求一个自然数的约数的个数,和所有约数的和
5.3 求因数的个数与因数和公式
1
P21
P22
Pa2 2
精品课件
例 5 求360的所有约数的和。
第一步，先把360分解质因数。
精品课件
例5
求360的所有约数的和。
360=2×2×2×3×3×5 23 32 51
所有约数的和是：
1 21 22 23 1 31 32 1 51
1513 6 1170
2 360 2 180
精品课件
例2
有8个不同约数的自然数中，最小的一个是 多少？
要得到最小的数，分解出的质因数也要 尽可能最小。
如果是
P1 1
P3 2
如果是
P1 1
P1 2
P1 3
最小数为：23 31 24 最小数为：21 31 51 30
所以，最小的一个是24。
答：最小的一个是24。
精品课件
例 3 求小于1000的只有15个约数的最大自然数。
答：360的全部因数（约数）的个数是24个。
精品课件
例2
有8个不同约数的自然数中，最小的一个是 多少？
根据公式，8=2×4=(1+1)×(1+3)，
可知这个自然数是
P1 1
P3 2
还可以是
8=2×2×2=(1+1)×(1+1)×(1+1)，
这个自然数可以是
自然数约数的个数及所有约数的和
自然数约数的个数及所有约数的和
我们知道：一个数ɑ，如果能被数b整除，b就是ɑ的约数。
自然数(除了1以外)按照约数的多少，可以分成质数与合数两类：质数只有1和它自己两个约数；合数除了1和它自己以外，还有其它的约数；
上面这些知识都是非常浅显的，连小学生都知道。殊不知，在这些人们耳熟能详的知识中，却隐藏着许多饶有兴味的问题。
一、约数的个数
一个数的约数的个数，与这个数由哪些质因数组成有关。
以12为例，分解质因数得到12＝22×3。在构成12的约数时，质因数2，可以取2个(即22＝4)、1个(即21＝2)或者不取(即20＝1)，有3种方法，“3”比质因数2的幂指数“2”多1；对于质因数3，可以取1个(即31＝3)或者不取(即30＝1)，有2种方法，“2”比质因数3的幂指数“1”多1。所以，总共可以组成3×2＝6个约数，分别是22×31＝4×3＝12，21×31＝2×3＝6，20×31＝1×3＝3，22×30＝4×1＝4，21×30＝2×1＝2，20×30＝1×1＝1。
推广到一般：如果一个数N＝ɑi b j…c k，其中，ɑ、b、…、c是N的质因数，i、j、…、k 是这些质因数的幂指数。
N的约数的个数等于：(i＋1)(j＋1)…(k＋1)
以360为例，360＝23×32×5。质因数2、3、5的幂指数分别是3、2、1，所以360的约数有(3＋1)(2＋1)(1＋1)＝24个。
检验：360的约数有360、180、120、90、72、60、45、40、36、30、24、20、18、15、
12、10、9、8、6、5、4、3、2、1，共24个。
(49)约数个数与约数和
五年级奥数解析（四十九）约数个数与约数和
《奥赛天天练》第三十七讲《约数个数与约数和》，学习利用合数的质因数分解式求一个较大自然数所有约数的个数及所有约数和的方法。
计算公式：
求一个自然数N的约数个数与约数和，先把这个自然数分解质因数，表示为：
N﹦P1a1·P2a2·P3a3……P K ak
N的约数的个数为：（a1＋1）×（a2＋1）×……×（a k＋1）；
N的约数和为：（1＋P1＋ P12＋…＋ P1a1）×（1＋P2＋ P22＋…＋ P2a2）×……×（1＋P K＋P K2＋…＋P K ak）。
例如：72﹦23×32
先找出23的所有（3＋1﹦）4个约数：1、2、22、23；
再找出32的所有（2＋1﹦）3个约数：1、3、32。
用23的每一个约数依次去乘以32的每一个约数，可以求出72的所有[（3＋1）×（2＋1）﹦]12个约数：
1、3、3
2、2×1、2×
3、2×32、22×1、22×3、22×32、23×1、23×3、23×32。
约数和为：
（1＋2＋22＋23）×（1＋3＋32）﹦195
约数个数与约数和的计算公式证明过程比较复杂，需要从单个质数，到只含有几个相同质因数的合数，到含有几个不同质因数的合数逐步推理，寻找、验证规律。小学生理解比较困难，可以到初中奥数学习中再进一步探究。
《奥赛天天练》第37讲，模仿训练，练习1
【题目】：
求500的约数的个数。
【解析】：
分解质因数：500﹦22×53
根据约数个数计算公式，可以求出500的约数个数为：
（2＋1）×（3＋1）﹦12（个）。
《奥赛天天练》第37讲，模仿训练，练习2
一个整数的约数个数与约数和的计算方法
一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．
1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?
