拉氏变换常用公式

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最全拉氏变换计算公式

1. 拉氏变换的基本性质 1

线性定理

齐次性

)()]([s aF t af L =

叠加性

)()()]()([2121s F s F t f t f L ±=±

微分定理

一般形式

-=][ '- -=-=----=-∑1

)1()

1(1

()()

0()()(0)0()(])([)0()(])

([

k k k k n

k k n n n

n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（初始条件为0时

)(])([s F s dt

t f d L n n

n = 3

积分定理

一般形式

∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==+-===+=+

+=+=

k t n n k n n n

n t t t dt t f s s s F dt t f L s

dt t f s dt t f s s F dt t f L s

dt t f s s F dt t f L 10

102

2022

]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个

共个

共

初始条件为0时

n n n s

s F dt t f L )

(]))(([=⎰⎰个

共

4 延迟定理（或称t 域平移定理）

)()](1)([s F e T t T t f L Ts -=--

5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=-

6 终值定理 )(lim )(lim 0

s sF t f s t →∞

拉氏变换常用公式

时常使用推普推斯变更归纳之阳早格格创做

1、指数函数

0)(≥<⎩⎨⎧=-t t Ae t f t α，其中，A 战a 为常数.

2、阶跃函数

0)(><⎩⎨⎧=t t A t f ，其中，A 为常数.

3、单位阶跃函数

4、斜坡函数

0)(≥<⎩⎨⎧=t t At t f ，其中，A 为常数.

A ＝1时的斜坡函数称为单位斜坡函数，爆收正在

t=t 0时刻

的单位斜坡函数写成r （t-t 0）

5、单位斜坡函数

6、正弦函数

sin 0)(≥<⎩⎨⎧=t t t A t f ω，其中A 为常数.

根据欧推公式：

推式变更为：共理余弦函数的推式变更为：22]cos [ωω+=s As

t A L

7、脉动函数

t t t t t t A

t f <<<<⎪⎩⎪⎨⎧

=00

,000)(，其中，A 战t 0为常数.

脉动函数不妨瞅干是一个从t ＝0启初的下度为A /t 0的阶跃函数，取另一个从t ＝t 0启初的下度为A /t 0的背阶跃函数叠加而成.

8、脉冲函数

脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况.

9、单位脉冲函数

劈里积A =1的脉冲函数称为单位脉冲函数，或者称为狄推克(Disac)函数，

量值为无贫大且持绝时间为整的脉冲函数杂属数教上的一种假设，而没有成能正在物理系统中爆收.然而是，如果系统的脉动输进量值很大，而持绝时间取系统的时间常数相比较非常小时，不妨用脉冲函数来近似天表示脉动输进.

当形貌脉冲输进时，脉冲的里积大小利害常要害的，而脉冲的透彻形状常常本来没有要害.脉冲输进量正在一个无限小的时间内背系统提供能量.

拉氏变换常用公式

拉氏变换是一种重要的数学工具，常被用于信号处理、系统分析、

电路设计等领域。在进行拉氏变换时，我们常用到一些常用的公式，

这些公式是解决问题的关键。本文将介绍一些常用的拉氏变换公式，

以及其在实际应用中的意义和用法。

1. 基本定义

拉氏变换是一种将时域函数转换为复频域函数的方法。它定义如下：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞)e^(-st) f(t) dt

其中，F(s)表示拉氏变换结果，L表示拉氏变换算子，f(t)表示时域

函数，s表示复频域变量。

2. 常见公式

以下是一些常用的拉氏变换公式：

2.1 常数函数

L{1} = 1/s

2.2 单位阶跃函数

L{u(t)} = 1/s

2.3 指数函数

L{e^(at)} = 1/(s-a)，其中a为常数

2.4 正弦函数

L{sin(at)} = a/(s^2 + a^2)

2.5 余弦函数

L{cos(at)} = s/(s^2 + a^2)

2.6 钟形函数

L{rect(t)} = 1/sinc(s/2)，其中sinc(x) = sin(x)/x

2.7 基本运算

拉氏变换具有一些基本运算规则，如时移、倍乘和微分等。这些运算可以用于求解更复杂的函数对应的拉氏变换。详细的运算规则可以参考相应的数学教材。

3. 实际应用

拉氏变换在信号处理、系统分析和电路设计等领域有着广泛的实际应用。

3.1 信号处理

在信号处理中，常常需要对信号进行滤波、频域分析等操作。通过将信号进行拉氏变换，可以将复杂的时域信号转换为频域函数，便于对信号特性的分析和处理。

3.2 系统分析

拉氏变换常用公式

拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，用于求解线性常系数常微分方程和线性差分方程。在控制工程、信号与系统、电路分析等领域中，拉普拉斯变换被广泛应用。

