求一个自然数的约数的个数,和所有约数的和
自然数约数的个数及所有约数的和
自然数约数的个数及所有约数的和我们知道：一个数ɑ，如果能被数b整除，b就是ɑ的约数。
自然数(除了1以外)按照约数的多少，可以分成质数与合数两类：质数只有1和它自己两个约数；合数除了1和它自己以外，还有其它的约数；上面这些知识都是非常浅显的，连小学生都知道。
殊不知，在这些人们耳熟能详的知识中，却隐藏着许多饶有兴味的问题。
一、约数的个数一个数的约数的个数，与这个数由哪些质因数组成有关。
以12为例，分解质因数得到12＝22×3。
在构成12的约数时，质因数2，可以取2个(即22＝4)、1个(即21＝2)或者不取(即20＝1)，有3种方法，“3”比质因数2的幂指数“2”多1；对于质因数3，可以取1个(即31＝3)或者不取(即30＝1)，有2种方法，“2”比质因数3的幂指数“1”多1。
所以，总共可以组成3×2＝6个约数，分别是22×31＝4×3＝12，21×31＝2×3＝6，20×31＝1×3＝3，22×30＝4×1＝4，21×30＝2×1＝2，20×30＝1×1＝1。
推广到一般：如果一个数N＝ɑi b j…c k，其中，ɑ、b、…、c是N的质因数，i、j、…、k 是这些质因数的幂指数。
N的约数的个数等于：(i＋1)(j＋1)…(k＋1)以360为例，360＝23×32×5。
质因数2、3、5的幂指数分别是3、2、1，所以360的约数有(3＋1)(2＋1)(1＋1)＝24个。
检验：360的约数有360、180、120、90、72、60、45、40、36、30、24、20、18、15、12、10、9、8、6、5、4、3、2、1，共24个。
二、约数的总和仍以12为例，12＝22×3。
根据上面所说的12的约数的构成，这些约数的总和等于：22×31＋21×31＋20×31＋22×30＋21×30＋20×30，化简后得到：(22＋21＋20)(31＋30)。
六年级奥数 数论综合(三)
数论综合（三）约数倍数姓名：日期：成绩：1．从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个？只有3个约数的数有几个？2．360这个数的约数有多少个？这些约数的和是多少？3．把自然数A的所有约数两两求和，又得到若干个自然数，在这些数中，最小的是3，最大的是240。
A等于多少？4．所有8个不同约数的自然数中，最小的一个是多少？5．100以内只有10个不同约数的自然数有哪些？6．有一个自然数，它有4个不同的质因数，且有32个约数，其中一个质因数是两位数，当这个质因数尽可能大时，这个自然数最小是多少？7．a、b两均只含有因数3和5，且a有12个约数，b有10个约数，（a、b）=75，那a、b 两数之差是多少？8．自然数N，它们被5和49整除，并且共有10个约数，求N。
9．有50盏灯排成一排，按顺序分别编上号码1、2、3、4……49、50，每盏灯开始都是亮着的；有50个人，第一个人走过来，凡是1的倍数的灯按一下，接着第2个人把凡是号码为2的倍数按钮按一下，……，一直到第50个人把号码为50的倍数的按钮按一下，最后不亮的灯分别是哪几盏？10．有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，以此下去至15号说：“这个数能被15整除”，1号作了一一验证，只有编号连续的两位同学说得不对，其余都对，问：①说得不对的两位同学，它们的编号是哪两个连续的数？②如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出此五位数。
③如果告诉你，1号写的数是六位数，请求出最小的六位数。
11．筐里共有96个苹果，如果不一次全拿出，也不一个个地拿；要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，有多少种不同的拿法？12．筐中有120个苹果，将它们全部都取出来，分成偶数堆，使得每堆的个数相同，有多少种分法？13．爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍，4倍，3倍，2倍。
小学奥数知识点梳理1——数论
小学奥数知识点梳理1——数论数论是研究整数及其性质的学科。
其中包括奇偶、整除、余数、质数合数、约数倍数、平方、进制和位值等方面的内容。
首先，奇偶性是整数的基本属性之一，一个整数要么是奇数，要么是偶数。
对于奇偶数的运算性质，有以下规律：（1）奇数加减奇数得偶数，偶数加减偶数得偶数，奇数加减偶数得奇数，偶数加减奇数得奇数；（2）奇数个奇数的和或差为奇数，偶数个奇数的和或差为偶数，任意多个偶数的和或差总是偶数；（3）奇数乘奇数得奇数，偶数乘偶数得偶数，奇数乘偶数得偶数；（4）若干个整数相乘，其中有一个因数是偶数，则积是偶数；如果所有的因数都是奇数，则积是奇数；（5）偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1.总之，几个整数相加减，运算结果的奇偶性由算式中奇数的个数所确定。
其次，整除是数论中的重要概念。
要掌握能被30以下质数整除的数的特征。
例如，被2整除的数的特征为它的个位数字之和可以被2整除，被3或9整除的数的特征为它的各位数字之和可以被3或9整除，被5整除的数的特征为它的个位数字之和可以被5整除。
而对于被7、11、13整除的数的特征，可以使用关键性式子7×11×13=1001.判定一个数能否被7或11或13整除，只需把这个数的末三位与前面隔开，分成两个独立的数，取它们的差（大减小），看它是否被7或11或13整除。
此法则可以连续使用。
最后，还有进制和位值等方面的内容。
其中，进制是指计数的基数，如十进制、二进制、八进制和十六进制等。
而位值则是指数位所代表的数值大小，如十进制数中的个位、十位、百位等。
掌握进制和位值的概念，可以更好地理解数的表示和计算方法。
总之，数论是一门重要的数学学科，涉及到整数及其性质的多个方面。
掌握数论的基本概念和规律，可以更好地理解和应用数学知识。
N=xxxxxxxx，判断N能否被17整除。
由于429=25×17+4，所以N不能被17整除。
N=xxxxxxx，判断N能否被17整除。
五年级奥数.数论.因数个数(A级).学生版
富翁打赌有两个富翁，一个头脑精明，一个吝啬刁钻。
贪财好利是他们的共同特点。
一天，两个富翁遇到了一起，双方争强好胜，话不投机，竟然打起赌来。
精明的富翁说：“我可以每天给你1万元，只收回你1分钱。
”吝啬的富翁以为对方吹牛皮，便说：“你若真的每天给我1万元，别说我给你1分钱，就是再给你1千我也干！”“不！”精明的富翁说，“条件只是第一天，你给我1分。
” “难道你第二天还要给我1万？”“是的”，精明的富翁说：“只是你第二天收了我的1万，要给我2分。
第3天……” 没等精明的富翁说完，吝啬的富翁急切地问：“第三天你再给我1万，我给你 “4分！就是说，我每天得到的钱都是前一天的两倍。
”吝啬的富翁心想：这家伙可能神经出了毛病，便问：“每天送我1万，这样下去，你的钱够送多少天呢？” “我是人人都知道的百万富翁。
”精明的富翁说：“我不打算都送给你，只拿出30万，先送你一个月足够了。
但是你给我的钱也1分不能少！”吝啬的富翁怕精明的富翁反悔，提出要签协议。
吝啬的富翁说：“你敢签订协议吗？” 于是他们找来了几个公证人，签了协议。
吝啬的富翁回到家，高兴得一夜没合眼。
天刚亮，对方提着1万元送上门来，按约定他给了对方1分钱。
第二天，对方仍然如约送来了1万元。
他简直像做梦一般，这样下去一个月，便可以有30万元的收入了！想着，想着，数钱的手都颤抖了！于是自己也如约给了对方2分钱。
对方高高兴兴地拿走了2分钱，还叮嘱：“别忘了，明天给我4分钱！” 可是，20多天以后，吝啬的富翁突然要求终止打赌。
课前预习因数个数对方以及一些证人当然不会同意，30天的时间已经过去大半了，任何一方都无权不执行协议。
到最后，吝啬的富翁竟把全部家当都输光了。
聪明的小朋友，你们说这是为什么？原来呀，吝啬的富翁在1个月内共得到300000元。
他需要付给对方的钱，总数是：1＋2＋4＋8＋16＋32……＋536870912＝1073741823（分）＝10737418.23（元）。
求一个数的因数的方法
求一个数的因数的方法一个数的因数是指能够整除该数且不产生余数的数，也就是能够整除该数的除数。
为了求一个数的因数，我们可以使用以下几种方法。
1. 试除法：试除法是一种最简单且常用的方法。
首先，我们可以从最小的质数2开始，依次将这些质数作为除数，看是否能够整除目标数。
如果能够整除，那么这个质数就是目标数的因数。
如果不能整除，则继续使用更大的质数进行试除。
这个过程可以一直持续到除数超过目标数的平方根为止。
2. 素数分解法：将目标数分解为若干个质数的乘积的过程就叫做素数分解。
假设目标数为n，那么我们可以首先将n进行试除法，得到一个最小的质因数p。
然后，我们将n除以这个质因数，得到一个新的数。
我们再次使用试除法，得到这个新数的一个最小的质因数q。
以此类推，我们可以一直将这个新数进行试除法，直到最后的商为1为止。
3. 因数的性质：一个数的因数必然小于等于该数的平方根。
因此，可以利用这个性质来求一个数的因数。
首先，我们可以遍历从1到目标数的平方根之间的所有自然数，判断这些自然数是否能够整除目标数。
如果能够整除，那么这个自然数就是目标数的因数。
4. 辗转相除法（欧几里得算法）：辗转相除法是一种用来求两个数的最大公约数的方法，也可以用来求一个数的因数。
假设目标数为n，我们可以选择一个小于等于n的自然数m，然后使用辗转相除法来求n和m的最大公约数。
如果n和m的最大公约数等于m，那么m就是n的一个因数。
通过这种方法，我们可以一直求到n和1的最大公约数。
以上就是四种常用的求一个数的因数的方法。
这些方法都相对简单，容易理解和实现。
值得注意的是，当目标数非常大时，使用试除法会非常耗时。
为了提高效率，可以使用其他更高级的算法，比如Pollard rho算法或者埃拉托斯特尼筛法。
这些算法可以更快地找到一个数的因数。
当然，这些算法可能比较复杂，需要一定的数学知识和算法理解能力。
在实际应用中，求一个数的因数是一个重要的数学问题。
因为通过求一个数的因数，我们可以判断一个数是否为质数，还可以对一个数进行素数分解，从而解决一些实际问题。
初中数学《定义新运算》讲义及练习
