3_7连续时间LTI系统响应求解举例
连续时间系统
动态方程式的特征根s=3, 且n>m, 故h(t)的形式为
h(t ) Ae 3 tu (t )
d [ Ae 3t u (t )] + 3 Ae 3t u (t ) 2 (t ) dt
解得A=2
h(t ) 2e 3 t u (t )
例2 已知某线性时不变系统的动态方程式为
dy (t ) 6 y(t ) 2 f (t ) 3 f ' (t ), t 0 dt
冲激平衡法求系统的单位冲激响应
由于t>0+后, 方程右端为零, 故n>m时
h(t ) ( K i e si t )u (t )
i 1 n
nm时, 为使方程两边平衡, h(t)应含有冲激及其高阶 导数,即
h(t ) ( K i e sit )u (t ) A j ( j ) (t )
yx (t ) K1e —2t K 2e —3t
y(0)=yx(0)=K1+K2=1 y' (0)= y'x(0)= 2K13K2 =3
解得 K1=6，K2=5
yx (t ) 6e
—2t
5e
—3t
,t 0
例3 已知某线性时不变系统的动态方程式为 系统的初始状态为y(0)=2，y'(0)= 1，求系统的 零输入响应yx(t)。 [解] 系统的特征方程为 系统的特征根为 y(0)=yx(0)=K1=1;
山大信号与系统答案
第一章习题
新闻来源：山东大学信息学院点击数：707 更新时间：2009-4-5 0:13 1—1 画出下列各函数的波形图。
（1）（2）
（3）（4）
1—2 写出图1各波形的数学表达式
图1
(1) (2)
(3) 全波余弦整流(4) 函数
1—3 求下列函数的值。
（1）（2）
（3）（4）
（5）
1—4 已知，求，。
1—5 设，分别是连续信号的偶分量和奇分量，试证明
1—6 若记，分别是因果信号的奇分量和偶分量，试证明
，
1—7 已知信号的波形如图2所示，试画出下列函数的波形。
（1）（2）
图 2
1—8 以知的波形如图3所示,试画出的波形.
图3
1—9 求下列各函数式的卷积积分。
（1），
（2），
1—10 已知
试画出的波形并求。
1—11 给定某线性非时变连续系统，有非零初始状态。已知当激励为时，系统的响应为
时，系统的响应则为。试求当初始状态保持不变，而激励为时的系统响1—12 设和分别为各系统的激励和响应，试根据下列的输入—输出关系，确定下列各⑴⑵
（3）（4）
第一章习题答案
新闻来源：山东大学信息学院点击数：623 更新时间：2009-4-5 23:18
1-1 （1）（2）
（3）（4）
1-2（1）、
（2）、
或或
（3）
（4） =
1-3（1）（2）
（3）（4）
（5）0
1-4 ，
1-7 （1）（2）
1-8
1-9（1）
（2）
1-10
1-11
1-12 （1）非线性、时不变系统。（2）线性、时变系统。
（3）线性、时不变系统。（4）线性、时变系统。
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第二章习题
新闻来源：山东大学信息学院点击数：412 更新时间：2009-4-9 2
LTI连续时间系统零状态响应的求解方法
LTI连续时间系统零状态响应的求解方法
张楠;李庆华;孙明灿
【摘要】目前国内很多“信号与系统”的教材中讨论了LTI连续时间系统零状态响应的一些求解方法，本文根据现有的信号与系统教材中连续时间系统零状态响应的求解方法，分别从利用冲激响应与激励的卷积、微分方程和变换域三方面求解零状态响应，并给出了实例说明了其正确性。
【期刊名称】《齐鲁工业大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2014(028)004
【总页数】3页(P27-29)
【关键词】零状态响应;卷积;连续系统
【作者】张楠;李庆华;孙明灿
【作者单位】齐鲁工业大学电气工程与自动化学院,山东济南250353;;;
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.9
求解线性时不变连续时间系统零状态响应是信号与系统课程中重要的知识点之一。零状态响应的概念是初始状态为零,完全由激励产生的响应为零状态响应。目前国内的一些从事信号与系统教学的教育工作者,也总结了一些求解方法[1-5]。本人根据自己的教学经验,从卷积、微分方程求解和变换域出发，来讨论连续时间系统零状态解的一般方法，并给出实例证明其有效性。
1 求解方法
设线性时不变连续时间系统方程如式(1)所示：
yn(t)+a1yn-1(t)+…+any(t)
=b0fm(t)+b1fm-1(t)+…+bmf(t)
(1)
式中f(t)是系统的激励信号,响应为y(t),根据零状态响应的定义,可知求零状态响应时,系统初始条件为
1.1 利用冲激响应求解的方法
通过系统先求出冲激响应,利用冲激响应与激励的卷积得出yzs(t)=h(t)*f(t),该方法重要的是需要先求出系统的冲激响应。
