第十二压杆稳定-PPT精品
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压杆稳定《材料力学》ch-12课件
挠曲线的近似微分方程是描述压 杆在失稳状态下位移和载荷关系 的数学模型。
02
该方程基于能量平衡原理和变分 法推导得出，通过求解该方程可 以得到压杆的挠曲线，进而分析 其失稳模态和临界载荷。
初始挠度的影响
初始挠度是指压杆在未受力作用前的弯曲程度，对压杆的稳 定性有很大影响。
初始挠度会导致压杆在受力时发生弯曲变形，进而影响其失 稳模态和临界载荷。因此，在进行压杆稳定性分析时，需要 考虑初始挠度的影响，并进行相应的修正。
04
压杆稳定的实验研究
实验目的与原理
实验目的
通过实验研究，掌握压杆稳定的基本原 理和影响因素，提高对压杆失稳现象的 认识。
VS
实验原理
压杆稳定是指在外力作用下，细长杆保持 其平衡状态的能力。当外力增大到一定程 度时，压杆可能发生弯曲或失稳。本实验 通过观察不同条件下的压杆失稳现象，分 析影响压杆稳定性的因素。
详细描述
通过改变截面的形状，可以改变压杆的惯性矩和截面的应力分布，从而改变其稳定性。例如，将圆形截面改为方 形、矩形或六面体形，可以增加压杆的抗弯刚度，提高其稳定性。
设置支撑
总结词
设置合理的支撑可以提高压杆的稳定性。
详细描述
支撑可以有效地减少压杆的自由长度，从而提高其稳定性。支撑的设置应考虑到压杆的工作环境和受 力情况，以避免过度的应力集中和支撑结构的破坏。同时，支撑结构的刚度和稳定性也需要进行考虑 和设计。
稳定性丧失的机理
弯曲变形
当轴向压力超过某一临界值时，压杆会发生弯曲变形，导致稳定性丧失。
屈曲
当轴向压力继续增大，压杆将发生屈曲，即部分区域发生弯曲，导致整体失稳。
临界压力与欧拉公式临界源自力指使压杆由稳定平衡状态转变为不稳 定平衡状态的轴向压力。
02
该方程基于能量平衡原理和变分 法推导得出，通过求解该方程可 以得到压杆的挠曲线，进而分析 其失稳模态和临界载荷。
初始挠度的影响
初始挠度是指压杆在未受力作用前的弯曲程度，对压杆的稳 定性有很大影响。
初始挠度会导致压杆在受力时发生弯曲变形，进而影响其失 稳模态和临界载荷。因此，在进行压杆稳定性分析时，需要 考虑初始挠度的影响，并进行相应的修正。
04
压杆稳定的实验研究
实验目的与原理
实验目的
通过实验研究，掌握压杆稳定的基本原 理和影响因素，提高对压杆失稳现象的 认识。
VS
实验原理
压杆稳定是指在外力作用下，细长杆保持 其平衡状态的能力。当外力增大到一定程 度时，压杆可能发生弯曲或失稳。本实验 通过观察不同条件下的压杆失稳现象，分 析影响压杆稳定性的因素。
详细描述
通过改变截面的形状，可以改变压杆的惯性矩和截面的应力分布，从而改变其稳定性。例如，将圆形截面改为方 形、矩形或六面体形，可以增加压杆的抗弯刚度，提高其稳定性。
设置支撑
总结词
设置合理的支撑可以提高压杆的稳定性。
详细描述
支撑可以有效地减少压杆的自由长度，从而提高其稳定性。支撑的设置应考虑到压杆的工作环境和受 力情况，以避免过度的应力集中和支撑结构的破坏。同时，支撑结构的刚度和稳定性也需要进行考虑 和设计。
稳定性丧失的机理
弯曲变形
当轴向压力超过某一临界值时，压杆会发生弯曲变形，导致稳定性丧失。
屈曲
当轴向压力继续增大，压杆将发生屈曲，即部分区域发生弯曲，导致整体失稳。
临界压力与欧拉公式临界源自力指使压杆由稳定平衡状态转变为不稳 定平衡状态的轴向压力。
第9章压杆稳定(12)讲述案例PPT课件
不稳定平衡
微小扰动就使小球远 离原来的平衡位置.
稳定平衡
微小扰动使小球离开原 来的平衡位置，但扰动撤销 后小球回复到平衡位置.
