线路及绕组中的波过程
线路与绕组中的波过程
将（8－4）代入（8－1），得
at L 0 vta = vC 0
（8－4）
由此可得电磁波的传播速度v的表达式（v取正值）： 1 v= （8－5） LC
0 0
对于架空线路，单位长度的电感L0和电容C0为
L0 =
µ 0 2h ln 2π r
H /m
（8－6）
2πε 0 C0 = 2h ln r
F /m
第八章 线路与绕组中的波过程
（4学时） 学时）
电力系统中的架空输电线路、母线、电缆、发电机和变压器 绕组等都属于具有分布参数的电路元件。无论发生雷电过电压 还是操作过电压，都会在这些线路和设备中产生过渡过程。分 布参数的过渡过程本质上是电磁波的传播过程，简称波过程。
8.1 波沿均匀无损单导线的传播
（8－7）
其中，µ 0 = 4π × 10 −7 H / m，为空气的导磁系数；ε 0= 10 −9 36π F / m，为空 气的介电系数；h为导线的对地高度，单位为m；r为导线半径，单位 为m。因此 1 1 v= = = 3 ×108 m/ s L0C0 µ 0ε 0 它等于光速，通常用c来表示。也就是说电流波或电压波是以光速 沿架空导线传播的，它与导线的几何尺寸和悬挂高度无关。 将 i = at 和（8－5）式代入（8－1）式，得到
为u1，因为
x1 + vdt x1 u q [( t 1 + dt ) − ] = u q (t1 − ) = u 1 v v x 由此可见， q (t − ) 是随着时间t的增加、以速度v向x增加的方向运 u v x 动的，是前行波电压，如图8－3所示。同样可以说明，u f (t＋ ) 代表一
个以速度v向x负方向行进的波，是反行波电压。为了方便，式（8－13） 可以简洁地表示为
线路和绕组的波过程改
高电压技术
⑵ 线路末端短路（接地）： 相当于 Z2＝0 旳情况。
此时α= 0， β = －1 ； 所以 u2q = 0，u1f = －u1q
这一成果表白，电压入射波u1q 到达接地旳末端后将发生负旳全放 射，成果使线路末端电压下降为零， 而且逐渐向着线路始端发展，
z1 z2
u1q
u1q
⑴ 当Z2=Z1时， α＝1， β＝0；电压旳折射波等于入射 波，而反射波为零，即不发生任何折、反射现象，实际上
这就是均匀导线旳 情况。
⑵ 当Z2<Z1时， α <1,β<0;这表白电压折射波将不大于 入射波,而电压反射波旳极性将与入射波相反,叠加后使线路 1上旳总电压不大于电压入射波。
（2）电压与电流旳方向旳要求
要求X 旳方向为正方向
电压波旳符号只决定导线对 地电容上电荷旳符号，与电 荷运动旳方向无关。
电流波旳符号不但决定于电
荷旳种类，还与电荷运动旳
方向有关。
对前行波：
u i z
对反行波：
u i
z
高电压技术
波速
x 1
t
L0C0
波阻抗表达同一方向旳电压波与电流波旳比值。 电磁波经过波阻抗为Z旳导线时，能量以电能、磁能旳方 式储存在周围介质中，而不是被消耗掉。 若导线上前行波与反行波同步存在时，则导线上总电压与 总电流旳比值不再等于波阻抗。 波阻抗Z 旳数值只取决于导线单位长度旳电感和电容，与 线路长度无关。 为了区别不同方向旳流动波，波阻抗有正、负号。
末端电流 I2q= 0；反射电流i1f = －u1f /z1；
这一成果表白，电压入射波到达开路旳末端后 将发生全反射，成果是使线路末端电压上升到入 射波旳两倍。伴随电压反射波旳逆向传播，其所 到之处电压均加倍，未到之处仍保持着u1q。
高电压课件第七章线路和绕组中的波过程
⾼电压课件第七章线路和绕组中的波过程第线路和绕组中的波过程7-1 ⽆损耗单导线线路中的波过程先讨论单导线-地的等值电路，将线路看成是由⽆数个长度为dx 的⼩段所组成。
若每单位长度导线的电感及电阻为L 0和r 0；每单位长度导线对地的电容及电导为C 0及g 0，则长度为dx 线段的参数应为L 0dx 、r 0dx 、C 0dx 和g 0dx ，线路的等值电路见图7-1-1。
实际上，L 0、r 0、C 0、g 0这些参数都和频率有关，当线路导线发⽣电晕时尚与电压有关，但在分析波过程的基本规律时，可以假定它们都是常数。
这样就可以有下了⽅程：7-1-1将此⽅程式经过拉式变换可以得到：7-1-2其中)(u v x t q -是⼀个以速度v 向x 正⽅向⾏进的电压波，)(u vxt f +代表⼀个以速度v 向x 负⽅向⾏进的波。
由式7-1-2可得OOC L z =。
z 具有阻抗的性质，其单位应为欧姆，通常称z 为波阻抗，其值取决于单位长度线路的电感L 0和对地电容C 0，波阻抗z 与线路长度⽆关，即z并⽆单位长度的含义。
综上所述，可以得到如下结论，⽆损单导线线路波过程的基本规律由下⾯四个⽅程所决定：7-1-3它们的含义可以概括如下：导线上任何⼀点的电压或电路，等于通过该点的前⾏波与反⾏波之和，前⾏波电压与电流之⽐为+z，反省波电压与电流之⽐为-z。
