高等数学第四章不定积分课后习题详解.doc

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关于高等数学不定积分例题思路和答案超全

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第4章不定积分

习题4-1

1.求下列不定积分：

知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！

★(1)

思路: 被积函数52

=，由积分表中的公式（2）可解。

解：53

223x dx x C --

==-+⎰

★(2)

dx -

⎰

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1

14111

33322

()2

4dx x x dx x dx x dx x x C -

=-=-=-+⎰⎰⎰⎰

★(3)22

x dx +⎰

（）

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2

2122ln 23

x x

x dx dx x dx x C +=+=++⎰

⎰⎰（）

★(4)

3)x dx -

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：315

222

3)325

x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰

★★(5)422331

1x x dx x +++⎰

思路:观察到422

223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：4223

2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)2

21x dx x +⎰

思路:注意到

22222

高等数学习题答案第四章

高等数学学习题答案第四章

第四章是高等数学中的一块重要内容，主要涉及到微分和积分的应用。这一章的学习题难度适中，但需要对基本的微积分概念和公式有一定的掌握。下面将为大家提供第四章学习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。

1. 计算下列函数的导数：

(1) f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4

f'(x) = 3x^2 - 4x + 3

(2) g(x) = sin(x) + cos(x)

g'(x) = cos(x) - sin(x)

(3) h(x) = e^x + ln(x)

h'(x) = e^x + 1/x

(4) k(x) = 2x^3 + 4x^2 - 6x - 8

k'(x) = 6x^2 + 8x - 6

2. 计算下列函数的不定积分：

(1) F(x) = 2x^2 - 3x + 4

∫F(x)dx = (2/3)x^3 - (3/2)x^2 + 4x + C

(2) G(x) = sin(x) + cos(x)

∫G(x)dx = -cos(x) + sin(x) + C

(3) H(x) = e^x + ln(x)

∫H(x)dx = e^x + xln(x) - x + C

(4) K(x) = 3x^2 + 4x - 6

∫K(x)dx = x^3 + 2x^2 - 6x + C 3. 计算下列定积分：

(1) ∫(0 to π) sin(x)dx

= [-cos(x)](0 to π)

= -cos(π) - (-cos(0))

= 2

(2) ∫(0 to 1) x^2dx

高等数学第四章不定积分习题

第四章不定积分

§ 4 – 1 不定积分的概念与性质

一.填空题

1．若在区间上)()(x f x F ='，则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。

2．F(x)是)(x f 的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为

x d 2

11)(arcsin -=

,所以arcsinx 是______的一个原函数。

4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3x 成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该曲线方程为__________?。二．是非判断题

1．若f ()x 的某个原函数为常数，则f ()x ≡0. [ ] 2．一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3． ()()

()⎰⎰'='

dx x f dx x f . [ ] 4．若f ()x 在某一区间内不连续，则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5.=y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ]

三．单项选择题

1．c 为任意常数，且)('x F =f(x),下式成立的有。（A ）⎰=dx x F )('f(x)+c; （B ）⎰dx x f )(=F(x)+c; （C ）⎰=dx x F )()('x F +c; (D) ⎰dx x f )('=F(x)+c.

2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有。（A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)= G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ⋅=c. 3．下列各式中是||sin )(x x f =的原函数。

高等数学第四章不定积分习题知识讲解

第四章不定积分

§ 4 – 1 不定积分的概念与性质

一.填空题

1．若在区间上)()(x f x F ='，则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。

2．F(x)是)(x f 的一个原函数，则y=F(x)的图形为ƒ(x)的一条_________. 3．因为

x x d 2

11)(arcsin -=

,所以arcsinx 是______的一个原函数。

4．若曲线y=ƒ(x)上点(x,y)的切线斜率与3

x 成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该曲线方程为__________ 。二．是非判断题

1．若f ()x 的某个原函数为常数，则f ()x ≡0. [ ] 2．一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3．

()()()⎰⎰'='

dx x f dx x f . [ ]

4．若f ()x 在某一区间内不连续，则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5.=y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ]

三．单项选择题

1．c 为任意常数，且)('x F =f(x),下式成立的有。（A ）⎰=dx x F )('f(x)+c; （B ）⎰dx x f )(=F(x)+c; （C ）⎰=dx x F )()('x F +c; (D) ⎰dx x f )('=F(x)+c.

