(完整版)八年级数学下册重难点

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部编数学八年级下册二次根式专项提升训练(重难点培优)【拔尖特训】2023年培优【人教版】含答案

【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题16.1专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•南湖区校级期中）要使二次根式有意义，x的值可以是（）A．4B．2C．1D．0【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣3≥0，再解即可．【解答】解：要使二次根式有意义，则x﹣3≥0，解得：x≥3，故x的值可以是4．故选：A．2．（2022秋•北碚区校级期中）要使式子有意义，则a的取值范围是（）A．a≠0B．a≥﹣2C．a＞﹣2且a≠0D．a≥﹣2且a≠0【分析】根据分子的被开方数不能为负数，分母不能为零，可得答案．【解答】解：由题意得，a+2≥0且a≠0，即a≥﹣2且a≠0，故选：D．3．（2022秋•惠山区期中）下列各式中，一定是二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的定义进行判断．【解答】解：A．被开方数为负数，不是二次根式，故此选项不合题意；B．根指数是3，不是二次根式，故此选项不合题意；C．a﹣1的值不确定，被开方数的符号也不确定，不能确定是二次根式，故此选项不合题意；D．被开方数恒为正数，是二次根式，故此选项符合题意．4．（2022秋•奉贤区期中）使二次根式有意义的x的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：2x﹣1＞0，解得：x＞，故选：B．5．（2022秋•南湖区校级期中）已知y＝++4，y x的平方根是（）A．16B．8C．±4D．±2【分析】根据二次根式有意义的条件可得，据此可得x的值，进而得出y的值，再代入所求式子计算即可．【解答】解：∵y＝++4，∴，解得x＝2，∴y＝4，∴y x＝42＝16．∴y x的平方根是±4．故选：C．6．（2022秋•通州区期中）已知n是一个正整数，且是整数，那么n的最小值是（）A．6B．36C．3D．2【分析】先把＝2，从而判断出6n是完全平方数，所以得出答案正整数n的最小值是6．【解答】解：＝2，则6n是完全平方数，∴正整数n的最小值是6，故选：A．7．（2022秋•新蔡县校级月考）已知x、y为实数，且y＝+1，则x+y的值是（）A．2022B．2023C．2024D．2025【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数求出x的值，代入求得y的值，代入代数式求【解答】解：∵x﹣2023≥0，2023﹣x≥0，∴x﹣2023＝0，∴x＝2023，∴y＝1，∴x+y＝2023+1＝2024，故选：C．8．（2022春•东平县期中）已知a满足|2018﹣a|+＝a，则a﹣20182＝（）A．0B．1C．2018D．2019【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出a的取值范围，化简绝对值即可得出答案．【解答】解：根据题意得：a﹣2019≥0，∴a≥2019，∴原式可变形为：a﹣2018+＝a，∴＝2018，∴a﹣2019＝20182，∴a﹣20182＝2019．故选：D．9．已知a为实数，若在实数范围内有意义，那么等于（）A．a B．﹣a C．﹣1D．0【分析】根据非负数的性质与被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：根据非负数的性质a2≥0，所以，﹣a2≤0，又∵﹣a2≥0，∴﹣a2＝0，∴＝0．故选：D．10．（2022春•荣昌区校级期末）若二次根式有意义，且关于分式方程﹣3＝有正整数解，则符合条件的整数m的和是（）A．5B．3C．﹣2D．0【分析】根据二次根式有意义，可得m≤4，解出关于x的分式方程﹣3＝的解为x＝，解为正整数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可．【解答】解：去分母得，2﹣3（x﹣1）＝﹣m，解得x＝，∵关于x的分式方程﹣3＝有正整数解，∴＞0，∴m＞﹣5，又∵x＝1是增根，当x＝1时，＝1，即m＝﹣2∴m≠﹣2，∵有意义，∴4﹣m≥0，∴m≤4，因此﹣5＜m≤4且m≠﹣2，∵m为整数且关于x的分式方程﹣3＝有正整数解，∴m可以为1，4，其和为5．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•南安市期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≤4　．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：12﹣3x≥0，解得x≤4，故答案为：x≤4．12．（2022秋•罗湖区校级期中）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x＜4　．【分析】根据二次根式有意义的条件和分母不为0，即可求出x的取值范围．【解答】解：根据题意得：4﹣x＞0，故答案为：x＜4．13．（2022秋•海曙区校级期中）若，则x y＝．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值，进而代入得出答案．【解答】解：∵，∴2x﹣3≥0且3﹣2x≥0，解得：x＝，则y＝2，则x y＝（）2＝．故答案为：．14．（2022秋•卧龙区校级月考）若y＝+﹣3，则点P（x，y）在第　四　象限．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，求出x的值，进而得到y的值，再根据点的坐标特征解答即可．【解答】解：根据题意，得x﹣4≥0且4﹣x≥0，．所以x＝4．所以y＝﹣3．所以P（4，﹣3），位于第四象限．故答案为：四．15．（2022春•东莞市校级期中）若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为　6　．【分析】24＝22×6，所以要想能开平方，必须再乘一个6．【解答】解：＝2，∵是整数，∴满足条件的最小正整数n＝6．故答案为：6．16．（2022春•东平县期中）已知y＝++2022，则x2+y﹣3的值为　2023　．【分析】根据二次根式有意义的条件得到x2＝4，进而求出y的值，代入代数式求值即可．【解答】解：根据题意得：x2﹣4≥0，4﹣x2≥0，∴y＝2022，∴原式＝4+2022﹣3＝2023．故答案为：2023．17．（2022•沙坪坝区校级开学）已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，则该三角形的周长为　10　．【分析】根据题意求出a、b的值，根据等腰三角形的三边关系确定三角形的边长，求出此三角形的周长．【解答】解：由题意得，a﹣2≥0，2﹣a≥0，解得a≥2，a≤2，∴a＝2，则b＝4，∵2+2＝4，∴2、2、4不能组成三角形，∴该三角形的三边分别为2、4、4，∴此三角形的周长为2+4+4＝10．18．（2021春•南通期中）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，，b为整数，则a+b＝　﹣2　．【分析】通过识图可得a＜b＜，从而利用二次根式的性质进行化简．【解答】解：∵a＜b＜，∵|b﹣2|＝b﹣2，∵a+4≥0，b﹣2≥0，∴b≥2，∵b＜，∴2≤b＜，b为整数，∴b＝2，将b＝2代入|b﹣2|＝b﹣2，∴a+b＝﹣4+2＝﹣2，故答案为：﹣2．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2021春•新泰市期中）（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b的平方根；（2）若x，y都是实数，且y＝+8，求x+3y的立方根．【分析】（1）根据平方根的定义求出a、b的值，然后代入a+2b即可求出答案．（2）根据二次根式有意义的条件可求出x与y的值，然后代入原式即可求出答案．【解答】解：（1）由题意可知：2a﹣1＝9，3a+b﹣1＝16，∴a＝5，b＝2，∴a+2b＝5+4＝9，∴9的平方根是±3，即a+2b的平方根为±3．（2）由题意可知：，∴x＝3，∴y＝8，∴x+3y＝3+24＝27，∴27的立方根是3，即x+3y的立方根是320．（2019秋•松北区期末）已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b＝4++3，求此三角形的周长．【分析】根据题意求出a、b的值，根据三角形的三边关系确定三角形的边长，求出此三角形的周长．【解答】解：由题意得，3a﹣6≥0，2﹣a≥0，解得，a≥2，a≤2，则a＝2，则b＝4，∵2+2＝4，∴2、2、4不能组成三角形，∴此三角形的周长为2+4+4＝10．21．（2022秋•济南期中）已知实数a，b，c满足：．（1）a＝　﹣3　；b＝　5　；c＝　2　；（2）求﹣b﹣3a+2c的平方根．【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求得b＝5，再根据绝对值以及算术平方根的非负性求得a与c．（2）将（1）中a、b与c的值代入，再求得﹣b﹣3a+2c的平方根．【解答】解：（1）由题意得，b﹣5≥0，5﹣b≥0．∴b＝5．∴|a+3|+＝0．∵|a+3|≥0，，∴a+3＝0，c﹣2＝0．∴a＝﹣3，c＝2．故答案为：﹣3；5；2．（2）由（1）得，a＝﹣3，b＝5，c＝2．∴﹣b﹣3a+2c＝﹣5+9+4＝8．∴﹣b﹣3a+2c的平方根是±＝．22．（2022秋•锦江区校级月考）（1）若m﹣2＝+，求n m的值；（2）已知有理数a，b，c在数轴上对应位置如图所示：①用“＜”或“＞”填空：a+c　＜　0，b﹣c　＞　0；②化简：|a+c|﹣+．【分析】（1）利用二次根式有意义的条件得到n﹣3≥0且3﹣n≥0，则n＝3，所以m﹣2＝0，则m＝2，然后利用乘方的意义计算n m；（2）①利用数轴表示数的方法进行判断；②根据二次根式的性质和立方根的定义得到原式|＝|a+c|﹣|b﹣c|+b+c，再利用①中的结论去绝对值，然后取括号合并即可．【解答】解：（1）根据题意得n﹣3≥0且3﹣n≥0，解得n＝3，∴m﹣2＝0，解得m＝2，∴n m＝32＝9；（2）①a+c＜0，b﹣c＞0；故答案为：＜，＞；②|a+c|﹣+＝|a+c|﹣|b﹣c|+b+c＝﹣（a+c）﹣（b﹣c）+b+c＝﹣a﹣c﹣b+c+b+c＝﹣a+c．23．（2022春•定远县期末）在学习了算术平方根和二次根式等内容后，我们知道以下的结论：结论①：若实数a≥0时，＝a；结论②：对于任意实数a，＝|a|．请根据上面的结论，对下列问题进行探索：（1）若m＜2，化简：+|m﹣3|．（2）若＝4，|b|＝8，且ab＞0，求a+b的值．（3）若A＝+|1﹣m|有意义，化简A．【分析】（1）先根据二次根式的性质和绝对值进行计算，再算加减即可；（2）先根据二次根式的性质和绝对值求出a、b的值，再求出a+b的值即可；（3）根据二次根式的性质得出m﹣2≥0，求出m≥2，再进行化简即可．【解答】解：（1）分为两种情况：①当m≤﹣3时，+|m﹣3|．＝|m+3|+|m﹣3|＝﹣m﹣3﹣m+3＝﹣2m，②当﹣3＜m＜2时，+|m﹣3|＝|m+3|+|m﹣3|＝m+3+3﹣m＝6；（2）∵，∴|a|＝4，∴a＝±4，∵|b|＝8，∴b＝±8，∵ab＞0，∴a＝4，b＝8或a＝﹣4，b＝﹣8，当a＝4，b＝8时，则a+b＝4+8＝12，当a＝﹣4，b＝﹣8时，则a+b＝﹣4﹣8＝﹣12，∴a+b＝±12；（3）∵有意义，∴m﹣2≥0，∴m≥2，∴1﹣m＜0，∴A＝m﹣2+m﹣1＝2m﹣3．24．（2022春•天门校级月考）二次根式的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果≥0，利用的双重非负性解决以下问题：（1）已知＝0，则a+b的值为　﹣2　；（2）若x，y为实数，且x2＝+9，求x+y的值；（3）已知实数m，n（n≠0）满足|2m﹣4|+|n+2|++4＝2m，求m+n的值．【分析】（1）利用非负数的性质，可求a，b的值，从而求得a+b的值为﹣2；（2）利用二次根式有意义的条件，可得y值，进而求x值，最终得x+y的值；（3）是上两个题目的综合运用，利用（1）（2）可出得m+n的值．【解答】解：（1）∵，且，∴a﹣1＝0，且3+b＝0，∴a＝1，b＝﹣3，∴a+b＝﹣2．（2）∵，∴y﹣5≥0且5﹣y≥0，∴y≥5且y≤5，∴y＝5，∴x2＝9，∴x＝±3，当x＝3时，x+y＝3+5＝8；当x＝﹣3时，x+y＝﹣3+5＝2．（3）∵|2m﹣4|+|n+2|++4＝2m，∴（m﹣3）n2≥0，∴m≥3，∴2m﹣4＞0，∴|2m﹣4|+|n+2|++4＝2m2m﹣4+|n+2|++4＝2m∴|n+2|+＝0，∵|n+2|≥0，≥0，∴n+2＝0，（m﹣3）n2＝0，∴n＝﹣2，m＝3，∴m+n＝3﹣2＝1．。