第四讲定义新运算知识点拨一定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合例题精讲模块一、直接运算型【例 1】若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。
【解析】A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。
由A*B＝（A＋3B）×（A＋B）可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12 ＝26×12 ＝312【巩固】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。
6△（3△4）【解析】所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。
由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7【巩固】设a△2b a a b=⨯-⨯，那么，5△6=______，(5△2) △3=_____. 【解析】56552613=⨯-⨯=△52552221=⨯-⨯=△,1321216435=⨯-=△【巩固】P、Q表示数，*P Q表示P与Q的平均数，求3*(6*8)【解析】68373*(6*8)3*()3*7522++====【例 2】规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。
1.7正整数地正约数个数与总和
§1.7正整数的正约数个数与总和一、正整数的正约数个数我们先看一个有趣的问题:在一间房子里有编号为1~100的100盏电灯,每盏都配有一个开关,开始灯全灭着.现在有100个人依次进入房间,第k 个人把编号是的k 倍数的灯的开关各拉一次,这样操作完之后,哪些编号的灯亮着?解决这个问题,需要讨论各盏灯编号的约数个数的奇偶性.如何求一个正整数的约数的个数呢?下面我们讨论这个问题.设为n 正整数,的n 正约数最小为1,最大为,n 因此的n 正约数的个数有限.为了叙述更方便，我们把正整数的n 正约数个数记作()d n . 例如, (1)1d =,(2)2d =,(5)5d =,(8)4d =,(12)6d =.从理论上讲,求d(n)只要把n 的正约数全部找出来数一数就可以了,但这种方法并不适合求数值较大的数的正约数的个数,例如(360)d ,(450000)d .下面我们以求d(360)为例,介绍可行的方法.由于3602332=⨯⨯5,其正约数比形如323n 2γ=⨯⨯5,其中α可取0~3四个数之一,β可取0~2三个数之一, γ可取0,1两个数之一. α,β,γ各选定一个允许值,构成一个组合,代入n 即可得到360的正约数个数是24,故(360)43224d =⨯⨯=.同理由144=4322⨯,可知(144)(41)(21)15d =++=. 定理1 设正整数n 的标准分解式为1212n p p αα=…m m p α,则 12()(1)(1)d n =α+α+…(1)m α+. 证明: n 的正约数必形如1212k p p αα=…mmp α,其中1β可取0至1α中任意一个,共有11α+种取法; 2β可取0至2α中任意一个, 共有21α+种取法;…;m β可取0至m α中任意一个,共有1m α+种取法,那么12()(1)(1)d n =α+α+…(1)m α+. 例1 求(300000)d .解: 因为5530000025 =⨯3⨯,所以(300000)(51)(11)(51)72d =+++=.例2 若n p q αβ=,其中p ,q 为不同质数, α≥1, β≥1.且2n 有15个正约数,求7()d n .解: 由222n p q αβ5=,得2()(2)(21)1535d n =α+1β+==⨯. 不失一般性.设β≥α,则2α+1=3, 2β+1=5,解得α=1, β=2,故2n pq =,则7714n p q =,所以7()(71)(141)815120d n =++=⨯=.例3 有一个小于2000 的四位数,它恰有14个正约数,其中有一个制约数的末尾 数字是1,求这个四位数. （1984年上海初中赛题） 解: 设n 为所求,则()14172d n =⨯=⨯.若()141d n =⨯,则13n p =,而13112000> ,故此时无解.若()72d n =⨯,则6n p q =,其中p , q 为不同质数.为质数p , q 选取适当的值,使其满足p , q 之一的末位数是1,且0002000n 1 << .易知只有当2p =,31q =时, 62311984n =⨯=符合题意.定理2 正整数n 为完全平方数的充要条件是()d n 为奇数. 证明: 必要性设1212(n p p αα= (2))m mp α (其中1212p p αα…m m p α的标准分解式),则1212n p p αα=…mmp α,故12()(2)(21)d n =α+1α+…(21)m α+. 因为12α+1,221α+,21m α+均为奇数,所以12()(2)(21)d n =α+1α+…(21)m α+.为奇数. 充分性 设1212n p p αα=…mmp α为n 的标准分解式,则12()()(1)d n =α+1α+…(1)m α+.因为()d n 为奇数,所以1α+1,21α+,… ,1m α+均为奇数,从而1α,2α,…,m α均为偶数.设11α=2β,22α=2β,…,m m α=2β,则 1212n p p 2α2α=…1212(m m p p p 2αββ=…2)m m p β,所以n 为完全平方数.该定理可以用来分析解决本节开头提出的“拉灯”问题:各盏灯的开关被拉几次取决于其编号的正约数的个数,而灯是否被拉亮取决于其开关被拉次数的奇偶性（奇数则被拉亮）.由定理2可知,亮灯的编号必为完全平方数,即第21,22,23,… ,210号的灯亮着.当然,该定理的价值远不止于此,它主要用来判断一个数是否是完全平方数,进而解决其它有关问题.例4 求证:正整数n证明: 设n 的所有正约数为1n ,2n ,…,()d n n .因为k n n |,所以存在k m ,使(1,2,k n m k ==…())d n ,,从而k m n |,即k m 是n 的正约数，所以k m 是1n ,2n ,… ,()d n n 之一(1())k d n ≤≤.故1m ,2m ,…,()d n m 是1n ,2n ,…,()d n n 重新排序的一个结果,所以12n n …()12d n n m m =…()12d n n n m n n =…()d n n n =()12()...d n d n n n n n ,则12(n n (2)()())d n d n n n=,所以12n n…()d n n =即正整数n由例4自然联想,正整数n 的所有正约数之和等于多少呢? 二、正整数n 的所有正约数之和正整数n 的所有正约数之和记作()S n ,下面我们按n 含有的质约数的个数来讨论.1.当n 只含一个质约数时例如,9的正约数有1,3,23,其和为3231(9)13331S -=++=-;32的正约数有23451,2,2,2,2,2,其和为6234521(32)12222221S -=+++++=-,一般地,若mn p =,则2()1S n p p =+++ (11)1m mp p p +-+=-.2.当n 含有两个质约数时例如, 327223=⨯,其正约数排列如下:1 2 22 323 3⨯2 23⨯2 33⨯223 23⨯2 223⨯2 233⨯2则2323222223(72)(12222322333232)S =+++)+(3+3⨯+⨯+3⨯)+(+⨯2+⨯+⨯ 232(1222)(133)=+++++4321312131--=⨯--. 一般地,若mkn p q =（,p q 是互异质数, ,m k 为正整数）,则1()(1S n p =++…1)(1m p q +++…)k q +111111m k p q p q ++--=⨯--. 由上述过程不难猜想:若1212n p p αα=…mmp α(12,,p p …,m p 是互异质数, 12,,αα…,m α为正整数),则11()(1S n p =++…1112)(1p p α+++…22)p α+…1(1m p ++…)m m p +α. ①下面试证这个结论.从①式中每个括号任取一项相乘,积必形如 1212p p ββ…mmp β(其中0,1,2,k k k ≤β≤α=…,m ),这样的积共有多少个呢?在第k 个括号内任取一项,有1k α+种取法,故在m 个括号内各任取一项,共有12(α+1)(α+1)…1)()m d n (α+=种取法,即有()d n 个这样的积.由§1.4中算术基本定理的推论可知.每个这样的积都是n 的一个正约数,且n 的任一正约数必是这样的积中的一个,故所有这样的积作成的和就是n 的所有正约数之和()S n ,即11(1p ++…1112)(1p p α+++…22)p α+…1(1m p ++…)()m m p S n +α=这说明我们的猜想是正确的,从而得到了如下的定理. 定理3 设正整数1212n p p αα=…mmp α,(12,,p p …,m p 是互异质数, 12,,αα…,m α为正整数),则11()(1S n p =++…1112)(1p p α+++…22)p α+…1(1m p ++…)m m p +α121112121111p p p p α+α+--=⨯⨯-- (111)m m m p p α+-⨯-. 例5 求()360S n =.解: 因为32360235=⨯⨯,所以432213151(360)1170213151S ---=⨯⨯= ---. 例6 求形如23k m的正整数,且使其所有正约数之和为403. 解: 由题意可得112131(23)140313312131k m k mS ++--=⨯=⨯=⨯--, 故可得下面四个方程组11211,2131403;31k m ++⎧-=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩ 1121403,21311;31k m ++⎧-=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩112113,213131;31k m ++⎧-=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩ 112131,213113.31k m ++⎧-=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩上述四种情况只有最后一组有正整数解4,2.k m =⎧⎨=⎩故只有4223144⨯=的所有正约数之和为403.