有这四个基本⽅程出发加上便捷条件和骑⼠条件就可以解决各种具体问题了。
注意：从功率的观点来看，波阻抗z与⼀数值相等的集中参数电阻相当，但在物理含义上不相同，电阻要消耗能量，⽽波阻抗并不消耗能量，当⾏波幅值⼀定时，波阻抗决定了单位时间内导线获得电磁能量的⼤⼩。
7-2 ⾏波的折射与反射⼀、⾏波的折射反射规律若具有不同波阻抗的两条线路相连接，如图7-2-1所⽰，连接点为A。
现将线路z1合闸于直流电源U，合闸后沿线路z1有⼀与电源电压相同的前⾏电压波u 1q ⾃电源向节点A传播，达到结点A遇到波阻抗为z2的线路，根据前节所述，在结点A前后都必须保持单位长度导线的电场能与磁场能相等的规律，但是由于线路z1和z2的单位长度电感与对地电容都不相同，因此当u1q到达A点时必然要发⽣电压、电流的变化，也就是说，在结点A出要发⽣薪风波的折射与反射过程，通过分析可以得到u1f 与u2q的表达式。
吉林大学《高电压技术》期末考试学习资料(五)
吉大《高电压技术》（五）
第五章 线路和绕组中的波过程
1.波将以速度v 传播。
波速与导线周围媒质的性质有关，而与导线半径、对地高度、铅包半径等几何尺寸无关。
架空线路的波速8310/v m s =⨯，为光速;电缆线路的波速81.510/v m s =⨯，为光速一半。
0
0v L C =± 2.波阻抗Z （定义）表示电压波与电流波的比值，大小取决于导线单位长度的电感和电容。
架空线路的波阻抗约300～500Ω，电缆线路的波阻抗约10～100Ω。
00
L Z C =
3. 波阻抗与电阻的物理含义比较:
波阻抗：表示电压波与电流波的比值，大小取决于导线单位长度的电感和电容，与长度无关；表征导线周围介质获得或存储电磁能的大小，并不消耗；波阻抗具有正负号，表示不同方向的流动波。
电阻：表示电压与电流的比值，大小与导线长度和导线材质有关；吸收并转变为热能消耗掉；没有正负号。
4.前行波和反行波：
5.行波在均匀无损单根导线上传播的基本规律的物理意义是：
导线上任一点的电压或电流等于通过该点的前行波与反行波之和；前行波电压与电流之比等于+Z ；反行波电压与电流之比等于‐Z 。
6.折射系数和反射系数： 其中：电压波折射系数：21
22z z z α=÷；电压波反射系数：1212
z z z z β+=÷。
1αβ+= 7.彼德逊法则：
集中参数的等值电路:将入射波看成内阻为1z ，电压为入射波两倍12f u 电源，与波阻抗2z 相连，则2z 两端的压降即为折射电压1f u —彼得逊等值电路。
使用条件:。
第七章 线路和绕组中的波过程
§7-1 无损耗单导线线路中的波过程 一、波过程的一些物理概念
★什么是波过程？
u
dx
r0 dx
L0 dx
u
i
c0 dx
i
g0 dx
将传输线设想为许多无穷小的长度元dx串联而成。
电压波和电流波沿线路的流动就是电磁波传播的过程称为波过程。 这种电压波、电流波以波的形式沿导线传播称为行波。
u
由拉氏反变换的延迟定 理，将s域解换成时域解形式 : x x u ( x, t ) u q (t ) u f (t )(11) v v x x i ( x, t ) iq (t ) i f (t )(12 ) v v
(11)(12 )就是无损单导线波动方 程的解；其中 v 将
（3）、（4）称为无损单导线的波动方程，两式形式 相同，可以预见u与i会有形式完全相同的解。
应用拉普拉斯变换将u（x，t）变成U（x，S）; i（x，t）变成I(x，S) 假定线路电压和电流初始值为零，利用拉氏变换的时域导数 性质有：
2U ( x, S ) L0C0 S 2U ( x, S )(5) x 2 2 I ( x, S ) L0C0 S 2 I ( x, S )(6) x 2
假设折射电压波u2q尚未到达线路Z2的末端，即线路Z2上尚 未出现反行电压波，或u2q虽已到达Z2的末端，线路Z2上已出现 反行电压波，但此反行电压波尚未到达节点A。则对于线路Z1 有： u1 u1q u1 f ; i1 i1q i1 f
u1q Z1 i1q ; u1 f Z1 i1 f
3.波阻抗的特点
a.表示同一方向电压波与电流波大小的比值，电磁 波通过Z时，以电磁波的形式储存在周围介质中； b.导线上既有前行波又有反行波时，Z≠U/I c.Z的数值与线路长度无关
第六章_输电线路和绕组中的波过程
一般220kV高压线路的平均长度也只有200-250km， 所以全线各点的电压、电流可以近似地认为是相同 的，因而就可用一个集中参数等值电路来代替了。
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用分布参数电路来处理问题，实质上就是承认导线 上的电压U和电流I不但随时间t而变，而且也随空 间位置的不同而异，即
二、波速和波阻抗
