平行线中的拐点问题
(完整版)平行线中的拐点问题
C
D
∴∠A+∠1 =180o，∠C+∠ 2=180o(两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠A=100°，∠C=110°（已知）
∴ ∠ 1 = 80 °, ∠2 = 70 ° （等量代换）
∴∠AEC=∠1+∠2= 80 ° + 70 °=150 °
2
知识点一：‘凸’出来的模型
学以致用百度文库
1、如图，a//b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点， 如果∠3= 135° ，∠2=60°那么∠1= 165º。
A 1
BA 1
BA 1
B
A 1
B
E2
E2
E2
2 C
3
D
C
F 34
D
C
Nn
D
C
D
13
拓展提升 “牙齿”模型
（1）如图1，已知AB∥CD，求证：∠BED＝ ∠1+∠2． （2）如图2，已知AB∥CD，写出∠1、∠EGH与∠2、 ∠BEG之间数量关系，并加以证明． （3）如图3，已知AB∥CD，直接写出∠1、∠3、∠5、 与∠2、∠4、∠6之间的关系．
B D
F
8
知识点三：“猪手图”模型
新知究
A
B
C
D
P
∠APC＝∠A－∠C
P
A
B
22、几何专题：平行线拐点问题
平行线拐点问题
一、平行线拐点基本模型
模型一“铅笔”模型
点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型
模型二“猪蹄”模型（M模型）
点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型
模型三“臭脚”模型
点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型
模型四“骨折”模型
点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型
二、平行线拐点模型的证明
三、平行线拐点模型的进阶
1、处理方法
⎩⎨⎧拐点作平行
构造三角形关键作有效截线“铅笔”模型“铅笔”模型
3、模型二“猪蹄”模型（M 模型）
“猪蹄”模型
注意：铅笔模型与M 模型在一定程度可以相互转换。
4、核心
平行线拐点模型的核心在于平行线间的点，这些点有一个，两个和多个，这些点决定模型的类型和处理手段。
例1、平行线拐点模型的简单应用
例2、平行线拐点模型的探究问题
∠，F A平分HAD ECD
∠，若
例3、平行线拐点模型的具体应用
的度数为.
课后作业
平行线中的拐点(拐角)问题
专题一平行线中的拐点问题
【学习目标】
1.复习巩固平行线的性质和判定，找到解决平行线间拐点问题的基本方法，学会运用平行线转移角，建立分散的角之间的练习，提高几何推理能力。
2.在探究的过程中，体会观察-猜想-实验-证明的探究过程，初步体会添加辅助线的目的。【学习过程】
一、复习填空.
平行线的判定：①_____________________________________________.
②_____________________________________________.
③_____________________________________________.
④_____________________________________________.
平行线的定理：①_____________________________________________.
②_____________________________________________.
③_____________________________________________.
二、探究新知
假设，两根木杆AB与CD平行放置，木杆的两端B、D用一根橡皮筋连接，现在在橡皮筋BD上任取一点P，将点P向里压：
例1.如图，在平行线AB，CD内任取一点P，连接DP，BP.
（1）若∠ABP=45°，∠CDP=15°则∠BPD=__________.
（2）若∠BPD=50°，∠CDP=10°则∠ABP=__________.
（3）试猜想∠BPD与∠ABP、∠CDP之间的数量关系，并
平行线中的拐点(拐角)问题专题
模型2:平行线间的“铅笔”模型（子弹头）
模型3:平行线间的“枝丫”模型（锄头型和犀牛角型）
①已知：AB∥CD，结论：∠AEC=∠A-∠C
B
A
证明： 过点E作EF,使得EF∥AB
∵AB∥CD
D
C
∴EF∥CD
∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF
E
F
∵∠AEC=∠AEF-∠CEF
∴∠AEC=∠A-∠C
②已知：AB∥CD，结论：∠AEC=∠C-∠A
①已知：AB∥CD，结论：∠AEC+∠A+∠C=360°
证明： 过点E作EF,使得EF∥AB
B
A
∵AB∥CD
1
F
E
∴EF∥CD
2
∴∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°
D
C
∵∠1+∠2=∠AEC ∴∠A+∠C+∠AEC=∠A+∠1+∠C+∠2=360°
②已知：∠AEC+∠A+∠C=360°，结论：AB∥CD
综合运用
综合运用
综合运用
第二章 相交线与平行线
平行线中的拐点问题
模型1：平行线间的“M”模型（猪手）
①已知：AB∥CD，结论：∠AEC=∠A+∠C
B
A 证明： 过点E作EF,使得EF∥AB
平行线中的拐点问题PPT课件
新知究
P1 A
C
F
B D
A
C
1
P
解：过点P作PF∥AB，则PF∥CD（
）
∴∠CPF＋∠C=180°∠1＋∠A=180°（
）
∴∠CPF=180°－∠C ,∠1=180°－∠A
∴∠APC＝∠CPF－∠1
=(180°－∠C)－(180°－∠A)=∠A－∠C
.
