16.1二次根式(1)(2014最新)
《16.1二次根式》作业设计方案-初中数学人教版12八年级下册
《二次根式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对二次根式概念的理解，掌握二次根式的性质和基本运算，通过练习题和实际问题解决，提高学生运用二次根式解决实际问题的能力，同时培养其数学思维和解题策略。
二、作业内容1. 基础知识巩固：（1）二次根式的定义及性质。
（2）二次根式的加减法运算。
（3）二次根式与实数的关系。
2. 技能提升训练：（1）进行简单的二次根式化简与运算。
（2）结合数轴、数线，判断并解释不等式的解集与实数间的关系。
（3）练习处理实际问题中的二次根式问题，如几何面积计算等。
3. 拓展应用：（1）设计一个简单的数学模型，用二次根式解决实际问题。
（2）小组合作，探讨二次根式在日常生活中的应用实例。
三、作业要求1. 独立完成：作业要求个人独立完成，不允许抄袭他人或借助工具完成作业。
2. 清晰步骤：解答过程应遵循数学的严谨性和逻辑性，保证解题步骤的完整和准确。
3. 深度思考：通过习题的训练，要理解知识的深层含义和应用，注重理解问题而非死记硬套。
4. 时间管理：学生需合理分配时间，确保在规定时间内完成作业并留出足够时间自查。
四、作业评价1. 准确性：检查答案的准确性，看是否符合题目要求及数学原理。
2. 逻辑性：评估学生解题思路的逻辑性及完整性。
3. 创新性：鼓励学生在解决问题时提出新的想法或方法，体现创新思维。
4. 态度与努力：评价学生完成作业的态度和努力程度，包括是否独立完成、是否认真对待等。
五、作业反馈1. 及时反馈：教师应在规定时间内批改作业，并给出及时反馈。
2. 个性化指导：针对学生的不同问题，提供个性化的指导和建议。
3. 总结分析：定期总结学生作业中出现的共性问题，进行针对性的教学调整和补充。
4. 激励措施：对于表现优秀的学生给予表扬和鼓励，激发学生的学习积极性。
通过以上作业设计方案，旨在通过系统的练习和训练，帮助学生更好地掌握二次根式的基础知识和基本技能，并培养学生的数学思维和解决问题的能力。
专题16.1 二次根式的化简求值(压轴题专项讲练)(解析版)-八年级数学下册
专题16.1二次根式的化简求值整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。
一、二次根式的定义形如（≥0）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，叫做被开方数.二、二次根式有意义的条件1.二次根式中的被开方数是非负数；2.二次根式具有非负性：≥0.三、判断二次根式有意义的条件1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．四、二次根式的性质性质1：2=（≥0），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；性质2：2==（≥0）−（<0），即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.五、同类二次根式把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．①同类二次根式类似于整式中的同类项；②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．六、二次根式的加减法则二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．七、二次根式的乘除法则①二次根式的乘法法则：∙=∙o≥0,≥0)；②积的算术平方根：∙=∙o≥0,≥0)；≥0,>0)；=≥0,>0).八、最简二次根式我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．九、分母有理化1.分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式；2.两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．【典例1】阅读下列材料，然后回答问题．====3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b=2，ab=-3，求2+2．我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令x=a+b，y=ab，则2+2=(+p2−2B=2−2=4+6=10．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．（1（2）m是正整数，a b22+1823B+22=2019．求m．（3）已知15+2−26−2=1，求15+2+26−2的值．（1）由题目所给出的规律进行计算即可；（2）先求出+=2(2+1),B=1再由22+1823B+22=2019进行变形再求值即可；（3）先得到15+2⋅26−2=20，然后可得(15+2+26−2)2=(15+2−26−2)2+415+2⋅26−2=81，最后由15+2≥0,26−2≥0，求出结果．解：（1）原式=2+++⋯+2=3−1+5−3+7−5+⋯+2019−20172=（2）∵a b∴+==2(2+1),B=1，∵22+1823B+22=2019，∴2(2+2)+1823=2019，∴2+2=98，∴4(2+1)2=100，∴2=±5−1，∵m是正整数，∴m=2．（3）由15+2−26−2=1得出(15+2−26−2)2=1，∴15+2⋅26−2=20，∵(15+2+26−2)2=(15+2−26−2)2+415+2⋅26−2=81，又∵15+2≥0,26−2≥0，∴15+2+26−2=9．1．（2023下·浙江·八年级阶段练习）已知=2−3,=2+3，则代数式2+2B+2+−−4的值为（）A B．34C．3−1D【思路点拨】根据已知，得到+=2−3+2+3=22,−=2−3−2−3=−23，整体思想带入求值即可．【解题过程】解：∵=2−3,=2+3，∴+=2−3+2+3=22,−=2−3−2−3=−23，∴2+2B+2+−−4=+2+−−4=222−23−4=8−23−4=4−23=32−23+1=3−12=3−1．故选C．2．（2022下·广西钦州·八年级统考阶段练习）已知+1=7(0<<1)，则−）【思路点拨】，故＜，将−由0<<1，得0＜＜1【解题过程】解：∵0<<1，∴0＜＜1，∴＜2=−2+1，+1=7(0<<1)，∵(−∴(−∴=-5或−=5，∵＜0，∴∴故选B．3．（2023·浙江宁波·校考一模）若2+2=1，则2−4+4+B−3+−3的值为（）A．0B．1C．2D．3【思路点拨】先根据2+2=1得出−1≤≤1，−1≤≤1，根据2−4+4+B−3+−3要有意义，得出+ 1−3≥0，根据−3<0得出+1≤0，从而得出J−1，将J−1代入即可求出式子的值．【解题过程】解：∵2+2=1，∴−1≤≤1，−1≤≤1，∵2−4+4+B−3+−3要有意义，∴B−3+−3≥0，整理得：+1−3≥0，∵−3<0，∴+1≤0，∴J−1，∴2−4+4+B−3+−3=−22++1−3=−1−22+−1+1−3=3+0=3，故D正确．故选：D．4．（2023上·四川达州·八年级校考期中）已知xx6﹣22019x5﹣x4＋x3﹣22020x2＋2x﹣2020的值为（）A．0B．1C．2019D．2020【思路点拨】对已知进行变形，再代入所求式子，反复代入即可．【解题过程】解：∵=2020−=2020+2019，∴6−220195−4+3−220202+2−2020，=5−22019−4+2−22020+2−2020，=52020+2019−22019−4+22020+2019−22020+2−2020，=52020−2019−4+22019−2020+2−2020，=42020−2019−1+22019−2020+2−2020，=2020+20192019−2020+2−2020=−+2−2020，=−2020，=2019，故选：C．5．（2023·安徽·校联考模拟预测）设a为3+5−3−5的小数部分，b为6+33−6−33的小数部分，则2b−1的值为（）A．6+2−1B．6−2+1C．6−2−1 D．6+2+1【思路点拨】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．【解题过程】解：3+5−3−5-=5+15-1=2∴a的小数部分为2-1，6+336−33−=3+33-3=6∴b的小数部分为6-2，∴2b−1=6+2-2-1=6-2+1，故选：B．6．（2022上·湖南益阳·八年级统考期末）设1=1+112+122，2=1+122+132，3=1+132+142，……，=1+ 12+1(r1)2．其中n为正整数，则1+2+3+⋅⋅⋅+2021的值是（）A．202020192020B．202020202021C．202120202021D．202120212022【思路点拨】根据题意，先求出=1+1or1)，然后把代数式进行化简，再进行计算，即可得到答案．【解题过程】解：∵n为正整数，∴＝2+r1or1)＝1+1or1)；∴1+2+3+⋯+2021＝（1+11×2）+（1+12×3）+（1+13×4）+…+（1+12021×2022）＝2021+1﹣12+12−13+13−14+⋯+12021−12022＝2021+1﹣12022＝202120212022．