圆周运动的实例及临界问题

圆周运动的实例及临界问题

一、汽车过拱形桥

1．汽车在拱形桥最高点时，向心力：F 合＝

mg －N ＝m v 2

R

.

支持力：N ＝mg －mv 2

R

＜mg ，汽车处于失重状

态． 2．汽车对桥的压力N ′与桥对汽车的支持N 是一对相互作用力，大小相等，所以汽车通过最高点时的速度越大，汽车对桥面的压力就越小．

例1 一辆质量m ＝2 t 的轿车，驶过半径R

＝90 m 的一段凸形桥面，g ＝10 m/s 2

，求：

(1)轿车以10 m/s 的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？

(2)在最高点对桥面的压力等于轿车重力的一半时，车的速度大小是多少？

解析 (1)轿车通过凸形桥面最高点时，受力分析如图所示：

合力F ＝mg －N ，由向心力公式得mg －N ＝m v 2

R

，故

桥面的支持力大小N ＝mg －m v

2R

＝(2 000×10－2

000×102

90) N ≈×104 N 根据牛顿第三定律，轿车在桥面最高点时对桥面压力的大小为×104

N. (2)对桥面的压力等于轿车重力的一半时，向心力F ′＝mg －N ′＝，而F ′＝m v ′2R ，所以此时轿

车的速度大小v ′＝错误!＝错误! m/s ≈21.2 m/s 答案 (1)×104

N (2)21.2 m/s 二、圆锥摆模型 1．运动特点：人及其座椅在水平面内做匀速圆周运动，悬线旋转形成一个圆锥面． 图1

2．运动分析：将“旋转秋千”简化为圆锥

摆模型(如图1所示) (1)向心力：F 合＝mg tan_α

(2)运动分析：F 合＝mω2r ＝mω2

l sin α

(3)缆绳与中心轴的夹角α满足cos α＝

g ω2l

. 图6

例2 如图6所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A 和B ，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下物理量大小关系正确的是( )

A ．速度v A ＞v

B B ．角速度ωA ＞ωB

C ．向心力F A ＞F B

D ．向心加速度a A ＞a B

解析 设漏斗的顶角为2θ，则小球的合力为F 合

＝mg

tan θ，由F ＝F 合＝mg

tan θ＝mω2

r ＝m v 2

r

＝ma ，知向心力F A ＝F B ，向心加速度a A ＝a B ，选项C 、D

错误；因r A ＞r B ，又由v ＝ gr

tan θ

和ω＝

g

r tan θ

知v A ＞v B 、ωA ＜ωB ，故A 对，B 错．

答案 A

三、火车转弯

1．运动特点：火车转弯时做圆周运动，具有向心加速度，需要向心力． 2．铁路弯道的特点：转弯处外轨略高于内轨，铁轨对火车的支持力斜向弯道的内侧，此支

持力与火车所受重力的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力．

例3 铁路在弯道处的内、外轨道高度是不

同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ，

如图7所示，弯道处的圆弧半径为R ，若质量为m 的火车转弯时速度等于gR tan θ，则( ) A ．内轨对内侧车轮轮缘有挤压 B ．外轨对外侧车轮轮缘有挤压 C ．这时铁轨对火车的支持力等于mg

cos θ

D ．这时铁轨对火车的支持力大于mg

cos θ

解析 由牛顿第二定律F 合＝m v 2R

，解得F 合＝mg tan

θ，此时火车受重力和铁路轨道的支持力作用，如图所示，N cos θ＝mg ，则N ＝mg cos θ

，内、外轨道对火车均无侧向压力，故C 正确，A 、B 、D 错误． 答案 C

课后

巩固训练

2．(圆锥摆模型)两个质量相同的小球，在同一水平面内做匀速圆周运动，悬点相同，如图9所示，A 运动的半径比B 的大，则( )

A ．A 所需的向心力比

B 的大 B ．B 所需的向心力比A 的大

C ．A 的角速度比B 的大

D ．B 的角速度比A 的大

解析 小球的重力和绳子的拉力的合力充当向心力，设悬线与竖直方向夹角为θ，则F ＝mg tan

θ＝mω2

l sin θ，θ越大，向心力F 越大，所以A 对，B 错；而ω2

＝

g

l cos θ＝g

h

.故两者的角

速度相同，C 、D 错．答案 A

3．半径为R 的光滑半圆球固定在水平面上(如图2所示)，顶部有一小物体A ，今给它一个水平初速度v 0＝Rg ，则物体将( )

A ．沿球面下滑至M 点

B ．沿球面下滑至某一点N ，便离开球面做斜下抛运动

C ．沿半径大于R 的新圆弧轨道做圆周运动

D ．立即离开半圆球做平抛运动

答案 D

解析 当v 0＝gR 时，所需向心力F ＝m v 20

R

＝mg ，

此时，物体与半球面顶部接触但无弹力作用，物体只受重力作用，故做平抛运动．

4．质量为m 的飞机，以速率v 在水平面内做半径为R 的匀速圆周运动，空气对飞机作用力的大小等于( )

A ．m g 2

＋v 4R 2 B ．m v 2

R

C ．m

v 4R 2

－g 2

D ．mg

解析 空气对飞机的作用力有两个作用效果，其一：竖直方向的作用力使飞机克服重力作用而升空；其二：水平方向的作用力提供向心力，使飞机可在水平面内做匀速圆周运动．对飞机的受力

情况进行分析，如图所示．飞机受到重力mg 、空

气对飞机的作用力F 升，两力的合力为F ，方向沿水平方向指向圆心．由题意可知，重力mg 与F

垂直，故F 升＝m 2g 2＋F 2

，又F ＝m v 2R ，联立解得F

升＝m g 2

＋v 4R

2. 图3

答案 A

5．质量不计的轻质弹性杆P 插在桌面上，杆端套有一个质量为m 的小球，今使小球沿水平方向做半径为R 的匀速圆周运动，角速度为ω，如图4所示，则杆的上端受到的作用力大小为( )

A ．m ω2

R

D ．不能确定 答案 C

解析 小球在重力和杆的作用力下做匀速圆周运动．这两个力的合力充当向心力必指向圆心，如图所示．用力的合成法可得杆对球的作用力：N ＝(mg )2＋F 2＝m 2g 2＋m 2ω4R 2，根据牛顿第三定律，小球对杆的上端的作用力N ′＝N ，C 正确．

图5

6．火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定．若在某转弯处规定行驶速度为v ，则下列说法中正确的是( )

A ．当以v 的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力

B ．当以v 的速度通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力

C ．当速度大于v 时，轮缘挤压外轨

D ．当速度小于v 时，轮缘挤压外轨

解析 当以v 的速度通过此弯路时，向心力由火车的重力和轨道的支持力的合力提供，A 对，B 错；当速度大于v 时，火车的重力和轨道的支持力的合力小于向心力，外轨对轮缘有向内的弹力，轮缘挤压外轨，C 对，D 错．答案 AC

解析 设赛车的质量为m ，赛车受力分析如图所

示，可见：F 合＝mg tan θ，而F 合＝m v 2

r

，故v ＝

gr tan θ.

7.如图11，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动．现测得转台半径R ＝0.5 m ，离水平地面的高度H ＝0.8 m ，物块平抛