二倍角公式的应用，解题的关键是设B(asecθ,√3atanθ)(0<θ<π2)．22.【答案】解：(1)证明：f(x)=e x−sinx−cosx=e x−√2sin(x+π4)，f′(x)=e x−cosx+sinx=e x+√2sin(x−π4)，f″(x)=g(x)=e x+sinx+cosx=e x+√2sin(x+π4)，考虑到f(0)=0，f′(0)=0，所以①当x∈(−5π4,−π4)时，√2sin(x+π4)<0，此时f(x)>0，②当x∈[−π4,0]时，f″(x)>0，所以f′(x)单调递增，所以f′(x)≤f′(0)=0，所以函数f(x)单调递减，f(x)≥f(0)=0，③当x∈[0,3π4]时，f″(x)>0，所以f′(x)单调递增，所以f′(x)>f′(0)=0，所以函数f(x)单调递增，f(x)≥f(0)=0，当x∈[3π4,+∞)时，f(x)=e x−√2sin(x+π4)≥e1−√2>0，综上所述，当x>−5π4时，f(x)≥0．(2)构造函数F(x)=g(x)−2−ax=e x+sinx+cosx−2−ax，考虑到f(0)=0，F(0)=2−a，F′(x)=e x+cosx−sinx−a，F″(x)=e x−sinx−cosx=f(x)，由(1)可知：F″(x)=f(x)在x>−5π4时恒成立，所以F′(x)=e x+cosx−sinx−a在(−5π4,+∞)上单调递增，①若a=2，则F′(x)在(−5π4,0)为负，(0,+∞)为正，F(x)在(−5π4,0)单调递减，(0,+∞)递增，所以F(x)≥0，而当x≤−5π4时，F(x)=e x+sinx+cosx−2−2x≥e x+sinx+cosx−2+5π2≥5π2−2−√2>0，故a=2满足题意．②若a<2，F′(0)=2−a>0，因为F′(x)≥e x−√2−a，所以F′(ln(√2+a))≥e x−√2−a≥0，由零点存在定理，必存在x0∈(0,ln(√2+a))，使得F′(x0)=0，此时满足x∈(0,x0)时，F′(x)<0，F(x)单调递减，所以F(x)<F(0)=0，矛盾，舍去，③若a<2，F′(0)=2−a>0，因为当x<0时，F′(x)≤e x+√2−a<e x+√2−a，所以当√2<a<2时，F′(ln(a−√2))<0，此时必存在x0∈(ln(a−√2),0)使得F′(x0)=0，此时满足x∈(x0,0)时，F′(x)>0，F(x)单调递增，所以F(x)<F(0)=0，矛盾，舍去，而当a≤√2时，当F′(x)>e x−cosx−sinx−2，所以在x∈(x0,0)时，F′(x)>0成立，F(x)单调递增，F(x)<F(0)=0，矛盾，舍去．综上所述，a=2．【解析】(1)根据题意可得f(x)=e x−√2sin(x+π4)，求导得f′(x)=e x+√2sin(x−π4)，二次求导得f″(x)=g(x)=e x+√2sin(x+π4)，考虑到f(0)=0，f′(0)=0，分三类①当x∈(−5π4,−π4)，②当x∈[−π4,0]时，③当x∈[0,3π4]时，证明f(x)≥0即可．(2)构造函数F(x)=g(x)−2−ax=e x+sinx+cosx−2−ax，由(1)可知：F″(x)=f(x)在x>−5π4时恒成立，问题转化为F′(x)=e x+cosx−sinx−a在(−5π4,+∞)上单调递增时，a的值．本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于难题．。
福建省龙岩市2021届新高考第一次适应性考试数学试题含解析
福建省龙岩市2021届新高考第一次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为A ．83B ．43C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为23，所以该几何体的体积113223132V =⨯⨯⨯=，故选C ．2．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >），以点P （,0b ）为圆心，a 为半径作圆P ，圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若90MPN ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A 2 B 3C 5D 7 【答案】A 【解析】 【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点，且90MPN ∠=︒，则可根据圆心到渐近线距离为22a 列出方程，求解离心率． 【详解】不妨设双曲线C 的一条渐近线0bx ay -=与圆P 交于,M N ，因为90MPN ∠=︒，所以圆心P 到0bx ay -=的距离为：222222b a c a b==+， 即22222c a ac -=，因为1ce a=>，所以解得2e =． 故选A ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．对于离心率求解问题，关键是建立关于,a c 的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.3．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条异面直线AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ）A ．22B ．21-C ．2D ．1【答案】C 【解析】 【分析】连结并延长PO ，交对棱C 1D 1于R ，则R 为对棱的中点，取MN 的中点H ，则OH ⊥MN ，推导出OH ∥RQ ，且OH ＝12RQ ＝22，由此能求出该直线被球面截在球内的线段的长． 【详解】 如图，MN 为该直线被球面截在球内的线段 连结并延长PO ，交对棱C 1D 1于R ，则R 为对棱的中点，取MN 的中点H ，则OH ⊥MN ， ∴OH ∥RQ ，且OH ＝12RQ ＝22，∴MH ＝22OM OH -＝22212⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭＝22， ∴MN ＝22MH =．故选：C ． 【点睛】本题主要考查该直线被球面截在球内的线段的长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．