高二数学教案：高二数学直线与平面平行2
最新人教版高中数学必修2第二章“直线与平面平行的性质”教案2
2.2.3直线与平面平行的性质教学目标：掌握直线和平面平行的性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行的转化.教学重点：掌握线面平行的性质定理.教学难点：掌握平行之间的转化.教学过程：一、复习旧知、引入新课1.线面平行、面面平行判定定理的内容是什么?判定定理中的线与线、线与面应具备什么条件?答:直线和平面平行的判定定理是:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.定理中的线与线、线与面应具备的条件是:一线在平面外,一线在平面内;两直线互相平行。
平面和平面平行的判定定理是：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
定理中的线与线、线与面应具备的条件是:两条直线必须相交,且两条直线都平行于另一个平面。
2.提出问题:如果已知直线与平面平行，会有什么结论？二、探研新知探究1.如果一条直线与平面平行，那么这条直线是否与这个平面内的所有直线都平行？ 这条直线与这个平面内有多少条直线平行？结合实例(教室内的有关例子)得出结论:如果一条直线与平面平行，这条直线不会与这个平面内的所有直线都平行,但在这个平面内却有无数条直线与这条直线平行。
探究2.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？ 答:由直线与平面平行的定义，如果一条直线a 与 平面α平行，那么a 与平面α无公共点，即a 上的点都不在平面α内，平面α内的任何直线与a 都无 公共点，这样，平面α内的直线与平面α外的直 线a 只能是异面直线或平行直线。
探究3.如果一条直线a 与平面α平行,在什么条件下直线a 与平面α内的直线平行呢？ 答:由于a 与平面α内的任何直线无公共点，所以过直线a 的某一平面，若与平面α 相交，则直线a 就平行于这条交线。
下面我们来证明这一结论.已知：如图，a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b 。
求证：a ∥b 。
证明：∵α∩β＝b ，∴b ⊂α∵ a ∥α，∴a 与b 无公共点，∵a ⊂β，b ⊂β，∴a ∥b 。
高中数学 2.2.2直线与平面平行的性质精品教案 新人教A版必修2
第二课时直线与平面平行的性质（一）教学目标1．知识与技能掌握直线与平面平行的性质定理及其应用.2．过程与方法学生通过观察与类比，借助实物模型性质及其应用.3．情感、态度与价值观（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力.（2）进一步体会类比的作用.（3）进一步渗透等价转化的思想.（二）教学重点、难点重点：直线和平面平行的性质.难点：性质定理的证明与灵活运用.（三）教学方法讲练结合教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入1．直线与平面平行的判定定理2．直线与平面的位置关系3．思考：如果直线和平面平行、那么这条直线与这个平面内的直线是有什么位置关系？投影幻灯片，师生共同复习，并讨论思考题.复习巩固探索新知直线与平面平行的性质1．思考题：一条直线与一个平面平行，那么在什么条件下，平面α内的直线与这条直线平行？2．例1 如图a∥αa⊂β，αβ= b. 求证：a∥b.证明：因为αβ=b，所以bα⊂.因为a∥α，所以a与b无公共点.又因为,αβ⊂bβ⊂，所以a∥b.3．定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简证为：线面平行则线线平师：投影问题，学生回答.生：当平面内的直线与这条直线共面时两条直线平行.师：为什么？生：由条件知两条直线没有公共点，如果它们共面，那么它们一定平行.师投影例1并读题，学生分析，教师板书，得出定理.师：直线与平面平行的性质定理揭示了直线与平面平行中蕴含直线与直线平行.通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的重要方法.通过讨论板书加深对知识的理解.培养学生书写的能力.行.符号表示：a a ab a b αββ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭典例剖析 例 2 如图所示的一块林料中，棱BC 平行平面A ′C ′.（1）要经过面A ′C ′内一的点P 和棱BC 将木料锯开，应怎样画线？（2）所画的线与平面AC 是什么位置关系？解：（1）如图，在平面A ′C ′，过点P 作直线EF ，使EF ∥B ′C ′，并分别交棱A ′B ′，C ′D ′于点E ，F .连接BE ，CF .则EF 、BE 、CF 就是应画的线.（2）因为棱BC 平行于平面A ′C ′，平面BC ′与平面A ′C ′交于B ′C ′，所以，BC ∥B ′C ′.由（1）知，EF ∥BC ，因此EF BCEF EF AC ⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭平面A C 平面B C 平面A C . BE 、CF 显然都与平面AC 相交.师投影例2并读题，学生思考.师分析：经过木料表面A ′C ′内一点P 和棱BC 将木锯开，实际上是经过BC 及BC 外一点P 作截面，也就是作出平面与平面的交线，现在请大家思考截面与平面A ′C ′的交线EF 与BC 的位置关系如何？怎样作？生：由直线与平面平行的性质定理知BC ∥EF ，又BC ∥B ′C ′，故只须过点P 作EF ∥B ′C ′即可.教师板书第一问，学生完成第二问，教师给予点评.巩固所学知识培养学生空间想象能力，转化化归能力及书写表达能力.例题剖析 例 3 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面.如图，已知直线a 、b ，平面α，且a ∥b ，a ∥α，a 、b 都在平面α外.求证：b ∥α 证明：过a 作平面β，使它教师投影例3并读题，师生共同画出图形，写出已知，求证.师：要证b α，可转证什么问题.生：转证直线b 与平面α内的一条直线平行.师：但这种直线在已知图线中不存在，怎么办呢？生：利用条件a α，先作一平面与α相交c ，则a 与交线巩固所学知识培养学生空间想象能力，转化化归能力及书写表达能力.与平面α相交，交线为c .因为a ∥α，a β⊂，αβ=c ，所以a ∥c因为a ∥b ，所以b ∥c 又因为,c b αα⊂⊄，所以b ∥α.c 平行，又a ∥b ∴b ∥c师表扬，并共同完成板书过程随堂练习 1．如图，正方体的棱长是a ，C ，D 分别是两条棱的中点.（1）证明四边形ABCD （图中阴影部分）是一个梯形；（2）求四边形ABCD 的面积.2．如图，平面,,αβγ两两相交，a ，b ，c 为三条交线，且a ∥b . 那么，a 与c ，b 与c 有什么关系？为什么？学生独立完成 1．答案：（1）如图，CD ∥EF ，EF ∥AB ，CD ∥AB . 又CD ≠AB ，所以四边形ABCD 是梯形.（2）298a2．答案：因为,a γα=,,b c βγαβ==且a ∥b ，由,b β⊂a β⊄，得//a β；又,,,a a a c αββ⊂⊄=得a ∥c ，所以a ∥b ∥c .巩固所学知识归纳总结1．线线平行线面平行2．在学习性质定时注意事项 学生归纳后教师总结完善构建知识系统思维的严谨性.课后作业2.2 第二课时 习案学生独立完成提高知识 整合能力备选例题例1 如图，a ∥α，A 是α另一侧的点，B 、C 、D ∈a ，线段AB 、AC 、AD 交a 于E 、F 、G 点，若BD = 4，CF = 4，AF = 5，求EG .解：A a ∉∴A 、a 确定一个平面，设为β. ∵B ∈a ，∴B ∈β，又A ∈β， ∴AB β⊂ 同理,AC AD ββ⊂⊂∵点A 与直线a 在α的异侧 ∴β与α相交，∴面ABD 与面α相交，交线为EG∵BD ∥α，BD ⊂面BAD ，面BAD α=EG ∴BD ∥EG ， ∴△AEG ∽△ABD . ∴EG AFBD AC=(相似三角形对应线段成比例) 判定定理 性质定理∴520499AF EG BD AC =⋅=⨯=.。
高中数学教案8-5-2 直线与平面平行
