九年级数学全册 拔高专题 旋转变化中的压轴题练习
中考数学压轴题专题复习—初中数学旋转的综合
中考数学压轴题专题复习一初中数学旋转的综合
一、旋转
1.（操作发现）
（1）如图1，△ ABC为等边三角形，先将三角板中的60°角与/ACB重合，再将三角板绕
点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°）,旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板斜边上取一点F,使CF=CD线段AB上取点E,使/ DCE=30，连接AF, EF.
①求/ EAF的度数；
②DE与EF相等吗？请说明理由；
（类比探究）
（2）如图2, △ ABC为等腰直角三角形， / ACB=90 ,先将三角板的90°角与/ ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0。且小于45）,旋转后三角板的一直
角边与AB交于点D,在三角板另一直角边上取一点F,使CF=CD线段AB上取点E,使
/ DCE=45，。连接AF, EF.请直接写出探究结果：
①/ EAF的度数；
②线段AE, ED, DB之间的数量关系.
【答案】（1）① 120° ②DE=EF；（2）①90° ②AE2+DB2=DE2
【解析】
试题分析：（1）①由等边三角形的性质得出AC=BC, / BAC=Z B=60°,求出
/ ACF=Z BCD,证明△ ACF^A BCD,得出 / CAF=Z B=60 ° 求出 / EAF=Z BAC+Z CAF=120 ；°② 证出Z DCE=Z FCE由SAS证明△ DCE^ △ FCE得出DE=EF即可；
（2）① 由等腰直角三角形的性质得出AC=BC Z BAC=Z B=45°,证出Z ACF=Z BCD,由
SAS证明△ ACF^A BCD,得出Z CAF=Z B=45 ° , AF=DB,求出Z EAF=Z BAC+Z CAF=90 °
九年级数学全册拔高专题旋转变化中的压轴题练习
拔高专题：旋转变化中的压轴题
一、基本模型构建
二、拔高精讲精练
探究点一：以三角形为基础的图形的旋转变换
例1：（2015•盘锦中考）如图1，△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B 在线段AE 上，点C 在线段AD 上．
（1）请直接写出线段BE 与线段CD 的关系： BE=CD ；
（2）如图2，将图1中的△ABC 绕点A 顺时针旋转角α（0＜α＜360°），
①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
②当AC=12
ED 时，探究在△ABC 旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC ，AE=AD ， ∴AE-AB=AD-AC ，∴BE=CD ；
（2）①∵△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC ，AE=AD ，
由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD ，在△BAE 与△CAD 中，AB AC BAE CAD AE AD ⎪∠⎪⎩
∠⎧⎨＝＝＝，
∴△BAE ≌△CAD （SAS ），∴BE=CD ；
②∵以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形，△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形， ∴∠ABC=∠ADC=45°，∵AC=12
ED ，∴AC=CD ，∴∠CAD=45°，或360°-90°-45°=225°， ∴角α的度数是45°或225°．
中考数学——初中数学 旋转的综合压轴题专题复习含详细答案
中考数学——初中数学旋转的综合压轴题专题复习含详细答案
一、旋转
1．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.
(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图①)，求证：△AEG≌△AEF；
(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图②)，求证：EF2=ME2+NF2；
(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图③)，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.