2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有。（A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)= G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ⋅=c. 3．下列各式中是|

高等数学不定积分例题、思路和答案(超全)

第4章不定积分

内容概要

习题4-1

1.求下列不定积分：

知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！

★(1)

⎰

思路: 被积函数52

=，由积分表中的公式（2）可解。

解：

23x dx x C --==-+⎰

★(2)

⎰

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1

14111

33322

()2

4dx x x dx x dx x dx x x C -

=-=-=-+⎰⎰⎰⎰

★(3)22

x dx +⎰

（）

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2

2122ln 23

x x

x dx dx x dx x C +=+=++⎰

⎰⎰（）

★(4)

3)x dx -

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：

3153

222

3)325

x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰

⎰⎰

★★(5)422331

1x x dx x +++⎰

思路:观察到422

3311311

x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：422

32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x

++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)2

21x dx x +⎰

思路:注意到

22222

111

1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：22

arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰

《高等数学》不定积分课后习题详解

《高等数学》不定积分课后习题详解篇一：高等数学第四章不定积分习题第四章不定积分 4 – 1 不定积分的概念与性质一.填空题 1．若在区间上 F?(x)?f(x)，则 F(x)叫做 f(x)在该区间上的一个 f(x)的所有原函数叫做 f(x) 在该区间上的__________。 2．F(x)是 f(x)的一个原函数，则 y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为 d(arcsinx)? 1?x2 dx ,所以 arcsinx 是______的一个原函数。 4．若曲线 y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与 x 成正比例，并且通过点 A(1,6)和 B(2,-9),则该曲线方程为__________ 。二．是非判断题 1．若 f?x?的某个原函数为常数，则 f?x??0.[ ] 2．一切初等函数在其定义区间上都有原函数.[ ] 3． 3 ??f?x?dx???f??x?dx.[ ] ? 4．若 f?x?在某一区间内不连续，则在这个区间内 f?x?必无原函数. [ ] 5.y?ln?ax?与 y?lnx 是同一函数的原函数.[ ] 三．单项选择题 1．c 为任意常数，且 F'(x)=f(x),下式成立的有。（A）?F'(x)dx?f(x)+c;（B）?f(x)dx=F(x)+c; （C）?F(x)dx?F'(x)+c;(D) ?f'(x)dx=F(x)+c. 2. F(x)和 G(x)是函数 f(x)的任意两个原函数，f(x)?0，则下式成立的有。（A）F(x)=cG(x); （B）F(x)= G(x)+c;（C）F(x)+G(x)=c;(D) F(x)?G(x)=c.3．下列各式中是 f(x)?sin|x|的原函数。(A) y??cos|x| ;(B) y=-|cosx|;(c)y=? ?cosx,x?0,cosx?2,x?0; (D) y=? ?cosx?c1,x?0,cosx?c2,x?0. c1、c2 任意常数。 4.F?(x)?f(x),f(x) 为可导函数，且 f(0)=1,又 F(x)?xf(x)?x2，则 f(x)=______.(A) ?2x?1 (B)?x?1 (C)?2x?1(D)?x?1 5.设 f?(sin2x)?cos2x，则 f(x)=________. 1 (A)sinx?sin2x?c;(B)x?1x2?c; (C)sin2x?1sin4x?c;(D)x2?1x4?c; 1 / 30

高等数学不定积分例题及答案

第4章不定积分

习题4-1

1.求下列不定积分：

知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！

★(1)

思路:52

=，由积分表中的公式（2）可解。

解：

23x dx x C --==-+⎰

★(2)

⎰

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1

14111

33322

()2

4dx x x dx x dx x dx x x C -

-=-=-=-+⎰⎰⎰⎰

★(3)22

x dx +⎰

（）

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2

2122ln 23

x x

x dx dx x dx x C +=+=++⎰

⎰⎰（）

★(4)

