直角三角形斜边中线等于斜边一半性质
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
1、已知Rt△ABC中，斜边AB=10cm，则斜边上
5cm 的中线的长为______
2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， 50° ∠CDA=80°，则∠A=_____ ∠B= _____ 40°
D B C
训练营
A
已知 如图: △ABC是Rt△， ∠ABC=Rt∠， BD是斜边AC上的中线 1 若BD=3㎝，则AC＝ 6 ㎝
AC
证明: 延长BO至D,使OD=BO,
A O B
D
Байду номын сангаас
连结AD、DC.
∵AO=OC, BO=OD
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90 °
C
∴□ABCD是矩形
∴AC=BD
∴BO=
1 2
BD=
1 2
AC
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B
数学语言表述为：
在Rt△ABC中 D
∵CD是斜边AB上的中线 1 ∴CD＝AD＝BD＝ AB C A 2 （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
B
D
┓
C
2 若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝ BD＝ 5 ㎝，∠BDC＝
10
㎝，
120°
3 判断△ABD形状： 等边三角形 判断△CBD形状： 等腰三角形
3、如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的 中点，试判断DE与CE是否相等，并说明理
直角三角形斜边中线等于斜边一半证明
直角三角形斜边中线等于斜边一半证明
证明直角三角形斜边中线等于斜边一半：
一、定义要证明的定理
定理：直角三角形斜边中线等于斜边一半。
二、正式证明
1.（已知条件）设A、B、C都是正弦三角形，其中角B为直角；
2.（证明步骤 I）将正三角形分为两个直角三角形，即 ABC、BCA；
3. （证明步骤 II）令BC是满足正弦三角形直角三角形ABC中边CA 的中线；
4.（证明步骤 III）由三角形相似定理知：
（1）BCA与ABC是由边A的垂线和边C的角平分线分成的两个相似或等腰三角形。
（2）设角B ≜ α、角A ≜ β，则有α = β = 90°；
（3）又BCA 与ABC 共有角α，则有α≜α；
（4）故有sinα=sinα；
（5）由弦垂切定理知，有BC/AC=sinα/cosα=1/cosα；
（6）又由弦垂切定理知，有AC/BC=cosα/sinα=1/sinα；
（7）合并两种结果，得AC=BC；
5. （证明步骤 IV）再由已知AB是直角三角形ABC的斜边，有AB=AC+BC=2*BC；
6.（证明步骤 V）综上所述，直角三角形斜边中线等于斜边一半。
三、结论
根据上面的证明，得出结论：直角三角形斜边中线等于斜边一半。
直角三角形斜边中线等于斜边一半的证明方法
直角三角形斜边中线等于斜边一半的证明方法直角三角形的斜边中线是连接斜边中点和对顶顶点的线段，在某些情况下可以等于斜边的一半。下面是证明方法：
设直角三角形ABC的斜边为c，AB=a，AC=b，斜边中点为D，对顶顶点为E。则有：
DE = AE - AD （由向量减法可得）
由勾股定理可知：
a^2 + b^2 = c^2
因为D是c的中点，所以AD = DC = c/2
故：
AE^2 = AD^2 + DE^2
代入DE = AE - AD，得：
AE^2 = AD^2 + (AE - AD)^2
化简得：
AE^2 = 2AD^2 + 2AE * AD - AD^2
移项得：
AE^2 - AD^2 = 2AE * AD
代入AE = c/2，AD = c/2，得：
(c/2)^2 - (c/2)^2 = 2 * (c/2) * (c/2)
化简得：
c^2/4 = c^2/4
因此，我们证明了斜边中线等于斜边一半的结论。
注：这个结论只在直角三角形中成立。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半例题
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半例题
全文共四篇示例，供读者参考
第一篇示例：
在中学数学课堂上，直角三角形是一个非常常见的几何形状。直
角三角形的特点是其中一个角为直角（90度），而其他两个角则为锐角和钝角，另外两条边分别为斜边和两条直角边。直角三角形的性质
十分有趣，其中有一条性质是斜边上的中线等于斜边的一半。这个性
质看似简单，但需要一些几何知识和推理来证明。
让我们来了解一下中线是什么。在一个三角形中，中线是连接一
个角的顶点和对边中点的线段。对于直角三角形来说，如果我们将斜
边一分为二，使之成为等分线，那么这条等分的线段就是斜边上的中线。
接下来，让我们来证明斜边上的中线等于斜边的一半。假设我们