八年级数学下册知识点总结(全)

八年级数学下知识点总结函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。

2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

（2）列表法把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（3）图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。

特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）这时，y 叫做x 的正比例函数。

2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线。

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数b kx y +=的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线。

（如下图） 4. 正比例函数的性质一般地，正比例函数kx y =有下列性质：（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小。

5、一次函数的性质一般地，一次函数b kx y +=有下列性质：（1）当k>0时，y 随x 的增大而增大（2）当k<0时，y 随x 的增大而减小 6、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k 。

北师大八年级数学下册知识点重点总结重点难点

第一章一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等关系1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.2. 区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。

3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0二. 不等式的基本性质1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即: 如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, cb c a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即: 如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, cb c a < 2. 比较大小:(a 、b 分别表示两个实数或整式) 一般地:如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b;如果a=b,那么a-b等于0;反过来,如果a-b等于0,那么a=b;如果a<b,那么a-b是负数;反过来,如果a-b是正数,那么a<b;即:a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a<b <===> a-b<0 (由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.三. 不等式的解集:1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3. 不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3. 解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题)4. 一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)①当a>0时,解为ab x >;②当a=0时,且b<0,则x 取一切实数;当a=0时,且b ≥0,则无解;③当a<0时, 解为a b x <; 5. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式;④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.五. 一元一次不等式组1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.3. 解一元一次不等式组的步骤:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数,且a<b)一元一次不等式解集图示叙述语言表达x>b两大取较大x>a两小取小a<x<b大小交叉中间找无解在大小分离没有解(是空集)第二章分解因式一. 分解因式1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 因式分解与整式乘法是互逆关系。

(完整版)新人教版八年级下册数学知识点总结归纳期末总复习

新人教版八年级下册数学知识点总结归纳期末总复习一、第十六章二次根式【知识回顾】： 1.二次根式：式子 a （a ≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：（1）（1）（a ）2=a （a ≥0）；（2）==a a 25.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． =·（a ≥0，b ≥0）；（b ≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，ab a b b b a a=（＞0）（＜0） 0 （=0）；都适用于二次根式的运算二、第十七章勾股定理归纳总结1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么c b a 222=+应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =，b =，a =）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边。

2、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足c b a 222=+那么这个三角形是直角三角形。

应用：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法。

八年级数学下册4.2提公因式法重难点突破素材(新版)北师大版

八年级数学下册4.2提公因式法重难点突破素材（新版）
北师大版
本节课的教学重点是要求学生能熟练运用提公因式法因式分解．
突破建议：让学生经历探究得到因式分解的概念的过程，让学生知道什么是整式乘法，什么是因式分解，以及两者有什么关系．介绍公因式的概念时，教师可结合具体实例讲解，允许学生作出不同的尝试，使学生能准确、熟练地确定公因式，提出公因式后，用多项式除以公因式得到的商就是另一个因式，从而将原多项式因式分解．在教科书例题的教学过程中，教师要注重结合例题对提公因式法公进行解读，并通过练习题加以巩固，使学生达到一定的熟练程度．
本节课的教学难点是使学生能准确、熟练地确定多项式的公因式．
突破建议：在教科书引入公因式概念的例子中，教师要让学生理解式子中字母的含义，尤其是公因式“”，它可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项式．在后面的例题中教科书分别做了介绍．
当公因式是单项式时，确定公因式分三个步骤：一是确定各项系数的最大公约数，二是找到各项所含的相同字母，三是确定相同字母的次数（取最低的次数）．
当公因式是多项式时，运用整体思想，按上述步骤也可以确定公因式，不同的是此时的“”是一个多项式．
有时，多项式的公因式并不明显，需要变形，例如：多项式中的项有互为相反数的两个因式和，此时可先运用添括号法则将两个因式变为相同，任然可以用提公因式法因式分解．教学时，教师要提醒学生认真观察，准确、熟练地确定多项式的公因式是提公因式法的关键．
1。

八年级下册数学重难点题型(人教版)专题规律性问题与折叠问题初探大视野(解析版)

2.【2018·泗县期末】如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第 n 个三角形的面积为
．
【答案】 n ． 2
【解析】解：根据勾股定理：
第一个三角形中：OA12=1+1=2，S1= 1 ； 2
第二个三角形中：OA22=OA12+1=3，S2= 2 ； 2
第三个三角形中：OA32=OA22+1=4，S3= 3 ； 2
故答案为：4， 3 5 ．例 4. 【2019·阜阳临泉县期末】如图 1，将一张矩形纸片 ABCD 沿着对角线 BD 向上折叠，顶点 C 落到点 E 处，BE 交 AD 于点 F．（1）求证：BF=DF；（2）如图 2，过点 D 作 DG∥BE，交 BC 于点 G，连结 FG 交 BD 于点 O． ①求证：四边形 BFDG 是菱形； ②若 AB=3，AD=4，求 FG 的长．
【答案】见解析. 【解析】解：（1）证明：如图 1，根据折叠，∠DBC=∠DBE，又 AD∥BC， ∴∠DBC=∠ADB， ∴∠DBE=∠ADB， ∴DF=BF；（2）① ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC， ∴FD∥BG，又∵DG∥BE， ∴四边形 BFDG 是平行四边形， ∵DF=BF， ∴四边形 BFDG 是菱形； ②∵AB=3，AD=4， ∴BD=5． ∴OB= 1 BD= 5 ．
【答案】（219，0）. 【解析】解：当 x=1 时，y= 3 x= 3 ，即 A1B1= 3 ，
在 Rt△OA1B1 中，由勾股定理得 OB1=2， ∵OB1=OA2， ∴A2（2，0）同理可求：A3（4，0）、A4（8，0）、A5（16，0）…… 即：A1（20，0）、A2（21，0）、A3（22，0）、A4（23，0）、A5（24，0）……可得 An（2n-1，0） ∴点 A20 的坐标是（219，0），故答案为：（219，0）．例 2. 【2019·孝感市期末】如图，在平面直角坐标系中，正方形 OA1B1C1，B1A2B2C2，B2A3B3C3，…的顶点 B1，B2，B3，…在 x 轴上，顶点 C1，C2，C3，…在直线 y=kx+b 上，若正方形 OA1B1C1，B1A2B2C2 的对角线 OB1=2，B1B2=3，则点 C3 的纵坐标是______．