例7 求1998 的所有正约数的倒数之和. 解: 因为319982337=⨯⨯ ,所以(1998)(11)(31)(11)16d =+++= ,23(1998)(12)(1333)(137)4560S =+++++= .设1998 的16个正约数分别为12,,x x …,16x 可按乘积等于1998 分为8组,不妨设123456789101112131415161998x x x x x x x x x x x x x x x x ======== ,则1211x x ++ (16)1x + 12341111()()x x x x =++++ (1516)11()x x ++ 34121234x x x x x x x x ++=++ (15161516)x x x x ++ 1216 (4560760)199********x x x +++===. 如果()2S n n =,则称n 为完全数,如6,28,496,8128,... 截止1996年11月，共发现了34个完全数.在两个正整数中,若一个数的所有正约数之和恰好等于另一个数,则称这两个数为一对亲和数,如1184 与1210 ,220与284,….对完全数与亲和数感兴趣的读者,以阅读上海教育出版社1998年1月版谈祥柏译[美]阿尔伯特••H •贝勒著《数论妙趣》.例8 能被30整除,且恰有30个不同正约数的自然数共有多少个?(98年上海市初中数学竞赛题)解：设正整数p 分解质因数为1212aap p ⨯⨯…na np ⨯,则它的约数个数为12(1)(1)a a ++…(1)n a +.因为题中要求的数能被30整除,以必然含有质因数2,3,5,设此数为312235aaa⨯⨯⨯…, 则它的约数的个数为123(1)(1)(1)a a a +++…,因为3530=2⨯⨯,所以123()(30)(1)(1)(1)35d p d a a a ==+++=2⨯⨯,所以p 没有除3,52,之外的质因数，所以1231,1,1a a a +++只能是3,52,或者2,5,3或3,5,2或3,2,5或5,2,3或5,3,2,共6个.例9 证明对任意一个正整数,其正约数中末位为1或9的的个数不小于末位为3或7的数的个数.证明: 设正整数约数中末尾为3有m 个, 7的有n 个. 设其为12,,x x …,m x ,12,,y y …,n y (从小到大排列)当0,0m n ==显然正确.1n =时, 1是n 的正约数,2n >时, 1231,y y ,y ,i y ⨯⨯…1,y y ,n ⨯互不相同，共n 个. 0m =,同理可证.,m n ≥1时， 123y y ,y ,i y ⨯⨯…1,y y ,n ⨯共n 1-个. 12,x x ⨯…1,m x x ⨯共1m -.11y x ⨯末尾为1,又有1为n 的正约数,至少1111m n m n -+-++=+个. 综上,得证.例10求出最小的正整数n ,使其恰有144个正约数，并且其中有十个是连续的整数.例11（1） 所有的正约数的和等于15的最小自然数是多少？8 （2） 所有正约数的积等于64的最小自然数是多少？8（3） 有没有这样的自然数,其所有正的真约数之积等于它本身？21 例12只有13个正约数的最小正整数是？ 解：()13(121)d n ==+ n 最小取2，所以 1224096=. 例13用()d n 表示正整数n 的正约数的个数,证明:存在无穷多个正整数n ,使得()(1)1d n d n +++是3的倍数.证明: 可知当n 为质数时()2d n =则当1n +的约数个数为3时 ()(1)16d n d n +++=是3的倍数又可知当n 为质数, 1n +的约数为3有无数组所以存在无穷多个正整数n ,使得()(1)1d n d n +++是3的倍数.例14在30~300的所有正整数中，有几个数恰有三个正约数？解: 三个正约数就是：1,x ,其本身,且本身/ x x =, 推得这个数等于2x , x 是个质数.2255= 2366= 217289= 218324=可知, x 是在6到17间的质数：7、11、13、17。
约数的计算方法和技巧
约数的计算方法和技巧
约数的计算方法和技巧有很多种,以下是一些常用的方法:
1. 质数分解法:将一个大于1的自然数分解质因数,即可找到其中含有多少个质因数的数。
2. 合数分解法:将一个大于1的自然数分解合数,即可找到其中含有多少个偶数和多少个奇数的数。
3. 韦达定理:韦达定理是一个用于计算两个数之间是否为因数
的定理。
4. 埃氏筛法:埃氏筛法是用于寻找质数的算法。
通过不断地缩小范围,将未筛选的数逐渐排除,最终找到质数。
5. 米勒-拉宾素性测试:米勒-拉宾素性测试是一种用于确定一
个数是否为素数的算法。
它通过模拟该数的加减运算,判断它是否容易被一个小于一定大小的数整除。
6. 欧拉公式:欧拉公式是一个用于计算两个数之间余数的公式。
该公式可以用于计算任意两个数的和与差,以及它们的中位数、众数等。
7. 快速幂算法:快速幂算法是一种用于计算一个整数的幂的算法。
该算法的时间复杂度为 O(log n),其中n是输入整数的位数。
8. 蒙特卡罗方法:蒙特卡罗方法是一种用于模拟随机过程的算法。
该方法可以用于计算一些随机变量的分布,从而得到它们的概率分布。
这些算法和技巧都是常用的约数计算方法和技巧,不同的约数问
题可能需要选择不同的算法和技巧来解决。
约数与倍数
约数与倍数基础知识：1. 如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数.如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数. 自然数a、b、c的最大公约数通常用符号（a，b，c）表示.例如:（8，12）＝4，（6，9，15）＝3.2. 互质定义：如果两个或几个数的最大公约数为1，则称这两个或几个数互质.3.如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数.在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数. 自然数a、b、c的最小公倍数通常用符号[a，b，c]表示.例如:[8，12]＝24，[6，9，15]＝90.4.约数个数公式、约数和公式.例1.360有多少个约数？[答疑编号5721260101]【答案】24【解答】，所以360共有24个约数.例2. 一个数是6的倍数，但它的约数之和与6互质，这个数最小是.[答疑编号5721260102]【答案】36【解答】这个数可以表示成，与6互质，所以x≥2，y≥2，故最小数为.基础知识5.求最大公约数和最小公倍数的基本方法：（1）分解质因数法:将每个数分解质因数，观察这些数中包含哪些质因数，①找公共部分，并将这些数的公共部分相乘，所得乘积即为这组数的最大公约数；②观察这些质因数的最高次方，并相乘，所得乘积即为这组数的最小公倍数.（2）辗转相除法: 两数为a、b的最大公约数（a，b）的步骤如下：用b除a，得a＝bm (x)（0≤x）. 若x＝0，则（a，b）＝b；若x≠0，则再用x除b，得b＝xn......y （0≤y）.若y＝0，则（a，b）＝x，若y≠0，则继续用y除x,则继如此下去，直到能整除为止.其最后一个非零除数即为（a，b）.（3）两个数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积：（a，b）×[a，b] ＝a×b.例3.甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小1988，那么满足上述条件的自然数有几组？[答疑编号5721260103]【答案】6组【解答】，由此得a和a－b的值为1988的互补因子.1988有（1＋1）×（1＋1）×（2＋1）＝12个约数，所以答案为6组.例4.已知将自然数84的全部约数的乘积分解质因数为，那么△＋◇＋□等于.[答疑编号5721260104]【答案】24【解答】，它有3×2×2＝12个约数.这些约数可以分成两两一组，使得同一组的两个数的乘积就是84，因此所有这些约数的乘积就是 .所以△＋◇＋□＝12＋6＋6＝24.例5.两数乘积为2800，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1.那么这两个数分别是 .[答疑编号5721260105]【答案】175和16【解答】，两数的约数个数相差1，则两数约数的个数必为一奇一偶.而一个数的约数个数为奇数，它必为完全平方数，它可能是1、、、、、，经试验只有这个平方数取，另一个数为时，分别有5、6个约数.所以这两个数分别为175和16.例6.三位数A的所有奇约数之和是403，那么A最大可能是多少？[答疑编号5721260106]【答案】900【解答】先考虑A的奇数部分B，利用奇偶分析可知B有奇数个约数，所以B是完全平方数，又403＜21×21，所以B只可能是、……可得B＝225. 那么A最大是225×4＝900.例7.一个正整数是2004的倍数，且恰有24个约数是偶数，那么这个数最多有个约数是奇数.[答疑编号5721260107]【答案】12【解答】2004是4的倍数，所以偶约数至少是奇约数的2倍，所以为12个.例8.小文买红蓝两种笔各1支用了17元，两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小张打算用35元来买这两种笔（允许全部买其中一种），可是他无论怎样买都不能恰好把35元用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？[答疑编号5721260108]【答案】红笔每支13元，蓝笔每支4元【解答】35＝5×7，两种笔的单价不能是5元和7元（否则35元可全部用完）；由于不是5元和7元，那么也不是17－5＝12（元）和17－7＝10（元）；17元可用完，而35元不能用完，那么笔价不会是35－17＝18（元）的约数：1、2、3、6、9、18，当然也不会是17－1＝16、17－2＝15、17－3＝14、17－6＝11、17－9＝8，故笔价又排除了：1、2、3、6、8、9、11、14、15、16.综上所述，只有4和13未被排除，而4＋13＝17，所以红笔每支13元，蓝笔每支4元.