人教版初三数学上册圆的概念和性质
第24章 圆-2022-2023学年九年级上册初三数学(人教版)宜昌专版
第24章圆-2022-2023学年九年级上册初三数学(人教版)宜昌专
版
1. 圆的基本概念
1.1 圆的定义
圆是由平面上距离一个点固定距离的所有点构成的集合。这个固定距离叫做圆的半径，圆心用字母O表示。
1.2 圆的要素
•圆心: 圆心是圆的中心点，用字母O表示。
•半径: 半径是从圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。
•直径: 直径是圆上任意两点之间通过圆心的线段的长度，直径的长度等于两倍的半径，用字母d表示。
•弦: 弦是圆上任意两点之间的线段。
•弧: 弧是圆上的一段弯曲部分，弧可以用弧所在的圆心角来度量。
2. 圆的性质
2.1 圆的周长与面积
圆的周长是圆上一周的长度，记为C。圆的面积是圆所包围的平面区域的大小，记为S。
•圆的周长公式：C = 2πr，其中，π≈3.14。
•圆的面积公式：S = πr²，其中，π≈3.14。
2.2 圆内角和定理
在一个圆中，对于任意弧所对应的圆心角，其度数等于弧所对应的弧度。
2.3 切线与切点
在一个圆中，从圆点到两个切点的线段叫做切线，用字母L表示。切点是切线与圆相交的点。
3. 圆的常见问题
3.1 判定圆内外部分
对于给定的一个点P，如何判断点P是在圆内、圆上还是在圆外？
•当点P在圆上时，点P到圆心的距离等于圆的半径，即OP = r。
•当点P在圆内时，点P到圆心的距离小于圆的半径，即OP < r。
•当点P在圆外时，点P到圆心的距离大于圆的半径，即OP > r。
3.2 判定两圆的位置关系
给定两个圆，如何判断这两个圆的位置关系？
•两个圆相交，即两个圆的圆心之间的距离小于两个圆的半径之和，即OO’
最新人教版初中九年级上册数学【第二十四章 24.1圆的有关性质(1)圆的基本概念和性质】教学课件
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AO=OC= AC， OB=OD= BD，AC=BD.
∴OA=OC=OB=OD.
A
D
O
B
C
∴A、B、C、D四个点在以点O为圆心，OA为半径的圆上.
环节六、总结归纳
同心圆
描述性定义
定义
圆
同圆 等弧
集合定义
有关 概念
等圆
弦 劣弧
弧 半圆 优弧
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直径是圆中最长的弦 半圆是特殊的弧
B
O
A
C
OB
A
C
环节四、小试牛刀
2.已知在⊙O中最长的弦长为8cm，则⊙O的半径是__4_c_m__
3.如图，若数轴上的点A，B分别与实数-1，1对应，
用圆规在数轴上画点C，则与点C对应的实数是 __3____
环节五、应用新知
如图，6位学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排 开，奖品距离他们所在直线的距离为1米，你觉得这 个游戏是否公平？如果你觉得公平，请简述理由；如 果你觉得不公平，如何改进？
C
环节三、学习新知
O
同心圆 圆心相同，半径不等
等圆 半径相等，圆心不同
确定一个圆的两个要素:一是圆心，二是半径．
追问：你能举出现实生活中同心圆或等圆的例子吗？
环节三、学习新知
人教版初中数学九年级上册第24章知识复习第一部分圆的有关概念和性质
【及时巩固】
6、(1)如图1，点P为⊙O内一点，弦AC、BD 相交于点P，若AB的度数为135º, CD的度数为 29º，则∠APB的度数为 82 º; (2)如图2,点P为⊙O外一点，∠APB的两边分别 和圆交于A、C，B、D，若AB的度数为135º， CD的度数为29º，则∠APB的度数为 53°.
AO⊥BC于D.(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)若AB=1,P是劣弧BC上的一个动点(点P与B、
C不重合)，PA交BC于点E，设AE=x，EP=y，
求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的
取值范围；(3)在(2)的前提下， A 令∠PAC=α，∠APC=β，
当y取何值时， sin2α+sin2β=1？
Q'•
O
•
Q
• •P
PQ最小值为 OP-OQ=3-2=1cm；
PQ最大值为 OP+OQ'=3+2=5cm.
∴PQ的取值范围是1cm≤PQ≤5cm.