下面是拉普拉斯变换中一些常用的公式：

1.输入信号：f(t)的拉普拉斯变换：

F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] (e^(-st))(f(t)) dt

2.单位阶跃函数u(t)的拉普拉斯变换：

U(s)=L[u(t)]=1/s

3.延时函数f(t-T)的拉普拉斯变换：

L[f(t-T)]=e^(-Ts)F(s)

4.积分操作的拉普拉斯变换：

L[∫[0,t]f(τ)dτ]=1/sF(s)

5.导数操作的拉普拉斯变换：

L[dⁿf(t) / dtⁿ] = sⁿF(s) - sⁿ⁻¹f(0) - sⁿ⁻²f'(0) - ... - f⁽ⁿ⁻¹⁾(0)

6.二阶导数操作的拉普拉斯变换：

L[d²f(t) / dt²] = s²F(s) - sf(0) - f'(0)

7.卷积操作的拉普拉斯变换：

L[f(t)*g(t)]=F(s)G(s)

8.乘法操作的拉普拉斯变换：

L[f(t)g(t)]=F(s)*G(s)

9.常用单位阶跃函数和冲激函数的拉普拉斯变换：(1)f(t)=u(t)的拉普拉斯变换：

F(s)=L[u(t)]=1/s

(2)f(t)=t^nu(t)的拉普拉斯变换：

F(s)=L[t^nu(t)]=n!/s^(n+1)

(3) f(t) = e^(at) u(t)的拉普拉斯变换：

F(s) = L[e^(at) u(t)] = 1 / (s - a)

拉氏变换与Z变换的基本公式及性质

拉氏变换与Z变换的基本公式及性质拉氏变换（Laplace Transform）是一种重要的信号分析工具，它将时域函数转换为复域函数，使得分析和处理复杂的差分方程、微分方程、线性时不变系统等问题变得更加简单。

拉氏变换的定义如下：

对于一个定义在半轴t≥0上的实值函数f(t)，它的拉氏变换F(s)定义为：

F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt

其中s是一个复变量，e^(-st)是一个复数系数。

拉氏变换的基本公式：

1.映射常数

L{1}=1/s

2. $L{e^{at}}=\frac{1}{s-a}, Re(s)>a$

3.时间平移

L{f(t-a)u(t-a)} = e^(-as)F(s)

4.频域平移

L{e^(as)f(t)} = F(s-a)

5.合并函数

L{f(t)+g(t)}=F(s)+G(s)

6.乘法

L{f(t)g(t)}=F(s)*G(s)

7.单位冲激函数

L{δ(t-a)} = e^(-as)

拉氏变换的性质：

1.线性性质

L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)

2.积分性质

L{∫[0,t]f(τ)dτ}=1/s*F(s)

3.拉氏变换的导数性质

L{f'(t)}=sF(s)-f(0)

4.初始值定理

f(0+) = lim(s->∞) sF(s)

5.最终值定理

lim(t->∞) f(t) = lim(s->0) sF(s)

Z变换是一种由离散信号而来的变换，它将离散序列变换到复平面上。Z变换的定义如下：

对于一个离散序列x[n]，它的Z变换X(z)定义为：

拉氏变换常用公式

拉氏变换是一种常用的数学方法，它可以用来求解方程的根。它最初由拉氏在1877年提出，用于解决线性方程组。它的基本思想是：将方程分解为两个简单的子问题，然后用递归方法进行求解。

拉氏变换的基本公式是：

Xn+1=f(Xn)

其中，Xn为当前迭代的值，f(Xn)为函数，是一个由Xn生成新值的函数。

拉氏变换最常用于解决非线性方程，其原理是：通过迭代不断更新Xn,使得当前迭代的值Xn+1接近满足方程的解，从而解决方程。

拉氏变换的基本步骤是：

(1)选择一个初始值XO;

(2)计算新值Xn+1=f(Xn);