B D
F
8
知识点三：“猪手图”模型
新知究
A
B
C
D
P
∠APC＝∠A－∠C
P
A
B
C
D
∠APC＝∠C－∠A
.
9
知识点三：“猪手图”模型
归纳总结
当“拐点”在平行线的外部时，“拐角” 等于两个边角之差.
(即：折角=大边角-小边角)
.
10
知识点三：“猪手图”模型
学以致用
例3：已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分 线相交于F，∠E = 140º，则∠F= 11。0°
∠C=60°－α，则α= 15°。
A
B
P
C
D
.
6
知识点二：‘凹’进去的模型
学以致用
2、如图，有一块含有45°角的三角尺放在直尺上，如果
∠2=20°，那么∠1= 25。°
1
专题01 平行线中的拐点问题(解析版)
七年级数学下册解法技巧思维培优
专题01 平行线中的拐点问题
典例题型一内凹型
1．〔2021•福州三模〕如图,AB∥DE,∠A＝40°,∠ACD＝100°,那么∠D的度数是〔〕
A．40°B．50°C．60°D．80°
【点睛】首先过C作CF∥AB,再证实AB∥FC∥DE,根据平行线的性质可得∠A＝∠ACF＝40°,∠D＝∠FCD,进而得到答案．
【解析】解：过C作CF∥AB,
∵AB∥DE,
∴AB∥FC∥DE,
∴∠A＝∠ACF＝40°,∠D＝∠FCD,
∵∠ACD＝100°,
∴∠FCD＝100°﹣40°＝60°,
∴∠D＝60°．
应选：C．
2．〔2021•覃塘区期末〕如图,直线12∥12,∠A＝125°,∠B＝85°,那么∠1+∠2＝30°．
【点睛】过点A作l1的平行线,过点B作l2的平行线,根据两直线平行,内错角相等可得∠3＝∠1,∠4＝∠2,再根据两直线平行,同旁内角互补求出∠CAB+∠ABD＝180°,然后计算即可得解．
【解析】解：如图,过点A作l1的平行线,过点B作l2的平行线,
∴∠3＝∠1,∠4＝∠2,
∵l1∥l2,
∴AC∥BD,
∴∠CAB+∠ABD＝180°,
∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°,
∴∠1+∠2＝30°．
故答案为30°．
3．〔2021•濉溪期末〕如下图,AB∥CD,BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,∠BED＝115°,那么∠BFD的度数是〔〕
A．62°B．64°C．57.5°D．60°
【点睛】过E作EG∥AB,过F作FH∥AB,依据平行线的性质,即可得到∠ABE+∠CDE＝115°,再根据角平分线的定义以及平行线的性质,即可得出∠BFD的度数．
平行线中的拐点拐角问题专题 ppt课件
∴∠A+∠C=∠AEC
②已知：∠AEC=∠A+∠C，结论：AB∥CD
B
A 证明： 过点E作EF,使得EF∥AB
∴∠A=∠1
E1
F
2
∵∠AEC=∠1+∠2 ，且∠AEC=∠A+∠C ∴∠2=∠C
D
C
∴EF∥CD
∴AB∥CD
2
模型1：平行线间的“M”模型（猪手）
3
模型1：平行线间的“M”模型（猪手）
12
模型3:平行线间的“枝丫”模型（锄头型和犀牛角型）
13
综合运用
14
综合运用
15
平行线间的枝丫模型锄头型和犀牛角型综合运用综合运用综合运用
第二章 相交线与平行线
平行线中的拐点问题
1
模型1：平行线间的“M”模型（猪手）
①已知：AB∥CD，结论：∠AEC=∠A+∠C
B
A 证明： 过点E作EF,使得EF∥AB
∵AB∥CD
E1
F
∴EF∥CD
2 ∴∠A=∠1，∠C=∠2
D
C
∵∠1+∠2=∠AEC
∴∠AEC=∠A-∠C
②已知：AB∥CD，结论：∠AEC=∠C-∠A
B
A
证明： 过点E作EF,使得EF∥AB
∵AB∥CD
D
C
平行线间的拐点问题
平行线中的拐点问题
学习目标：
1.能正确解决常见的拐点问题。
2.灵活应用平行线的性质与判定解决相关问题。
复习回顾：
1.如图（1），AB//CD ,那么∠B +∠ E+∠D=( ) .