【解析】
试题分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知
△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出
CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出
EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；
（3）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，根据旋转的性质可以得到
△ADF≌△ABG，则DF=BG，再证明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF．
试题解析：（1）∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，
∴AF=AG，∠FAG=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAE=45°，
在△AGE与△AFE中，
2020年春学期九年级数学中考备考压轴题专题训练：图形旋转(含答案)
∵CM=BM=1， 又∵PM≤PC+CM，即 PM≤3， ∴PM 的最大值为 3（此时 P、C、M 共线）． 故选 B．
【分析】如图连接 PC．思想求出 PC=2，根据 PM≤PC+CM，可得 PM≤3，由此即可解决问题． 4.【答案】 C
【考点】旋转的性质 【解析】【解答】
∵∠A=25°，∠BCA′=45°， ∴∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45°+25°=70°， ∵CB=CB′， ∴∠BB′C=∠B′BC=70°， ∴∠B′CB=40°， ∴∠ACA′=40°， ∵∠A=∠A′，∠A′DB=∠ADC ， ∴∠ACA′=∠A′BA=40°． 故选：C． 【分析】首先根据旋转的性质以及三角形外角的性质得出∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45°+25°=70°，以及∠BB′C= ∠B′BC=70°，再利用三角形内角和定理得出∠ACA′=∠A′BA=40°． 5.【答案】 C 【考点】平移的性质 【解析】【解答】平移后对应线段相等，故 AC=DF，C 不正确。
A. ∠A=∠D
B. BE=CF
C. AC=DE
6.北京时间 9 时整，钟面上的时针和分针的夹角是（ ）度.
A. 30
B. 45
C. 60
二、填空题（共 7 题；共 13 分）
D. AB∥DE D. 90
7.如图，在△ABC 中，∠BAC＝60°，将△ABC 绕着点 A 顺时针旋转 40°后得到△ADE，则∠BAE＝________.
人教版九年级数学上册第二十三章旋转压轴题专题训练【含答案】
人教版九年级数学上册第二十三章旋转压轴题专题训练
1．如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°
（1）观察猜想
将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD 与MN相交于点E，则∠CEN＝ °．
（2）操作探究
将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与NM相交于点E，求∠CEN的度数；
（3）深化拓展
将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC 旋转 °时，边CD恰好与边MN平行．（直接写出结果）
2．问题：如图①，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．
李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图②），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），可得∠AP′B＝ °，所以∠BPC＝∠AP′B＝ °，还可证得△ABP是直角三角形，进而求出等边三角形ABC的边长为 ，问题得到解决．
（1）根据李明同学的思路填空：∠AP′B＝ °，∠BPC＝∠AP′B＝ °，等边
三角形ABC的边长为 ．
（2）探究并解决下列问题：如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，PB＝，PC＝1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．
3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B和点D的坐标分别为（m，0），（n，4），且m≥0，四边形ABCD是菱形．
人教版九年级数学上册第二十三章 旋转 压轴题专题训练【含答案】
人教版九年级数学上册第二十三章旋转压轴题专题训练
1．如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°
（1）观察猜想
将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，则∠CEN＝°．
（2）操作探究
将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与NM相交于点E，求∠CEN的度数；
（3）深化拓展
将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC 旋转°时，边CD恰好与边MN平行．（直接写出结果）
2．问题：如图①，在等边三角形ABC内有一点P，且P A＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC 的度数和等边三角形ABC的边长．
李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图②），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），可得∠AP′B＝°，所以∠BPC＝∠AP′B＝°，还可证得△ABP 是直角三角形，进而求出等边三角形ABC的边长为，问题得到解决．
（1）根据李明同学的思路填空：∠AP′B＝°，∠BPC＝∠AP′B＝°，等边
三角形ABC的边长为．
（2）探究并解决下列问题：如图③，在正方形ABCD内有一点P，且P A＝，PB＝，PC＝1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．
3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B和点D的坐标分别为（m，0），（n，4），且m≥0，四边形ABCD是菱形．
2020年中考九年级数学旋转压轴题专题复习(WORD版,包含答案)
四川省渠县三中 2020 年中考九年级数学旋转压轴题专题复习练习
1、填空或解答：点 B、C、E 在同一直线上，点 A、D 在直线 CE 的同侧，AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，直线 AE、BD 交于点 F．
（1）如图①，若∠BAC=60°，则∠AFB=；如图②，若∠BAC=90°，则∠ AFB= ；
（2）如图③，若∠BAC=α，则∠AFB=（用含α的式子表示）；
（3）将图③中的△ABC绕点 C 旋转（点 F 不与点 A、B 重合），得图④或图⑤．在图④中，∠AFB与∠α的数量关系是∠AFB=90°；在图⑤中，∠AFB与∠ α的数量关系是．请你任选其中一个结论证明．
