集合和命题的讲义1
集合与命题
一、集合集合的概念：能够确切指定的一些对象组成的整体集合的特点：确定性、互异性、无序性。
确定性：给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。
b5E2RGbCAP互异性：一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。
无序性：一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。
集合的表示方法：列举法、描述法和图示法枚举法就是将集合的元素逐一列举出来的方式描述法：{代表元素|满足的性质}集合符号：N：非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,…}N*或N+：正整数集合{1,2,3,…}Z：整数集合{…,-1,0,1,…}Q：有理数集合Q+：正有理数集合Q-：负有理数集合R：实数集合(包括实数和虚数）R+：正实数集合R-：负实数集合C：复数集合∅：空集合<不含有任何元素的集合称为空集合，又叫空集）二、集合的关系包含：子集，真子集设S,T是两个集合，如果S的所有元素都属于T ，即，则称S是T的子集记为，如果S是T的一个子集，即，但在T中存在一个元素x不属于S ，即，则称S是T的一个真子集等于：如果两个集合S和T的元素完全相同，则称S与T两个集合相等，记为S=T三、集合的运算并集定义：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，记作A∪B<或B∪A），读作“A 并B”<或“B 并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。
p1EanqFDPw交集定义：由属于A 且属于B 的相同元素组成的集合，记作A∩B<或B∩A），读作“A 交B”<或“B 交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。
DXDiTa9E3d若A 包含于B ，则A∩B=A，A∪B=B补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所以元素，那么就称这个集合为全集，U补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所以不属于集合A的所以元素所组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集RTCrpUDGiT 特性：Φ=U C U ，U C U =Φ，A A C C U U =)(意义：{}A x U x x A C U ∉∈=，三、 命题命题的概念<1）、判断真假的语句叫命题，命题常用陈述句表述。
第一讲 集合与命题及其关系
高考复习资料第一讲 集合与命题及其关系知识回顾 一、集合Ⅰ、集合具有确定性、互异性、无序性三个特征Ⅱ、空集是一种特殊集合，不含元素，是任何一个非空集合的真子集。
Ⅲ、集合常用的表示方法有：列举法，描述法，图示法。
Ⅳ、若一个集合中有n 个元素，则该集合的子集有__________个，真子集有__________个。
Ⅴ、常见的数集：自然数集_____；正整数集_____；整数集______；有理数集______；实数集______；复数集______； 二、命题Ⅰ、命题的概念：可以判断真假的语句叫做命题。
判断为真的语句叫真命题；判断为假的语句叫假命题。
Ⅱ、四种命题的形式： 原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ；（交换原命题的条件和结论）否命题：若┐p 则┐q （同时否定原命题的条件和结论）；逆否命题：若┐q 则┐p （交换原命题的条件和结论，并且同时否定）。
Ⅲ、四种命题的关系：互逆、互否命题之间的真假没有必然联系；互为逆否命题则同真同假。
Ⅳ、充分、必要、充要条件1)、如果命题“若p 则q ”为真，记为____________________，“若p 则q ”为假，记为____________________。
2)、如果已知p q ⇒，则p 是q 的_______________________，q 是p 的_________________________________。
3)、如果既有p q ⇒,又有q p ⇒，则p 是q 的____________________，记为____________________________。
4)、如果p q ⇒且q p ⇒，则p 是q 的___________________________________。
Ⅴ、反证法的一般步骤： 1）、假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； 2）、从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾； 3）、由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题结论成立。
