3_7连续时间LTI系统响应求解举例
信号与系统 连续时间LTI系统状态方程的求解解析
c1
e2 t
e
t
信号与系统 二、用时域法求解状态方程
所以得
eA t c0I c1A
2e t e2 t
1 0
0 1
e2t e t
1 0
1 2
e t e2t e t
0
e2 t
信号与系统 二、用时域法求解状态方程
e 例： 给定矩阵 A。求矩阵指数函数
At
A
1 1
1
3
解： 矩阵 A 的特征多项式为
s
1
12
4
3s 1
s
5
4 s 1 s
s s
3s2 s 4
s 12 4
s2 5s 1
s 12 4
4 5 s
1 5 s
19 s 3
5 s
12
5
4 s 23 55
s 12 4
4
4 5 s
1 5 s
x(t
)
y(t)
1 2
1
1(t) 2 (t )
1
x(t
)
系统输入为单位阶跃信号，初始状态
1 λ(0 ) 2
试求矩阵指数函数 eAt 、状态变量 λ(t)与输出 y(t) 。
信号与系统
解：系统的参量矩阵分别为
A
1 1
0 3
，
B
1 0
C
1 2
1
，
D 1
所以
(sI
A)
s
1 0
0 1
d
1
d
1
d m1
dm
1
e t
1
t m1e1 t
d m1
dm1
g
34连续时间LTI系统的冲激响应
=
3u(
)
2e
3(t
)u
(t
)d
详细求解见后
= 2(1 e3t )u(t)
卷积法求解yzs (t)的思路
(1) 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合 (2) 求出单位冲激信号作用在系统上的响应
—— 单位冲激响应h(t) (3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意信号x(t)激励
1. 冲激响应的定义
若描述连续时间LTI系统的常系数线性微分方程为
y(n) (t) an1 y(n1) (t) L a1 y '(t) a0 y(t)
bm x(m)
(t)
b x(m1) m1
(t)
L
b1x ' (t) b0x(t)
则连续时间LTI系统的冲激响应h(t)应满足
北京交通大学 信号处理课程组
连续时间LTI系统的冲激响应
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
系统的零状态响应 当系统的零状态响应是当系统的初始状态为零时，
由系统的外部激励 x(t) 而产生的响应，用表示yzs (t)。
连续时间LTI系统的冲激响应
假设单位冲激信号d (t)作用在系统上的冲激响应为h(t)
d (t)
系统
h(t)
零状态
而任意信号x(t) 都可以分解为单位冲激信号的线性组合，
即
x(t) x( ) d (t )d
零状态响应
yzs (t)
x( ) h(t )d
x(t) h(t)
即 yzs (t)为输入激励 x(t)与系统的冲激响应 h (t)的卷积积分。
山大信号与系统答案
第一章习题新闻来源：山东大学信息学院点击数：707 更新时间：2009-4-5 0:13 1—1 画出下列各函数的波形图。
（1）（2）（3）（4）1—2 写出图1各波形的数学表达式图1(1) (2)(3) 全波余弦整流(4) 函数1—3 求下列函数的值。
（1）（2）（3）（4）（5）1—4 已知，求，。
1—5 设，分别是连续信号的偶分量和奇分量，试证明1—6 若记，分别是因果信号的奇分量和偶分量，试证明，1—7 已知信号的波形如图2所示，试画出下列函数的波形。
（1）（2）图 21—8 以知的波形如图3所示,试画出的波形.图31—9 求下列各函数式的卷积积分。
（1），（2），1—10 已知试画出的波形并求。
1—11 给定某线性非时变连续系统，有非零初始状态。
已知当激励为时，系统的响应为时，系统的响应则为。
试求当初始状态保持不变，而激励为时的系统响1—12 设和分别为各系统的激励和响应，试根据下列的输入—输出关系，确定下列各⑴⑵（3）（4）第一章习题答案新闻来源：山东大学信息学院点击数：623 更新时间：2009-4-5 23:181-1 （1）（2）（3）（4）1-2（1）、（2）、或或（3）（4） =1-3（1）（2）（3）（4）（5）01-4 ，1-7 （1）（2）1-81-9（1）（2）1-101-111-12 （1）非线性、时不变系统。
（2）线性、时变系统。
（3）线性、时不变系统。
（4）线性、时变系统。
上一篇：没有上一篇资讯了下一篇：没有下一篇资讯了第二章习题新闻来源：山东大学信息学院点击数：412 更新时间：2009-4-9 22—1 已知给定系统的齐次方程是，分别对以下几种初始状态求解系1），2），3），2—2 已知系统的微分方程是当激励信号时，系统的全响应是，试确定系统的零输入2—3 已知系统的微分方程是该系统的初始状态为零。
1）若激励，求响应。
2）若在时再加入激励信号，使得时，，求系数。
2.1 LTI连续系统的响应
例1
例2
▲
■
第 14 页
0-和0+初始值举例1
例1：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + f(t)
将上述关系代入式（1），并整理得
■ 第 16 页
aδ” (t)+bδ’(t)+Cδ(t)+r1(t) + 3aδ’(t)+3bδ(t)+3r2(t) + 2aδ(t)+2r3(t)= 2δ” (t) + δ’(t)
比较等式两边冲激项系数，有
a=2