2、如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点P 在AC 上，将△ABP绕顶点 B 沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．
（1）求∠PCQ的度数；
（2）当AB=4，AP：PC=1：3 时，求 PQ 的大小；
（3）当点 P 在线段 AC 上运动时（P 不与 A 重合），请写出一个反映PA2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．
3、如图 1，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的三角板 DEF 的直角顶点 D 放在AC 的中点上（直角三角板的短直角边为 DE，长直角边为 DF），将直角三角板 DEF 绕D 点按逆时针方向旋转．
（1）在图 1 中，DE 交AB 于M，DF 交BC 于N．①证明 DM=DN；②在这一过程中，直角三角板 DEF 与△ABC的重叠部分为四边形 DMBN，请说明四边形 DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积；（2）继续旋转至如图 2 的位置，延长 AB 交DE 于M，延长 BC 交DF 于N，DM=DN 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
中考数学——旋转的综合压轴题专题复习含答案
一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y =ax 2+bx +c 与x 轴相交于A ，B 两点，顶点为D （0，4），AB
=42，设点F （m ，0）是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C ′． （1）求抛物线C 的函数表达式；
（2）若抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围． （3）如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线C ′上的对应点P ′，设M 是C 上的动点，N 是C ′上的动点，试探究四边形PMP ′N 能否成为正方形？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）2
142
y x =-+；（2）2＜m ＜23）m =6或m 173． 【解析】
试题分析：（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A （2，0），设抛物线的解析式为
24y ax =+，把A （220）代入可得a =1
2
-
，由此即可解决问题； （2）由题意抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），设抛物线C ′的解析式为
()2142y x m =--，由()22142
14
2y x y x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消去y 得到222280x mx m -+-=，由题
意，抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有()
222(4280
20280m m m ⎧-->⎪⎪
>⎨⎪->⎪⎩
，
解不等式组即可解决问题；
（3）情形1，四边形PMP ′N 能成为正方形．作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP ′N 是正方形，推出PF =FM ，∠PFM =90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得PE =FH =2，EF =HM =2﹣m ，可得M （m +2，m ﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP ′N 是正方形，同法可得
2020-2021九年级中考数学初中数学 旋转解答题压轴题提高专题练习附答案
2020-2021九年级中考数学初中数学 旋转解答题压轴题提高专题练习附答案
一、旋转
1．在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α（︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD 。
（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE 的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结DE ，若∠DEC=45°，求α的值。
【答案】（1）1302
α︒-（2）见解析（3）30α=︒ 【解析】解：（1）1302
α︒-。 （2）△ABE 为等边三角形。证明如下：
连接AD ，CD ，ED ，
∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ，
∴BC=BD ，∠DBC=60°。
又∵∠ABE=60°，
∴1ABD 60DBE EBC 302
α∠=︒-∠=∠=︒-且△BCD 为等边三角形。 在△ABD 与△ACD 中，∵AB=AC ，AD=AD ，BD=CD ，
∴△ABD ≌△ACD （SSS ）。∴11BAD CAD BAC 22
α∠=∠=∠=。
∵∠BCE=150°，∴11BEC 180(30)15022αα∠=︒-︒--︒=。∴BEC BAD ∠=∠。 在△ABD 和△EBC 中，∵BEC BAD ∠=∠，EBC ABD ∠=∠，BC=BD ，
∴△ABD ≌△EBC （AAS ）。∴AB=BE 。
∴△ABE 为等边三角形。
（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴DCE 1506090∠=︒-︒=︒。
中考数学专题练习 旋转(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
旋转
一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）
1．下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．如图，所给的图案由△ABC绕点O顺时针旋转（）前后的图形组成的．
A．45°、90°、135°B．90°、135°、180°
C．45°、90°、135°、180°、225°D．45°、180°、225°
3．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）
A．B．C．1﹣D．1﹣
4．如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）
A．2：3：4 B．3：4：5
C．4：5：6 D．以上结果都不对
5．下列图形中，是中心对称图形的是（）
A．菱形 B．等腰梯形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
6．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（）
A．（2，3） B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，2）