论述连续时间系统的响应问题
论述连续时间系统的响应问题
摘要：
所谓“响应”，其与“激励”相对应。是对最终用函数表达出的“解”的式子的另外一种称呼，其更具有专业性。就一般意义来讲，一个信号，首先需要通过“激励”的激活，给定一个初始的状态，然后信号必然会产生变化，而这结果就是“响应”。
“解”可以看作是将信号函数化后的称呼，而“响应”则直接针对的是信号本身。
关键词：
解与响应，齐次解与特解，自由响应与强迫响应，零输入响应与零状态响应，暂态响应与稳态响应，全响应。
序——信号与系统是一门博大而精深的学科，毋庸置疑。如若全面探讨其所概括之内容，非一朝一夕可至，亦非笔者论述能力范围。故于此，笔者就从中取其冰山一角，即连续时间系统的响应问题，作简要的论述，希望能够尽量表达笔者的对其的理解与参悟。以下内容均属笔者个人意见，如若有所偏差，望看官见谅。下面且听笔者娓娓道来……
连续时间系统的响应问题，笔者欲将其一一分门别类，然后一一阐述。共分十章，一到八章均以一个方面进行论述，以第九章收尾。由于响应的种类很多，笔者不可能一一为看官介绍，在此仅详细介绍如下几种。
第一章
解与响应
所谓“解”，笔者早在中学时就有所接触。“解”，通俗的说，即为方程中的未知数通过“求解”的方式，最终将其用已知数表示出来的函数式，被称作“解”。
而在信号与系统这门课程中，“解”的概念是被缩小化的，本书中，主要表示的是微分方程中的“解”，而全书的核心内容，也是围绕着微分方程的不同解的形式来展开诉说。其中，就本篇将论述的连续时间系统这个领域来说，“解”也被分为了多种类型，例如齐次解，特解，全解等等，笔者将在后面的章节中详述。
连续时间LTI系统的频率特性及频域分析
实验报告
实验项目名称：运用Matlab进行连续时间信号卷积运算
（所属课程：信号与系统）
学院：电子信息与电气工程学院
专业： 10电气工程及其自动化
姓名： xx
学号： ************
指导老师： xxx
一、实验目的
1、学会运用MATLAB 分析连续系统的频率特性。
2、掌握相关函数的调用。
二、实验原理
1、一个连续LTI 系统的数学模型通常用常系数线性微分方程描述，即
)()()()()()(01
)(01)(t e b t e b t e b t r a t r a t r a m m n n +'++=+'++ (1) 对上式两边取傅里叶变换，并根据FT 的时域微分性质可得：
)(])([)(])([0101ωωωωωωE b j b j b R a j a j a m m n n +++=+++
101)()()()()(a j a j a b j b j b j E j R j H n n m m ++++++==ωωωωωωω H ( jω )称为系统的频率响应特性，简称系统频率响应或频率特性。一般H ( jω )是复函数，可表示为：
)()()(ωϕωωj e j H j H =
其中， )(ωj H 称为系统的幅频响应特性，简称为幅频响应或幅频特性；)(ωϕ称为系统的相频响应特性，简称相频响应或相频特性。H ( jω )描述了系统响应的傅里叶变换与激励的傅里叶变换间的关系。H ( jω )只与系统本身的特性有关，与激励无关，因此它是表征系统特性的一个重要参数。
MATLAB 信号处理工具箱提供的freqs 函数可直接计算系统的频率响应的数值解，其语句格式为：H=freqs(b,a,w)其中，b 和a 表示H ( jω )的分子和分母多项式的系数向量；w 为系统频率响应的频率范围，其一般形式为w1:p:w2，w1 为频率起始值，w2 为频率终止值，p 为频率取值间隔。
信号与系统连续时间LTI系统的几种响应求解方法及例题
[例2-4-3] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动
态方程 y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
初始条件y(0+)=1, y ‘(0+)=2, 输入信号f (t)=et u(t)， (1)求系统的零状态响应y(t) 。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
卷积法求解系统零状态响应yf (t)的思路
1) 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合 2) 求出单位冲激信号作用在系统上的响应
—— 冲激响应 3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意
信号f(t)激励下系统的零状态响应yf (t) 。
卷积法求解系统零状态响应yf (t)推导
(t) h(t)
解: 系统的特征方程为 系统的特征根为
s2 4s 4 0
s1 s2 2 （两相等实根）