4．M 、N 是曲线y=πsinx 与曲线y=πcosx 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( ) A ．π B ．2πC ．3πD ．2π【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】两函数的图象如图所示,则图中|MN|最小,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2), 则x 1=4π,x 2=π, |x 1-x 2|=π,|y 1-y 2|=|πsinx 1-πcosx 2| =22π+22π =2π, ∴|MN|==π.故选C.5．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案. 【详解】解：由题意，若A 、B 的体积不相等，则A 、B 在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，A 、B 在等高处的截面积不恒相等，但A 、B 的体积可能相等，例如A 是一个正放的正四面体，B 一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.6．已知0x >，a x =，22xb x =-，ln(1)c x =+，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】D 【解析】 【分析】令2()ln(1)2x f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，求()f x '，利用导数判断函数为单调递增，从而可得2ln(1)2xx x +>-，设()()ln 1g x x x =+-，利用导数证出()g x 为单调递减函数，从而证出0,ln(1)x x x ∀>+<，即可得到答案. 【详解】0x >时，22x x x >-令2()ln(1)2x f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，求导21()111x f x x x x '=-+=++ 0x ∀>，()0f x '>，故()f x 单调递增：()(0)0f x f >=∴2ln(1)2x x x +>-，当0x >，设()()ln 1g x x x =+-，()11011x g x x x-'∴=-=<++ ， 又()00g =，()()ln 10g x x x ∴=+-<，即0,ln(1)x x x ∀>+<，故2ln(1)2x x x x >+>-. 故选：D 【点睛】本题考查了作差法比较大小，考查了构造函数法，利用导数判断式子的大小，属于中档题. 7．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则下述四个结论：①3ω=②4πϕ=③62f π⎛⎫=⎪⎝⎭④点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭为函数()f x 的一个对称中心 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②③ B ．①③④C ．①②④D ．②③④【答案】B 【解析】 【分析】首先根据三角函数的平移规则表示出()g x ，再根据对称性求出ω、ϕ，即可求出()f x 的解析式，从而验证可得； 【详解】解：由题意可得()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 又∵()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，∴1242432k k ππωϕππππωωϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪-+=+⎪⎩()12,k k ∈Z ，∴解得()123k k πωπ=-()12,k k ∈Z ，即()123k k ω=-()12,k k ∈Z ，又∵06ω<<，∴3ω=，4πϕ=-，∴()sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴3sin 6642f πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴①③④正确，②错误. 故选：B 【点睛】本题考查三角函数的性质的应用，三角函数的变换规则，属于基础题.8．a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a=（ ） A ．2 BCD ．1【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】2||21230,3a ia a a a i+=∴+=∴=±>∴=，选B.9．已知函数()()614,7,7x a x x f x ax -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1(,0)2-B ．1(2,)2- C ．(1,1)- D ．1(,1)2【答案】A 【解析】 【分析】首先根据()f x 为R 上的减函数，列出不等式组，求得112a ≤<，所以当a 最小时，12a =，之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题，画出图形，数形结合得到结果. 【详解】由于()f x 为R 上的减函数，则有()1001714a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪≤-+⎩，可得112a ≤<， 所以当a 最小时，12a =， 函数()4y f x kx =--恰有两个零点等价于方程()4f x kx =+有两个实根， 等价于函数()y f x =与4y kx =+的图像有两个交点．画出函数()f x 的简图如下，而函数4y kx =+恒过定点()0,4，数形结合可得k 的取值范围为102k -<<．故选：A. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，数形结合思想的应用，属于中档题目.10．