故选：D．7．（2023上·上海金山·八年级校考期中）如果=5−2，则1=．【思路点拨】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题关键．先根据二次根式的分母有理化可得1，从而可得1−>0，再利用完全平方公式化简二次根式，代入计算即可得．【解题过程】解：∵=5−2，∴1=5−2=5−2=5+2，∴1−55−2∴1=1+=1+−=5+2+4=5+6．故答案为：5+6．8．（2022上·湖南长沙·七年级校联考阶段练习）已知==42−3B+42=．【思路点拨】先把和的值分母有理化得到==−=−12，B=1，再利用完全平方公式变形原式得到4(−p2+5B，然后利用整体代入的方法计算．【解题过程】解：∵==∴====∴−=−12，B=1，∴原式=4(−p2+5B=4×(−12)2+5×1=6．故答案为6．9．（2022下·浙江杭州·八年级校考期中）已知=2的值等于．【思路点拨】通过完全平方公式求出+1=2，把待求式的被开方数都用+1的代数式表示，然后再进行计算．【解题过程】=2，解：∵+∴=4，∴+1+2=4∴+12===10．（2023下·广东深圳·九年级深圳中学校考自主招生）已知x，y为正整数，+−7−7+ 7B=7，求+=．【思路点拨】将等式进行因式分解，得到++7B−7=0，求得B=7，即可求解．【解题过程】解：∵+−7−7+7B=7，∴+−7−7+7B−7=0，∴B+−7++7B−7=0，∴+B−7+7B−7=0，∴++7B−7=0，∵++7>0，∴B−7=0，∴B=7，又x，y为正整数，则s=1,7或7,1，从而+=8，故答案为：8．11．（2023下·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）设=3−2，则6+35+113+2+1=．【思路点拨】利用+22=2+4+4和=3−2，推得2+4+1=0，借助该式将多项式进行降幂化简，即可求解．【解题过程】解：∵=3−2，∴+22=3−2+22=3，又∵+22=2+4+4，即2+4+4=3，整理得2+4+1=0，6+35+113+2+1=42+4+1+35+113+2+1−45−4=−5−4+113+2+1=−32+4+1−4+113+2+1+44+3=34+123+2+1=322+4+1+2+1−32=−32+2+1=−32+4+1+2+1+12+3=14+4，将=3−2代入原式可得14×3−2+4=143−24．故答案为：143−24．12．（2022下·湖北武汉·九年级统考自主招生）已知=则代数式23−32−7+2022的值为．【思路点拨】将已知条件=2−3=−1，再将所求代数式变形为23−62+32−7+2022，由此即可求解．【解题过程】解：已知=∴2=3+5，即2−3=5，等式两边同时平方得，2−32=52，整理得，42−12+9=5，即42−12=−4，∴2−3=−1，∵23−32−7+2022=2o2−3p+32−7+20022把2−3=−1代入得，=2×−1+32−7+2022=32−2−7+2022=32−9+2022=3(2−3p+2022把2−3=−1代入得，=3×−1+2022=2019，故答案为：2019．13．（2022上·上海闵行·=3,=13.【思路点拨】首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可．【解题过程】解：原式=K=+++=2+2当=3,=13时，原式=23+=23+=14．（2023·北京·九年级专题练习）已知==，求2+2的值．【思路点拨】首先把x和y进行分母有理化，然后将其化简后的结果代入计算即可．【解题过程】解：∵==5−26，===5+26，∴原式=(5+2(5−26)=2620626206=26)(49206)6)(49206)6)(492026)(49206)=245−1006−986+240+245+1006+986+240=970．15．（2023下·山东威海·九年级校考期中）已知+=−8，B=12，求+【思路点拨】根据题意可判断a和b都是负数，然后二次根式的乘、除法公式和合并同类二次根式法则化简并求值即可．【解题过程】解：∵+=−8，B=12，∴a和b均为负数，2+2−2B=40=B+B=2B2B=2+2B=−−==2=−4012=−401212=−40×2312=−203316．（2023上·上海杨浦·七年级校考阶段练习）已知−2B−15=0【思路点拨】讨论：当>0，>0，利用因式分解的方法得到−5+3=0，解得=25，当I0，<0，则−−+5−−−3−=0，解得=9，然后把=25，=9化简求解．【解题过程】解：∵−2B−15=0要有意义，即B≥0，∴>0且>0或I0且<0，当>0且>0时，∵−2B−15=−5+3=0，∴−5=0或+3=0（舍去），解得：=25，把=25=25r5r225K10r=2；当I0且<0时，∵−2B−15=−−+5−−−3−=0，∴−r5−=0（舍去）或−−3−=0，解得：=9，把=9==9K3r29r6r=12．17．（2023上·四川成都·八年级成都市三原外国语学校校考阶段练习）已知==（2【思路点拨】（1）先将x、y进行分母有理化，再代入式子计算可得；（2）先将式子化简再代入x、y进行计算即可．【解题过程】（1）∵=10−3=10+3，=10−3，=∴+=210，−=6，∴2+2B+2=(+p2=(210)2=40．（2）∵=10+3，=10−3，∴1∴o−2)=−2o−2)−+1o+1)=1−1=1010=10−3−10−3=−6．18．（2023上·河北衡水·八年级校联考阶段练习）已知=2−3，=2+3．（1）求+和B的值；（2）求2+2−3B的值；（3）若的小数部分是，的整数部分是，求B−B的值．【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）代入=2−3，=2+3即可求出+和B的值；（2）将原式变形为+2−5B，代入数值进行计算即可；（3）先估算出1<3<2，从而得出=2−3，=3，再代入进行计算即可得出答案．【解题过程】（1）解：∵=2−3，=2+3，∴+=2−3+2+3=4，B=2−32+3=4−3=1；（2）解：由（1）得：+=4，B=1，∴2+2−3B=+2−5B=42−5×1=11（3）解：∵1<3<4，∴1<3<4，即1<3<2，∴−2<−3<−1，∴0<2−3<1，∵的小数部分是，∴=2−3，∵3<2+3<4，的整数部分是，∴=3，∴B−B=2−32−3−32+3=4−43+3−6−33=1−73．19．（2023下·广东江门·八年级统考期中）有这样一类题目：将±2化简，如果你能找到两个数m、n，使2+2=且B =，±2将变成2+2±2B ，即变成(±p 2，从而使±2得以化简．（1）例如，∵5+26=3+2+26=(3)2+(2)2+22×3=(3+2)2，∴5+26=(3+2)2=______，请完成填空．（2）仿照上面的例子，请化简4−23；（3）利用上面的方法，设=6+42，=3−5，求A ＋B 的值．【思路点拨】（1）根据二次根式的性质：2==o >0)0(=0)−o <0)，即可得出相应结果．（2）根据（1）中“5+26=3+2+26=(3)2+(2)2+22×3=(3+2)2”，将代数式转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质化简求值，即可得出结果．（3）根据题意，首先把A 式和B 式分别转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质把A 式和B 式的结果分别算出，最后把A 式和B 式再代入A ＋B 中，求出A ＋B 的值．【解题过程】（1）∵5+26=2+3+26=22+32+2×2×3=2+32∴5+26=(3+2)2=3+2故答案为：3+2（2）∵4−23=3+1−23=32+1−23=3−12∴4−23=(3−1)2=3−1．（3）∵=6+42=4+2+42=42+22+2×4×2=(2+2)2∴=6+42=2+2∵=3−5=∴=3−5====∴把A 式和B 式的值代入A ＋B 中，得：+=2+2=2+2220．（2023下·广西钦州·八年级校考阶段练习）我们将+、−称为一对“对偶式”，因为+−=(p2−(p2=−，所以构造“和−====3+22.像这中的“”样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：“>”、“<”或“=”填空)；（1（2）已知==，求K2rB2的值；+…+（3【思路点拨】（1）先分母有理化，然后根据作差法，比较大小即可求解；（2）先求得−s B的值，然后代入即可求解；（3）将每一项分母有理化，然后就根据二次根式的加减进行计算即可求解．【解题过程】（17−2=7−2===∵7>6,2>3−137−6+2−3>0,>故答案为：>．（2）∵==5+45+4=9+45，==5+2=5−45+4=9−45，∴+=9+45+9−45=18，−=9+45+−9+45=85，B=9+45945−80=1，∴K 2rB2+⋯+（3=3)2(53−35)35)(5−3979799⋯+2(99979799)(99979799)(9997−97=1−33+33−55+55−77+⋯+9797−9999=1−9999=1−。
16.1 二次根式课件ppt
$sqrt{2} + sqrt{3} = sqrt{2} + sqrt{3}$（无法进一步化简）； $sqrt{8} / sqrt{4} = 2sqrt{2} / 2 = sqrt{2}$。
