16.1二次根式(1)(2014最新)
16.1.1二次根式(一)
练习一:用心算一算:
33 2 4 1 2
2
1
25 5Fra Baidu bibliotek
2 7
18
2
7
2
2 1
http://www.jiedu.org/amwnsrogpt70/
代数式:用基本符号把数和表示数的 字母连结起来的式子.如5,a,a+b,ab,
s 3 , x , 3, a (a 0) t
计算： (1) ( ) (2) 10
2
2
http://www.jiedu.org/amwnsrhgpt69/
３.若１＜Ｘ＜４，则化简
( x 4) 2 ( x 1) 2 的结果是＿＿＿＿＿ 3
４.设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a b c) (a b c) (b a c) (c b a) 2a+2b+2c
2
(4) - m (m≤0),
(5) xy (x,y 异号)，
3
(7)
5
?
http://www.jiedu.org/amwnsrbcgs44/
例1
(1) (3)
a取何值时,下列根式有意义?
(a 1)
(2)
1 (a ) 2
(a为任何实数)
1 1 解：由 1 2a 0 得 a 2
16.1 二次根式(1)听课记录
中学数学听课记录
课题16.1 二次根式(1) 授课教师
听课人听课班级初二1班听课时间2014年 6月 3日
教学内容（一）复习引入：
（1）已知x2 = a,那么a是x的______; x是a的________, 记为______,
a一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________;
正数a的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；
式子)0
(0≥
≥a
a的意义是。
(二)提出问题
1、式子a表示什么意义？
2、什么叫做二次根式？
3、式子)0
(0≥
≥a
a的意义是什么?
4、)0
(
)
(2≥
=a
a
a的意义是什么？
5、如何确定一个二次根式有无意义?
(三）自主学习
自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题：
1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是?为什么?
3，16
-，34，5-，
)0
(
3
≥
a
a
，1
2+
x
2、计算：
（1）2)4
(（2）
（3）2)5.0
(（4）2)
3
1
(
根据计算结果，你能得出结论：，其中0
≥
a，
)0
(
)
(2≥
=a
a
a的意义是 .
3、当a为正数时指a的，而0的算术平方根是 ,负数，只有非负数a才有算术平方根。所以，在二次根式中，字母a必须满足，才有意义。
（三）合作探究
2
)3
(
4
________
)
(2=
a
16.1二次根式(1)
源自文库平方根
算术平方根
定义
个数 表示 结果
如一个数的平方等于a，这 非负数a的非负平方 根叫a的算术平方根 个数就叫做a的平方根
两个
一个
a
a
正数的算术平方根 只有一个正数。
正数的平方根一正一负， 互为相反数。
人教版数学教材八年级下
第16章 二次根式
16.1 二次根式
谈谈上节课的收获
指数
根指 数
根号 2
4. a≥0,
≥0 a
( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
（1）二次根式的概念
（2）根号内字母的取值范围
（3）二次根式的性质
小结：
1.怎样的式子叫二次根式？
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式 .
2.怎样判断一个式子是不是二次根式？
（1）. 形式上含有二次根号
（2）.被开方数a为非负数， 3.如何确定二次根式中字母的取值范围？ 分母不为0 被开方数大于等于0 结合数轴,写出解集来
乘方运算
乘方的逆运算
概念引入
∵ （±1.2）2=1.44 ∴ ±1.2叫做1.44的平方 根 ∵ （±2）2=4 ∴ ±2叫做4的平方根 ∵ x² = a ∴ x叫做a的平方根
如果一个数的平方等于a,那么这个 数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。 1 ☞ 请分别说出49，0 的平方根
16.1二次根式(1)教学设计
16.1二次根式(1)
教学目标：二次根式的概念和应用；.二次根式的非负性．
重点：二次根式的概念．
难点：二次根式的非负性．
教学流程：
一、知识回顾
1.什么是一个数的算术平方根？如何表示呢？
注意：正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根.