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=，若以AB为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2 B 3C ．2D 5【答案】C 【解析】 【分析】由0FA FB +=得F 是弦AB 的中点.进而得AB 垂直于x 轴，得2b ac a=+，再结合,,a b c 关系求解即可【详解】因为0FA FB +=，所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，所以2b a c a =+，即22c a a ca-=+，则c a a -=，故2c e a ==. 故选：C 【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题． 11．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ）A ．11a b> B ．11a b a>- C ．|a|>|b|D ．22a b >【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可. 【详解】选项A ：由于0a b <<，即0ab >，0b a ->，所以110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以成立； 选项B ：由于0a b <<，即0a b -<，所以110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a<-，所以不成立； 选项C ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以成立；选项D ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以22a b >，所以成立. 故选：B. 【点睛】本题考查不等关系和不等式，属于基础题.12．已知非零向量,a b 满足0a b ⋅=，||3a =，且a 与a b +的夹角为4π，则||b =（ ）A ．6B ．C ．D ．3【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可． 【详解】解：非零向量a ，b 满足0a b =，可知两个向量垂直，||3a =，且a 与a b +的夹角为4π， 说明以向量a ，b 为邻边，a b +为对角线的平行四边形是正方形，所以则||3b =． 故选：D ． 【点睛】本题考查向量的几何意义，向量加法的平行四边形法则的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
八省联考福建省数学试题及答案
八省联考福建省数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是质数？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 计算下列表达式的值：\( (-2)^2 \)A. 4B. -4C. 2D. -2答案：A3. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。
A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A4. 如果函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求 \( f(2) \) 的值。
A. 0B. 4C. 8D. 12答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 一个数的平方根是它本身，这个数是______。
答案：06. 圆的周长公式是 \( C = 2\pi r \)，如果半径 \( r = 3 \)，那么周长是______。
答案：18\( \pi \)7. 等差数列的第一个项是2，公差是3，第5项是______。
答案：178. 一个长方体的长、宽、高分别是4、3、2，求其体积。
答案：24三、解答题（每题10分，共30分）9. 解不等式 \( 3x - 5 < 2x + 4 \)。
解：首先将不等式两边的 \( x \) 项合并，得到 \( 3x - 2x < 4 + 5 \)，简化后得到 \( x < 9 \)。
10. 已知点A(-1, 2)和点B(4, -1)，求这两点连线的斜率。
解：斜率公式为 \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)，代入点A和点B的坐标，得到 \( m = \frac{-1 - 2}{4 - (-1)} = \frac{-3}{5} \)。
11. 证明：如果一个角是直角，那么它的余角也是直角。
证明：设角A为直角，即 \( A = 90^\circ \)。
根据角度和的性质，我们知道一个三角形的内角和为 \( 180^\circ \)。
设角B是角A 的余角，那么 \( A + B = 90^\circ \)。
福建省厦门市2021届新高考适应性测试卷数学试题(1)含解析
福建省厦门市2021届新高考适应性测试卷数学试题（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．四人并排坐在连号的四个座位上，其中A 与B 不相邻的所有不同的坐法种数是（ ） A ．12B ．16C ．20D ．8【答案】A【解析】【分析】先将除A ，B 以外的两人先排，再将A ，B 在3个空位置里进行插空，再相乘得答案.【详解】先将除A ，B 以外的两人先排，有222A =种；再将A ，B 在3个空位置里进行插空，有23326A =⨯=种，所以共有2612⨯=种.故选：A【点睛】本题考查排列中不相邻问题，常用插空法，属于基础题.2．已知复数12i z i-=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ） A ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z 的坐标得出答案.【详解】 解：1(1)(2)312(2)(2)55i i i z i i i i --+===---+Q ， z ∴在复平面内对应的点的坐标是31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．3．