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
7．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是．
8．如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，△ABC按逆时针方向旋转一个角度后，成为△ACD，则旋转中心是点、旋转角是．
9．如图，设P是等边三角形ABC内任意一点，△ACP′是由△ABP旋转得到的，则PAPB+PC（选填“＞”、“=”、“＜”）
2020年春学期九年级数学中考备考压轴题专题训练：图形旋转(含答案)
2020年春学期九年级数学中考备考压轴题专题训练：图形旋转
一、单选题（共6题；共14分）
1.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是（）
A. 75°
B. 60°
C. 45°
D. 30°
2.如图△ABC与△CDE都是等边三角形,且∠EBD=65°,则∠AEB的度数是( )
A. 115°
B. 120°
C. 125°
D. 130°
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
4.如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上，若∠A=25°，∠BCA′=45°，则∠A′BA等于（）
A. 30°
B. 35°
C. 40°
D. 45°
5.如图，把△ABC沿直线BC方向平移到△DEF，则下列结论错误的是（）
A. ∠A=∠D
B. BE=CF
C. AC=DE
D. AB∥DE
6.北京时间9时整，钟面上的时针和分针的夹角是（）度.
A. 30
B. 45
C. 60
D. 90
二、填空题（共7题；共13分）
7.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，将△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，则∠BAE＝________.
8.如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△A B′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′=________度．
2023年九年级数学中考专题：旋转综合压轴题(线段问题)
2023年九年级数学中考专题：旋转综合压轴题（线段问题）
1．在△ABC与△EDC中，∠ACB=∠ECD=60°，∠ABC=∠EDC，△EDC可以绕点C旋转，连接AE，BD
(1)如图1
①若BC=3DC，直接写出线段BD与线段AE的数量关系；
②求直线BD与直线AE所夹锐角的度数；
(2)如图2，BC=AC=3，当四边形ADCE是平行四边形时，直接写出线段DE的长
2．有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，DE，M是BF的中点
【观察猜想】
（1）线段DE与AM之间的数量关系是，位置关系是；
【探究证明】
（2）将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图2，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由．
(3) 若正方形ABCD的边长为4，将其沿EF翻折，点D的对应点G恰好落在BC边上，直接写出DG+DH 的最小值
3．复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如下图①，已知在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC 内部任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使得∠QAP＝∠BAC，连接BQ，CP，则BQ＝CP．”（1）小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ＝CP．请你帮小亮完成证明；
（2）之后，小亮又将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，“BQ＝CP”仍然成立吗？若成立，请你就图②给出证明；若不成立，请说明理由．
4．如图所示，正方形ABCD中，点E、F、G分别是边AD、AB、BC的中点，连接EF，FG．
中考数学—初中数学 旋转的综合压轴题专题复习及详细答案
中考数学—初中数学 旋转的综合压轴题专题复习及详细答案
一、旋转
1．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点O （0，0），点A （5，0），点B （0，3）．以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ．
（1）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标； （2）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H ． ①求证△ADB ≌△AOB ； ②求点H 的坐标．
（3）记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为△KDE 的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1）D （1，3）；（2）①详见解析；②H （
17
5
，3）；（3）303344-≤S ≤30334
4
+． 【解析】 【分析】
（1）如图①，在Rt △ACD 中求出CD 即可解决问题； （2）①根据HL 证明即可；
②，设AH=BH=m ，则HC=BC-BH=5-m ，在Rt △AHC 中，根据AH 2=HC 2+AC 2，构建方程求出m 即可解决问题；
（3）如图③中，当点D 在线段BK 上时，△DEK 的面积最小，当点D 在BA 的延长线上时，△D′E′K 的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题； 【详解】 （1）如图①中，
∵A （5，0），B （0，3），
∴OA=5，OB=3，
∵四边形AOBC是矩形，
∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°，
∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，
∴AD=AO=5，
2020-2021成都九年级中考数学初中数学 旋转解答题压轴题提高专题练习
2020-2021成都九年级中考数学初中数学旋转解答题压轴题提高专题练习
一、旋转
1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．
（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；
猜想与发现：
（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．
结论1：DM、MN的数量关系是；
结论2：DM、MN的位置关系是；
拓展与探究：
（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出
MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直.