A、1800
B、 2700
C、 3600
D、5400
2.如图（2），AB∥CD，则x，y，z之间的关系是（）
A、x+y+z=360°
B、x-y+z=180°
C、x+y-z=180°
D、y+z-x=180°
B
A
E
C D
和“拐点“的情况，在“拐点”处作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质得到相应的结论。
合作探究一：
（1）已知：如图1，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED；
（2）已知：如图2，AB∥CD，试探求∠B、∠D与∠E之间的数量关系，并说明理由．
（3）已知：如图3，AB∥CD，试探求∠B、∠D与∠E之间的数量关系，并说明理由．
合作探究二：
已知：如图，AB//CD，试解决下列问题：
（1）∠1+∠2=______；
（2）∠1+∠2+∠3=_____；
（3）∠1+∠2+∠3+∠4=_____；
（4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（）。
跟踪练习：如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105度，第二次拐的角∠B是135度，第三次拐的角是∠C，这时的
道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么
∠C=．
课堂小结：如何解决平行线中的拐点问题？
当堂检测：
1．如图，直线l
1∥l
2
，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=（）
A．30°B．35°C．36°D．40°
2.如图，已知AC∥BD，∠CAE=30°，∠DBE=35°，则∠AEB
平行线拐点问题六种模型题型
平行线拐点问题六种模型题型
已知：如图，AB\ \他若线段劭是拉直的橡皮筋，在劭上任取一点£向不同的方向拉动点£那么/8、No V之间有何关系呢?
探究1 :向左拉动£点，如图1 ,已知：AB\ \他问/氏z BED、No
的关系。
rvri
探究2 :向右拉动F点，如图2，已知：AB\ \ CD,问/8、n。、之间的关系.
探究3 :将点E向线段/夕的左上方拉动，如图3，已知:力刚问N8、N O、之间的关系.
C
原（Q
探究4 :将点F向线段朋的右上方拉动，如图4,已知:48l I CD, 问/8、
乙D、朋之间的关系.
探究5 :将点E向线段。的左下方拉动，如图5,已知:48l I他问N8、N。、/8以？之间的关系.
探究6 :将点£向线段。的右下方拉动，如图6,已知48" 他问
/8、2D、N88?之间的关系.
A
平行线与拐点问题(经典)PPT课件
8
A
B
E
F
C
D
图3
解：过点E 作EF∥AB。 ∴∠B=∠BEF（两直线平行，内错角相等） ∵AB∥CD（已知） ∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行） ∴∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等） ∴∠B+∠D=∠BEF+∠DEF（等量代换） ∴∠B+∠D=∠BED
9
A
B
E
CF
D
解：延长线段BE交CD于点F
22
F
E
A
B
C
D
过点E 作EF∥AB
∴∠FEA=∠A
∵AB∥CD（已知）
∴CD∥EF
∴∠FEC=∠C
∵∠FEA=∠FEC+∠AEC
∴∠A= ∠C +∠AEC
23
例2. 请思考：若改变点E的位置，则∠BED 与∠B、
∠D的数量关系会发生变化吗？
E
E
A
B
A
B
D
C
图4
D
∠BED=∠B－∠D
A
B
C
图6 D
课堂小结
平行线的“判定”与“性质”有什么不同: 判定：已知角的关系得平行的关系． 推平行，用判定． 性质：已知平行的关系得角的关系． 知平行，用性质．
1
练一练 已知：AB∥CD，∠1 = ∠2.试说明:BE∥CF.