引例1.求15708和6468的最大公约数、最小公倍数.[答疑编号5721260201]【答案】924,109956【解析】方法一：方法二：15708＝6468×2＋2772 6468＝2772×2＋9242772＝924×3引例2.1007、10017、100117、1001117和10011117的最大公约数是 .[答疑编号5721260202]【答案】53【解析】因为1007×10－10017＝53，所以最大公约数肯定是53或1.因为1007＝53×19，而且数列中每个数都是前一个数的10倍减去53，所以只要前一个数是53的倍数那么后一个数就也是53的倍数，因此数列中每个数都是53的倍数.例1.已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？[答疑编号5721260203]【答案】147或105【解析】要求这两个数的和，我们可先求出这两个数各是多少.设这两个数为a、b，a＜b.因为这两个数的最大公约数是21，故设a＝21m，b＝21n，且（m，n）＝1.因为这两个数的最小公倍数是126，所以126＝21×m×n，于是m×n＝6，因此，这两个数的和为21＋126＝147，或42＋63＝105.所以这两个数的和为147或105.例2.已知自然数A、B满足以下两个性质：（1）A、B不互素；（2）A、B的最大公约数与最小公倍数之和为35.那么A+B的最小值是多少？[答疑编号5721260204]【答案】25【解析】A、B的最大公约数一定是它们最小公倍数的约数.因为A、B的最大公约数与最小公倍数的和是35，所以35是两数最大公约数的倍数.它们的最大公约数可能是5或7.如果A、B的最大公约数是5，则A、B的最小公倍数是30，此时有A＝5、B ＝30或A＝10、B＝15；如果A、B的最大公约数是7，则A、B的最小公倍数是28，此时有A＝7，B ＝28.所以A＋B的最小值为10＋15＝25.例3.两个数的最小公倍数比它们的最大公约数的3倍多15，请写出这两个数的所有可能值.[答疑编号5721260205]【答案】1和18， 2和9， 3和24， 5和30，10和15， 15和60【解析】设两个数a、b，则[a,b]＝3×（a,b）＋15，且15是（a,b）的倍数，故a和b可以为1和18， 2和9， 3和24， 5和30，10和15， 15和60.例4. 三位数☆◇☆与四位数☆☆◇◇的最大公约数是22，那么☆＋◇＝.[答疑编号5721260206]【答案】6【解析】两个数的最大公约数是22，☆☆◇◇是11的倍数，所以◇是偶数，22是☆◇☆的约数，☆是偶数，◇＝2☆，所以◇＝4，☆＝2，所以◇＋☆＝6.例5.试用2，3，4，5，6，7六个数字组成两个三位数，使这两个三位数与540的最大公约数尽可能大？[答疑编号5721260207]【答案】324、756【解析】因为，而2，3，4，5，6，7中只有一个5，因此这六个数字组成的两个三位数中不会有公约数5，所以这两个三位数与540的最大公约数只可能为，再进行试验，108×2＝216，216中1不是已知数字，108×3＝324，还剩5，6，7三个数字，而108×7＝756，于是问题得到解决.例6.已知甲数的12倍与乙数的15倍的最大公约数是1440，那么甲数和乙数的最大公约数最小可以是多少？[答疑编号5721260208]【答案】24【解析】1440整除12×甲数和15×乙数，所以1440÷12＝120和1440÷15＝96分别要整除甲数和乙数，所以甲数和乙数的最大公约数至少为（120,96）＝24.当甲数和乙数分别为120和96时，它们的最大公约数为24，所以它们的最大公约数最小可以是24.例7.定义表示a和b的最大公约数，那么使得和同时成立的三位数a= .[答疑编号5721260209]【答案】237【解析】根据题意：是21的倍数，所以a是3的倍数，a除以7余6，a＋63是60的倍数，a除以4余1，a除以5余2，所以a＝60×4－3=237.例8.已知a与b，a与c，b与c的最小公倍数分别是60，90和36。
十三认识数的倍数与约数
十三认识数的倍数与约数十三是一个自然数，属于正整数的范畴。
在数学中，倍数与约数是与一个数相关的概念。
本文将介绍关于十三的倍数与约数的概念，以及它们的性质和应用。
一、十三的倍数倍数是指能够被某个数整除的数，也称之为这个数的整数倍。
对于十三而言，它的倍数包括13的正整数倍数、负整数倍数以及0倍数。
具体地说：1.1 正整数倍数：13的正整数倍数包括13、26、39、52等等，即13乘以正整数所得的结果。
1.2 负整数倍数：13的负整数倍数包括-13、-26、-39、-52等等，即13乘以负整数所得的结果。
1.3 0倍数：0是13的倍数，因为任何数乘以0都等于0。
倍数的概念在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在计算机科学中，倍数可用于确定某个数是否能被另一个数整除，或者用于寻找一组数中的最小公倍数等。
在日常生活中，倍数的概念也常常用于数学游戏和解谜中。
二、十三的约数约数是指能够整除某个数的数，也称之为这个数的因数。
对于十三而言，它的约数只有1和13两个。
具体地说：2.1 1是13的约数：任何数都是1的约数，所以13也不例外。
2.2 13是13的约数：13自身也是13的约数，因为13除以13等于1。
约数的概念在数论、代数等数学领域中有着重要的地位。
它们与素数、因式分解等概念密切相关，可以用于解决数论问题、计算最大公约数和最小公倍数等。
此外，在应用数学中，约数也被广泛用于因数分析、数的性质研究等方面。
三、倍数与约数的关系倍数与约数之间存在着重要的联系。
具体来说，如果一个数是另一个数的倍数，那么后者一定是前者的约数。
同样地，如果一个数是另一个数的约数，那么后者一定是前者的倍数。
以十三为例，13的倍数包括13、26、39等，而13的约数只有1和13。
可以发现，1既是13的约数，同时也是13的倍数；同样地，13既是13的约数，也是13的倍数。
四、倍数与约数的应用倍数与约数的概念广泛应用于数学和实际生活中。
以下是一些常见的应用：4.1 素数判定：通过判断一个数是否只有1和它本身两个约数，可以判断该数是否为素数。
小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答
小学(xiǎoxué)数学奥林匹克竞赛(jìngsài)真题集锦及解答一、填空题1．三个连续偶数，中间(zhōngjiān)这个数是m，则相邻两个数分别是___m-2____和___m+2_ __。
2．有一种(yī zhǒnɡ)三位数，它能同时(tóngshí)被2、3、7整除，这样的三位数中，最大的一个是____966___，最小的一个是____126____。
解题过程：2×3×7=42；求三位数中42的倍数126、168、 (966)3．小丽发现：小表妹和读初三哥哥的岁数是互质数，积是144，小表妹和读初三哥哥的岁数分别是_____9____岁和____16____岁。
解题过程：144=2×2×2×2×3×3；（9、16）=14．一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字0的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，那么这个四位数是____1210___。
5．2310的所有约数的和是__6912____。
解题过程：2310=2×3×5×7×11；约数和=（1+2）×（1+3）×（1+5）×（1+7）×（1+11）6．已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10，这些自然数共有____11____个。
解题过程：2008-10=1998；1998=2×33×37；约数个数=（1+1）×（1+3）×（1+1）=16（个）其中小于10的约数共有1，2，3，6，9；16-5=11（个）7．从1、2、3、…、1998、1999这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于4？__ 1000 __。
(完整版)小学奥数数论专项训练试卷
小学奥数专项训练——数论一、填空题1．三个连续偶数，中间这个数是m，则相邻两个数分别是__________和__________。
2．有一种三位数,它能同时被2、3、7整除,这样的三位数中,最大的一个是__________，最小的一个是__________。
3．小丽发现：小表妹和读初三哥哥的岁数是互质数，积是144，小表妹和读初三哥哥的岁数分别是__________岁和__________岁。
4．一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字0的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，那么这个四位数是__________。
5．2310的所有约数的和是__________。
6．已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10，这些自然数共有__________个。
7．从1、2、3、…、1998、1999这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于4？__________。
8．黑板上写有从1开始的若干个连续的奇数：1，3，5，7，9，11，13…擦去其中的一个奇数以后，剩下的所有奇数之和为1998，那么擦去的奇数是__________。
9．一个1994位的整数，各个数位上的数字都是3。
它除以13，商的第200位（从左往右数）数字是__________，商的个位数字是__________，余数是__________。
10．在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有__________个。
11．设n是一个四位数，它的9倍恰好是其反序数（例如：123的反序数是321），则n＝__________。
12．555555的约数中，最大的三位数是__________。
13．设a与b是两个不相等的自然数，如果它们的最小公倍数是72，那么a与b之和可以有__________种不同的值。