目录
工程实例
目录
压杆的稳定性试验
目录
压杆的平衡
※ 稳定性是指构件保持其原有平 衡状态的能力。
如果扰动除去后，能 够恢复到直线平衡形态， 则原来的直线平衡形态 是稳定的。
欧拉公式
2EI
Fcr l 2
由公式可知：压杆越细、越长，临界力越低，压
杆越容易失稳。
在工程实际中，我们希望提高压杆的临界力，从 而提高压杆的承载能力。
目录
§9.2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
wy
Fcr
欧拉公式
2EI
Fcr l 2
的适用条件：
（1）理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，
5.51.3217m 02m165 查表9-3，对应Q235钢,λ=165的稳定因数为： 0.262 可见前面假设的 过大，重新假设 0.35，得
F A 2 22.7104m2
[]
目录
例题 9-6
查型钢表，试用16号槽钢： A=25. 15cm2，iz=6.1cm。
l 149.2
iz
查表得对应该 λ 的稳定因数为： 0.311
目录
例题 9-4
解：在 xy 平面内，两端铰支，横截面绕 z 轴转
1 2230
Iz
8 12
0
0(cm 04)
iz
Iz A
8000 5.7(7 c m )
1 220
1.0
z
l
iz
1400
69.3
5.77
目录
材料力学 (12)
π EI Fcr 2 ( 2l )
2
π EI Fcr 2 (0.7l )
C— 挠曲 线拐点 2
π 2 EI Fcr 2 (0.5l )
其它约束情况下，压杆临界力的欧拉公式
2 EI Fcr 2 ( l )
上式称为细长压杆临界压力的一般形式
欧拉公式
—长度系数（或约束系数）。 l —相当长度
记
2E 2 p 或写成
2E p p
2E p
p
则 欧拉公式的适用范围：
满足该条件的杆称为细长杆或大柔度杆
对A3钢，当取E=206GPa，σp=200MPa,则
2 2E 206 10 9 p 100 6 p 200 10
M w EI
F w w EI
w
F
w
F w w0 EI F 2 2 w k w0 令k , EI
（3）微分方程的解：w
Asin kx B cos kx
（4）确定积分常数：由边界条件 x=0，w=0；x=l，w=0 确定
由x 0, w 0,得B 0,
2 EImin Fcr ( l )2
(2 500) 2 76.8 103 (N) 76.8(kN)
l i
i I A
≤ 2，粗短杆
2E 1 P
a s 2 b
Fcr cr A
例 F
已知：压杆为Q235钢，l=0.5m，E=200GPa，求细长 压杆的临界压力。
解：I min I y 3.89cm 4 3.89104 mm 4
y0 x x1 x0 z0 x0 x x1 y0
所以，只有压杆的长细比λ≥100时，才能应用欧拉公式计算其 临界压力。
《材料力学》压杆稳定 PPT课件
(b): 木杆的横截面与(a)相同，高为 1.4m(细长压杆），当压力为 0.1KN时杆被压弯，导致破坏。
(a)和(b)竟相差60倍，为什么？
细长压杆的破坏形式：突然产生显著的弯
曲变形而使结构丧失工件能力，并非因强度不
够，而是由于压杆不能保持原有直线平衡状态
(a)
(b) 所致。这种现象称为失稳。
1907年加拿大圣劳伦斯河上的魁北克桥 （倒塌前正在进行悬臂法架设中跨施工）
s
a
s
b
a, b 是与材料性
能有关的常数。
材料 a(MPa) b(MPa) p
s
硅钢 577 3.74 100
60
铬钼钢 980 5.29 55
0
直线公式适合合 金钢、铝合金、铸
硬铝
372
2.14
50
0
铁与松木等中柔度
铸铁 331.9 1.453
压杆。
松木 39.2 0.199 59
3：小柔度杆（短粗压杆）只需进行强度计算。
cr 压杆容易失稳
二、欧拉公式的适用范围
材料服从胡克定律 cr p
cr
2E 2
p
.
2E p
p
2E p
（细长压杆临界柔度）
欧拉公式的适用范围: p ，称大柔度杆（细长压杆 ）
例：Q235钢， E 200 GPa, p 200 MPa.