2.什么是一个数的平方根？如何表示呢？
注意：正数有两个平方根,它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
二、探究1
问题1：用带有根号的式子填空：
(1)面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S的正方形的边长为_______．
(2)一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为______m．
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下的高度h(单位：m)满足关系h＝5t2，如果用含有h的式子表示t，则_____．
问题2：
答案：都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根．
归纳：
a≥0)的式子叫做二次根式，
”称为二次根号．
问题3：
.
答案：1.表示a的算术平方根；
2.a可以是数，也可以是
3.
；
4
.00
a≥≥(双非负性)；
5.既可表示开方运算，也可表示运算的结果．
练习1：指出下列哪些是二次根式？
2);).
a x y
≥
三、探究2
例1：当x
在实数范围内有意义？
则 x －2≥0，
∴ x ≥2．
答：当x ≥2
思考：当x 呢？
解：∵当x 为任意实数时，x 2总是一个非负数
∴x .
当x ≥0有意义.
练习2：当a 取何值时，下列二次根式有意义？
(1；(2；(3 ． 四、应用提高
已知a ，b 为一个等腰三角形的两边长，且满足等式6b =-，求此等腰三角形的周长．
同步练习二次根式16.1含答案
16.1 二次根式
例1
1. 当x
【答案】2x ≥
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得：20x -≥，
解得2x ≥．
当2x ≥
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握：二次根式的被开方数是非负数．
2. 要画一个面积为218cm 的长方形，使它的长与宽之比为3：2，它的长、宽各应取多少？
【答案】，
【解析】
【分析】根据题意可设该长方形的长为3x ，宽为2x ．再利用它的面积为218cm ，即可求出x 的值，从而求出长和宽．
【详解】根据该长方形的长与宽之比为3：2，可设该长方形的长为3x ，宽为2x ． ∵该长方形的面积为218cm ，
∴3218x x =，
解得：x =
∴该长方形的长为3x =，宽为2x =．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，根据题意找出数量关系，列出方程是解答本题的关键．
3. 当a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1
（2
（4
【答案】（1）1a ≥；（2）32
a ≥-；（3）0a ≤；（4）5a ≤ 【解析】
【分析】（1a ≥0）的式子叫做二次根式，求出即可；
（2a ≥0）的式子叫做二次根式，求出即可．
【详解】解：（1
∴a −1≥0，
解得：a ≥1；
（2
∴2a ＋3≥0， 解得：32
a ≥-．
（3
∴0a -≥，
解得：0a ≤．
（4在实数范围内有意义，
∴50a -≥，
解得：5a ≤．
a ≥0）得出是解题关键．
例2
4. 计算：
（1）2；
【答案】（1）1.5；（2）20
【解析】
【分析】根据二次根式的乘方法则计算．
§16.1(1)二次根式的概念和性质
16.1(1)二次根式的概念和性质
【教学目标】
1、理解二次根式的概念，知道二次根式与数的开平方运算之间的联系，体会二次根式是数、代数式及其运算的发展；
2.理解a 有意义的条件，理解a a =2，掌握二次根式的性质；
3．会根据二次根式有意义的条件确定二次根式里被开方数中字母的取值范围.
【教学重点和难点】 理解a 有意义的条件，掌握a a =2，并能运用其熟练计算.
由引出并理解二次根式有意义所必须满足的条件. 通过练习使学生掌握如何求二次根式中字母的取值范围. 回顾数的开方中所学知识，归纳得出二次根式的性质. 最后通过习题进一步巩固和运用二次根式的性质.
【教学过程】
一、复习引入
1、提问：在实数一章中，我们学习了开平方运算，4的的平方根可表示为什么？
2、正数a 的平方根可表示为什么？a ±
3、0的平方根是什么？
4、负数呢？
5、2a 和2)(a 中a 的取值范围是什么？
二、学习新知
（一）二次根式的概念
a （a 0≥）中的a 在以前的学习中是一个数，现在将它的取值范围扩大到代数式，于是得到： 代数式a （a 0≥）叫做二次根式，a 是被开方数，读法与原来一样. 举例说明：2、32、12+a 、)04(422≥--ac
b a
c b 、)2(2
1>-x x 等都是二次根式.在实数范围内，负数没有平方根，所以象5-，)0(<b b 这样的式子没有意义，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数.