2、圆的确定：
B
•
C
A•
•
•
O
两点定线， 三点定圆.
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
3、圆的概念：
直径是特殊的弦；
B
O
•
•
直径是一个圆
A•
• C 的最长弦.
人教版数学九年级上册第24课时 圆的基本性质(ppt版)-课件
2．在遇到与直径有关的问题时，一般要构造直径所对 的圆周角，这样可以由直径转化出直角，从而解决问 题．
4．圆内接四边形的性质
(1)圆内接四边形的对角⑪_互__补_，如图(2)，∠A＋∠BCD ＝⑫1_8_0_°_，∠B＋∠D＝⑬1_8_0_°___；
(2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的⑭内__对__角__(和它 相邻的内角的对角)，如图(2)，∠DCE＝⑮_∠__A___．
⑦_两__条__弧_；
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分
弦所对的另一条弧．
提分必练
1．如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，垂足为点A，若⊙O
的半径为13，BC＝24，则线段OA的长为( A ) A．5 B．6
C．7 D．8
•1、多少白发翁，蹉跎悔歧路。寄语少年人，莫将少年误。 •2、三人行，必有我师焉；择其善者而从之，其不善者而改之。2021/10/282021/10/282021/10/2810/28/2021 11:03:26 AM •3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 •6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/282021/10/282021/10/2810/28/2021
人教版初三数学上册考点
人教版初三数学上册考点
我们现今所使用的大部分数学符号都是到了16世纪后才被发明出来的。在此之前，数学是用文字书写出来，这是个会限制住数学发展的刻苦程序。今天作者在这给大家整理了一些人教版初三数学上册考点，我们一起来看看吧!
人教版初三数学上册考点
1、概念：
把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.
旋转三要素：旋转中心、旋转方面、旋转角
2、旋转的性质：
(1)旋转前后的两个图形是全等形;
(2)两个对应点到旋转中心的距离相等
(3)两个对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角
3、中心对称：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心.
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.
4、中心对称的性质：
(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.
(2)关于中心对称的两个图形是全等图形.
5、中心对称图形：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与本来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
6、坐标系中的中心对称
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，
即点P(x，y)关于原点O的对称点P′(-x，-y).
初三数学上册考点
1、圆的有关概念：
(1)、肯定一个圆的要素是圆心和半径。
(2)①连结圆上任意两点的线段叫做弦。②经过圆心的弦叫做直径。③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。④小于半圆周的圆弧叫做劣弧。⑤大于半圆周的圆弧叫做优弧。⑥在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧。⑦顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫圆周角。⑧经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，外心是三角形各边中垂线的交点;直角三角形外接圆半径等于斜边的一半。
新人教版九年级数学上册《圆的有关性质》课件
∠AOB=∠A＇OB＇ AB= A＇B＇ AB=A ＇B＇
A＇ B
B＇
O
A
4．定理
这样，我们就得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所
对的弦也相等．
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相 等，那么它们所对的圆心角__相__等__ ，
所对的弦_相__等___；
在同圆或等圆中，如果两条弦相 等，那么它们所对的圆心角__相__等__， 所对的弧_相__等___．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_A_B__=_C__D_，_A_B_=__C_D_；
（4）如果 AB=CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，OE
与 OF 相等吗？为什么？ 相等．
因为 AB=CD，所以∠AOB=∠COD．
又因为 AO=CO，BO=DO，
A
E
B D
所以 △AOB ≌ △COD．
九年级 上册
24.1 圆的有关性质（第3课时）
课件说明
• 本节课是在学习了垂径定理后，进而学习圆的又一个 重要性质，主要研究弧，弦，圆心角的关系．
课件说明
• 学习目标： 1．了解圆心角的概念； 2．掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两 条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的 其余各组量也相等．
谢谢观赏
You made my day!
新人教版初中数学——圆的性质及与圆有关的位置关系-知识点归纳及中考典型题解析
人教版初中数学——圆的性质及与圆有关的位置关系
知识点归纳及中考典型例题解析
一、圆的有关概念
1．与圆有关的概念和性质
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．
（6）弦心距：圆心到弦的距离．
2．注意
（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．
（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．
二、垂径定理及其推论
1．垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．
2．推论
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
三、圆心角、弧、弦的关系
1．定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．
2．推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
四、圆周角定理及其推论
1．定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．推论
（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
人教版九年级数学上册 《圆》圆的有关性质PPT教学课件
OF＝OE， 在△AOF 和△BOE 中，∵∠AOF＝∠BOE，
OA＝OB， ∴△AOF≌△BOE(SAS)，∴AF＝BE.