8.5.2直线与平面平行学习目标 1.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.2.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行．知识点一直线与平面平行的判定定理文字语言如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号语言a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α图形语言思考(1)若一直线与平面内的一条直线平行，一定有直线与平面平行吗？答案不一定，也有可能直线在平面内，所以一定要强调直线在平面外．(2)如果一条直线与平面内无数条直线都平行，那么该直线和平面之间具有什么关系？答案平行或直线在平面内．知识点二直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行符号语言a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b图形语言思考如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和平面内的直线有怎样的位置关系？答案这条直线与平面没有公共点，所以这条直线与平面内的直线平行或异面．1．若直线a 与平面α不平行，则a 与α相交．(×)2．若直线l 与平面α内的无数条直线不平行，则直线与平面α不平行．(×)3．若直线a ，b 和平面α满足a ∥α，b ∥α，则a ∥b .(×)4．若直线l 不平行于平面α，则直线l 就不平行于平面α内的任意一条直线．(×)一、直线与平面平行的判定定理的应用例1如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是BC ，CC 1，BB 1的中点，求证：EF ∥平面AD 1G .证明连接BC 1(图略)，在△BCC 1中，∵E ，F 分别为BC ，CC 1的中点，∴EF ∥BC 1，又∵AB ∥A 1B 1∥D 1C 1，且AB ＝A 1B 1＝D 1C 1，∴四边形ABC 1D 1是平行四边形，∴BC 1∥AD 1，∴EF ∥AD 1，又EF ⊄平面AD 1G ，AD 1⊂平面AD 1G ，∴EF ∥平面AD 1G .反思感悟利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等．跟踪训练1如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是平面ABCD 外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：MN ∥平面PAD .证明如图，取PD 的中点G ，连接GA ，GN .∵G ，N 分别是△PDC 的边PD ，PC 的中点，∴GN ∥DC ，GN ＝12DC .∵M 为平行四边形ABCD 的边AB 的中点，∴AM＝12DC，AM∥DC，∴AM∥GN，AM＝GN，∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN∥AG.又MN⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD.二、直线与平面平行的性质定理的应用例2如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.证明如图，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.反思感悟线面平行的性质定理和判定定理经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得到线线平行．跟踪训练2如图所示，在四面体ABCD中，用平行于棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．证明因为AB ∥平面MNPQ ，平面ABC ∩平面MNPQ ＝MN ，且AB ⊂平面ABC ，所以由线面平行的性质定理，知AB ∥MN .同理AB ∥PQ ，所以MN ∥PQ .同理可得MQ ∥NP .所以截面MNPQ 是平行四边形．线面平行有关的计算典例如图，直线a ∥平面α，点A 在α另一侧，点B ，C ，D ∈a .线段AB ，AC ，AD 分别交α于点E ，F ，G .若BD ＝4，CF ＝4，AF ＝5，则EG ＝________.答案209解析A ∉a ，则点A 与直线a 确定一个平面，即平面ABD .因为a ∥α，且α∩平面ABD ＝EG ，所以a ∥EG ，即BD ∥EG ，所以AF AC ＝AE AB.又EG BD ＝AE AB ，所以AF AC ＝EG BD ，于是EG ＝AF ·BD AC ＝5×45＋4＝209.[素养提升](1)利用线面平行的性质定理找线线平行，利用线线平行得对应线段成比例即可求线段长度．(2)通过定理的运用和平行的性质，提升直观想象和逻辑推理素养．1．(多选)两条直线a ，b 满足a ∥b ，b ⊂平面α，则a 与平面α的位置关系可以是()A ．a ∥αB ．a 与α相交C．a与α不相交D．a⊂α答案ACD2．下列命题正确的是()A．如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行B．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行C．如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行答案B解析不在平面内的直线还可与平面相交，故A错误；一条直线与平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，故C错误；直线也可能在平面内，故D错误．3.如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案D解析由题图知正方体的前、后、左、右四个面都与EF平行．4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定答案A解析∵EH∥FG，EH⊄平面BDC，FG⊂平面BDC，∴EH∥平面BDC，又EH⊂平面ABD且平面ABD∩平面BDC＝BD，∴EH∥BD.5.如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.答案5解析因为AB∥平面α，AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN，又点M是AD的中点，AB∥CD，所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝5.1．知识清单：(1)直线与平面平行的判定定理．(2)直线与平面平行的性质定理．2．方法归纳：转化与化归．3．常见误区：证明线面平行时漏写线在面外(内)．1．下列条件中能得出直线m与平面α平行的是()A．直线m与平面α内所有直线平行B．直线m与平面α内无数条直线平行C．直线m与平面α没有公共点D．直线m与平面α内的一条直线平行答案C解析A，本身说法错误；B，当直线m在平面α内时，m与α不平行；C，能推出m与α平行；D，当直线m在平面α内时，m与α不平行．2．直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面()A．有且只有一个B．有无数多个C．有且只有一个或不存在D．不存在答案A解析在a上任取一点A，则过A与b平行的直线有且只有一条，设为b′，又∵a∩b′＝A，∴a与b′确定一个平面α，即为过a与b平行的平面，可知它是唯一的．3.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是()A．DD1B．A1D1C．C1D1D．A1D答案D解析∵A1B1綊AB綊CD，∴A1B1綊CD，∴四边形A1B1CD为平行四边形，∴A1D∥B1C，又B1C⊂平面AB1C，A1D⊄平面AB1C，∴A1D∥平面AB1C.4.如图所示，已知S为四边形ABCD所在平面外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则()A．GH∥SA B．GH∥SDC．GH∥SC D．以上均有可能答案B解析∵GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，∴GH∥SD.5.(多选)如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点．则下列结论成立的是()A．OM∥平面PCD B．OM∥平面PDAC．OM∥平面PBA D．OM∥平面PBC答案AB解析矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以点O 为BD 的中点，在△PBD 中，因为点M 是PB 的中点，OM 是△PBD 的中位线，OM ∥PD ，所以OM ∥平面PCD ，且OM ∥平面PDA .因为M ∈PB ，所以OM 与平面PBA ，平面PBC 相交．6.如图，在五面体FE －ABCD 中，四边形CDEF 为矩形，M ，N 分别是BF ，BC 的中点，则MN 与平面ADE 的位置关系是________．