05
二次根式的综合题解析
知识点串联的综合题
知识点串联
这类题目将二次根式的知识点与 其他数学知识点结合，如与勾股 定理、一元二次方程等知识点相 结合，考察学生的综合运用能力
示例
$(sqrt{2} times sqrt{3})^2 = (sqrt{2})^2 times (sqrt{3})^2 = 2 times 3 = 6$。
二次根式的混合运算
总结词
详细描写
示例
掌握二次根式的混合运算法则是解决 复杂二次根式问题的必备技能。
二次根式的混合运算包括加、减、乘 、除等基本运算。在进行混合运算时 ，需要注意运算顺序和化简步骤，以 避免出现复杂的表达式。例如，在计 算 $sqrt{a} + sqrt{b}$ 时，可以先化 简再相加；在计算 $sqrt{a} / sqrt{b}$ 时，可以先化简再相除。
04
二次根式的运算技能
乘法分配律在二次根式中的应用
01
总结词
理解并掌握乘法分配律在二次根式中的运用，是解决复杂二次根式问题
的关键。
02 03
详细描写
乘法分配律是数学中的基本运算律，它允许我们将一个根式与一个数相 乘，然后分配给另一个根式。例如，对于表达式 $sqrt{a} times sqrt{b}$，我们可以将其简化为 $sqrt{a times b}$。
。
解题思路
解答这类题目需要学生熟练掌握二 次根式的相关知识点，同时还需要 具备一定的综合运用能力和解题技 能。
16.1 二次根式(1)
0有一个平方根就是0； 负数没有平方根。
（4）口答：
①16的平方根是什么? 算术平方根是什么？
②0的平方根是什么？算术平方根是什么？ ③－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。
思 考
用带有根号的式子填空，看看写出的结果 有什么特点： （1）面积为3的正方形的边长为（ 3 ），面 积为S的正方形的边长为（ S ）； （2）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积 为130m2，则它的宽为（ 65）m；
C．2
D．无数
练习
x 4. 已 知y 2 x x 2 5， 求 的 值 。 y
5. 若 a 1 b 1 0，求a
1 6、已知 有意义，那A(a, a
2004
b
2004
的值。
a )在 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
3 呢？ x
口答
当x是怎样的实数时，下列各式在实 数范围内有意义？
(1) a 1
a≥1
(2) 2a 3
3 a≥ 2
(3) a
a≤0
(4) 5 a取任意实数
练习
下列各式在实数范围内有意义，求x 的取值范围。
x3 (1) x3 1
( 2)
代数式有意义： ①被开方数大于等于零
（3）
（4） x ( x 0) ， a 2 a 2
（5）
m 3
2
例题 例1：当x是怎样的实数时， x 2
在实数范围内有意义？ 解：由x -2≥0得 x≥2 ∴ 当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义。 2 思考：当x是怎样的实数时， x 在实数范
人教版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计2
人教版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计2一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1《二次根式》是初中数学的重要内容，它不仅巩固了之前学习的实数知识，还为学习二次方程、二次函数等后续知识奠定了基础。
本节内容主要介绍了二次根式的定义、性质和运算方法，通过学习，学生能更好地理解实数的内涵，提高解决问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数、有理数和无理数的基本概念，对数学运算有一定的基础。
但二次根式较为抽象，学生可能难以理解其内涵和运算规律。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际问题中抽象出二次根式，激发学生的学习兴趣，提高学生解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解二次根式的定义和性质；2.掌握二次根式的运算方法；3.能够运用二次根式解决实际问题。
四. 教学重难点1.二次根式的定义和性质；2.二次根式的运算方法；3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题引入二次根式，让学生在解决问题的过程中自然地接触到二次根式；2.启发式教学法：引导学生从实际问题中抽象出二次根式，激发学生的学习兴趣；3.小组合作学习：让学生在小组讨论中共同探讨二次根式的性质和运算方法，提高学生的合作能力；4.案例教学法：通过典型例题，讲解二次根式的运算规律，让学生在实践中掌握知识。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材；2.设计具有代表性的例题和练习题；3.准备二次根式的相关资料，以便在课堂上进行拓展学习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式，激发学生的学习兴趣。
例如：一个正方形的对角线长为8厘米，求这个正方形的面积。
2.呈现（10分钟）介绍二次根式的定义和性质，让学生从实际问题中抽象出二次根式。
例如：解释实际问题中的对角线长度为8厘米的正方形，引导学生认识到对角线长度可以表示为二次根式。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的基本运算练习，巩固所学知识。
16.1.1二次根式的概念与性质
3 想一想： 10 、 -5 、 8
5 3 、 (-2)2
a (a＜0﹚、
a2+0.1 、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
例题学习 1
例1、求下列二次根式中字母a的取值范围：
(1) a 1
(2) 1 1 2a
(3) 3 2a a1
(4) a2 1 (5) 1 3x (6) (1 a)2
想一想： a2 等于什么呢？
性质 3：当 a≥0 时， a2 = a ； 当 a＜0 时， a2 = -a 。
也就是说： a2 = |a| 。
算一算：(1) （-9）2 (2)
(
1 3
)2
(3) 64
(4) (x2+1)2
a (a 0)
a (a 0)
例2 计算：
(1) (10)2 ( 15)2
53 53
5:已知:x<0,化简: 16x2
解: 16x2 (4x)2 4x
∵x<0 , ∴4x＜0, ∴原式 = -4x
补充：分别说出下列各式成立 的a的取值范围：
(1) ( a )2 a
(2) (a)2 a
(3) (a 2)2 2 a
化简：
(1) 210 （2） a4
a b (3) 2 2 (a＜0,b＞0)
(2) [ 2 (2)2 ] 2 2 2
a ( a >0 )
a2 a 0 ( a =0 )
-a ( a <0 )
归 纳
由 a2 aa 0,可以得 a a2 a 0。
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的形式，例： 5 25 ,
0.9 0.81
试一试
1.计算下列各题:
《16.1 二次根式(第1课时)》教学设计
《16.1 二次根式（第1课时）》教学设计一、内容和内容解析1．内容二次根式的概念.2．内容解析本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念.它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.本节课的教学重点是：了解二次根式的概念；二、目标和目标解析1.教学目标（1）体会研究二次根式是实际的需要．（2）了解二次根式的概念．2. 教学目标解析（1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性．（2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．三、教学问题诊断分析对于二次根式的定义，应侧重让学生理解“的双重非负性，”即被开方数≥0是非负数，的算术平方根≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断.本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性.四、教学过程设计1．创设情境，提出问题问题1你能用带有根号的的式子填空吗？（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m?，则它的宽为______m．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t?，如果用含有h的式子表示t，则t= _____．师生活动：学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价.【设计意图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性．