行波在均匀无损单导线上的传播速度
v
1 L0C0
架空单导线的L0和C0可由下式求得
L0
0r 2
ln 2hc r
（H/m)
C0
2 0 r
ln 2hc
r
(F/m)
hc 导线的平均对地高度，m； r 导线的半径
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单芯同轴电缆
L0
0r 2
ln R r
（2）波阻抗从电源吸收的功率和能量是以电 磁能的形式储存在导线周围的媒质中，并未消耗掉； 而电阻从电源吸收的功率和能量均转化为热能而散 失掉了。
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三、均匀无损单导线波过程的基本概念
设一条单位长度电感
和对地电容分别为L0 和C0的均匀无损单导 线在t=O时合闸到直流
u f x,t i f ' x,t
这样，就很难在同一张图中表示电压（或电流） 的变化规律，而只能分别采用以下两种图示方法：
（1）某一特定地点的电压（或电流）波形图； （2）某一特定瞬间的电压（或电流）沿线分布 图。
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第一节 波沿均匀无损单导线的传播
➢ 线路方程及解 ➢波速和波阻抗 ➢均匀无损单导线波过程的基本概念
注电考试最新版教材-第71讲 第四十章：输电线路和绕组中的波过程
第40章 输电线路和绕组中的波过程40.1 波沿均匀无损单导线的传播架空线：单位长度对地电容 单位长度导体电感电缆： 单位长度对地电容 单位长度导体电感 电磁波的传播速度v架空线： 电缆：导线的波阻抗z ：波阻抗Z 为同方向电压波与电流波之比架空线： 一般单根导线 z ≈500Ω 分裂导线z ≈300Ω电缆： 一般z=10-50Ω波阻抗Z 和集中参数电阻R 的比较相同点：（1）都是反映电压与电流之比（2）量纲相同都为Ω不同点：（1）R ：电压u 为R 两端的电压，电流i 为流过R 的电流。
Z ：电压u 为导线对地电压，电流i 为同方向导线电流。
（2）R ：耗能Z ：不耗能，将能量储存在导线周围的介质里。
（3）R ：常常与导线长度有关。
Z ：只与L 和C 有关，与导线长度无关。
40.2 行波的折射和反射波的折、反射：实际工程中波可能遇到线路参数突变的地方（节点）架空线--电缆 架空线--终端（开路、短路） 02(/)2ln r o pC F m h r πεε=)/(2ln 200m H rh L p r πμμ=)/(1031800s m v o⨯==εμ)/(105.1211800s m v v v r r ⨯===εμrh C L z p 2ln 6000==r h z pr r 2ln 60εμ=电压波折射系数要计算分布参数线路上节点的电压可用集中参数等值电路计算： a.线路波阻抗用数值相等的集中参数等值电阻代替b.把线路上的入射电压波的两倍作为等值电压源使用条件Z 2中无反行波40.3 实际输电线路的波过程问题40.3.1 行波的多次折、反射40.3.2 行波在无损平行多导线系统中的传播自电位系数互电位系数自波阻抗1q ==+22q u 1q 122z u u αu z z 221121111112122f q q q q q u q z z z u u u u u u u z z z z b -=-=-==++α2122Z Z Z +=α20≤≤α2112Z Z Z Z +-=β11≤≤-ββα+=101121=======+-=n k k q q q q q k k kk q u αk k r kk r h 2ln 210επεα=0121======-=n k q q q q n k kj q u αkj kj r kj d d 'ln 210επεα=k k kk r h Z 2ln 60=互波阻抗 kj kj kj d d Z 'ln 60=耦合系数k40.3.3 冲击电晕对波过程的影响电晕对导线上波过程的影响(1).使导线的耦合系数增大电晕校正系数3.1~1.11=k 几何耦合系数0k (2).使导线的波阻抗和波速减小(3).使波在传播过程中幅值衰减，波形畸变40.4 变压器绕组中的波过程1.简化等值电路40.4.1 绕组中的初始电压分布与稳态电压分布(1).绕组末端接地 2）绕组末端开路绕组首端处：u=U0 绕组末端处 112121Z Z k =-01k k k =0000'C L Z C C L Z =<∆+=00001)(1'C L v C C L v =<∆+=l sh x l sh U u αα)(0-=00==l x dx du k。
线路和绕组中的波过程ppt课件
i x
C0
u t
(4)
L
Байду номын сангаас
u x
sL0 L[i]
(5)
L