有一个直角三角形ABC，其中角A为直角，AB和AC分别为直角边，BC为斜边。我们需要证明BD（BC的中线）等于BC的一半。
我们可以得出直角三角形ABC中的角B和角C分别为锐角和钝角。根据直角三角形的性质，角B和角C的和为90度，即B+C=90度。又因为直角三角形中，直角边的对边相等，所以AB=AC。
我们可以得出结论：斜边上的中线等于斜边的一半。在这个例子中，BD等于BC的一半，也就是说斜边BC的中线等于一半的斜边BC。
这个性质在几何学中有许多应用，特别是在解题时。通过掌握这个性质，我们可以更快地解决直角三角形的问题，提高我们的数学能力和解题速度。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是一个十分有趣的几何性质。通过几何推理和证明，我们可以更深入地理解这个性质，并在实际问题中灵活运用。希望同学们在学习数学的过程中，能够多多探索，多多实践，不断提升自己的数学水平。【2000字】
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半逆定理
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半逆定理
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半逆定理:
1、定义：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半逆定理是指，在一个直角三
角形中，当斜边上的中线的长度等于斜边的一半时，三个非对边的角
的大小正好正比与斜边。
2、证明：
考虑直角三角形ABC，设斜边AB的中点为M，请证明，当中点M坐
标等于AB斜边一半时，三角形ABC中除A与C外的角比AB：80：60。
首先证明，给定斜边AB的中点M，AM＝MB，也就是说有AM＝MB
＝A M。由文中给出：50＝ AB＝2A M，得到AM＝A M＝25，因此在
AB之间存在点M，而MAB为等腰三角形，得出AM＝AB－BM＝AB
－AM，即得出AM＝AB－AB÷2＝25．
接下来证明，M坐标为25时，BAC角的大小正好正比与AB。首先证明，B是一个内角，ABM和BCM在等腰三角形中构成两个等腰三角形，分别有AB＝AM，BC＝CM，得出AM＝BC，即AB和BC相等，因此三角形ABC中B为内角，此时BAC角的大小满足
BA：AC＝AB：BC＝1：1。又由于AB＝50，AM＝25，所以
BA：AC＝AM：AC＝50：AC;
最后证明，AC的大小正好正比与AB，由上一步可得，AC＝50－
25=25，因此AC的大小正好等于斜边AB的一半，故结论得证，即当中点M坐标等于AB的一半时，所有的三角形就变成了等腰三角形，三个非对边的角的大小正好正比与斜边。
结论：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半逆定理，即中点M坐标等于AB斜边一半时，三角形ABC中除A与C外的角比AB：80：60。
直角三角形斜边中线等于斜边一半的证明方法
直角三角形斜边中线等于斜边一半的证明方法我们知道，直角三角形的斜边是直角三角形中最长的一边，斜边中线是斜边上一点到对角线中点的线段。现在我们来证明，在直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半。
假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，斜边中
点为M。由勾股定理可得a+b=c，再根据中点定理可得M是c的中点。
接下来，我们可以利用几何知识来证明斜边中线等于斜边的一半。
首先，连接M和直角顶点C，得到线段MC和MC的长度为c/2。
其次，我们可以通过连接M和两条直角边的垂线来证明MC等于
直角边的平均值。
具体来说，连接M与直角边a上的垂线交于点D，连接M与直角边b上的垂线交于点E。由于直角三角形中，直角边与斜边的垂线相交于斜边上不同的点，所以我们得到了三个直角三角形，它们的底边分别是a、b和c/2，它们的高都是相等的，即等于MC。
由此可得：直角三角形中，MC等于AD和BE的平均值，即MC = (AD+BE)/2。又因为AD和BE分别等于a/2和b/2，所以得到MC = c/2，即斜边中线等于斜边的一半，证毕。
因此，我们通过几何知识的运用，证明了直角三角形斜边中线等于斜边的一半。
- 1 -
在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半
在直角三角形中斜边上的中线等
于斜边的一半
没错，这就是直角三角形斜边中线定理的逆定理。直角三角形斜边中线定理是数学中关于直角三角形的一个定理。具体内容是:如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
定理：如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
逆命题1:如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，这条边是直角三角形的斜边。