高一集合与命题知识点
高一集合与命题知识点在高中数学学科中，集合与命题是非常重要的知识点。
通过深入学习与理解这些知识，可以帮助我们更好地解决数学问题，并提高数学的应用能力。
本文将从集合和命题两个方面展开，介绍高一阶段的相关知识点。
一、集合集合是数学中最基础的概念之一，它是由若干个元素组成的整体。
在集合中，我们最常用的操作有并、交、差、补和集合的关系等。
下面将一一介绍这些操作：1. 并集：设有集合A和集合B，A和B的并集表示为A∪B，它包含了A和B的所有元素。
2. 交集：集合A和集合B的交集表示为A∩B，它包含了同时属于A和B的所有元素。
3. 差集：集合A和集合B的差集表示为A-B，它包含了属于A 但不属于B的所有元素。
4. 补集：集合A的补集表示为A'，它包含了不属于A的所有元素。
5. 子集：若集合A的所有元素都属于集合B，则集合A是集合B的子集，表示为A⊆B。
在集合的基础上，我们还可以通过集合的运算来构建更复杂的集合，例如幂集和笛卡尔积：1. 幂集：设集合A的元素个数为n，那么A的所有子集构成的集合称为A的幂集，记作P(A)。
幂集的元素个数为2^n。
2. 笛卡尔积：设有集合A和集合B，A和B的所有有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记作A×B。
除了基本的集合操作外，我们还需要了解集合的性质和定理，例如：1. 并、交、差的运算规律：结合律、交换律、分配律等。
2. De Morgan定律：对于任意两个集合A和B，有(A∪B)'=A'∩B'和(A∩B)'=A'∪B'。
通过深入学习集合的相关知识，我们可以更好地理解和应用相关的数学概念和方法。
二、命题命题是指能够判断真假的陈述句。
在数学中，我们经常要处理各种各样的命题，因此了解命题的基本性质是非常重要的。
1. 命题的逻辑联结词：命题可以通过逻辑联结词进行组合，常见的逻辑联结词有与、或、非、蕴含和等值等。
2. 命题的真值表：我们可以通过真值表来判断命题的真假，真值表是由逻辑联结词和命题变元构成的表格。
第一章 集合与命题
第一章 集合与命题 （一）集合的概念与运算 【集合的基本概念】知识点归纳 1. 集合的定义: 2. 集合的特征: 3. 集合的表示法: 4. 集合的分类: 5. 数集: 6. 集合的关系: 7. 集合的运算: 8. 集合的运算性质:例题讲解 例1 (1) 已知集合{}3M x x n n ==∈Z ，，{}31N x x n n ==+∈Z ，，{}31P x x n n ==-∈Z ，，且a M ∈，b N ∈，c P ∈，设d a b c =-+，则( ).A. d M ∈B. d N ∈C. d P ∈D. 以上都不正确 (2) 若集合2442k k A x x k B x x k ⎧⎫⎧⎫ππππ==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ，，，，则( ).A. A B =B. B ⊂≠AC. A ⊂≠BD. AB =∅例2 写出满足{},M a b ⊆的所有集合M .例3 已知集合{}2340A x x x x =--<∈R ，，求A N 的真子集的个数.例4 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，{}2A B =，∁{}()1,9U A B =，∁{}4,6,8U A B =，求集合A 、B .例5 已知下列两集合A 、B ，求AB ；(1) {}{}2223213A y y x x x B y y x x x ==--∈==-++∈R R ，，，；(2) {}{}22(,)23(,)213A x y y x x x B x y y x x x ==--∈==-++∈R R ，，，；(3) {}{}2223213A y y x x x B y y x x x ==--∈==-++∈Z Z ，，，.例6 同时满足下列两个条件: ①{}1,2,3,4,5M ⊆，②若a M ∈，则6a M -∈，这样的集合M 有多少个? 写出这些 集合.例7 已知集合{}{}222280320A x x x x B x x ax a x =--<∈=-+=∈R R ，，， (1) 实数a 在什么范围内取值时，B ⊂≠A ?(2) 实数a 在什么范围内取值时，A B =∅.回顾反思 1. 主要方法:① 解决集合问题，首先要分析集合中的元素是什么； ② 抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；③ 弄清集合元素的本质属性，正确进行“集合语言”和“文字语言”的相互转化； ④ 了解空集的意义，在解题中强化空集的意识； ⑤ 借助数轴和文氏图进行求解. 2. 易错、易漏点:① 辨清: 子集、真子集、非空真子集的区别。