i x
sC0 L[u ]
(6)
两边对dx求导：
L
d 2u dx2
sL0 L
i x
-s 2 L0C0 L[u ]
(7)
L0，R0，C0，G0 ：表示导线单位长度上的电感、电阻、对地电 容和电导。
5
高电压技术
波动方程解的推导
u
(u
u x
dx)
u x
dx
r0dxi
L0dx
i t
i
(i
i ) x
i x
g0dx(u
u x
dx)
C0dx
(u
u x t
27
高电压技术-第六章讲解
v
1 L0 C0
1
r r
0
0
波速度只和线路的绝缘材料有关，和线路的材质、几何结构、对地 距离等都无关，甚至和绝缘的几何结构也无关 架空线中的波速度接近光速，290~300m/uS， 电缆变化很大，一般在150～265m/uS，交联聚乙烯160左右
架空线路和电缆波速度和波阻抗的特性（2）
限制短路电流的电抗线圈，载波通信的高频扼流线圈、耦合电容等
利用彼得逊法则，建立等值电路和微分方程。 解微分方程获得电压电流
（通过电感和旁过电容形式相同）
无限长直角波旁过电容（1）
A点电压为：
2 z2 z1 z 2
2 z 2u0 u A (t ) (1 e z1 z2
t c
即初始值为0，按指数规律增加到Z1直接和Z2决定的值
但电感、旁过电容后产生的反射电压波形却完全相反：
电感反射波为正，增加入射线路过电压； 电容反射波为负，减小入射线路过电压 电容将电场能量转为磁场能量 电容效果好
电流行波穿越电感和电容后，如何？
用图解法求节点电压
适用于带非线性元件（如避雷器）和入射波为任意形状的情况 图的右半部分：做非线性电阻的伏安曲线uR=f(i)，导线波阻抗上的电压 降iZ，以及二者之和（uR+iZ） 左半平面做2倍入射电压曲线2u’(t) 从2u’(t)任一点a作水平线与（uR+iZ）交于b，再垂直与uR交于C，再水 平与a点垂直线交于d。 依次类推。
波阻抗表示为
L0 1 Z C0 2
r 2hp ln r 0 r
0
和绝缘材料有关外，和线路的几何结构、对地距离等也有关 架空线路：一般单根导线 z≈500Ω 分裂导线z≈300Ω
4输电线路和绕组中的波过程
• 下面举两个最简单的例子： • （1）有限长直角波（幅值为U0，波长为lt):可用 两个幅值相同（均为U0、极性相反、在时间上相 差Tt或在空间上相距lt（=vTt）、并以同样的波速 v朝同一方向推进的无限长直角波叠加而成，如图 6-4所示。
• （2）平顶斜角波（幅值为U0，波前时间为Tf）： 其组成方式如图6－5所示，如单元无限长直角波
合闸后，在导线周围空间建立起电场，形成电 压。靠近电源的电容立即充电，并向相邻的电容放 电，由于线路电感的作用，较远处的电容要间隔一 段时间才能充上一定数量的电荷，并向更远处的电 容放电。这样沿线路逐渐建立起电场，将电场能储 存于线路对地电容中，也就是说电压波以一定的速 度沿线路x方向传播。 随着线路的充放电将有电流流过导线的电感， 即在导线周围空间建立起磁场，因此和电压波相对 应，还有电流波以同样的速度沿x方向流动。综上所 述，电压波和电流波沿线路的传播过程实质上就是 电磁波沿线路传播的过程，电压波和电流波是在线 路中传播的伴随而行的统一体。
I I q I f 1.56 1.11 0.45kA
• 第二节 行波的折射和反射
折射系数和反射系数 几种特殊端接情况下的波过程 集中参数等值电路
• 线路中均匀性开始遭到破坏的点称为节点，当行 波投射到节点时，必然会出现电压、电流、能量 重新调整分配的过程，即在节点处将发生行波的 折射和反射现象。 • 通常采用最简单的无限长直角波来介绍线路波过 程的基本概念。任何其他波形都可以用一定数量 的单元无限长直角波叠加而得，所以无限长直角 波实际上是最简单和代表性最广泛的一种波形。
行波通过串联电感和并联电容
一、无穷长直角波通过串联电感
• 由彼德逊法则
2u1q ( Z1 Z 2 )i2 q L
第11课-线路及绕组中的波过程1
di2 q dt
解之得
i2 q
2u1q Z1 Z 2
(1 e )
大约 300m
电压沿线路分布图 因此对于过电压波，输电线路必须采用分布 参数模型，导线上的电压和电流既是时间的 函数又是空间的函数。
u f ( x, t ) i f ( x, t )
雷电波沿输电线路传播
主要内容
6.1 均匀无损单导线波过程
6.2 波的折射和反射 6.3 行波通过串联电感和并联电容 6.4 行波的多次折反射 6.5 无损耗平行多导线系统中的波过程 6.6 冲击电晕对线路波过程的影响 6.7 变压器绕组中的波过程 6.8 旋转电机绕组的波过程
具有电阻的量纲
dx 1 v dt L0C0
波速
对于架空线路，单位长度的电感L0和电容C0为： 2 0
C0 0 2h 2h L0 ln ln 2 r （H/m） r （F/m）
L0 1 Z C0 2
