高等数学课件--D33泰勒公式
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高等数学泰勒公式PPT课件
x0 )n
高阶的
无穷小，并给出误差的具体表达式。
⑶分析: 假设Pn ( x)在x0处的函数值及它直到n阶导数在x0 处的值依次与f ( x0 ), f ( x0 ),, f (n) ( x0 )相等,即满足 :
Pn ( x0 ) f ( x0 ), Pn( x0 ) f ( x0 ),
, n!an f (n) ( x0 )
得
ak
1 k!
f
(k)( x0 )
(k 0,1,2,, n).
代入Pn ( x)中得
Pn( x) f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
下面定理表明，上式多项式即为要找的n次多项式。
高等数学三③
6/21
1、泰勒中值定理及泰勒公式
⑴Taylor 中值定理 若 f ( x)在含有 x0的某个开区间(a, b)内具 有直到(n 1)阶的导数，则对任一 x ∈(a,b)， f ( x)可表示
为( x x0 )的一个n次多项式与一个余项 Rn ( x)之和：
区间上满足柯西中值定理的条件，得
(n
Rn (1) 1)(1
《泰勒公式》PPT课件
f
( 2
x0 !
)
(
x
x0
)2
特例:
f
(n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)n1
当 n = 0 时, 泰勒公式变为拉格朗日中值公式
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) ( 在 x0 与 x 之 间)
若在公式成立的区间上 f (n1) ( x ) M ,则有误差估计式
二、泰勒定理
在泰勒公式中若取 x0 0 , x (0 1) , 则有
f ( x) f (0) f (0) x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
f (n1) ( x) x n1
(n 1) !
称为麦克劳林(Maclaurin )公式 .
若不考虑误差，也可写成
(
)
(n 1)! (n 1)!
在x与x0之间
二、泰勒定理
若 f (x)在包含 x0的某开区间 (a,b) 内具有
直 到 n 1 阶的导数 , 则当 x (a , b) 时, 有
f (x)
f (x0)
f ( x0 )( x
x0)
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
f (n)( x0 ) ( x n!
D3_3泰勒公式 ppt课件
x x x ln(1 x ) x ( 1) o( x ) 2 3 n1 1 1 x x 2 x n o( x n ) 1 x m ( m 1) 2 m (1 x ) 1 mx x 2! m ( m 1)( m n 1) n x o( x n ) n!
1 2!
f ( x0 )( x x0 ) 2
2. 余项估计 令 Rn ( x) f ( x) pn ( x) (称为余项) , 则有
Rn ( x) ( x x0 ) n1 Rn (1 ) Rn ( x) Rn ( x0 ) (1 在 x0 与 x 之间) n n1 (n 1)(1 x0 ) ( x x0 ) 0 Rn (1 ) Rn ( x0 ) Rn ( 2 ) ( 2 在 x0 与 n (n 1)(1 x0 ) 0 (n 1)n( 2 x0 ) n1 1 之间) ( (n) ( Rnn ) ( x0 ) Rn ( n ) Rnn1) ( ) x ( 在 x0 与 n 之间) (n 1) 2( n x0 ) 0 (n 1) !
第三节 泰勒 ( Taylor )公式
用多项式近似表示函数 — 应用
第三章
理论分析 近似计算
一、泰勒公式的建立 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用
高数泰勒公式【爆款】.ppt
3
x x2 x3 o x3 x x2
I lim
x0
3 x3
1 3
.精品课件.
41
例3. 求
用洛必塔法 则不方便 !
解: 用泰勒公式将分子展到 x2 项, 由于
3x 4
2
1
3 4
x
2
1
1 2
(
3 4
x)
21!
1 2
(12
1)
(43
x)2
o(
x2
)
2
3 4
x
1 4
196
x2
o(x2
x0
)n
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0 )n1
( 在 x0
与
x
之间)
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变给为出拉格朗日中值定理
f (x) f (x0 ) f ( )(x x0 )
( 在 x0 与x 之间)
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
可见
f
(x)
f
(x0 )
f (x0 )(x x0 )
7
Rn (x) f (x) pn (x)
( 在 x0 与x 之间)
pn(n1) (x) 0, Rn(n1) (x) f (n1) (x)
高中数学(人教版)泰勒公式课件PPT课件演示文稿
近似计算
理论分析
第5页，共27页。
➢ pn(x)的确定
令
令
令 令
a0 p( x0 ) f ( x0 )
a1
pn ( x0 ) 1!
f ( x0 ) 1!
a2
pn( x0 ) 2!
f ( x0 ) 2!
an
pn(n) ( x0 ) n!
f (n)( x0 ) n!