逆命题1是正确的。以这条边的中点为圆心，中线的长度为半径为圆，边就成了圆的直径，三角形的另一个顶点在圆上，顶角就是圆周角。因为直径上的圆周角是直角，所以逆命题1成立。
中线定理是一个数学原理，意思是三角形中线的对边的平方和等于底边的一半平方和那一边中线的两倍平方之和。
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 的证明
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的证明对于一个直角三角形ABC，设斜边为AC，其中M为AC的中点，连接BM。
由于AC是直角三角形ABC的斜边，所以角BAC为直角。
根据勾股定理可得：
AB + BC = AC
又因为BM是AC的中线，所以AM=MC。
将AM和MC代入BC=AC-AB中得：
BC = (AM+MC)-AB
展开得：
BC = AM+2AM·MC+MC-AB
因为AM=MC，所以：
BC = 2AM+2AM-AB
又因为AM=MC=AC/2，所以：
BC = 2(AC/2)+2(AC/2)-AB
化简得：
BC = AC/2-AB/2
因为BM是AC的中线，所以AB=BC，代入上式得：
BC = AC/2-BC/2
化简得：
BC/2 = AC/4
即：
BC = AC/√2
因此，我们证明了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
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用证明全等三角形的方法证明（直角三角形不为等腰三角形）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
在三角形ABC中，∠A=90°，AD为BC边上的中线，做AB、AC的中点E、F，连接ED、DF，
因为BE=EA，BD=DC，
所以ED∥AC，
又因为，∠A=90°，
所以∠BED=90°，
∠BED=∠AED=90°，BE=AE，ED=ED（三角形全等：边角边）
所以，△BED≌△AED，
所以BD=AD，
同理AD=CD（△ADF≌△CDF），
所以AD=CD，
所以AD=BD=CD，
所以直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
2
定理证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
定理：证明直角三角形斜边中线等于斜边的一半。
设在直角三角形ABC 中，∠BAC=90 °AD，是斜边 BC 的中线，求证：AD=1/2BC 。【证法 1】
延长 AD 到 E，使 DE=AD ，连接 CE。
∵AD 是斜边 BC 的中线，
∴BD=CD，
又∵∠ADB= ∠EDC（对顶角相等），
AD=DE ，
∴△ADB ≌△EDC（SAS），∴AB=CE ，∠B= ∠DCE，∴AB//CE （内错角相等，两直线平行）
∴∠BAC+ ∠ACE=180 °（两直线平行，同旁内角互补）∵∠BAC=90 °，
∴∠ACE=90 °，∵AB=CE ，∠BAC=ECA=90 °，AC=CA ，
∴△ABC ≌△CEA（SAS）∴BC=AE ，∵AD=DE=1/2AE，∴AD=1/2BC。
【证法 2】
取AC 的中点 E，连接 DE。∵AD 是斜边 BC 的中线，∴BD=CD=1/2BC ，
∵E 是 AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE//AB （三角形的中位线平行于底边）
∴∠DEC= ∠BAC=90 °（两直线平行，同位角相等）
∴DE 垂直平分 AC，
∴AD=CD=1/2BC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
【证法 3】
延长 AD 到 E，使 DE=AD ，连接 BE、 CE。
∵AD 是斜边 BC 的中线，
∴BD=CD ，
又∵AD=DE ，
∴四边形 ABEC 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），∵∠BAC=90 °，
∴四边形 ABEC 是矩形（有一个角是90 °的平行四边形是矩形），
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半逆定理
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半逆定
理
直角三角形是一种特殊的三角形，它的一个角度为90度，另外两
个角度分别为锐角和钝角。在直角三角形中，斜边是与直角相对的边，而另外两边则被称为直角边。
有一个有趣而又重要的定理与直角三角形的斜边和中线之间的关
系密切相关。这个定理被称为“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”。
首先，让我们来看一下直角三角形中的斜边和中线是如何定义的。斜边是直角三角形的最长边，它位于直角的对角位置。中线可以通过