(3)以Xn+1替换Xn,重复上述步骤，直至满足要求的精度；

(4)最后得到的Xn+1即为方程的解。

拉氏变换具有优越的收敛性，但是它运算较慢，而且容易陷入局部

最小值，因此经常需要多次迭代。

拉氏变换虽然有一定的局限性，但是它仍然是一种重要的数学方法,在计算机科学、工程学等领域有着广泛的应用，如求解非线性方程、求解最优化问题等。

总之，拉氏变换是一种优越的数学方法，在计算机科学和工程学等领域有着重要的应用。

(完整版)最全拉氏变换计算公式

最全拉氏变换计算公式1.拉氏变换的基本性质

齐次性

线性定理

叠加性

2微分定理一般形式

初始条件为0 时

一般形式

3积分定理

初始条件为0 时

4延缓定理（或称 t 域平移定理）5衰减定理（或称 s 域平移定理）6终值定理

7初值定理

8卷积定理L[ af (t )] aF ( s)

L[ f1 (t) f 2 (t)] F1 ( s) F2 (s)

df (t )

] sF (s) f ( 0)

d f (t ) 2

L[] s F ( s) sf (0) f （0）

d n f (t )

n k ( k 1)

k 1

L dt n s F ( s) f (0)

f ( k 1 ) (t) d k 1 f (t )

dt k 1

d n f (t )

] s n F (s)

dt n

L[ f (t)dt]

F (s) [ f (t )dt]t 0

s s

L[ f (t)(dt)

]

F (s) [ f (t)dt]t 0 [ f (t )(dt)2 ]t 0

s2 s2 s

共 n个

F (s) 1 n

L[ f (t)(dt) ] [ f (t )(dt) ]t 0

s n k 1 s n k 1

共n个

L[ f (t )(dt) n ] F( s)

s n

L[ f ( t T )1(t T )] e Ts F (s)

L[ f (t) e at ] F ( s a)

lim f (t) lim sF (s)

t s 0

lim f (t) lim sF (s)

t 0 s

) f2 ( )d ]

)d ] F1( s) F2 (s) L[ f1(t L[ f1(t) f2 (t

拉氏变换常用公式

常用拉普拉斯变换总结

1、指数函数

)(

≥

⎩

⎨

⎧

-t

tα

，其中，A和a为常数。

=⎰

⎰∞+-

∞-

L t s

)

(

]

[

2、阶跃函数

)(

⎩

⎨

⎧

f，其中，A为常数。

L st=

=⎰∞-

]

[

3、单位阶跃函数

)(

⎩

⎨

⎧

t u

L st

)]

(

[

=⎰∞-

4、斜坡函数

)

(

≥

⎩

⎨

⎧

，其中，A为常数。

⎰

⎰∞-

∞

∞-

]

Ate

st=

=⎰∞-

A＝1时的斜坡函数称为单位斜坡函数，发生在t=t0时刻的单位斜坡函数写成r（t-t0）

5、单位斜坡函数

)(

≥

⎩

⎨

⎧

⎰

⎰∞-

∞

∞-

][t

st=

=⎰∞-

6、正弦函数

sin

)(

≥

⎩

⎨

⎧

，其中A为常数。

)

图2.3正弦函数和余弦函数

)

(a)(b)

根据欧拉公式：

拉式变换为：

)

(

]

sin

[

ωω

=⎰∞-

s j

L st

t j

同理余弦函数的拉式变换为：

]

cos

[

7、脉动函数

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

)(，其中，A和t0为常数。

脉动函数可以看做是一个从t＝0开始的高度为A/t0的阶跃函数，与另一个从t＝t0开始的高度为A/t0的负阶跃函数叠加而成。

拉氏变换重要公式

1 拉氏变换定义

()()[]()dt e t f t f L s F st 0-∞

⋅==⎰

2 常用公式

()[]1t L =δ/()[]s

1t 1L =

s 1]e

[L at

at a)

(s 1]e [L -=

t /[]2

s t sin L ω

ω+=

[]2

s t cos L ω

ω+=

/[]2

1t L =

/[]1

n n

n!t L +=

/[]2

2at -a)(s t sin e L ω

ω++=

/[]

at -a)(s a s t cos e L ω

ω+++=

3 拉氏变换的几个重要定理

（1）线性性质： [])s (bF )s (aF )t (bf )t (af L 2121+=+ （2）微分定理： ()[]()()0f s F s t f L -⋅=' （3）积分定理：()[]()()