y x (t) K1e 2t K 2te 2t
y(0)=yx(0)=K1=2; y'(0)= y'x(0)= 2K1+K2 =-1
解得 K1 = 2, K2= 3
yx (t) 2e2t 3te2t , t 0
二、卷积法
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的
§3.7 连续时间LTI系统的频率响应
三、频率响应的计算
已知电路如图所示， 例： 已知电路如图所示，试求该系统 的频率响应 H(ω) 。 对于电路系统，求它的频率响应， 解：对于电路系统，求它的频率响应，
+ பைடு நூலகம்1 (ω ) −
C
R V2 (ω )
+
−
1 用电路分析中的相量法， 用电路分析中的相量法，将 R, L, C 为是复阻抗分别为 R, jωL, 的 jωC 元件，然后用各种电路分析方法求输出信号相量与输入信号的相量之 元件，
一、连续时间LTI系统频率响应的定义 连续时间 系统频率响应的定义
系统频率响应 H(ω)一般是 ω 的复函数，可以表示为 ω 一般是 的复函数，
H(ω) = H(ω) e jϕ(ω)
称为系统的幅频响应特性，简称幅频响应或幅频特性 幅频特性， H(ω) 称为系统的幅频响应特性，简称幅频响应或幅频特性， 是 ω 的偶函数 称为系统的相频响应特性，简称相频响应或相频特性， 称为系统的相频响应特性，简称相频响应或相频特性， 相频特性 是 ω 的奇函数 说明：系统频率响应只与系统本身的特性有关，而与激励无关， 说明 ： 系统频率响应只与系统本身的特性有关 ， 而与激励无关 ， 是表征系统特性的一个重要参数。 是表征系统特性的一个重要参数。
三、频率响应的计算
1 H(ω) = −ω2 + 2 + j3 ω
信号与系统 连续时间LTI系统状态方程的建立
状 态 方 程
1 t 2 t ...... t n
6/48
a11 a12 a 21 a22 an1 an 2
a1n 1 (t ) b11 b12 a2 n 2 (t ) b21 b22 ann n (t ) bn1 bn 2
电感L1所在网孔KVL：
d L1 1 (t ) R11 (t ) 3 (t ) x1 (t ) dt
L1
iL1 t
iL3 t L3
L1
iL1 t
iS t
iL2 t
L2
图3
iL2 t
L2
图4
12/48
信号与系统
三、由电路图建立状态方程
例：列写如图所示电路的状态方程，若输出信号为电压 y (t ) ，
并列写输出方程。
R1 2 L1 1H
a
L2
1 H 3
b1 p x1 (t ) x (t ) b2 p 2 bnp x p (t )
λ (t ) Aλ (t ) Bx (t )
信号与系统
一、连续时间LTI系统状态方程的一般形式
y1 t c111 t c12 2 t c1n n t d11 x1 t d12 x2 t d1 p x p t y2 t c211 t c22 2 t c2n n t d 21 x1 t d 22 x2 t d 2 p x p t …… yq t cq11 t cq 22 t cqn n t d q1 x1 t d q 2 x2 t d qp x p t
信号与系统实验报告实验三 连续时间LTI系统的频域分析报告
实验三 连续时间LTI 系统的频域分析
一、实验目的
1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义；
2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用；
3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义；
4、掌握用MA TLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。
基本要求：掌握LTI 连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB 描述方法，深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB 计算和绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。
二、实验原理及方法
1 连续时间LTI 系统的频率响应
所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequency response ），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。
上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：)(*)()(t h t x t y =，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到：