第十二页，共二十页。
13
11．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E.已知AB ＝2DE，∠AEC＝25°，求∠AOC的度数．
解：每个小圆的面积为 π12a·n12＝π4na22，而大圆的面积为 π12a2＝14πa2，即每个小 圆的面积是大圆的面积的n12.
第十九页，共二十页。
第二十页，共二十页。
第十七页，共二十页。
18
(1)计算： ①如图 1，把 AB 分成两条相等的线段，每个小圆的周长 l2＝12πa＝12l；
1 ②如图 2，把 AB 分成三条相等的线段，每个小圆的周长 l3＝____3_l_____；
1 ③如图 3，把 AB 分成四条相等的线段，每个小圆的周长 l4＝____4_l ___；
第十五页，共二十页。
16
证明：连接 ME、MD．∵BD、CE 分别是△ABC 的高，∴△BCD 与△BCE 为 直角三角形．又∵M 为 BC 的中点，∴ME＝MD＝MC＝MB＝12BC，∴点 B、C、D、 E 在以点 M 为圆心的同一个圆上．
九年级数学上册同步精品课堂(人教版)第24章 圆(单元总结)(原卷版)
第二十四章圆
单元总结
【思维导图】
【知识要点】
知识点一圆的有关性质
圆的概念：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
确定圆的条件：
⑴圆心；
⑵半径，
⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．
补充知识：
1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆．
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧．
弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
弦心距、半径、弦长的关系：（考点）
【基本性质】（重点）
⏹垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
常见辅助线做法（考点）：
1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；
2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．
⏹圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等
人教版数学九年级上册第二十四章知识归纳：圆
知识归纳：圆
本章重点
1．圆的定义：
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
2．判定一个点P是否在⊙O上．
设⊙O的半径为R，OP＝d，则有
d>r点P在⊙O 外；
d＝r点P在⊙O 上；
d
3．与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．
(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．
弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．
弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．
4．圆的性质：
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．
垂径定理及推论：
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
人教版九年级数学上册《圆的有关概念和性质》PPT
1.圆的定义: ①在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆；②到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆；
2.有关概念:
(1)弦、直径(圆中最长的弦)
(2)弧、优弧、劣弧、等弧
(3)弦心距
．
O
二. 圆的基本性质
1.圆的对称性:
(1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴.
1. 在⊙O中，弦AB所对的圆心角∠AOB=100°，则弦AB所对的圆周角为____________.（05年上海）
500或1300
O
F
D
C
B
A
4.垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
．
A
D
B
P
C
∵CD是圆O的直径,CD⊥AB
∴AP=BP,
︵wk.baidu.com
AC
︵
BC
=
︵
AD
︵
BD
=
1、如图,已知⊙O的半径OA长为5,弦AB的长8,OC⊥AB于C,则OC的长为 _______.
M
A
P
B
O
A
不在同一直线上的三点确定一个圆.
O
．
．
C
．
B
．
人教版九年级数学上册《24-1-1 圆》教学课件PPT初三优秀公开课
B ·O
A
C
探究新知
等圆:
能够重合的两个圆叫做等圆.
容易看出，等圆是两个半径相等的圆.
等弧:
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫 做等弧.
A ·O C
A ·O1 C
探究新知 【想一想】长度相等的弧是等弧吗？ AB CD 小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？ 可见这两条弧不可能完全重合
圆的集合定义
D
圆心为O、半径为r的圆可以看 成是所有到定点O的距离等于定长r 的点的集合．
r
A
r O· Cr
r r
E
B
探究新知
圆的基本性质
同圆半径相等.
•o
探究新知
【想一想】 圆是一条曲线,还是一个曲面? 提示:圆是一条封闭的曲线,它是由到圆心的
距离等于半径的点组成的曲线,而不是曲面.