八年级(初二)下册数学思维导图+重点知识梳理

思维导图+重点知识梳理二次根式加、减、乘、除运算二次根式性质最简二次根式2 = 0 a a a ≥()()()()==-⎧⎪⎨⎪⎩200＜a a a a a a ≥ ⋅⋅ = 0 0 a b a b a b (≥, ≥)()00＞，bba b a a ≥= 0 0a a ≥≥()【例题展示】已知a ，b 为等腰三角形的两条边长，且a，b 满足，求此三角形的周长．3264b a a =-+-+解：由题意得∴a =3，∴b =4.当a 为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；当b 为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．30260a a -⎧⎨-⎩≥，≥，【例题展示】化简：(1)16;2(2)(5)-；解：2164 4.==22(2)(5)5 5.-==210;-2(3.14).-π()22111101010=10.----2(3.14) 3.14= 3.14.---πππ ，而3.14＜π，要注意a 的正负性.注意2a a =32327+63---（）；06(2)20163+312.2--（）-63336=--+解：(1)原式33.=-(2)原式333=--3 2.=-【例题展示】计算：有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.归纳勾股定理　直角三角形边长的数量关系勾股定理的逆定理直角三角形的判定互逆定理勾股定理【例题展示】有一个圆柱形油罐，要以A 点环绕油罐建梯子，正好建在A 点的正上方点B 处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2 m ，高AB 是5 m ，π取3）?AB AB A 'B '解：油罐的展开图如图，则AB '为梯子的最短距离.∵AA '=2×3×2=12, A 'B '=5,∴AB '=13. 即梯子最短需13米.【例题展示】如图，南北方向PQ 以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A 处发现其正西方向的C 处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ 上B 处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC =10海里，BC =8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？东北P AB C Q D分析：根据勾股定理的逆定可得△ABC 是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD ，然后再利用勾股定理便可求CD .解：∵AC =10，AB =6，BC =8，∴AC 2=AB 2+BC 2，即△ABC 是直角三角形.设PQ 与AC 相交于点D ，根据三角形面积公式有 BC·AB= AC·BD ，即6×8=10BD ，解得BD=在Rt △BCD 中，2222248 6.4().5CD BC BD ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭海里又∵该船只的速度为12.8海里/时，6.4÷12.8=0.5（小时）=30（分钟），∴需要30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入我领海.东北P A B C QD 24.512125种判定方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系平行四边形【例题展示】如图，已知O是平行四边形ABCD的对角线的交点，AC=24，BD=18，AB=16，求△OCD的周长及AD边的取值范围．解：由题意得OA=OC=12，OB=OD=9，CD=AB=16,∴△OCD的周长为12+9+16=37.在△ACD中，24-16＜AD＜24+16，∴8＜AD＜40；在△ABD中，18-16＜AD＜18+16，∴2＜AD＜34；在△AOD中，12-9＜AD＜12+9，∴3＜AD＜21．综上所述，AD的取值范围应是8＜AD＜21．【例题展示】如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．（1）求证：△ACD≌△CBE；（2）连接DE，求证：四边形CBED是平行四边形．证明：（1）∵点C是AB的中点，∴AC=BC.在△ADC与△CEB中，AD＝CE , CD＝BE , AC＝BC ,∴△ADC≌△CEB（SSS），（2）∵△ADC≌△CEB，∴∠ACD=∠CBE，∴CD∥BE.又∵CD=BE，∴四边形CBED是平行四边形．【例题展示】如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.证明：取AC的中点F，连接BF.∵BD＝AB，∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF.∵E为AB的中点，AB＝AC，∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.F∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB,∴CE＝BF，∴CD＝2CE .【例题展示】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形．证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC.又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM,∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE ＝ (∠BAC＋∠CAM)＝90°.又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°,∴四边形ADCE为矩形．1 212 12【例题展示】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC.∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，∴四边形ACFD是菱形．()22226810cm. AC AB BC∴=+=+=某些运动变化的现实问题函数建立函数模型定义自变量取值范围表示法一次函数 y =kx +b (k ≠0)应用图象：一条直线性质：k ＞0，y 随x 的增大而增大 k ＜0，y 随x 的增大而减小数形结合一次函数与方程（组）、不等式之间的关系一次函数【例题展示】小明所在学校与家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家.如图，能大致描述他回家过程中离家的距离s(千米)与所用时间t(分)之间的关系图象D的是（）【例题展示】已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的解析式.解：设直线l为y=kx+b, ∵l与直线y=-2x平行，∴k= -2.又∵直线过点（0，2），∴2=-2×0+b,∴b=2,∴直线l的解析式为y=-2x+2.【例题展示】小明将父母给的零用钱按每月相等的数额存在储蓄盒内，准备捐给希望工程，盒内钱数y （元）与存钱月数 x （月）之间的关系如图所示，根据下图回答下列问题：（1）求出y 关于x 的函数解析式.（2）根据关系式计算，小明经过几个月才能存够200元？4080120y /元x /月12345o解: (1)设函数解析式为y =kx ＋b ，由图可知图象过(0，40),(4，120)，∴这个函数的解析式为y =20x +40.(2)当y =200时，20x +40=200, 解得x =8，∴小明经过8个月才能存够200元.解得20,40,k b =⎧⎨=⎩∴{040,4120,k b k b ⨯+=+=4080120y /元x /月12345o数据的集中趋势数据的波动程度方差用样本平均数估计总体平均数用样本方差估计总体方差平均数中位数众数用样本估计总体数据的分析　数据收集—数据整理—数据描述—数据分析【例题展示】已知一组数据10，10，x，8(由大到小排列)的中位数与平均数相等，求x值及这组数据的中位数.解：∵10，10，x，8的中位数与平均数相等∴ (10+x)÷2＝ (10+10+x+8)÷4∴x＝8(10+x)÷2＝9∴这组数据的中位数是9.【例题展示】.五个数1，3，a，5，8的平均数是4，则a3 5.6=_____，这五个数的方差_____.。

数学八年级下册第一章知识点

以下是®⽆忧考⽹为⼤家整理的数学⼋年级下册第⼀章知识点的⽂章，供⼤家学习参考！重点、难点:重点：有平⽅根、⽴⽅根的概念及意义和点的坐标。

难点：平⽅根、⽴⽅根等概念的理解、简单实数运算及⽆理数⼤⼩的⽐较。

⼀、知识框架图：⼆、重要知识点⼀）、知识点提⽰：1、平⽅根、算术平⽅根、⽴⽅根、⽆理数、实数等概念的理解，举例说明。

2、实数怎样分类？3、如何在产⾯直⾓坐标系中，说出点的坐标及根据坐标找点。

4、在实数范围内找⼀个数的绝对值、倒数、相反数、及各种运算的运算顺序。

⼆）知识点平⽅根：1、概念：如果有⼀个数r，使得r2a，那么我们把r叫作a的⼀个平⽅根。

①、⼀个正数的平⽅根有两个，它们互为相反数；②、负数没有平⽅根；③、0的平⽅根有且只有⼀个（它就是0）④、a的正平⽅根叫作a的算术平⽅根，记作a2、求⼀个⾮负数的平⽅根，叫作开平⽅。

⼀个正．数先开平⽅再2次⽅等于它本⾝；⼀个正．数先2次⽅再开平⽅也等于它本⾝。

⽴⽅根1、概念：如果有⼀个数b，使得b2a，那么我们把b叫作a的⼀个⽴⽅根。

①、⼀个正数有⼀个⽴⽅根，它是正数；②、负数有⼀个负的⽴⽅根；③、0的平⽅根有且只有⼀个（它就是0）④、a的⽴⽅根记作a。

2、求⽴⽅根号a，叫作开⽴⽅。

⼀个数先开⽴⽅再3次⽅等于它本⾝；⼀个数先3次⽅再开⽴⽅也等于它本⾝。

实数：1、有理数和⽆理数统称为实数。

2、实数的分类3、 4、实数⼤⼩的⽐较。

⽆理数：⽆限不循环⼩数。

有效数字：从左边第⼀个不为0的数字起，到时精确到的数位⽌共有⼏个数字则这个数的有效数字就是⼏位。

平⽽直⾓坐标系：1、能写出点的坐标和根据点的坐标描点。

2、关于y轴的轴反射公式：（x的坐标不变，y坐标变为它的相反数）3、关于x轴的轴反射公式：（x的坐标变为它的相反数，y坐标不变）4、平移公式：左右平移则x的坐标值减⼩或增加，上下平移则y的坐标增加或减⼩。

