高等数学课件--D33泰勒公式
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D3_3泰勒公式(PPT)-文档资料
称为麦克劳林( Maclaurin )公式 . 例1. 求 y ln cos x 在 x 处的带有拉格朗日余项 的2阶 4 泰勒公式. 解: 要求到3阶导数
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1 2 f ln ln 2, 2 4 2
2
f x tan x f 1 4
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
x 的一次多项式
y
y f ( x)
p1 ( x)
特点:
f ( x0 ) f ( x0 )
O
x0 x
x
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为了提高精确度，我们考虑用n次多项式来近似 f ( x)
pn ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 ) 2 an ( x x0 ) n f x a0 f ( x0 ), 要求满足
3 5
f
(k )
f 0 1,
f 0 0, f 0 1,
π (0) sin k 2 4 f 0 0,
2 m 1 x x x sin x x (1) m1 R2m ( x) (2m 1) ! 3! 5!
f x sec x f 2, f x 2sec2 x tan x 4 2 1 ln cos x ln 2 x x 4 2 4 3 1 2 sec tan x 3 4
f ( x0 ) ( x x0 ) 2 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 2! f (3) ( ) ( x x0 )3 3!
《泰勒公式》PPT课件
Rn ( x)
M (n 1) !
x x0
n1
二、泰勒定理
f (x)
f (x0 )
f ( x0 )( x
x0)
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
Hale Waihona Puke f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn ( x)
其中
Rn ( x)
f (n1) ( )
( (n 1) !
x
x0
)n1
(
)
(n 1)! (n 1)!
在x与x0之间
二、泰勒定理
若 f (x)在包含 x0的某开区间 (a,b) 内具有
直 到 n 1 阶的导数 , 则当 x (a , b) 时, 有
f (x)
f (x0)
f ( x0 )( x
x0)
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
f (n)( x0 ) ( x n!
如何确定Pn ( x)？——确定系数a0 , a1 , , an
f (k ) ( x0 ) Pn(k ) ( x0 ) (k 0,1, 2, , n)
设
函
数
f
(
x
)在
含
有
x
的
0
开
区
间(
a
,
b
)内
具
有
1至
(
n
1)阶
导
数
f ( x0 ) Pn ( x0 ) a0
f ( x0 ) Pn ( x0 ) a1
x0 )n
Rn ( x)
①
其中
Rn ( x)
f (n1) ( )
泰勒公式课件
(0 1)
2021/10/10
17
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2:求函数 f (x) sin x 的n阶麦克劳林展开式.
解:因为 f'x c o s x ,f''x s i n x ,f'''x c o s x ,
f4xsinx, ,fnxsin xn 2 , 所以 fn1xsinxn2 1,
2 m 1
2 x2m (2m) !
x 22m1 cos(2 x 2m 2 )
2
2m2 (0 1)
(2m 2) !
2021/10/10
22
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4:求函数 fxln1x在 x01处的泰勒展开式.
解:因为 ln(1 x) x x2 x3 (1)n1 xn
节
章
泰勒(Taylor)公式
一、泰勒公式 二、几个函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用
2021/10/10
1
一、泰勒公式
当一个函数f (x)相当复杂时,为了计算它在一点x=x0 附近的函数值或描绘曲线f (x)在一点P(x0,f(x0))附近
的形状时,我们希望找出一个关于(x-x0)的n次多项式 函数 Pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n
1. 求较为复杂的函数的麦克劳林展开式或泰勒展开式
例3:求 f xcos2 x的麦克劳林展开式.
解:因为 cos x 1 x2 x4 (1)m x2m
2! 4!
(2m) !
(1)m1 cos( x)
(2m 2) !
x2m2
(0 1)
又 cos2 x11cos2x,
高等数学课件--D33泰勒公式
a221!pn(x0)21 ! f(x0),, ann1!pn(n)(x0)n1 ! f(n)(x0)
故 pn(x) f ( x0 ) f(x 0 )x ( x 0 )21 ! f(x0)x (x0)2
18.06.2019
n1 ! f同(济n ) 高(等x 数0 学)课x 件( x 0 )n
0,
(1)m1,
k2m (m1,2, ) k2m 1
则 pn(x)
a1 2a2(xx0) n a n (x x 0 )n 1
pn (x) 2!a2 n ( n 1 ) a n ( x x 0 ) n 2
pn(n)(x)
n!an
a0pn(x0)f(x0),
a1pn (x0)f(x0),
第三节 泰勒公式
第三章
理论分析 目的－用多项式近似表示函数. 应用
近似计算
一、泰勒公式的建立
二、几个初等函数的麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用
18.06.2019
同济高等数学课件
一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
f ( x) f(x 0)f(x 0)x ( x 0) y
yf(x)
同济高等数学课件
在泰勒公式中若取 x0 0,记 x( 0 1 ),则有
f (0) f(0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
称为麦克劳林( Maclaurin )公式 .