探究新知
同心圆
圆心相同，半径不同
等圆
半径相同，圆心不同
探究新知 圆也可以看成是由多个点组成的
到定点的距离等于定长 的点都在同一个圆上吗？
有间隙吗？
圆可以看成到满定足点什距么离条等件于的定？长 所有点组成的. 的
探究新知
【想一想】从画圆的过程可以看出什么呢？
1 圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长r． 2 到定点的距离等于定长的点都在 同一个圆上 ．
九年级数学上人教版《 圆的性质》教案
《圆的性质》教案
一、教学目标
1.知识与技能：掌握圆的基本性质，包括圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理
及其推论，圆周角定理及其推论等。
2.过程与方法：通过观察、猜想、验证、推理等活动，培养学生的探究能力和逻
辑思维能力。
3.情感态度与价值观：让学生感受数学的美，体验数学的价值，培养学生的合作
精神和创新意识。
二、教学重难点
1.教学重点：掌握圆的基本性质及其应用。
2.教学难点：垂径定理及其推论，圆周角定理及其推论的理解和应用。
三、教学方法
采用启发式教学法、讨论式教学法和探究式教学法相结合的教学方法。通过实例、问题、图片等直观材料，引导学生观察、猜想、验证、推理，从而得出结论。同时，注重学生的参与和合作，让学生在讨论和探究中互相学习、互相帮助。
四、教具准备
多媒体课件、圆规、直尺等。
五、教学过程
（一）导入新课
通过回顾圆的概念和性质，引出本节课的主题——圆的性质。同时，展示一些与圆有关的图片或动画，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
（二）学习新课
1.
圆心角、弧、弦之间的关系
（1）通过观察、猜想、验证等活动，让学生自主探究圆心角、弧、弦之间的关系。
（2）通过实例进行讲解，让学生更好地理解圆心角、弧、弦之间的关系。
（3）通过练习进行巩固和提高。
2.
垂径定理及其推论
（1）通过观察、猜想、验证等活动，让学生自主探究垂径定理及其推论。
（2）通过实例进行讲解，让学生更好地理解垂径定理及其推论。
（3）通过练习进行巩固和提高。
3.
圆周角定理及其推论
（1）通过观察、猜想、验证等活动，让学生自主探究圆周角定理及其推论。
人教版九年级数学上章节知识点深度解析 圆
切线的判定定理及性质定理.会用尺规作图：过
圆外一点作圆的切线.理解切线长定理，如 P 34
T3
序号
作业目标及对应举例
了解三角形的内心和外心，会利用基本作图的
2407 方法作三角形的外接圆、内切圆.了解用反证法
证明的基本思路和一般步骤，如 P 36 T 2
了解正多边形的概念及正多边形和圆的关系，
2408 会利用基本作图的方法作圆的内接正方形和正
六边形，如 P 37 T 6
序号
作业目标及对应举例
掌握弧长和扇形面积的公式，并会用其计算弧
2409 长和扇形面积，会利用弧长、扇形面积计算公
式计算简单组合图形的周长和面积，如 P 38 T 6
知道圆锥的侧面展开图是扇形，了解圆锥各部
2410 分名称.会计算圆锥的侧面积和全面积，如 P 39
A. 40°
B. 50°
C. 55°
D. 60°
B ）
第4题图
1
2
3
4
5
6
7
8
5. 如图，圆 O 的半径 r ＝
.
6. 如图，☉ O 的半径为4cm，∠ AOB ＝
60°，则弦 AB 的长为 4
第5题图
cm.
第6题图
1
2
3
4
5
人教版数学九上《24.1-圆的有关性质》重点复习.doc
知识点一：圆的概念及表示方法（重点）
集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。
圆具有的特性：
（1）圆上各点到定点的距离都等于定长
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上
注意：（1）根据圆的概念可以知道“圆”指的是“圆周”（一条封闭的曲线），而不是圆面。
（2）确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
（3）利用圆具有的特性，我们可以来判断一个多边形的各个顶点是否在同一个圆上。例1：通过下列条件，能确定圆的为（）
A、已知点O为圆心
B、点O为圆心，2cm为半径
C、以2cm为半径
D、经过已知点A，且半径为2cm
2：如图，点A 、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形，设BC=a,EF=b,NH=c, 则下列各式正确的是（）
A. a＞b＞c
B. b＞c＞a
C. c＞a＞b
D. a=b=c
知识点二：圆的有关概念
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，例：
直径：经过圆心的弦叫做直径，如图“直径AB”
注意：直径是圆中最长弦，但弦不一定是直径
弧、半圆、劣弧、优弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如：；小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示，如：
第二十四章 圆复习【复习课件】九年级数学上册单元复习(人教版)
个扇形的半径为 l ，扇形的弧长为 2 r . (3)圆锥的侧面积为 lr .