【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；
360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．
因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．
我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；
我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；
最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．
于是,我们计算出值:13×15×6=1170．
所以,360所有约数的和为1170．
评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：
I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后
所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)
1.7正整数地正约数个数与总和
§1.7正整数的正约数个数与总和
一、正整数的正约数个数
我们先看一个有趣的问题:在一间房子里有编号为1~100的100盏电灯,每盏都配有一个开关,开始灯全灭着.现在有100个人依次进入房间,第k 个人把编号是的k 倍数的灯的开关各拉一次,这样操作完之后,哪些编号的灯亮着?
解决这个问题,需要讨论各盏灯编号的约数个数的奇偶性.如何求一个正整数的约数的个数呢?下面我们讨论这个问题.
设为n 正整数,的n 正约数最小为1,最大为,n 因此的n 正约数的个数有限.
为了叙述更方便，我们把正整数的n 正约数个数记作()d n . 例如, (1)1d =,(2)2d =,(5)5d =,(8)4d =,(12)6d =.
从理论上讲,求d(n)只要把n 的正约数全部找出来数一数就可以了,但这种方法并不适合求数值较大的数的正约数的个数,例如(360)d ,(450000)d .下面我们以求d(360)为例,介绍可行的方法.
由于3602332=⨯⨯5,其正约数比形如323n 2γ
=⨯⨯5,其中α可取0~3四个数之一,β可取0~2三个数之一, γ可取0,1两个数之一. α,β,γ各选定一个允许值,构成一个组合,代入n 即可得到360的正约数个数是24,故(360)43224d =⨯⨯=.
同理由144=432
2⨯,可知(144)(41)(21)15d =++=. 定理1 设正整数n 的标准分解式为1212n p p α
α
=…m m p α
,则 12()(1)(1)d n =α+α+…(1)m α+. 证明: n 的正约数必形如1212k p p α
一个整数的约数个数和约数和的计算方法
【內容概困
一个整数的约数个数与约数和的讣算方法，两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系，分数的最小公倍数•涉及一个整数的约数，以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题，其中质因数分解发挥着重要作用.
f典型问题】
第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛•决赛一试第2题
1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少？
【分析与解】360分解质因数:360二2X2X2X3X3X5二2'X3'X5：
360的约数可以且只能是2a X3b X5c,(其中a, b, c均是整数，且a为0〜3, 6为0〜2, c 为0-1).
因为a、b、c的取值是相互独立的，由讣数问题的乘法原理知，约数的个数为(3+1) X (2+1)
X(1+1)二24.
我们先只改动关于质因数3的约数，可以是1, 3, 3‘,它们的和为(1+3+3=),所以所有360
约数的和为(1+3+3') X2y X5w：
我们再来确定关于质因数2的约数，可以是1, 2, 23,21它们的和为(1+2+23+29),所以所
有360 约数的和为(1+3+3：) X (1+2+2：+25)X5W；
最后确泄关于质因数5的约数，可以是1, 5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+3') X (1+2+2=+28) X (1+5).
于是，我们计算出｛&:13X15X6=U70.
所以,360所有约数的和为1170.