第6页，共27页。
➢ 余项Rn(x)的确定
泰勒公式 一、泰勒公式 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用
第18页，共27页。
泰勒公式
一、泰勒公式 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用
第19页，共27页。
三、泰勒公式的应用
(一) 近似计算 (二) 求极限 (三) 其它应用
第20页，共27页。
三、泰勒公式的应用
第三讲泰勒公式一泰勒公式二几个初等函数的麦克劳林公式三泰勒公式的应用一泰勒公式二几个初等函数的麦克劳林公式三泰勒公式的应用简单较复杂误差近似计算理论分析微分误差探究问题泰勒taylor中值定理1如果函数处具有n阶导数那么存在对于该邻域内的任一x有简单较复杂误差近似计算理论分析微分定性定量拉格朗日中值定理误差探究问题函数的微分拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式佩亚诺peano型余项一泰勒公式二几个初等函数的麦克劳林公式三泰勒公式的应用一泰勒公式二几个初等函数的麦克劳林公式三泰勒公式的应用的麦克劳林公式类似可得一泰勒公式二几个初等函数的麦克劳林公式三泰勒公式的应用一泰勒公式二几个初等函数的麦克劳林公式三泰勒公式的应用已知x和误差限确定近似公式的项数n已知近似公式的项数n和误差限确定公式中x的适用范围
泰勒公式【高等数学PPT课件】
④ 式成立
特例: (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变给为出拉格朗日中值定理
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
可见 误差
在泰勒公式中若取
则有
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 . 由此得近似公式
若在公式成立的区间上
则有误差估计式
第三节 泰勒 ( Taylor )公式
泰勒中值定理 : 阶的导数 , 则当
时, 有
①
其中
②
公式 ① 称为 的Байду номын сангаасn 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
注意到
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
④ 公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
* 可以证明:
特例: (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变给为出拉格朗日中值定理
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
可见 误差
在泰勒公式中若取
则有
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 . 由此得近似公式
若在公式成立的区间上
则有误差估计式
第三节 泰勒 ( Taylor )公式
泰勒中值定理 : 阶的导数 , 则当
时, 有
①
其中
②
公式 ① 称为 的Байду номын сангаасn 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
注意到
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
④ 公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
* 可以证明:
泰勒公式ppt课件
总结词
泰勒公式是函数展开的重要工具，可以将复杂的函数表示为多项式的和，从而 更好地理解和分析函数的性质。
详细描述
通过泰勒公式，我们可以将复杂的函数展开为多项式，从而更好地了解函数的 性质，如奇偶性、周期性等。这对于分析函数的性质和解决相关问题具有重要 的意义。
利用泰勒公式进行近似计算
总结词
泰勒公式可以用于近似计算，通过将复杂的函数展开为多项式，可以快速得到函 数的近似值。
泰勒公式的证明
泰勒公式的证明方法
01
02
03
04
直接证明法
通过数学归纳法或数学归纳法 结合等价无穷小替换进行证明
。
Fra Baidu bibliotek
导数定义法
利用导数的定义和性质，通过 求极限的方式证明泰勒公式。
积分证明法
利用定积分的定义和性质，通 过积分的方式证明泰勒公式。
几何解释法
利用几何图形和函数图像的性 质，通过直观的方式证明泰勒
03
泰勒公式的应用举例
利用泰勒公式求极限
总结词
泰勒公式在求极限中的应用广泛，通 过将复杂的函数展开为多项式，可以 简化极限的计算过程。
详细描述
在求极限时，泰勒公式可以将复杂的 函数表示为多项式和无穷小量的和， 从而将极限的计算转化为多项式和无 穷小量的计算，简化计算过程。
利用泰勒公式进行函数展开
泰勒公式是函数展开的重要工具，可以将复杂的函数表示为多项式的和，从而 更好地理解和分析函数的性质。
详细描述
通过泰勒公式，我们可以将复杂的函数展开为多项式，从而更好地了解函数的 性质，如奇偶性、周期性等。这对于分析函数的性质和解决相关问题具有重要 的意义。
利用泰勒公式进行近似计算
总结词
泰勒公式可以用于近似计算，通过将复杂的函数展开为多项式，可以快速得到函 数的近似值。
泰勒公式的证明
泰勒公式的证明方法