4集合与命题
Ex：已知非空集合 M 1, 2,3, 4,5,且若 a M,则 6 a M ,
求集合M的个数 23-1=7 7个
6 ．集合的运算：
①交集：A B { x x A且x B}
AB
AB
AB
②并集：A B { x x A或x B}
AB
A
B
AB
③补集：全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 1或2
Ex:已知P={0，1}，M={x∣x P}，则P 与M的关系为（ A ）
A P M B P M C P M D P M
Ex：设集合N {x x k 1 , k Z}，M {x x k 1 , k Z},则（B）
42
24
A M N (B)M N (C)M N DM N
一个充分不必要条件； a 0等
(3)求实数a的取值范围，使它成为 M P 5 x 8
的一个必要不充分条件。 ，5等
Ex：已知命题A：函数 f x x2 4mx 4m2 2 在区间
1,3 上的最小值等于2；命题B：不等式 x x m 1
对任意 x R成立；命题C：x m x 2m 1 x x2 1 0
Ex: 求满足 1, 2, 3 A 1, 2, 3,
Ex: 求满足1, 2, 3 A 1, 2, 3,
, n的集合A的个数。
2n3
, n 的集合A的个数。
2n3 1
Ex: 求满足1, 2, 3 A 1, 2, 3, , n的集合A的个数。
2n3 2
Ex：在集合 A 1, a2 a 1, a2 2a 2 中，a 的值可以是（A ）
(1)已知A、B、C中有且仅有一个真命题，试求实数m的 取值范围；
集合和命题知识点
集合和命题是数学中的基础概念之一，它们在逻辑推理和问题求解中起着重要的作用。
本文将介绍集合和命题的基本概念，并以“step by step”的思维方式进行解释。
集合在数学中，集合是由一些确定的对象组成的整体。
这些对象可以是数字、字母、符号或其他事物。
我们可以用大写字母来表示集合，用小写字母表示集合中的元素。
例如，集合A可以表示为 A = {1, 2, 3, 4}，其中1、2、3和4是A的元素。
集合可以通过包含和不包含元素的方式进行描述。
如果一个元素属于某个集合，我们可以说它是该集合的成员。
如果一个元素不属于某个集合，我们可以说它不是该集合的成员。
例如，如果 B = {2, 4, 6, 8}，我们可以说2是B的成员，但5不是B的成员。
集合可以有无限多个元素，也可以只有一个元素或者没有元素。
一个没有任何元素的集合被称为空集，用符号 {} 或者∅ 表示。
集合之间可以进行一些基本的操作，包括并集、交集和补集。
并集表示两个或多个集合中所有元素的总和，交集表示两个或多个集合中共有的元素，补集表示一个集合中不属于另一个集合的元素。
命题命题是陈述语句，可以被判断为真或假。
例如，“1 + 1 = 2” 是一个命题，因为它可以被判断为真。
命题可以用字母或其他符号来表示，例如 p、q 或者 P、Q。
命题之间可以进行一些逻辑操作，包括否定、合取、析取和条件。
否定操作表示一个命题的相反，合取操作表示多个命题同时为真，析取操作表示多个命题中至少有一个为真，条件操作表示一个命题的条件是另一个命题。
命题之间的逻辑操作可以通过真值表来进行表示和计算。
真值表列出了命题和逻辑操作的所有可能组合，以及它们的结果。
通过真值表，我们可以确定逻辑操作的结果是真还是假。
step by step 思维“step by step”思维方式是一种逐步推理和解决问题的方法。
它可以帮助我们将复杂的问题分解为更小的部分，逐步解决。
这种思维方式在数学推理中尤为重要，因为它可以帮助我们清晰地组织思路，避免错误和混淆。
第一章 集合和命题
戴博士课堂
集合的例子： ①某校高中一年级全体 学生； ②某次足球联赛参赛队 的全体； ③平面上到定点距离等 于定长的点的全体； ④所有的锐角三角形
戴博士课堂
例2.用适当的方法表示下列 集合： （ 1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合 A； （2）被3除余2的自然数全体组成的集 合B； （3）直角坐标平面上第二 象限的点组成的集合 C.
解：（ 1 ）有限集且元素个数很 少，适合用列举法 : A {2,4,6}; （2）集合B为无限集，用描述法表 示，B {x | x 3k 2, k N}；
1 解：①当a 0时，x , 集合A中仅有一个元素； 2 ②当a 0时，一元二次方程的判 别式 b 2 4ac (2) 2 4a(1) 4 4a 0, 解得：a 1. 综上，实数a的取值范围为 {a | a 1或a 0}.
1.2 集合之间的关系
王老师不是某校高中一 年级全体学生组成的集 合的元素； 一个等边三角形是所有 锐角三角形组成的集合 的一个元素。
戴博士课堂
集合元素的唯一性
对于一个给定的集合， 集合中的元素是各不相 同的.也就是说， 一个给定的集合中的任 何两个元素都是不同的 对象.集合中的 元素不重复出现 .
