多柔体系统动力学建模理论及其应用

收稿日期:20010226

作者简介:仲　昕(1973-),女(汉),山东,博士生E 2m ail :xinzhong 99@sina .

com 仲　昕

文章编号:100328728(2002)0320387203

多柔体系统动力学建模理论及其应用

仲　昕,杨汝清,徐正飞,高建华

(上海交通大学机器人研究所,上海　200030)

摘　要:以往对机械系统进行动力学分析,要么将其抽象为集中质量—弹簧—阻尼系统,要么将其中的每个物体都

看作是不变形的刚性体,但如果系统中有一些物体必须计及其变形,就必须对机械系统建立多柔体模型。本文阐述了柔性体建模理论,并用汽车前悬架多柔体模型进行举例说明。结果表明多柔体模型的仿真结果较多刚体动力学模型的仿真结果更接近道路试验数据结果,充分验证了多柔体建模的必要性和有效性。关　键　词:多柔体模型;柔性体建模理论中图分类号:TH 122 文献标识码:A

D ynam ic M odeli ng of M ulti -Flex ible Syste m ——Theory and Applica tion

ZHON G X in ,YAN G R u 2qing ,XU Zheng 2fei ,GAO J ian 2hua (In stitu te of Robo tics ,Shanghai J iao tong U n iversity ,Shanghai 200030)

Abstract :In dynam ic analyses of a m echan ical system ,it is often ab stracted as a cen tralized m ass 2sp ring 2damper system ,o r every part in the system is regarded as a rigid body .How ever ,if som e parts defo rm obvi ou sly and their defo rm ati on m u st be taken in to con siderati on ,the m echan ical system m u st be modeled as a m u lti 2flex ib le body .In th is paper ,the flex ib le body modeling theo ry is demon strated firstly .T hen ,an examp le of modeling a k ind of au tomob ile’s fron t su spen si on as a m u lti 2flex ib le system is show n .F inally ,it is show n that the si m u lati on resu lts of m u lti 2flex ib le dynam ic model agree w ith the road test data mo re than tho se of m u lti 2rigid dynam ic model do .T hu s ,it is fu lly testified that u sing m u lti 2flex ib le body theo ry to model is necessary and effective .Key words :M u lti 2flex ib le body ;F lex ib le body modeling theo ry

机械系统一般是由若干个物体组成,通过一系列的几何约束联结起来以完成预期动作的一个整体,因此也可以把整个机械系统叫做多体系统。如果将系统中每个物体都看作是不变形的刚性体,则该系统称为多刚体系统;若系统中有一些物体必须计及其变形,则称之为多柔体系统或柔性多体系统。

随着当今世界经济的飞速发展和市场全球化,降低成本、提高质量、缩短开发周期、最大限度地减轻产品质量、确保操作者的安全性、舒适性等等已成为企业生存和发展的关键,因此必须考虑各零部件的柔性(弹性和塑性)以提高仿真分析的精度。多柔体系统动力学是研究物体变形与其刚性整体运动相互作用或耦合,以及这种耦合所导致的独特的动力学效应。这是多柔体系统动力学的核心特征。对机械系统的建模也由多刚体模型向多柔体模型发展。应用多柔体系统动力学的建模理论和方法,可以实现精确建模、虚拟设计、动力学仿真分析与优化、系统匹配、整体性能预测

等等。多柔体系统动力学的研究对象大致有两方面,即宇

航、大型空间站和高速轻型机械(特别是高速地面车辆)[1,2]。

1　计算方法1.1　广义坐标的选择

用刚体i 的质心笛卡尔坐标和反映刚体方位的欧拉角

作为广义坐标q i =[x ,y ,z ,7,Η,Υ]T i ,q =[q T 1,…,q T n ]T

即每个刚体用六个广义坐标描述。由于采用了不独立的广义坐标,系统动力学方程是最大数量但却高度稀疏耦合的微分代数方程,适于用稀疏矩阵的方法高效求解[3]。1.2　刚体系统动力学方程的建立

应用拉格朗日待定乘子法,多刚体系统的动力学方程为

d d t 5T 5q αT -5T 5q

T +5T q p +ΗT

q αΛ-Q =05(q ,t )=0

Η(q ,q α,t )=0(1)

式中:T 是系统能量,T =12

(v T

M v +w T Iw );5(q ,t )=0为第21卷2002年　第3期5月机械科学与技术

M ECHAN I CAL SC IEN CE AND T ECHNOLO GY

V o l .21M ay N o.3

2002

完整约束方程;Η(q ,q α,t )=0为非完整约束方程;q 是广义

坐标列阵;Q 是广义力列阵;p 是对应于完整约束的拉氏乘子列阵;Λ是对应于非完整约束的拉氏乘子列阵;M 是质量列阵;v 是广义速度列阵;I 是转动惯量列阵;w 是广义角速度列阵。