平行线的拐点问题归纳总结
平行线的拐点问题归纳总结平行线是数学中一个非常重要的概念，它们在几何学和代数学中都有广泛的应用。特别是在几何学中，平行线的性质和拐点问题一直备受关注。本文将对平行线的拐点问题进行归纳总结，并讨论其相关应用。
一、平行线的概念和性质
在几何学中，两条直线被称为平行线，如果它们位于同一个平面中且没有交点。根据平行线的性质，我们可以得出以下结论：
1. 平行线之间的距离始终保持相等。
2. 平行线与同一条直线的交点与对应角之和为180度。
3. 平行线与平行线之间的内角、外角关系特殊。
这些性质为平行线的拐点问题的研究提供了基础。
二、平行线的拐点问题
拐点是两个平行线相交后再相交一次的点，也被称为反拐点。为了更好地理解平行线的拐点问题，我们将从一维、二维和三维的角度来分析。
1. 一维拐点问题
一维拐点问题是指两条平行线在一维空间中的相交问题。显然，两条平行线在一维空间中永远不会相交，因此没有拐点存在。
2. 二维拐点问题
二维拐点问题是指两条平行线在二维平面中的相交问题。当我们在平行线上引入一点，并以这个点为顶点作两条射线时，这两条射线可能与另一条平行线相交。这种情况下，我们可以得到一个拐点。
3. 三维拐点问题
三维拐点问题是指两条平行线在三维空间中的相交问题。与二维情况类似，在平行线上引入一个平面，并以这个平面为基准作两个平面时，这两个平面可能与另一条平行线相交，从而产生一个拐点。
三、平行线拐点问题的应用
平行线的拐点问题在数学和物理学中有着广泛的应用。以下是一些具体的应用场景：
1. 几何学中的角度问题：通过研究平行线的拐点，我们可以更好地理解和计算一些几何学中的角度问题，如内角、外角和对应角等。
平行线与拐点问题(经典)
A
B
G
F
E
H
C
D
解：过点E作EG∥AB，过点F作FH∥AB， ∵AB∥CD ∴AB||CD||EG||FH ∴∠A=∠1，∠2=∠3，∠4=∠D ∴∠A+∠3+∠4=∠1+∠2+∠D ∴∠A+∠EFD=∠AEF+∠D
若左边有n个角，右边有m个角；你能找到规律吗？
A
F1 F2 Fn
B E1
E2
Em
A
23° B
C
E
C
42° D
D
B
135°
E
145°
A
2.如图，AD∥BC，∠B=135°，∠A=145°，则 ∠E=_____8_0_°____.
巧用平行解决“拐点”问题
〖探究3〗（锄头型）
将点E向线段AB的右上方拉动，如图. 已知AB∥CD，∠A、∠C、 ∠AEC之间的关系.
E
解关系为：
∵AB∥CD ∴∠C=∠1 ∵∠A+∠E+∠2=180° ∠1+∠2=180° ∴∠1=∠A+∠E ∴∠C=∠A+∠E
A
B
C
D
巧用平行解决“拐点”问题
F
E
〖结论〗：
A
B ∠AEC= ∠C- ∠A
C
D
人教版七年级数学下册 平行线证明问题中的拐点问题解法探究
平行线证明问题中的拐点问题解法探究
平行线证明中的拐点问题，解决问题的方法，通常是过拐点作已知直线的平行线，利用平行公理的推论证平行，再利用平行线的性质问题就能得到解决，结论具有一般性，应该记住，解题时能达到事半功倍的效果。
已知：如图AB∥CD.
探究：∠ABP、∠BPC、∠PCD三者关系。
解析：(1)过点P作PH∥AB,因为AB∥CD.
∴PH∥AB∥CD
∴∠ABP=∠BPH,∠DCP=∠CPH,
∴∠ABP+∠DCP=∠BPH+∠CPH,
又∠BPH+∠CPH=∠BPC
∴∠ABP+∠DCP=∠BPC。
（2）过点P作PH∥AB,因为AB∥CD.
∴PH∥AB∥CD
∴∠ABP=∠BPH,∠DCP=∠CPH,
∴∠DCP-∠ABP=∠CPH-∠BPH,
又∠CPH-∠BPH=∠BPC
∴∠DCP-∠ABP=∠BPC。
（3）(4)(5)与（2）证法相同
结论两条直线平行，拐点无论是在两直线之间还是在两直线同侧，都有较大的角等于较较小两个角之和。
（6）过点P作PH∥AB,因为AB∥CD.
∴PH∥AB∥CD
∴∠ABP+∠BPH=1800,∠DCP+∠CPH=1800,
∴∠ABP+∠DCP+∠BPH+∠CPH=3600,
又∠BPH+∠CPH=∠BPC
∴∠ABP+∠DCP+∠BPC=3600。
结论：拐点在两平行线之间且外凸，则有三个角之和等于3600.