问题2 上面得到的式子，，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？师生活动：教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．【设计意图】为概括二次根式的概念作铺垫．2．抽象概括，形成概念问题3你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？师生活动：学生小组讨论，全班交流．教师由此给出二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．【设计意图】让学生体会由特殊到一般的过程，培养学生的概括能力．追问：在二次根式的概念中，为什么要强调“a≥0”？师生活动：教师引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由．【设计意图】进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解．3．辨析概念，应用巩固例1当时怎样的实数时，在实数范围内有意义？师生活动:引导学生从概念出发进行思考，巩固学生对二次根式的被开方数为非负数的理解．例2当是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？师生活动:先让学生独立思考，再追问．【设计意图】在辨析中，加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解．问题4 你能比较与0的大小吗？师生活动：通过分和这两种情况的讨论，比较与0的大小，引导学生得出≥0的结论，强化学生对二次根式本身为非负数的理解，【设计意图】通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识；培养学生分类讨论和归纳概括的能力.4．综合运用，巩固提高练习1 完成教科书第3页的练习.练习2 当x是什么实数时，下列各式有意义.（1）；（2）；（3）；（4）.【设计意图】辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件.【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，开阔学生的视野，训练学生的思维.5．总结反思教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.（1）本节课你学到了哪一类新的式子？（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？（3）二次根式与算术平方根有什么关系？师生活动：教师引导，学生小结.【设计意图】：学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法.6．布置作业：教科书习题16.1第1，3，5，7，10题．五、目标检测设计1.下列各式中，一定是二次根式的是（）A.B.C.D.【设计意图】考查对二次根式概念的了解，要特别注意被开方数为非负数．2.当时，二次根式无意义．【设计意图】考查二次根式无意义的条件，即被开方数小于0，要注意审题．3.当时，二次根式有最小值，其最小值是．【设计意图】本题主要考查二次根式被开方数是非负数的灵活运用．4.对于，小红根据被开方数是非负数，得出的取值范围是≥．小慧认为还应考虑分母不为0的情况．你认为小慧的想法正确吗？试求出的取值范围．【设计意图】考查二次根式的被开方数为非负数和一个式子的分母不能为0，解题时需要综合考虑．。
人教版八年级数学下册 16.1二次根式1
(-5)×2×(-2)=20
再议 a的双重非负性
非负数的算术平方根仍然是非负数。
性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
思考：到现在为止，我们已学过哪些数非负数形式？
an (n为偶数） a
a (a 0)
非负数 1.几个非负数的和、积、商、乘方及 的性质： 算术平方根仍是非负数
4.已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：
(b c a)2 + (c a b)2 - (b c a)2
解：原式 b c a c a b b c a
a,b, c是三角形三边, b c a 0, c (a b) 0,b (c a) 0
原式 b c a a b c b c a 3b a c
这一类问题注意把二次根式的运算搭载在三角形三边之间的关系 这个知识点上，特别要应用好。
5.化简
(1) (a 1)2 ( a)2
解：原式 a 1 a
a 1 a 2a 1
(2)（
1 3x)2 1 x
1 3x 0 x1
3
6.把下列各式写成平方差的形式， 再在实
数范围内分解因式；
(1)a4 9
a 0,
x
y
,
x
y,
3x2 xy x2 xy
y2 y2
1 3
巩固提高1：
1.分别求下列二次根式中的字母的取值范围
（1）( 3 2x )2 （2） (1 x)2 （3） x 3
(1).3 2x 0 x 3 2
x2
(2).x为全体实数
(3).x 3 0且x 2 x 3且x 2
二次根式是属于有特殊条件的代数式.
(2) 22 是二次根式吗？
答：符合条件(1)被开方数 22 为非负数; (2) 含
16.1 二次根式(1)听课记录
中学数学听课记录课题16.1 二次根式(1) 授课教师听课人听课班级初二1班听课时间2014年 6月 3日教学内容（一）复习引入：（1）已知x2 = a，那么a是x的______； x是a的________，记为______,a一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________;正数a的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥aa的意义是 .（二）提出问题1、式子a表示什么意义？2、什么叫做二次根式？3、式子)0(0≥≥aa的意义是什么？4、)0()(2≥=aaa的意义是什么？5、如何确定一个二次根式有无意义?（三)自主学习自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题：1、试一试:判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是?为什么?3，16-，34，5-,)0(3≥aa，12+x2、计算：(1) 2)4(（2）（3）2)5.0((4）2)31(根据计算结果，你能得出结论: ，其中0≥a,)0()(2≥=aaa的意义是。
3、当a为正数时指a的 ,而0的算术平方根是，负数，只有非负数a才有算术平方根.所以，在二次根式中，字母a必须满足 , 才有意义.(三)合作探究2)3(4________)(2=a。
16.1二次根式性质(教案)
5.增强学生的数学应用意识：将二次根式知识与实际应用相结合，使学生体会数学在生活中的广泛应用和价值。
本节课将围绕这些核心素养目标展开教学，帮助学生全面提升数学素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-针对乘除法则的难点，设计对比练习题，让学生区分√a * √b和√(a * b)的区别，以及何时使用除法法则。
-对于化简复杂二次根式，举例说明如何将√(75)化简为5√3，强调寻找平方因子的方法。
-在实际问题中，如计算正方形的对角线长度，指导学生如何将问题转化为二次根式的计算，突破建模难点。
四、教学流程
本节课的教学重点主要包括以下几点：
（1）理解二次根式的定义：学生需掌握二次根式的概念，即形如√a（a≥0）的数。
（2）掌握二次根式的性质：包括非负性、平方等于被开方数、乘法法则和除法法则。
（3）熟练运用二次根式的化简与运算：学生需要学会将二次根式进行化简，并进行加减乘除运算。
（4）实际应用：学生需要学会将二次根式应用于解决实际问题。
16.1二次根式性质（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第十六章第一节，主要围绕“16.1二次根式性质”展开。内容包括：
1.二次根式的定义：形如√a（a≥0）的数称为二次根式。
2.二次根式的性质：
（1）二次根式具有非负性，即√a≥0。
（2）二次根式的平方等于被开方数，即（√a）^2 = a。
（3）二次根式的乘法法则：√a * √b = √(a * b)。
举例：
-重点强调二次根式乘法法则：√a * √b = √(a * b)，通过具体例子解释说明。
人教版八年级下册数学课件：16.1二次根式(1)(共19张PPT)
数的数
学四统
家则治
的运着
全算整
部则个
装可量
备以的
。看世
作界
麦 克 斯 韦
是
， 而 算 数
获一数 得组学 结公是 论设一 －，门 －经演 －过绎 －逻的 陈辑学 省的问 身推，
理从
—-
麦克斯韦，英国物理学家、数 学家。经典电动力学的创始人， 与牛顿齐名。普遍认为是对二十 世纪最有影响力物理学家。
练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义．
（1）
3- 4 x
；（2） x
x -1
；
（3） - x 2 ； （4） x-2- 2-x ．
练习3 若 16-4n 是整数，则自然数n 的值为 ___________.