2、例题
例1、设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？
1）12-x ；2）x -2；3）
16.1(1) 二次根式(概念和性质1、2)
§16.1(1) 二次根式(概念和性质1、2)
姓名:
一、填空题
1、0)a ＜、0)a ≥中是二次根式的有 .
2、二次根式的 数可为整式或分式.
3、如果0x ≤= .
4、如果x = .
5a ，当a 取 时，一定有相等关系.
6、如果2a =式子成立，那么a 的取值范围是 .
7、当a ＜1= .
8x .
9有意义，那么实数a .
10、计算：2+= .
114=，那么x = .
12、当0≤x ≤13的值是 . 二、解答题
设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？（13~18题）
13 14 15
16
17 18
19a =-成立，求实数a 的取值范围.
20
21、x 是怎样的实数时，下列各式有意义？
（1
（2
（3
）2x -
22、已知a ²=9，5b =
.
23
24、当332x ＜＜
时，化简：2412932x x x
-++-
25
2(2)0x -=成立，求x 的值.
26、已知实数a
满足：2011a a -=，求2
2011a -的值.
16.1 二次根式(第1课时)(3种题型基础练+提升练)(原卷版)
16.1 二次根式（第1课时）（3种题型基础练+提升练）
考查题型一二次根式的概念
1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各式中一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（ ）A．5个B．4个C．3个D．2个
4．下列各式中，一定是二次根式的有（ ）
①②③④⑤
A．2个B．3个C．4个D．5个
5.下列各式中，二次根式的个数有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
考查题型二二次根式有意义的条件
1．（2022春•长宁区校级期中）如果m是任意实数，那么下列根式有意义的是（ ）
A．B．C．D．
2．若是二次根式，则a，b，c应满足的条件是（ ）
A．a，b，c均为非负数B．a，b，c同号
C．a≥0，bc≥0D．
3.当x 时，代数式是二次根式．
4.若二次根式在实数范围内有意义，那么x的取值范围是 ．
5．（2022春•闵行区校级期中）当 时，代数式+有意义．
6.添加什么条件时，下列式子是二次根式？
（1；（2（3（4考查题型三 求二次根式的值
1．二次根式
的值等于（ ）A ．﹣2B ．±2C ．2
D ．42．当x ＝﹣14时，二次根式的值是 ．
3.当x ＝ 时，二次根式
有最小值，最小值为 ．4.计算下列各式的值：
（1；
（2（3）；（4）2(；
（5）2-；（60)x <．
1．已知有理数a 满足|2011﹣a |+＝a ，求a ﹣20112的值．
2．若x ，y 为实数，且y ＝++．求﹣的值．
3．某同学作业本上做了这么一道题：“当a ＝时，试求a +的值”，其中是被墨水弄污的，该同学所求得的答案为，请你判断该同学答案是否正确，说出你的道理．
16.1 二次根式(1)
创设情境
提出问题
问题： （2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130 65 m． m2，则它的宽为______
（2）中得到的式子有什么意义？
创设情境
提出问题
问题： （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的 时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满 足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，则 h t= 5 ． _____ （3）中当h 的值分别为0，10，15，20，25时，得 h 到的结果分别是什么？ 表示的数怎样变化？ 5
创设情境
提出问题
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从 而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位： km）与电视节目信号的传播半径 r（单位：km）之间 存在近似关系 r = 2 Rh，其中地球半径R≈6 400 km． 如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km，那么它们 的传播半径之比是 式子
初步应用 巩固知识
例1 意义？ 当x 是怎样的实数时， x+ 2 在实数范围内有
解：要使 x+ 2 在实数范围有意义， 必须 x+2≥0， ∴ x≥-2．
∴
当x≥-2时， x+ 2 在实数范围内有意义．
初步应用 巩固知识
例2 当x 是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意 义？ x 3 呢？
初步应用 巩固知识
16.1二次根式1
4 x 5 3 2x
探究：
填空：
(1) 当 a 0 时， a 0；
(2) 当 a 0 时， a 0；
你能得出什么结论？
a 0 a 0
归纳：
二次根式的非负性：
a 0
二次根式的双重非负性：
a0
a
a 0
练习：
1 若 a 2 2b 7 0 ,则 a 2b __3___
（2）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为 130 m2,则它的宽为 65 m.