集合常用大写字母 A、B、C、 ...... 表示，集合中的元素用 小写字母 a、b、c、 ...... 表示.
戴博士课堂
例4. 写出集合{0,5,10}的所有子集和真子集.
解：(1)所有子集为， {0}， {5}， {10}， {0， 5}， {0， 10}， {5,10}， {0， 5,10}； （2）所有真子集为， {0}， {5}， {10}， {0， 5}， {0， 10}， {5,10}.
第一章 集合与命题
9
定义 2：对于两个集合 A 与 B，如果 A B 且 B A， 那么叫做集合 A 等于集合 B ，记作 A = B（读作集合 A 等于集合 B ）；
定义 3：对于两个集合 A 与 B ，如果 A B ，并且 B 中 至少有一个元素不属于 A ，那么集合 A 叫做 B 的真子 集，记作： AÜ B或 B Ý A，读作 A 真包含于 B 或 B 真 包含 A .
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5．交集的运算性质
对于任何集合A、B，有 (1)A∩B＝B∩A； (2)A∩A＝A； (3)A∩Ø＝Ø ；
(4)A∩B ⊆ A，A∩B⊆B； (5)A∩B＝A⇔A⊆B
.
17
6．并集的运算性质 (1)A∪B＝B∪A； (2)A∪A＝A； (3)A∪Ø＝A；
(4)A∪B ⊇ A，A∪B ⊇ B； (5)A∪B＝B⇔A⊆B. 7．交集、并集、补集的关系 A∩(∁UA)＝Ø；A∪(∁UA)＝U. 8．常见结论 (1)A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B； (2)A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝Ø.
2.若p q, q p,即p q,则p是q充分必要条件， 简称充要条件. 也说p与q互为充要条件.
3.若p q, q p,则p是q的既不充分不必要条件. q是p的既不必要不充分条件.
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2010年上海15
A
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2009年上海 15
A
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1、判别步骤：
① 认清条件和结论。 ② 考察p q和q p的真假。
• 确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个 集合里，或者不在，不能模棱两可;
• 互异性：集合中的元素没有重复； • 无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的
1对1教案讲义 集合、命题及其关系
个性化教学辅导教案学科：数学任课教师：吕老师授课时间：2020 年8月16日(星期日) 姓名年级高三性别教学课题第1课时集合、命题及其关系教学目标1、掌握集合、子集等相关概念，理解掌握元素与集合、集合与集合的关系及运算2、掌握四种命题及其相关关系3、集合的综合应用及命题的综合应用重点难点重点：集合基本运算、命题及其关系难点：集合的综合应用及命题的综合应用课前检查课堂教学过程第1部分集合1．元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R2.集合间的基本关系表示关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于AA⫋B或B A 相等集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素A⊆B且B⊆A⇔A＝B 空集空集是任何集合的子集∅⊆A空集是任何非空集合的真子集∅⫋B且B≠∅3．集合的基本运算(1)三种基本运算的概念及表示集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B若全集为U，则集合A的补集为∁U A 图形表示意义{x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} ∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}(2)三种运算的常见性质①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.②A∩A＝A，A∩∅＝∅.③A∪A＝A，A∪∅＝A.④A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .4．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若集合A ＝{x |y ＝x 2}，B ＝{y |y ＝x 2}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则A ，B ，C 表示同一个集合．( ) (2)若a 在集合A 中，则可用符号表示为a ⊆A .( ) (3)若A ⫋B ，则A ⊆B 且A ≠B .( )(4)N *⫋N ⫋Z .( )(5)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( )(6)对于任意两个集合A ，B ，都有(A ∩B )⊆(A ∪B )成立．( ) (7)∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )，∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )．( ) (8)若{x 2,1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( ) (9){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( )(10)若A ∪B ＝A ∪C ，则B ＝C .( )考点：典例领航考点一 集合的概念命题点1.集合元素的特征2.集合表示方法及意义[方法引航](1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件.当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么.(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性.