畅谈收获 发表感言
通过这节课的学习，你收获了什么？
当堂测验我不怕
学案纸第2页——达标测试
陈苏省步身青，，美中籍国华科裔学数学大师， 2院0 世院纪士，伟中大国的杰数出学家，继 欧的几数里学德家、，高被斯誉、为黎曼之后 几数何学学王又. 一曾获里1程97碑8式的人物。 年全国科学大会奖.
回忆：
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
当a＞0 时， a 表示a 的算术平方根，因此 a ＞0； 当a =0 时， a 表示0 的算术平方根，因此 a =0； 这就是说， a （a≥0）是一个非负数．
双重非负性
大显身手 都能行
练习1 判断下列各式哪些是二次根式：
（1） - 1 6
× （ 3） a 2 + 1 √
（2） a+10（ a ＞ 0）√ （4） -x（x≤ 0）√
八年级数学下册16二次根式161二次根式1教案新人教版
16.1.1二次根式（1） 教学目标 知识与技能 1.知道二次根式与数的平方之间的联系,掌握二次根式的概念. 2.会根据二次根式有意义的条件确定二次根式里被开方数中字母的取值范围.过程与方法 1.经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程，发展学生的归纳概括能力。
2.通过对二次根式的概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力。
情感态度与价值观 经历观察、比较、总结和应用等数学活，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识。
重点会根据二次根式有意义的条件确定二次根式里被开方数中字母的取值范围. 难点会根据二次根式有意义的条件确定二次根式里被开方数中字母的取值范围. 教学过程第一步：复习回顾求下列各数的平方根和算术平方根.9的平方根，算术平方根0.64的平方根，算术平方根0的平方根，算术平方根39±=±39=8.064.0±=±8.064.0=00=3±8.0±0.8003复习回顾第二步：探究新知：第三步：应用举例：第四步、课堂练习八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列说法正确的是（）A．若ab＝0，则点P（a，b）表示原点B．点（1，﹣a2）一定在第四象限C．已知点A（1，﹣3）与点B（1，3），则直线AB平行y轴D．已知点A（1，﹣3），AB∥y轴，且AB＝4，则B点的坐标为（1，1）【答案】C【分析】直接利用坐标轴上点的坐标特点以及平行于坐标轴的直线上点的关系分别分析得出答案．【详解】解：A、若ab＝0，则点P（a，b）表示在坐标轴上，故此选项错误；B、点（1，﹣a2）一定在第四象限或x轴上，故此选项错误；C、已知点A（1，﹣3）与点B（1，3），则直线AB平行y轴，正确；D、已知点A（1，﹣3），AB∥y轴，且AB＝4，则B点的坐标为（1，1）或（1，﹣7），故此选项错误．故选C．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，正确把握点的坐标特点是解题的关键2．某射击运动员练习射击，5次成绩分别是：8、9、7、8、x（单位：环），下列说法中正确的个数是（）x=；①若这5次成绩的平均数是8，则8x=；②若这5次成绩的中位数为8，则8x=；③若这5次成绩的众数为8，则8x=④若这5次成绩的方差为8，则8A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【分析】根据中位数，平均数，众数和方差的概念逐一判断即可．【详解】①若这5次成绩的平均数是8，则8589788x =⨯----=,故正确；②若这5次成绩的中位数为8，则x 可以任意数，故错误；③若这5次成绩的众数为8，则x 只要不等于7或9即可，故错误；④若8x =时，方差为2221[3(88)(98)(78)]0.45⨯-+-+-=，故错误．所以正确的只有1个故选：A ．【点睛】本题主要考查数据的分析，掌握平均数，中位数，众数，方差的求法是解题的关键．3．在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（ ） A ．15 B ．13 C ．58 D ．38【答案】C【分析】先求出球的所有个数与红球的个数，再根据概率公式解答即可．【详解】解：共8球在袋中，其中5个红球， 故摸到红球的概率为58， 故选：C ．【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P(A)= m n，难度适中． 4．已知y 2+my+1是完全平方式，则m 的值是（ ）A ．2B ．±2C ．1D ．±1【分析】完全平方公式:a 1±1ab+b 1的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央，这里首末两项是y 和1的平方，那么中间项为加上或减去y 和1的乘积的1倍．【详解】∵（y±1）1=y 1±1y+1， ∴在y 1+my+1中，my =±1y ，解得m=±1． 故选B.【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的1倍，就构成了一个完全平方式．注意积的1倍的符号，避免漏解．5．若实数,m n 满足等式 40m -=，且mn 、恰好是等腰ABC ∆的两条的边长，则ABC ∆的周长是( )A ．6或8B ．8或10C ．8D ．10【答案】D【分析】根据 40m -=可得m ，n 的值，在对等腰△ABC 的边长进行分类讨论即可．【详解】解：∵ 40m -=∴40m -=，20n -=∴4,2m n ==，当m=4是腰长时，则底边为2，∴周长为：4+4+2=10，当n=2为腰长时，则底边为4，∵2+2=4，不能构成三角形，所以不符合题意，故答案为：D ．本题考查了非负数的性质，等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，解题的关键是对等腰三角形的边长进行分类讨论，注意运用三角形的三边关系进行验证．6．已知等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm，则它的周长为（）A．8 B．10 C．8 或10 D．6【答案】B【解析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和4，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】当2是腰时，2，2，4不能组成三角形，应舍去；当4是腰时，4，4，2能够组成三角形．∴周长为10cm，故选B．【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．7．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，的值可以是（）A．4B．5C．6D．9【答案】C【分析】根据三角形的三边关系可判断x的取值范围，进而可得答案.【详解】解：由三角形三边关系定理得7－2＜x＜7+2，即5＜x＜1．因此，本题的第三边应满足5＜x＜1，把各项代入不等式符合的即为答案．4，5，1都不符合不等式5＜x＜1，只有6符合不等式，故选C．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，属于基础题型，掌握三角形的三边关系是解题的关键.8．点P （1，﹣2）关于y 轴对称的点的坐标是（ ）A ．（1，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣1，﹣2）D ．（﹣2，1）【答案】C【解析】关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此可得P （1，﹣2）关于y 轴对称的点的坐标是（﹣1，﹣2），故选C ．【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，正确地记住关于坐标轴对称的点的坐标特征是关键. 关于x 轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数.9．已知111ABC A B C ∆≅∆，A 与1A 对应，B 与1B 对应，170,50A B ∠=︒∠=︒，则C ∠的度数为( ) A ．70︒B ．50︒C ．120︒D ．60︒ 【答案】D【分析】根据全等三角形的对应角相等，得到150B B ∠=∠=︒，然后利用三角形内角和定理，即可求出C ∠. 【详解】解：∵111ABC A B C ∆≅∆，∴150B B ∠=∠=︒，∵180A B C ∠+∠+∠=︒，70A ∠=︒，∴180705060C ∠=︒-︒-︒=︒；故选择：D.【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等，以及熟练运用三角形内角和定理解题.10．下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（ ）A ．1，2，3B ．3，3，5C ．23，24，25D ．0.3，0.4，0.5【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．【详解】解：A 、12+22≠32，根据勾股定理的逆定理可知不能作为直角三角形三边长；B 、（3）2+（5）2≠32，根据勾股定理的逆定理可知不能作为直角三角形三边长；C 、（32）2+（42）2≠（52）2，根据勾股定理的逆定理可知不能作为直角三角形三边长；D 、0.32+0.42=0.52，根据勾股定理的逆定理可知能作为直角三角形三边长．故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，111A B C ∆、222A B C ∆、333A B C ∆、…、n n n A B C ∆均为等腰直角三角形，且123n C C C C ∠=∠=∠==∠90=︒，点1A 、2A 、3A 、……、n A 和点1B 、2B 、3B 、……、n B 分别在正比例函数12y x =和y x =-的图象上，且点1A 、2A 、3A 、……、n A 的横坐标分别为1，2，3…n ，线段11A B 、22A B 、33A B 、…、n n A B 均与y 轴平行.按照图中所反映的规律，则n n n A B C ∆的顶点n C 的坐标是_____．（其中n 为正整数）【答案】71,44n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】当x=1代入12y x =和 y x =-中，求出A 1，B 1的坐标，再由△A 1B 1C 1为等腰直角三角形，求出C 1的坐标，同理求出C 2，C 3，C 4的坐标，找到规律，即可求出n n n A B C ∆的顶点n C 的坐标.