连接斜边的两个中点来得到，这条线将斜边分成两个等长的部分。
当我们将斜边切分为两个等长的部分后，我们可以发现这两个部
分与直角边的关系非常特殊。事实上，直角三角形斜边的中线恰好等
于斜边的一半长度。
为了更加深入地理解这个定理，我们可以从几何和数学的角度进
行解释。设直角三角形的斜边长度为c，直角边长度分别为a和b。根
据勾股定理，我们可以得到a²+b²=c²，其中a²表示直角边a的平方，
b²表示直角边b的平方，c²表示斜边c的平方。
当我们将斜边c划分为两个部分时，每个部分的长度为c/2。现在，我们可以利用勾股定理来证明斜边的中线等于斜边的一半。首先，我
们可以分别计算两个划分后的斜边部分的平方。
左边的部分为(c/2)²= c²/4，右边的部分为(c-c/2)² = (c/2)²=
c²/4。由于c²/4+c²/4=c²，我们可以看出两个部分的平方之和等于斜
边的平方。也就是说，通过连接斜边的两个中点得到的中线也满足勾
股定理。
这个定理在实际应用中具有重要的指导意义。我们可以利用这个
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明
取ac的中点e，连接de。取bc的中点d。∵ad是斜边bc的中线，∴bd=cd=1/2bc，
∵e是ac的中点，∴de是△abc的中位线，∴de//ab（三角形的中位线平行于底边）
∴∠dec=∠bac=90°（两直线平行，同位角相等）∴de垂直平分ac，∴ad=cd=1/2bc。
直角三角形斜边中线定理是数学中关于直角三角形的一个定理，具体内容为：如果一
个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
定理内容：
逆命题：
其逆命题1：如果一个三角形一条边的中线等同于这条边的一半，那么这个三角形就
是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。
逆命题1是正确的。以该条边的中点为圆心，以中线长为半径作圆，则该边成为圆的
直径，该三角形的另一个顶点在圆上，该顶角为圆周角。因为直径上的圆周角是直角，所
以逆命题1成立。
逆命题2：如果线段bd的一端b就是直角三角形abc的顶点，另一端d在斜边ac上，且bd等同于ac的一半，那么bd就是斜边ac的中线。
逆命题2是不成立的。举一个反例。设直角三角形三边长分别为ab=3，bc=4，ac=5。斜边的一半长为2.5,斜边上的高be=（3*4）/5=2.4,在线段ae上上必能找到一点d，使
bd=2.5，但bd并不是ac边的中线，因为ac边的中点在线段ec上。
逆命题3：若直角三角形斜边上一点与直角顶点的连线等同于该点分斜边税金两条线
段中任一一条时，该点为斜边中点。几何叙述：在rt△abc中，∠acb=90°，d就是斜边
直角三角形中,斜边中线等于斜边一半 两种证明
直角三角形中，斜边中线等于斜边一半两种证明-概
述说明以及解释
1.引言
1.1 概述
概述部分的内容应该对文章的主题进行简要介绍，并提供一些背景信息。在这篇长文中，我们将讨论直角三角形中的一个有趣现象：斜边的中线等于斜边的一半。这是一个具有一定难度和重要性的几何问题。
在人们学习几何的过程中，直角三角形是一个非常基础且重要的概念。我们都知道，直角三角形是由一个直角（90度角）和两个锐角（小于90度角）组成的三角形。其特点之一是斜边较长，并且在几何学中占有重要地位。
我们旨在通过两种不同的证明方法来展示这一有趣的现象。通过对直角三角形的结构和性质进行深入研究，我们将从理论角度解释为什么斜边的中线等于斜边的一半。这将有助于我们理解几何学中的一些基本概念和定理，并培养我们的证明能力和逻辑思维。
此外，本文还将探讨每种证明方法的假设和前提，详细介绍证明过程以及分析结果。我们还将对每种证明方法的结论进行总结，并提供对结果的分析和讨论。最后，我们将对我们的研究进行总结，并探讨研究的局限
性以及未来可能的展望。
通过深入研究直角三角形中斜边中线等于斜边一半的证明，我们希望读者可以更好地理解几何学中的一些基本概念和定理，并培养他们的证明能力和逻辑思维。本文的结论也将为几何学领域的研究提供一些新的思路和启示。
1.2文章结构
文章结构：
本文分为以下几个部分：引言、正文和结论。
在引言部分，首先对直角三角形的性质进行概述，包括直角三角形的定义、斜边、直角边和斜边中线的概念。接着介绍文章的结构，即正文中将会介绍两种证明直角三角形中斜边中线等于斜边一半的方法，并说明正文的目的以及预期的结果。最后对全文内容进行总结。
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
证明：延 长 C D 到 C ′ ，使 C ′ D = C D ，连 结 C ′ A
在△BDC和△ADC‘中 AD=BD，CD=C'D，∠BDC=∠ADC' ∴△BDC≡△ADC‘ ∴∠B=∠C'AB，BC=AC' ∵∠B+∠BAC=90° ∴∠BAC+∠C'AB=90° ∴∠C'AC=90° 在△ABC和△ACC'中 BC=AC'，AC=AC，∠ACB=∠CAC' ∴△ABC≡△CC'A ∴CC'=AB 所以AB=2ＣＤ