)()()(ωωωj H j X j Y =
3.1
或者： )
()
()(ωωωj X j Y j H =
3.2
)(ωj H 为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。即
⎰
∞
∞
--=
dt e t h j H t
j ωω)()(
3.3
由于H(j ω)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说是绝对可积（Absolutly integrabel ）的话，那么H(j ω)一定存在，而且H(j ω)通常是复数，因此，也可以表示成复数的不同表达形式。在研究系统的频率响应时，更多的是把它表示成极坐标形式：
信号与系统连续时间LTI系统的几种响应求解方法及例题
LTI系统的基本概念
LTI系统是指系统的输出仅与输入和系统 的状态有关，而与时间无关。
LTI系统具有线性、时不变和因果性等基 本特性。
LTI系统的数学模型通常由常微分方程或 差分方程表示。
02
几种响应求解方法
经典时域法
描述
这种方法需要将系统的微 分方程转化为差分方程， 然后逐个求解。
定义
经典时域法是通过直接求 解微分方程来获得系统响 应的方法。
缺点
04 需要掌握拉普拉来自百度文库变换的性质和 逆变换方法。
傅里叶变换法
定义
傅里叶变换法是一种将时域函 数转换为频域函数的数学工具
。
描述
通过傅里叶变换，将系统的微 分方程转化为频域的代数方程 ，然后求解得到系统在频域的 响应。
优点
能够方便地分析系统的频率特 性，适用于信号处理和通信系 统等领域。
缺点
需要掌握傅里叶变换的性质和 逆变换方法，对于非平稳信号
信号与系统连续时间LTI系统的 几种响应求解方法及例
CONTENTS
• 引言 • 几种响应求解方法 • 例题解析 • 方法比较与选择 • 结论
01
引言
背景介绍
01
信号与系统是电子工程和通信工 程的重要基础学科，主要研究信 号和系统在时域和频域的行为和 特性。
02
在信号与系统中，线性时不变 （LTI）系统是最基本、最重要的 系统之一，其响应求解是研究的重 要内容。
连续时间LTI系统分析
连续时间LTI系统分析
实验三连续时间LTI系统分析
一、实验目的
（一）掌握使用Matlab进行连续系统时域分析的方法
1、学会使用符号法求解连续系统的零输入响应和零状态响应
2、学会使用数值法求解连续系统的零状态响应
3、学会求解连续系统的冲激响应和阶跃响应
（二）掌握使用Matlab进行连续时间LTI系统的频率特性及频域分析方法
1、学会运用MATLAB分析连续系统的频率特性
2、学会运用MATLAB进行连续系统的频域分析
（三）掌握使用Matlab进行连续时间LTI系统s域分析的方法
1、学会运用MATLAB求拉普拉斯变换（LT）
2、学会运用MATLAB求拉普拉斯反变换（ILT）
3、学会在MATLAB环境下进行连续时间LTI系统s域分析
二、实验条件
装有MATLAB的电脑
三、实验内容
（一）熟悉三部分相关内容原理
（二）完成作业
1、已知某系统的微分方程如下：
)(3)()(2)(3)(t e t e t r t r t r +'=+'+''
其中，)(t e 为激励，)(t r 为响应。 （1） 用MATLAB 命令求出并画出2)0(,1)0(),()(3='==---r r t u e
t e t
时系统的零
状态响应和零输入响应（零状态响应分别使用符号法和数值法求解，零输入响应只使用符号法求解）；
符号法求解零输入响应： >> eq='D2y+3*Dy+2*y=0';
>> cond='y(0)=1,Dy(0)=2'; >> yzi=dsolve(eq,cond); >> yzi=simplify(yzi)
信号与系统实验报告实验三 连续时间LTI系统的频域分析
实验三 连续时间LTI 系统的频域分析
一、实验目的
1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义;
2、掌握系统频率响应特性的计算方法与特性曲线的绘制方法,理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用;
3、学习与掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义;
4、掌握用MA TLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。
基本要求:掌握LTI 连续与离散时间系统的频域数学模型与频域数学模型的MATLAB 描述方法,深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义,理解滤波与滤波器的概念,掌握利用MATLAB 计算与绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。