证明方法：过拐点作平行线，然后利用平行公理推论及平行线的性质来解决问题。
结论应用举例
1.如图所示，AB∥CD,BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，相交于点E。试探究BE与DE的位置关系，并说明理由。
平行线拐点问题PPT课件
—拐点问题
精Βιβλιοθήκη Baiduppt
1
学习目标
1、正确解决常见的拐点问题。 2、灵活运用平行线的性质与判定解决 相关问题。 3、培养自己一题多解，拓展提升的思 维能力。
精选ppt
2
如图（1）所示，AB∥CD，根据平行线的性质可知内错角∠B与∠C相等，观察图（2），（3）与（4）， 回答下列问题．
①如图（2）所示，AB∥CD，试问∠E+∠C与∠B+∠F哪个大？请说明理由； ②如图（3）所示，AB∥CD，试问∠E+∠G+∠C与∠B+∠H+∠F哪个大？（直接写出答案，不必说明理由） ③根据第①，②小题的结论，在图（4）中，若AB∥CD，你又能得到什么结论？
精选ppt
3
学习验收
.如图，CD∥AB，∠DCB=70°，
∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF 与AB有怎样的位置关系，为什么？
精选ppt
4
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平行线中的拐点问题PPT课件
C
D
∴∠A+∠1 =180o，∠C+∠ 2=180o(两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠A=100°，∠C=110°（已知）
∴ ∠ 1 = 80 °, ∠2 = 70 ° （等量代换）
∴∠AEC=∠1+∠2= 80 ° + 70 °=150 °
精选ppt
2
知识点一：‘凸’出来的模型
学以致用
1、如图，a//b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点， 如果∠3= 135° ，∠2=60°那么∠1= 165º。
C
∠BCE有什么关系。
A
解：过点C作CF∥AB，
C
则_∠_B_=_∠__1_ （ 两直线平行，内错角相等 ）
又∵AB∥DE，AB∥CF，
D
∴_C_F_∥__D_E____（ 平行于同一直线的两条直线互相平行 ）
∴∠E＝∠__2__（ 两直线平行，内错角相等） ∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2
即∠B＋∠E＝∠BCE．
∴∠APC＝∠CPF－∠1
=(180°－∠C)－(180°－∠A)=∠A－∠C
精选ppt
B D
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知识点三：“猪手图”模型
新知究
A
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C
D
P
∠APC＝∠A－∠C
P
A
B
C
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专题平行线中的拐角问题
七年级数学下册解法技巧思维培优
专题平行线中的拐角问题
题型一过拐点作一条平行线
【典例1】（2019?自贡期末）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．
（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P 在l1，l2 内部，探究∠ A，∠ APB ，∠ B 的关系小明过点P 作l1的平行线，可证∠ APB，∠A，∠B 之间的数量关系是：∠ APB＝；
（2）如图2，若AC∥BD，点P 在AC，BD 外部，∠ A，∠ B，∠ APB 的数量关系是否发生变化？请写出证明过程；
（3）随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．
试构造平行线解决以下问题：
已知：如图3，三角形ABC，求证：∠ A+∠ B+∠C＝180°．
典例2】（2019?无为期末）如图，AB∥CD∥EF，∠ABE＝70°，∠DCE＝144°，求∠ BEC 的度数．
典例3】（2019?孟津期末）如图（1），AB∥CD，试求∠ BPD 与∠ B、∠ D 的数量关系，说明理由．（1）填空：
解：过点P 作EF∥ AB，
∴∠ B+∠ BPE＝180°
∵AB∥ CD，EF∥AB
∴ （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∠EPD+ ＝180°
∴∠
B+∠
BPE+∠EPD+∠D＝360°
∴∠ B+∠ BPD+∠ D＝360°
（2）依照上面的解题方法，观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠ BPD 与∠ B、∠ D 的数量关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，直接写出图中的∠ BPD 与∠B、∠D
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11 Cm
孝感市文昌中学学生专用尺
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知识点三：“猪手图”模型
新知究
P
F
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A
B D
1
B C D
F
A C
P
解：过点P作PF∥AB，则PF∥CD（ ） ∴∠CPF＋∠C=180°∠1＋∠A=180°（ ） ∴∠CPF=180°－∠C ,∠1=180°－∠A ∴∠APC＝∠CPF－∠1 =(180°－∠C)－(180°－∠A)=∠A－∠C
B
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知识点二：‘凹’进去的模型
学以致用
1、如图，AB∥CD，∠A=65°－ α ，∠P=80°+α，