[例1] (1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98C ．0D ．0或981．已知a ∈R ，若{－1,0,1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，a 2，0，则a ＝________.2． 已知P ＝{x |2＜x ＜k ，x ∈N }，若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为________．考点二集合间的关系及应用命题点1.判断集合的关系2.应用集合的关系[方法引航]1.集合间基本关系的两种判定方法(1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系(2)用列举法(或图示法等)表示各个集合，从元素(或图形)中寻找关系．2．根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．[例2](1)设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．1．在本例(1)中，集合P变为P＝{y|y＝x2＋1}，Q不变，如何选答案．2．①在本例(2)中，若A⊆B，如何求m的取值范围？②若将本例(2)中的集合A，B分别更换为A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，如何求m的取值范围？考点三集合的运算命题点1.数集交、并、补的运算2.与函数、不等式综合的交、并、补的运算3.利用集合运算求参数[方法引航](1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．(3)对于混合运算，有括号者，先运算括号里面的．[例3] (1) 若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，1，集合B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则集合A ∩B ＝( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，1B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1 D ．{0,1}(2) 已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x 2－2x ＞0}，则∁U (A ∪B )＝( ) A ．{x |x ≤2} B ．{x |x ≥1} C ．{x |0≤x ≤1} D ．{x |0≤x ≤2}(3)已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( ) A ．( －∞，－1] B ．[1，＋∞) C ．[－1,1] D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞]1．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1,3) B ．(－1,0) C ．(0,2) D ．(2,3)2．已知集合A ＝{－1,0,4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N }，全集为Z ，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{4}B ．{4，－1}C ．{4,5}D ．{－1,0}3． 已知集合A ＝{a ，b,2}，B ＝{2，b 2,2a }，且A ∩B ＝A ∪B ，则a ＝________[易错警示]空集的呐喊——勿忘我空集是任何集合的子集，即对于任一集合A ，有∅⊆A .空集是任何非空集合的真子集．当遇到“A ⊆B ”时，要注意是否需要讨论A ＝∅或A ≠∅两种情况，即“∅优先原则”．[典例] 若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，则由a 的可取值组成的集合为________．课堂基础练习1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝()A．{－2，－1,0,1,2,3}B．{－2，－1,0,1,2}C．{1,2,3} D．{1,2}2．设集合A＝{1,3,5,7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝()A．{1,3} B．{3,5}C．{5,7} D．{1,7}3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，则A∪B＝()A．{1} B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}4．设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁A B＝()A．{4,8} B．{0,2,6}C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}5．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝()A．[2,3]B．(－2,3]C．[1,2)D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)6．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则A∪B＝()A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)第2部分命题及其关系知识梳理1．命题(1)命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．(2)四种命题及相互关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q pp是q的必要不充分条件p q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p q且q p3.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3＜0”是命题．()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则┐q”．()(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．