例：一等直压杆长 L=3.4 m，A=14.72 cm2，I=79.95 cm4，
E =210 GPa，F =60 kN，材料为A3钢，两端为铰支座。
试进行稳定校核。
1、nst= 2； 2、〔σ〕=140 MPa
(a)和(b)竟相差60倍，为什么？
细长压杆的破坏形式：突然产生显著的弯
曲变形而使结构丧失工件能力，并非因强度不
够，而是由于压杆不能保持原有直线平衡状态
(a)
(b) 所致。这种现象称为失稳。
1907年加拿大圣劳伦斯河上的魁北克桥 （倒塌前正在进行悬臂法架设中跨施工）
s
a
s
b
a, b 是与材料性
能有关的常数。
材料 a(MPa) b(MPa) p
s
硅钢 577 3.74 100
60
铬钼钢 980 5.29 55
0
直线公式适合合 金钢、铝合金、铸
硬铝
372
2.14
50
0
铁与松木等中柔度
铸铁 331.9 1.453
压杆。
松木 39.2 0.199 59
3：小柔度杆（短粗压杆）只需进行强度计算。
cr 压杆容易失稳
二、欧拉公式的适用范围
材料服从胡克定律 cr p
cr
2E 2
p
.
2E p
p
2E p
（细长压杆临界柔度）
欧拉公式的适用范围: p ，称大柔度杆（细长压杆 ）
例：Q235钢， E 200 GPa, p 200 MPa.
例：一等直压杆长 L=3.4 m，A=14.72 cm2，I=79.95 cm4，
E =210 GPa，F =60 kN，材料为A3钢，两端为铰支座。
试进行稳定校核。
1、nst= 2； 2、〔σ〕=140 MPa
压杆稳定《材料力学》ch-12课件
实验设备与步骤
实验设备：压杆实验装置、压力表、砝码、各 种不同材料和截面形状的细长杆。
01
1. 准备不同材料和截面形状的细长杆，将 其固定在压杆实验装置上；
03
02
实验步骤
04
2. 在杆的一端施加砝码，逐渐增加压力， 观察压杆在不同压力下的失稳现象；
3. 记录不同条件下（如不同材料、截面形 状、长度、直径等）压杆的失稳载荷；
析。
欧拉公式与临界应力
欧拉公式是计算细长压杆临界应力的公式，其形式为： Pcr = π²EI/L²。
输标02入题
其中，Pcr是临界力，E是弹性模量，I是压杆横截面的 惯性矩，L是压杆长度。
01
03
临界应力是衡量压杆稳定性的重要指标，当压杆所受 应力小于临界应力时，压杆处于稳定状态；当所受应
力大于临界应力时，压杆将发生屈曲失稳。
04
通过欧拉公式可以计算出不同长度和形状的细长压杆 的临界应力。
不同长度压杆的稳定性分析
对于不同长度的压杆，其稳定性分析方法有所不同。
对于细长压杆，可以采用欧拉公式进行计算；对于短粗杆，需要考虑剪切变形和弯 曲变形的影响，可以采用能量法或有限元法进行分析。
在进行稳定性分析时，需要考虑压杆的实际工作条件和载荷情况，以确定合理的分 析方法和参数。
起重机的吊臂、支腿等部位需要承受 较大的压力和弯矩，压杆稳定问题直 接关系到设备的安全性和稳定性。
发动机支架
发动机支架需要承受较大的振动和压 力，压杆稳定问题对于保证发动机的 正常运行至关重要。
其他领域的压杆稳定问题
航空航天
飞机和火箭的结构需要承受较大的气动压力和加速度，压杆稳定问题直接关系到飞行器的安全性和稳定性。
第12章压杆稳定
第12章 压杆稳定
§1 工程中的稳定问题
短压杆与长压杆在压缩时的破坏 性质完全不同 ◆短压杆的破坏属于强度问题
F
30mm
F
1m
◆长压杆的破坏则属于能 否保持其原来的直线平衡
F
状态的问题
F
工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
压杆
a)
+ + +
+
b)
+ + + + + +
桁架中的压杆
+ +
工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
L
i
i
I min A
(L) 故当压杆各方向约束相同时 ，有:
2
Pcr
2 EI min
保国寺大殿的拼柱形式
I min I max
合 理
1056年建，“双筒体”结构，塔身平面为 八角形。经历了1305年的八级地震。
◆减小压杆长度 l ◆减小长度系数μ（增强约束） ◆增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状） ◆增大弹性模量 E（合理选择材料）
11-6
一、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有 关，由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以， 对大柔度杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意 义不大。 对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关， 强度越高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度 杆而言，选择优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。