评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法•下而我们给出一般结论：
I•一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如：1400严格分解质因数后为23X5:X7,所以它的约数有(3+1) X (2+1) X (1+1) =4X3X2=24 个.(包括1 和它自身)
2024小升初数学思维专项模块训练5 约数个数与约数和定理
第10讲约数个数与约数和定理第一关约数的个数
【知识点】
约数个数与约数和定理
设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×…×p k那么：
n的约数个数公式：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）
【例1】一个合数至少有3个约数．（判断对错）
【答案】√
【例2】若a=2×3×5，则a的因数有多少个，分别是什么？
【答案】8；1、2、3、5、6、10、15、30
【例3】60的不同约数（1除外）的个数是多少？
【答案】11
【例4】105可以分解成105=3×5×7，它的约数共有多少个？
【答案】8
【例5】已知360=2×2×2×3×3×5，那么360的约数共有多少个？
【答案】24
【例6】求2016的因数个数为36个？
【答案】36
【例7】2009的平方的约数有多少个？
【答案】15
【例8】已知a=22×32×52，那么a的因数有多少个？
【答案】27
【例9】数22×33×55有多少个不同的约数？
【答案】72
【例10】a=2×3×n2；b=3×5×n2，那么A×B一共有多少个因数？
【答案】144
【例11】用表示a的不同约数的个数．如4的不同约数有1，2，4共3个，所以4=3，求（12-6）÷5 【答案】1
【例12】若用G（a）表示自然数a的约数的个数，如：自然数6的约数有1、2、3、6，共4个，记作G（6）=4，求G（36）+G（42）。
【答案】17
【例13】已知自然数a有3个约数，那么4a有多少个约数？
【答案】5
【例14】m有8个约数，7m有多少个约数？
【答案】16
【例15】已知ab是一个质数，那么ababab有几个约数？
一个整数的约数个数和约数和的计算方法
一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．
1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?
【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；
360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c
为0～1)．
因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．
我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；
我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；
最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．
于是,我们计算出值:13×15×6=1170．
所以,360所有约数的和为1170．
评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：
I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)
数字的约数学习找出一个数字的所有约数
数字的约数学习找出一个数字的所有约数在数学中，约数是指能整除一个数的所有自然数。找出一个数字的所有约数是数论中的一个常见问题，它在数学学习和解题过程中经常被遇到。本文将介绍如何有效地找出一个数字的所有约数，并且展示几个相关的例子。
首先，我们来看一个简单的例子：找出数字12的所有约数。要找出一个数字的所有约数，我们可以从1开始，依次遍历到这个数字的平方根，然后判断是否能整除这个数字。如果可以整除，那么这个数就是它的约数之一。
对于数字12来说，我们可以从1开始，依次遍历到它的平方根，也就是4。首先，我们判断1是否是12的约数。很显然，1可以整除12，因此1是12的约数之一。接下来，我们判断2是否是12的约数。同样地，2可以整除12，所以2也是12的约数之一。继续这个过程，我们可以找到3、4、6以及12本身也都是12的约数。因此，12的所有约数是1、2、3、4、6和12。
以上是一种常见但较为简单的找约数的方法。然而，对于较大的数字，这种方法可能会变得非常耗时。因此，我们还可以使用其他更高效的方法来找出一个数字的所有约数。下面将介绍两种常用的方法。
第一种方法是利用数字的质数因子分解。质数因子分解是一种将一个数字表示为一系列质数相乘的表达方式。例如，数字72可以表示为2^3 * 3^2，其中2和3都是质数。根据质数因子分解的特性，如果我们要找出一个数字的所有约数，只需要找出它质数因子分解后的所有可
能组合即可。在这个例子中，72的质数因子分解为2^3 * 3^2，所以它
的约数可以通过组合2和3的指数，来得到所有可能的约数。最终，
一个整数的约数个数与约数和的计算方法
一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．
1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?
【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；
360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．
因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．
我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；
我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；
最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．
于是,我们计算出值:13×15×6=1170．
所以,360所有约数的和为1170．
评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：
I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后
所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)
合数的约数个数及总和
合数的约数个数及总和
一个合数的全部约数，等于它的质因数分解式中不同质因数的指数加1的连
乘积，即若自然数N分解质因数的结果是N＝P
1r1·P
2
r2……P
n
rn(P
1
、P
2
……P
n
为互
不相同的质数，r
1、r
2
…r
n
为自然数，分别为P
1
、P
2
……P
n
的指数)，那么N的约
数的个数是：（r
1＋1）×（r
2
＋1）×…×（r
n
＋1）
N的所有约数的和是：
（1＋p
1＋p
1
2＋…＋p
1
r1）×（1＋p
2
＋p
2
2＋…＋p
2
r2）×…×（1＋p
n
＋p
n
2＋…＋
p
n
rn）
1．把下列各数写成质因数相乘的形式，并指出它们分别有多少个两位数的约数。
(1)146 (2)255 (3)360 (4)400
2．已知自然数B有2个约数，那么3B有多少个约数?