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B
数学语言表述为：
在Rt△ABC中
D
∵CD是斜边AB上的中线
百度文库∴CD＝AD＝BD＝
1 2
AB
A
C
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
1、已知Rt△ABC中，斜边AB=10cm，则斜边 上的中线的长为5_c_m____
2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中 线，∠CDA=80°，则∠A=5__0_°__ ∠B=_4_0_°__
D
B
C
3、如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为
AB的中点，试判断DE与CE是否相等，并
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半证明
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半证明
ΔABC是直角三角形,作AB的垂直平分线n交BC于D
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）
以DB为半径,D为圆心画弧,与BC在D的另一侧交于C'
∴DC’=AD=BD∴∠BAD=∠ABD ∠C’AD=∠AC’D （等边对等角）
又∵∠BAD+∠ABD+∠C’AD+∠AC’D =180°（三角形内角和定理）
∴∠BAD+∠C’AD=90°即：∠BAC’=90°
又∵∠BAC=90°
∴∠BAC=∠BAC’
∴C与C’重合（也可用垂直公理证明：假使C与C’不重合由于CA⊥AB,C’A⊥AB 故过A有CA、C’A两条直线与AB垂直这就与垂直公理矛盾∴假设不成立∴C与C’重合）
∴DC=AD=BD∴AD是BC上的中线且AD=BC/2这就是直角三角形斜边上的中线定理
证法2：
ΔABC是直角三角形,AD是BC上的中线,作AB的中点E,连接DE
∴BD=CB/2,DE是ΔABC的中位线
∴DE‖AC（三角形的中位线平行于第三边）
∴∠DEB=∠CAB=90°（两直线平行,同位角相等）
∴DE⊥AB
∴E是AB的垂直平分线
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）
∴AD=CB/2
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如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D 点，使AD= ，点E、F分别为பைடு நூலகம்BC、AC的 中点。
（1）求证：DF=BE； （2）过点A作AG∥BC，交DF于G。求证： AG=DG。
应用：如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点 A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M， CN⊥直线a于点N，连接PM、PN； （1）延长MP交CN于点E（如图2）．①求证： △BPM≌△CPE；②求证：PM=PN； （2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a 的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立， 请给予证明：若不成立，请说明理由； （3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件 不变，请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成 立吗？不必说明理由．
如图所示；过矩形ABCD的顶点A作一直线，交BC的延 长线于点E，F是AE的中点，连接FC、FD。 求证：∠FDA=∠FCB
如图2，在Rt△ABC中，∠C=900，AD∥BC， ∠CBE= ∠ABE，求证：DE=2AB
1.如图5，△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠CBD， BD⊥DE于D，DE交BC于E， 求证：CD= BE． 2．如图6，△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D， M是BC的 中点，求证：AB=2DM．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
已知，如图5，在△ABC中，∠BAC>90°，BD、CE分 别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证： ∠FED=∠FDE。
四边形 ABCD 中，BA⊥AC,BD⊥DC,E,F为边上中点。 如图所示， BD 、CE是三角形ABC的两条高，M、N 猜想 EFBC 与AD 的关系。 分别是 、DE 的中点 求证：MN⊥DE 猜想 MN与DE关系