(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时 间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单 位：m）满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t, 那么t为_____h____.
5
探索新知，解决问题
在上面的问题中，化简的结果分别
数或0.
二次根式的概念：
一般地，我们把形如 a（a≥0）的
式子叫做二次根式，“ ”称为二次根
号。
2
a
根指数是2（可以省略不写）
被开方数 （a≥0）
二次根号
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1. a 表示a的算术平方根； 2. a可以是数,也可以是式；
3. 形式上含有二次根号
；
4. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)；
学习目标：
1、了解二次根式的概念并掌 握二次根式有意义的条件。 2、理解 a （a≥0）是一个非 负数。即双重非负性。
16.1 二次根式 第1课时：二次根式的概念(含答案)
1
16.1二次根式第1课时二次根式的概念
一、选择题1.下列各式中,一定是二次根式的是(
)A.-3 B.33 C. D.-32.要使二次根式 +1有意义,a 的值可以是()A.-1 B.-2 C.-3 D.-4
3.下列二次根式中,无论x 取何值,都有意义的是(
)
A. B. 2-1 D. 2+14.已知二次根式 +3,当x=1时,此二次根式的值为(
)
A.2
B.±2
C.4
D.±45.若1-2 是二次根式,则x 的值不可能是()A.-2 B.-1 C.0 D.16.下列选项中,使根式有意义的a 的取值范围为a<1的是(
)A. -
1 B.1- C.(1- )2
二、填空题7.当x=54时,二次根式 +1的值为
.1+ x 的取值范围是.9.若关于x 的式子4- +
- +2有意义,且满足条件的所有整数x 的和为10,则a 的取值范围为.
0有意义的条件是.
三、解答题
11.判断下列各式哪些是二次根式,哪些不是,为什么?
3,-16,34,
-
5, 2+1.
(1)求x 的取值范围;
(2)求当x=-2x 的值.
13.已知 -17+17- =b+8.
(1)求a、b 的值;
(2)求a 2-b 2
的平方根和a+2b 的立方根.
16.1二次根式第1课时：二次根式的概念
一、选择题
1.答案A A.-3符合二次根式的定义,故本选项符合题意;
B.33是三次根式,故本选项不符合题意;
C.当x<0时, 无意义,故本选项不符合题意;
D.由于-3<0,所以-3无意义,故本选项不符合题意.
故选A.
2.答案A由题意得,a+1≥0,
16.1 第1课时 二次根式的概念
16.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
知识要点基础练
知识点1 二次根式的概念
1.下列各式中,一定是二次根式的是( C )
A.√23
B.√-10
C.√a 2+1
D.√a 2.当m ≥2 时,√2m -4是二次根式.
知识点2 二次根式有意义的条件
3.若√x -1在实数范围内有意义,则x 的取值范围是( B )
A.x<1
B.x ≥1
C.x ≤-1
D.x<-1
4.若二次根式√x 2+1有意义,则x 的取值范围是( D )
A .x ≥-2
B .x ≠2
C .x ≥2
D .一切实数 5.(教材P4习题第2题变式)式子x -1
在实数范围内有意义的条件是 x>1 . 6.已知y=√x -4+√4-x +3,则xy= 12 .