一、折减系数法作稳定校核 压杆稳定条件：
σ N A
[]
三方面工作： 确定许可载荷
或
N A
稳定性校核
截面尺寸设计(逼近法)
[]—许用压应力； ≤1—折减系数，与柔度和材料有关，可查规范。
§1 工程中的稳定问题
短压杆与长压杆在压缩时的破坏 性质完全不同 ◆短压杆的破坏属于强度问题
F
30mm
F
1m
◆长压杆的破坏则属于能 否保持其原来的直线平衡
F
状态的问题
F
工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
压杆
a)
+ + +
+
b)
+ + + + + +
桁架中的压杆
+ +
工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
L
i
i
I min A
(L) 故当压杆各方向约束相同时 ，有:
2
Pcr
2 EI min
保国寺大殿的拼柱形式
I min I max
合 理
1056年建，“双筒体”结构，塔身平面为 八角形。经历了1305年的八级地震。
◆减小压杆长度 l ◆减小长度系数μ（增强约束） ◆增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状） ◆增大弹性模量 E（合理选择材料）
11-6
一、合理选择材料
对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有 关，由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以， 对大柔度杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意 义不大。 对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关， 强度越高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度 杆而言，选择优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。
一、折减系数法作稳定校核 压杆稳定条件：
σ N A
[]
三方面工作： 确定许可载荷
或
N A
稳定性校核
截面尺寸设计(逼近法)
[]—许用压应力； ≤1—折减系数，与柔度和材料有关，可查规范。
[PPT]材料力学课件之压杆稳定
![[PPT]材料力学课件之压杆稳定](https://img.taocdn.com/s3/m/ad86887ec5da50e2534d7f34.png)
一、工程背景
自动翻斗车中的活塞杆也 有类似的问题。
如图示塔吊，立柱承受压力，当 压力过大时，立柱也有可能从直 线的平衡构形变成弯曲的平衡构 形。除此之外，组成塔吊的桁架 中受压力的杆子也可能从直线的 平衡构形变成弯曲的平衡构形， 也就是稳定性问题。
一、工程背景
如图示紧凑型超高压输电线路相间绝缘 间隔棒，当它受压从直线的平衡构形变成 弯曲的平衡构形时是否一定丧失正常功能 呢？这需要经过实验确定，观察在不同的 力的作用下弯曲到什么程度。
失
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Pc
r
2
l
EI
2
Pcr
2EI
(0.7l)
2
Pcr
2EI
(0.5l ) 2
Pcr (22lE) 2I
长度系数μ =1 0.7 =0.5 =2
即： cr
2E 2
i I ——惯性半径。 A
注：如果压杆在不同平面内失稳，且各平面内支承约束条件不
同，则应分别计算在各平面内失稳时的l，并按其大者来
计算 cr ，因压杆总是在柔度较大的平面内失稳。
3.柔度：
L ——杆的柔度（或长细比）
i
l综合地反映了压杆的长度(l)、支承方式(m)与截面 几何性质(i)对临陆界应力的影响。
EIk 2
4.492 l2
EI
2EI
(0.7l)2
压杆的稳定ppt
定义
01
边界条件是指压杆在支撑条件下的限制条件，如固定、自由、
简支等。
描述
02
不同的边界条件对压杆的稳定性产生不同的影响。例如，固定
边界条件下的压杆比自由边界条件下的压杆更稳定。
影响因素
03
边界条件对压杆稳定性的影响主要表现在支撑反力的分布和大
小上，从而影响压杆的临界载荷和屈曲载荷。
03
压杆稳定性问题的解决策略
合理选择材料和截面形状
选择高强度材料
如合金钢、不锈钢等，能够提高压杆的屈服强度和抗拉强度 ，增加压杆的稳定性。
选择合适的截面形状
如圆形、方形、工字形等，能够改变压杆的截面面积和惯性 矩，进而改变压杆的稳定性。
对压杆进行合理支撑和固定
增加支撑点
通过在压杆的适当位置增加支撑点，能够提高压杆的稳定性，防止其发生屈 曲变形。
船舶设计