(4)圆锥的全面积为 lr r2 .
知识梳理
考点9 与圆有关的计算
5.圆内接正多边形的计算
360
(1)正n边形的中心角为 n
知识梳理
考点4 点与圆的位置关系
判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半 径r比较得到. 设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有
d＜r d=r d＞r
点P在圆内； 点P在圆上； 点P在圆外.
【注意】点与圆的位置关系可以 转化为点到圆心的距离与半径之 间的关系；反过来，也可以通过 这种数量关系判断点与圆的位置 关系．
与 AB 延长线相交于点P．若∠COB = 2∠PCB，求证：PC 是
⊙O 的切线．
证明：如图，连接 AC.
∵ OA = OC，∴∠A =∠ACO．
∴∠COB = 2∠ACO．
A
∵∠COB = 2∠PCB，∴∠ACO =∠PCB．
C O BP
∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠ACO +∠OCB = 90°． ∴∠PCB +∠OCB = 90°，即 OC⊥CP． ∵ OC 是⊙O 的半径，∴ PC 是⊙O 的切线．
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2013—2014学年九年级数学（上）周末辅导资料（10）
理想文化教育培训中心 学生姓名：_______ 得分： _____
一、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 如图,在⊙O 中，直径C D 垂直弦AB 于E 点，
则有 AE ＝_____,AD
＝________,C A
=_________。
垂径定理小结：⑴ 垂直弦；⑵平分弦；⑶平分弧;只要有一个结论成立，其他两个都成立。
例1：（1）如图（1）,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB,垂足为E,如果AB=20,CD=16, 那么线段OE 的长为（ ） A 、10 B 、8 C 、6 D 、4
（2）如图（2），已知⊙O 的半径为5，弦AB =6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是（ ） A ．2.5 B ．3.5 C ．4.5 D ．5.5
（3）高速公路的隧道和桥梁最多．图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ） A ．5 B ．7 C ．
375 D ．37
7
（4）（2013•广安）如图4，已知半径OD 与弦AB 互相垂直，垂足为点C
，若AB=8cm ，CD=3cm ，则圆O 的半径为
（ ）
（5）如图，已知⊙O 的半径为2，弦BC 的长为，点A 为弦BC 所对优弧上任意一点（B ，C 两点除外）。 ⑴求∠BAC 的度数； ⑵求△ABC 面积的最大值.
二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系：
图（2）
图3
定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
例2：（1）（2013•常州）如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=．
（2）（2013•内江）如图2，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）
．cm cm cm
(3) （2013•宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）
．
图1 图2 图3 图4
（4）（2013•苏州）如图4，AB是半圆的直径，点D是AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（）
三、圆周角定理
圆周角定理: 一条弧所对的周角等于它所对圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦直径．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角是直角三角形．
圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，任何一个外角都等于它的内对角。
例3：（1）如图（1），在⊙O中，∠AOB＝102°，则∠APB＝。
（2）如图（2），在⊙O中，∠AOB＝100°，则∠ACB＝。
（3）（2013•自贡）如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为（）
A、3；
B、4；
C、4；
D、 5
（4）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连结OB、OC，若OB=BC，则∠BAC等于_______。
（5）（2013•株洲）已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B（即∠ABC=90°），∠ABC的平分线BD交⊙O 于点D，AD的延长线交BC于点C．
（1）求∠BAC的度数；（2）求证：AD=CD．
四、巩固练习：
1、（2013•嘉兴）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）
2、（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）
3、（2013•株洲）如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是度．
图I 图2 图3
4、如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上。
（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；（2）若OC=3，OA=5，求AB的长。
5、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB =AC ，点D 在弧BC 上运动，过点D 作DE ∥BC ，DE 交AB 的延长线于点E ，连结
AD 、BD ．
（1）求证：∠ADB =∠E ；（2）当AB =5，BC =6时，求⊙O 的半径．
6、（2013•资阳）在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连结CD ． （1）如图1，若点D 与圆心O 重合，AC=2，求⊙O 的半径r ；
（2）如图2，若点D 与圆心O 不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA 的度数．
7、（2013•温州）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，延长BC 至点D ，使DC=CB ，延长DA 与⊙O 的另一个交点为E ，连接AC ，CE ．
（1）求证：∠B=∠D ；（2）若AB=4，BC ﹣AC=2，求CE 的长．
E
C A