b+3a=1
c+3b+2a=0
解得：a=2，b=-5，c=11，故
dt2
dt
dt
如果已知： 1 f t t2; 2 f t et , 分别求两种情况下此
方程的特解。
■
第7页
特解举例
例：给定微分方程式
d2 yt 2 d yt 3yt d f t f t
dt2
dt
dt
如果已知： 1 f t t2; 2 f t et , 分别求两种情况下此
方程的特解。
故
y(0+) = y(0-) = 2
■ 第 20 页
对式(1)两端积分有
0
0
0
0
0
y''(t)dt 3 y'(t)dt 2 y(t)dt 2 (t)dt 6 (t)dt
陈后金《信号与系统》(第2版)配套题库【名校考研真题+课后习题+章节题库+模拟试题】(上册)
图2-2
3．有一离散时间信号
（1）画出
（2）求序列 学]
使之满足
解：（1）
又 比较上述两式可得： 故如图2-3所示。
[电子科技大
图2-3
4．已知 如图2-4（a），画出
和
的波形。[北
京理工大学]
解：将 反转得 如图2-4（b）所示，将它们相加、减得 ，波形如图2-4（c）、（d）所示。
图2-4 5．已知f（t）的波形如图2-5所示，令r（t）＝tu（t）。
大学]
图1-2 解：因为：
故：
y2（t）的波形如图1-3所示。
图1-3 3．将如图1-4（a）、（b）所示的连续信号展成如下形式：
给出信号
最简单的解析表达形式。[北京航空航天大学]
图1-4
解：（a）该信号可分为两段：
和
可化简为
故
，即：
（b）该信号可分为三段： 可化简为 故
，即
4．求
的值。[北京航空航天大学2006研]
，应该与齐次解有关，即系统的特征根为－1和－3，故特征方程应为 ，即a0＝4，a1＝3。
（2）设系统对激励 rzs（t），则
的零输入响应和零状态响应分别为rzi（t）和
由于
，则由线性时不变系统的微分特性可知
同时，设系统的单位冲激响应为h（t），则由线性时不变系统的叠加性 可知
由式（1）、式（2），并设
陈后金《信号与系统》（第2版）配 套模拟试题及详解
第一部分 名校考研真题 第1章 信号与系统分析导论 一、选择题
1．方程 天大学2007研] A．线性时不变 B．非线性时不变 C．线性时变 D．非线性时变 E．都不对 【答案】B
描述的系统是（ ）。[北京航空航
连续LTI系统零状态响应求解方法的分析
连续LTI系统零状态响应求解方法的分析张淑敏【摘要】【摘要】零状态响应是电子技术相关课程中的一个重要概念，本文将通过对时域分析法和（复）频域分析法求解连续LTI系统零状态响应的分析，着重讨论卷积法在（复）频域分析中的应用及优越性。
首先概述每种方法的基本求解原理，然后通过实例说明具体求解中的优点、不足，有助于我们加深对每种方法的理解与掌握。
【期刊名称】科技展望【年(卷),期】2014(000)020【总页数】2【关键词】【关键词】时域分析（复）频域分析卷积目前电子技术和集成电路正在迅速发展，在电子等专业领域，对信号和系统的学习十分必要，而在信号与系统分析中，线性时不变系统的零状态响应的分析尤为重要并更具现实意义，因此应该摆在学习的重要位置上。
1 连续时间信号与系统1.1 连续时间信号信号是信息的物理表现形式，是传输各种消息的工具。
连续时间信号是指在连续时间点上均有意义的信号，又称模拟信号。
1.2 连续时间系统系统是处理或变换信号的物理设备，是由若干相互联系，相互作用的单元组成的具有一定功能的有机整体。
若系统中各个子系统的输入、输出均为连续时间信号，即系统处理的是连续时间信号，则称此系统为连续时间系统。
2 零状态响应系统的响应是指当给系统输入某信号时，系统将得到相应的输出信号。
将这一动作称为系统对输入的响应。
零状态响应是指在初始状态为零的条件下，系统由外加输入（激励）信号引起的响应。
又称为受迫响应。
一般用yzs(t )来表示3 连续LTI系统零状态响应的分析方法连续线性时不变系统指具有线性性质和时不变性质的连续系统。
用LTI表示。
所谓线性性质是指系统的输入信号与输出信号之间呈线性关系。
例如:假设系统输入信号x1(t)得到输出y1(t)，输入信号x2(t)得到输出y2(t)，那么当输入信号为a x1(t)+b x2(t)时将得到输出为a y1(t)+by2(t)。
所谓时不变性是指系统的输出波形与输入的起始作用时刻无关。
信号与系统连续时间LTI系统的几种响应求解方法及例题
解:
(3) )
Ae 2t
Be 4t
1 et 3
y(0) A B 1 1
y' (0)
2A
3 4B
1
2
解得 A=5/2，B= 11/6
连续时间LTI系统的响应
1. 经典时域分析方法: 求解微分方程 2. 卷积法:
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
y(t) yzi (t) yzs (t) yzi (t) f (t) * h(t)
✓ 求解齐次微分方程得到零输入响应 ✓ 利用卷积积分可求出零状态响应
二、卷积法
解: 系统的特征方程为 系统的特征根为
s2 4s 4 0
s1 s2 2 （两相等实根）
y x (t) K1e 2t K 2te 2t
y(0)=yx(0)=K1=2; y'(0)= y'x(0)= 2K1+K2 =-1
解得 K1 = 2, K2= 3
yx (t) 2e2t 3te2t , t 0
t 0 t0 t 0 t0
解: (2) 求非齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t)