3)x dx -

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：

3153

222

3)325

x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰

★★(5)4223311x x dx x +++⎰

思路:观察到422

3311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：422

32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)2

21x dx x +⎰

思路:注意到

22222

111

1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x

高等数学第3版(张卓奎王金金)第四章习题解答

第四章不定积分习题全解

习题4-1

1．选择题

(1) 设)(x f 有连续导数，下列等式中正确的结果是（ A ）．

（A ）)(d )(d d

x f x x f x =⎰（B ）)(d )(x f x x f ='⎰ （C ）)()(d x f x f =⎰ （D ）)(d )(d x f x x f =⎰

(2) 在区间(,)a b 内的任一点x ，如果总有()()f x g x ''=成立，，则下列各式中必定成立的是（ C ）．

（A ）()()f x g x = （B ）()()1f x g x =+ （C ）()()f x g x C =+ （D ）()d ()d f x x g x x ''⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦

⎰⎰ (3) 设=I ⎰x x d 13，则=I （B ）

．（A ）C x +--43 （B ）C x +-

221

（C ）C x +-221 （D ）C x +-221 （4）若ln ||x 是函数)(x f 的原函数，那末)(x f 的另一原函数是（ A ）

（A ）ln ||ax ；（B ）1ln ||ax a ；（C ）ln ||x a + ；（D ）21(ln )2

x 。 2．填空题

(1) 已知2()d ln(1)f x x x C =++⎰，则()f x = ，()f x '= ．解：应填：2

222

222(),()1(1)x x f x f x x x -'==++， (2) 已知()()

211f x e x '=+，则()f x = ．

解：应填： ()ln(arctan ).f x x C =+

高等数学课后习题答案--第四章不定积分

第四章不定积分

典型例题解析

例1 求下列不定积分．

（1）2dx

x x ⎰．（2）3(1)(1)x x dx +-⎰．

分析利用幂函数的积分公式1

n n x dx x C n +=++⎰求积分时，

应当先将被积函数中幂函数写成负指数幂或分数指数幂的形式．

解（1）532

2512

2121()3

dx x dx x C x C x x

--+-==

+=-++-⎰

⎰．（2）353

12222323122(1)(1)(1)353

x x dx x x x dx x x x x C +-=+--=+--+⎰⎰．

例2求2

1()x dx x

+⎰．分析将被积函数的平方展开，可化为幂函数的和．

解 122211()(2)x dx x x dx x x

=++⎰⎰1221

2x dx x dx dx x =++⎰⎰⎰ 3

2314ln 33

x x x C =+++．例3

求下列不定积分．

（1）2523x x

e dx ⋅-⋅⎰．

（2）422331

x x dx x +++⎰．

分析（1）将被积函数拆开，用指数函数的积分公式；（2）分子分母都含有偶数次幂，将其化成一个多项式和一个真分式的和，然后即可用公式．

解

（1）2

2()5()2522332()5()3331ln 3ln 2ln 3

x x

x x x e e e dx dx dx C ⋅⋅⋅-⋅=-=-+--⎰⎰⎰．（2）422

32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰．例4求下列不定积分．

《高等数学》不定积分课后习题详解

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篇一：高等数学第四章不定积分习题

第四章不定积分

4 – 1不定积分的概念与性质

一.填空题

1．若在区间上F?(x)?f(x)，则F(x)叫做f(x)在该区间上的一个f(x)的所有原函数叫做f(x)在该区间上的__________。

2．F(x)是f(x)的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为

d(arcsinx)?

1?x2

,所以arcsinx是______的一个原函数。

4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与x成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该曲线方程为__________ 。二．是非判断题

1．若f?x?的某个原函数为常数，则f?x??0. [ ] 2．一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3．

??f?x?dx???f??x?dx. [ ]

4．若f?x?在某一区间内不连续，则在这个区间内f?x?必无原函数. [ ] ?ln?ax?与y?lnx是同一函数的原函数. [ ] 三．单项选择题

1．c为任意常数，且F’(x)=f(x),下式成立的有。（A）?F’(x)dx?f(x)+c;（B）?f(x)dx=F(x)+c;（C）?F(x)dx?F’(x)+c;(D) ?f’(x)dx=F(x) +c.