5、会⽤⽅位⾓和距离描述点的位置。

第⼀章复习题⼀、填空题：（本题共10⼩题，每⼩题2分，共20分）１、４的平⽅根是________，算术平⽅根是_________的算术平⽅根是_________。

八年级下册数学知识点背诵

八年级下册数学知识点背诵
数学知识点的背诵是学习数学的重要环节。

在八年级下册数学
学习中，有多个重要的知识点需要掌握。

以下是这些知识点及其
重点内容：
一、平面几何
1.图形类别：凸、凹、正、反、全等、相似、等腰、等边、直角、锐角、钝角、变形、对称、轴对称、中心对称、平移、旋转、翻折、缩放、相交
2.图形的性质：面积、周长、对角线、夹角、垂线、高线、中线、角平分线、对边平行、内角和、外角和、三角形面积公式、
余弦定理、正弦定理、勾股定理
二、数学运算
1.分数的加减乘除：分数的相加、分数的相减、分数的相乘、
分数的相除、分数转化为小数、小数转化为分数、分数化简
2.百分数：百分数转化为小数、小数转化为百分数、百分数的加减乘除、百分数与分数的互化、百分数计算
三、代数
1.代数式的基本概念：代数式的组成、代数式的计算
2.一元一次方程：基本概念、解一元一次方程的方法
3.多项式与因式分解：多项式的概念、多项式的加减乘法、因式分解的方法
四、统计与概率
1.数据的分析：各种类型的数据、中位数、平均数、众数、极差、四分位数、百分位数、数据的描绘
2.概率的计算：事件、随机事件、概率的基本概念、概率的计算方法
以上是八年级下册数学知识点的主要内容和重点，每个知识点都需要经常理解和掌握，特别是图形类别和平面几何还需要多画图来帮助记忆和理解。

相信只要学生认真背诵并不断提高自己的数学水平，学习数学并不会很难。

八年级下册数学重难点题型(人教版)专题几何中常见模型及辅助线题型大视野(解析版)