由输入f (t)的形式，设方程的特解为
yp(t) = Cet
t>0
将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
§3.7 连续时间LTI系统的频率响应
一、连续时间LTI系统频率响应的定义 连续时间 系统频率响应的定义
系统频率响应 H(ω)一般是 ω 的复函数，可以表示为 ω 一般是 的复函数，
H(ω) = H(ω) e jϕ(ω)
称为系统的幅频响应特性，简称幅频响应或幅频特性 幅频特性， H(ω) 称为系统的幅频响应特性，简称幅频响应或幅频特性， 是 ω 的偶函数 称为系统的相频响应特性，简称相频响应或相频特性， 称为系统的相频响应特性，简称相频响应或相频特性， 相频特性 是 ω 的奇函数 说明：系统频率响应只与系统本身的特性有关，而与激励无关， 说明 ： 系统频率响应只与系统本身的特性有关 ， 而与激励无关 ， 是表征系统特性的一个重要参数。 是表征系统特性的一个重要参数。
比。 因此由图根据分压原理得系统的频率响应为
V2 (ω) R jω = = H(ω) = 1 V1(ω) R + 1 jω + jωC RC
三、频率响应的计算
从而得幅频响应为
H (ω) =
ω 1 2 ω + RC
2
相频特性为 ϕ(ω) =
π − arctanCRω 2
H ( j ω)
∞
存在的狄里赫利条件中的绝对可积条件。 亦即频率响应 H(ω) 存在的狄里赫利条件中的绝对可积条件。 结论：存在性依赖于稳定性。 结论：存在性依赖于稳定性。 (2) 频率响应具有共轭对称性，即 H(−ω) = H∗ (ω) 频率响应具有共轭对称性， 共轭对称性
−∞
∫ h(t)dt < ∞
二、频率响应的性质
∞
HI (η) 其中 dη HR (ω) = ∫ π −∞ ω −η 1
∞
HI (ω) = −
称为希尔伯特变换对。 称为希尔伯特变换对。 希尔伯特变换对 说明: 说明 具有因果性的系统的系统函数的实部 HR(ω) 被已知的虚部
[工学] 第3章1 LTI系统的描述及特点_连续LTI系统响应
![[工学] 第3章1 LTI系统的描述及特点_连续LTI系统响应](https://img.taocdn.com/s3/m/7c4dc7193968011ca30091ad.png)
2、冲激平衡法 求系统的单位冲激响应
h ( n ) (t ) an1h ( n1) (t ) a1h' (t ) a0 h(t ) bm ( m) (t ) bm1 ( m1) (t ) b1 ' (t ) b0 (t )
由于t >0+后, 方程右端为零, 故 n>m 时
求解系统的零状态响应yzs (t)方法：
1) 直接求解初始状态为零的微分方程。
2) 卷积法：
利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。
卷积法求解系统零状态响应yzs(t)的思路
1) 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合
2) 求出单位冲激信号作用在系统上的响应 —— 冲激响应 3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意 信号f(t)激励下系统的零状态响应yzs (t) 。
?线性时不变系统的描述及特点?连续时间lti系统的响应连续时间系统的冲激响应卷积积分及其性质连续时间系统的冲激响应卷积积分及其性质?离散时间lti系统的响应离散时间系统的单位脉冲响应卷积和及其性质系统的响应离散时间系统的单位脉冲响应卷积和及其性质?冲激响应表示的系统特性第第3章系统的时域分析lti系统分析方法概述一系统理论中的主要问题
§3.1 线性时不变系统的描述及特点
例1 求并联电路的端电压 vt 与激励 is t 间的关系。
解
1 电阻 iR t vt R
iR
iL
L C
电感
d vt 电容 iC t C dt iR t iL t iC t iS t 根据KCL
s1 2，s2 3
y x (t ) K1e 2t K 2 e 3t
y(0)=yx(0)=K1+K2=1
lti连续时间系统零状态响应的求解方法
lti连续时间系统零状态响应的求解方法1. 介绍在连续时间系统的分析中，零状态响应是指某个系统在初始状态为零的情况下，接收到某个输入信号后的输出响应。
在实际问题中，求解零状态响应是一个重要的任务，本文将介绍lti连续时间系统零状态响应的求解方法。
2. 基本思路求解lti连续时间系统的零状态响应的基本思路是将系统输入分解成一组基函数，然后根据基函数的性质求解对应的输出响应，最后将所有响应按照线性叠加原理相加得到系统的总输出响应。
在lti连续时间系统中，常用的基函数包括单位脉冲响应、单位阶跃响应和正弦信号等。
3. 单位脉冲响应法单位脉冲响应法是求解lti连续时间系统零状态响应的常用方法。
具体方法是将系统的初始状态设置为零，输入信号为单位脉冲函数，然后求解系统对单位脉冲函数的响应，得到系统的单位脉冲响应ht(t)，最后将ht(t)与输入信号进行卷积计算，得到系统的零状态响应y(t)。
如下图所示：其中，δ(t)表示单位脉冲函数，ht(t)表示系统的单位脉冲响应，x(t)表示系统的输入信号，y(t)表示系统的零状态响应。
4. 单位阶跃响应法单位阶跃响应法也是求解lti连续时间系统零状态响应的一种常用方法。