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．154C ．265D ．15【答案】D【解析】【分析】连接BE ，BD ，因为//BE AF ，所以BED ∠为异面直线AF 与DE 所成的角（或补角），不妨设正方体的棱长为2，取BD 的中点为G ，连接EG ，在等腰BED ∆中，求出3cos 5EG BEG BE ∠==，在利用二倍角公式，求出cos BED ∠，即可得出答案.【详解】连接BE ，BD ，因为//BE AF ，所以BED ∠为异面直线AF 与DE 所成的角（或补角），不妨设正方体的棱长为2，则5BE DE ==，22BD =，在等腰BED ∆中，取BD 的中点为G ，连接EG ，则523EG =-=，3cos 5EG BEG BE ∠==， 所以2cos cos 22cos 1BED BEG BEG ∠=∠=∠-，即：31cos 2155BED ∠=⨯-=， 所以异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为15. 故选：D.【点睛】本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力. 4．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ）A ．15B ．120C ．112D ．340【答案】C【解析】【分析】先根据组合数计算出所有的情况数，再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况，由此可求解出对应的概率.【详解】所有的情况数有：310120C =种，3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有：()()()()()()()()()()1,2,3,3,4,5,5,6,7,7,8,9,1,4,7,3,6,9,1,3,5,3,5,7,5,7,9,1,5,9，共10种， 所以目标事件的概率10112012P ==. 故选：C.【点睛】本题考查概率与等差数列的综合，涉及到背景文化知识，难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行分析；当情况数较多时，可考虑用排列数、组合数去计算.5．已知函数()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，若123523x x x π++=，则()f x 的最小正周期为（ ） A ．2π B ．23π C ．π D ．43π 【答案】C【解析】【分析】 根据题意，知当7π3x ω=时，π5π62x ω+=，由对称轴的性质可知122π3x x ω+=和238π3x x ω+=，即可求出w ，即可求出()f x 的最小正周期.解：由于()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有三个零点1x ，2x ，3x ， 当7π3x ω=时，π5π62x ω+=， ∴由对称轴可知1x ，2x 满足12πππ2662x x ωω+++=⨯， 即122π3x x ω+=. 同理2x ，3x 满足23ππ3π2662x x ωω+++=⨯，即238π3x x ω+=， ∴12310π5π233x x x ω++==，2ω=， 所以最小正周期为：2ππ2T ==. 故选：C.【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期，涉及函数的对称性的应用，考查计算能力.6．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足f x f x (4)(),+=当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，则(3)f =（ ）A ．18-B ．18C ．2-D ．2【答案】C【解析】【分析】由题设条件()()4f x f x +=，可得函数的周期是4，再结合函数是奇函数的性质将()3f 转化为()1f 函数值，即可得到结论.【详解】由题意，()()4f x f x +=，则函数()f x 的周期是4，所以，()()()3341f f f =-=-，又函数()f x 为R 上的奇函数，且当()0,2x ∈时，()22f x x =， 所以，()()()3112f f f =-=-=-.故选：C.本题考查函数的周期性，由题设得函数的周期是解答本题的关键，属于基础题.7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（ ）A ．12-B ．15-C ．16-D ．18-【答案】C【解析】【分析】根据已知条件求得等差数列{}n a 的通项公式，判断出n S 最小时n 的值，由此求得n S 的最小值.【详解】 依题意11237217a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得17,2a d =-=，所以29n a n =-.由290n a n =-≤解得92n ≤，所以前n 项和中，前4项的和最小，且4146281216S a d =+=-+=-.故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和最值的求法，属于基础题.8．计算2543log sincos ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于( ) A ．32- B ．32 C ．23- D ．23【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值.【详解】原式2221log cos 2log cos log 232322πππ⎤⎤⎤⎛⎫⎛⎫=-==⎥⎥⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦3223log 22-==-. 故选：A【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.9．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x|x 2﹣4x ﹣5＜0}，则A∩B ＝（ ）A ．