14．小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3，……，13。
一个整数的约数个数与约数和的计算方法
一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．于是,我们计算出值:13×15×6=1170．所以,360所有约数的和为1170．评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)Ⅱ.约数的和是在严格分解质因数后,将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如：21000=23×3×53×7,所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=74880．2.一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少?【分析与解】设这个数为A,有A=25×33×56×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97均不是A的约数,而96=25×3为A的约数,所以96为其最大的两位数约数．3.写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【分析与解】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．4.今有语文课本42册,数学课本112册,自然课本70册,平均分成若干堆,每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆?【分析与解】显然堆数是42的约数,是112的约数,是70的约数.即为42,112,70的公约数,有(42,112,70)=14．所以,最多可以分成14堆．5.加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?【分析与解】为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人,有6A=10B=15C=k,那么k的最小值为6,10,15的最小公倍数,即[6,10,15]=30．所以A=5,B=3,C=2,则三道工序最少共需要5+3+2=10名工人．6.有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚?【分析与解】设在x分钟后3人再次相聚,甲走了120x米,乙走了lOOx米,丙走了70x米,他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍．即120x-100x,120x-70x,lOOx-70x均是300的倍数,那么300就是20x,50x,30x的公约数．有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以x=30．即在30分钟后,3人又可以相聚．7.3条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时,3人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长15千米,中圈跑道长14千米,外圈跑道长38千米.甲每小时跑312千米,乙每小时跑4千米,丙每小时跑5千米.问他们同时出发,几小时后,3人第一次同时回到出发点?【分析与解】甲跑完一圈需11235235÷=小时,乙跑一圈需114416÷=小时,丙跑一圈需335840÷=则他们同时回到出发点时都跑了整数圈,所以经历的时间为235,116,340的倍数,即它们的公倍数．而213,,351640⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]()2,1,335,16,4=661==.所以,6小时后,3人第一次同时回到出发点.评注:求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分母的最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.8.甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？【分析与解】有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×90=540，则乙数为540÷18=30．9.A,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个约数，数B有10个约数，那么A,B两数的和等于多少?【分析与解】方法一:由题意知A可以写成3×52×a，B可以写成3×52×6,其中a、b为整数且只含质因子3、5.即A:31+x×52+y,B=31+m×52+n,其中x、Y、m、n均为自然数(可以为0)由A有12个约数,所以[(1+x)+1]×[ (2+y)+1]=(2+x)×(3+y)=12，所以21,01x xy y==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩4xy=⎧⎨=⎩或.对应A为31+2×52=675,31+1×52+1=1125,或31+0×52+4=46875；由B 有10个约数,所以[(1+m)+1]×[(2+n)+l]=(2+m)×(3+n):10,所以02m n =⎧⎨=⎩.对应B 为31+0×52+2=1875．只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875． 那么A,B 两数的和为675+1875=2550． 方法二:由题中条件知A 、B 中有一个数质因数中出现了两次5,多于一次3,那么,先假设它出现了N 次3,则约数有:(2+1)×(N+1)：3×(N+1)个12与10其中只有12是3的倍数,所以3(N+1)=12,易知N=3,这个数是A ，即A=33×52=675．那么B 的质数中出现了一次3,多于两次5,则出现了M 次5,则有:(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10，M=4.B=3×54=1875．那么A,B 两数的和为675+1875=2550．10.有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少?【分析与解】 设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2． 它们的和为:a+b=(a,b)ql+(a,b)q2=(a,b)(q1+q2)=297………① 它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]+(a,b)=(a,b)qlq2+(a,b)=(a,b)(qlq2+1)=693，且(q1,q2)=1.………………………………………………………………②综合①、②知(a,b)是297,693的公约数,而(297，693)=99,所以(a,b)可以是99,33,1l,9,3,1． 第一种情况:(a,b)=99,则(q1+q2)=3,(qlq2+1)=7,即qlq2=6=2×3,无满足条件的ql,q2； 第二种情况:(a,b)=33,则(q1+q2)=9,(q1q2+1)=21,即q1q2=20=22×5,则ql=5,q2=4时满足,a=(a,b)q 1=33×5=165,b=(a,b)q 2=33×4=132,则a-b=165-132=33；第三种情况:(a,b)=11,则(q1+q2)=27,(q1q2+1)=63,即q q2=62=2×31,无满足条件的q1,q2；一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的q1q2． 所以,这个两个自然数的差为33．11.两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60.问这样的自然数共有多少组?【分析与解】 设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．它们的和为:a+b=(a,b)q1+(a,b)q2=(a,b)(ql+q 2)=60…………① 它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=60，且(q1,q2)=1…………………………………………………………………②联立①、②有(ql+q2)=(q1q2+1),即ql+q2-qlq2=1,(ql-1)(1-q2)=0,所以ql=1或q2=1． 即说明一个数是另一个数的倍数,不妨记a=kb(k 为非零整数)，有()[]60,60a b kb b a b b a b kb +=+=⎧⎪⎨+=+=+=⎪⎩a,b ,即()160k b +=确定，则k 确定，则kb 即a 确定60的约数有2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60这11个，b可以等于2，3，4，5，6，10．12，15，20，30这10个数，除了60，因为如果6=60，则(k+1)=1，而k为非零整数．对应的a、b有10组可能的值，即这样的自然数有10组．进一步，列出有(a,b)为(58,2),(57,3),(56,4),(55,5),(54,6),(50,10)，(48,12),(45,15),(40,20),(30,30)．评注:如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数与最小公倍数的和，那么这两个数存在倍数关系．12.3个连续的自然数的最小公倍数是9828,那么这3个自然数的和等于多少?【分析与解】若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．则当a,a+1,a+2中有2个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828×2，当a,a+1,a+2中有1个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828．