7.已知(x-2)2+√2+y =0,则x y = 14 . 综合能力提升练 8.若代数式
1a -1+√a +1有意义,则实数a 的取值范围是( D ) A.a ≠1
B.a ≥-1
C.a ≠-1
D.a ≥-1且a ≠1
9.(原创)已知√3x +2y -5与√2x -y -92互为相反数,则xy=( C )
A .-3
B .-2
C .-1
D .0 10.若√2x
y 是二次根式,则下列说法正确的是( D )
A .x ≥0且y ≥0
B .x ≥0且y>0
C .x ,y 同号
D .x y ≥0
11.能使√-(x -5)2有意义的实数x 的值有( B ) A .0个 B .1个 C .2个
D .无数个 12.无论x 取任何实数,代数式√x 2-4x +n 都有意义,则n 的取值范围是 n ≥4 .
16.1.1二次根式
练一练:
2 x 2 下列式子一定是二次根式的是______
- x - 2；1 x；x 2 2；x 2 2
源自文库1、当x是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意义？
例 2、 1）0的算术平方根是多少？ 2）当a<0时， a 有意义吗？ 3） x 4 有意义，则x的取值范围___________. 4） x 2 有意义，则x的取值范围___________. 5） x 有意义，则x的取值范围___________.
3
牛刀小试：
1、下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
3 （1） 4；
( 2) 8； （3） a 2 2a 1；
3 （4） x（ x 0）；
（5） x 2 1
2、x是什么数时，式子
1 3x 1 x
有意义？
3、比较
a
与0的大小
课堂小结：
1、二次根式的概念及表示 2、 a 的取值和意义 3、 a 中a的取值
16.1 二次根式（1）
想一想：
两个平方根； 我们知道，一个正数有______ 0 ； 0的平方根是______ 负数 没有平方根。 在实数范围内，______ 正数或0 因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是______
一般地，我们把形如 子叫做 二次根式 ，"
a （a 0 ）的式 "称为二次根号.
16.1二次根式
16.1
知识点一：二次根式的定义
【例1】下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？为什么？
（1）√(−2)2；（2）√643；（3）√a 2+1；（4）√2x −1（x ≥12）；（5）√−(a +4)2；（6）√x 2−2x +1.
知识点二：二次根式有意义的条件
【例2】当x 取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）√−2x −5； （2）√13x−4； （3）√3−x +√x −2.
知识点三：二次根式的性质
【例3】化简：
（1）(√47)2 （2）(−5√2)2 （3）√(−3)2 （4）−√(−16
)2
（5）√(2−√5)2
（6）√x 2−2x +1+√x 2−4x +4（1≤x ≤2）
知识点四：代数式
【例4】列代数式：
（1）有a 名男生和b 名女生在社区做义工，他们为建花坛搬砖。男生每人搬了40块，女生每人搬了30块。这a 名男生和b 名女生一共搬了 块砖；
（2）一个圆的半径是另一个圆的半径的5倍，则这两个圆的周长之和是 ；（设第一个圆的半径是r ）
（3）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n 个图形中所有点的个数为 。（用含n 的代数式表示）
题型一：二次根式的非负性的应用
1、被开方数的非负性的应用
【例1】已知y =2√2x −1+3√1−2x +13，求1x +1y 的值。
2、二次根式值的非负性的应用
【例2】若√(x −4)2+x −4=0，则x 的取值范围为 。
3、非负性的综合应用
【例3】已知√2a +1+|3a −2b |+(a +b +c )2=0，求√2a −b +c 的值。
16.1.1 第1课时 二次根式教学设计
第十六章 二次根式
16．1 二次根式(1)
主题：第十六章 二次根式 课题：16．1 二次根式(1) 内容来源：
（1）内容：本节是人教版（新）版八年级数学第十六章第一小节第一课时的内容。在“有理数”一章中，学生感受了数系扩充(数集的扩大、运算的拓展、运算律的保持)的基础思想。在“实数”一章中，学生已经了解了平方根、立方根的概念和求
这些都为本章学习打下了基础。二次根式作为一类特殊实数的一般式，为学生进一步理解实数及其运算提供了载体。同时，二次根式作为一类代数式，研究其性质和运算，既是学习代数式的延续，又为理解代数符号体系及运算提供了素材。因此，如何使学生在本章的学习中进一步体会代数学的基本思想和基本方法，是本章要考虑的一个核心问题。
（2）时间：2课时。
课型：小组合作学习完成任务+交流与分享+教师点评或提炼。
●检测与作业
作业:教材第5页习题16.1第1,3,5,6,7,10题.