{﹣2，﹣1，0}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}【答案】D【分析】解一元二次不等式化简集合B ,再由集合的交集运算可得选项.【详解】因为集合{2,1,0,1,2},{|(5)(1)0}{|15}A B x x x x x =--=-+<=-<<{}{}{}2,1,0,1,2|150,1,2A B x x ∴⋂=--⋂-<<=，故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.10．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去、、A B C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为 （ ） A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】B【解析】根据题意满足条件的安排为：A （甲，乙）B （丙）C （丁）；A （甲，乙）B （丁）C （丙）；A （甲，丙）B （丁）C （乙）； A （甲，丁）B （丙）C （乙）； A （甲）B （丙，丁）C （乙）；A （甲）B （丁）C （乙，丙）；A （甲）B （丙）C （丁，乙）；共7种，选B. 11．二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，1x 项的系数为（ ） A ．94516- B ．18932- C ．2164- D ．28358【答案】D【解析】【分析】写出二项式的通项公式,再分析x 的系数求解即可.【详解】 二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为777217731(3)22r r r r r r r r x T C C x x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令721r -=-,得4r =,故1x 项的系数为7444712835(3)28C -⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故选：D【点睛】 本题主要考查了二项式定理的运算,属于基础题.12．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（ ）A ．正方体B ．球体C ．圆锥D ．长宽高互不相等的长方体 【答案】C【解析】【分析】根据基本几何体的三视图确定．【详解】正方体的三个三视图都是相等的正方形，球的三个三视图都是相等的圆，圆锥的三个三视图有一个是圆，另外两个是全等的等腰三角形，长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形． 故选：C ．【点睛】本题考查基本几何体的三视图，掌握基本几何体的三视图是解题关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省福州市2021届新高考适应性测试卷数学试题(3)含解析
福建省福州市2021届新高考适应性测试卷数学试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数z 满足()113z i i -=-，则复数z 等于（） A ．1i - B ．1i +C ．2D ．-2【答案】B 【解析】 【分析】通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可. 【详解】复数z 满足()1132z i i -=-=， ∴()()()2121111i z i i i i +===+--+， 故选B. 【点睛】本题主要考查复数的基本运算，复数模长的概念，属于基础题． 2．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]【答案】B 【解析】 由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.3．已知||3a =，||2b =，若()a ab ⊥-，则向量a b +在向量b 方向的投影为（ ） A ．12B ．72C ．12-D ．72-【答案】B 【解析】 【分析】由()a ab ⊥-，||3a =，||2b =3a b ⇒⋅=，再由向量a b +在向量b 方向的投影为()||a b bb +⋅化简运算即可 【详解】∵()a ab ⊥-∴()230a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=，∴3a b ⋅=， ∴向量a b +在向量b 方向的投影为2()347||cos ,22||||a b b a b b a b a b b b b +⋅⋅++++====.故选：B. 【点睛】本题考查向量投影的几何意义，属于基础题4．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（ ） A ．()2112f t t f ⎛⎫++>⎪⎝⎭B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +>【答案】D 【解析】 【分析】根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可． 【详解】由条件可得(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+=∴函数()f x 关于直线1x =-对称；()f x 在[1-，)+∞上单调递增，且在20t -<<时使得(0)()0f f t <；又(2)(0)f f -=()0f t ∴<，(2)(0)0f f -=>，所以选项B 成立；223112()0224t t t ++-=++>，21t t ∴++比12离对称轴远， ∴可得21(1)()2f t t f ++>，∴选项A 成立；22(3)(2)250t t t +-+=+>，|3||2|t t ∴+>+，∴可知2t +比1t +离对称轴远 (2)(1)f t f t ∴+>+，选项C 成立；20t -<<，22(2)(1)23t t t ∴+-+=+符号不定，|2|t ∴+，|1|t +无法比较大小，(1)()f t f t ∴+>不一定成立．故选：D ． 