对9828分解质因数:9828=2×2×3×3×3×7×13,我们注意,13是其最大的质因数,验证不存在3个连续的自然数的积为9828．则这三个自然数的积只能是9828×2,此时这三个数中存在两个偶数,有9828×2=2×2×2×3×3×3×7×13．13×2=26,有26,27,28三个数的积为9828×2,所以这三个连续的自然数为26,27,28,其中有两个偶数,满足题意．所以,这三个数的和为26+27+28=81．评注:我们知道两个连续的自然数互质,而两个互质的数的公倍数等于它们的积,即[0,b]=a×b．记这3个连续的自然数为a,a+1,a+2．有[a,a+1,a+2]=[a,a+1,a+1,a+2]=[[a,a+1],[a+1,a+2]]=[a×(a+1)，(a+1)×(a+2)]=(a+1)×[a,a+2]．因为a,a+2同奇同偶，当a,a+2均是偶数时,a,a+2的最大公约数为2,则它们的最小公倍数为()22a a⨯+；当a,a+2均是奇数时,a,a+2互质,则它们的最小公倍数为a×(a+2)．所以(a+1)×[a,a+2]=()()()()21212a aa aa a a a⨯+⎧+⨯⎪⎨⎪+⨯⨯+⎩为偶数为奇数.即[a,a+1,a+2]为a(a+1)(a+2)或()()122a a a++若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．13.甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?【分析与解】 对90分解质因数:90=2×3×3×5.因为5126,所以5甲,即甲中不含因数5,于是乙必含因数5． 因为2105,所以2乙,即乙中不含因数2,于是甲必含2×2． 因为9105,所以9乙,即乙最多含有一个因数3．第一种情况:当乙只含一个因数3时,乙=3×5=15,由[甲,乙]=90=2×32×5,则甲=2×32=18； 第一种情况:当乙不含因数3时,乙=5,由[甲,乙]=90=2×32×5,则甲=2×32=18，综上所需,甲为18．评注:两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子,并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值．如a=2×33×52×7,b=23×32×5×7×11,则A 、B 的最小公倍数含有质因子2,3,5,7,11,并且它们的个数为a 、b 中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个,3个,2个,1个,1个,即[a,b]=23×33×52×7×11．14.a>b>c 是3个整数.a,b,c 的最大公约数是15；a,b 的最大公约数是75；a,b 的最小公倍数是450；b,c 的最小公倍数是1050.那么c 是多少?【分析与解】 由(a,b)=75=3×52,[a,b]=450=32×2×52=75×3×2,又a ﹥b 所以45075a b =⎧⎨=⎩或225150a b =⎧⎨=⎩ [b,c]=1050=2×3×52×7. 当 45075a b =⎧⎨=⎩ 时有 ()()[][]450,75,75,15,75,1050c c b c c ⎧==⎪⎨==⎪⎩，因为两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积,所以(75,c)×[75,c]=75×c=15×1050,得c=210,但是c>b,不满足；当225150a b =⎧⎨=⎩时有()()[][]225150,75,15,150,1050c c b c c ⎧==⎪⎨==⎪⎩，,则c=105,c ﹤b,满足,即225150105a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩为满足条件的为一解．那么c 是105.15.有4个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少? 【分析与解】 设这4个不同的自然数为A 、B 、C 、D ，有A+B+C+D=1111．将1111分解质因数:1111=11×101,显然A 、B 、C 、D 的最大公约数最大可能为101,记此时A=101a ，B=101b,C=101c,D=101d,有a+b+c+d=11,当a+b+c+d=1+2+3+5时满足,即这4个数的公约数可以取到101．综上所述,这4个不同的自然数,它们的最大公约数最大能是101．评注:我们把此题稍做改动:“有5个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?”,大家不妨自己试试．。
1.7正整数的正约数个数与总和
§1.7正整数的正约数个数与总和一、正整数的正约数个数我们先看一个有趣的问题:在一间房子里有编号为1~100的100盏电灯,每盏都配有一个开关,开始灯全灭着.现在有100个人依次进入房间,第k 个人把编号是的k 倍数的灯的开关各拉一次,这样操作完之后,哪些编号的灯亮着?解决这个问题,需要讨论各盏灯编号的约数个数的奇偶性.如何求一个正整数的约数的个数呢?下面我们讨论这个问题.设为n 正整数,的n 正约数最小为1,最大为,n 因此的n 正约数的个数有限. 为了叙述更方便，我们把正整数的n 正约数个数记作()d n . 例如, (1)1d =,(2)2d =,(5)5d =,(8)4d =,(12)6d =.从理论上讲,求d(n)只要把n 的正约数全部找出来数一数就可以了,但这种方法并不适合求数值较大的数的正约数的个数,例如(360)d ,(450000)d .下面我们以求d(360)为例,介绍可行的方法.由于3602332=⨯⨯5,其正约数比形如323n 2γ=⨯⨯5,其中α可取0~3四个数之一,β可取0~2三个数之一, γ可取0,1两个数之一. α,β,γ各选定一个允许值,构成一个组合,代入n 即可得到360的正约数个数是24,故(360)43224d =⨯⨯=.同理由144=4322⨯,可知(144)(41)(21)15d =++=. 定理1 设正整数n 的标准分解式为1212n p p αα=…m m p α,则 12()(1)(1)d n =α+α+…(1)m α+. 证明: n 的正约数必形如1212k p p αα=…mmp α,其中1β可取0至1α中任意一个,共有11α+种取法; 2β可取0至2α中任意一个, 共有21α+种取法;…;m β可取0至m α中任意一个,共有1m α+种取法,那么12()(1)(1)d n =α+α+…(1)m α+. 例1 求(300000)d .解: 因为5530000025 =⨯3⨯,所以(300000)(51)(11)(51)72d =+++=.例2 若n p q αβ=,其中p ,q 为不同质数, α≥1, β≥1.且2n 有15个正约数,求7()d n .解: 由222n p q αβ5=,得2()(2)(21)1535d n =α+1β+==⨯. 不失一般性.设β≥α,则2α+1=3, 2β+1=5, 解得α=1, β=2,故2n pq =,则7714n p q =,所以 7()(71)(141)815120d n =++=⨯=.例3 有一个小于2000 的四位数,它恰有14个正约数,其中有一个制约数的末尾 数字是1,求这个四位数. （1984年上海初中赛题） 解: 设n 为所求,则()14172d n =⨯=⨯.若()141d n =⨯,则13n p =,而13112000> ,故此时无解.若()72d n =⨯,则6n p q =,其中p , q 为不同质数.为质数p , q 选取适当的值,使其满足p , q 之一的末位数是1,且0002000n 1 << .易知只有当2p =,31q =时, 62311984n =⨯=符合题意.定理2 正整数n 为完全平方数的充要条件是()d n 为奇数. 证明: 必要性设1212(n p p αα= (2))m mp α (其中1212p p αα…m m p α的标准分解式),则1212n p p αα=…mmp α,故12()(2)(21)d n =α+1α+…(21)m α+. 因为12α+1,221α+,21m α+均为奇数,所以12()(2)(21)d n =α+1α+…(21)m α+.为奇数. 充分性 设1212n p p αα=…mmp α为n 的标准分解式,则12()()(1)d n =α+1α+…(1)m α+.因为()d n 为奇数,所以1α+1,21α+,… ,1m α+均为奇数,从而1α,2α,…,m α均为偶数.设11α=2β,22α=2β,…,m m α=2β,则 1212n p p 2α2α=…1212(m m p p p 2αββ=…2)m m p β,所以n 为完全平方数.该定理可以用来分析解决本节开头提出的“拉灯”问题:各盏灯的开关被拉几次取决于其编号的正约数的个数,而灯是否被拉亮取决于其开关被拉次数的奇偶性（奇数则被拉亮）.由定理2可知,亮灯的编号必为完全平方数,即第21,22,23,… ,210号的灯亮着.当然,该定理的价值远不止于此,它主要用来判断一个数是否是完全平方数,进而解决其它有关问题.例4 求证:正整数n证明: 设n 的所有正约数为1n ,2n ,…,()d n n .因为k n n |,所以存在k m ,使(1,2,k n m k ==…())d n ,,从而k m n |,即k m 是n 的正约数，所以k m 是1n ,2n ,… ,()d n n 之一(1())k d n ≤≤.故1m ,2m ,…,()d n m 是1n ,2n ,…,()d n n 重新排序的一个结果,所以12n n …()12d n n m m =…()12d n n nm n n =…()d n n n =()12()...d n d n n n n n ,则12(n n (2)()())d n d n n n=,所以12n n…()d n n =即正整数n由例4自然联想,正整数n 的所有正约数之和等于多少呢? 二、正整数n 的所有正约数之和正整数n 的所有正约数之和记作()S n ,下面我们按n 含有的质约数的个数来讨论.1.当n 只含一个质约数时例如,9的正约数有1,3,23,其和为3231(9)13331S -=++=-;32的正约数有23451,2,2,2,2,2,其和为6234521(32)12222221S -=+++++=-,一般地,若mn p =,则2()1S n p p =+++ (11)1m mp p p +-+=-.2.