答案平行解析∵M ，N 分别是BF ，BC 的中点，∴MN ∥CF ，又四边形CDEF 为矩形，∴CF ∥DE ，∴MN ∥DE .又MN ⊄平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，∴MN ∥平面ADE .7．在三棱锥S －ABC 中，G 为△ABC 的重心，E 在棱SA 上，且AE ＝2ES ，则EG 与平面SBC 的位置关系为________．答案平行解析如图，延长AG 交BC 于F ，连接SF ，则由G 为△ABC 的重心知AG ∶GF ＝2∶1，又AE ∶ES ＝2∶1，∴EG ∥SF ，又SF ⊂平面SBC ，EG ⊄平面SBC ，∴EG ∥平面SBC .8.如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a 3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.答案223a 解析∵MN ∥平面AC ，平面PMNQ ∩平面AC ＝PQ ，MN ⊂平面PQNM ，∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a 3，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a 3.9.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，C 1D 1的中点．求证：EF ∥平面BDD 1B 1.证明取D 1B 1的中点O ，连接OF ，OB (图略)．∵F 为C 1D 1的中点，∴OF ∥B 1C 1且OF ＝12B 1C 1，又BE ∥B 1C 1，BE ＝12B 1C 1，∴OF ∥BE 且OF ＝BE ，∴四边形OFEB 是平行四边形，∴EF ∥BO .∵EF ⊄平面BDD 1B 1，BO ⊂平面BDD 1B 1，∴EF ∥平面BDD 1B 1.10.如图，四边形ABCD 是矩形，P ∉平面ABCD ，过BC 作平面BCFE 交AP 于点E ，交DP 于点F ，求证：四边形BCFE 是梯形．证明∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ∥AD .∵AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，∴BC∥平面PAD.∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC⊂平面BCFE，∴BC∥EF.∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，∴四边形BCFE是梯形．11．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面答案A解析由长方体性质知，EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.又EF∥AB，∴GH∥AB.12.(多选)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，则下列说法中正确的是()A．OM∥PD B．OM∥平面PCDC．OM∥平面PDA D．OM∥平面PBA答案ABC解析矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，所以OM∥PD，又OM⊄平面PCD，且OM⊄平面PDA，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC均相交．13．已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b，直线a与直线b()A．相交B．平行C．异面D．不确定答案B解析因为直线a∥平面α，直线a∥平面β，所以在α，β中均可找到一条直线与直线a平行．设m在平面α内，n在平面β内，且m∥a，n∥a，所以m∥n.又因为m不在平面β内，n在平面β内，所以m∥β.又因为α∩β＝b，m⊂α，所以m∥b.又因为m∥a，所以a∥b，故选B.14.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线DM与平面A1ACC1的位置关系是________，直线DM与平面BCC1B1的位置关系是________．答案相交平行解析∵M是A1D1的中点，∴直线DM与直线AA1相交，∴DM与平面A1ACC1有一个公共点，∴DM与平面A1ACC1相交．取B1C1的中点M1，连接MM1，M1C(图略)．∵MM1∥C1D1，C1D1∥CD，∴MM1∥CD.∵MM1＝C1D1，C1D1＝CD，∴MM1＝CD.∴四边形DMM1C为平行四边形，∴DM∥CM1，又DM⊄平面BCC1B1，CM1⊂平面BCC1B1，∴DM∥平面BCC1B1.15．如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________．答案平行四边形解析∵AB ∥α，平面ABC ∩α＝EG ，AB ⊂平面ABC ，∴EG ∥AB .同理FH ∥AB ，∴EG ∥FH .又CD ∥α，平面BCD ∩α＝GH ，CD ⊂平面BCD ，∴GH ∥CD .同理EF ∥CD ，∴GH ∥EF ，∴四边形EFHG 是平行四边形．16.如图，E 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，P 是线段CD 的中点，在直线AE 上是否存在一点M ，使得PM ∥平面BCE .若存在，指出点M 的位置，并证明你的结论．解存在点M ，如图，当点M 是线段AE 的中点时，PM ∥平面BCE .证明如下，取BE 的中点N ，连接CN ，MN ，则MN ∥AB 且MN ＝12AB ，又PC ∥AB 且PC ＝12AB ，所以MN ∥PC 且MN ＝PC ，所以四边形MNCP 为平行四边形，所以PM ∥CN .因为PM ⊄平面BCE ，CN ⊂平面BCE ，所以PM ∥平面BCE .。
高二数学教案：高二数学直线与平面平行2
直线与平面平行(2)教学目的：1.掌握空间直线和平面的位置关系；2.掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理教学重点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 教学难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 教学过程： 一、复习1．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 3. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 二、例题例1求证：如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内．已知：//,,,//a P P b b a αα∈∈.求证：b α⊂． 例2a ∥直线b ，直线a ∥平面α,b ⊄α， 求证：b ∥平面α例3．已知直线a ∥平面α，直线a ∥平面β，平面α平面β=b ，求证//a b ．分析： 利用公理4，寻求一条直线分别与a ，b 均平行，从而达到a ∥b 的目的．可借用已知条件中的a ∥α及a ∥β来实现．ca bβα三、课堂练习1.已知直线l 1、l 2，平面α，l 1∥l 2，l 1∥α，则ｌ2与α的位置关系是 ( ) A.l 2∥α B.l 2⊂αC.l 2∥α或l 2⊂αD.l 2与α相交2.已知两条相交直线ａ、ｂ，ａ∥平面α，则ｂ与α的位置关系 ( ) A.ｂ∥α B.ｂ与α相交C.ｂ⊂αD.ｂ∥α或ｂ与α相交3.下列命题中正确的是 ( )①过一点，一定存在和两条异面直线都平行的平面 ②垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行 ③若两条直线没有公共点，则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行A.①B.③C.①③D.①②③ 4.几何体ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为ａ的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a 31，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝ .5.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与过点A 、E 、C 的平面的位置关系是 .四、作业 同步练习 09032。