【详解】当x=1代入12y x =和y x =-中，得：11122y =⨯=，1y =-， ∴111,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，()11,1B -， ∴()1113122A B =--=， ∵△A 1B 1C 1为等腰直角三角形，∴C 1的横坐标为111137112224A B +=+⨯=， C 1的纵坐标为111131112224A B -+=-+⨯=-， ∴C 1的坐标为71,44⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当x=2代入12y x =和y x =-中，得：1212y =⨯=，2y =-， ∴()22,1A ，()22,2B -，∴()22123A B =--=，∵△A 2B 2C 2为等腰直角三角形，∴C 2的横坐标为22117223222A B +=+⨯=， C 2的纵坐标为22111223222A B -+=-+⨯=-， ∴C 2的坐标为71,22⎛⎫- ⎪⎝⎭； 同理，可得C 3的坐标为213,44⎛⎫- ⎪⎝⎭；C 4的坐标为()7,1-； ∴n n n A B C ∆的顶点n C 的坐标是71,44n n ⎛⎫-⎪⎝⎭，故答案为：71,44n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，正确求出C 1、C 2、C 3、C 4的坐标找到规律是解题的关键．12．若不等式组81x x m<⎧⎨+>⎩有解，则m 的取值范围是____． 【答案】9m <【分析】根据题意，利用不等式组取解集的方法即可得到m 的范围．【详解】解：由题知不等式为81x x m <⎧⎨>-⎩， ∵不等式有解，∴18m -＜，∴9m <，故答案为9m <.【点睛】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．13．若正比例函数2y x =-的图象经过点()1,4A a -，则a 的值是__________．【答案】-1【分析】把点()1,4A a -代入函数解析式，列出关于a 的方程，通过解方程组来求a 的值．【详解】∵正比例函数2y x =-的图象经过点()1,4A a -，∴2(1)4a --=解得，a=-1.故答案为：-1.【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx （k≠0）． 14．因式分解：3x 2-6xy+3y 2=______．【答案】3（x ﹣y ）1【解析】试题分析：原式提取3，再利用完全平方公式分解即可，得到3x 1﹣6xy+3y 1=3（x 1﹣1xy+y 1）=3（x ﹣y ）1．考点：提公因式法与公式法的综合运用15．4的平方根是 ．【答案】±1． 【解析】试题分析：∵2(2)4±=，∴4的平方根是±1．故答案为±1． 考点：平方根．16．据统计分析2019年中国互联网行业发展趋势，3年内智能手机用户将达到1．2亿户，用科学记数法表示1．2亿为_______户．【答案】3.32×2【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】将1.2亿用科学记数法表示为：3.32×2．故答案为3.32×2．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．17．点（3，2-）关于x 轴的对称点的坐标是__________．【答案】（3,2）【解析】利用关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P'的坐标是（x，﹣y），进而求出即可．【详解】点（3，﹣2）关于x轴的对称点坐标是（3，2）．故答案为（3，2）．【点睛】本题考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题的关键．三、解答题18．有一家糖果加工厂，它们要对一款奶糖进行包装，要求每袋净含量为100g．现使用甲、乙两种包装机同时包装100g的糖果，从中各抽出10袋，测得实际质量（g）如下：甲：101，102，99，100，98，103，100，98，100，99乙：100，101，100，98，101，97，100，98，103，102（1）分别计算两组数据的平均数、众数、中位数；（2）要想包装机包装奶糖质量比较稳定，你认为选择哪种包装机比较适合？简述理由．【答案】（1）甲：平均数为100、众数为100、中位数为100；乙：平均数为100、中位数是100、乙的众数是100；（2）选择甲种包装机比较合适．【分析】（1）根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数进行计算即可．（2）利用方差公式分别计算出甲、乙的方差，然后可得答案．【详解】解：（1）甲的平均数为：110(101+102+99+100+98+103+100+98+100+99)＝100；乙的平均数为：110(100+101+100+98+101+97+100+98+103+102)＝100；甲中数据从小到大排列为：98，98，99，99，100，100，100，101，102，103 故甲的中位数是：100，甲的众数是100，乙中数据从小到大排列为：97，98，98，100，100，100，101，101，102，103 故乙的中位数是：100，乙的众数是100；（2）甲的方差为：2S 甲＝110[(101﹣100）2+(102﹣100)2+(99﹣100)2+(100﹣100)2+(98﹣100)2+(103﹣100)2+(100﹣100)2+(98﹣100)2+(100﹣100)2+(98﹣100)2)＝2.4；乙的方差为：2S 乙＝110[(100﹣100)2+(101﹣100)2+(100﹣100)2+(98﹣100)2+(101﹣100)2+(97﹣100)2+(100﹣100)2+(98﹣100)2+(103﹣100)2+(102﹣100)2]＝3.2，∵2S 甲＜2S 乙， ∴选择甲种包装机比较合适．【点睛】此题主要考查了中位数、平均数、众数以及方差，关键是掌握三数的计算方法，掌握方差公式． 19．如图，在∆ABC 中，AB=13，BC=14，AC=15.求BC 边上的高.【答案】1【分析】AD 为高，那么题中有两个直角三角形．AD 在这两个直角三角形中，设BD 为未知数，可利用勾股定理都表示出AD 长．求得BD 长，再根据勾股定理求得AD 长．【详解】解：设BD=x,则CD=14－x ．在Rt ∆ABD 中，222AD AB BD =-=132－2x在Rt ∆ACD 中，222AD AC CD =-=152－()214x -∴132－2x =152－()214x -解之得x =5∴AD=22AB BD -=22135-=1．【点睛】勾股定理．20．某校计划组织1920名师生研学，经过研究，决定租用当地租车公司一共40辆A 、B 两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息．（注：载客量指的是每辆客最多可载该校师生的人数）设学校租用A 型号客车x 辆，租车总费用为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式，并求出x 的取值范围；（2）若要使租车总费用不超过25200元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱，并求此方案的租车费用．【答案】（1）15≤ x ＜40且x 为整数；（2）若要使租车总费用不超过25200元，一共有6种方案，当租用A 型号客车15辆，B 型号客车25辆时最省钱，此时租车总费用为24700元。
【大单元教学】人教版数学八年级下册 16.1.1 二次根式的概念 教案
第十六章内容提要【课标要求】1.了解二次根式、最简二次根式的概念，2.了解二次根式(根号下仅限于数)加，减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算。
【内容分析】本章内容“二次根式”是《课程标准》中“数与代数”领域的重要内容。
本章是在之前学习的基础上，进一步研究二次根式的概念和运算。
在本章中，将学习二次根式的概念、性质、运算法则和化简的方法。
通过对二次根式的概念和性质的学习,学生将对实数的概念有更深刻的认识，通过对二次根式的加、减、乘、除运算的学习，学生将对实数的简单四则运算有进一步的了解。
【学情分析】1.认知基础本节内容是学习二次根式的基础，理解二次根式的概念，同时理解二次根式有意义的条件，并熟悉二次根式的性质用来进行有关的计算;二次根式是初中阶段重要的知识点之一,学习好二次根式,为后续的计算打下良好的基础;2.认知障碍（1）能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究次根式的必要性；（2）能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围.（3）经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；（4）了解并掌握二次根式的性质，会运用其进行有关计算.【教学目标】1.了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由；2.理解二次根式的性质；3.了解二次根式的加、减、乘、除运算法则、会用它们进行四则运算；4.了解代整式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用；5.先提出问题,让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简。
6.用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定，并运用规定进行计算，利用逆向思维，得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简。
7.通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念；利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的。
二次根式16.1作业
1. 使式子 有意义的条件是。
2. 当 时， 有意义。
3. 若 有意义，则 的取值范围是。
4. 当 时， 是二次根式。
5. 若 ，则 的取值范围是。
6. 已知 ，则 的取值范围是。
7. 化简： 的结果是。
8. 当 时， 。
9. 把 的根号外的因式移到根号内等于。
1D.