()(6)q不是p的必要条件时，“p q”成立．()(7)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．()(8)若p是q的充分不必要条件，则┐p是┐q的必要不充分条件．()(9)命题“若x2－1＝0，则x＝1或x＝－1”的否命题为：若x2－1≠0，则x≠1或x≠－1.()(10)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．()考点：典例领航考点一四种命题及其关系命题点 1.命题的改写2.命题的真假判定[方法引航](1)在根据给出的命题构造其逆命题、否命题、逆否命题时，首先要把原命题的条件和结论弄清楚，这样逆命题就是把原命题的条件和结论交换了的命题，否命题就是把原命题中否定了的条件作条件、否定了的结论作结论的命题，逆否命题就是把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论的命题.(2)当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时，必须保留大前提不变.判定命题为真，必须进行推理证明；若说明为假，只需举出一个反例.互为逆否命题的两个命题是等价命题.[例1](1)命题“若a＞b则a－1＞b－1”的否命题是()A．若a＞b，则a－1≤b－1B．若a＞b，则a－1＜b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1 D．若a＜b，则a－1＜b－1(2) 命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是()A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0(3) 有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中正确的命题为()A．①②B．②③C．④D．①②③1．原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”，其逆否命题是________．2．下面是关于复数z＝2－1＋i的四个命题：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i，p4：z的虚部为－1.其中的真命题为()A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4考点二充分条件与必要充分条件的判断命题点1.定义法2.等价命题法3.集合法[方法引航](1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法.,①┐q是┐p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；,②┐q是┐p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；,③┐q是┐p的充要条件⇔p是q的充要条件.[例2](1)“x＞1”是“(x＋2)＜0”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件(2) “x≠1且x≠2”是“x2－3x＋2≠0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件(3)设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件1．设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2．若p是q的必要条件，s是q的充分条件，那么下列推理一定正确的是()A．┐p⇔┐s B．p⇔sC．┐p⇒┐s D．┐s⇒┐p3．“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点三根据充分、必要条件求参数命题点求条件或结论中的参数[方法引航]由充分条件、必要条件求参数.解决此类问题常将充分、必要条件问题转化为集合间的子集关系求解.但是，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的验证，不等式中的等号是否能够取得，决定着端点的取值.[例3](1) 已知条件p：|x－4|≤6；条件q：(x－1)2－m2≤0(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是()A．[21，＋∞) B．[9，＋∞)C．[19，＋∞) D．(0，＋∞)(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．1．本例(2)条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．2．本例(2)条件不变，若┐P是┐S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．课后能力突破第1部分集合1．已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)＜0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分表示的集合是()A．[－1,1)B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞) D．(－3，－1)2．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{3,4,5}，N＝{1,2,5}，则集合{1,2}可以表示()A．M∩N B．(∁U M)∩NC．M∩(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)3．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．24．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，定义A⊙B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A⊙B中元素的个数是() A．7 B．10C．25D．525．已知函数f(x)＝2－x－1，集合A为函数f(x)的定义域，集合B为函数f(x)的值域，则如图所示的阴影部分表示的集合为________．6．已知集合A＝{x|1≤x＜5}，C＝{x|－a＜x≤a＋3}．若C∩A＝C，则a的取值范围是________．第2部分命题及其关系1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”2．与命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”等价的命题是()A．若a，b，c成等比数列，则b2≠acB．若a，b，c不成等比数列，则b2≠acC．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列。