在船舶设计中，压杆被用于船体结构的支撑和固定。特 别是在海洋环境中，压杆的稳定性对于抵御海浪冲击和 保证船舶的安全至关重要。
地下工程
在隧道、地铁等地下工程中，压杆被用于支撑和固定土 石方及结构物。其稳定性对于保障地下工程的稳定性和 安全性至关重要。
06
总结与展望
总结
压杆稳定的定义
压杆稳定的重要性
05
压杆稳定性问Leabharlann 的工程应用建筑结构中的压杆稳定性问题
建筑物的支撑结构
在建筑设计中，压杆常被用于支撑和固定建筑结构，如桥梁、高层建筑等。其稳定性直接 影响到建筑物的安全性和使用寿命。
抗风和抗震设计
在地震或强风天气中，建筑物的压杆稳定性显得尤为重要。压杆能够提供必要的支撑力， 帮助建筑物抵御自然灾害。
定义
材料力学第十二章压杆稳定优秀课件
适用欧拉公式，若能用，临界力为多少。
P
【解】 I IminIy
1.5m 100
40 z
y
i Iy 100403 20mm A 1210040 3
l0.71.5130 39.9 0
i
20
P
EP
70 1306.28 175
因≥ P，此压杆为大柔度杆，欧拉公式适用，临界力为：
P cr (2 lE )2 I2 7 (0 1 0 .7 9 1 0 1 .5 )2 0 4 13 0 0 2 1 1 0 2 1 3 0 3.2 3 k4 N
式中a，b是与材料性质有关的常数，例如A3钢，a=304MPa， b=1.12MPa。
其中 称为杆的长度系数。
杆的长度系数与杆端约束情况有关，常见杆端约束的长 度系数如下表。
约束情况
两端铰支
一端固定 一端自由
一端固定 一端铰支
两端固定
压杆形状
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l l l l
长度系数
1
2 0.7 0.5
【例12-1】直径、材料相同，而约束不同的圆截面细长压杆， 哪个临界力最大。
l 1.3l
1.7l 2l
(a)
令 i I ， i 为截面对中性轴的惯性半径。
A
引入记号：
l l A
i
I
称为压杆的柔度（或长细比）。
（a）式改写为：
cr
2E 2
上式为计算压杆临界应力的欧拉公式。
二、欧拉公式的适用范围
欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程得到的，而挠曲线
近似微分方程是在材料线弹性基础上建立的，因此欧拉公式
续弯曲失去承载能力，称压杆直线状态的平衡是不稳定平衡。
P
【解】 I IminIy
1.5m 100
40 z
y
i Iy 100403 20mm A 1210040 3
l0.71.5130 39.9 0
i
20
P
EP
70 1306.28 175
因≥ P，此压杆为大柔度杆，欧拉公式适用，临界力为：
P cr (2 lE )2 I2 7 (0 1 0 .7 9 1 0 1 .5 )2 0 4 13 0 0 2 1 1 0 2 1 3 0 3.2 3 k4 N
式中a，b是与材料性质有关的常数，例如A3钢，a=304MPa， b=1.12MPa。
其中 称为杆的长度系数。
杆的长度系数与杆端约束情况有关，常见杆端约束的长 度系数如下表。
约束情况
两端铰支
一端固定 一端自由
一端固定 一端铰支
两端固定
压杆形状
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l l l l
长度系数
1
2 0.7 0.5
【例12-1】直径、材料相同，而约束不同的圆截面细长压杆， 哪个临界力最大。
l 1.3l
1.7l 2l
(a)
令 i I ， i 为截面对中性轴的惯性半径。
A
引入记号：
l l A
i
I
称为压杆的柔度（或长细比）。
（a）式改写为：
cr
2E 2
上式为计算压杆临界应力的欧拉公式。
二、欧拉公式的适用范围
欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程得到的，而挠曲线
近似微分方程是在材料线弹性基础上建立的，因此欧拉公式
续弯曲失去承载能力，称压杆直线状态的平衡是不稳定平衡。
《压杆稳定教学》课件
临界载荷法：通过临界载荷 计算，判断系统稳定性
稳定性图解法：通过稳定性 图解，判断系统稳定性
压杆稳定实验方法
第五章
实验目的
验证压杆稳定理论 掌握压杆稳定实验的基本操作 学习压杆稳定实验数据分析方法 提高压杆稳定实验的实践能力
实验原理
压杆稳定实验是研究压杆在受力作用下的稳定性问题
实验原理基于欧拉-伯努利梁理论，通过测量压杆在不同载荷下的变形和应力分布，分析 压杆的稳定性
第二章
课件背景
压杆稳定是工程力学中的重要概念 课件旨在帮助学生理解压杆稳定的原理和应用 课件包括理论讲解、实例分析、习题练习等环节 课件适用于工程力学、土木工程等专业的学生
教学目标
掌握压杆稳定的 基本概念和原理
学会分析压杆稳 定问题
掌握压杆稳定计 算的基本方法
提高学生的工程 实践能力
适用对象
工程力学专业的学生
结构工程专业的学生
土木工程专业的学生
机械工程专业的学生