0 2h ln 0 r
Ω
波阻抗： • 是表征分布参数电路特点的最重要的参数，它是储能元件， 表示导线周围介质获得电磁能的大小，具有电阻的量纲， 其值决定于单位长度导线的电感和电容，与线路长度无关。 • 对单导线架空线，Z=500Ω左右，考虑电晕影响取400 Ω左 右，分裂导线Z=300Ω左右，电缆的波阻抗约为十几欧姆至 几十不等。
u1q(t)可以为任意波形，Z2可以是线路、电阻、电感、 电容组成的任意网络 使用彼德逊法则求解节点电压时的先决条件：
(1)入射波必需是沿分布参数线路传来 (2)线路Z2上没有反行波或Z2中的反行波尚未到达节点A
应用举例----线路末端接有电阻R时的波过程
当R=Z1时，
2U 0 2U 0 uA R R U0 Z1 R RR
8-线路和绕组中的波过程
高电压工程基础
8.1.2 波动方程及其解
令x为线路首端到线路上某点的距离，
线路微段dx具有电感L0dx和电容C0dx， 线路上电压u和电流i都是距离和时间
的函数。
du
(u
u x
dx)
u
L0dx
i t
di
(i
i x
dx)
i
C0dx
u t
2u x 2
L0C0
2u t 2
2hp r
C0
2 0 r
ln 2hp
r
式中 μ0 — 真空的磁导率； μr — 介质的相对磁导率；
ε0 — 真空的介电常数；εr — 介质相对介电常数；
hp— 导线的对地高度； r — 导线半径。
v 1
1
3 108
L0C0
0 r 0 r
r r
波速与导线周围介质有关，与导线的几何尺寸及悬 挂高度无关。对架空线路v≈3×108 m/s，接近光速； 对于电缆，v≈1.5×108 m/s，为光速的一半。
8.2.1 折射系数和反射系数
高电压工程基础
通常采用最简单的无限长直角波来分析线路波过程的基本概念。 任何其他波形都可以用一定数量的单位无限长直角波叠加而得， 所以无限长直角波是最简单和代表性最广泛的一种波形。
u1f
u2f
A
Z1
u1b
Z2
u1f 入射电压波 i1f 入射电流波 u2f 折射电压波 i2f 折射电流波 u1b 反射电压波 i1b 反射电压波
u1f
u2f
A
Z1
u1b
Z2
高电压工程基础
线路和绕组中的波过程
线路和绕组中的波过程
波是指一种能够传递能量的扰动或振动。
在线路和绕组中，波的传播
是电磁波或电磁场的传播过程。
在线路中，通常存在两种类型的波传播：行波和驻波。
行波是指波沿着线路传播的过程。
行波可以是平面波或波列，其中平
面波是指波的振动方向垂直于波的传播方向并且波前是平行的，而波列是
指波的波前是曲线的。
行波的传播速度取决于介质的特性，例如电磁波在
真空中的传播速度为光速。
驻波是指波在线路中的反射和干涉形成的波。
驻波形成时，波前和波
峰或波谷之间存在固定的空间间隔，这些区域被称为节点和腹部。
驻波的
形成与波的反射和干涉有关。
在驻波的波过程中，能量来回传播并在节点
处相互抵消，因此没有能量的传输。
驻波常见于终端开路或短路的线路中。
绕组是指由导线组成的线圈或线圈的一部分。
波在绕组中的传播也可
以是行波或驻波。
在绕组中，波的传播速度取决于绕组的各种参数，如线圈的自感和电容。
当频率较低时，波在绕组中的传播基本上是行波。
然而，当频率很高时，波在绕组中的传播会变得复杂，包括电磁波辐射和引入许多附加参数，如互感和电阻。
此时，驻波的形成也是可能的。
总结而言，线路和绕组中的波过程可以是行波或驻波。
行波是波沿着
线路传播的过程，而驻波是波的反射和干涉形成的波。
波的传播速度取决
于介质的特性和绕组的参数。
通过研究波的传播和行为，可以更好地理解
电磁波在线路和绕组中的特性和性能，从而应用于电路和电磁设备的设计
和分析中。
第六章 输电线路和绕组中的波过程ppt课件
则
PRu'i'
u'2 i'2R R
可见一条波阻抗为Z的线路从电源吸收的功率PZ与 一阻值R=Z的电阻从电源吸收的功率PR完全相同。 从电源的角度来看，后面接一条波阻抗为Z的长线
与接一个电阻R（=Z）是一样的。计算时，可以用 一只阻值R=Z的集中参数电路的电阻来替换一条波 阻抗为Z的分布参数长线。
高电压技术 河北科技师范学院电气教研室
第三篇 电力系统过电压与绝缘配合
过电压的概念与分类
•过电压的概念：指电力系统中出现的对绝缘 有危险的电压升高和电位差升高。 • 过电压的分类：
高电压技术 河北科技师范学院电气教研室
本篇主要内容
➢本篇首先介绍过电压及其防护问题的基础－ 波过程理论。 ➢然后探讨各种过电压的产生机理、发展过程、 影响因素、防护措施等。 ➢最后探讨电力系统绝缘配合问题。
i
' 1
i1 i1'' i1' 0
u1'' u1'
i1'' i1'
发生全反射，开路电压加倍，电流变零。
高电压技术 河北科技师范学院电气教研室
电压加倍、电流变零的现象可以从能量关系来理解： 开路末端处电流发生负的全反射，使电流反射波