专题几何中常见模型及辅助线题型大视野【例题精讲】题型一、手拉手模型例题. 【2019·惠州市期末】如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F.（1）求证：OE=OF；（2）若正方形ABCD的边长为1，求两个正方形重叠部分的面积；（3）若正方形A′B′C′D′绕着O点旋转，EF的长度何时最小，并求出最小值.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，四边形OB’C’D’是正方形，∵OB=OC，∵BOC=90°，∵B’OD’=90°，∵OBE=∵OCF=45°，∵∵BOE=∵FOC，∵∵BOE∵∵COF，∵OE=OF；（2）由（1）知，∵BOE∵∵COF，∵S∵BOE=S∵COF∵两正方形重叠部分面积=S四边形OECF=S∵COF+S∵OCE= S∵BOE +S∵OCE=S∵BOC=1 4（3）由（1）知OE=OF，则∵EOF是等腰直角三角形，∵EF= OE，由垂线段最短，知当OE∵BC时，OE长度最小，最小为12，此时EF长度最小，即EF题型二、一线三直角模型例题. 【2019·临沂市期中】如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．（1）如图∵，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；（2）如图∵，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．【答案】见解析．【解析】解：（1）结论：PB＝PQ，理由：过P作PE∵BC于E，PF∵CD于F，∵P为正方形对角线AC上的点，∵PC平分∵DCB，∵DCB＝90°，∵PF＝PE，∵四边形PECF为正方形．∵∵BPE+∵QPE＝90°，∵QPE+∵QPF＝90°，∵∵BPE＝∵QPF，∵Rt∵PQF∵Rt∵PBE，∵PB＝PQ；（2）结论：PB＝PQ．理由：过P作PE∵BC于E，PF∵CD于F，∵P为正方形对角线AC上的点，∵PC平分∵DCB，∵DCB＝90°，∵PF＝PE，∵四边形PECF为正方形，∵∵BPF+∵QPF＝90°，∵BPF+∵BPE＝90°，∵∵BPE＝∵QPF，∵Rt∵PQF∵Rt∵PBE，∵PB＝PQ．题型三、辅助线例1. 【2019·莆田市期末】如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、AB上一点，且AF=BE，AE与DF交于点G．（1）求证：AE=DF．（2）如图2，在DG上取一点M，使AG=MG，连接CM，取CM的中点P．写出线段PD与DG之间的数量关系，并说明理由．【答案】见解析.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∵AD=AB，∵DAF=∵ABE=90°，∵AF=BE，∵∵DAF∵∵ABE（SAS），∵AE=DF．（2）解：结论：DG PD．理由：连接GP并延长至H，使GP=PH，连接DH、CH，∵PM=PC，∵MPG=∵CPH，PG=PH，∵∵MPG∵∵CPH（SAS），∵∵PMG=∵PCH，GM=CH=AG，∵DF∵CH，∵∵FDC=∵DCH，∵∵DAG+∵ADG=90°，∵ADG+∵CDF=90°，∵∵DAG=∵CDG=∵DCH，∵DA=DC，∵∵DAG∵∵DCH（SAS），∵DG=DH，∵ADG=∵CDH，∵∵GDH=∵ADC=90°，∵∵GDH是等腰直角三角形，∵GP=PH，∵PD=PG，PD∵GH，∵DG PD．例2. 【2019·武汉市期末】在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF 上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．（1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】见解析.【解析】（1）证明：在EG上截取EH=BG，∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，∴∠ABG=∠AEH．在△ABG和△AEH中，∵AE=AB，∠ABG=∠AEH，BG=EH，∴△ABG≌△AEH，∴AH=AG，∠EAH=∠GAB，∴∠GAH=∠EAB=60°，∴△AGH是等边三角形，∴GH=AG，∴EG=AG+BG；（2）EG=√2AG－BG．如图，过点A作AH∵AG，交GE的延长线于H，则∵GAH=∵EAB=90°，∵∵GAB=∵HAE．∵∵EGB=∵EAB=90°，∵∵AGH+∵AGB=∵AGH+∵H=90°．∵∵AGB=∵H，∵AB=AE，∵∵ABG∵∵AEH．∵BG=EH，AG=AH，∵∵GAH=∵EAB=90°，∵∵AGH是等腰直角三角形．∵√2AG=HG．∵EG=√2AG－BG．【刻意练习】1. 【2018·容县期末】如图，已知∵ABC中，AC＝BC＝5，AB＝，三角形顶点在相互平行的三条直线L1，L2，L3上，且L2，L3之间的距离为3，则L1，L3之间的距离是．【答案】4.【解析】解：如图过点A作AM∵L3于M，过点B作BN∵L3于N．∵AC＝BC＝5，AB＝，∵AC2+BC2＝AB2，∵∵ACB＝90°，∵∵AMC＝∵BNC＝90°，∵∵ACM+∵BCN＝90°，∵∵BCN+∵CBN＝90°，∵∵ACM＝∵CBN，∵∵ACM∵∵CBN（AAS），∵AM＝CN＝3，在Rt∵NCB中，由勾股定理得：BN＝4，故答案为：4．2. 【2019·长沙市雨花区期末】在正方形ABCD中，连接BD，P为射线CB上的一个动点（与点C不重合），连接AP，AP的垂直平分线交线段BD于点E，连接AE，PE．提出问题：当点P运动时，∵APE的度数，DE与CP的数量关系是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点P的两个特殊位置：∵当点P与点B重合时，如图1-1所示，∵APE=______°，用等式表示线段DE与CP之间的数量关系：______；∵当BP=BC时，如图1-2所示，∵中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：______；（填“变化”或“不变化”）（2）然后考察点P的一般位置：依题意补全图2-1，2-2，通过观察、测量，发现：（1）中∵的结论在一般情况下______（填“成立”或“不成立”）（3）证明猜想：若（1）中∵的结论在一般情况下成立，请从图2-1和图2-2中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）45，PC=√2DE；不变化；（2）成立；（3）见解析.【解析】解：（1）∵当点P与点B重合时，∵四边形ABCD是正方形，∵∵APE=45°，EA=EB=ED，∵PC=√2DE．∵当BP=BC时，∵中的结论不发生变化；故答案为：45，PC=√2DE，不变化；（2）结论仍然成立；（3）如图，过点E作EF∵AD于F，延长FE交BC于G，连接AC、EC，∵点E在线段AP的垂直平分线上，∵EA=EP，∵四边形ABCD是正方形，∵BD是AC的垂直平分线，∵EA=EC，∵∵EAC=∵ECA，∵BA=BC，∵∵BAC=∵BCA，∵∵EAB=∵ECB，∵EA=EP，EA=EC，∵EP=EC，∵∵EPC=∵ECP，∵∵EPC+∵EPB=180°，∵∵BAE+∵EPB=180°，∵∵ABP+∵AEP=180°，∵∵ABP=90°，∵∵AEP=90°，∵∵APE=∵P AE=45°，∵EF∵AD，∵∵DFG=90°，∵∵BCD=∵ADC=90°，∵四边形FGCD是矩形，∵CG=FD，∵FGC=90°，∵∵BDA=45°，∵FD=DE，2∵EP=EC，∵CP=2CG=2DF DE．3. 【2019·阳江市期中】（1）如图（1），在平行四边形ABCD中，DE∵AB，BF∵CD，垂足分别为E、F，求证：AE=CF；（2）如图（2），在平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，求证AC2+BD2=2（AB2+BC2）（3）如图（3），PQ是∵PMN的中线，若PM=11，PN=13，MN=10，求出PQ的长度．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵平行四边形ABCD中，DE∵AB，BF∵CD，∵AD=CB，DE=BF，∵AED=∵CFB=90°，∵Rt∵AED∵Rt∵CFB（HL），∵AE=CF；（2）如图，分别过A，D作AE∵BC交CB延长线于E，DF∵BC于F．根据勾股定理可得：AC2=AE2+（BE+BC）2 ∵，AE2=AB2-BE2 ∵，BD2=DF2+（BC-CF）2 ∵，DF2=DC2-CF2∵，∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB=DC，又∵AE∵BC，DF∵BC，∵∵AEB=∵DFC=90°，AE=DF，∵Rt∵AEB∵Rt∵DFC（HL），∵BE=CF，而AB=DC，把∵代入∵，∵代入∵，可得：AC2=AB2-BE2+（BE+BC）2BD2=DC2-CF2+（BC-CF）2上面两式相加，可得：AC2+BD2=2（AB2+BC2）；（3）如图，延长PQ至R，使得QR=PQ，连接RM，RN，∵PQ是∵PMN的中线，∵NQ=MQ，∵四边形NPMR是平行四边形，由（2）可得，MN2+PR2=2（NP2+MP2），又∵PM=11，PN=13，MN=10，∵102+（2PQ）2=2（132+112），解得：PQ=2√30．4. 【2019·十堰市外国语期末】如图，已如等腰Rt∵ABC和∵CDE，AC=BC，CD=CE，连接BE、AD，P为BD中点，M为AB中点、N为DE中点，连接PM、PN、MN．（1）试判断∵PMN的形状，并证明你的结论；（2）若CD=5，AC=12，求∵PMN的周长．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵PMN是等腰直角三角形，理由如下：延长BE交AD于F，如图所示：∵P为BD中点，M为AB中点、N为DE中点，∵PM∵AD，PM=12AD，PN∵BE，PN=12BE，∵∵BCE∵∵ACD（SAS），∵BE=AD，∵CBE=∵CAD，∵PM=PN，∵∵CBE+∵BEC=90°，∵AEF=∵BEC，∵∵CAD+∵AEF=∵CBE+∵BEC=90°，∵∵AFE=90°，∵BE∵AD，∵PM∵AD，PN∵BE，∵PM∵PN，即∵PMN是等腰直角三角形；（2）∵∵ACD=90°，CD=5，AC=12，由勾股定理得：AD=√CD2+AD2=13，∵PN=PM=12AD=132，∵∵PMN是等腰直角三角形，∵MN PM=2，即∵PMN的周长=PM+PN+MN=13+2．5. 【2019·固始县期末】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC的中点，连接AF、DE相交于点G，连接CG．（1）求证：AF∵DE；（2）求证：CG=CD．【答案】见解析.【解析】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形∵AB=BC=CD=AD，∵ABF=∵DAE=90°，∵E，F分别是边AB．BC的中点∵AE=12AB，BF=12BC，∵AE=BF．在∵ABF与∵DAE中，∵AD=AB，∵DAF=∵ABF，AE=BF，∵∵DAE∵∵ABF（SAS）．∵∵ADE=∵BAF，∵∵BAF+∵DAG=90°，∵∵ADG+∵DAG=90°，∵∵DGA=90°，即AF∵DE．（2）证明：延长AF交DC延长线于M，∵F为BC中点，∵CF=FB∵DM∵AB，∵∵M=∵F AB．在∵ABF与∵MCF中，∵∵M=∵F AB，∵CFM=∵BF A，CF=BF，∵∵ABF∵∵MCF（AAS），∵AB=CM．∵AB=CD=CM，∵∵DGM是直角三角形，∵CG=12DM=CD．6. 【2019·高阳县期中】如图，正方形ABCD的边长为2√2，对角线AC、BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM∵BE于点M，交BD于点F．（1）求证：AF=BE；（2）求点E到BC边的距离．【答案】见解析.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∵OA=OB，∵AOB=∵BOC=90°，∵AM∵BE于点M，∵∵AME=90°，∵∵MAE=∵OBE，∵∵AOF∵∵BOE，∵AF=BE；（2）解：作EN∵BC于N，如图，∵四边形ABCD为正方形，∵OC BC=2，∵OCB=45°，∵E是OC的中点，∵CE=1，在Rt∵ECN中，∵ECN=45°，∵CEN为等腰直角三角形，∵EN CE．即点E到BC边的距离为27. 【2019·汕头市期中】如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且BC=CD，CE=CG，∵BCD=∵GCE=90°．（1）求证：∵BCG∵∵DCE；（2）求证：BG∵DE．【答案】见解析.【解析】证明：（1）∵∵BCD=∵GCE=90°，∵∵BCG=∵DCE，在∵BCG与∵DCE中，∵BC=CD，∵BCG=∵DCE，CE=CG，∵∵BCG∵∵DCE（SAS）；（2）∵∵BCG∵∵DCE，∵∵HBC=∵ODH，∵∵BHC=∵DHO，∵∵HBC+∵BHC=90°，∵∵ODH+∵DHO=90°，∵∵DOH=90°，∵BG∵DE．8. 【2019·北师大附属中学期末】如图，在∵ABCD中，BC＝2AB，点E、F分别是BC、AD的中点，AE、BF交于点O，连接EF，OC．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝4，∵ABC＝60°，求OC的长．【答案】见解析．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵BC∵AD，BC＝AD．∵E，F分别是BC，AD的中点，∵BE＝12BC，AF＝12AD，∵BE＝AF．∵四边形ABEF是平行四边形．∵BC＝2AB，∵AB＝BE．∵平行四边形ABEF是菱形．（2）解：过点O作OG∵BC于点G，如图所示：∵E是BC的中点，BC＝2AB，∵BE＝CE＝AB，∵四边形ABEF是菱形，∵ABC＝60°，∵BE＝CE＝AB＝4，∵OBE＝30°，∵BOE＝90°．∵OE＝2，∵OEB＝60°．∵GE＝1，OG∵GC＝GE+CE＝5．在Rt∵OCG中，由勾股定理得：OC＝9. 【2019·厦门六中月考】正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE∵BD于E，连接EO，AE．（1）若∵PBC=α，求∵POE的大小（用含α的式子表示）；（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．【答案】见解析.【解析】解：（1）在正方形ABCD中，BC=DC，∵C=90°∵∵DBC=∵CDB=45°∵∵PBC=α∵∵DBP=45°-α∵PE∵BD，且O为BP的中点∵EO=BO∵∵EBO=∵BEO∵∵EOP=∵EBO+∵BEO=90°-2α（2）连接OC，EC，在正方形ABCD中，AB=BC，∵ABD=∵CBD，BE=BE∵ΔABE∵ΔCBE∵AE=CE在RtΔBPC中，O为BP的中点∵CO=BO=12 BP∵∵OBC=∵OCB∵∵COP=2α由（1）知∵EOP=90°-2α∵∵EOC=∵COP+∵EOP=90°又由（1）知BO=EO∵EO=CO∵∵EOC是等腰直角三角形∵EO2+OC2=EC2∵EC OC BP即BP EC∵BP AE.10. 