函数的性质——奇偶性、单调性、周期性知识点及题型归纳

函数的性质——奇偶性、单调性、周期性知识点及题型归纳

知识点精讲

函数奇偶性

定义

设D D x x f y (),(∈=为关于原点对称的区间），如果对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f =-，则称函数)(x f y =为偶函数；如果对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称函数)(x f y =为奇函数. 性质

(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

(2)奇偶函数的图象特征.

函数)(x f 是偶函数⇔函数)(x f 的图象关于y 轴对称；

函数)(x f 是奇函数⇔函数)(x f 的图象关于原点中心对称.

(3)若奇函数)(x f y =在0=x 处有意义，则有0)0(=f ；

偶函数)(x f y =必满足|)(|)(x f x f =.

(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.

(5)若函数)(x f 的定义域关于原点对称，则函数)(x f 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记

)]()([21)(x f x f x g -+=，)]()([2

1)(x f x f x h --=，则)()()(x h x g x f +=. (6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如)()(),()(),()(),()(x g x f x g x f x g x f x g x f ÷⨯-+.

对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；

奇)(÷⨯奇=偶；奇)(÷⨯偶=奇；偶)(÷⨯偶=偶.

（7）复合函数)]([x g f y =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.

函数的单调性

定义

一般地，设函数)(x f 的定义域为D ，区间D M ⊆，若对于任意的M x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f <（或)()(21x f x f >），则称函数)(x f 在区间M 上是单调递增（或单调递减）的，区间M 为函数)(x f 的一个增（减）区间.

注：定义域中的M x x ∈21,具有任意性，证明时应特别指出“对于任意的M x x ∈21,”.

单调性是针对定义域内的某个区间讨论的.

设],[,21b a M x x =∈且21x x <，则)(0)()(2

121x f x x x f x f ⇔>--在],[b a 上是增函数⇔过单调递增函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒大于零⇔0)]()()[(2121>--x f x f x x .

)(0)()(2

121x f x x x f x f ⇔<--在],[b a 上是减函数⇔过单调递减函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒小于零⇔0)]()()[(2121<--x f x f x x .

性质

对于运算函数有如下结论：在公共区间上，增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减.

一般地，对于乘除运算没有必然的结论.如“增×增=增”不一定成立；“若)(x f 为增函数，则)

(1x f 为减函数”也是错误的.如)0,()(≠∈=x R x x x f ，则x

x f y 1)(1==

为减函数是不正确的，但若具备如下特殊要求，则结论成立: 若)(x f 为增函数，且(0)(>x f 或)(x f 0<），则)

(1x f 为减函数. 若)(x f 为减函数，且(0)(>x f 或)(x f 0<），则

)(1x f 为增函数. 复合函数的单调性

复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 函数的周期性

定义

设函数))((D x x f y ∈=，如存在非零常数T ，使得对任何D T x D x ∈+∈,，且)()(x f T x f =+，则函数)(x f 为周期函数，T 为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做最小正周期.

注：函数的周期性是函数的“整体”性质，即对于定义域D 中的任何一个x ，都满足)()(x f T x f =+；若)(x f 是周期函数，则其图像平移若干整数个周期后，能够完全重合.

性质

若)(x f 的周期为T ，则)0,(≠∈n Z n nT 也是函数)(x f 的周期，并且有)()(x f nT x f =+.

有关函数周期性的重要结论（如表所示）

()()

()()

211();()2()()

()()

2()()

4()()2()()()

()()2()()()2()()()

(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）

周期为偶函数

)()2()()()4()()()

()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x a f x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数

为奇函数

为偶函数

函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数)(x f y =有两条对称轴)(,b a b x a x <==，则函数)(x f 是周期函数，且)(2a b T -=；

（2）若函数)(x f y =的图象有两个对称中心))(,(),,(b a c b c a <，则函数)(x f y =是周期函数，且)(2a b T -=；

（3）若函数)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心))(0,(b a b <，则函数)(x f y =是周期函数，且)(4a b T -=.

题型归纳及思路提示

题型1 函数的奇偶性

思路提示：判断函数的奇偶性，常用以下两种方法：

（1）定义法.①首先看定义域是否关于原点对称；②若)()(x f x f -=-，则函数)(x f 为奇函数；若)()(x f x f =-，则函数)(x f 为偶函数.