数学中的集合与命题逻辑关系分析
数学中的集合与命题逻辑关系分析数学是一门严谨而又具有普遍适用性的学科，其中集合论和命题逻辑作为数学的基础，对于各个领域的研究都起着重要的作用。
本文将对数学中的集合与命题逻辑关系进行分析，以揭示它们之间的内在联系和相互作用。
一、集合与其元素的关系在数学中，集合是由一组明确定义的对象所组成的。
集合与其中的元素之间存在着紧密的关系。
1.1 包含关系在集合理论中，一个集合可以包含另一个集合。
若集合A中的每个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集。
可以用符号表示为A ⊆ B，其中“⊆”表示子集关系。
举个例子，假设集合A为自然数的集合{1, 2, 3}，集合B为正整数的集合{1, 2, 3, 4, 5}。
可以看出A的每个元素都是B的元素，因此A 是B的子集，即A ⊆ B。
1.2 相等关系集合中的元素完全相同时，称这两个集合相等。
可以用符号“=”表示。
以前述例子为基础，若集合C为自然数的集合{1, 2, 3}，则A = C，因为A和C中的元素完全相同。
二、命题逻辑中集合的应用命题逻辑是研究命题之间的推理关系和逻辑结构的学科，而集合论在命题逻辑中扮演着重要的角色。
2.1 命题与真值集合命题是陈述性语句，其要么为真，要么为假。
在命题逻辑中，集合论常用来表示命题的真值集合。
以“p：今天是晴天”为例，它可以是一个命题。
假设集合S为所有使得p成立的条件，那么S就是p的真值集合。
2.2 命题之间的关系在命题逻辑中，各个命题之间有不同的关系，包括与、或、非等关系。
集合论可以用来表示这些关系。
以两个命题p和q为例，可以定义它们之间的关系如下：1）p与q的合取，即p和q都为真的情况。
可用集合论表示为p ∩ q。
2）p与q的析取，即p和q至少一个为真的情况。
可用集合论表示为p ∪ q。
3）非p的否定，即p为假的情况。
可用集合论表示为S - p，其中S为全部可能的命题。
三、集合与命题逻辑的相互引用虽然集合论和命题逻辑是独立的学科，但它们在数学中经常相互引用，互为补充。
集合复习讲义
一丶基础知识梳理（一）集合的概念1.集合的定义：2.集合的分类：3.集合中元素的性质：4.集合的表示法：5.常用数集：其包含关系是（二）子集与真子集1.子集：若集合A 中任何一个元素都属于集合B ，则集合A 叫做集合B 的子集，记作 或真子集：对于集合的真子集，记作叫做集合则集合于中至少有一个元素不属，且若和B ,B B A ,A A B A ⊆或相等的集合：对于两个集合A 和B ，相等，记作和集合，则叫做集合，且若B A A B B A ⊆⊆2.，即空集是任何集合的子集ØA ⊆；空集是任何非空集合的真子集 3.任何集合A 是其自身的子集，即A A ⊆（三）集合的运算1.二丶双基热身Ø 个—个，非空真子集有—，非空子集有—个，真子集有个元素的集合的子集有含有等丶丶号有：：连接集合与集合的符或有：连接元素与集合的符号或，则若则性：211.7.6BA B A ..5,,子集的传集的传递4.2222nn n n n B A CA CB B A ≠=⊆∉∈=⊆⊆⊆⊆⊆{}{}{}::1.2A U B A B A B A B B A B A x x x A B x A x x B A B x A x x A C U =⋂⇔⊆=⋃⇔⊆∉∈=∈∈=⋃∈∈=⋂）充要条件：（常用公式：，图示表示：且补集：，图示表示：或并集：，图示表示：且交集：{}{}{}{}{}(){}{}(){}()}()}=⋂∈-+==∈+===∈≤-===∈≤-====+-==⋂<+-=>-==≠⋂>=≤==-⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+∈Q P ),1,1(1,1,),1,0(0,1P .6,2,1,,2,1.5,01.4,086,21,.3,Q P ,,1P .2,,,0,1,,.12222是两个向量集合，则已知集合用列举法表示集合组成的集合是则实数若集合则且已知全集的取值范围则实数若已知集合则，若已知R n n Q R m m Z x x x y y x B Z x x x y y A a ax ax x A B A C x x x B x x A R U a a x x Q x x a b a b b b a a R b a U φφ三丶考点整合举例【考点一】集合与集合的关系{}{}的取值范围；，求实数）若（的取值范围；，求实数若（集合已知集合例的与集合，试探究集合—集合且变式：已知集合的关系与集合试探究集合集合设集合例m m m x m x x x x x A Z k k x x B Z k k x x A P Q 2Q P )1(,01)12Q ,04P .2B A 53sin B ,0cot sin ,43tan A B ,,24,,42.1222⊆⊆=-+++==+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧==⎭⎬⎫⎩⎨⎧<==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==ααααααππππ{}()()[]{}φ≠⋂⊆<+--=<<-==B A 2B A 1,03B 10,12A ）（；）（取值范围。
集合与命题演算知识点总结
集合与命题演算知识点总结
1. 集合
1.1 集合的定义与表示
- 集合是由一组确定的元素组成的整体。
- 用大写字母表示集合，用小写字母表示集合的元素。
1.2 集合的运算
- 并运算：将两个集合中的所有元素合并成一个集合。
- 交运算：取两个集合中的公共元素。
- 差运算：从一个集合中去除另一个集合中的元素。
- 补运算：对于给定的全集，用全集减去一个集合得到另一个集合。
1.3 集合的性质和关系
- 空集：不包含任何元素的集合。
- 子集：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么它是另一个集合的子集。
- 幂集：由集合的所有子集构成的集合。
2. 命题演算
2.1 命题和命题变量
- 命题是陈述性语句，可以判断为真或假。
- 命题变量是用来代表命题的符号。
