第2讲高一竞赛教师..

3μ π F ， sin θ = ． G 3μ π + 4
【例4】 如图所示，有一长为 l 、重为 W0 的均匀杆 AB 的 A 端顶在竖直的粗糙墙壁 上，杆端与墙间的摩擦因数为 μ ； B 端用一强度足够而不可伸长的绳悬 挂，绳子的另一端固定在墙壁上的 C 点，木杆呈水平状态，绳与墙的夹 角为 θ ． ⑴ 求当杆能保持平衡时， μ 与 θ 应满足的条件． ⑵ 杆保持平衡时，杆上有一点 P 存在，若 A 与 P 点间悬挂一重物，则当 重物的重量 W 足够大时总可能使平衡破坏；而在 P 、 B 间任一点悬挂任意重量的重物都不能 使平衡破坏，求 PA 的距离． 【解析】 设绳的张力为 T ，墙对杆的摩擦力为 F （向上） ，正压力为 N （向外） ； W 的悬挂点距 A 的距离 为 d （如图） ，则根据物体平衡的条件可得： F + T ⋅ sin θ = W0 + W ， ① ② N = T ⋅ cos θ ， l Fl = W0 ⋅ + W ( l − d ) ， ③ 2 F ≤ μN ． ④ 由③式得 1 ⎛ d⎞ ⑤ F = W0 + ⎜1 − ⎟ W ， 2 l⎠ ⎝ 由①、⑤式得 1 d T sin θ = W0 + W − F = W0 + W ，⑥ 2 l 由②、⑥式得 d ⎞ ⎛1 N = cot θ ⎜ W0 + W ⎟ ， ⑦ l ⎠ ⎝2 将⑤、⑦二式代入④式可得 1 d ⎞ ⎛ d⎞ ⎛1 W0 + ⎜1 − ⎟W ≤ μ ⋅ cot θ ⎜ W0 + W ⎟ ， 2 l⎠ l ⎠ ⎝ ⎝2
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发信人：ukim（我没有理想） ，信区：Mathemtics 标 题：从今天开始连载数学家们的故事 发信站：北大未名站（2002 年 04 月 06 日 14:20:15 星期六） ，转信 ---------------------------------------给那些喜欢数学和不喜欢数学的人们 给那些了解数学家和不了解数学家的人们 ---------------------------------------在北大混了四年，一事无事；在未名上 bbs 也呆了快一年了，制造了几千篇的垃圾．要毕 业的人想法总是奇怪的，譬如说竟然真的要正经的写几篇文章了．最初写成这些东西的时 候，我发给了几个朋友，一个学数学的师弟说他很感动，一个非数学系的 mm 说她后悔当 初没有选数学系，无论怎样，他们能这样子讲，我很感动，这是发自内心的那种．现在的 打算是每天贴 2-3 个故事，一直到欧毕业那天．很多事情难免有些 too old，这个我也没有 办法，激动人心的事情毕竟只有那么多． 不多说了，真心的希望大家会喜欢，哪怕只有一点点的喜欢．这些文字偶给了一个名字， 叫做我心目中的英雄 ---Heroes in My Heart-美丽有两种 一是深刻又动人的方法 一是你泛着倦意淡淡的笑容
大值 pmax ． 【解析】 稳定后，如图所示，液面将与水平方向成 30° 夹角，左下角 A 处与液面的 距离最大，为 L 1+ 2 3 ⎛ ⎞ hmax = ⎜ L + ⋅ tan 30° ⎟ cos 30° = L． 2 4 ⎝ ⎠ A 处压强最大，为 pmax = p0 + ρ g ′hmax ， 2g 将等效重力加速度 g ′ = 代入，得 3 ⎛ 3⎞ pmax = p0 + ⎜ ⎜1 + 6 ⎟ ⎟ ρ gL ． ⎝ ⎠
= mg 2
μ02 + 1 ． μ02 − 1