1.3　柔性体理论

将柔性体看做是有限元模型的节点的集合,其变形视为模态振型的线性叠加。相对于局部坐标系有小的线性变形,而此局部坐标系做大的非线性整体平动和转动。每个节点的线性局部运动近似视为振型或振型向量的线性叠加[4,5]。

第i 个节点的位置为

r i =x +A (s i +5i h )

(2)

式中:x 是从整体坐标原点到局部坐标系的位置矢量;A 是局部坐标系相对于整体坐标系原点的方向余弦矩阵;s i 是第i 个节点未变形前在局部坐标系的位置;5i 是第i 个节点的模态振型分量;h 是模态振幅向量。设

x =[x ,y ,z ]T ,

7=[7,Η,5]T ,

h =[h 1,h 2,…,h m ]T ,

用欧拉角代表方向,运动的总目标为

Ν=[x T ,7T ,h T ]T

(3)式中:x ,y 和z 是局部坐标系相对于整体坐标系的位置;7,Η和5是局部坐标系相对于整体坐标系原点的欧拉角;h m 是第m 阶模态振幅的振型分量。

第i 个节点的速度为

v i =[I -A (s ～

i +5～

i h )B A 5i ]Ν

(4)

波浪符号()～

表示位置矢量为非对称矩阵,矩阵B 定义为将欧拉角对时间求一阶导数变为角速度的转换矩阵。从上式可得到动能和势能的表达式为

T =126N

i =1

m i v T

i v i

=12Ν T M (Ν)Ν

(5)V =12

Ν T

K (Ν

)Ν

(6) 然后使用拉格朗日方程就可获得柔性体方程式。

M Ν¨+M ・Ν・-12[5M 5ΝΝ・]T Ν

・+K Ν+f g +D Ν・+[585Ν

]T Κ=Q (7)在此方程式中,K 和D 分别为柔性体的模态刚度和阻尼矩阵。阻尼和刚度的变化只取决于变形。因此,刚体的平动和转动对变形能和能量损失没有影响。重力写成f g 。Κ为约束方程的拉格朗日乘子,8和Q 为外部施加的载荷。

2　举例说明

汽车前悬架是由弹性元件、减振器和传力装置等三部分组成的高度复杂的结构—机构动力系统,这个系统在力学中就是所谓的多体系统[6～9]。

图1为CA 7220型轿车前悬架结构图。为了对该车转向轮摆振问题进行研究,本文建立该车前悬架1 4多柔体

模型。所谓“转向轮摆振”是指汽车转向轮绕主销的持续摆动振动,转向轮摆振严重影响汽车的操纵稳定性、舒适性及轮胎与导向机构的使用寿命。

CA 7220型轿车的前悬架是麦弗逊式(M acPherson ),建立模型时作了以下假设

:

图1　CA 7220型轿车的麦弗逊式前悬架

(1)汽车作直线行驶,车身相对地面平动;

(2)CA 7220型轿车采用的是麦弗逊式独立悬架与齿

轮-齿条式转向机,前左、前右非悬挂质量系统的结构相

同,转向横拉杆与转向机直接相连,可以认为左右悬架(包括转向横拉杆)以汽车的纵向中轴线对称;

(3)CA 7220型轿车的左、右车轮的悬架系统联系较非独立悬架汽车弱,因此,1 4悬架模型可以较好地模拟转向轮摆振;

(4)由于CA 7220型轿车的转向轮摆振主要是强迫振动,因此将弹性轮胎考虑成仅有径向刚度、阻尼的线性模型;

(5)悬架零部件中,除了弹性元件、橡胶元件外,剩余零部件全部认为刚体。在仿真分析过程中不变形。2.1　CA 7220型轿车1 4悬架多刚体动力学模型

在实际工作中,CA 7220型轿车的横向稳定杆相当于扭杆弹簧。为了简化模型,在此将其简化为刚性的杠杆与扭簧机构。为了进行动力学分析,在车轮的轮辋边缘加一质量块,模拟车轮不平衡质量,将下控制臂与横向稳定杆连接处处理为橡胶衬套,删除运动学模型的铰链连接。简化车轮与地面之间复杂的相互作用力,以一个弹簧阻尼器作用在车轮与地面之间,其弹簧刚度为轮胎的径向刚度,阻尼取轮胎的径向阻尼。加入各个连接处的力、扭矩、阻尼,设定运动发生器,建立了图2所示的动力学模型。

结果得到,悬架部件的刚性是影响转向轮摆振的关键因素。由于没有考虑它们的柔性,仿真结果和试验数据有较大差距。为了增加模型的准确性,采用多刚体系统动力学分析软件(ADAM S )和有限元分析软件(M SC NA STRAN )相结合的方法进行建模,即多柔体建模。2.2　CA 7220型轿车1 4悬架多柔体动力学模型

在实体造型软件U G 上建立1 2横向稳定杆模型。然

883机械科学与技术第21卷