01
02
03
04
直接证明法
通过数学归纳法或数学归纳法 结合等价无穷小替换进行证明
。
Fra Baidu bibliotek
导数定义法
利用导数的定义和性质，通过 求极限的方式证明泰勒公式。
积分证明法
利用定积分的定义和性质，通 过积分的方式证明泰勒公式。
几何解释法
利用几何图形和函数图像的性 质，通过直观的方式证明泰勒
03
泰勒公式的应用举例
利用泰勒公式求极限
总结词
泰勒公式在求极限中的应用广泛，通 过将复杂的函数展开为多项式，可以 简化极限的计算过程。
详细描述
在求极限时，泰勒公式可以将复杂的 函数表示为多项式和无穷小量的和， 从而将极限的计算转化为多项式和无 穷小量的计算，简化计算过程。
利用泰勒公式进行函数展开
泰勒公式课件
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类似地,可得
2m x2 x4 m x cos x 1 (1) R2 m1 ( x) 2! 4! ( 2 m) !
其中
(1) m 1 cos( x) 2 m 2 R2 m1 ( x) x ( 2 m 2) !
(0 1)
( 2 m 2) !
又 cos 2 x 1 1 cos 2 x,
2 2
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1 1 1 1 1 2 4 m 2m 所以 cos x 1 2 x 2 x 1 2x 2 2 2! 4! 2m !
2
1 2m 2 2 m 2 ， 2 x cos x 2 2m 2!
f ( x 0 ) Pn ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 ) ( x x0 )2 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n n!
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三、泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x ) 在含有 x 0 的某个开区间( a , b ) 内具有直到( n 1) 阶的导数,则 当 x 在( a , b ) 内时, f ( x ) 可以表示为( x x 0 ) 的一个 n 次多项式与一个余项 Rn ( x ) 之和:
类似地,可得
2m x2 x4 m x cos x 1 (1) R2 m1 ( x) 2! 4! ( 2 m) !
其中
(1) m 1 cos( x) 2 m 2 R2 m1 ( x) x ( 2 m 2) !
(0 1)
( 2 m 2) !
又 cos 2 x 1 1 cos 2 x,
2 2
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1 1 1 1 1 2 4 m 2m 所以 cos x 1 2 x 2 x 1 2x 2 2 2! 4! 2m !
2
1 2m 2 2 m 2 ， 2 x cos x 2 2m 2!
f ( x 0 ) Pn ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 ) ( x x0 )2 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n n!
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三、泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x ) 在含有 x 0 的某个开区间( a , b ) 内具有直到( n 1) 阶的导数,则 当 x 在( a , b ) 内时, f ( x ) 可以表示为( x x 0 ) 的一个 n 次多项式与一个余项 Rn ( x ) 之和:
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③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
f (x0) f(x 0 )x ( x 0)f2(x!0)(xx0)2 f (nn)(!x0)(xx0)n o[(xx0)n] ④
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
* 可以证明:
05.02.2021
④ 式成立
7
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则 pn(x)
a1 2a2(xx0) n a n (x x 0 )n 1
pn (x) 2!a2 n ( n 1 ) a n ( x x 0 ) n 2
pn(n)(x)
n!an
a0pn(x0)f(x0),
a1pn (x0)f(x0),
a221!pn(x0)21 ! f(x0), ,ann1!pn(n)(x0)n1 ! f(n)(x0)
n!
05.02.2021
(01) 10
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f(k)(x)sixnk( π2 )
f (k)(0)sinkπ 2
0,
(1)m1,
k2m (m 1 ,2 , ) k2m 1
sinxx x 3 3!
x5 5!
(1)m1 x2m1 (2m1)!