二、实验原理及方法
1 连续时间LTI 系统的频率响应
所谓频率特性,也称为频率响应特性,简称频率响应(Frequency response),就是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况,包括响应的幅度随频率的变化情况与响应的相位随频率的变化情况两个方面。
上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号与响应信号,h(t)就是系统的单位冲激响应,它们三者之间的关系为:)(*)()(t h t x t y =,由傅里叶变换的时域卷积定理可得到:
)()()(ωωωj H j X j Y =
3、1
或者: )
()
()(ωωωj X j Y j H =
3、2
)(ωj H 为系统的频域数学模型,它实际上就就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。即
⎰
∞
∞
--=
dt e t h j H t
j ωω)()( 3、
3
由于H(j ω)实际上就是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换,如果h(t)就是收敛的,或者说就是绝对可积(Absolutly integrabel)的话,那么H(j ω)一定存在,而且H(j ω)通常就是复数,因此,也可以表示成复数的不同表达形式。在研究系统的频率响应时,更多的就是把它表示成极坐标形式:
3_3连续时间LTI系统的零输入响应
y zi ( t ) 3e 2 t 2e 4 t ,
t 0
[例] 已知描述某连续时间LTI系统的微分方程式为: y" (t)+4y ' (t) +4y (t) = 3x(t), t >0 初始状态为y(0－) = 2，y'(0－) = －1，求系统零输入响应yzi(t)。 解: 系统的特征方程为 s 2 4s 4 0 系统的特征根为
yzi (t ) e1t ( K1 cos1t K2 sin 1t ) e it ( Kn1 cosit Kn sin it )
以上Ki 均由系统初始状态 y(0 ), y ' (0 ),...y ( n1) (0 ) 确定。
3.零输入响应的求解
求解过程 第一步：求出微分方程对应的特征根；
北京交通大学
信号处理课程组
连续时间LTI系统的零输入响应
零输入响应的定义
零输入响应的形式
零输入响应的求解
1.零输入响应的定义
输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的响应 称为零输入响应，记为 yzi (t ) 。 数学模型:
y( n ) (t ) an1 y( n1) (t ) a1 y '(t ) a0 y(t ) 0
第二步：根据特征根确定零输入响应的形式；
第三步：将初始状态代入零输入响应表示式， 解出待定系数即得到零输入响应。
连续时间LTI系统零状态响应
x1(t)
(t 1)
y1(t)
1
(1)
﹡
＝
1
1 0
1
t
t
0
1
0
1
2
t
2
y(t) 1
1
0
1
t
2
3. 卷积积分的性质
[例] 利用平移特性及u(t) * u(t)= r(t) ，计算y(t) = x(t) * h(t)。
解:
x(t)
h(t)
1
1
y(t)
1
t
3t
t
0
1
t
0
2
t 0 123
1 ht)
1+t 0 t
x()
2
t
y(t) 011 d t
[例] 计算 y(t) = x(t) * h(t)。 x(t) x( ) 1
ht) h( )
1
ht) 1
解： c) 1 t < 2
0
x( )h(t )
ht) 1
x()
0 1+t t 2
由此可见，连续时间LTI系统的零状态响应是输入信号 与系统冲激响应的卷积积分，此揭示了信号与系统在时域 相互作用的机理。
2. 卷积积分的计算
解析方法：直接按照卷积积分的表达式进行计算
信号与系统实验报告实验三连续时间LTI系统的频域分析
实验三 连续时间LTI 系统的频域分析
一、实验目的
1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义；
2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用；
3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义；
4、掌握用MATLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。