3．求165有多少个约数，这些约数的和为多少?
4．有9个不同约数的自然数中，最小的一个是多少?
5．长和宽为自然数，面积为180的形状不同的长方形共有多少种？
6．在100—300之间的自然数中有多少个数，它们的约数个数为奇数个?
7．若一个自然数N分解质因数为N=2× 3×7，式中r、p为自然数，问N共有多少个约数?
8．房间里有100盏电灯，并且编号号码为1，2，3……100，每盏灯上有一个拉线开关，开始时电灯全都是关的，100位同学由房间外逐个走进去，第一位同学把编号是1的倍数的灯的开关拉动一下，第二位同学把编号是2的倍数的灯的开关拉动一下，第三位同学把编号是3的倍数的灯的开关拉动一下……第100位同学把编号是100的倍数的灯的开关拉动一下，这时房间里有哪些号码的灯是亮的？
1.7正整数的正约数个数与总和
1.7正整数的正约数个数与总和
一、自然数的正约数的个数及所有正约 数的和
定义1.7 d(n)表示自然数n的所有正约数的个数(通常 也成为除函数)，如d(2)=2， d(4)=3； S(n)表示自然数n的所有正约数的和，如S(2)=1+2=3， S(4)=1+2+4=7. 定理1.4.4 设n=p11p22…pnn, 则有： d(n)=(1+1) (2+1)… (n+1).
S( a ) a
作业：P65-66：
思考题
2、3、7、8、9、13
1、求自然数N，使得它能被5和49整除，
并且包括1和N在内，共有10个约数. 2、求不大于200且恰有15个正约数的正整 数. 3、若a=695+5 × 694+10 × 693+10 ×
wk.baidu.com
692+5 × 69+1，求 d (a).
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推论 若(a, b)=1，则d(ab)=d(a)d(b). 定理 若(a, b)=1，则S(ab)=S(a)S(b).
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小学五年级竞赛 第六讲 约数的个数与约数和定理
第六讲约数的个数与约数和定理
一、课前热身：
1、20有多少个约数吗？这些约数的和是多少？
2、大于0的自然数，如果满足所有约数之和等于它自身的2倍，则这样的数称为完美数或完全数．比如，6的所有约数为1，2，3，6，它们的和=1+2+3+6=12，而且6是最小的完美数．是否有无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人类的难题之一．研究完美数可以从计算自然数的所有约数之和开始，321的所有因数之和为．
二、典例精析：
3、已知300=2×2×3×5×5，则300一共有多少个不同的约数？这些约数的和是多少？
4、2009的平方的约数有多少个？
5、一个正整数，它的2倍的约数恰好比它自己的约数多2个，它的3倍的约数恰好比它自己的约数多3个.那么，这个正整数是多少？
6、已知a有8个约数，b有9个约数，且a、b的最大公约数是12，试求a、b的值.
7、设数A共有9个不同约数，B共有6个不同约数，C共有8个不同约数，这三个数中的任何两个都互不整除，求三个数之积的最小值.
8、自然数A的所有约数两两求和，又得到若干个自然数，在这些新的数中，其中最小的为4，最大的为876，求A的值.
9、把360的所有约数从小到大排列，第4个数是4，那么倒数第4个数是多少？
10、整数n一共有10个因数，这些因数从小到大排列，第8个是。那么整数n的最大值是多少？
三、竞赛真题：
11、（2010•华罗庚金杯）恰有20个因数的最小自然数是（）
A．120 B．240 C．360 D．432
12、（2012•希望杯）已知自然数N的个位数字是0，且有8个约数，则N最小是。
一个整数的约数个数与约数和的计算方法
一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．
1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?
【分析与解】360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；
360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～
1)．
因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．
我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；
我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；
最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．
于是,我们计算出值:13×15×6=1170．
所以,360所有约数的和为1170．
评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：
I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)
一个整数的约数个数与约数和的计算方法
一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．
1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?