当n 含有两个质约数时例如, 327223=⨯,其正约数排列如下:1 2 22 323 3⨯2 23⨯2 33⨯223 23⨯2 223⨯2 233⨯2则2323222223(72)(12222322333232)S =+++)+(3+3⨯+⨯+3⨯)+(+⨯2+⨯+⨯ 232(1222)(133)=+++++4321312131--=⨯--. 一般地,若mkn p q =（,p q 是互异质数, ,m k 为正整数）,则1()(1S n p =++…1)(1m p q +++…)k q +111111m k p q p q ++--=⨯--. 由上述过程不难猜想:若1212n p p αα=…mmp α(12,,p p …,m p 是互异质数,12,,αα…,m α为正整数),则11()(1S n p =++…1112)(1p p α+++…22)p α+…1(1m p ++…)m m p +α. ①下面试证这个结论.从①式中每个括号任取一项相乘,积必形如 1212p p ββ…mmp β(其中0,1,2,k k k ≤β≤α=…,m ),这样的积共有多少个呢?在第k 个括号内任取一项,有1k α+种取法,故在m 个括号内各任取一项,共有12(α+1)(α+1)…1)()m d n (α+=种取法,即有()d n 个这样的积.由§1.4中算术基本定理的推论可知.每个这样的积都是n 的一个正约数,且n 的任一正约数必是这样的积中的一个,故所有这样的积作成的和就是n 的所有正约数之和()S n ,即11(1p ++…1112)(1p p α+++…22)p α+…1(1m p ++…)()m m p S n +α=这说明我们的猜想是正确的,从而得到了如下的定理. 定理3 设正整数1212n p p αα=…mmp α,(12,,p p …,m p 是互异质数, 12,,αα…,m α为正整数),则11()(1S n p =++…1112)(1p p α+++…22)p α+…1(1m p ++…)m m p +α121112121111p p p p α+α+--=⨯⨯-- (111)m m m p p α+-⨯-. 例5 求()360S n =.解: 因为32360235=⨯⨯,所以432213151(360)1170213151S ---=⨯⨯= ---. 例6 求形如23k m的正整数,且使其所有正约数之和为403. 解: 由题意可得112131(23)140313312131k m k mS ++--=⨯=⨯=⨯--, 故可得下面四个方程组11211,2131403;31k m ++⎧-=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩ 1121403,21311;31k m ++⎧-=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩112113,213131;31k m ++⎧-=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩ 112131,213113.31k m ++⎧-=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩上述四种情况只有最后一组有正整数解4,2.k m =⎧⎨=⎩故只有4223144⨯=的所有正约数之和为403.例7 求1998 的所有正约数的倒数之和. 解: 因为319982337=⨯⨯ ,所以(1998)(11)(31)(11)16d =+++= ,23(1998)(12)(1333)(137)4560S =+++++= .设1998 的16个正约数分别为12,,x x …,16x 可按乘积等于1998 分为8组,不妨设123456789101112131415161998x x x x x x x x x x x x x x x x ======== ,则1211x x ++ (16)1x + 12341111()()x x x x =++++ (1516)11()x x ++ 34121234x x x x x x x x ++=++ (15161516)x x x x ++ 1216 (4560760)199********x x x +++===. 如果()2S n n =,则称n 为完全数,如6,28,496,8128,... 截止1996年11月，共发现了34个完全数.在两个正整数中,若一个数的所有正约数之和恰好等于另一个数,则称这两个数为一对亲和数,如1184 与1210 ,220与284,….对完全数与亲和数感兴趣的读者,以阅读上海教育出版社1998年1月版谈祥柏译[美]阿尔伯特••H •贝勒著《数论妙趣》.例8 能被30整除,且恰有30个不同正约数的自然数共有多少个?(98年上海市初中数学竞赛题)解：设正整数p 分解质因数为1212aap p ⨯⨯…na np ⨯,则它的约数个数为12(1)(1)a a ++…(1)n a +.因为题中要求的数能被30整除,以必然含有质因数2,3,5,设此数为312235aaa⨯⨯⨯…, 则它的约数的个数为123(1)(1)(1)a a a +++…,因为3530=2⨯⨯,所以123()(30)(1)(1)(1)35d p d a a a ==+++=2⨯⨯,所以p 没有除3,52,之外的质因数，所以1231,1,1a a a +++只能是3,52,或者2,5,3或3,5,2或3,2,5或5,2,3或5,3,2,共6个.例9 证明对任意一个正整数,其正约数中末位为1或9的的个数不小于末位为3或7的数的个数.证明: 设正整数约数中末尾为3有m 个, 7的有n 个. 设其为12,,x x …,m x ,12,,y y …,n y (从小到大排列)当0,0m n ==显然正确.1n =时, 1是n 的正约数,2n >时, 1231,y y ,y ,i y ⨯⨯…1,y y ,n ⨯互不相同，共n 个. 0m =,同理可证.,m n ≥1时， 123y y ,y ,i y ⨯⨯…1,y y ,n ⨯共n 1-个. 12,x x ⨯…1,m x x ⨯共1m -.11y x ⨯末尾为1,又有1为n 的正约数,至少1111m n m n -+-++=+个. 综上,得证.例10求出最小的正整数n ,使其恰有144个正约数，并且其中有十个是连续的整数.例11（1） 所有的正约数的和等于15的最小自然数是多少？8 （2） 所有正约数的积等于64的最小自然数是多少？8（3） 有没有这样的自然数,其所有正的真约数之积等于它本身？21 例12只有13个正约数的最小正整数是？ 解：()13(121)d n ==+n 最小取2，所以 1224096=.例13用()d n 表示正整数n 的正约数的个数,证明:存在无穷多个正整数n ,使得()(1)1d n d n +++是3的倍数.证明: 可知当n 为质数时()2d n =则当1n +的约数个数为3时 ()(1)16d n d n +++=是3的倍数又可知当n 为质数, 1n +的约数为3有无数组所以存在无穷多个正整数n ,使得()(1)1d n d n +++是3的倍数.例14在30~300的所有正整数中，有几个数恰有三个正约数？解: 三个正约数就是：1,x ,其本身,且本身/ x x =, 推得这个数等于2x , x 是个质数.2255= 2366= 217289= 218324=可知, x 是在6到17间的质数：7、11、13、17。
数论综合(小升初)
小升初数论综合知识概要一、奇数与偶数：1、判断一个多位数奇数还是偶数，只要看这个数的个位，个位是奇数，这个数就是奇数，个位是偶数，这个数就是偶数。
2、加减法结果的奇偶性判断方法:只看算式中奇数的个数，个数是奇数，结果就是奇数；个数是偶数，结果就是偶数。
（奇数个奇数的和或差还是奇数）3、乘法结果的奇偶性判断方法:只看有没有偶数，有偶数，结果就是偶数；无偶数，结果就是奇数。
（有偶则偶，无偶为奇）4、数列与奇偶数个数结合时，利用周期问题的知识解决。
二、因数与倍数：（一）最大公约数与最小公倍数如果一个自然数a 能被自然数b （不为零）整除，则称a 是b 的倍数，b 是a 的约数。
1、 几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。
公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。
一般用符号()a b ,表示a 、b 的最大公约数。
公约数只有1的两个数，这两个数互质。
2、 几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。
公倍数中最小的一个大于零的公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。
一般用符号[]a b ,表示a 、b 的最小公倍数。
3、最大公约数和最小公倍数之间的关系设a 、b 为两个正整数，则()a b ,和[]a b ,有如下关系(,)[,][,]=(,)ab ab a b a b a b a b =⨯或 4、求最大公约数和最小公倍数常用的方法：（1）分解质因数法；（2）短除法；（3）辗转相除法。
（二）最大公约数与最小公倍数的常用性质两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
如果m 为A 、B 的最大公约数，且A ma =，B mb =，那么a b 、互质，所以A 、B 的最小公倍数为mab ，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：①A B ma mb m mab ⨯=⨯=⨯，这两个数的积等于两个数的最大公约数与最小公倍数之积；②两个数的和等于最大公约数乘这两个数独有因数的和③两个数的差等于最大公约数乘这两个数独有因数的差；④两个数的最小公倍数除以最大公约数等于两个数独有因数的乘积；⑤两个数的最小公倍数等于两个数的最大公约数乘两个数的独有因数。
1.7正整数的正约数个数与总和
d (n7 )
例4 一个形如2k3m的正整数，其所有正约数 的和为403，求这个正整数. 例5 有一个小于2000的四位数，它恰有14个 正约数，其中有一个质约数的末位数字是1，
求这个四位数.