高中数学必修二《直线与平面平行的性质》优秀教学设计
《2.2.3 直线与平面平行的性质》教案【素质教育目标】（一）知识教学点：直线和平面平行的性质定理．（二）能力训练点：用转化的方法掌握应用直线与平面平行的性质定理，即由线面平行可推得线线平行．（三）德育渗透点：让学生认识到研究直线和平面平行的性质定理是实际生产的需要，充分体现了理论联系实际的原则．【教学重点、难点、疑点及解决方法】1．教学重点：直线和平面平行的性质定理．2．教学难点：直线和平面平行的性质定理的证明及应用．3．教学疑点：由线面平行推出线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线与已知直线平行．即，∥，且，若∥b b a a αα⊂则由公理4，平面α内与b 平行的所有直线都与a 平行（有无数条），否则，都与a 是异面直线．【教学程序】复习引入：1.直线与平面平行的判定方法：⑴定义法；⑵判定定理．2.判定了线面平行之后，有什么作用（性质）呢? 问题讨论：1）如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？(2)什么条件下，直线a 与平面α内的直线平行呢？ 证明定理：新课：线面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
作用：由“线面平行”,证“两线平行”。
关键：寻找过平行线的某个平面”与已知平面的交线。
例题讲解：例1 如图所示的一块木料中,棱BC 平行于面A'C'．⑴要经过面A'C'内的一点P 和棱BC 将木料锯开，应怎样画线？解：⑴如图，在平面A'C'内，过点P 作直EF //B'C'，分别交棱A'B'、C'D'于点E 、F ，连结BE 、CF ，EF 、BE 、CF 为应画的线．.就和“这条交线”平行则直线相交，的某一平面”与平面共面！若“过直线a a αb a ba a //,,//:求证：已知=⋂⊂βαβαb a b a b a a b b //,//,∴⊂⊂∴⊂∴=⋂ββααβα 又无公共点与又证明：BC AD A B C Da ααα//，则//,,若a b a b a ⊂⊄⑵所画的线与平面AC 是什么位置关系？（2）解：由⑴得EF //BC ，EF //面AC ，另BE 、CF 都与面相交．例2.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面． 已知：直线a 、b ，平面α 求证： b // 提示：过a 作辅助平面β，练习1.ABCD 是平行四边形，点Ｐ是平面ABCD 外一点，Ｍ是ＰＣ的中点，在ＤＭ上取一点Ｇ，过Ｇ和ＡＰ作平面交平面ＢＤＭ于ＧＨ．求证：ＡＰ//ＧＨ提示：先证线面平行（连结AC 交BD 于O ，连结OM ），再用线面平行的性质，证两线平行。
【精品教案】高中数学必修2第二章《直线与平面、平面与平面平行的性质》教案
§2.2.3 —2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质一、教学目标：1、知识与技能（1）掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；（2）掌握两个平面平行的性质定理及其应用。
2、过程与方法学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。
3、情感、态度与价值观（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力；（2）进一步体会类比的作用；（3）进一步渗透等价转化的思想。
二、教学重点、难点重点：两个性质定理。
难点：（1）性质定理的证明；（2）性质定理的正确运用。
三、学法与教学用具1、学法：学生借助实物，通过类比、交流等，得出性质及基本应用。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型四、教学思想（一）创设情景、引入新课1、思考题：教材第60页，思考（1）（2）学生思考、交流，得出（1）一条直线与平面平行，并不能保证这个平面内的所有直线都与这个直线平行；（2）直线a与平面α平行，过直线a的某一平面，若与平面α相交，则直线a就平行于这条交线。
在教师的启发下，师生共同完成该结论的证明过程。
于是，得到直线与平面平行的性质定理。
定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：a∥αa β a∥bα∩β= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、例3 培养学生思维，动手能力，激发学习兴趣。
例4 性质定理的直接应用，它渗透着化归思想，教师应多做引导。
3、思考：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么样的位置关系？学生借助长方体模型思考、交流得出结论：异面或平行。
再问：平面AC内哪些直线与B'D'平行？怎么找？在教师的启发下，师生共同完成该结论及证明过程，于是得到两个平面平行的性质定理。
定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：α∥βα∩γ= a a∥bβ∩γ= b教师指出：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行4、例5以讲授为主，引导学生共同完成，逐步培养学生应用定理解题的能力。
最新高中数学必修2《直线与平面平行》说课稿精编版
2020年高中数学必修2《直线与平面平行》说课稿精编版新人教版高中数学必修2《直线与平面平行》说课稿各位评委、各位老师，大家好：我叫，来自第一中学，今天我说课的题目是《直线与平面平行》，下面我将从教材分析、目标分析、教法分析、教学过程、设计说明五个方面阐述我对本节课的理解和设计。
一、（教材分析）首先分析一下教材，教材的地位和作用：《直线与平面平行》是点、线、面位置关系的重要组成部分，容纳了高中数学中的很多数学思想。
在学习本节之前，学生已经学习了柱、锥、台、球等简单几何体和平面的基本性质，但基于数学本身的抽象性和概括性，要求学生对空间图形的认识不仅停留在直观感知和观察上,而是要进行空间想象、抽象概括，得到有关定义、以及公理、定理，使学生对空间图形的认识能适当的上升到理性层面;同时本节课的学习还为后面学习空间中的垂直关系提供了重要的思维模式和解决问题的方法，因此本节起到了承上启下的作用。
另外,本节内容具有相当重要的现实意义，为解决实际问题提供了理论依据。
所以通过该部分的学习，对培养学生的空间想象能力、抽象思维能力和应用意识，全面提高学生的数学素养有着非常重要的意义。
结合中学生的认知结构特点和本校学生的实际情况，《直线与平面平行》的新课教学可以安排两个课时, 第一课时学习直线与平面的位置关系、直线与平面平行的判定定理以及应用。
第二课时学习直线与平面平行的性质定理以及应用。
本节说课为第一课时。
根据教材内容，确定直线和平面平行的判定定理为本节的教学重点，另外考虑到判定定理反证法证明的抽象性，因此把正确理解判定定理的证明过程作为第一教学难点，第二个教学难点则是掌握判定定理的应用。
因为它是证明线线平行、面面平行的重要方法，在平行关系的证明中起着核心的作用。
二、（目标分析）下面来看本节的教学目标,根据课程标准,我把这一节课的教学目标进一步分解为三个子目标，知识与技能目标, 过程与方法目标，情感目标。
知识与技能目标是根据本节的教材内容确定的,过程与方法目标,则主要是考虑到课堂教学应以学生为主体，教师为主导的教学原则；而情感目标则是为了营造一种良好的学习气氛，有利于提高学习兴趣和学习效率的因素。
高二数学下9.3 直线和平面平行与平面和平面平行2教案