【点睛】本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5．已知i 为虚数单位，若复数z 满足5i 12iz =-+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i -+C ．12i -D ．12i +【答案】A 【解析】分析：题设中复数满足的等式可以化为512z i i=++，利用复数的四则运算可以求出z . 详解：由题设有512112z i i i i i=+=-+=-+，故1z i =+，故选A. 点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题.6．设10(){2,0xx f x x -≥=<，则((2))f f -=（ ）A ．1-B ．14C ．12D ．32【答案】C 【解析】试题分析：()21224f --==，()()111211422f f f ⎛⎫∴-===-= ⎪⎝⎭．故C 正确． 考点：复合函数求值．7．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( ) A ．29 B ．30C ．31D ．32【答案】B 【解析】 【分析】设正项等比数列的公比为q ，运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求． 【详解】设正项等比数列的公比为q ， 则a 4=16q 3，a 7=16q 6，a 4与a 7的等差中项为98， 即有a 4+a 7=94， 即16q 3+16q 6，=94，解得q=12（负值舍去），则有S 5=()5111a q q--=511612112⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-=1． 故选C ． 【点睛】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题． 8．双曲线﹣y 2=1的渐近线方程是（ ）A ．x±2y=0B ．2x±y=0C ．4x±y=0D ．x±4y=0【答案】A 【解析】试题分析：渐近线方程是﹣y 2=1，整理后就得到双曲线的渐近线．解：双曲线 其渐近线方程是﹣y 2=1整理得x±2y=1． 故选A ．点评：本题考查了双曲线的渐进方程，把双曲线的标准方程中的“1”转化成“1”即可求出渐进方程．属于基础题．9．若集合{}(2)0A x x x =->，{}10B x x =->，则A B =A ．{}10x x x ><或B ．{}12x x << C ．{|2}x x >D ．{}1x x >【答案】C 【解析】 【分析】解一元次二次不等式得{|2A x x =>或0}x <，利用集合的交集运算求得A B ={|2}x x >.【详解】因为{|2A x x =>或0}x <，{}1B x x =>，所以AB ={|2}x x >，故选C.本题考查集合的交运算，属于容易题. 10．设复数z 满足z ii z i-=+，则z =（ ） A ．1 B ．-1C ．1i -D ．1i +【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的四则运算即可求解. 【详解】 由()(1)11z ii z i i z i i z i z z i-=⇒-=+⇒-=-⇒=-+. 故选：B 【点睛】本题考查了复数的四则运算，需掌握复数的运算法则，属于基础题.11．已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】 【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c 的大小关系.详解：由题意可知：3337392log log log <<，即12a <<，13111044⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即01b <<， 133317552log log log =>，即c a >，综上可得：c a b >>.本题选择D 选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．12．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．13CD【答案】C【分析】根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以1d =≤，解得44k -≤≤所以相交的概率224P ==,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届高三新高考统一适应性考八省适应性全解析
PC
−1，设 P(x, ln
x), C (e
+
1 , 0), e
PC
2
=
x2
−
2(e
+
1)x e
+
e
+
1 2 e
+ (ln
x)2 ,
(设圆心为 C),
g(x)
=
x2
−
2(e
+
1)x e
+
e
+
1 e
2
+
(ln
x)2
得 g '(x) = 2(x − e) + 2(ln x − 1) ，我们知道常见不等式： ln x 1 , 当 x = e 等号成立，所以 g(x)
解析（阮国勇）：C
设乙丙丁各分 x, y, z 钱，由题意有：这 5 人分的钱成等差数列，从小到大排，设丙分得 a 元，有 40 = 5a ，得 a = 8 ，所以甲乙丙丁戊成等差数列，且公差为 8 −10.4 = −1.2 ，所以乙分 9 两 2
2
钱，丙分 8 两，丁分 6 两 8 钱.故选：C
6．函数
5．《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是屮国古代数学名著，程大位著.书中有 如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙 丙丁各该若干？”意思是：有 5 人分 40 两银子，甲分 10 两 4 钱，戊分 5 两 6 钱，且 相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1 两等于 10 钱）（ ） A．乙分 8 两，丙分 8 两，丁分 8 两 B．乙分 8 两 2 钱，丙分 8 两，丁分 7 两 8 钱 C．乙分 9 两 2 钱，丙分 8 两，丁分 6 两 8 钱 D．乙分 9 两，丙分 8 两，丁分 7 两