所流过的线段上的总电流变为零，储存的磁场能量亦 变为零，全部转为电场能量。
➢架空线路的波阻抗约在300～500Ω之间，电缆线路 的波阻抗约在10～50Ω之间。
（本完）
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第二节 行波的折射和反射
➢折射系数和反射系数 ➢几种特殊端接情况下的波过程 ➢集中参数等值电路
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13 第七章 波过程
u u1 ( x vt ) u 2 ( x vt ) u u
1 i [u1 ( x vt ) u2 ( x vt )] i i Z
u u1 ( x vt ) —前行电压波（入射波）
u u 2 ( x vt ) —反行电压波（反射波）
2u1
u 2
电压折射波的波前陡度：
∵
i1 i2 i1
t / L du 2 Z 2u1 2 e dt L 2 Z 2u1 ( kV / s ) t 0 : max L
∴
2u1 t / L i2 i1 i1 (1 e ) i1 Z1 Z 2
波沿均匀无损单导线传播示意图
u, i
t=0
E
x
t=0
L0 dx
C0 dx
E
C0 dx
L0dx
C0 dx
L0 dx
C0 dx
§7.1波沿均匀无损单导线的传播 一、均匀无损单导线系统的波阻抗：
线路各点电气参数完全一样； 线路无能量损耗（R0=0，G0=0）
单元等值电路：
L0 dx C0 dx L0 dx C0 dx L0 dx
∵ 节点A上电压、电流 的连续性
i1
u1 u u1 2
i1 i2 i1
又∵
u1 i1 Z1 u 2 i2 Z2
u1 i1 Z1
∴
2Z 2 u1 u u1 2 Z1 Z 2
Z 2 Z1 u1 u1 u1 Z1 Z 2
du2 dt
max
du2 dl
max
dl du2 dt dl
线路和绕组中的波过程-高电压技术考点复习讲义和题库
考点4：线路和绕组中的波过程4.1 无损耗单导线线路中的波过程实际的输电线路，一般由多根平行架设的导线组成，各导线之间有电磁耦合，电磁过程也较为复杂。
通常从单根导线着手研究输电线路波过程比较的方便，进一步可推广到多根导线系统的波过程。
当输电线路较短时，线路电阻很0R 小,对波过程的影响可忽略不计，一般线路对地电导参数0G 也很小，也可忽略不计，这时的线路为单根无损线路。
当雷击输电线路时，将有大量的电荷沿雷电通道倾注到雷击点，并向线路两侧迅速流动，即电磁波的传播过程称之为行波的传播．在此过程中会产生瞬间的高幅值的过电压，下面分析无损耗单导线线路中行波的传播规律。
一、均匀无损长线及其等值电路单根无损线路，设首端是坐标原点，确定X 轴正方向。
在这条均匀分布的无损线路上、电压、电流是空间和时间的函数，即⎩⎨⎧==),(),(t x i i t x u u其参考方向如图所示。
线路单位长度的电感、电容分别是00,C L ,而电阻和电导分别为零。
均匀无损单根导线的方程为这组偏微分方程可由拉普拉斯变换，或者分离变量法等多种方法来求解，线路上的电流，电压可表示为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=++-=)](([1)()(v x t u v x t u z i vx t u v x t u u f q f q式中001C L v =为输电线路上的电磁波传输速度，00C L Z =为线路的波阻抗。
这两式中)(v xt u q -相当于线路上沿X 轴正方向传播的行波，叫行波电压，)(vxt u q +相当于X 轴上反向传播的行波，叫反行波电压，显然波传播速度为v 。
同理)(1v xt u z i q q -=称为前行波)(1vxt u z i f f +=称为反行波上述各式可简化为a)行波概念说明：前行电压波uq 和前行电流波iq 表示电压和电流在导线上的坐标是以速度v 沿x 的正方向移动；反行电压波uf 和前行电流波if 表示电压和电流在导线上的坐标是以速度v 沿x 的负方向移动。
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u1 f
z2 z1 z1 z2
u1q
2z2 z1 z2
t
u1qe T
du2q dt
2 z1c
t
u1qe T
du2 dt
q
max
du2q dt
t 0
2u1q z1c
电容中的电压不能突变， 初始瞬间相当于短路
直角波通过电容后改变为 指数波，降低了行波陡度
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35
小结
最大陡度发生在t=0时刻 串联电感时最大陡度仅取决于z2和L 并联电容时最大陡度仅取决于z1和c 只要增加电容或电感就可以限制侵入波的陡度