2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)?0，则下式成立的有。（A）F(x)=cG(x); （B）F(x)= G(x)+c;（C）

《高等数学》第四章不定积分的概念和性质1—2节课堂笔记及练习题

高等数学第四章不定积分的概念和性质1—2节课堂笔记及

练习题

主题：第四章不定积分的概念和性质1—2节学习时间：2015年11月30日—12月6日

内容：

这周我们将学习第四章不定积分的概念和性质（1—2节）。积分运算与微分运算互为逆运算，它们同是高等数学的重点，需要充分重视。其学习要求及需要掌握的重点内容如下：

1、理解原函数与不定积分的概念

2、非常熟练地掌握求不定积分的基本方法：基本积分公式、不定积分的性质、换元法。

基本概念：原函数和不定积分的概念

知识点：基本积分公式、不定积分的性质、换元法

知识结构图

一元函数积分学

原函数不定积分

定义运算法则计算方法

直接积分法换元法

第一类换元法

全体

个体

第二类换元法

第一节、不定积分的概念和性质

一、原函数与不定积分的概念（要求理解各概念）定义1：设)(x f 为某区间I 上

的函数，如果存在函数)(x F ，使在该区间上

有)()(x f x F ='或,)()(dx x f x dF =则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数。

原函数存在定理：如果)(x f 在区间I 上连续，则在区间I 上)(x f 的原函数一定存在。

说明：如果)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个原函数，显然c c x F ()(+为任意常数）也是)(x f 的原函数，这说明)(x f 如果存在原函数，应有无穷多个，)(x f 的

全体原函数是一个函数族。c x F +)(为)(x f 全体原函数的一般表达式。

定义2：设)(x F 是)(x f 在区间I 的一个原函数，则)(x f 的全体原函数

同济大学数学系《高等数学》第7版笔记和课后习题含考研真题详解(不定积分)【圣才出品】

同济大学数学系《高等数学》第7版笔记和课后习题含考研真题详解

第4章

不定积分

4.1复习笔记

一、不定积分的概念与性质1．原函数存在定理

如果函数f（x）在区间I 上连续，则在区间I 上存在可导函数F（x）使对任意x∈I 都有F′（x）＝f（x），即连续函数一定有原函数。

2．基本积分表

()

d k x kx C k =+⎰是常数()

d 11x x x C μμ

μμ+=+≠-+⎰d ln x

x C x =+⎰2d arctan 1x

x C

x =++⎰2

arcsin 1x C

=+-⎰

cos d sin x x x C =+⎰sin d cos x x x C

=-+⎰2

2d sec d tan cos x x x x C

x ==+⎰⎰

2d csc d cot sin x x x x C

x ==-+⎰⎰sec tan d sec x x x x C =+⎰csc cot d csc x x x x C

=-+⎰e d e

x C

=+⎰d ln x

x a a x C

a =+⎰3．不定积分的性质（1）性质1

设函数f（x）及g（x）的原函数存在，则

()()()()d d d f x g x x f x x g x x +=+⎡

⎤⎣⎦⎰⎰⎰注：性质1对于有限个函数都是成立的。（2）性质2

设函数f（x）的原函数存在，k 为非零常数，则

()()d d kf x x k f x x

=⎰⎰二、换元积分法1．第一类换元法

设f（u）具有原函数，u＝φ（x）可导，则有换元公式

()

[()]()d [()d ]

u x f x x x f u u ϕϕϕ='=⎰⎰2．第二类换元法

同济大学数学系《高等数学》第7版上册配套题库【课后习题(4-6章)】【圣才出品】

第四章不定积分

习题4-1不定积分的概念与性质1．利用导数验证下列等式：

解：

2．求下列不定积分：

（g是常数）；

解：

3．含有未知函数的导数的方程称为微分方程，例如方程，其中为未知函数的导数，f（x）为已知函数．如果将函数y＝φ（x）代入微分方程，使微分方程成为恒等式，那么函数y＝φ（x）就称为这个微分方程的解．求下列微分方程满足所给条件的解：