2020-2021中考数学——初中数学 旋转的综合压轴题专题复习及详细答案
【答案】（1） 30︒ - α （2）见解析（3） α = 30︒
【解析】解：（1） 30︒ - α 。
2020-2021 中考数学——初中数学 旋转的综合压轴题专题复习及详细答案
一、旋转
1．在△ ABC 中，AB=AC ，∠ BAC=α （ 0︒ < α < 60︒ ）
，将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60° 得到线段 BD 。
（1）如图 1，直接写出∠ ABD 的大小（用含α 的式子表示）；
（2）如图 2，∠ BCE=150°，∠ ABE=60°，判断△ ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结 DE ，若∠ DEC=45°，求 α 的值。
1
2
1
2
（2）△ ABE 为等边三角形。证明如下：
连接 AD ，CD ，ED ，
∵ 线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60︒ 得到线段 BD ，
∴ BC=BD ，∠ DBC=60°。
又∵ ∠ ABE=60°，
∴ ∠ABD = 60︒ - ∠DBE = ∠EBC = 30︒ - 1 α △且 BCD 为等边三角形。
2
△在 ABD △与 ACD 中，∵ AB=AC ，AD=AD ，BD=CD ，
∴ △ ABD ≌ △ ACD （SSS ）。∴ ∠BAD = ∠CAD = 1 2
1
∠BAC = α 。
2
∵ ∠ BCE=150°，∴ ∠BEC = 180︒ - (30︒ - 1 α ) - 150︒ = 1 α 。∴ ∠BEC = ∠BAD 。
2 2
△在 ABD △
和 EBC 中，∵ ∠BEC = ∠BAD ， ∠EBC = ∠ABD ，BC=BD ， ∴ △ ABD ≌ △ EBC （AAS ）
中考数学压轴题专题复习—初中数学 旋转的综合及详细答案
中考数学压轴题专题复习—初中数学旋转的综合及详细答案
一、旋转
1．已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF⊥BD 交BC 于F，连接DF，G 为DF 中点，连接EG，CG.
(1) 求证：EG=CG；
(2) 将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转 45∘,如图②所示,取DF 中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3) 将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明).
【答案】解：（1）CG=EG
（2）（1）中结论没有发生变化，即EG=CG．
证明：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．
在△DAG与△DCG中，
∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，
∴△DAG≌△DCG．
∴ AG=CG．
在△DMG与△FNG中，
∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，
∴△DMG≌△FNG．
∴ MG=NG
在矩形AENM中，AM=EN．
在Rt△AMG 与Rt△ENG中，
∵ AM=EN， MG=NG，
∴△AMG≌△ENG．
∴ AG=EG
∴ EG=CG．
（3）（1）中的结论仍然成立．
【解析】
试题分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．
（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明
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拔高专题：旋转变化中的压轴题一、基本模型构建
常
见
模
型
思
考
上图中，△AE′B旋转到AED的位置，
可得△AE′E为等腰三角形。如果
四边形ABCD是矩形或正方形，则三角形
AE′E为等腰直角三角形。
上图中，△ABC旋转到△ADE的位置，
可以得到∠EAC=∠DAB ，如果∠
B=60°，所以△ADB为等边三角
形.