相关领域的研究人员 和工程师
内容结构
压杆稳定理 论基础
压杆稳定设 计方法
压杆稳定分 析方法
压杆稳定实 验与验证
压杆稳定实 例分析
压杆稳定发 展趋势
压杆稳定基本概念
第三章
压杆定义
压杆：承受轴向压力的杆件 压杆的种类：直杆、曲杆、斜杆等 压杆的受力：轴向压力、剪切力、弯矩等 压杆的稳定性：压杆在受力作用下的稳定性能，包括临界载荷、临界应力等。
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汇报人：PPT
案例总结与启示
案例背景：某建筑工程中，压杆稳定性问题 案例分析：通过理论分析和实验验证，确定压杆稳定性的影响因素 案例启示：在实际工程中，应充分考虑压杆稳定性的影响因素，确保工程安全 案例应用：在工程设计中，采用压杆稳定性分析方法，提高工程安全性能
相关主题
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P
kL 2n
为求最小临界力， “ k”应取除零以外的最小值，即取：
kL2
所以，临界力为：
42EI 2EI
Pcr L2 (L/2)2
=0.5
例12-2-2 求下列细长压杆的临界力。
解：①、绕
y 轴，两端铰支：=1.0，I y
b3h 12
,
Pcry
2 EI y L22
②、绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
P y
P y
x
M
P
x
①、弯矩： M(x,y)Py
P ②、挠曲线近似微分方程：
yM P y EI EI
yPyyk2y0 EI
其 中: k2 P EI
③、微分方程的解： yA six n B co xs ④、确定积分常数： y(0)y(L)0
即 : A As0 in kB L B 0coksL 0
1、理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。
2、压杆的稳定平衡与不稳定平衡：
稳 定 平 衡
不 稳 定 平 衡
3、压杆失稳：
4、压杆的临界压力
临界状态
稳
对应的
定
平过
衡
压力
临界压力:P
cr
不 稳 度定 平 衡
§12－2 细长压杆临界力的欧拉公式 一、两端较之压杆的临界力:
假定压力以达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，从挠 曲线入手，求临界力。
P
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
M0
P
x
x
M
E y I M (x ) P M y
令:k2 P EI
EyIk2yk2 M P
y M0 P
y
ycco ks xdsiknx
边界条件为:
M0
P
x 0 ,y y 0 ; x L ,y y 0
cM ,d0,k L 2n 并 k L n
第十二章 压杆稳定
§12–1 压杆稳定性的概念 §12–2 细长压杆临界力的欧拉公式 §12–3 超过比例极限时压杆临界应力 §12-4 压杆的稳定校核及其合理截面
§12－１ 压杆稳定性的概念
P
一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 1 不稳定平衡
2 稳定平衡
3 稳定平衡和不稳定平衡
一、压杆失稳与临界压力 ：
=0.7，
bh3 Iz 12 ,
Pcrz
2EIz
(0.7L1 )2
③、压杆的临界力 P crmiP cnr,y(P cr)z
例12-2-3 求下列细长压杆的临界力。
解：图（a）
P
Im in 51 0 12 30 11 02 4.1 7 19 0 m 4
Pcr
2Im (1l
inE )2
24.17200
P的杆为中小 临 柔 界 度 力 杆 不 ， 能 求 其 用 。 欧拉公
二、中小柔度杆的临界应力计算
1、直线型经验公式
①、P<<S 时： cr ab crabs
s a
b
s
s P的杆为中柔度 界杆 应， 力其 用临 经验公式
②、S< 时： cr s
S的杆为小柔度 界杆 应， 力其 为临 屈
cr
S
cr a b
1、理想压杆； 2、线弹性范围内； 3、两端为球铰支座；
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
P c r(2 E L I )m 2 in… ...压 杆 临 界 力 欧 拉 公 式 的 一 般 形 式
—长度系数（或约束系数）。
例12-2-1 试由挠曲线近似微分方程，导出下述两种细长压杆的临
界力公式。
P c rA c r 2 8 .3 1 6 4 0 1 7.7 8 1 6 1 0 3k 0N 4
安全系数
nPcr 3042.02 P 150
例12-3-2、两端固定的管道长L=2m，外径D=40mm，内径d=30mm， 材料为A3钢，E=210GPa，线膨胀系数为 =12.5 10-61/C0 ，安装 时温度为T0= 10C0，试求不引起管道失稳的最高温度T=?