解：（1）

因为，得C＝0，所以所求的解为

，因为，得C1＝2，因此

因为，得C2＝－2，所以所求的解为

4．汽车以20m／s的速度行驶，刹车后匀减速行驶了50m停住，求刹车加速度．可执行下列步骤：

（1）求微分方程满足条件及的解；

（2）求使的t值；

（3）求使s＝50的k值．

解：（1），因为，得C1＝20，因此

因为，得C2＝0，所以所求的解为

（2）令，解得

（3）根据题意，当时，s＝50，即

解得k＝4，即得刹车加速度为－4m／s2．

5．一曲线通过点（e2，3），且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．

解：设曲线方程为y＝f（x），则点（x，y）处的切线斜率为f＇（x），由条件得

因此f（x）为的一个原函数，得

又根据条件曲线过点（e2，3），有f（e2）＝3解得C＝1，即得所求曲线方程为

y＝lnx＋1

6．一物体因为静止开始运动，经t秒后的速度是3t2（m／s），问

（1）在3秒后物体离开出发点的距离是多少？

（2）物体走完360m需要多少时间？

解：（1）设此物体自原点沿横轴正向由静止开始运动，位移函数为s＝s（t），则

由假设可知s（0）＝0，因此s（t）＝t3，所以所求距离为s（3）＝27（m）．

同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第四章不定积分【圣才

第四章　不定积分

4.1　复习笔记

一、

不定积分的概念与性质1

．原函数与不定积分的概念（

1）原函数

①定义

如果在区间I 上，可导函数

的导函数为，即对任意一，

都有

，则函数就称为

在区间

I 上的一个原函数．②原函数存在定理如果函数

在区间I 上连续，则在区间I 上存在可导函数使对任一都有即连续函数一定有原函数．

③注意两点

a ．如果有一个原函数，则就有无限多个原函数．

b ．若和都是的原函数，则

()F

x ()x φ()f x

（C 0为某个常数）

（

2）不定积分

在区间I 上，函数的带有任意常数项的原函数称为

（或）

在区间I上的不定积分，记作，其中称为积分号，称为被积函数，

称为被积表达式，x称为积分变量．

2．基本积分表

3．不定积分的性质

（1）性质1

设函数的原函数存在，则

注：性质1对于有限个函数都是成立的．

（2）性质2

设函数的原函数存在，k为非零常数，则

二、换元积分法

1．第一类换元法设具有原函数,

可导，则有换元公式()[()]()[()]

u x f x x dx f u du ϕϕ

ϕ=

⎰⎰2．第二类换元法

设是单调的可导函数，并且

又设

具有原函数，则有换元公式1()

()[[()]()]t x f x dx f t t dt

ψψψ-='

=⎰⎰

其中的反函数．

三、分部积分法

1．分部积分法

设函数

具有连续导数，则两个函数乘积的导数公

式为移项，得

对这个等式两边求不定积分，得

称为分部积分公式．

注：2．运用分部积分法需注意

（1）v 要容易求得；

（2）要比容易积出；

（3）遵循“反对幂指三”原则.

①“反对幂指三”定义

“反对幂指三”分别指反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数和三角函数．②“反对幂指三”原则

《高等数学》不定积分课后习题详解

篇一：高等数学第四章不定积分习题

第四章不定积分

4 – 1不定积分的概念与性质

一.填空题

1．若在区间上F?(x)?f(x)，则F(x)叫做f(x)在该区间上的一个f(x)的所有原函数叫做f(x)在该区间上的__________。

2．F(x)是f(x)的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为

d(arcsinx)?

1?x2

,所以arcsinx是______的一个原函数。

4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与x成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该曲线方程为__________ 。二．是非判断题

1．若f?x?的某个原函数为常数，则f?x??0. [ ] 2．一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3．

??f?x?dxf??x?dx. [ ]

4．若f?x?在某一区间内不连续，则在这个区间内f?x?必无原函数. [ ] ?ln?ax?与y?lnx是同一函数的原函数. [ ] 三．单项选择题

1．c为任意常数，且F’(x)=f(x),下式成立的有。（A）?F’(x)dx?f(x)+c;（B）?f(x)dx=F(x)+c;（C）?F(x)dx?F’(x)+c;(D) ?f’(x)dx=F(x)+c.

2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)?0，则下式成立的有。（A）F(x)=cG(x); （B）F(x)= G(x)+c;（C）F(x)+G(x)=c;

(D) F(x)?G(x)=c. 3．下列各式中是f(x)?sin|x|的原函数。(A) y??cos|x| ; (B) y=-|cosx|;(c)y=?

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