∠C=60°－α，则α= 15° 。
A
P B
C
D
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知识点二：‘凹’进去的模型
学以致用
2、如图，有一块含有45°角的三角尺放在直尺上，如果
∠2=20°，那么∠1= 25° 。
0
1
2
3
4
5
（1） 由基本图形二，你能得到∠F与∠1+∠3的关系吗？
（2）由基本图形一，你能得到∠ABE+∠CDE的值吗？
（3）由BF和DF分别平分∠ABE和∠CDE，你能得到
∠1+∠3 与∠ABE+∠CDE的关系吗？
11
知识点三：“猪手图”模型
学以致用
变式：将上题中的∠ABE的平分线改为它 的补∠ABG的角平分线，其它条件不变， 则∠F= 20° 。
蓦然回首
对自己说，你有什么收获？ 对同学说，你有什么温馨提示？
对老师说，你还有什么困惑？
18
E B.90°＋α A F
∟
A.180°－α C.180°＋α
M α
B
D.270°－α
C G
D
N
4
知识点二：‘凹’进去的模型
A P
新知究
C 例2、已知AB∥DE，试问∠B、∠E、 ∠BCE有什么关系。 A 解：过点C作CF∥AB， C ∠B=∠1 则_______ （ 两直线平行，内错角相等 ） D 又∵AB∥DE，AB∥CF， CF∥DE ∴__________ （ 平行于同一直线的两条直线互相平行 ） ∴∠E＝∠____ 2 （ 两直线平行，内错角相等） ∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2 即∠B＋∠E＝∠BCE．
140º
12
知识点三：“猪手图”模型
拓展提升
已知：如图，AB//CD，试解决下列问题： 180° （1）∠1＋∠2＝___ ； 360° ； （2）∠1＋∠2＋∠3＝___ （3）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝_ 540 __ °； （4）试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n= 180°（n-1) ；
5.3
平行线的性质
a
5.3.1：平行线的性质 ----“拐点”问题
1
3
b 2
1
知识点一：‘凸’出来的模型
P
A
B
例1 已知：如图，AB//CD，∠A=100° ∠C=110°求∠AEC的度数
C
D
A
B
解：过点E作EF//AB 1 F ∵AB//CD，EF//AB（已知） 2 E ∴ CD // EF 。(平行于同一直线的两直线平行） C D ∴∠A+∠1 =180o，∠C+∠ 2=180o(两直线平行，同旁内角互补） 又∵∠A=100°，∠C=110°（已知） ∴ ∠ 1 = 80 °, ∠ 2 = 70 ° （等量代换） ∴∠AEC=∠1+∠2= 80 ° + 70 °= 150 °
2
知识点一：‘凸’出来的模型
学以致用
1、如图，a//b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点， 如果∠3= 135° ，∠2=60°那么∠1= 165º 。
M
1
a b
3
2 P
3 N
知识点一：‘凸’出来的模型
学以致用
2、如图，AB//CD,FG⊥CD于N，若∠EMB=α,则
∠EFG=( B )。
A 1
B
A E 2 3 C
1
B
A
2 C
D
D
E 2 F 34 C
1
B
A
D
E 2 N n C
1
B
D
13
拓展提升
“牙齿”模型
（1）如图1，已知AB∥CD，求证：∠BED＝ ∠1+∠2． （2）如图2，已知AB∥CD，写出∠1、∠EGH与 ∠2、∠BEG之间数量关系，并加以证明． （3）如图3，已知AB∥CD，直接写出∠1、∠3、 ∠5、与∠2、∠4、∠6之间的关系．
（
某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线c∥a，则c∥b． 他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题： 已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ． （1）如图1，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE+∠CQE之间的数量关系，并说明理由wk.baidu.com （2）如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ＝140°时，求出∠PFQ的度数； 3）如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的 反向延长线交PF于点F．当∠PEQ＝70°时，请求出∠PFQ的度数．
8
知识点三：“猪手图”模型
新知究
A C P B D
C D A P B
∠APC＝∠A－∠C
∠APC＝∠C－∠A
9
知识点三：“猪手图”模型
归纳总结
当“拐点”在平行线的外部时，“拐角”
等于两个边角之差.
(即：折角=大边角-小边角)
10
知识点三：“猪手图”模型
学以致用
例3：已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平 分线相交于F，∠E = 140º ，则∠F= 110° 。
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思维导图
平行线性 质与判定
‘凸’出来的模型 ‘凹’进去的模型 “猪手图”模型
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“拐点” 问题
综合应用
如图所示，已知CD∥EF，∠C+∠F＝∠ABC，求 证：AB∥GF．
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综合应用
3）如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F． 当∠PEQ＝70°时，请求出∠PFQ的度数．