R2m(x)
其中
R2m(x)
故 pn(x) f ( x0 ) f(x 0 )x ( x 0 )21 ! f(x0)x (x0)2
05.02.2021
n1 ! f(n )(x 0 )x ( x 0 )n
3
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2. 余项估计
令 R n (x ) f(x ) p n (x )(称为余项) , 则有
Rn(x0) Rn(x0) R n (n )(x 0 ) 0 Rn (x) (x x0 )n1
f (x) f (x0) f(x 0 )x ( x 0)f2(x!0)(xx0)2
特例: f (nn)(!x0)(xx0)nf((nn1)1()!)(x(x在 0)nx 10与 x之)间
பைடு நூலகம்
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变给为出拉格朗日中值定理
f (x)f (x0) f()x (x0) (在 x0与 x之)间
s(i1)nmxc(o2m s2x(1)π)x2m1
(2m 1) !
(01)
麦克劳林公式
f (0) f(0)x
f
(0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
05.02.2021
(01)
11
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类似可得
coxs1
x2 2!
x4 4!
(1)
m
x2m (2m)
!
R2m1(x)
05.02.2021
9
麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束
二、几个初等函数的麦克劳林公式
f(k)(x)ex, f(k )(0 ) 1(k 1 ,2 , )
e x 1x
x2 2!
x3 3!
x n n!
Rn(x)
其中
麦克劳林公式
f (0) f(0)x
f
(0) x2 f (n) (0) xn
2!
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
可见 f (x) f (x0)f(x 0 )x ( x 0)f2(!)((x在 xx00与 )2x之)间
误差
(在 x0与 x之)间 d f
05.02.2021
8
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在泰勒公式中若取 x0 0,记 x( 0 1 ),则有
f (0) f(0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
x 的一次多项式
p1(x)
特点:
f (x0) f(x0)
O x0 x x
以直代曲
如何提高精度 ? 需要解决的问题
如何估计误差 ?
05.02.2021
2
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1. 求 n 次近似多项式
要求:
令 pn(x)a 0 a 1 ( x x 0 ) a 2 ( x x 0 ) 2 a n ( x x 0 ) n
f (nn)(!x0)(xx0)nRn(x)
①
其中 Rn(x)f((nn 1)1()!)(xx0)n1 ( 在 x0与 x之)间 ②
公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
05.02.2021
6
泰勒 目录 上页 下页 返回 结束
注意到 R n(x)o [x (x0)n]
其中
R2m1(x)
05.02.2021
(在 x0与 xn之)间
4
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R n (x ) f(x ) p n (x )
(在 x0与 x之)间
pn (n 1)(x)0, R n (n 1 )(x ) f(n 1 )(x )
Rn(x)f((nn 1)1()!)(xx0)n1 (在 x0与 x之)间
第三节 泰勒公式
第三章
理论分析 目的－用多项式近似表示函数. 应用
近似计算
一、泰勒公式的建立
二、几个初等函数的麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用
05.02.2021
1
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一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
f ( x) f(x 0)f(x 0)x ( x 0) y
yf(x)
当x0在 的某f(邻 n 1 )(x)域 M 时 内
Rn(x)(nM 1)!xx0n1
R n ( x ) o (x ( x 0 ) n )( x x 0 )
05.02.2021
5
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泰勒(Taylor)中值定理 :
阶的导数 , 则当
时, 有
f (x0) f(x 0 )x ( x 0)f2(x!0)(xx0)2
R(xn(xx)0)nRn1(x00)(n1R)n((11)x0)n (1在 x0与 x之)间
(nRn(1)1()1Rxn0()xn0)0 (n1)R n(n(22)x0)n1
(2 在 x0 与 1 之间)
(nR n(1n)) (n2)(nRn(nx)0()x0)0
Rn(n1) ( )
(n 1) !
2!
n!
称为麦克劳林( Maclaurin )公式 .
由此得近似公式
若在f (公xf)(式x)成f(立xf0(的)0 )区f间(fx 上0 (0))x xf( (nx 10 f)() 2x(!0)) fx22M (x !0, )则(x有误fx(0nn差))!(20估 ) 计xn式
f (nn)(!x0R)n((xx)x0)(nnM f1()(nn!1x)1()n!)1((x在 x0x)0 n与 1 x之)间