课题：9．3直线与平面平行、平面与平面平行(二)教学目的：1.掌握空间两个平面的位置关系，掌握两个平面平行的定义；2.掌握两个平面平行的判定定理及性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理实现“线面”“面面”平行的转化教学重点：两个平面平行的判定定理、性质定理教学难点：两个平面平行的判定定理、性质定理的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．aα⊂，a Aα=，//aα．aαaα2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////l m l m lααα⊄⊂⇒．证明：假设直线l不平行与平面α，∵lα⊄，∴l Pα=，若P m∈，则和//l m矛盾，若P m∉，则l和m成异面直线，也和//l m矛盾，∴//lα．3. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：//,,//l l m l mαβαβ⊂=⇒．证明：∵//lα，∴l和α没有公共点，又∵mα⊂，∴l和m没有公共点；βαml即l 和m 都在β内，且没有公共点，∴//l m ．二、讲解新课：1．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．2．图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的．3．平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．推理模式：：a β⊂，b β⊂，a b P = ，//a α，//b α//βα⇒． 分析:这个定理从正面证(用定义)比较困难,所以考虑用反证法. 启发:(1)如果平面α和平面β不平行,那么它们的位置关系怎样?(2)如果平面α和平面β相交,那么交线c 和平面β中的直线a 与b 各有怎样的位置关系?(3)相交直线a 与b 都与交线c 平行,这合理吗?为什么? 证明：假设c βα= ， ∵a β⊂，//a α， ∴//a c ，同理//b c ．即在平面β内过点P 有两条直线与c 平行，与公理4矛盾， ∴假设不成立，∴//βα．推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行． 推理模式：,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''=⊂⊂=⊂⊂⇒ ．4．平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 推理模式：//,,//a b a b αβγαγβ==⇒ ． 证明：∵//,,a b αβαβ⊂⊂，∴,a b 没有公共点，cPbaβαγbaβα又∵,a b γγ⊂⊂，∴//a b ．同理可得面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．推理模式：//,//a a αβαβ⊂⇒． 三、讲解范例：例1 已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a , 求证:α∥β分析:线面平行 ⇔ 线线平行 ⇔ 线面平行 ⇔ 面面平行 证明:过a 作平面γ,使'a =⋂βγ ∵a ∥β,a ⊂γ,'a =⋂βγ,∴a ∥'a 又∵'a ⊄α,a ⊂α,∴'a ∥α且b ∥α又a 、b 异面,∴'a 与b 必相交,∴α∥β. 例2．夹在两个平行平面间的两条平行线段相等． 已知：//αβ，,AB CD 是夹在两个平行平面,αβ间的平行线段，求证：AB CD =．证明：∵//AB CD ，∴ ,AB CD 确定平面AC ， ∴平面AC AD α= ，平面AC BC β= ，∴//AD BC ，四边形ABCD 是平行四边形．∴AB CD =． 例3．若//αβ，//βγ，则//αγ． 证明：在平面α内取两条相交直线,a b ，分别过,a b 作平面,ϕδ，使它们分别与平面β交于两相交直线,a b ''， ∵//αβ，∴//,//a a b b ''，bβ αaDCBAβααβγ ba ' a ''ab ' b ''又∵//βγ，同理在平面γ内存在两相交直线,a b ''''， 使得//,//a a b b ''''''， ∴//,//a a b b ''''， ∴//αγ．例4 有一块木料如图，已知棱BC 平行于面A ′C ′．要经过木料表面A ′B ′C ′D ′ 内的一点P 和棱BC 将木料锯开，应怎样画线？所画的线和面AC 有什么关系？ 解：（1）∵BC ∥面A ′C ′，面BC ′经过BC 和面A ′C ′交于B ′C ′， ∴BC ∥B ′C ′．经过点P ，在面A ′C ′上画线段EF ∥B ′C ′， 由公理4，得：EF ∥BC ．∴EF ⊂面BF,B ⊂面BF.连结BE 和CF. BE,CF 和EF 就是所要画的线.（2）∵EF ∥BC ，根据判定定理，则EF ∥面AC ；BE 、CF 显然都和面AC 相交． 总结：解题时，应用直线和平面平行的性质定理，要注意把线面平行转化为线线平行．四、课堂练习：1 在例题4的图中，如果AD ∥BC ，BC ∥面A ′C ′，那么，AD 和面BC ′、面BF 、面A ′C ′都有怎样的位置关系．为什么？答：因为AD ∥BC,BC ⊂面BC ′，AD ⊄面BC ′，所以AD ∥面BC ′ 同理AD ∥面BF ．又因为BC ∥面A ′C ′，过BC 的面EC 与面A ′C ′交于EF ，所以EF ∥BC,又BC ∥AD,所以AD ∥EF.因此EF ⊂面A ′C ′,AD ⊄⊂面A ′C ′ 得AD ∥⊂面A ′C ′.五、小结 ：1．面面平行的判定和性质；2．灵活地实现“面面”、“线面”、“线线”平行间的转换 六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、课后记：。
高中数学必修二《直线与平面平行的判定与性质》优秀教学设计
直线与平面平行的判定与性质教学目的：掌握直线和平面的位置关系、线面平行的判定与性质并能运用于实际解题过程中。
教学重点：线面平行的判定定理及其应用。
教学难点：线面平行的判定定理的应用。
教学过程一、实际引入足球场球门框所在直线与地面的关系。
二、新课定义：直线与平面若没有公共点，则称直线与平面平行。
直线与平面的位置关系：①直线在平面内（有无数个公共点）a α⊂；②直线与平面相交（有且只有一个公共点）a P α=；③直线与平面平行（无公共点）//a α。
直线与平面平行及直线与平面相交统称为直线在平面外。
定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行。
已知：a α⊄，,//b a b α⊂。
求证：//a α。
证明：∵//a b ∴a b 、确定一个平面β，则b αβ=。
若aA α=，则由A a β∈⊂及A α∈得()A b αβ∈=，这与//a b 矛盾。
又∵ a α⊄ ∴ //a α。
例1 在正方体1111ABCD A B C D -中，M N P 、、分别为棱1AB BC BB 、、的中点，指出正方体的各条棱及面对角线与平面MPN 的关系。
例2 分别按下列条件画出图形：（1）,//,a b P a b A αα==； （2）,,//l a A a αββα==。
例3 已知E F G 、、分别为空间四边形ABCD 的边AB BC CD 、、的中点。
求证：（1）//BD 平面EFG ；（2）//AC 平面EFG 。
分析：////BF CF FG BD CG GD FG EFG BD EFG BD EFG =⎫⎫⇒⎬⎪=⎭⎪⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎪⎪⎭平面平面平面 同理可证：//AC 平面EFG 。
练习：P 为ABCD 外一点，Q 为PA 的中点。
求证：//PC BDQ 平面。
例4 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，E 在1AB 上，F 在BD 上，且1B E BF =。
空间中直线、平面的平行(第2课时)2022-2023学年高二数学(人教A版2019选修第一册)
(3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与法向量垂直,
从而证明直线与平面平行.
跟踪训练
2.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直, AB= 2 , AF=1,M是线段EF的中点.
求证:AM∥平面BDE.
证明:建立如图所示的空间直角坐标系.设AC∩BD=N,连接NE,
墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、
木石、砖木、琉璃几种,多设于要道口。牌
楼中有一种有柱门形构筑物,一般较高大。
如图,牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼
上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下
边线与地面平行。这是为什么呢?
空间中直线的方向向量、平面的法向量是确定空间中的直线、平面的
关键量，能否用直线的方向向量、平面的法向量来刻画直线、平面的
平行
________________.
1. 证明面面平行
例 1 证明“平面与平面平行的判定定理”:若一个平面内的
两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
已知：
a
,b,a
bP
,a//
,b//
.
求证：
//
证明：取平面的法向量n，直线a，b的
a
b
P
n
v
v.