由此得近似公式
若在f (公xf)(式x)成f(立xf0(的)0 )区f间(fx 上0 (0))x xf( (nx 10 f)() 2x(!0)) fx22M (x !0, )则(x有误fx(0nn差))!(20估 ) 计xn式
高等数学 D3.3
a1 pn (x0) f (x0),
a2
1 2!
pn
(x0 )
1 2!
f
( x0 ) ,
,
an
1 n!
pn(n)
(
x0
)
1 n!
f
(n) (x0 )
故
pn (x)
f (x0 )
f (x0)(x x0)
1 2!
f
( x0
)(x
x0 )2
1 n!
f (n) (x0 )(x x0 )n
3. 余项估计
2!
( 1)( n 1)
n!
xn Rn (x)
其中
Rn (x)
(
1)(
(n 1) !
n) (1
x) n1 xn1
(0 1)
已知
f
(k) (x)
(1)k
1
(k 1)! (1 x)k
(k 1,2,)
类似可得
ln(1
x)
x
x2 2
x3 3
(1)n1
xn n
Rn (x)
其中
Rn (x)
(1)n xn1
2
f
(k)
(0)
sin
k
2
0, (1)m1
,
k 2m (m 1,2,) k 2m 1
sin
x
x
x3 3!
x5 5!
(1)m1 x2m1 (2m 1) !
R2m (x)
其中 R2m (x)
sin( x (2m 1) ) x2m1 (0 1)
(2m 1) !
类似可得
cos x
1 x2 2!
7 12
泰勒公式ppt课件
详细描述
在计算复杂函数的近似值时，泰勒公式可以将函数展开为多项式，从而快速得到 函数的近似值。这对于解决一些实际问题，如数值分析、近似计算等具有重要的 意义。同时，泰勒公式的误差项也可以给出近似计算的精度估计。
04
泰勒公式的扩展与推广
泰勒级数的收敛性
定义
泰勒级数是将一个函数表示为无 穷级数的和，而这个无穷级数在 某个点附近的收敛性决定了泰勒
泰勒公式的应用场景
近似计算
信号处理
在科学计算和工程领域中，常常需要 计算复杂的数学函数，而泰勒公式可 以提供近似的函数值。
在信号处理中，泰勒公式用于分析信 号的频谱和波形，例如傅里叶变换和 小波变换等。
数值分析
在数值分析中，泰勒公式用于求解微 分方程、积分方程等数学问题，提供 数值解的近似值。
02
与函数值之间的距离有关。
应用
了解收敛速度有助于选择合适的 泰勒级数进行近似计算，以提高
计算精度。
泰勒级数的误差估计
定义
误差估计是指在应用泰勒级数进行近似计算时， 估计计算结果与真实值之间的误差大小。
方法
通过比较泰勒级数展开式与原函数的差值，可以 得到误差估计的上界和下界。
应用
误差估计有助于了解近似计算的精度，从而选择 合适的泰勒级数进行近似计算。
公式。
泰勒公式的数学推导
利用等价无穷小替换，将复杂的 函数转化为简单的多项式函数， 再利用多项式函数的性质进行推
导。
利用函数的幂级数展开式，将复 杂的函数展开成幂级数形式，再
利用幂级数的性质进行推导。
利用函数的泰勒级数展开式，将 复杂的函数展开成泰勒级数形式 ，再利用泰勒级数的性质进行推
导。
泰勒公式的几何解释
在计算复杂函数的近似值时，泰勒公式可以将函数展开为多项式，从而快速得到 函数的近似值。这对于解决一些实际问题，如数值分析、近似计算等具有重要的 意义。同时，泰勒公式的误差项也可以给出近似计算的精度估计。
04
泰勒公式的扩展与推广
泰勒级数的收敛性
定义
泰勒级数是将一个函数表示为无 穷级数的和，而这个无穷级数在 某个点附近的收敛性决定了泰勒
泰勒公式的应用场景
近似计算
信号处理
在科学计算和工程领域中，常常需要 计算复杂的数学函数，而泰勒公式可 以提供近似的函数值。
在信号处理中，泰勒公式用于分析信 号的频谱和波形，例如傅里叶变换和 小波变换等。
数值分析
在数值分析中，泰勒公式用于求解微 分方程、积分方程等数学问题，提供 数值解的近似值。
02
与函数值之间的距离有关。
应用
了解收敛速度有助于选择合适的 泰勒级数进行近似计算，以提高
计算精度。
泰勒级数的误差估计
定义
误差估计是指在应用泰勒级数进行近似计算时， 估计计算结果与真实值之间的误差大小。
方法
通过比较泰勒级数展开式与原函数的差值，可以 得到误差估计的上界和下界。
应用
误差估计有助于了解近似计算的精度，从而选择 合适的泰勒级数进行近似计算。
公式。
泰勒公式的数学推导
利用等价无穷小替换，将复杂的 函数转化为简单的多项式函数， 再利用多项式函数的性质进行推
导。
利用函数的幂级数展开式，将复 杂的函数展开成幂级数形式，再
利用幂级数的性质进行推导。
利用函数的泰勒级数展开式，将 复杂的函数展开成泰勒级数形式 ，再利用泰勒级数的性质进行推
导。
泰勒公式的几何解释
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s(i1)nmxc(o2m s2x(1)π)x2m1
(2m 1) !