u3（0－）＝0 u3（0+ ）＝0
u1（ t ）= E/2+β1E/2= E u2（ t ）= E/2
u3（ t ）＝0
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t=τ
u1（ τ －）＝ E/2+β1E/2= E u2（ τ －）＝ E/2 u3（ τ －）＝ 0 u1（ τ ＋）＝ 0 u2（ τ ＋）＝ E/2 u3（ τ + ）＝ E/2+β2E/2= E
1.入射波必须是沿分布参数线路传播而来。
2.被入射线路(Z2)必须为无穷长或反射波尚未 到达待求解点 。
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例题：
波阻抗为Z长度为l的电缆充电到电压E，t=0时刻合闸于波 阻抗为Z长度为l的电缆，求合闸后节点1、2、3的电压。
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20
解：（1）根据分布参数线路上电压为前行波和反行波的叠加 E=uq+uf
i=iq+if = 0 uq=ziq uf=－zif 求得t=0-时： uq=uf=E/2 （2）求2-1和2-3的反射系数：β1＝1 β2＝1
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U1q=U0
2U1q
UB
2U1q Z1 R Z 2
Z2
2 1000 50 90.91(kV ) 500 550 50
4.2 波的折射和反射
4.2 波的折射和反射
一、折射波和反射波的计算
Z2>Z1
连接点A处只能有一个电压电流值 必然有 u1q u1 f u2 q i1q i1 f i2 q
其中
u1q u0
i1q i2 q u1q Z1 u2 q Z2
i1 f u1 f Z1
4.3 行波通过串联电感和并联电容
二、无穷长直角波通过并联电容
2u1q Z1i1 i2 q Z 2 di2 q i1 i2 q Z 2C dt
u1q Z1 Z 2 Z 2C i2 q dt Z1 Z1
di2 q
4.3 行波通过串联电感和并联电容
4.1 单导线波过程
无损单导线波过程的基本规律由下面四个方程 决定：
u uq u f i iq i f u q z iq u f z i f
4.1 单导线波过程
4.2 波的折射和反射
4.3 行波通过串联电感和并联电容
4.4 行波的多次折反射
4.5 无损耗平行多导线系统中的波过程 4.6 冲击电晕对线路波过程的影响 4.7 变压器绕组中的波过程 4.8 旋转电机绕组的波过程
4.3 行波通过串联电感和并联电容
一、无穷长直角波通过串联电感
由彼德逊法则
2u1q ( Z1 Z 2 )i2 q L
di2 q dt
4.3 行波通过串联电感和并联电容
解之得
i2 q 2u1q Z1 Z 2 (1 e )
t T
其中
T
L Z1 Z 2
折射波电压 u i Z 2q 2q 2
线路2前行波电流、电压为
i2 q 2u1q Z1 Z 2
T
t T
(1 e )
u2 q i2 q Z 2
2Z 2u1q Z1 Z 2
(1 e ) u1q (1 e )
t T
t T
其中
Z1Z 2C Z1 Z 2
反射波电压
t Z 2 Z1 2Z1 u1 f u1q u1q e T Z1 Z 2 Z1 Z 2
反射系数为
R Z1 Z1 R
4.1 单导线波过程
4.2 波的折射和反射
4.3 行波通过串联电感和并联电容
4.4 行波的多次折反射
4.5 无损耗平行多导线系统中的波过程 4.6 冲击电晕对线路波过程的影响 4.7 变压器绕组中的波过程 4.8 旋转电机绕组的波过程
4.3 行波通过串联电感和并联电容
折射波最大陡度
2u1q du 2 q dt max Z1C
4.3 行波通过串联电感和并联电容
电感使折射波波头陡度降低
电感电流不能突变，因此当波作用在电感初瞬，电感相当于
开路，它将波完全反射回去，此时折射波为0，此后折射波 电压随折射波电流增加而增加。
电容使折射波波头陡度降低
其中
4.2 波的折射和反射
联解得
Very Important!!!!
2u1q (t ) u A (t ) Z1iA (t )
彼德逊法则
要计算节点A的电流电压，
可把线路1等值成一个电 压源，其电动势是入射 电压的2倍2u1q(t)，其波 形不限，电源内阻抗是
A
Z1。
4.2 波的折射和反射
4.1 单导线波过程
4.1 单导线波过程
一 均匀无损长线的波过程
均匀无损长线等值电路
4.1 单导线波过程
磁场：磁通变化→导线自感压降，用参数L
→L0dx表征
电场：电场变化→导线对地电容电流，用参数C
→C0dx
表征
导线电阻：iR0
线路绝缘子泄漏电流:uG0.