方向向量u，
2
x
z
3 x 4 y 0
3
3 x 2 z 0
y 1 z
2
取z 6， 则x 4，y 3, 所 以 ，
n 4,3,6是 平 面 的 一 个 法 向 量 。
高中数学2.2.1直线与平面平行的判定教案新人教A版必修2-经典通用宝藏文档
§2.2.1 直线与平面平行的判定一、教材分析本节课位于必修2第二章第二节,第一章的学习旨在先生对空间几何体的全体观察,全体认识.第二章让先生直观认识和描述空间中点线面的地位关系.本节课次要学习直线和平面平行的定义，判定定理和初步运用。
线面平行的定义是线面平行最基本的判定方法和性质，它是探求线面平行判定定理的基础，线面平行的判定充分表现了线线平行和线面平行之间的转化，它既是后面学习面面平行的基础，又是连接线线平行和面面平行的纽带,也把平面几何与立体几何紧密相连.所以本节课起着承上启下的作用。
本节课的学习对培养先生空间感与逻辑推理其重要作用。
二、学情分析先生曾经掌握了平面内证明线线平行的方法，前一节又刚刚学过在空间中直线与直线的地位关系，对空间概念的建立有必然基础，但是先生的抽象概括能力，空间想象力还有待进步，线面平行的定义比较抽象，要让先生领会“与平面无公共点”有必然困难，线面平行的判定的发现有必然隐蔽性。
先生对在图形的基础上用文字言语,特别是符号言语的表达需进一步巩固进步.三、教学目标1. 知识方面：经过直观感知,操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能精确运用数学符号言语、文字言语表述判定定理。
让先生了解空间与平面互相转换的数学思想。
2. 能力方面：培养先生观察、探求、发现的能力和空间想象能力、逻辑思想能力。
让先生在观察、探求、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，加强自决心，建立积极的学习态度，进步学习的自我效能感。
3. 情感方面:让先生亲历数学研讨的过程，体验探求的乐趣和成功的喜悦，培养先生思想的周到性，和认真细致的学习态度。
四、教法学法及教学手腕分析1. 教法：根据本节内容较抽象，先生不易理解的特点，本节教学采用启发式教学，辅以观察法、发现法、练习法、讲解法。
采用这类方法的缘由是高一先生的空间想象能力比较差，只能经过对实物的观察及必然的练习才能掌握本节知识。
高中数学必修二《直线与平面平行》优秀教学设计
D E M A B C N P §1.2.3直线与平面平行(2)学习目标：1.掌握线面平行的性质定理、明确由线面平行可以推出线线平行；2.应用定理证明一些简单问题，培养逻辑思维能力．学习重点：直线与平面平行的性质定理及其应用． 学习难点：直线与平面平行的性质定理及其应用．学习过程： 一、课前准备：自学课本P301.线面平行性质定理： ． 性质定理的符号表示： ．2.下列命题正确的是 ．①平面外的一条直线与平面内的无数条直线平行，则直线和平面平行；②直线和平面平行，则直线平行于平面内任意一条直线；③直线和平面平行，则平面中必定存在直线与直线平行；④过一点，一定存在和两条异面直线都平行的平面．3.如果直线m ∥平面，直线n ，则直线m 、n 的位置关系是 ．4.若∥，∥，，则 ．说明理由．二、合作探究：例1.M,N,P 分别为空间四边形ABCD 的边AB,BC,CD 上的点，且AM:MB=CN:NB=CP:PD.求证：⑴AC∥平面MNP ，BD∥平面MNP ； ⑵平面MNP 与平面ACD 的交线∥AC ．例2.若三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线互相平行或相交于一点．例3.已知：∩，∥，∥．求证∥．αa αa αa αa αa ααa α⊂αa b a αα⊄b b ααl =βa αa βa lH G F EB A D Cα例4.如图，已知异面直线AB,CD 都与平面平行，CA,CB,DB,DA 分别交于点E,F,G,H ．求证：四边形EFGH 是平行四边形．三、课堂练习：课本第31页练习第2、4题．四、回顾小结：1.判定定理：线线平行线面平行；性质定理：线面平行线线平行；2.灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行的转化.五、课外作业：课本P36习题1.2：第1、2、4题 课课练六、自我测试：1.下列命题中，正确的是 ．①如果直线与平面内无数条直线成异面直线，则∥；②如果直线与平面内无数条直线平行，则∥；③如果直线与平面内无数条直线成异面直线，则；④如果一条直线与一个平面平行，则该直线平行于这个平面内的所有直线．2.如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内．3.如图，∥，A 是另一侧的点，B,C,D ∈，线段AB,AC,AD 交于点E,F,G ，若BD ＝4，CF ＝4，AF ＝5，求EG ．αα⇒⇒l αl αl αl αl αl ⊄αa ααaα第10课时 习题课(1)【自学评价】1.下列说法正确的是 ．①平面和平面只有一个公共点 ②两两相交的三条直线共面③不共面的四点中，任何三点不共线 ④有三个公共点的两平面必重合2.在空间内，可以确定一个平面的条件是 ．①三个点 ②两条直线 ③一个点和一条直线 ④不共点的两两相交的三条直线3.异面直线是指 ．①空间中两条不相交的直线 ②平面内的一条直线与平面外的一条直线③分别位于两个不同平面内的两条直线 ④不同在任何一个平面内的两条直线4.在立体几何中，下列命题中正确的是 ．①垂直于同一直线的两直线平行 ②到定点距离等于定长的点的轨迹是圆③有三个角是直角的四边形是矩形 ④自一点向一已知直线引垂线有且只有一条5.a ，b 是两条异面直线，下列结论正确的是 ．①过不在a ，b 上的任一点，可作一个平面与a ，b 平行②过不在a ，b 上的任一点，可作一条直线与a ，b 相交③过不在a ，b 上的任一点，可作一条直线与a ，b 都平行④过a 可以并且只可以作一平面与b 平行6.半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所得的几何体是 ．7.“点A 在直线上，在平面外”用符号表示为 ．8.如果OA ∥O 1A 1，OB ∥O 1B 1，那么∠AOB 与∠A 1O 1B 1 ．9.如果两条直线和没有公共点，那么两直线的位置关系是 ．10.已知：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是DD 1的中点．求证：BD 1∥平面ACE ．【经典范例】例1.已知AB,CD 为异面线段，E,F 分别为AC,BD 中点，过E,F 作平面∥AB.⑴求证：CD ∥；⑵若AB ＝4，EF ＝7 ，CD ＝2，求AB 与CD 所成角.例2.如图，空间四边形ABCD 被一平面所截，截面EFGH 是一个矩形，αβl αa b αα例3.如图：E 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、AD 的中点，平面过EH 分别交BC,CD 于F,G ．求证：EH ∥FG ．【追踪训练】1.直线∥平面，内有条直线相交于一点，那么这条直线中与平行的有 ．①至少有一条 ②至多有一条 ③有且只有一条 ④0条2.如果直线∥平面，那么在平面内有 条直线与m 平行．3.已知：E 为正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，则BD 1与过平面ACE 的平面的位置关系是 ．4.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，和平面A 1DB 平行的面对角线有 ．5.已知ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BD M 于GH ，求证：AP ∥GH ．6.如图，平面MNPQ ∥AC ，BD ∥面MNPQ ．⑴求证：MNPQ 是平行四边形；⑵如果AC ＝BD ＝，求证：四边形MNPQ 的周长为定值；⑶如果AC ＝，BD ＝，AC 与BD 成角，求四边形MNPQ 面积的最大值，并确定此时M 的位置．αa ααn n a m ααa a b θ。
高中数学 (2.2.1 直线与平面平行的判定)示范教案 新人教A版必修2