此方程表明若要使主人公不从墙上掉下来， 则静摩擦因数一定要大于 1． 如 果静摩擦因数趋于无穷大，则作用在他两只手上的力等于他身体重量的一 半，这种情况相当于他被黏在墙上． 【例8】 如图所示，匀质圆柱体夹在木板与竖直墙之间，其质量为 m ，半径为 R ，与 墙和木板间的动摩擦因数均为 μ ，板很轻，其质量可忽略．板的一端 O 与墙 用光滑铰链相连，另一端 A 挂有质量为 m′ 的重物， OA 长为 L ，板与竖直墙 夹 θ 角， θ = 53° ，试问 m′ 至少需要多大才能使系统保持平衡？并对结果进 行讨论． 【解析】 圆柱体受力如图所示，取圆柱体中心为转轴，则 f1 = f 2 ① 又因合力为零，有 mg + N 2 ⋅ sin θ = f1 + f 2 ⋅ cos θ ， ② 取 f1 与 f 2 的交点为轴，有
xc = yc ．
已知上块板的质心在 x =
R 处，设板块的密度为 ρ ，由质心的等效 2
意义可得： ⎛ R πR 2 4 R πR 2 ⎞ ⋅ + ρ ⋅ ⎜ R2 − ρ ⋅ R2 ⋅ = ρ ⋅ ⎟ ⋅ xc ， 2 4 3π 4 ⎠ ⎝ 解得： 2R xc = ． 3( 4 − π ) 所以该“角”的质心到相应直角顶点的距离： 2 (10 − 3π ) l = 2 ( R − xc ) = R ≈ 0.316 R ． 3( 4 − π ) 【例2】 有一质量 m = 50 kg 的杆，竖立在水平地面上，杆与地面的最大静摩擦因数为 μ = 0.3 ，杆的上端被固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角 θ = 30° ，如图 所示． 2 ⑴ 若以水平力 F 作用在杆上，作用点到地面的距离 h 为杆长 L 的 ，要使杆 5 不滑倒，则力 F 最大不能超过多少？ 4L ⑵ 若将作用点移到 h = 处，情况又如何？ 5 【解析】 杆受力如图所示，由平衡条件得 F − T sin θ − f = 0 ， N − T cos θ − mg = 0 ，
θ
2
= 2 ，故
m′ =
25Rm ． 8 L ( 2μ − 1) 1 ，则无论 m′ 多大，系统都不能平衡． 2
讨论：要求 m′ > 0 ，即 μ >
【例9】 长均为 L 、质量均为 m 的两根均匀直杆 A 、 B ，它们的上端用光滑铰链铰接， L 用光滑铰链 M 、N 与弯杆 C 铰 悬挂于天花板上， 在距离两杆下端点均为 处， 3 接， A 、 B 两杆被弯杆 C 撑开的角度为 2θ ，弯杆 C 和铰链的质量均不计，如 图所示，则可知弯杆对杆 A 的作用力大小 F 为多少？ 【解析】 因弯杆 C 质量不计，故弯杆在 M 处对 A 的弹力方向必水平向左，则 2 L F ⋅ L ⋅ cos θ = mg ⋅ ⋅ sin θ ， 3 2 3 即得 F = mg ⋅ tan θ ． 4
即 N1 − N 2 = mg ⋅ tan
θ
2 这样得到 m′ 的最小值为
m′gL ⋅ sin θ = N 2 ⋅ R cot
θ
．
4
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m′ = mR ⋅
2 ． L ⋅ sin θ ( μ + μ ⋅ cos θ − sin θ )
cot
θ
取 θ = 53° ， sin θ = 0.8 ， cos θ = 0.6 ， cot
⎛ mg ⎞ 1 + sin ， F = N + f =⎜ ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ cos θ 可利用下面的不等式得到最小的力 f ≤ μ0 N ， 由此可得 1 1 或者 tan θ ≥ ， sin θ ≥ μ0 μ02 − 1
2 2 2 2
2
这里的 μ0 是静摩擦因数． 利用上两式中的任一式，可以得到最小的力为
2