()0f

s 1s F s 1dt t f L 1-+⋅=

⎰

零初始条件下有：()[]()s F s

1dt t f L ⋅=

⎰

进一步有： ()()()()()()()()0f s 10f s 10f s 1s F s

1dt t f L n 21n 1n n n

n ----++++=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡⎰⎰⎰

（4）位移定理

实位移定理：()[]()s F e -t f L s ⋅=-ττ 虚位移定理：()[]()a -s F t f e L at =⋅

（5）终值定理（极限确实存在时） ()()()s F s lim f t f lim

0s t ⋅=∞=→∞→ （6）初值定理（极限确实存在时） ()()()s F s lim 0f t f lim

常用的拉氏变换表

常用的拉氏变换表包括以下几个函数：

1.单位阶跃函数：F(s) = 1/s。

2.单位脉冲函数：F(s) = 1。

3.常数K：F(s) = K/s。

4.单位斜坡函数：F(s) = 1/s^2。

5.指数函数：F(s) = 1/(s-a)。

6.正弦函数和余弦函数：F(s) = a/(s^2+a^2)（正弦函数），F(s) = s/(s^2+a^2)（余弦函数）。

7.双曲正弦和双曲余弦函数：F(s) = a/(s^2-a^2)（双曲正弦函数），F(s) = s/(s^2-a^2)（双曲

余弦函数）。

拉氏变换是一种将时域函数转换为复平面上的函数的工具，常用于电路分析、控制系统等领域。通过拉氏变换，可以将微分方程转换为代数方程，从而简化问题的求解过程。在拉氏变换表中，列出了常见的时域函数及其对应的拉氏变换，方便查阅和使用。

请注意，以上列举的拉氏变换表仅供参考，具体的拉氏变换公式可能因不同的定义和约定而有所差异。在实际使用时，应根据具体的文献或教材来确定准确的拉氏变换公式。

拉氏变换常用公式

拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、控制系统分析和电路设计等领域。本文将介绍拉氏变换常用的公式，包括重要的拉氏变换和反变换公式，以及一些常见的拉氏变换性质。

1. 拉氏变换公式

拉氏变换公式是将一个时间域函数变换成复频域的函数。以下是一些常用的拉氏变换公式：

（1）常数信号的拉氏变换：

如果输入信号为常数，即f(t)=A，其拉氏变换为F(s) = A/s，其中A 为常数。

（2）指数信号的拉氏变换：

指数信号的拉氏变换公式为：

f(t) = e^(at) -> F(s) = 1/(s-a)，其中a为常数。

（3）单位冲激信号的拉氏变换：

单位冲激信号的拉氏变换公式为：

f(t) = δ(t) -> F(s) = 1，

其中δ(t)表示单位冲激函数。

（4）正弦信号的拉氏变换：

正弦信号的拉氏变换公式为：

f(t) = sin(ωt) -> F(s) = ω/(s^2 + ω^2)。

其中ω为正弦信号的频率。

2. 拉氏反变换公式

拉氏反变换是将复频域函数转换回时间域函数的过程，以下是一些

常用的拉氏反变换公式：

（1）常数信号的拉氏反变换：

对于F(s) = A/s，其拉氏反变换为f(t) = A。

（2）指数信号的拉氏反变换：

对于F(s) = 1/(s - a)，其拉氏反变换为f(t) = e^(at)，其中a为常数。

（3）单位冲激信号的拉氏反变换：

对于F(s) = 1，其拉氏反变换为f(t) = δ(t)。

（4）正弦信号的拉氏反变换：

对于F(s) = ω/(s^2 + ω^2)，其拉氏反变换为f(t) = sin(ωt)。

(完整版)最全拉氏变换计算公式

最全拉氏变换计算公式

3．用查表法进行拉氏反变换

用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换.设)(s F 是

s 的有理真分式

1110

111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++=

=---- （m n >）式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数;n m ,是正整数.按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根

这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

∑=-=-++-++-+-=n

i i

i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122

11)(

式中，n s s s ,,,21 是特征方程A （s)＝0的根.i c 为待定常数，称为F(s ）在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i

-=→

或

s i s A s B c ='=

)()

(

式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数

[]⎥

⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11

1)()(＝t

s n i i i

e c -=∑1

②

0)(=s A 有重根

设0)(=s A 有r 重根1s ，F （s)可写为

常见拉普拉斯变换公式

拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，在电路分析、信号处理、控制系统等领域中得到广泛应用。它将时域函数转换为复频域函数，并在频域中进行运算，简化了许多复杂问题的求解过程。拉普拉斯变换的基本思想是将被变换函数乘以一个指数函数，然后对整个式子进行求和。常见的拉普拉斯变换公式有：

1.单位激励函数的拉普拉斯变换公式：

单位激励函数是指在t=0时刻取值为1，而在t≠0时刻取值为0的函数。其拉普拉斯变换公式为：

L{δ(t)}=1

2.常数函数的拉普拉斯变换公式：

常数函数的拉普拉斯变换公式为：

L{1}=1/s

其中，s为复变量。

3.t的升幂函数的拉普拉斯变换公式：

t的升幂函数的拉普拉斯变换公式为：

L{t^n}=n!/s^(n+1)