(0.70.5)2 67.14kN
z
y
L
图（b） Im in Iz3.8 9 1 8 0 m 4
Pcr
2Im (2l
inE )2
20.389200
(20.5)2 76.8kN
图（a）
图（b）
§10－3 超过比例极限时压杆临界应力 一、 基本概念
1、临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
②、S< 时： cr s
例12-3-1、一压杆长L=1.5m，由两根 56568 等边角钢组成，两 端铰支，压力P=150kN，角钢为A3钢，试用欧拉公式或抛物线公 式求临界压力和安全系数。 解：一个角钢： A 18 .36 cm 2 7 ,Iy12.6 3c3m 4
两根角钢图示组合之后 I y Iz
0, sinkL,
1 0
coks L
s ik nL 0
k n P
L
EI
临界力 P c r 是微弯下的最小压力， 故，只能取n=1 ；且杆将绕惯性
Pcr
2EImin
L2
矩最小的轴弯曲。
P c r2 L E 2 I m in
… . . . 两 端 铰 支 压 杆 临 界 力 的 欧 拉 公 式
二、此公式的应用条件：
解：（1）、求T与P之间的关系:
LPE PL A LTLT
P
P
PTEA
（2）、判断杆的失效性质（是稳定失效还是强度失效）
D2d2 420320
i
1.2 5mm
4
4
(il)10 .25.512 03 80
cr
Pcr A
2、细长压杆的临界应力： crP A cr( L 2E )2AI(L 2/E i)222 E
即： cr
2E 2
i I ——惯性半径。 A
3、柔度： L ——杆的柔度（或） 长细比
i
4、大柔度杆的分界：
cr
2E 2
P
2E P
P
满足 P的杆称为长 大细 柔杆 度） 杆 欧 ， （ 拉 其 或 公 临
Im in Iy 2 Iy 1 2 2.6 3 3 4.2 7 c6 4 m
i Imin 4.7261.6c8m A 28.367
il1 1.658 08.9 3c123
所以，应由抛物线公式求临界压力。
cr s[1 0 .4(3 c)2 ] 2[3 1 0 5 .4(8 1 3.3 9 2 )2 ] 3 1.7 8 MPa
③、临界应力总图
P
2E
cr
2
o
s s a
b
P 2E P
L
i
2、抛物线型经验公式
①、P<<S 时： cra1b12
我国建筑业常用：
cr
s 1c
2
对 A 3 钢 于 A 5 钢 、 1锰 和 6 钢 0 .4： ， 3 c0 .5 2E 6 S
C 时，由此式求临界。 应力
kL 2n
为求最小临界力， “ k”应取除零以外的最小值，即取：
kL2
所以，临界力为：
42EI 2EI
Pcr L2 (L/2)2
=0.5
例12-2-2 求下列细长压杆的临界力。
解：①、绕
y 轴，两端铰支：=1.0，I y
b3h 12
,
Pcry
2 EI y L22
②、绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
P y
P y
x
M
P
x
①、弯矩： M(x,y)Py
P ②、挠曲线近似微分方程：
yM P y EI EI
yPyyk2y0 EI
其 中: k2 P EI
③、微分方程的解： yA six n B co xs ④、确定积分常数： y(0)y(L)0
即 : A As0 in kB L B 0coksL 0
1、理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。
2、压杆的稳定平衡与不稳定平衡：
稳 定 平 衡
不 稳 定 平 衡
3、压杆失稳：
4、压杆的临界压力
临界状态
稳
对应的
定
平过
衡
压力
临界压力:P
cr
不 稳 度定 平 衡
§12－2 细长压杆临界力的欧拉公式 一、两端较之压杆的临界力:
假定压力以达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，从挠 曲线入手，求临界力。
P
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
M0
P
x
x
M
E y I M (x ) P M y
令:k2 P EI
EyIk2yk2 M P
y M0 P
y
ycco ks xdsiknx
边界条件为:
M0
P
x 0 ,y y 0 ; x L ,y y 0
cM ,d0,k L 2n 并 k L n
第十二章 压杆稳定