【2018·莆田市期中】（1）如图1的正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∵EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连接EF，AG．求证：EF=FG；（2）如图2，等腰Rt∵ABC中，∵BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∵MAN=45°．若BM=1，CN=3，求MN的长．【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：在正方形ABCD中，∵ABE=∵ADG，AD=AB，DG=BE，∵∵ABE∵∵ADG（SAS），∵∵BAE=∵DAG，AE=AG，∵∵EAG=90°，∵∵F AE∵∵GAF（SAS），∵EF=FG；（2）解：如图，过点C作CE∵BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．∵AB=AC，∵BAC=90°，∵∵B=∵ACB=45°．∵CE∵BC，∵∵ACE=∵B=45°．∵∵ABM∵∵ACE（SAS）．∵AM=AE，∵BAM=∵CAE．∵∵BAC=90°，∵MAN=45°，∵∵BAM+∵CAN=45°．由∵BAM=∵CAE，得∵MAN=∵EAN=45°．∵∵MAN∵∵EAN（SAS）．∵MN=EN．在Rt∵ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．∵MN2=BM2+NC2．∵BM=1，CN=3，∵MN2=12+32，∵MN=√10．11. 【2019·北师大附属中学期末】四边形ABCD是边长为4正方形，点E是边BC上一动点（含端点B，不含端点C），点F是正方形外角∵DCM的平分线上一点，且满足∵AEF＝90°．（1）当点E与点B重合时，直接写出线段AE与线段EF的数量关系；（2）如图1，当点E是边BC的中点时，∵补全图形；∵请证明（1）中的结论仍然成立；（3）取线段CF的中点N，连接DE、NE、DN，∵求证：EN＝DN；∵直接写出线段EN长度的取值范围．【答案】见解析．【解析】解：（1）当点E与点B重合时，AE=EF．（2）∵如图，∵如图，在AB上取AB中点H，连接HE，∵四边形ABCD是正方形∵AB＝CB，且点H是AB中点，点E是BC中点，∵AH＝BH＝BE＝CE，∵∵BEH＝∵BHE＝45°，∵∵AHE＝135°，∵CF平分∵DCM，∵∵DCF＝45°∵∵ECF＝135°＝∵AHE，∵∵AEF＝90°∵∵AEB+∵FEC＝90°，且∵AEB+∵BAE＝90°，∵∵BAE＝∵FEC，且AH＝EC，∵AHE＝∵ECF，∵∵AHE∵∵ECF（ASA）∵AE＝EF.（3）∵如图，延长DN，使HN＝DN，连接FH，EH，∵CN＝FN，∵DNC＝∵HNF，DN＝NH，∵∵DCN∵∵HFN（SAS）∵DC＝FH，∵DCF＝∵FCM＝45°，∵FH∵DC，且CD∵BC，∵FH∵BM，∵∵FEM+∵EFH＝90°，且∵FEM＝∵BAE，∵BAE+∵DAE＝90°，∵∵DAE＝∵EFH，∵AD＝CD，CD＝FH，∵AD＝FH，且AE＝EF，∵DAE＝∵EFH，∵∵ADE∵∵FHE，∵DE＝EH，且DN＝NH，∵EN＝DN.∵∵DE＝EH，DN＝NH，∵EN＝DN，EN∵DN∵DE EN，∵点E是边BC上一动点（含端点B，不含端点C），∵4＜DE，∵2＜EN≤4.12. 【2019·宿迁市期末】（1）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E 是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN∵DM，垂足为M，且MN=DM．设OM=a，请你利用基本活动经验直接写出点N的坐标______（用含a的代数式表示）；（2）如果（1）的条件去掉“且MN=DM”，加上“交∵CBE的平分线与点N”，如图2，求证：MD=MN．将这个问题解决，请写出你的证明过程．（3）在（2）的条件下，如图3，请你继续探索：连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：∵FM 的长度不变；∵MN平分∵FMB，请你指出正确的结论，并给出证明．【答案】（1）N（2+a，a）；（2）（3）见解析.【解析】（1）解：过点N作NE∵OB于E，∵∵DMN=90°，∵∵DMO+∵NME=90°，∵NME+∵MNE=90°，∵∵DMO=∵MNE，∵DM=MN，∵∵DMO∵∵MNE，∵ME=DO=2，NE=OM=a，∵OE=OM+ME=2+a，∵点N坐标（2+a，a），故答案为：（2+a，a）．（2）证明：在OD上截取OH=OM，连接HM，∵OD=OB，OH=OM，∵HD=MB，∵OHM=∵OMH，∵∵DHM=180°-45°=135°，∵NB平分∵CBE，∵∵NBE=45°，∵∵NBM=180°-45°=135°，∵∵DHM=∵NBM，∵∵DMN=90°，∵∵DMO+∵NMB=90°，∵∵HDM+∵DMO=90°，∵∵HDM=∵NMB，∵∵DHM∵∵MBN，∵DM=MN．（3）结论：MN平分∵FMB成立．理由：在BO延长线上取OA=CF，易证：∵DOA∵∵DCF，∵AD=DF，∵ADO=∵CDF，∵∵MDN=45°，∵∵CDF+∵ODM=45°，∵∵ADO+∵ODM=45°，∵∵DMA∵∵DMF，∵∵DFM=∵DAM=∵DFC，过M作MP∵DN于P，则∵FMP=∵CDF，由（2）可知∵NMF+∵FMP=∵PMN=45°，∵∵NMB=∵MDH，∵MDO+∵CDF=45°，∵∵NMB=∵NMF，即MN平分∵FMB．13. 【2019·福州市期末】如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF∵EC，且EF＝EC，连接AF．求∵EAF 的度数；如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．求证：BD＝AF＋2DM．【答案】见解析.【解析】(1)解：过点F 作FM∵AB 交AB 的延长线于点M，∵四边形ABCD 是正方形，∵∵B＝∵M＝∵CEF＝90°，∵∵MEF＋∵CEB＝90°，∵CEB＋∵BCE＝90°，∵EC＝EF，∵∵EBC∵∵FME，∵FM＝BE，∵EM＝BC∵BC＝AB，∵EM＝AB，∵EM﹣AE＝AB﹣AE∵AM＝BE，∵FM＝AM，∵FM∵AB，∵∵MAF＝45°，∵∵EAF＝135°．(2)证明：过点F 作FG∵AB 交BD 于点G，由(1)可知∵EAF＝135°，∵∵ABD＝45°∵∵EAF＋∵ABD＝180°，∵AF∵BG，∵FG∵AB，∵四边形ABGF 为平行四边形，AF＝BG，FG＝AB，∵AB＝CD，∵AB∵CD，∵FG∵CD，∵∵FGM＝∵CDM，∵∵FMG＝∵CMD∵∵FGM∵∵DMC(AAS)，∵GM＝DM，∵DG＝2DM，∵BD＝BG＋DG＝AF＋2DM．14. 【2019·漯河市期中】如图1，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接AP，过点B作BQ∵AP交CD于点Q，将∵BQC沿BQ所在的直线对折得到∵BQC'，延长QC′交BA的延长线于点M．（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；（2）求证：MQ＝MB；（3）若AB＝3，BP＝2PC，求QM的长．【答案】见解析.【解析】（1）解：结论：AP＝BQ．理由：∵四边形ABCD是正方形，∵AB＝BC，∵ABC＝∵C＝90°，∵∵ABQ+∵CBQ＝90°．∵BQ∵AP，∵∵P AB+∵QBA＝90°，∵∵P AB＝∵CBQ．∵∵PBA∵∵QCB，（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∵DC∵AB，∵∵CQB＝∵QBA．由折叠可得：∵C′QB＝∵CQB，∵∵QBA＝∵C′QB，∵MQ＝MB．（3）解：过点Q作QH∵AB于H，∵四边形ABCD是正方形，∵QH＝BC＝AB＝3．∵BP＝2PC，∵BP＝2，PC＝1，由勾股定理得：BQ＝AP BH＝2．∵四边形ABCD是正方形，∵DC∵AB，∵∵CQB＝∵QBA，由折叠可得：∵C′QB＝∵CQB，∵∵QBA＝∵C′QB，∵MQ＝MB．设QM＝x，则有MB＝x，MH＝x﹣2．在Rt∵MHQ中，由勾股定理，x2＝（x﹣2）2+32，解得x＝134．∵QM的长为13 4.15. 【2019·黑龙江秋实中学期中】如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，以BD为斜边作直角三角形BED，∵BED=90°，连结AE、CE、OE.（1）如图∵,请直接写出线段OE与线段AC的数量关系；（2）如图∵,延长EO交AD于H,连AG与HC,若AE=CE,求证：四边形AGCH是菱形.图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）AC=2OE；∵四边形ABCD是矩形，∵AC=BD，O是BD、AC的中点∵∵BED=90°，∵2OE=BD=AC；（2）由（1）知，O是AC中点，∵AE=CE，∵EH∵AC，∵四边形ABCD是矩形，∵AD∵BC，∵∵OAH=∵OCG，在∵AOH和∵COG中，∵AO=OC，∵OAH=∵OCG，∵AOH=∵COG，∵∵AOH∵∵COG，∵AH=CG，∵四边形AGCH为平行四边形，∵EH∵AC，∵四边形AGCH为菱形.16. 【2019·禹城市期末】如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A、B重合），另一直角边与∵CBM的平分线BF相交于点F．（1）如图1，当点E在AB边得中点位置时：∵通过测量DE、EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是．∵连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是，请证明你的猜想．（2）如图2，当点E在AB边上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵DE＝EF；∵NE＝BF；理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∵AD＝AB，∵DAB＝∵ABC＝90°，∵N，E分别为AD，AB中点，∵AN＝DN＝12AD，AE＝EB＝12AB，∵DN＝BE，AN＝AE，∵∵DEF＝90°，∵∵AED+∵FEB＝90°，∵∵ADE+∵AED＝90°，∵∵FEB＝∵ADE，∵AN＝AE，∵∵ANE＝∵AEN，∵∵A＝90°，∵∵ANE＝45°，∵∵DNE＝180°﹣∵ANE＝135°，∵∵CBM＝90°，BF平分∵CBM，∵∵CBF＝45°，∵EBF＝135°，∵∵DNE∵∵EBF，∵DE＝EF，NE＝BF．（2）DE＝EF，理由如下：连接NE，在DA边上截取DN＝EB，∵四边形ABCD是正方形，DN＝EB，∵AN＝AE，∵∵AEN为等腰直角三角形，∵∵ANE＝45°，∵∵DNE＝180°﹣45°＝135°，∵BF平分∵CBM，AN＝AE，∵∵EBF＝90°+45°＝135°，∵∵DNE＝∵EBF，∵∵NDE+∵DEA＝90°，∵BEF+∵DEA＝90°，∵∵NDE＝∵BEF，∵∵DNE∵∵EBF，∵DE＝EF．17. 【2019·费县期末】在平行四边形ABCD中，∵BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明：CE＝CF；（2）若∵ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），求出∵BDG的度数；（3）若∵ABC＝120°，FG∵CE，FG＝CE，分别连接DB、DG（如图3），求∵BDG的度数．【答案】见解析.【解析】解：证明：（1）∵AF平分∵BAD，∵∵BAF＝∵DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∵AD∵BC，AB∵CD，∵∵DAF＝∵CEF，∵BAF＝∵F，∵∵CEF＝∵F．∵CE＝CF．（2）连接GC、BG，∵四边形ABCD为平行四边形，∵ABC＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∵AF平分∵BAD，∵∵DAF＝∵BAF＝45°，∵∵DCB＝90°，DF∵AB，∵∵DF A＝45°，∵ECF＝90°∵∵ECF为等腰直角三角形，∵G为EF中点，∵EG＝CG＝FG，CG∵EF，∵∵ABE为等腰直角三角形，AB＝DC，∵BE＝DC，∵∵CEF＝∵GCF＝45°，∵∵BEG＝∵DCG＝135°∵∵BEG∵∵DCG，∵BG＝DG，∵CG∵EF，∵∵DGC+∵DGA＝90°，又∵∵DGC＝∵BGA，∵∵BGA+∵DGA＝90°，∵∵DGB为等腰直角三角形，∵∵BDG＝45°．（3）延长AB、FG交于H，连接HD．∵AD∵GF，AB∵DF，∵四边形AHFD为平行四边形∵∵ABC＝120°，AF平分∵BAD∵∵DAF＝30°，∵ADC＝120°，∵DF A＝30°∵∵DAF为等腰三角形∵AD＝DF，∵CE＝CF，∵平行四边形AHFD为菱形∵∵ADH，∵DHF为全等的等边三角形∵DH＝DF，∵BHD＝∵GFD＝60°∵FG＝CE，CE＝CF，CF＝BH，∵BH＝GF∵∵BHD∵∵GFD，∵∵BDH＝∵GDF∵∵BDG＝∵BDH+∵HDG＝∵GDF+∵HDG＝60°．18. 【2019·抚顺市期中】∵ABC中，∵BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，∵BC与CF的位置关系为：．∵BC，CD，CF之间的数量关系为：；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论∵，∵是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB＝，CD＝14 BC，请求出GE的长．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵正方形ADEF中，AD＝AF，∵∵BAC＝∵DAF＝90°，∵∵BAD＝∵CAF，∵AB=AC，∵∵DAB∵∵F AC，∵∵B＝∵ACF，∵∵ACB+∵ACF＝90°，即BC∵CF；故答案为：垂直；∵∵DAB∵∵F AC，∵CF＝BD，∵BC＝BD+CD，∵BC＝CF+CD；故答案为：BC＝CF+CD；（2）CF∵BC成立；BC＝CD+CF不成立，CD＝CF+BC．理由如下：∵正方形ADEF中，AD＝AF，∵∵BAC＝∵DAF＝90°，∵∵BAD＝∵CAF，∵AB=AC，∵∵DAB∵∵F AC，∵∵ABD＝∵ACF，∵∵BAC＝90°，AB＝AC，∵∵ACB＝∵ABC＝45°．∵∵ABD＝180°﹣45°＝135°，∵∵BCF＝∵ACF﹣∵ACB＝135°﹣45°＝90°，∵CF∵BC．∵CD＝DB+BC，DB＝CF，∵CD＝CF+BC．（3）解：过A作AH∵BC于H，过E作EM∵BD于M，EN∵CF于N，∵∵BAC＝90°，AB＝AC，∵BC＝4，AH＝12BC＝2，∵CD＝14BC＝1，CH＝12BC＝2，∵DH＝3，由（2）得BC∵CF，CF＝BD＝5，∵四边形ADEF是正方形，∵AD＝DE，∵ADE＝90°，∵BC∵CF，EM∵BD，EN∵CF，∵四边形CMEN是矩形，∵NE＝CM，EM＝CN，∵∵AHD＝∵ADE＝∵EMD＝90°，∵∵ADH+∵EDM＝∵EDM+∵DEM＝90°，∵∵ADH＝∵DEM，∵∵ADH∵∵DEM，∵EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，∵CN＝EM＝3，EN＝CM＝3，∵∵ABC＝45°，∵∵BGC＝45°，∵∵BCG是等腰直角三角形，∵CG＝BC＝4，∵GN＝1，由勾股定理得：EG。