17. 能使等式 成立的 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
18. 计算： 的值是（ ）
A. 0 B. C. D. 或
19. 若 ，求 的值。
20. 当 取什么值时，代数式 取值最小，并求出这个最小值。
21. 已知 ，求 的值。
22. 已知 为实数，且 ，求 的值。
11. 若 与 互为相反数，则 。
12. 在式子 中，二次根式有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
13. 下列各式一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
14. 若 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
15. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
16. 若 ，则 化简后为（ ）
沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计1
沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计1一. 教材分析《二次根式》是沪科版数学八年级下册第16章的第一节内容。
本节内容主要介绍二次根式的概念、性质和运算。
二次根式在数学中占有重要的地位，它是学习更高阶数学的基础。
本节内容的教学目标是使学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质，能进行二次根式的运算。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了实数、有理数、无理数等基础知识，对数学中的运算有一定的理解。
但二次根式作为一个新的概念，对学生来说还是较为抽象，需要通过实例和练习来理解和掌握。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念，能正确识别二次根式。
2.掌握二次根式的性质，能进行二次根式的运算。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法1.采用实例教学法，通过具体的例子来引导学生理解和掌握二次根式的概念和性质。
2.采用归纳法，让学生通过自主探究和合作交流，总结出二次根式的性质和运算方法。
3.采用练习法，通过大量的练习来巩固学生的知识和提高解题能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、教案、练习题等。
2.准备教学工具，如黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的概念，如“一个正方形的对角线长为8，求正方形的面积。
”让学生思考如何解决这个问题，从而引出二次根式。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的概念和性质，通过PPT展示相关的例子和性质，让学生理解和掌握二次根式。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，如化简二次根式、求二次根式的值等。
教师及时批改和讲解，帮助学生掌握二次根式的运算方法。
4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，让学生运用所学的知识和方法解决问题，巩固二次根式的理解和运用。
5.拓展（10分钟）讲解二次根式的一些应用，如在几何、物理等学科中的应用，让学生了解二次根式的实际意义和价值。
16.1二次根式的乘法(教案)
一、教学内容
16.1二次根式的乘法：本节课我们将学习人教版八年级数学下册第十六章第一节的内容，主要包括以下两个方面：
1.掌握二次根式乘法的法则：即(a√b) × (c√d) = ac√(bd)，其中a、b、c、d为正实数。
2.能够运用二次根式乘法法则解决实际问题，提高运算速度和准确性。
4.培养学生的数学建模素养，将现实生活中的问题转化为二次根式乘法模型，并运用所学知识解决实际问题。
5.激发学生的自主学习意识，培养合作交流能力，通过小组讨论和互动，共同探索二次根式乘法的规律和运用。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：二次根式乘法法则的理解与应用。
-重点细节：
- a.学生需要掌握二次根式乘法的基本公式：(a√b) × (c√d) = ac√(bd)，其中a、b、c、d为正实数。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次根式乘法在实际数学运算中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
二、核心素养目标
本节课旨在培养学生以下核心素养：
1.培养学生的数学抽象能力，使其理解并掌握二次根式乘法的法则，能够将具体问题中的数量关系抽象为数学表达式。
2.提高学生的逻辑推理能力，通过运用二次根式乘法法则进行推导和证明，形成严谨的数学逻辑思维。
3.增强学生的数学运算能力，熟练运用二次根式乘法解决实际问题，提高解题速度和准确性。
16.1二次根式-二次根式的定义基础训练+课件+2023—2024学年人教版数学八年级下册
故a＝2.
8.已知y＝ − ＋
A.
B.－
Hale Waihona Puke − ＋3，则 的值为(C.
C )
D.－
【点拨】
由二次根式的非负性可得，x－4≥0，4－x≥0，∴x
－4＝0，即x＝4.∴y＝3.∴ ＝ .
9.若实数m，n满足等式｜m－2｜＋ − ＝0，且m，n恰好
是等腰三角形ABC的两条边的长，则△ABC的周长是( B )
1≥0且x≠0，即x≥－1且x≠0.
5.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) − ；
(2)[2023·常德]
；
−
【解】(1)由x－3≥0，得x≥3.当x≥3时， − 在实数范
围内有意义.
(2)由x－4≥0且 − ≠0，得x＞4.当x＞4时，
实数范围内有意义.
人教版八年级下
第十六章 二次根式
16.1二次根式
二次根式的定义基础训练
1. 二次根式的识别方法：一个式子是二次根式必须具备两个
特征，一是含有二次根号，二是被开方数必须是非负数.
2. 二次根式 的双重非负性：(1) ≥0；(2)a≥0.
3. 非负数的三种形式：(1)｜a｜≥0；(2)a2≥0；(3) ≥0.
D.x≥0且x≠2
D )
【点拨】
根据分式的分母不能为0和二次根式的被开方数大于
或等于0，得x≥0且x－2≠0，解得x≥0且x≠2，故选D.
4.[2023·绥化]若式子 + ＋x－2在实数范围内有意义，则x
的取值范围是( C )
八下数学16.1二次根式概念和性质
2
2 3
32
2
2 3 6
2
2
(5) x xy x2 xy x2 xy x3 y
反之，a ( a ) 2 (a 0)
1.利用a ( a ) 2 (a 0) 把下列非负 数分别写成一个非负数的平方的形式。
（1）9
（2）5 （3）2.5
解：9= 92=32
解：5=
2
5
（4）0.25
x2 2x 1 = （x－1）2 = | x 1|
当x 3时，
原式= | 3－1 | = 3＋1
试一试
1.计算下列各题:
2
(1) 15 (2)
1
2
5
2.若 (1 x)2 1 x ,则x的取值范围为 (
)A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数
3.
a2
与
（√
a
2
）
a
二次根号
a 读作“根号 ”
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号 4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性) 5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
(1) 代数式 a 是二次根式吗?
答:代数式 a 只有在条件a≥0的情况下,才属于二次根式!