【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；
360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．
因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．
我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；
我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；
最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．
于是,我们计算出值:13×15×6=1170．
所以,360所有约数的和为1170．
评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：
I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后
所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)
第4讲 约数的个数(例题师)
北京大学附属小学 求一个数的约数的个数的一般方法是：一个大于1的自然数的约数个数等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积。 字母表示为：将M 分解质因数A A A A m m m m M n
n
⨯⨯⨯⨯=
3
2
1
321
M 的约数个数=)1()1)(1)(1(321++++m m m m n
M 的所有约数之和为：
)1(112
11A A A m +
+++
)1(22
2
22A
A A m +
+++ ……)1(2A A A m n
n
n
n +++
+
例题指导
例1：求100的约数个数。
分析：方法1：由于100这个数不大，一一列举就可以了。 配对列举：1,100,2,50,4,25,5,20，10一共有9个。
方法2：把100分解质因数100=22×52，100的约数都是从质数2和5中取出若干个，然后相乘得到的。
对于质因数2，可以不取，也可以取1个或2个，共3种取法； 对于质因数5，可以不取，也可以取1个或2个，共3种取法；
所以要想得到100的一个约数，会有3×3=9种方法，而每一次得到的都不同，因此100共有9个不同的约数。
不难发现对于每一个质因数都会有不取这种特殊情况，而其它取法就是质因数分解式中该质因数得个数。也就是说，每一个质因数的取法数等于它的个数加1。 还可以这样想：
解答：100=22×52
100的约数的个数=（2+1）×（2+1）=3×3=9
例2：360的约数有多少个?这些约数的和是多少?
【分析与解】 一一列举比较麻烦，可以考虑分解质因数的方法。
360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；
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求一个自然数的约数的个数，和所有约数的和6=2·3=(2^1)·(3^1)，
所以6的约数的个数：1,2,3,6共4个，
也可如此算:（1+1)(1+1)=4
所有约数的和1+3+2+6 ,也可如此算:（2^0+2^1)(3^0+3^1)
因为（2^0+2^1)(3^0+3^1)=（1+2)(1+3)=1×1+1×3+2×1+2×3=1+3+2+6 12=2×2×3=(2^2) ×(3^1)，
所以12的约数的个数：1,2,3,4,6,12共6个，也可如此算:（1+2)(1+1)=6 所有约数的和1+3+2+6+4+12 ,也可如此算:（2^0+2^1+2^2)(3^0+3^1) 因为（2^0+2^1+2^2)(3^0+3^1)=
（1+2+4)(1+3)=1×1+1×3+2×1+2×3+4×1+4×3=1+3+2+6+4+12…………
72=2×2×2×3×3=(2^3)·(3^2)
所以72约数的个数:（1+3)(1+2)=12
所有约数的和:
（2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2)=(1+2+4+8)(1+3+9)=195
240=2·2·2·2·3·5=（2^4 ）·3·5
所以240约数的个数:（1+4)(1+1)(1+1)=20
所有约数的和:
（2^0+2^1+2^2+2^3+2^4)(3^0+3^1)(5^0+5^1)=(1+2+4+8+16)(1+3)(1+ 5)=744
【这里解释一下：240的质因数有2，3和5 ，即240的约数由质因数2，3，5构成，其中因数2可能出现0个，1个，2个，3个，4个，共5
种情况；因数3可能出现0个，1个，共2种情况；因数5可能出现0个，1个，共2种情况。所以，240的约数个数为5×2×2=20个】
练习
1、1998的所有约数的和是多少？
解：1998=2×3×3×3×37 =2^1×3^3×37
约数有：（1+1）×（3+1）×（1+1）=16个
约数和：（2^0+2^1)(3^0+3^1+3^2+3^3)(37^0+37^1)=4560
2、720的所有约数的倒数之和是多少？
解：因为720=2×2×2×2×3×3×5=2^4×3^2×5^1
所以720的约数之和为（2^0+2^1+2^2+2^3+2^4）×（3^0+3^1+3^2）×（5^0+5^1）=31×13×6
所以720的所有约数的倒数之和是31×13×6/720=403/120
3、有一个只含质因数2和3的自然数，且它的所有因数之和是403，求这个自然数是多少？
解：403=13×31 =（1+2+4+8+16）×（1+3+9）=（2^0+2^1+2^2+2^3+2^4）×（3^0+3^1+3^2）
所以这个自然数是：2^4 ×3^2=144