【人教版八年级下册数学教案全册】人教版八年级下册数学教案【优秀4篇】

【人教版八年级下册数学教案全册】人教版八年级下册数学教案【优秀4篇】人教版八年级下册数学教案篇一教学目标：一、知识与技能1、从现实情境和已有的知识、经验出发、讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数、函数概念的理解。

2、经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。

二、过程与方法1、经历对两个变量之间相依关系的讨论，培养学生的辨别唯物主义观点。

2、经历抽象反比例函数概念的过程，发展学生的抽象思维能力，提高数学化意识。

三、情感态度与价值观1、经历抽象反比例函数概念的过程，体会数学学习的重要性，提高学生的学习数学的兴趣。

2、通过分组讨论，培养学生合作交流意识和探索精神。

教学重点：理解和领会反比例函数的概念。

教学难点：领悟反比例的概念。

教学过程：一、创设情境，导入新课活动1问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有什么共同特点？(1)京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t(单位：h)随该列车平均速度v(单位：km/h)的变化而变化；(2)某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长为y随宽x的变化；(3)已知北京市的总面积为1、68×104平方千米，人均占有土地面积S(单位：平方千米/人)随全市人口n(单位：人)的变化而变化。

师生行为：先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流。

学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看着函数，了解所讨论的函数的表达形式。

教师组织学生讨论，提问学生，师生互动。

在此活动中老师应重点关注学生：①能否积极主动地合作交流。

②能否用语言说明两个变量间的关系。

③能否了解所讨论的函数表达形式，形成反比例函数概念的具体形象。

分析及解答：其中v是自变量，t是v的函数；x是自变量，y是x的函数；n是自变量，s是n的函数；上面的函数关系式，都具有的形式，其中k是常数。

二、联系生活，丰富联想活动2下列问题中，变量间的对应关系可用这样的函数式表示？(1)一个游泳池的容积为20__m3，注满游泳池所用的时间随注水速度u 的变化而变化；(2)某立方体的体积为1000cm3，立方体的高h随底面积S的变化而变化；(3)一个物体重100牛顿，物体对地面的压力p随物体与地面的接触面积S的变化而变化。

初中八年级下册数学知识点

初中八年级下册数学知识点
1. 勾股定理：勾股定理是一个基本的几何定理，用于描述直角三角形中三条边的关系。

在八年级下册，学生将学习如何使用勾股定理解决实际问题。

2. 二次根式：二次根式是数学中的一种表达式，表示一个数的平方根。

学生需要掌握二次根式的性质、运算规则以及与实数的关系。

3. 一元二次方程：一元二次方程是包含一个未知数的二次方程。

学生需要掌握一元二次方程的解法、应用以及与现实生活的关系。

4. 平面直角坐标系：平面直角坐标系是一个基本的数学工具，用于描述平面上的点的位置。

学生需要掌握如何使用坐标系表示点的位置，以及如何通过坐标系解决实际问题。

5. 一次函数与反比例函数：一次函数和反比例函数是两种基本的函数形式。

学生需要掌握它们的性质、图像以及在实际生活中的应用。

6. 数据的收集与整理：学生需要掌握如何收集和整理数据，以及如何使用图表来表示数据。

这将帮助他们更好地理解和分析现实生活中的问题。

以上是初中八年级下册数学的主要知识点。

在学习过程中，学生需要注重理解和应用，通过大量的练习来巩固所学知识。

人教版八年级数学下册第16章二次根式重难点解析(含答案)