分母不为0 被开方数大于等于0 结合数轴,写出解集来
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式。
二次根式有意义的条件:
a0
当a 0时，a表示a的算术平方根，故 a 0 当a=0时，a表示0的算术平方根，故 a =0
二次根式性质: a 0 ， a 0 （双重非负性）
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非负数 1.几个非负数的和、积、商、乘方及 的性质： 算术平方根仍是非负数 2.如果几个非负数的和为零，那么每一个非负数都为零. 3.根据非负数的性质，就可以确定字母的值.
若（a 2) 3 b c 2 0, 则a b c 3
2
6.化简： ( x 3) 2 - (
22 是二次根式吗？
注意
a 1 这类代数式只能称为含有二次 如： 根式的代数式，不能称之为二次根式；
而
2 x2 2 x 3
2, 3 这些二次根式看 这类代数式，应把 做系数或常数项，整个代数式仍看做整式。
下列代数式中哪些是二次根式？
⑴ ⑶
1 2
⑵ ⑷
16
x ( x 0)
x 2 xy y
2
2
2 (x﹤y)
解 : 原式 1 2
解 : 原式 ( x y)
(1 2)
2 1
x y x y x y 0 原式 （x y)
yx
2.化简及求值：
(1)
2
4
(2)
a
4
(3)
ab
3
2 2 ( a＜0,b＞0)
a 2 ____ ; 当 a
a a
2
请比较左右两边的式子,议一议:
a
0 时,
a
2与
| a | 有什么关系?
a2 ____.
a
一般地,二次根式有下面的性质:
a ( a 0) 2 a a 0 (a 0) a ( a 0)
( a ) 与 a 有区别吗?
二次根式的性质及它们的应用:
（1）
a a,(a 0)
2
（2）
a a
2
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
(1)( 2 ) 2 2 ( 2)( 2 ) 2
2
(3) ( 2 ) -2
2
(4) (2) |-2|=2
2
(5) 2 |2|=2
2
2
1.从读法来看：
2
2:从运算顺序来看：
2
a 根号a的平方 a 先开方,后平方
根号下 a 平方 a
2
a 先平方,后开方
2
4.从运算结果来看:
3.从取值范围来看：
a
2
2
a≥0
a =a
2
a a取任何实数
a =∣a ∣
2
a (a 0) 0 (a 0) a ( a 0)
3 2x )
2
（2） (1 x) 2
3 (1). 3 2 x 0 x (2).x为全体实数 2 (3).x 3 0且x 2 x 3且x 2
2.当x_____ =0 时,
（3） x 3 x2
3x 3x 有意义.
在实数范围内成立，其中a, x, y 是两两不等的实数，求
3x 2 xy y 2 2 2 的值。 解：∵ x xy y
3x 2 xy y 2 1 a 0, x y , x y, 2 2 x xy y 3
巩固提高1：
1.分别求下列二次根式中的字母的取值范围 （1） (
2
(6) (2) -|-2|=-2
2
例1 计算
例
题
(1)
1.5
2
(2) 5
2
(3) 16
(4)
5
2
例2 求下列二次根式的值：
例
2
题
(1) (3 ) ;
2
(2) x 2 x 1 , 其中x 3.
解：(1) (3 )22 | 3 | 2 (2) x 2 x 1 ( x 1) | x 1 | 解：
2 2
m4
(m 4) ? 4 m
2
m4 0 m4
1.若
(1 x ) 1 x,则x的取值范围为 ( A )
2
(A) x≤1 (B) x≥1 (C) 0≤x≤1 (D)一切有理数
2.下列式子一定是二次根式的是（ C ）
A． x 2 B． x C． x 2
因为 | 3 |= －（3 ）=
2 (3 ) 所以， 所以，当 3.
当 x 3 时，原式= |
3
＜0，所以
3
3 1 |
= 3 1
的值是
3 1.
x 3 时，原二次根式
将下列各式化简：
跟踪练习
1
1 2
2
(2) 3
2
2 2 4 5 ________, 5 5 3 ________. 3
2
2
2 22 ___,
5
2
5 ___,
0 02 ___, 当 a 0 时,
2 | 2 | ___; 5 | 5 | ___; 0 . | 0 | ___
a9
a 2a 2
2
2
⑸ m 3
⑹
a 1 (a 3)
例题吧
例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1 x 5 x 5
(1)
(2) 1 x
2
(3) 1 x 3 x
解： (1) 由x-5 ≥ 0,得x ≥ 5 ∴当 x ≥ 5时， x 5有意义.
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 0的算术平方根平方根是0 用
a
(a≥0)表示。
复习 1、如果 x 4，那么 x ±2 ；
2
2、如果 x 3，那么 x 3 ；
2
3、如果 x a(a 0) ，
2
那么 x a 。
x
导入
1.如图所示的值表示正方形的 面积，则正方形的边长是 3
3
2.要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池， 取3.14）； 它的半径为 2 m（
3、关系式中h 5t ，用含有h的式子 h 表示t，则t为 。
2
5
新授 : 你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
5.化简
(1) (a 1) ( a )
2
2
解：原式 a 1 a
a 1 a 2a 1
(2)（ 1 3x ) 1 x
2
1 3x 0 1 x 3
6.把下列各式写成平方差的形式， 再在实
数范围内分解因式；
(1)a 9
4
2 2
2
(2)a 6a 9
?
一般地,二次根式有下面的性质:
a
快 速 判 断
2
a
2
(a 0)
2
1 15 a6 9 17 4
a
1
2 1 2 1 2 3 2 ______, 3 2 ________, 3 ______, 7 3 7 3
2
D． x 2
2
3.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简
a
2
b
c
2
(a b) (b c) c a
4.已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：
(b c a) + (c a b)
2
2
- (b c a)
2
解：原式 b c a c a b b c a
(2) 因为不论x是什么实数，都有 1 x ＞0.
2
∴当 是任何实数时， 1 x 2 有意义.
1 x 0 （3）由题意可知： 3 x 0
∴当 -1≤ x ≤3时， 1 x 3 x 有意义.
1 当x取何值时， 在实数范围内有意义。 x 5
解：由题意得
x 5 0 1 0 x 5
练一练： x2-6x+9 + x2+2x+1
( -1<x<3 )
解：原式= ( x 3) 2 ( x 1) 2 =|x-3|+|x+1| ∵-1<x<3 , ∴x-3＜0 , x+1>0 ∴原式 = (3-x) + (x+1) = 4
思考：若 m (m 416 m m4) 8m , 4 则m的取值范围是 _________
(4)
1 2a a
2
2 其中a=
(5)
(1 2 ) ( 2 1)
2
(1)
2
4
(2)
解：原式 a 2 a 2 解：原式 ab
a
4
(3)
ab
2 2 ( a＜0,b＞0)
解：原式 2 2 4
(4)
a 0, b 0
2
其中a=
2
1 2a a
3
2. 当a满足什么条件时,代数式
a 才有意义?
a 才有意义!
答:由于负数没有平方根,所以当a≥0时,
3. 代数式
a (a≥0)有如下特征:
a≥0, a ≥0 ( 双重非负性) a可以是数,也可以是式.
既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
(1) 代数式 a 是二次根式吗? 答:代数式 a 只有在条件a≥0的情况下,才属于二次根式! 二次根式是属于有特殊条件的代数式. (2) 答：符合条件(1)被开方数 22 为非负数; (2) 含 有二次根号，所以 22 是二次根式． 1 ( x 0) 是二次根式 (3) 代数式 a 2(a 2), x 吗? 答:是的,二次根式的被开方数可以是整式或分式.