具体方法是将系统的初始状态设置为零，输入信号为单位阶跃函数，然后求解系统对单位阶跃函数的响应，得到系统的单位阶跃响应h(t)，最后将h(t)与输入信号进行卷积计算，得到系统的零状态响应y(t)。
如下图所示：其中，u(t)表示单位阶跃函数，h(t)表示系统的单位阶跃响应，x(t)表示系统的输入信号，y(t)表示系统的零状态响应。
5. 正弦信号法除了单位脉冲响应法和单位阶跃响应法之外，还可以利用正弦信号作为基函数进行求解。
正弦信号法的基本思路是将输入信号分解成一组正弦信号，并求解系统对每个正弦信号的响应，最后将所有响应按照线性叠加原理相加得到系统的总输出响应。
信号与系统第三版郑君里课后习题答案
信号与系统第三版郑君里课后习题答案第一章习题参考解1，判刑下列信号的类型解：()sin[()];y t A x t = 连续、模拟、周期、功率型信号 。
()()tt y t x e d τττ--∞=⎰ 连续、模拟、非周期、功率型信号。
()(2y n x n =） 离散、模拟、非周期、功率型信号。
()()y n nx n = 离散、模拟、非周期、功率型信号。
1－6，示意画出下列各信号的波形，并判断其类型。
(1) 0()sin()x t A t ωθ=+ 连续、模拟、周期、功率型(2) ()tx t Ae -= 连续、模拟、非周期、只是一个函数，不是物理量。
(3) ()cos 0t x t e t t -=≥ 连续、模拟、非周期、能量型 (4) ()2112,x t t t =+-≤≤ 连续、模拟、非周期、能量型(5) 4()(),0.5kx k k =≥ 离散、模拟、非周期、能量型 (6) 0().j kx k eΩ= 离散、模拟、周期、功率型()sin[()];()()()(2);()()tt y t A x t y t x ed y n x n y n nx n τττ--∞====⎰1－6题，1－4图。
t=-pi:1/200:pi;y1=1.5*sin(2*t+pi/6);subplot(4,1,1),plot(t,y1),title('1.5sin(2*t+pi/6)'),gridy2=2*exp(-t);subplot(4,1,2),plot(t,y2),title('2exp(-t)'),gridt1=0:1/200:2*pi;y3=10*exp(-t1).*cos(2*pi*t1);subplot(4,1,3),plot(t1,y3),title('10exp(-t1)cos(2*pi*t1)'),grid t2=-1:1/200:2;y4=2*t2+1;subplot(4,1,4),plot(t2,y4),title('2x+1'),grid习题1－6 5－6题 n=0:pi/10:2*pi; y=(0.8).^n;subplot(4,1,1),stem(n,y,'fill '),title('(0.8)^n'),grid n1=0:pi/24:2*pi;y1=cos(2*pi*n1);y2=sin(2*pi*n1);subplot(4,1,2),stem3(y1,y2,n1,'fill '),title('exp[2*pi*n1'),grid subplot(4,1,4),stem(n1,sin(2*pi*n1),'fill '),title('sin2pin1'),grid subplot(4,1,3),stem(n1,cos(2*pi*n1),'fill'),title('cos2pin1)'),grid1－8，判断下列系统的类型。
信号与系统课后习题参考答案
信号与系统课后习题参考答案1试分别指出以下波形就是属于哪种信号？题图1-11-2试写出题1-1图中信号得函数表达式。
1-3已知信号与波形如题图1-3中所⽰,试作出下列各信号得波形图,并加以标注。
题图1-3⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼1-4已知信号与波形如题图1-4中所⽰,试作出下列各信号得波形图,并加以标注。
题图1-4⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼1-5已知信号得波形如题图1-5所⽰,试作出信号得波形图,并加以标注。
题图1-51-6试画出下列信号得波形图:⑴⑵⑶⑷1-7试画出下列信号得波形图:⑴⑵⑶⑷⑸⑹1-8试求出以下复变函数得模与幅⾓,并画出模与幅⾓得波形图。
⑴⑵⑶⑷1-9已知信号,求出下列信号,并画出它们得波形图。
1-10试作出下列波形得奇分量、偶分量与⾮零区间上得平均分量与交流分量。
题图1-101-11试求下列积分:⑴⑵⑶⑷⑸⑹1-12试求下列积分:⑴⑵⑴(均为常数)⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻1-14如题图1-14中已知⼀线性时不变系统当输⼊为时,响应为。
试做出当输⼊为时,响应得波形图。
题图1-14 1-15已知系统得信号流图如下,试写出各⾃系统得输⼊输出⽅程。
题图1-151-16已知系统⽅程如下,试分别画出她们得系统模拟框图。
⑴⑵⑶1-17已知⼀线性时不变系统⽆起始储能,当输⼊信号时,响应,试求出输⼊分别为与时得系统响应。
第⼆章习题2-1试计算下列各对信号得卷积积分:。
⑴(对与两种情况)⑵⑶⑷⑸⑹2-2试计算下列各对信号得卷积与:。
⑴(对与两种情况)⑵⑶⑷⑸⑹2-3试计算下图中各对信号得卷积积分:,并作出结果得图形。
题图2-32-4试计算下图中各对信号得卷积与:,并作出结果得图形。