(01)
麦克劳林公式
f (0) f(0)x
f
(0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
05.02.2021
(01)
11
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类似可得
coxs1
x2 2!
x4 4!
(1)
m
x2m (2m)
!
R2m1(x)
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
可见 f (x) f (x0)f(x 0 )x ( x 0)f2(!)((x在 xx00与 )2x之)间
误差
(在 x0与 x之)间 d f
05.02.2021
8
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在泰勒公式中若取 x0 0,记 x( 0 1 ),则有
f (0) f(0)x f (0) x2 f (n) (0)claurin )公式 .
由此得近似公式
若在f (公xf)(式x)成f(立xf0(的)0 )区f间(fx 上0 (0))x xf( (nx 10 f)() 2x(!0)) fx22M (x !0, )则(x有误fx(0nn差))!(20估 ) 计xn式
f (nn)(!x0R)n((xx)x0)(nnM f1()(nn!1x)1()n!)1((x在 x0x)0 n与 1 x之)间
则 pn(x)
a1 2a2(xx0) n a n (x x 0 )n 1
pn (x) 2!a2 n ( n 1 ) a n ( x x 0 ) n 2
pn(n)(x)
n!an
a0pn(x0)f(x0),
a1pn (x0)f(x0),
a221!pn(x0)21 ! f(x0), ,ann1!pn(n)(x0)n1 ! f(n)(x0)
f (x) f (x0) f(x 0 )x ( x 0)f2(x!0)(xx0)2
特例: f (nn)(!x0)(xx0)nf((nn1)1()!)(x(x在 0)nx 10与 x之)间
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变给为出拉格朗日中值定理
f (x)f (x0) f()x (x0) (在 x0与 x之)间
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
f (x0) f(x 0 )x ( x 0)f2(x!0)(xx0)2 f (nn)(!x0)(xx0)n o[(xx0)n] ④
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
* 可以证明:
05.02.2021
④ 式成立
7
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n!
05.02.2021
(01) 10
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f(k)(x)sixnk( π2 )
f (k)(0)sinkπ 2
0,
(1)m1,
k2m (m 1 ,2 , ) k2m 1
sinxx x 3 3!
x5 5!
(1)m1 x2m1 (2m1)!
R2m(x)
其中
R2m(x)
其中
R2m1(x)
05.02.2021
9
麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束
二、几个初等函数的麦克劳林公式
f(k)(x)ex, f(k )(0 ) 1(k 1 ,2 , )
e x 1x
x2 2!
x3 3!
x n n!
Rn(x)
其中
麦克劳林公式
f (0) f(0)x
f
(0) x2 f (n) (0) xn
2!
R(xn(xx)0)nRn1(x00)(n1R)n((11)x0)n (1在 x0与 x之)间
(nRn(1)1()1Rxn0()xn0)0 (n1)R n(n(22)x0)n1
(2 在 x0 与 1 之间)
(nR n(1n)) (n2)(nRn(nx)0()x0)0
Rn(n1) ( )
(n 1) !
第三节 泰勒公式
第三章
理论分析 目的－用多项式近似表示函数. 应用
近似计算
一、泰勒公式的建立
二、几个初等函数的麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用
05.02.2021
1
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一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
f ( x) f(x 0)f(x 0)x ( x 0) y
yf(x)
故 pn(x) f ( x0 ) f(x 0 )x ( x 0 )21 ! f(x0)x (x0)2
05.02.2021
n1 ! f(n )(x 0 )x ( x 0 )n
3
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2. 余项估计
令 R n (x ) f(x ) p n (x )(称为余项) , 则有
Rn(x0) Rn(x0) R n (n )(x 0 ) 0 Rn (x) (x x0 )n1
f (nn)(!x0)(xx0)nRn(x)
①
其中 Rn(x)f((nn 1)1()!)(xx0)n1 ( 在 x0与 x之)间 ②
公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
05.02.2021
6
泰勒 目录 上页 下页 返回 结束
注意到 R n(x)o [x (x0)n]
05.02.2021
(在 x0与 xn之)间
4
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R n (x ) f(x ) p n (x )
(在 x0与 x之)间
pn (n 1)(x)0, R n (n 1 )(x ) f(n 1 )(x )
Rn(x)f((nn 1)1()!)(xx0)n1 (在 x0与 x之)间
x 的一次多项式
p1(x)
特点:
f (x0) f(x0)
O x0 x x
以直代曲
如何提高精度 ? 需要解决的问题
如何估计误差 ?
05.02.2021
2
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1. 求 n 次近似多项式
要求:
令 pn(x)a 0 a 1 ( x x 0 ) a 2 ( x x 0 ) 2 a n ( x x 0 ) n
当x0在 的某f(邻 n 1 )(x)域 M 时 内
Rn(x)(nM 1)!xx0n1
R n ( x ) o (x ( x 0 ) n )( x x 0 )
05.02.2021
5
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泰勒(Taylor)中值定理 :
阶的导数 , 则当
时, 有
f (x0) f(x 0 )x ( x 0)f2(x!0)(xx0)2