2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定整体设计教学分析空间里直线与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，它不仅应用较多，而且是学习平面与平面平行的基础.空间中直线与平面平行的定义是以否定形式给出的用起来不方便，要求学生在回忆直线与平面平行的定义的基础上探究直线与平面平行的判定定理.本节重点是直线与平面平行的判定定理的应用.三维目标1.探究直线与平面平行的判定定理.2.直线与平面平行的判定定理的应用.重点难点如何判定直线与平面平行.课时安排1课时教学过程复习复习直线与平面平行的定义：如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行.导入新课思路1.(情境导入)将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？思路2.(事例导入)观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的侧面C′D′DC所在平面的位置关系吗？图1推进新课新知探究提出问题①回忆空间直线与平面的位置关系.②若平面外一条直线平行平面内一条直线，探究平面外的直线与平面的位置关系.③用三种语言描述直线与平面平行的判定定理.④试证明直线与平面平行的判定定理.活动：问题①引导学生回忆直线与平面的位置关系.问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力.问题③引导学生进行语言转换.问题④引导学生用反证法证明.讨论结果：①直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.②直线a在平面α外，是不是能够断定a∥α呢？不能！直线a在平面α外包含两种情形：一是a与α相交，二是a与α平行，因此，由直线a在平面α外，不能断定a∥α.若平面外一条直线平行平面内一条直线，那么平面外的直线与平面的位置关系可能相交吗？既然不可能相交，则该直线与平面平行.③直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.符号语言为：.图形语言为：如图2.图2④证明：∵a∥b，∴a、b确定一个平面，设为β.∴a⊂β，b⊂β.∵a⊄α，a⊂β，∴α和β是两个不同平面.∵b⊂α且b⊂β，∴α∩β=b.假设a与α有公共点P,则P∈α∩β=b，即点P是a与b的公共点，这与已知a∥b矛盾.∴假设错误.故a∥α.应用示例思路1例1 求证空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点.求证：EF∥面BCD.活动：先让学生思考或讨论，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.证明：如图3,连接BD,图3EF∥面BCD.所以,EF∥面BCD.变式训练如图4,在△ABC所在平面外有一点P，M、N分别是PC和AC上的点，过MN作平面平行于BC，画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法.图4画法：过点N在面ABC内作NE∥BC交AB于E，过点M在面PBC内作MF∥BC交PB于F，连接EF，则平面MNEF为所求，其中MN、NE、EF、MF分别为平面MNEF与各面的交线.证明：如图5,图5.所以,BC∥平面MNEF.点评：“见中点，找中点”是证明线线平行常用方法，而证明线面平行往往转化为证明线线平行.例2 如图6，已知AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别为AB、BC、CD 的中点.图6求证：AC∥平面EFG，BD∥平面EFG.证明：连接AC、BD、EF、FG、EG.在△ABC中，∵E、F分别是AB、BC的中点,∴AC∥EF.又EF⊂面EFG，AC⊄面EFG,∴AC∥面EFG.同理可证BD∥面EFG.变式训练已知M、N分别是△ADB和△ADC的重心，A点不在平面α内，B、D、C在平面α内，求证：MN∥α.证明：如图7,连接AM 、AN 并延长分别交BD 、CD 于P 、Q ，连接PQ.图7∵M、N 分别是△ADB、△ADC 的重心， ∴NQANMP AM ==2.∴MN∥PQ. 又PQ ⊂α，MN ⊄α,∴MN∥α.点评：利用平面几何中的平行线截比例线段定理,三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.思路2例题 设P 、Q 是边长为a 的正方体AC 1的面AA 1D 1D 、面A 1B 1C 1D 1的中心,如图8, （1）证明PQ∥平面AA 1B 1B ； （2）求线段PQ 的长.图8(1)证法一：取AA 1,A 1B 1的中点M,N,连接MN,NQ,MP, ∵MP∥AD,MP=AD 21,NQ∥A 1D 1,NQ=1121D A , ∴MP∥ND 且MP=ND.∴四边形PQNM 为平行四边形. ∴PQ∥MN.∵MN ⊂面AA 1B 1B,PQ ⊄面AA 1B 1B, ∴PQ∥面AA 1B 1B.证法二：连接AD 1,AB 1,在△AB 1D 1中,显然P,Q 分别是AD 1,D 1B 1的中点,∴PQ∥AB 1,且PQ=121AB . ∵PQ ⊄面AA 1B 1B,AB 1⊂面AA 1B 1B,∴PQ∥面AA 1B 1B. (2)解:方法一:PQ=MN=a N A M A 222121=+.方法二：PQ=a AB 22211=. 变式训练如图9，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 在AB 1上，F 在BD 上，且B 1E=BF.图9求证：EF∥平面BB 1C 1C.证明：连接AF 并延长交BC 于M ，连接B 1M. ∵AD∥BC,∴△AFD∽△MFB. ∴BFDFFM AF =. 又∵BD=B 1A ，B 1E=BF,∴DF=AE.∴BFDFFM AF =. ∴EF∥B 1M ，B 1M ⊂平面BB 1C 1C.∴EF∥平面BB 1C 1C. 知能训练已知四棱锥P —ABCD 的底面为平行四边形,M 为PC 的中点,求证:PA∥平面MBD. 证明：如图10,连接AC 、BD 交于O 点,连接MO,图10∵O 为AC 的中点,M 为PC 的中点, ∴MO 为△PAC 的中位线. ∴PA∥MO.∵PA ⊄平面MBD,MO ⊂平面MBD, ∴PA∥平面MBD. 拓展提升如图11，已知平行四边形ABCD 和平行四边形ACEF 所在的平面相交于AC,M 是线段EF 的中点.图11求证:AM∥平面BDE.证明：设AC∩BD=O，连接OE，∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是平行四边形，∴四边形AOEM是平行四边形.∴AM∥OE.∵OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.课堂小结知识总结：利用线面平行的判定定理证明线面平行.方法总结：利用平面几何中的平行线截比例线段定理，三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.作业课本习题2.2 A组3、4.设计感想线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，线面平行的判定是高考考查的重点，多年来，高考立体几何第一问往往考查线面平行的判定.本节不仅选用了大量的传统经典题目，而且还选取了近几年的高考题目.学生通过这些优秀题目的训练，不仅可以熟练掌握线面平行的判定，而且将大大增强学好数学的信心.。
人教A版高中数学必修二第二章直线与平面平行的判定教案新
§2.2.1直线与平面平行的判定一、教学目标：1、知识与技能（1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理；（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；2、过程与方法学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行的判定定理。
3、情感、态度与价值观（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；（2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。
二、教学重点、难点重点、难点：直线与平面平行的判定定理及应用。
三、学法与教学用具1、学法：学生借助实例，通过观察、思考、交流、讨论等，理解判定定理。
2、教学用具：投影仪（片）四、教学思想（一）创设情景、揭示课题引导学生观察身边的实物，如教材第55页观察题：封面所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？如何去确定这种关系呢？这就是我们本节课所要学习的内容。
（二）研探新知 1、投影问题直线a 与平面α平行吗？若α内有直线b 与a 平行，那么α与a 的位置关系如何？ 是否可以保证直线a 与平面α平行？学生思考后，师生共同探讨，得出以下结论直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：a αb β => a ∥αa ∥b2、例1 引导学生思考后，师生共同完成该例是判定定理的应用，让学生掌握将空间问题转化为平面问题的化归思想。
αa α a b（三）自主学习、发展思维练习：教材第57页 1、2题让学生独立完成，教师检查、指导、讲评。
（四）归纳整理1、同学们在运用该判定定理时应注意什么？2、在解决空间几何问题时，常将之转换为平面几何问题。