题图2-42-5已知,试求:⑴⑵⑶2-7系统如题图2-7所⽰,试求系统得单位冲激响应。
已知其中各⼦系统得单位冲激响应分别为:题图2-72-8设已知LTI 系统得单位冲激响应,试求在激励作⽤下得零状态响应。
2-9⼀LTI 系统如题图2-9所⽰,由三个因果LTI ⼦系统级联⽽成,且已知系统得单位样值响应如图中。
7连续时间LTI系统响应求解举例
(2) 冲激响应h (t )；（4) 系统的完全响应y (t ) ；)(zi t y (1) 系统的零输入响应；(3) 系统的零状态响应；（5) 判断系统是否稳定。
[例]描述某连续时间LTI 系统的微分方程为激励信号x (t )=u (t )，初始状态y (0-)=1，y ’(0-)=2 。
试求:解：(1)系统的零输入响应y zi (t )特征根为31-=s 42-=s ，34zi 12()e e t t y t K K --=+-≥0t ，1)0(21=+=-K K y 243)0('21=--=-K K y 代入初始状态，K 1=6, K 2= －5特征方程01272=++s s34zi ()6e 5e ,0t t y t t ---=-≥[例]描述某连续时间LTI 系统的微分方程为激励信号x (t )=u (t )，初始状态y (0-)=1，y ’(0-)=2 。
解：)()e e ()(43t u B A t h t t --+=)()e e ()(43t u t h t t ---=(2)系统的冲激响应h (t )利用冲激平衡法，设h (t )的形式为)()(12)('7)("t t h t h t h δ=++代入，)()(12)('7)("t t h t h t h δ=++求得待定系数A =1，B =－1。
可得冲激响应为[例]描述某连续时间LTI 系统的微分方程为激励信号x (t )=u (t )，初始状态y (0-)=1，y ’(0-)=2 。
解：(3)系统的零状态响应)(*)()(zs t h t x t y =)()e e (*)(43t u t u t t ---=)()e 41e 31121(43t u t t --+-=[例]描述某连续时间LTI 系统的微分方程为激励信号x (t )=u (t )，初始状态y (0-)=1，y ’(0-)=2。
信号与系统连续时间LTI系统的几种响应求解方法及例题
谢谢您的聆听
THANKS
优点
能够直接得到系统在任意 时刻的响应值。
缺点
计算量大，需要逐个时间 点进行计算。
拉普拉斯变换法
定义
拉普拉斯变换法是一种将时域函 数转换为复频域函数的数学工具。
01
描述ห้องสมุดไป่ตู้
02 通过拉普拉斯变换，将系统的微 分方程转化为代数方程，然后求 解得到系统在复频域的响应。
优点
能够方便地求解高阶微分方程， 适用于具有复杂特性的系统。 03
拉普拉斯变换法
能够求解系统的零状态响应，但需要 已知系统传递函数，且变换过程可能 较为复杂。
05
结论
总结
本文介绍了求解连续时间LTI系统响应的几种方法，包括时域法和频域法。 通过具体实例，展示了这些方法在求解系统响应中的应用和优势。
时域法通过建立和求解微分方程来获取系统输出，具有直观和物理意义 明确的优点。而频域法则通过分析系统函数的频域特性来求解响应，具
信号与系统连续时间LTI系统的 几种响应求解方法及例
CONTENTS
• 引言 • 几种响应求解方法 • 例题解析 • 方法比较与选择 • 结论
01
引言
背景介绍
01
信号与系统是电子工程和通信工 程的重要基础学科，主要研究信 号和系统在时域和频域的行为和 特性。
02
在信号与系统中，线性时不变 （LTI）系统是最基本、最重要的 系统之一，其响应求解是研究的重 要内容。
LTI系统的基本概念
LTI系统是指系统的输出仅与输入和系统 的状态有关，而与时间无关。
LTI系统具有线性、时不变和因果性等基 本特性。
信号与系统实验报告实验三 连续时间LTI系统的频域分析
实验三 连续时间LTI 系统的频域分析一、实验目的1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义;2、掌握系统频率响应特性的计算方法与特性曲线的绘制方法,理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用;3、学习与掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义;4、掌握用MA TLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。
基本要求:掌握LTI 连续与离散时间系统的频域数学模型与频域数学模型的MATLAB 描述方法,深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义,理解滤波与滤波器的概念,掌握利用MATLAB 计算与绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。
二、实验原理及方法1 连续时间LTI 系统的频率响应所谓频率特性,也称为频率响应特性,简称频率响应(Frequency response),就是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况,包括响应的幅度随频率的变化情况与响应的相位随频率的变化情况两个方面。