§12–1 压杆稳定性的概念 §12–2 细长压杆临界力的欧拉公式 §12–3 超过比例极限时压杆临界应力 §12-4 压杆的稳定校核及其合理截面
§12－１ 压杆稳定性的概念
P
一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 1 不稳定平衡
2 稳定平衡
3 稳定平衡和不稳定平衡
一、压杆失稳与临界压力 ：
=0.7，
bh3 Iz 12 ,
Pcrz
2EIz
(0.7L1 )2
③、压杆的临界力 P crmiP cnr,y(P cr)z
例12-2-3 求下列细长压杆的临界力。
解：图（a）
P
Im in 51 0 12 30 11 02 4.1 7 19 0 m 4
Pcr
2Im (1l
inE )2
24.17200
P的杆为中小 临 柔 界 度 力 杆 不 ， 能 求 其 用 。 欧拉公
二、中小柔度杆的临界应力计算
1、直线型经验公式
①、P<<S 时： cr ab crabs
s a
b
s
s P的杆为中柔度 界杆 应， 力其 用临 经验公式
②、S< 时： cr s
S的杆为小柔度 界杆 应， 力其 为临 屈
cr
S
cr a b
1、理想压杆； 2、线弹性范围内； 3、两端为球铰支座；
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
P c r(2 E L I )m 2 in… ...压 杆 临 界 力 欧 拉 公 式 的 一 般 形 式
—长度系数（或约束系数）。
例12-2-1 试由挠曲线近似微分方程，导出下述两种细长压杆的临
界力公式。
P c rA c r 2 8 .3 1 6 4 0 1 7.7 8 1 6 1 0 3k 0N 4
安全系数
nPcr 3042.02 P 150
例12-3-2、两端固定的管道长L=2m，外径D=40mm，内径d=30mm， 材料为A3钢，E=210GPa，线膨胀系数为 =12.5 10-61/C0 ，安装 时温度为T0= 10C0，试求不引起管道失稳的最高温度T=?
(0.70.5)2 67.14kN
z
y
L
图（b） Im in Iz3.8 9 1 8 0 m 4
Pcr
2Im (2l
inE )2
20.389200
(20.5)2 76.8kN
图（a）
图（b）
§10－3 超过比例极限时压杆临界应力 一、 基本概念
1、临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
②、S< 时： cr s
例12-3-1、一压杆长L=1.5m，由两根 56568 等边角钢组成，两 端铰支，压力P=150kN，角钢为A3钢，试用欧拉公式或抛物线公 式求临界压力和安全系数。 解：一个角钢： A 18 .36 cm 2 7 ,Iy12.6 3c3m 4
两根角钢图示组合之后 I y Iz
0, sinkL,
1 0
coks L
s ik nL 0
k n P
L
EI
临界力 P c r 是微弯下的最小压力， 故，只能取n=1 ；且杆将绕惯性
Pcr
2EImin
L2
矩最小的轴弯曲。
P c r2 L E 2 I m in
… . . . 两 端 铰 支 压 杆 临 界 力 的 欧 拉 公 式
二、此公式的应用条件：
解：（1）、求T与P之间的关系:
LPE PL A LTLT
P
P
PTEA
（2）、判断杆的失效性质（是稳定失效还是强度失效）
D2d2 420320
i
1.2 5mm
4
4
(il)10 .25.512 03 80
cr
Pcr A
2、细长压杆的临界应力： crP A cr( L 2E )2AI(L 2/E i)222 E
即： cr
2E 2
i I ——惯性半径。 A
3、柔度： L ——杆的柔度（或） 长细比
i
4、大柔度杆的分界：
cr
2E 2
P
2E P
P
满足 P的杆称为长 大细 柔杆 度） 杆 欧 ， （ 拉 其 或 公 临
Im in Iy 2 Iy 1 2 2.6 3 3 4.2 7 c6 4 m
i Imin 4.7261.6c8m A 28.367
il1 1.658 08.9 3c123
所以，应由抛物线公式求临界压力。
cr s[1 0 .4(3 c)2 ] 2[3 1 0 5 .4(8 1 3.3 9 2 )2 ] 3 1.7 8 MPa
③、临界应力总图
P
2E
cr
2
o
s s a
b
P 2E P
L
i
2、抛物线型经验公式
①、P<<S 时： cra1b12
我国建筑业常用：
cr
s 1c
2
对 A 3 钢 于 A 5 钢 、 1锰 和 6 钢 0 .4： ， 3 c0 .5 2E 6 S
C 时，由此式求临界。 应力