（五）作业1、教材第64页习题2.2 A组第3题；2、预习：如何判定两个平面平行？。
高中数学必修二教案：2.2.2直线与平面、平面与平面平行的性质
课题名称直线与平面、平面与平面平行的性质 三维目标1. 知识与技能：理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义, 并会应用性质解决问题2.过程与方法：能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面、平面与平面的性质定理3.情感态度与价值观：通过自主学习、主动参与、积极探究的学习过程，激发学生学习数学的自信心和积极性，培养学生良好的思维习惯，渗透化归与转化的数学思想，体会事物之间相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义思想方法 重点目标知识与技能 难点目标 过程与方法 导入示标目标三导学做思一： 1）如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？（观察长方体） 2）如果一条直线和一个平面平行，如何在这个平面内做一条直线与已知直线平行？（可观察教室内灯管和地面） 学做思二: 一条直线与平面平行，这条直线和这个平面内直线的位置关系有几种可能？ 学做思三：如果一条直线a 与平面α平行,在什么条件下直线a 与平面α内的直线平行呢？ 学做思四：两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面有什么样的关系？两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面内的直线有何关系？ 达标检测 1.有一块木料如图，已知棱BC 平行于面A ′C ′(1)要经过木料表面A ′B ′C ′D ′ 内的一点P 和棱BC 将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线和面AC 有什么关系？2.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面。
3.求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等已知：//αβ，AB CD ∥，,,,A D B C ααββ∈∈∈∈，求证：AB CD =。
反思总结 1.知识建构2.能力提高3.课堂体验课后练习1.61页练习2.下列判断正确的是( )⊂，则a∥b B．a∩α＝P，b α，则a与b不平行A．a∥α，bα⊄，则a∥α D．a∥α，b∥α,则a∥bC．aα3．直线a∥平面α，P∈α，过点P平行于a的直线( )A．只有一条，不在平面α内 B．有无数条，不一定在α内C．只有一条，且在平面α内 D．有无数条，一定在α内4.下列命题错误的是（）A.平行于同一条直线的两个平面平行或相交B.平行于同一个平面的两个平面平行C.平行于同一条直线的两条直线平行D.平行于同一个平面的两条直线平行或相交5. 平行四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H、分别在空间四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、AD、上，又EF∥BD，则（）A.EH∥BD,BD不平行与FGB.FG∥BD，EH不平行于BDC.EH∥BD，FG∥BDD.以上都不对6.若直线a∥b，a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是7.一个平面上有两点到另一个平面的距离相等，则这两个平面。
数学：2.2.2《直线与平面平行的判定》教案(新人教A版必修2)
§平面与平面平行的判定一、三维目标：1、知识与技能理解并掌握两平面平行的判定定理。
2、过程与方法让学生通过观察实物及模型，得出两平面平行的判定。
3、情感、态度与价值观进一步培养学生空间问题平面化的思想。
二、教学重点、难点重点：两个平面平行的判定。
难点：判定定理、例题的证明。
三、学法与教学用具1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考、探讨，教师予以启发，得出两平面平行的判定。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型四、教学思想（一）创设情景、引入课题引导学生观察、思考教材第57页的观察题，导入本节课所学主题。
（二）研探新知1、问题：（1）平面β内有一条直线与平面α平行，α、β平行吗？（2）平面β内有两条直线与平面α平行，α、β平行吗？通过长方体模型，引导学生观察、思考、交流，得出结论。
两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：a βb βa∩b = P β∥αa∥αb∥α教师指出：判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2、例2 引导学生思考后，教师讲授。
例子的给出，有利于学生掌握该定理的应用。
（三）自主学习、加深认识练习：教材第59页1、2、3题。
学生先独立完成后，教师指导讲评。
（四）归纳整理、整体认识1、判定定理中的线与线、线与面应具备什么条件？2、在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方，请向老师提出。
（五）作业布置第65页习题2.2 A组第7题。
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直线与平面平行(2)
教学目的：
1.掌握空间直线和平面的位置关系；
2.掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定
理和性质定理
教学重点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 教学难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 教学过程： 一、复习
1．直线和平面的位置关系
（1）直线在平面内（无数个公共点）；
（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；
（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．
2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 3. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 二、例题
例1求证：如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内．
已知：//,,,//a P P b b a αα∈∈.
求证：b α⊂．
例2已知直线a ∥直线b ，直线a ∥平面α,b ⊄α， 求证：b ∥平面α
例3．已知直线a ∥平面α，直线a ∥平面β，平面α平面β=b ，求证//a b ．
分析： 利用公理4，寻求一条直线分别与a ，b 均平行，从而达到a ∥b 的目的．可借用已知条件中的a ∥α及a ∥β来实现．
d c b a δ
γ
β
αa
b
b'
β
α
P
c
a b
βα
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三、课堂练习
1.已知直线l 1、l 2，平面α，l 1∥l 2，l 1∥α，则ｌ2与α的位置关系是 ( ) A.l 2∥α B.l 2⊂α
C.l 2∥α或l 2⊂α
D.l 2与α相交
2.已知两条相交直线ａ、ｂ，ａ∥平面α，则ｂ与α的位置关系 ( ) A.ｂ∥α B.ｂ与α相交
C.ｂ⊂α
D.ｂ∥α或ｂ与α相交
3.下列命题中正确的是 ( )
∥过一点，一定存在和两条异面直线都平行的平面 ∥垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行 ∥若两条直线没有公共点，则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行
A.∥
B.∥
C.∥∥
D.∥∥∥ 4.几何体ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为ａ的正方体，M 、N 分别是下底面的棱
A 1
B 1，B 1
C 1的中点，P 是上底面的棱A
D 上的一点，AP ＝a 3
1
，过P 、M 、N 的
平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝ .
5.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与过点A 、E 、C 的平面的位置关系是 .
四、作业 同步练习 09032。