上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号与响应信号,h(t)就是系统的单位冲激响应,它们三者之间的关系为:)(*)()(t h t x t y =,由傅里叶变换的时域卷积定理可得到:)()()(ωωωj H j X j Y =3、1或者: )()()(ωωωj X j Y j H =3、2)(ωj H 为系统的频域数学模型,它实际上就就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。
即⎰∞∞--=dt e t h j H tj ωω)()( 3、3由于H(j ω)实际上就是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换,如果h(t)就是收敛的,或者说就是绝对可积(Absolutly integrabel)的话,那么H(j ω)一定存在,而且H(j ω)通常就是复数,因此,也可以表示成复数的不同表达形式。
在研究系统的频率响应时,更多的就是把它表示成极坐标形式:)()()(ωϕωωj ej H j H = 3、4上式中,)j (ωH 称为幅度频率相应(Magnitude response),反映信号经过系统之后,信号各频率分量的幅度发生变化的情况,)(ωϕ称为相位特性(Phase response),反映信号经过系统后,信号各频率分量在相位上发生变换的情况。
实验二连续时间LTI系统的时域分析
实验二连续时间LTI系统的时域分析一、实验目的：1、学会使用符号法求解连续系统的零输入响应和零状态响应2、学会使用数值法求解连续系统的零状态响应3、学会求解连续系统的冲激响应和阶跃响应二、实验原理及实例分析1、连续时间系统零输入响应和零状态响应的符号求解连续时间系统可以使用常系数微分方程来描述，其完全响应由零输入响应和零状态响应组成。
MATLAB符号工具箱提供了dsolve函数，可以实现对常系数微分方程的符号求解，其调用格式为：dsolve(‘eq1,eq2…’,’cond1,cond2,…’,’v’)其中参数eq表示各个微分方程，它与MATLAB符号表达式的输入基本相同，微分和导数的输入是使用Dy，D2y，D3y来表示y的一价导数，二阶导数，三阶导数；参数cond表示初始条件或者起始条件；参数v表示自变量，默认是变量t。
通过使用dslove函数可以求出系统微分方程的零输入响应和零状态响应，进而求出完全响应。
2、连续时间系统零状态响应的数值求解在实际工程中使用较多的是数值求解微分方程。
对于零输入响应来说，其数值解可以通过函数initial 来实现，而该函数中的参量必须是状态变量所描述的系统模型，由于现在还没有学习状态变量相关内容，所以此处不做说明。
对于零状态响应，MATLAB 控制系统工具箱提供了对LTI 系统的零状态响应进行数值仿真的函数lsim ，利用该函数可以求解零初始条件下的微分方程的数值解。
其调用格式为：y=lsim(b,a,f,t)，其中t 表示系统响应的时间抽样点向量，f 是系统的输入向量； b 和a 分别为微分方程右端和左端的系数向量，若不带返回参数y ，则直接在屏幕上绘制输入信号x 和响应信号的波形。
例如，对于微分方程)()()()()()()()(0'1''2'''30'1''2'''3t f b t f b t f b f f b t y a t y a t y a t y a +++=+++可以使用32103210[,,,];[,,,]a a a a a b b b b b ==注意，如果微分方程的左端或者右端表达式有缺项，则其向量a 或者b 中对应元素应该为零，不能省略不写。
连续LTI系统频率响应的计算方法
(t)
LdiL (t) dt
vL(t)
L
VL( j) LjIL( j)
-
VL ( j) jL
IL ( j)
例 图示R C 电路系统，激励电压源为x(t)，输出电压 y(t) 电容两端的电压vC(t)，电路的初始状态为零。求系统的
频率响应H(j)和冲激响应h(t)。
R
R
+
x(t)
-
+
C
y(t)
-
1/RC
2/RC
3/RC
4/RC
随着频率的增加，系统的幅度响应|H(j)|不断减小，说明信
号的频率越高，信号通过该系统的损耗也就越大。
由于|H(j(1/RC))|0.7，所以把c=1/RC称为该系统的3dB截频。
连续LTI系统频率响应的计算方法
谢谢
本课程所引用的一些素材为主讲老师多年的教学 积累，来源于多种媒体及同事、同行、朋友的交流， 难以一一注明出处，特此说明并表示感谢！
➢根据描述连续LTI系统的微分方程，计算系统的频率响应
若描述LTI系统的微分方程为
y ''(t) a2 y '(t) a1y '(t) a0 y(t) b2x '(t) b1x '(t) b0x(t) 利用Fourier变换的微分特性，微分方程的频域表示式为
[( j)3 a ( j)2 a ( j) a ]Y ( j)=[b ( j)2 b ( j) b ]X ( j)
H ( j) F {h(t)} h(t)e jtdt
例 已知某连续LTI系统的冲激响应为
h(t) = (ete2t) u(t)，求该系统的频率响应H(j)。
解： 利用H(j)与h(t)的关系
2.1LTI连续系统的响应
四、零输入响应和零状态响应
系统响应的分解可以表示为：
y(t) = 4 e−2t − 2 e−5t + 8
3
15
5
︸ ︸ 自由响应 强迫响应
（瞬态响应） （稳态响应）