例6 自然数A和B的正约数个数分别是12和10， 且A，B的标准分解式中只含有质因数3和5， （A，B）=75，求A+B. 例7 求1998的所有正约数的倒数之和.
特别地，p为质数的充分必要条件是：d ( p) 2.
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证明：∵ n=p11p22…pnn
∴ n的任意正约数都可以写成以下形式： n= p1x1p2x2…pnxn (0xii). 上式中的每一个xi都可以取0, 1, …, i这(i +1)个不同 的值，而每一个xi又可以与其他xj (xi xj )任意组成a的 正约数，根据排列组合中的分布计数原理，总共有： (1+1) (2+1)… (n+1) 中可能性，故n的正约数共有(1+1) (2+1)… (n+1)个. 注：上述定理说明一个大于1的整数的正约数的个数， 等于它的标准分解式中每个质因数的指数加1的连乘积.
4、求720所有正约数的倒数之和。
S( a ) a
作业：P65-66：
思考题
2、3、7、8、9、13
1、求自然数N，使得它能被5和49整除，
并且包括1和N在内，共有10个约数. 2、求不大于200且恰有15个正约数的正整 数. 3、若a=695+5 × 694+10 × 693+10 ×
692+5 × 69+1，求 d (a).
小学五年级竞赛 第六讲 约数的个数与约数和定理
第六讲约数的个数与约数和定理一、课前热身：1、20有多少个约数吗？这些约数的和是多少？2、大于0的自然数，如果满足所有约数之和等于它自身的2倍，则这样的数称为完美数或完全数．比如，6的所有约数为1，2，3，6，它们的和=1+2+3+6=12，而且6是最小的完美数．是否有无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人类的难题之一．研究完美数可以从计算自然数的所有约数之和开始，321的所有因数之和为．二、典例精析：3、已知300=2×2×3×5×5，则300一共有多少个不同的约数？这些约数的和是多少？4、2009的平方的约数有多少个？5、一个正整数，它的2倍的约数恰好比它自己的约数多2个，它的3倍的约数恰好比它自己的约数多3个.那么，这个正整数是多少？6、已知a有8个约数，b有9个约数，且a、b的最大公约数是12，试求a、b的值.7、设数A共有9个不同约数，B共有6个不同约数，C共有8个不同约数，这三个数中的任何两个都互不整除，求三个数之积的最小值.8、自然数A的所有约数两两求和，又得到若干个自然数，在这些新的数中，其中最小的为4，最大的为876，求A的值.9、把360的所有约数从小到大排列，第4个数是4，那么倒数第4个数是多少？10、整数n一共有10个因数，这些因数从小到大排列，第8个是。
那么整数n的最大值是多少？三、竞赛真题：11、（2010•华罗庚金杯）恰有20个因数的最小自然数是（）A．120 B．240 C．360 D．43212、（2012•希望杯）已知自然数N的个位数字是0，且有8个约数，则N最小是。
13、（2017•华罗庚金杯）已知自然数n有10个约数，2n有20个约数，3n 有15个约数，那么6n有个约数。
14、（2011•希望杯）如果一个自然数的约数的个数是奇数，我们称这个自然数为“希望数”，那么1000以内最大的“希望数”是。
15、（2016•华罗庚金杯）两个正方形的面积之差为2016平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有多少对？四、课后练习：16、144的全部约数有多少个？这些约数的和是多少？17、某个自然数有12个约数，并且它的所有的约数的和为195，问这个数是多少？18、一个自然数恰有48个约数，并且其中有10个连续的自然数，那么这个数的最小值是。
【奥数专题】精编人教版小学数学五年级上册 约数个数定理(试题)含答案与解析
经典奥数：约数个数定理（专项试题）一．选择题（共6小题）1．如果自然数A＝2×3×5，那么A的因数有（）A．3个B．6个C．8个2．24的约数一共有（）个．A．10B．8C．6D．43．如果M＝A×B×C（A，B，C为不同的质数），则M的因数有（）个．A．3B．6C．8D．94．类似6、28、496、8128…的数称之为完美数，因为这些数的所有因数的和正好等于它本身的2倍，如1+2+3+6＝6×2．则完美数496有（）个因数．A．8B．9C．10D．125．在1﹣﹣5000中只有3个约数的数有（）个．A．18B．19C．20D．216．A、B、C是各不相同的自然数，且A÷B＝C，那么A的因数至少有（）个．A．2B．3C．4二．填空题（共6小题）7．某自然数有10个不同的约数，但质约数只有2和3，满足条件的自然数最大是。
8．[A]表示自然数A的约数的个数，例如，4有1，2，4三个约数，可以表示成[4]＝3，计算：（[18]+[22]）÷[7]＝．9．1024的质因数共有个．10．24和60的公约数共有个，把其中最大的公约数分解质因数是．11．已知甲＝2×2×2×3×5，乙＝2×3×5×5，甲、乙两数的公因数共有个．12．有两个数，一个有9个约数，一个有10个约数，它们的最小公倍数是2800，求这两个数分别是．三．解答题（共7小题）13．因数和是指一个数所有因数的和，例如“6”的因数和是1+2+3+6＝12．（1）24的因数和是多少？（2）一个自然数有5个因数，求因数和最小是多少？（3）一个数的因数和是78，求这个数是多少？14．有两个数，一个有9个约数，一个有10个约数，它们的最小公倍数是2800，求这两个数分别是多少？15．有一个自然数，它的最小的两个约数之和是4，最大的两个约数之和是100，求这个自然数。
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求一个自然数的约数的个数，和所有约数的和6=2·3=(2^1)·(3^1)，
所以6的约数的个数：1,2,3,6共4个，
也可如此算:（1+1)(1+1)=4
所有约数的和1+3+2+6 ,也可如此算:（2^0+2^1)(3^0+3^1)
因为（2^0+2^1)(3^0+3^1)=（1+2)(1+3)=1×1+1×3+2×1+2×3=1+3+2+6 12=2×2×3=(2^2) ×(3^1)，
所以12的约数的个数：1,2,3,4,6,12共6个，也可如此算:（1+2)(1+1)=6 所有约数的和1+3+2+6+4+12 ,也可如此算:（2^0+2^1+2^2)(3^0+3^1) 因为（2^0+2^1+2^2)(3^0+3^1)=
（1+2+4)(1+3)=1×1+1×3+2×1+2×3+4×1+4×3=1+3+2+6+4+12…………
72=2×2×2×3×3=(2^3)·(3^2)
所以72约数的个数:（1+3)(1+2)=12
所有约数的和:
（2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2)=(1+2+4+8)(1+3+9)=195
240=2·2·2·2·3·5=（2^4 ）·3·5
所以240约数的个数:（1+4)(1+1)(1+1)=20
所有约数的和:
（2^0+2^1+2^2+2^3+2^4)(3^0+3^1)(5^0+5^1)=(1+2+4+8+16)(1+3)(1+ 5)=744
【这里解释一下：240的质因数有2，3和5 ，即240的约数由质因数2，3，5构成，其中因数2可能出现0个，1个，2个，3个，4个，共5
种情况；因数3可能出现0个，1个，共2种情况；因数5可能出现0个，1个，共2种情况。
所以，240的约数个数为5×2×2=20个】
练习
1、1998的所有约数的和是多少？
解：1998=2×3×3×3×37 =2^1×3^3×37
约数有：（1+1）×（3+1）×（1+1）=16个
约数和：（2^0+2^1)(3^0+3^1+3^2+3^3)(37^0+37^1)=4560
2、720的所有约数的倒数之和是多少？
解：因为720=2×2×2×2×3×3×5=2^4×3^2×5^1
所以720的约数之和为（2^0+2^1+2^2+2^3+2^4）×（3^0+3^1+3^2）×（5^0+5^1）=31×13×6
所以720的所有约数的倒数之和是31×13×6/720=403/120
3、有一个只含质因数2和3的自然数，且它的所有因数之和是403，求这个自然数是多少？
解：403=13×31 =（1+2+4+8+16）×（1+3+9）=（2^0+2^1+2^2+2^3+2^4）×（3^0+3^1+3^2）
所以这个自然数是：2^4 ×3^2=144。