基本要求：掌握LTI 连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB 描述方法，深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB 计算和绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。
二、实验原理及方法
1 连续时间LTI 系统的频率响应
所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequency response ），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。
上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：)(*)()(t h t x t y =，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到：
)()()(ωωωj H j X j Y =
3.1
或者： )
()
()(ωωωj X j Y j H =
3.2
)(ωj H 为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。即
⎰∞
∞
--=
dt e
t h j H t
j ωω)()( 3.3
由于H(j ω)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说是绝对可积（Absolutly integrabel ）的话，那么H(j ω)一定存在，而且H(j ω)通常是复数，因此，也可以表示成复数的不同表达形式。在研究系统的频率响应时，更多的是把它表示成极坐标形式：
2.1LTI连续系统的响应
︸ 零状态响应
四、零输入响应和零状态响应
例3 描述某系统的微分方程为 y''(t) + 3y'(t) + 2y(t) = 2f'(t) + 6f(t)
已知y(0-)=2，y'(0-)=0，f(t)=u(t)。求该系统的 零输入响应和零状态响应。 解：（1）零输入响应
yzi(t) = 4e–t –2e–2t ,t > 0 （2）零状态响应
yzi(t)= 2 + e–t ， t≥0 求:当x1(0-)=3、x2(0-)=2，激励为2f(t)时系统的全响应。
izi(t) = Azi1e-2t + Azi2e-5t ，t≥0 要求解Azi1、Azi2，必须首先确定izi(0+)、 izi '(0+)。
四、零输入响应和零状态响应
带有起始值的等效电路
i(t)
+ e(t)
-
R1=1 iC(t)
C=1F
+ vC(0-)
-
iL(t)
L iL(0-)
R2=3/2
求: (1) 系统地零输入响应。 (2) 若起始状态不变，激励f3(t) = 5f1(t)时系统
地全响应。
四、零输入响应和零状态响应
练习 某二阶LTI连续系统的起始状态为x1(0-)和 x2(0-) ，当x1(0-)=1、x2(0-)=0时，其零输入响应为： yzi1(t)= e–t + e–2t ， t≥0 当x1(0-)=0、x2(0-)=1时，其零输入响应为： yzi2(t)= e–t - e–2t ， t≥0 当x1(0-)=1、x2(0-)=1，输入激励为f(t)时，其零输入 响应为：
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利用系统的线性特性和非时变特性， 可得系统的零状态响应为
y1zs (t ) 0.5 yzs (t - 1) (
1 17 -3( t -1) 19 -4( t -1) e - e )u(t - 1) 24 6 8
解：(3) 系统的零状态响应 零状态响应等于系统输入信号与冲激响应的卷积
yzs (t ) x(t ) * h(t ) u(t ) * (e -3t - e -4t )u(t )
1 1 1 ( - e -3t e -4t )u(t ) 12 3 4
连续时间LTI系统响应求解举例
[例] 描述某连续时间LTI系统的微分方程为 y "(t ) 7 y '(t ) 12 y(t ) x(t ), t 0
连续时间LTI系统响应求解举例
[例] 描述某连续时间LTI系统的微分方程为 y "(t ) 7 y '(t ) 12 y(t ) x(t ), t 0
激励信号x(t)=u(t)， 初始状态y(0-)=1，y’(0-)=2。 解：(5) 判断系统是否稳定 该连续时间LTI系统的冲激响应为
（4) 系统的完全响应 y(t) ； （5) 判断系统是否稳定。
连续时间LTI系统响应求解举例
[例] 描述某连续时间LTI系统的微分方程为 y "(t ) 7 y '(t ) 12 y(t ) x(t ), t 0
激励信号x(t)=u(t)， 初始状态y(0-)=1 ，y’(0-)=2 。 解：(1) 系统的零输入响应yzi(t) 特征方程 s 2 7s 12 0 -3 t -4 t y ( t ) K e K e 特征根为s1 -3 t 0 s2 -4 ， ， zi 1 2