其中，n为非负整数。

4.指数函数的拉普拉斯变换公式：

指数函数的拉普拉斯变换公式为：

L{e^(-at)} = 1/(s+a)

其中，a为正实数。

5.正弦函数的拉普拉斯变换公式：

正弦函数的拉普拉斯变换公式为：

L{sin(ωt)} = ω/(s^2+ω^2)

6.余弦函数的拉普拉斯变换公式：

余弦函数的拉普拉斯变换公式为：

L{cos(ωt)} = s/(s^2+ω^2)

7.指数衰减函数的拉普拉斯变换公式：

指数衰减函数的拉普拉斯变换公式为：

L{e^(-at) f(t)} = F(s+a)

其中，F(s)为f(t)的拉普拉斯变换。

8.高斯函数的拉普拉斯变换公式：

高斯函数的拉普拉斯变换公式为：

L{e^(-a^2t^2)}=√π/ae^(s^2/(4a^2))

9.单位阶跃函数的拉普拉斯变换公式：

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最全拉氏变换计算公式

3．用查表法进行拉氏反变换

用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式

1110

111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++=

=----ΛΛ （m n >）式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根

这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

∑=-=-++-++-+-=n

i i

i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122

11)(ΛΛ

式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计

算：

)()(lim s F s s c i s s i i

-=→

或

s i s A s B c ='=

)()

(

式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数

[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11

)()(＝t

s n i i i

e c -=∑1

②

0)(=s A 有重根

设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为

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附录A 拉普拉斯变换及反变换

表A-1 拉氏变换的基本性质

t t

L[⎰0 f1(t-)f2 ()d]=L[⎰0 f1(t)f2 (t-)d]=F1(s)F2 (s)

表 A-2 常用函数的拉氏变换和 z 变换表

∞

(t ) = ∑(t - nT )

n =0

s 2 +2

sin t z s in T z 2 - 2z cos T + 1

s s 2 +

cos

z (z - cos T ) z 2 - 2z cos T + 1

(s + a )2 +2

e - at

sin t ze - aT sin T

z 2

- 2ze -aT

cos

T + e

-2aT

s + a

(s + a )2 +

e - at cos

z 2 - ze - aT cos T z 2 - 2ze -aT cos T + e -2aT

1 ⎢

∑ i 1 1

n 用查表法进行拉氏反变换

用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设

F (s ) 是 s 的有理真分式

B (s )

b s m + b s m -1 + + b s + b

F (s ) = = m m -1 1 0

（ n > m ）

A (s ) a s n + a n -1 s n -1

+ + a s + a

式中系数 a 0 , a 1 ,..., a n -1 , a n ， b 0 , b 1 , b m -1 , b m 都是实常数； m , n 是正整数。按代数定理可将 F (s ) 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① A (s ) = 0 无重根

拉氏变换公式表

拉普拉斯变换公式表：

1）定义。

设函数f(t)在区间[0,+∞)上连续，且对所有的t∈[0,+∞)有

f(t)e-ts 这个函数的积分在区间[0,+∞)收敛，则称变换式。

F(s)=∫+∞0f(t)e-stdt。

为函数f(t)的单侧拉普拉斯变换，其中s是复变量。

2）常用拉普拉斯变换公式。

（1）f(t)->F(s)=∫+∞0f(t)e-stdt，其中s>σ(f)，σ(f)为函数f(t)的收敛域左侧边界。

（2）f(t)=δ(t)->F(s)=1。

（3）f(t)=1->F(s)=1/s。

（4）f(t)=et->F(s)=1/(s-1)，Re(s)>1。

（5）f(t)=t->F(s)=1/s2。

（6）f(t)=tn->F(s)=n!/s(n+1)，其中n为正整数。

（7）f(t)=sin(ωt)->F(s)=ω/(s2+ω2)。

（8）f(t)=cos(ωt)->F(s)=s/(s2+ω2)。

（9）f(t)=e-atsin(ωt)->F(s)=(ω/(s+a)2+ω2)。

（10）f(t)=e-atcos(ωt)->F(s)=(s-a)/(s-a)2+ω2。

（11）f(t)=u(t)->F(s)=1/s。

（12）f(t)=e-atu(t)->F(s)=1/(s+a)。

（13）f(t)=tne-atu(t)->F(s)=n!/（s+a）n+1。