2.2 逻辑运算与真值表
- 与运算：当且仅当两个命题都为真时，结果才为真。
- 或运算：当且仅当两个命题中至少有一个为真时，结果才为真。
- 非运算：将一个命题的真值取反得到另一个命题。
- 异或运算：当且仅当两个命题不同时为真时，结果才为真。
2.3 命题联结词和逻辑等价式
- 命题联结词是用来建立命题之间关系的词语。
- 逻辑等价式是具有相同真值的两个命题之间的等价关系。
总结
本文简要介绍了集合与命题演算的基本知识点。
集合包括定义与表示、运算、性质和关系等内容。
命题演算涵盖了命题和命题变量、逻辑运算与真值表、命题联结词和逻辑等价式等内容。
深入理解和掌握这些知识点有助于解决相关问题和应用到实际情境中。
第一讲：集合与命题1
小结： 小结： 集合概念三要点： 集合概念三要点： ① 确定性 ② 无重复性 ③ 无顺序性
2．集合的表示法： 集合的表示法： 常用的有列举法和描述法． 常用的有列举法和描述法．
列举法是把集合中的元素一一列举出来， 列举法是把集合中的元素一一列举出来， 写在大括号内表示集合的方法． 写在大括号内表示集合的方法． 如 （ 1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9） 描述法是在大括号内先写出这个集合的元 素的一般形式，再划一条竖线， 素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后 面写上集合中元素所共同具有的特性， 面写上集合中元素所共同具有的特性，即 A={x| x满足的性质p}．如 { x − 2 < x < 5, x ∈ R} x满足的性质p}． 满足的性质p}
{( x , y ) y = 3 x − 2} , 则
ðU M I N
是 （D ）
y−4 = 3 ． ( x, y ) A （A） x−2
y−4 ≠ 3 ． ( x, y ) （B） x−2
解答：如图， ðU M = {( 2,4)} ， 所以 ðU M I N = {( 2, 4 )}
记作 A U B ，读作“ A 并 B ” ，即 A U B = { x x ∈ A 或
x ∈ B} ．如图：
A
B
（6） 全集： 在研究集合与集合之间的关系时， 这些集合往往是某个给定集合的子集，这个 给定的集合叫做全集，常用符号 U 表示．如 图：
U
（7）补集：设 U 为全集， A 是 U 的子集， 则由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合叫 记作 ðU A ， 读作 做集合 A 在全集 U 中的补集， “ A 补” ，即 ðU A = { x x ∈U 且 x ∉ A} ．如图：
第一讲 集合与命题
第一讲 集合与命题第一节 集合的概念与运算一、知识梳理1、集合：把某些能够确切指定的对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。
集合中的各个对象叫做这个集合的元素。
2、集合元素的特征：确定性、互异性、无序性3、子集：对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于B ，那么集合A 叫作集合B 的子集，记作A B ⊆，或B A ⊇4、真子集：对于两个集合A 和B ，如果A B ⊆，并且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，那么集合A 叫作集合B 的真子集，记作A B Ü，或B A Ý5、相等集：对于两个集合A 和B ，如果A B ⊆，且B A ⊆，那么集合A 与B 相等，记作A B =6、空集：不含任何元素的集合，记∅。
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
7、交集：由集合A 和集合B 的所有公共元素组成的集合，叫作A 与B 的交集，记作{}A B x x A x B =∈∈ 且8、并集：由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素组成的集合，叫作A 与B 的并集，记作{}A B x x A x B =∈∈ 或9、补集：记U 为全集，A 是U 的子集，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫作A 在全集U 中的补集，记作{}U A x x U x A =∈∉且ð10、对于含有n 个元素的有限集合{}12,,,n A a a a = ，其子集的个数为2n个，其真子集的个为21n -个，其非空子集的个数为21n -个，其非空真子集的个数为22n-个 11、集合的表示方法：列举法、描述法、文氏图法 12、德·摩根公式：()U UU A B A B = 痧?，()U UU A B A B =痧?二、学法点拨1、理解集合的概念，掌握集合的三种表示方法，领会集合中元素的确定性、互异性、无序性（确定性和无序性主要用于列式，互异性主要用于检验），以及元素与集合的“属于”或“不属于”关系。
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(3)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；
(2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．
三、 课堂练习
（上海，19）记函数f （x ）=1
32++-
x x 的定义域为A ，g （x ）=lg ［（x －a －1）（2a －x ）］（a ＜1）的定义域为B .
（1）求A；
（2）若B A，求实数a的取值范围.
【示例】►(2010·上海)“x＝2kπ＋π
4(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的()．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2013•上海）设常数a∈R，集合A={x|（x-1）（x-a）≥0}，B={x|x≥a-1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）
A．（-∞，2）B．（-∞，2] C．（2，+∞）D．[2，+∞）
考点：并集及其运算；一元二次不等式的解法．
（2013•上海）设常数a∈R，集合A={x|（x-1）（x-a）≥0}，B={x|x≥a-1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）
A．（-∞，2）B．（-∞，2] C．（2，+∞）D．[2，+∞）
考点：并集及其运算；一元二次不等式的解法．。