高中数学：三角函数的诱导公式 (6)

1.3 三角函数的诱导公式(第一课时)

[教材研读]

预习课本P23～26，思考以下问题

1．给定一个角α，则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？

2．给定一个角α，则角－α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？

3．给定一个角α，则角π－α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？

[要点梳理]

1．诱导公式二

(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如右图所示．

(2)公式：sin(π＋α)＝－sinα，

cos(π＋α)＝－cosα，

tan(π＋α)＝tanα.

2．诱导公式三

(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．

如右图所示．

(2)公式：sin(－α)＝－sinα.

cos(－α)＝cosα.

tan(－α)＝－tanα.

3．诱导公式四

(1)角π－α与角α的终边关于y 轴对称． 如右图所示．

(2)公式：sin(π－α)＝sin α. cos(π－α)＝－cos α. tan(π－α)＝－tan α.

4．α＋k ·2π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．

[自我诊断]

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．诱导公式中角α是任意角. ( )

2．公式sin(－α)＝－sin α，α是锐角才成立．( ) 3．公式tan(π＋α)＝tan α中，α＝π

2不成立．( ) [★答案★] 1.× 2.× 3.√

题型一 给角求值问题

思考：sin30°＝________，cos30°＝________ sin45°＝________，cos45°＝________ sin60°＝________，cos60°＝________ sin90°＝________，cos90°＝________ 提示：12 32 22 22 32 1

2 1 0

求下列三角函数值：

(1)sin(－1200°)；(2)tan945°；(3)cos 119π

6.

[思路导引] 利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角(一般为特殊角)的三角函数．

[解] (1)sin(－1200°)＝－sin1200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－3

2.

(2)tan945°＝tan(2×360°＋225°) ＝tan225°＝tan(180°＋45°) ＝tan45°＝1.

(3)cos 119π

6＝cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫20π－π6

＝cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π6＝cos π6＝32.

利用诱导公式解决给角求值问题的步骤

【温馨提示】 明确各诱导公式的作用

求sin585°cos1290°＋cos(－30°)sin210°＋tan135°的值． [解] sin585°cos1290°＋cos(－30°)·sin210°＋tan135°＝sin(360°＋225°)·cos(3×360°＋210°)＋cos30°sin210°＋tan(180°－45°)＝

sin225°cos210°＋cos30°sin210°－tan45°＝sin(180°＋45°)cos(180°＋30°)＋cos30°·sin(180°＋30°)－tan45°＝sin45°cos30°－cos30°·sin30°－tan45°＝22×32－32×1

2－1

＝6－3－44. 题型二 化简求值问题

思考：化简cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝________.

提示：原式＝cos α·tan (π＋α)sin α＝cos α·tan α

sin α ＝cos α·sin αcos α

sin α＝sin α

sin α＝1. 故原式＝1.

化简下列各式．

(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；

(2)1＋2sin290°cos430°sin250°＋cos790°

.

[思路导引] 利用诱导公式一～四化简． [解] (1)原式

＝sin (2π－α)

cos (2π－α)·sin (－α)cos (－α)

cos (π－α)sin (π－α)

＝－sin α(－sin α)cos αcos α(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α. (2)原式

＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°)

＝1－2sin70°cos70°－sin70°＋cos70°＝|cos70°－sin70°|cos70°－sin70° ＝sin70°－cos70°cos70°－sin70°

＝－1.

三角函数式的化简方法

(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数． (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4. [跟踪训练] 化简下列各式．

(1)

cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α)

；

(2)cos190°·sin (－210°)cos (－350°)·tan (－585°)

. [解] (1)原式＝－cos α·sin α

－sin (π＋α)·cos (π＋α)

＝cos α·sin αsin α·cos α＝1.

(2)原式＝cos (180°＋10°)·[－sin (180°＋30°)]

cos (－360°＋10°)·[－tan (360°＋225°)]

＝－cos10°·sin30°cos10°·[－tan (180°＋45°)]＝－sin30°

－tan45° ＝12.

题型三 给值(或式)求值问题

思考：α－75°、105°＋α与特殊角有什么关系？能否通过诱导公式寻求α－75°与105°＋α的三角函数值之间的联系？

提示：105°＋α＝180°＋(α－75°)．可通过诱导公式二寻求联系．

已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝3

3，求cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫5π6＋α的值． [思路导引] 要寻找已知角与未知角之间的联系，然后采用诱导公式使未知角的三角函数用已知角的三角函数表示，从而得出结论．

[解] cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤

π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α

＝－cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π6－α＝－33.