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1 d ⎤ ⑧ 1 − ( μ ⋅ cos θ + 1) ⎥ W ． ( μ ⋅ cosθ − 1)W0 ≥ ⎡ ⎢ 2 ⎣ l ⎦ 根据这一结果作如下分析： ⑴ 当不挂重物时， W = 0 ，这时⑧式变成为 1 ( μ ⋅ cot θ − 1)W0 ≥ 0 ， 2 即 μ ≥ tan θ ． ⑨ 此为第一问的答案． ⑵ 在第⑨式条件下挂上重物 W ，这时⑧式左方 ( μ cot θ − 1) ≥ 0 ．为了要使 W 足够大时，⑧式肯
4R ，其中 R 为圆柱 3π 体半径．如半圆柱体与水平面间的摩擦因数为 μ ，求半圆柱体被拉动时 所偏过的角度 θ ． 由平衡得 G 、F 及 【解析】 以半圆柱体与地切线为轴， 有 FR (1 − sin θ ) = Ga sin θ ；
【例3】 如图，半圆柱体重 G ，重心 C 到圆心 O 的距离为 a = 地面作用力（摩擦力与支持力之合力）三力合力为零，有 μ = tan φ =
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【例7】 在维克多·雨果的小说《悲惨世界》中，主人公冉阿让是一个逃犯，他有能力利用两面直角相交 的墙的墙角爬上墙头．求他在爬墙时最小需要用多大的力来推墙？同时，求他要完成这项技艺， 他和墙面之间可能的最小摩擦因数． 【解析】 如图显示了主人公在墙角的位置．如图是一张简图，显示了他受到的重力 ( mg ) 、墙的支持力 ( N ) 以及作用在他四肢上上的静摩擦力 f ． 设静摩擦力和竖直方向的夹角为 θ ，则如图所示，静态平衡条件为 mg = 2 f ⋅ cos θ 和 N = f ⋅ sin θ ， 从这些方程中可以表示出法线分量 N ， 也就是逃犯在爬墙时作用在墙上的 力为 因此需要的总力 F 可以由下式求得
第二讲 静力学复习
知识点睛
例题精讲
【例1】 从边长为 d 的均匀正方形板上控去最大直径的圆， 剩下四个 “角” ． 求 一个这样的角的质心位于何处．半径为 R 的半圆的质心到直径的距 4R 离a = ． 3π 【解析】 以正方形板的中心 O 为原点，建立直角坐标系，如图所示．设图中 画有阴影的一个“角”的质心坐标为 ( xc ，yc ) ，由对称性可知：
即 定能够成立，则平衡条件为 d 1 − (1 + μ ⋅ cot θ ) ≤ 0 ， l l ． ⑩ 即d≥ 1 + μ ⋅ cot θ 第二问中所求 P 点与 A 点间的距离为 l AP = d min = ． 1 + μ ⋅ cot θ 【例5】 如图所示，半径为 r 的半圆柱对称地放在一个半径为 R 的圆柱面顶部， 假设半圆柱面的摩擦足够大，半圆柱体的重心在其对称轴上，且离顶点 的距离为 d ．为了阻止半圆柱下滑，试求物体稳定平衡的条件． 【解析】 使上面的半圆柱体稍稍偏离平衡位置，如图所示，此时两圆心的连线过 两圆接触点 B ．上半圆柱体的质心 C 的重力作用线，若刚好过 B 点，则 而图中的 AO1 ∥ BC ， 上半圆柱就处于随遇平衡状态． 过 B 作 BD ∥ AO2 ， O B BC 故有 2 = ． 在 菱 形 ACBD 中 ， AC = BC = BD = AD = d ， 所 以 有 O1 B DO1 r d Rr Rr ．则 d = ．当 d < 时，物体在重力矩的作用下，可以回 = R R−d R+r R+r Rr 时，属于随遇平衡；当 到原来的平衡位置，属于稳定平衡；当 d = R+r Rr 时，物体在重力矩的作用下要偏离原来的平衡位置更远，属于不稳定平衡． d> R+r 【例6】 长和宽同为 L 的长方容器中盛有密度为 ρ 、高也为 L 的液体，开始时静 g 止在水平地面上．今使容器以恒定的加速度 a = 水平朝右运动，如图 3 所示．大气压强记作 p0 ，容器中液体稳定静止后，试求液体中压强的最