二、拔高精讲精练
探究点一：以三角形为基础的图形的旋转变换
例1：（2015•盘锦中考）如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．
（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系： BE=CD ；
（2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），
①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
②当AC=
1
2
ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，∴AE-AB=AD-AC，∴BE=CD；
（2）①∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，
由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD ，在△BAE 与△CAD 中，AB AC BAE CAD AE AD ⎪
∠⎪⎩
∠⎧⎨＝＝＝，
∴△BAE ≌△CAD （SAS ），∴BE=CD ；
②∵以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形，△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形， ∴∠ABC=∠ADC=45°，∵AC=
1
2
ED ，∴AC=CD ，∴∠CAD=45°，或360°-90°-45°=225°， ∴角α的度数是45°或225°．
等腰直角三角形的性质，等量代换，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，综合性较强
【变式训练】1. 如图①，在Rt △ABC 和Rt △EDC 中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=EC=BC=DC ，AB 与EC 交于F ，ED 与AB 、BC 分别交于M 、H ． （1）求证：CF=CH ；
（2）如图②，Rt △ABC 不动，将Rt △EDC 绕点C 旋转到∠BCE=45°时，判断四边形ACDM 的形状，并证明你的结论．
（1）证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC=CD=CE ，∴∠1=∠2=90°-∠BCE ，∠A=∠B=∠D=∠E=45°，
在△ACF 和△DCH 中，12A D AC CD ∠∠∠⎧⎪∠⎪
⎨⎩
＝＝＝，∴△ACF ≌△DCH ，∴CF=CH ；
（2）四边形ACDM是菱形，证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，∠BCE=45°，∴∠1=∠2=90°-45°=45°，
∵∠A=∠D=45°，∴∠A+∠ACD=45°+90°+45°=180°，同理∠D+∠ACD=180°，∴AM∥DC，AC∥DM，
∴四边形ACDM是平行四边形，∵AC=CD，∴四边形ACDM是菱形．
【教师总结】三角形从一个位置旋转到另一个位置，除去对应线段和对应角相等外，里面也存在着相等的角，和全等三角形，在解决问题过程要善于将“基本图形”分离出来分析。探究点二以四边形为基础的图形的旋转变换
例2:根据图形回答问题：
（1）线段AB上任取一点C，分别以AC和BC为边作等边三角形，试回答△ACE可看作哪个三角形怎么样旋转得到．（不用说明理由）
（2）线段AB上任取一点C，分别以AC和BC为边作正方形，连接DG，M为DG中点，连接EM并延长交FG于N，连接FM，猜测FM和EM的关系，并说明理由．
（3）在（2）的基础上将正方形CBGF绕C点旋转，其它条件不变，猜测FM和EM的关系，并说明理由．
解：（1）将△ACE以点C为旋转中心，顺时针方向旋转60°后得到△DCB，所以可得△ACE 可以由△DCB以C点为轴逆时针旋转60度得到．
（2）FM⊥ME，FM=ME，连接GN和DE，在△DME和△GMN中，
MDE MHG
DME GMN DM MG
∠∠
∠∠
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△DME≌△GMN（AAS），∴DM=MN，DE=NG，∴FN=FG-NG=FG-DE=FC-EC=FE，
∴△NFE是等腰直角三角形，
∴FM⊥ME，并且FM=ME（等腰三角形中线就是垂线，直角三角形中线等于斜边的一半）
（3）延长EM至N点，使EM=MN，连接NG、EF、FN．（EC与DM的交点标为P，FC与DM交点标为Q）
在△DME和△GMN中，
EM MN
DME GMN
DM MG
⎪
∠
⎪
⎩
∠
⎧
⎨
＝
＝
＝
，∴△DME≌△GMN．∴DE=NG，∠EDM=∠NGM，
∴EC=NG，∵∠ECF=180°-∠CPQ-∠CQP=180°-∠DPE-∠FQG=180°-（90°-∠MDE）-（90°-∠FGM）=∠EDM+∠FGM，∵∠NGM+∠FGM=∠NGF，∴∠ECF=∠NGF，∵EC=DE=NG，
在△ECF和△NGF中，
FC FG
ECF NGF
EC NG
⎪
∠
⎪
⎩
∠
⎧
⎨
＝
＝
＝
，∴△ECF≌△NGF，∴EF=NF，∠EFC=∠NFG，
∴∠EMN=∠EFC+∠CFN=∠NFG+∠CFN=∠CFG=90°，∴△EFN是等腰直角三角形，∴FM⊥EM，并且FM=EM。
【变式训练】2. 两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上（如图①），CE=2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．