【教学反思】
①[授课流程反思]
通过实例,由学生熟悉的知识出发,结合平方根的定义,引导学生写出结果,再由各结果的统一特征,共同讨论、分析、归纳,得出二次根式的概念.采用这种“由特殊到一般”的教学方法,培养了学生独立思考、合作交流、归纳总结的思维能力.
②[讲授效果反思]
本节课的难点是“二次根式的被开方数的非负性”,为了让学生熟练掌握,教师要注意精讲多练,练习题由浅入深,引导学生回顾平方根成立的条件,启发学生总结出二次根式有意义的条件,从而判断出字母或因式的取值范围.这种教学方法能让学生温故知新,更快地掌握所学知识.
③[师生互动反思]
16.1 二次根式(第1课时)
16.1 二次根式
第1课时
回顾与思考
1．4的平方根是_±__2__；0的平方根是___0___.
2．5的平方根是_____5__；5的算术平方根是__5__.
3. 什么叫平方根？ 什么叫算术平方根？
新知引入
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）面积为3的正方形的边长为
• 当x为何值时,下列各式在实数范围内有意义?
• （1） x 3 （2）
2 4x 3
• （3）
5x
• （5） 1 x • （7） x
（4）
（6） （8）
1 2x
x 1
x2
x3
拓展思考
当x是怎样的实数时，x2在实数范围内有意义？x3 ?
x为任意实数 x为大于或等于零的实数
归纳总结
• 求二次根式中字母的取值范围的基本依据： • ①被开方数不小于0； • ②分母中有字母时，要保证分母不为0.
解：设其宽为2x，长为3x，则有
wk.baidu.com
检测反馈
2. 如图，在平面直角坐标系中，A（2，3）、B（5， 3）、C（2，5）是三角形的三个顶点，求BC的长.
解：由图示知 AC=5-3=2 AB=5-2=3
根据勾股定理,得
y
6 5
C(2,5)
4
3 2
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2
求xyz的 值 。
(-5)×2×(-2)=20
再议 a的双重非负性
非负数的算术平方根仍然是非负数。 性质 1： a ≥ 0 (a≥0) （双重非负性）
思考： 到现在为止，我们已学过哪些数非负数形式？
a (n为偶数）
n
a
a (a 0)
练一练： x2-6x+9 + x2+2x+1
( -1<x<3 )
解：原式= ( x 3) 2 ( x 1) 2 =|x-3|+|x+1| ∵-1<x<3 , ∴x-3＜0 , x+1>0 ∴原式 = (3-x) + (x+1) = 4
思考：若 m (m 416 m m4) 8m , 4 则m的取值范围是 _________
22 是二次根式吗？
注意
a 1 这类代数式只能称为含有二次 如： 根式的代数式，不能称之为二次根式；
而
2 x2 2 x 3
2, 3 这些二次根式看 这类代数式，应把 做系数或常数项，整个代数式仍看做整式。
下列代数式中哪些是二次根式？
⑴ ⑶
1 2
⑵ ⑷
16
x ( x 0)
3
2
h 5
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a
被开方数
二次根号
读作“根号
a”
归纳: 二次根式的定义 一般地，代数式形如 式子做叫二次根式。
a(a 0 ) 的
数学
初二
1.
a 表示什么含义?
答:当a>0时, a 表示a的正平方根; 当a=0时, a 表示a的平方根.
非负数 1.几个非负数的和、积、商、乘方及 的性质： 算术平方根仍是非负数 2.如果几个非负数的和为零，那么每一个非负数都为零. 3.根据非负数的性质，就可以确定字母的值.