R<<XL，G较小，忽略R、G使计算大为简化，物理本质更加 清楚，这种仅由L、C组成的链形回路，称为均匀无损长线.
d i dL i L0 dx
对地电压：
2
u
d dL dx i i L0 dt dt dt
4.1 单导线波过程
1、2两式相乘，得行波的传播速度
dx 1 v dt L0C0
3
1、2两式相除，得反映电压波和电流波关系的波阻抗
L0 u Z i C0
4.1 单导线波过程
改写4式可得
1 1 2 L0i C0u 2 2 2
v 导线单位长度所具有的磁场能量 1 L i恒等于电场能 2 u v 量 1 C，这就是电磁场传播过程的基本规律； 2
2 0
2 0
导线单位长度的总能量为 C0u 2 或
L0i 2
4.1 单导线波过程
二、波动方程及其解
电压、电流是空间和时间的函数
4.1 单导线波过程
设dt时间内，行波前进了dx距离，则长度为dx的线路被充 电，充电电容为C0dx，使其电位为U，在这段时间内，导线获得 的电荷为： dq u dC u C0 dx
1
充电电流：
dq dC dx i u u C0 dt dt dt
同理，行波建立磁场的过程，行波前进了dx距离，磁通的增加量：
由于反射波会使电感前电压提高，可能危及绝缘，所 以常用并联电容降低波陡度。
例 题
一幅值U0=1000kV的无限长直角波，从1条波阻抗Z1=500Ω的架空线路经1只串联 电阻R=550Ω ，与1根波阻抗Z2=50Ω的电缆相连接，试求 1. 流入电缆的电压折射波与电流反射波； 2. 节点A处的电压反射波与电流反射波； 3. 串联电阻上流过的电流和消耗的功率。
电容电压不能突变，波旁过电容初瞬，电容相当于短路。
4.3 行波通过串联电感和并联电容
电压波穿过电感和旁过电容时折射波波头陡度都降低， 但由它们各自产生的电压反射波却完全相反。 波穿过电感初瞬，在电感前发生电压正的全反射，使 电感前电压提高1倍。 波旁过电容初瞬，则在电容前发生电压负的全反射， 使电容前的电压下降为0。
4.2 波的折射和反射
例三
线路末端接有负载（两条不同波阻抗线路连接）
4.2 波的折射和反射
二 、彼德逊法则
A点边界条件
u1q (t ) u1 f (t ) u A (t ) i1q (t ) i1 f (t ) iA (t )
i1q u1q Z1 i1 f u1 f Z1
4
4.1 单导线波过程
波阻抗： 是表征分布参数电路特点的最重要的参数，它是储能 元件，表示导线周围介质获得电磁能的大小，具有阻 抗的量纲，其值决定于单位长度导线的电感和电容， 与线路长度无关。 对 单 导 线 架 空 线 ， Z=500Ω 左 右 ， 考 虑 电 晕 影 响 取 400Ω 左右，电缆的波阻抗约为十几至几十欧姆。 波阻抗与集中参数中电阻的区别： 波阻抗决定于单位长度电感和电容，与长度无关； 波阻抗不消耗能量； 如果导线存在前行波和反行波，导线电压与电流之 比不等于波阻抗。
' uq
' iq
为前行电压波和前行电流波 为反行电压波和反行电流波
u 'f
i 'f
如何理解 波动方程
4.1 单导线波过程
' uq
前行电压波
反行电压波
和前行电流波
' iq
表示电压和电流在
导线上的坐标是以速度v沿x的正方向移动。
u 'f
和前行电流波 i 'f 表示电压和电流在导
x x 1 iq t uq (t ) v v z 1 x x i f t u f (t ) z v v
u1 f u1q u 2q
电压的折反射
i1q i2 q i1 f
电流的折反射
4.2 波的折射和反射
代入得
u0 u1 f u2 q u0 u1 f u2 q Z Z2 1 Z1
2Z 2 u2 q Z Z U 0 U 0 u1q 1 2 Z Z1 u1 f 2 U 0 U 0 u1q Z1 Z 2
4.2 波的折射和反射
例一
线路末端开路
Z 2 , 2, 1
u2 u2q 2u1q 末端电压 末端反射波 u1 f u1q 末端电流
i2 0
电流反射波 i u1 f u1q i 1f 1q
Z1 Z1
在线路末端由于电压波正的全反射，在反射波所到之 处，导线上的电压比电压入射波提高1倍 线路磁场能量全部转化为电场能量
2Z 2u1q Z1 Z 2
(1 e ) u1q (1 e )
t T
t T
t Z 2 Z1 2Z1 u1q u1q e T 反射波电压 u1 f Z1 Z 2 Z1 Z 2
折射波最大陡度
2u1q Z 2 du 2 q L dt max
u u ( x, t )
均匀无损单导线波动方程
i i ( x, t )
i u x L0 t i u C0 t x
电压沿x方向的变化是由于电流在L0上的电感压降； 电流沿x方向的变化是由于在C0上分去了电容电流； 负号表示在x正方向上电压和电流都将减少。
4.2 波的折射和反射
例二
线路末端接地
Z 2 0, 0, 1