h(t ) e -3t u(t ) - e -4t u(t )
-
h( ) d = (e-3t -e-4t )d 1 / 12
0
该连续时间LTI系统为稳定系统
连续时间LTI系统响应求解举例
[例] 若例题中激励信号改变为 x1 ( t ) 0.5u ( t - 1)，重求系统的零 输入响应 yzi (t ) 、零状态响应 y zs (t )和完全响应y(t)。 解： 由于系统的初始状态未变， 故系统的零输入响应不变，即
激励信号x(t)=u(t)， 初始状态y(0-)=1，y’(0-)=2。
5
解：(4) 系统的完全响应为
y(t ) yzi (t ) yzs (t )
1 17 -3t 19 -4 t e - e , t0 12 3 4
4 3 2 1 0 -1 -2
yzi (t ), yzs (t )和y(t)的波形如右图所示。
代入初始状态，y(0 - ) K1 K 2 1
y' (0- ) -3K1 - 4K2 2
K1=6, K2= －5
yzi (t ) 6e -3t - 5e -4 t , t 0 -
连续时间LTI系统响应求解举例
[例] 描述某连续时间LTI系统的微分方程为 y "(t ) 7 y '(t ) 12 y(t ) x(t ), t 0
北京交通大学
信号处理课程组
连续时间LTI系统响应求解举例
[例] 描述某连续时间LTI系统的微分方程为 y "(t ) 7 y '(t ) 12 y(t ) x(t ), t 0
激励信号x(t)=u(t)， 初始状态y(0-)=1 ，y’(0-)=2 。 试求: (1) 系统的零输入响应 yzi (t ) ； (2) 冲激响应 h(t) ； (3) 系统的零状态响应 yzs (t ) ；
y(t ) yzi (t ) yzs (t )
1 17 -3t 19 -4 t e - e , t0 12 3 4
17 -3t 19 -4 t y ( t ) e - e , t0 固有 3 4 y (t ) 1 , t0 强迫 12
17 -3t 19 -4 t y ( t ) e - e , t0 暂态 3 4 y (t ) 1 , t0 稳态 12
1
1.5
2
2.5
3
3.5 4 Time(sec)
4.5
5
5.5
6
连续时间LTI系统响应求解举例
总结： 1. 连续时间LTI系统的时域分析给出了连续时间 LTI系统的时域描述。 2. 连续时间LTI系统的时域分析揭示了信号与系统 在时域相互作用的机理。 3. 连续时间LTI系统的时域分析是以连续时间信号 的时域分析为基础。
-3 -4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Time(sec) 3.5 4
yzi(t) yzs(t) y(t) 4.5 5
连续时间LTI系统响应求解举例
[例] 描述某连续时间LTI系统的微分方程为 y "(t ) 7 y '(t ) 12 y(t ) x(t ), t 0
激励信号x(t)=u(t)， 初始状态y(0-)=1，y’(0-)=2。 解：(4) 系统的完全响应为
系统的零状态响应
y1zs (t ) ( 1 17 -3( t -1) 19 -4( t -1) e - e )u(t - 1) 24 6 8
y(t ) yzi (t ) y1zs (t )
(
1 17 -3( t -1) 19 -4( t -1) e - e )u(t - 1) 6e -3t - 5e -4 t , t 0 24 6 8
h (t ) ( e - 3 t - e -4 t )u (t )
连续时间LTI系统响应求解举例
[例] 描述某连续时间LTI系统的微分方程为 y "(t ) 7 y '(t ) 12 y(t ) x(t ), t 0
激励信号x(t)=u(t)， 初始状态y(0-)=1，y’(0-)=2。
Leabharlann Baidu
激励信号x(t)=u(t)， 初始状态y(0-)=1 ，y’(0-)=2 。 解：(2)系统的冲激响应h(t) h" (t ) 7h' (t ) 12h(t ) (t )
利用冲激平衡法，设h(t)的形式为 h (t ) ( Ae -3t Be -4 t )u (t ) 代入h" (t ) 7h' (t ) 12h(t ) (t )， 求得待定系数A =1，B =－1。可得冲激响应为
连续时间LTI系统响应求解举例
[例] 若例题中激励信号改变为x1(t)=0.5u(t−1) ，重求系统的零 输入响应 yzi (t ) 、零状态响应 y zs (t )和完全响应y(t)。
解：系统的零输入响应
yzi (t ) 6e-3t - 5e-4t , t 0-
5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 yzi(t) y1zs(t) y(t)