若（a 2) 3 b c 2 0, 则a b c 3
2
6.化简： ( x 3) 2 - (
二次根式的性质及它们的应用:
（1）
a a,(a 0)
2
（2）
a a
2
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
(1)( 2 ) 2 2 ( 2)( 2 ) 2
2
(3) ( 2 ) -2
2
(4) (2) |-2|=2
2
(5) 2 |2|=2
因为 | 3 |= －（3 ）=
2 (3 ) 所以， 所以，当 3.
当 x 3 时，原式= |
3
＜0，所以
3
3 1 |
= 3 1
的值是
3 1.
x 3 时，原二次根式
将下列各式化简：
跟踪练习
1
1 2
2
(2) 3
a9
a 2a 2
2
2
⑸ m 3
⑹
a 1 (a 3)
例题吧
例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1 x 5 x 5
(1)
(2) 1 x
2
(3) 1 x 3 x
解： (1) 由x-5 ≥ 0,得x ≥ 5 ∴当 x ≥ 5时， x 5有意义.
x 2 xy y
2
2
2 (x﹤y)
解 : 原式 1 2
解 : 原式 ( x y)
(1 2)
2 1
x y x y x y 0 原式 （x y)
yx
2.化简及求值：
(1)
2
4
(2)
a
4
(3)
ab
3
2 2 ( a＜0,b＞0)
2 x )2
分析：本题是化简，说明题中的每一个二次根式均在有意 义的范围内，本题有一个隐条件，即2-x≥0,x≤2.
解 2 x 0, x 2,原式 3 x 2 x 1
7.设等式
a( x a) a( y a) x a a y
a( x a) a( y a) x a a y
1 x 5
பைடு நூலகம்
x-5 ＞ 0
∴ 当x＞5时，
在实数范围内有意义。
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0 1 2 (3) 4 x x为全体实数 (4) x0 x
(5) x
(7)
3
x 0 (6) 12
x
x0
x2 x
x 0 (8) x 2 1
在实数范围内成立，其中a, x, y 是两两不等的实数，求
3x 2 xy y 2 2 2 的值。 解：∵ x xy y
3x 2 xy y 2 1 a 0, x y , x y, 2 2 x xy y 3
巩固提高1：
1.分别求下列二次根式中的字母的取值范围 （1） (
x为全体实数
x 1, 且x 2
(9)
x 1 0 ( x 2) x3
小结：
1.怎样的式子叫二次根式？
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式 .
2.怎样判断一个式子是不是二次根式？
（1）. 形式上含有二次根号
（2）.被开方数a为非负数， 3.如何确定二次根式中字母的取值范围？ 分母不为0 被开方数大于等于0 结合数轴,写出解集来
2 2
m4
(m 4) ? 4 m
2
m4 0 m4
1.若
(1 x ) 1 x,则x的取值范围为 ( A )
2
(A) x≤1 (B) x≥1 (C) 0≤x≤1 (D)一切有理数
2.下列式子一定是二次根式的是（ C ）
A． x 2 B． x C． x 2
?
一般地,二次根式有下面的性质:
a
快 速 判 断
2
a
2
(a 0)
2
1 15 a6 9 17 4
a
1
2 1 2 1 2 3 2 ______, 3 2 ________, 3 ______, 7 3 7 3
2
2
1.从读法来看：
2
2:从运算顺序来看：
2
a 根号a的平方 a 先开方,后平方
根号下 a 平方 a
2
a 先平方,后开方
2
4.从运算结果来看:
3.从取值范围来看：
a
2
2
a≥0
a =a
2
a a取任何实数
a =∣a ∣
2
a (a 0) 0 (a 0) a ( a 0)
(4)
1 2a a
2
2 其中a=
(5)
(1 2 ) ( 2 1)
2
(1)
2
4
(2)
解：原式 a 2 a 2 解：原式 ab
a
4
(3)
ab
2 2 ( a＜0,b＞0)
解：原式 2 2 4
(4)
a 0, b 0
2
其中a=
2
1 2a a
3
2. 当a满足什么条件时,代数式
a 才有意义?
a 才有意义!