二次根式重难点解析1．二次根式的定义:一般地,0)a ≥叫做二次根式,可以从以下几个方面理解：（1a 可以是一个非负数，也可以是代数式，这个代数式的值必（2）0)a ≥既是二次根式，又表示非负数a 的算术平方根，0≥.2．二次根式的基本性质: 2(0)a a =≥，该公式也可以倒过来,即2(0)a a =≥,也就是说,可以利用它把任何一个非负数或式子写成一个数或式子的平方的形式.3．积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.4．商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.例1 函数1y x=+x 的取值范围是 . 解：变量x 的取值范围,须使120x -≥(即被开方熟大于或者等于零)且10x +≠(即分母不等于零),即12x ≤且x≠-1. 所以应填12x ≤且x≠-1. 评注：①考虑二次根式有意义；②考虑分式有意义，只有同时有意义，才能求出自变量的取值范围.例2 已知x ＞2,( ).(A)x-2 (B)x+2 (C)-x-2 (D)2-x解：选(A)=,∵x ＞2,=x-2故应选(A)评注：解此类题,被开方数能化成完全平方式的.可根据2(0)a a =≥进行化简.例3 已知a ＞b,( )(A) -(B)-(C)(D) 解：选(D).评注：理解并熟练运用2(0)a a =≥,化简二次根式时,要判断或讨论根号内字母的符号,然后进行化简.此题也可以根据二次根式化简的法则,采取观察、分析符号两个步骤，运用排除法解答：（1）观察被开方数：由于被开方数中只有平方因式可以从根号内移到根号外，根号内的符号并不发生变化，观察原根式内的符号易知根号内不可能去掉负号，故可排除(B)、(C)；（2ab ＜0,而a ＞b,故a ＞0,观察原来根号外为省略的“+”号，应保持正数性，故根号外必为a ，综合可得.例4 若x 、y为实数，且12y x =+解: 由x 的取值范围可知: 22404020x x x ⎧-≥⎪-≥⎨⎪+≠⎩∴x=2，y=1342==. 评注：本题实际是通过题目中的隐含条件：240x -≥，240x -≥，20x +≠，即x 的取值范围，求出x 和y 的值.例5把(a -(a-1)移到根号内得( )(A) (B) (C) (D) 解: 根据二次根式的定义,被开方数11a -≥0,即a-1＞0∵(a -=故选(A) 评注：根号外面的因式移到根号内,运用根式化简的逆向思维,即2(0)a a =≥,所以应选判断(a-1)的正负,若为正,则把这个数写成它的平方移到根号内.课堂检测1、已知y +6，则y x＝ .2、已知3x -+y 2+4y ＝0，求x y z x y z -+++的值.3a 、x 、y 是两两不同的实数，求22223yxy x y xy x +--+的值.4、若实数x 、y 、a ，试问长度分别为x 、y 、a 的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由.参考答案1、根据二次根式的被开方数是一个非负数，可得3－x ≥0且x －3≥0，即x ≤3且x ≥3，所以x 只能等于3，所以y ＝6.故y x ＝63＝2.2、本题可变形为3x -+(y +2)20，因为是三个非负数的和为0，所以x －3＝0，y +2＝0，z －1＝0，即x ＝3，y ＝－2，z ＝1，故x y z x y z -+++＝3(2)1321--+-+＝3.3、由a (x －a )≥0及x －a ≥0得a ≥0；由a (y －a )≥0及a －y ≥0得a ≤0，故a ＝0，，x ＝－y ≠0，故原式＝2222223y y y y y y ++--＝31. 4、由x +y －8≥0，8－x －y ≥0，得x +y ≥8，x +y ≤8.所以8≤x+y ≤8，x +y ＝8.这时，已知等式即为+＝0.因为≥0，，00.从而3x －y －a ＝0，x －2y +a +3＝0.这两个等式相加，得4x －3y ＝－3.联立x +y ＝8和4x －3y ＝－3，得8,43 3.x y x y +=⎧⎨-=-⎩解得3,5.x y =⎧⎨=⎩这时a ＝3x －y ＝4.因为x 、y 、a 中的任意两者的值大小第三者的值，所以长度分别为x 、y 、a 的三条线段能组成一个三角形.因为x 2+a 2＝y 2，所以长度分别为x 、y 、a 的三条线段能组成一个直角三角形，且两条直角边的长度分别为3、4.所以该三角形的面积值＝3×4÷2＝6.。

浙教版八年级数学下册各章节知识点及重难点整理(最新版)

的形式；
；反过来，也可以将一个
3、表示的算术平方根，因此有
，可以是任意实数；
4、区别
和
的不同：
中的可以取任意实数，
中的只能是一个非负数，否则
5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：
无意义．
（1）因式的内移：因式内移时，若
，则将负号留在根号外．即：
．
（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：
a b ( a b)( a b)
ab
7.关于具有双重根号的二次根式。
如：
,
二.重点和难点：重点：二次根式的运算。
难点：1.混合运算以及应用。
2.二次根式的内移和外移。
3.二次根式的大小比较。
【难点指导】
1、如果是二次根式，则一定有
；当
时，必有
；
2、当
时，表示的算术平方根，因此有
非负数写成
式也可以反过来应用：若
，则
，如：
，
.
知识点五：二次根式的性质
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：
1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正数或 0，则等于
a 本身，即
；若 a 是负数，则等于 a 的相反数-a,即
；
2、中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值，一定有意义；
数式，这个过程叫做分母有理化。
(1)形如： b b a b a 或 c c • a b c a b
a a• a a
ab ab• ab ab
(2)形如：
c
c • (a b)
c(a

八年级下册数学重难点知识点

八年级下册数学重难点知识点数学是一门需要系统学习和沉淀的学科，而在八年级下册数学中，有许多重难点的知识点需要我们重点掌握和理解。

本文将对这些重难点进行细致的分析和总结，希望对大家的学习有所帮助。

一、知识点一：有理数的加减有理数是数学中一个比较特殊的概念，它包含了整数和分数。

而有理数的加减，则是八年级下册数学中的一个重要知识点。

在进行有理数的加减时，需要注意以下几点：1. 同号相加减，异号相加减。

同号相加减，先把绝对值相加，再在结果前面加上相同的符号。

异号相加减，先把绝对值相减，再把较大的绝对值前面加上它们的符号。

2. 将减法转化为加法。

将减数加上它的相反数，所得的和就是减法的结果。

3. 将加法变形。

对于有理数的多个加数相加，可以通过改变加法顺序，将其变成多次两个有理数的加法相加。

比如：(1+2+3+4) = (1+4) + (2+3) = 5+5 = 10。

二、知识点二：一次函数的图像和性质一次函数是数学中一个比较基础的概念，其图像为一条直线。

在八年级下册数学中，我们需要掌握一次函数的图像及其相关性质。

以下是一些需要注意的重点：1. 一次函数的一般式为y = kx + b，其中k和b为常数，确定了一次函数的图像。

2. 对于一次函数y = kx + b，k称为斜率，b称为截距。

斜率表示函数在直线上的倾斜程度，截距表示函数与y轴的交点。

3. 一次函数的图像是一条直线，它可以表示物体的匀速运动。

三、知识点三：三角形的面积和周长三角形是数学中的一个比较重要的概念，而三角形的面积和周长则是八年级下册数学的重难点知识点。

以下是一些需要注意的重点：1. 三角形的周长是三边长度的和。

2. 对于任意三角形，都有海伦公式：设三角形的三边长为a,b,c，p为它的半周长，则它的面积S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))。

3. 对于直角三角形，根据勾股定理可求出它的斜边长度和面积。

四、知识点四：平移、旋转和翻折平移、旋转和翻折是数学中的三个基本变换。

人教八年级下册数学教案五篇

人教八年级下册数学教案五篇在我们的教学当中可能会发现有些学生对数学有厌学心理，所以我们的教学设计就要激发通过性们对数学的兴趣，降低数学学习的难度。

下面是小编整理的人教八年级下册数学教案5篇，欢迎大家阅读分享借鉴，希望大家喜欢，也希望对大家有所帮助。

人教八年级下册数学教案1教学目标1.学生通过操作掌握长方体和正方体的表面积的概念，并初步掌握长方体和正方体表面积的计算方法。

2.会用求长方体和正方体表面积的方法解决生活中的简单问题。

3.培养学生分析能力，发展学生的空间概念。

教学重难点掌握长方体和正方体表面积的计算方法。

教学工具长方体、正方体纸盒，剪刀，投影仪教学过程【复习导入】1.什么是长方体的长、宽、高?什么是正方体的棱长?2.指出长方体纸盒的长、宽、高，并说出长方体的特征。

指出正方体的棱长，并说出正方体的特征。

【新课讲授】1.教学长方体和正方体表面积的概念。

(1)请同学们拿出准备好的长方体纸盒，在上面分另标出“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”六个面。

师生共同复习长方形的特征。

请同学们沿着长方体纸盒的前面和上面相交的棱剪开，得到右面这幅展开图。

(2)请同学们拿出准备好的正方体纸盒，分别标出“上、下、前、后、左、右”六个面，然后师生共同复习正方体的特征。

让学生分别沿着正方体的棱剪开。

得到右面正方体展开图。

(3)观察长方体和正方体的的展开图，看看哪些面的面积相等，长方体中每个面的长和宽与长方体的长、宽、高有什么关系?观察后，小组议一议。

引导学生总结长方体的表面积概念。

长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。

2.学习长方体和正方体表面积的计算方法。

(1)在日常生活和生产中，经常需要计算哪些长方体或正方体的表面积?(2)出示教材第24页例1。

理解分析，做一个包装箱至少要用多少平方米的硬纸板，实际上是求什么?(这个长方体饭包装箱的表面积)先确定每个面的长和宽，再分别计算出每个面的面积，最后把每个面的面积合起来就是这个长方体的表面积。