= − 4 e −2t + 2 e −5t + 8 e −2t − 4 e −5t + 8
3
15 3
15
5
︸ 零输入响应
k =1
k =1
︸ 零输入响应
︸ 零状态响应
四、零输入响应和零状态响应
例2 给定电路如图，t<0时开关S处于1的位置，而且 已经达到稳态；t=0时，开关转向2，把t<0时的电路 状态看作起始状态，求t>0时i(t)的零输入和零状态响
应。
2 S R1=1
i(t)
1
பைடு நூலகம்
iC(t)
iL(t)
+
e(t)=4V -
n
∑ yzi (t) = Azik exkt k =1
由于没有外加激励的作用，因此系统的状态不会发 生变化，即y (k) (0+)= y (k) (0-) ，于是， yzi(t)中的常数 可以由 y (k) (0-)确定。
四、零输入响应和零状态响应
零状态响应的定义：不考虑起始时刻系统的储能作 用（系统起始状态为零），仅由外加激励信号所产 生的响应，记为yzs(t)。它满足方程 an yzs (n) (t) +an-1 yzs (n-1) (t) +…+a1 yzs (1) (t) + a0 yzs (t) = bm f(m) (t) + bm-1 f(m-1) (t) + …+b1 f(1) (t) + b0 f (t) 及起始状态y (k) (0-) (k=0,1,…,n-1) ，其表达式为：
信号与系统实验报告实验三连续时间LTI系统的频域分析
实验三 连续时间LTI 系统的频域分析一、实验目的1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义；2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用；3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义；4、掌握用MATLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。
基本要求：掌握LTI 连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB 描述方法，深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB 计算和绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。
二、实验原理及方法1 连续时间LTI 系统的频率响应所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequency response ），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。
上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：)(*)()(t h t x t y =，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到：)()()(ωωωj H j X j Y =3.1或者： )()()(ωωωj X j Y j H =3.2)(ωj H 为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。
即⎰∞∞--=dt et h j H tj ωω)()( 3.3由于H(j ω)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说是绝对可积（Absolutly integrabel ）的话，那么H(j ω)一定存在，而且H(j ω)通常是复数，因此，也可以表示成复数的不同表达形式。
在研究系统的频率响应时，更多的是把它表示成极坐标形式：)()()(ωϕωωj ej H j H = 3.4上式中，)j (ωH 称为幅度频率相应（Magnitude response ），反映信号经过系统之后，信号各频率分量的幅度发生变化的情况，)(ωϕ称为相位特性（Phase response ），反映信号经过系统后，信号各频率分量在相位上发生变换的情况。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
连续时间LTI系统响应求解举例
[例] 描述某连续时间LTI系统的微分方程为 y "(t ) 7 y '(t ) 12 y(t ) x(t ), t 0
激励信号x(t)=u(t)， 初始状态y(0-)=1，y’(0-)=2。
h(t ) e -3t u(t ) - e -4t u(t )
-
h( ) d = (e-3t -e-4t )d 1 / 12
0
该连续时间LTI系统为稳定系统
连续时间LTI系统响应求解举例
[例] 若例题中激励信号改变为 x1 ( t ) 0.5u ( t - 1)，重求系统的零 输入响应 yzi (t ) 、零状态响应 y zs (t )和完全响应y(t)。 解： 由于系统的初始状态未变， 故系统的零输入响应不变，即
y(t ) yzi (t ) yzs (t )
1 17 -3t 19 -4 t e - e , t0 12 3 4
17 -3t 19 -4 t y ( t ) e - e , t0 固有 3 4 y (t ) 1 , t0 强迫 12