答:由于负数没有平方根,所以当a≥0时,
3. 代数式
a (a≥0)有如下特征:
a≥0, a ≥0 ( 双重非负性) a可以是数,也可以是式.
既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
(1) 代数式 a 是二次根式吗? 答:代数式 a 只有在条件a≥0的情况下,才属于二次根式! 二次根式是属于有特殊条件的代数式. (2) 答：符合条件(1)被开方数 22 为非负数; (2) 含 有二次根号，所以 22 是二次根式． 1 ( x 0) 是二次根式 (3) 代数式 a 2(a 2), x 吗? 答:是的,二次根式的被开方数可以是整式或分式.
5.化简
(1) (a 1) ( a )
2
2
解：原式 a 1 a
a 1 a 2a 1
(2)（ 1 3x ) 1 x
2
1 3x 0 1 x 3
6.把下列各式写成平方差的形式， 再在实
数范围内分解因式；
(1)a 9
4
2 2
2
(2)a 6a 9
2
3、如果 x a(a 0) ，
2
那么 x a 。
x
导入
1.如图所示的值表示正方形的 面积，则正方形的边长是 3
3
2.要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池， 取3.14）； 它的半径为 2 m（
3、关系式中h 5t ，用含有h的式子 h 表示t，则t为 。
2
5
新授 : 你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
2
D． x 2
2
3.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简
a
2
b
c
2
(a b) (b c) c a
4.已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：
(b c a) + (c a b)
2
2
- (b c a)
2
解：原式 b c a c a b b c a
ab 0
原式 ab
解 : 原式 (a 1) a 1
当a 3时，原式 3 1 （ 3 1 ） 3 1
(5)
(1 2 ) 2 ( 2 1) 2
解：原式 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2
a 2 ____ ; 当 a
a a
2
请比较左右两边的式子,议一议:
a
0 时,
a
2与
| a | 有什么关系?
a2 ____.
a
一般地,二次根式有下面的性质:
a ( a 0) 2 a a 0 (a 0) a ( a 0)
( a ) 与 a 有区别吗?
2
2 2 4 5 ________, 5 5 3 ________. 3
2
2
2 22 ___,
5
2
5 ___,
0 02 ___, 当 a 0 时,
2 | 2 | ___; 5 | 5 | ___; 0 . | 0 | ___
a, b, c是三角形三边 , b c a 0, c (a b) 0, b (c a) 0
原式 b c a a b c b c a 3b a c
这一类问题注意把二次根式的运算搭载在三角形三边之间的关系 这个知识点上，特别要应用好。
4 2
2
2 2
解： (1)原式 （a ） 3 (a 3)(a 3)
(a 3)( a 3 )( a 3 )
(2)原式 (a 3) 2 2 (a 3 ) (a 3 )
2 2
1、 当 x 1 y 3 0时 ，
-1 ） ， x （ y （ 3 ）
3 2x )
2
（2） (1 x) 2
3 (1). 3 2 x 0 x (2).x为全体实数 2 (3).x 3 0且x 2 x 3且x 2
2.当x_____ =0 时,
（3） x 3 x2
3x 3x 有意义.
2
(6) (2) -|-2|=-2
2
例1 计算
例
题
(1)
1.5
2
(2) 5
2
(3) 16
(4)
5
2
例2 求下列二次根式的值：
例
2
题
(1) (3 ) ;
2
(2) x 2 x 1 , 其中x 3.
解：(1) (3 )22 | 3 | 2 (2) x 2 x 1 ( x 1) | x 1 | 解：
(2) 因为不论x是什么实数，都有 1 x ＞0.
2
∴当 是任何实数时， 1 x 2 有意义.
1 x 0 （3）由题意可知： 3 x 0
∴当 -1≤ x ≤3时， 1 x 3 x 有意义.
1 当x取何值时， 在实数范围内有意义。 x 5
解：由题意得
x 5 0 1 0 x 5
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 0的算术平方根平方根是0 用
a
(a≥0)表示。
复习 1、如果 x 4，那么 x ±2 ；
2
2、如果 x 3，那么 x 3 ；