17 -3t 19 -4 t y ( t ) e - e , t0 暂态 3 4 y (t ) 1 , t0 稳态 12
北京交通大学
信号处理课程组
连续时间LTI系统响应求解举例
[例] 描述某连续时间LTI系统的微分方程为 y "(t ) 7 y '(t ) 12 y(t ) x(t ), t 0
Байду номын сангаас
激励信号x(t)=u(t)， 初始状态y(0-)=1 ，y’(0-)=2 。 试求: (1) 系统的零输入响应 yzi (t ) ； (2) 冲激响应 h(t) ； (3) 系统的零状态响应 yzs (t ) ；
连续时间LTI系统响应求解举例
[例] 若例题中激励信号改变为x1(t)=0.5u(t−1) ，重求系统的零 输入响应 yzi (t ) 、零状态响应 y zs (t )和完全响应y(t)。
解：系统的零输入响应
yzi (t ) 6e-3t - 5e-4t , t 0-
5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 yzi(t) y1zs(t) y(t)
-3 -4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Time(sec) 3.5 4
yzi(t) yzs(t) y(t) 4.5 5
连续时间LTI系统响应求解举例
[例] 描述某连续时间LTI系统的微分方程为 y "(t ) 7 y '(t ) 12 y(t ) x(t ), t 0
激励信号x(t)=u(t)， 初始状态y(0-)=1，y’(0-)=2。 解：(4) 系统的完全响应为
解：(3) 系统的零状态响应 零状态响应等于系统输入信号与冲激响应的卷积
yzs (t ) x(t ) * h(t ) u(t ) * (e -3t - e -4t )u(t )
1 1 1 ( - e -3t e -4t )u(t ) 12 3 4
连续时间LTI系统响应求解举例
[例] 描述某连续时间LTI系统的微分方程为 y "(t ) 7 y '(t ) 12 y(t ) x(t ), t 0
连续时间LTI系统响应求解举例
[例] 描述某连续时间LTI系统的微分方程为 y "(t ) 7 y '(t ) 12 y(t ) x(t ), t 0
激励信号x(t)=u(t)， 初始状态y(0-)=1，y’(0-)=2。 解：(5) 判断系统是否稳定 该连续时间LTI系统的冲激响应为
（4) 系统的完全响应 y(t) ； （5) 判断系统是否稳定。
连续时间LTI系统响应求解举例
[例] 描述某连续时间LTI系统的微分方程为 y "(t ) 7 y '(t ) 12 y(t ) x(t ), t 0
激励信号x(t)=u(t)， 初始状态y(0-)=1 ，y’(0-)=2 。 解：(1) 系统的零输入响应yzi(t) 特征方程 s 2 7s 12 0 -3 t -4 t y ( t ) K e K e 特征根为s1 -3 t 0 s2 -4 ， ， zi 1 2
系统的零状态响应
y1zs (t ) ( 1 17 -3( t -1) 19 -4( t -1) e - e )u(t - 1) 24 6 8
y(t ) yzi (t ) y1zs (t )
(
1 17 -3( t -1) 19 -4( t -1) e - e )u(t - 1) 6e -3t - 5e -4 t , t 0 24 6 8
代入初始状态，y(0 - ) K1 K 2 1
y' (0- ) -3K1 - 4K2 2
K1=6, K2= －5
yzi (t ) 6e -3t - 5e -4 t , t 0 -
连续时间LTI系统响应求解举例
[例] 描述某连续时间LTI系统的微分方程为 y "(t ) 7 y '(t ) 12 y(t ) x(t ), t 0
t 0激励信号 x1 (t ) 0.5u ( t - 1) 0.5 x(t - 1) yzi (t ) 6e-3t - 5e-4t ,
利用系统的线性特性和非时变特性， 可得系统的零状态响应为
y1zs (t ) 0.5 yzs (t - 1) (
1 17 -3( t -1) 19 -4( t -1) e - e )u(t - 1) 24 6 8
1
1.5
2
2.5
3
3.5 4 Time(sec)
4.5
5
5.5
6
连续时间LTI系统响应求解举例
总结： 1. 连续时间LTI系统的时域分析给出了连续时间 LTI系统的时域描述。 2. 连续时间LTI系统的时域分析揭示了信号与系统 在时域相互作用的机理。 3. 连续时间LTI系统的时域分析是以连续时间信号 的时域分析为基础。
激励信号x(t)=u(t)， 初始状态y(0-)=1，y’(0-)=2。
5
解：(4) 系统的完全响应为
y(t ) yzi (t ) yzs (t )
1 17 -3t 19 -4 t e - e , t0 12 3 4
4 3 2 1 0 -1 -2
yzi (t ), yzs (t )和y(t)的波形如右图所示。
激励信号x(t)=u(t)， 初始状态y(0-)=1 ，y’(0-)=2 。 解：(2)系统的冲激响应h(t) h" (t ) 7h' (t ) 12h(t ) (t )
利用冲激平衡法，设h(t)的形式为 h (t ) ( Ae -3t Be -4 t )u (t ) 代入h" (t ) 7h' (t ) 12h(t ) (t )， 求得待定系数A =1，B =－1。可得冲激响应为