解析几何(三)PPT课件
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高考数学复习第八章解析几何第3节圆的方程课件文新人教A版
A.1
B.2
( C)
C. 2
D.2 2
解析 由题知圆心坐标为(-1,0),将直线 y=x+3 化成一般形式为 x-y+3=0, 故圆心到直线的距离 d=|-121+-0-+132|= 2.
02 课堂互动·考点突破
考点一 求圆的方程
自主 完成
1.(2019·黑龙江伊春月考)过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在x+y-2=0上
确定圆心的方法 求圆的标准方程,其关键是确定圆心,确定圆心的主要方法有: (1)当题目条件中出现直线与圆相切时,可利用圆心在过切点且与切线垂直的直 线上来确定圆心位置; (2)当题目条件中出现直线与圆相交,可考虑圆心在弦的垂直平分线上; (3)当题目条件出现两圆相切时,可考虑切点与两圆的圆心共线.
因为平行四边形的对角线互相平分,
所以2x=x0-2 3,2y=y0+2 4,整理得xy00= =xy+ -34, . 又点 N(x+3,y-4)在圆 x2+y2=4 上,
所以(x+3)2+(y-4)2=4.所以点 P 的轨迹是以(-3,4)为圆心,2 为半径的圆,因 为 O,M,P 三点不共线,
[训练] 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2,在 y 轴上截得线段长为 2 3.
(1)求圆心 P 的轨迹方程; (2)若 P 点到直线 y=x 的距离为 22,求圆 P 的方程.
解析几何第三章
不妨设 A 0,则
A x
D A
By 0 Cz 0
0
,为一平面.
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
法向量 n {A, B,C}.
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
平面一般式方程的几种特殊情况:
(1) D 0, 平面通过坐标原点;
D 0, 平面通过 x轴;
X
M0a r0 b
r
O
M Y
点a, Mb在共平面面既上是的有充:要M0条M件= 是ua,Mvb0M
Z
M0 a M
r0
b r
设 M 0 ,M 的坐标分别
x0,
则
r0
并设
y0 , z0 , x , y , z
a
x0 , y0 , z0
X1,Y1,
,
r
Z1
b
X
x,
X
y
2,
,z
Y2 ,
求通过直线AB且平行于直线CD的平面,
并求通过直线AB且与 ABC 平面垂直的平面。
例 3 求过点(1,1,1),且垂直于平面 x y z 7和
3 x 2 y 12z 5 0的平面方程.
解
n1 {1,1,1},
n2 {3,2,12}
取法向量
n n1 n2 {10,15, 5},
r
第三章第八节 平面束课件ppt课件
A x B y C z D 0
在同一平面上的充要条件是:
例4
直线方程
A1 x B1 y C1 z D1 0 l1 : A2 x B2 y C2 z D2 0
的系数应满足什么条件才能使该直线在坐标平面 xOz 内.
例5
求直线 l :
3x 2 y z 7 0 在平面 0 : 2x y z 1 0 x y 4z 3 0
例3
3 A1 x B1 y C1 z D1 0 与 3 3 3 试证两直线 l1 : l : 2 A x B y C z D 0 A4 x B4 y C4 z D4 0 2 2 2 2
A1 A2 A3 A4 B1 B2 B3 B4 C1 C2 C3 C4 D1 D2 0 D3 D4
上的射影.
例题
例1
2 x y 2 z 1 0 ,且与平面 求通过直线 l : : x y z 1 0 x 2 y z 2 0
垂直的平面方程。 例2
求与平面 0 : 3x y z 4 0 平行且在 xOz 轴上截距等于 -2 的平面方程
其中 l , m 是不全为零的任意实数。
二、平面束的方程
定理3.8.2 如果两个平面
1 : A1x B1 y C1z D1 0, 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0
《大学数学解析几何》PPT课件
向量与坐标
vector and coordinate
Contents
1
向量的概念
2
向量的加减法
3
数量乘向量
4 向量的线性关系与分解
5
标架与坐标
6 向量在轴上的射影
7
向量的数量积
8
向量的向量积
9
三向量的混合积
10 三向量双重向量积
《解析几何》
-Baidu Nhomakorabeahapter 1
§1 向量的概念
Contents
一、向量的概念 二、几种特殊的向量
1.1向量的概念(小结)
一、向量的概念
1.向量 2.数量 3.向量的大小
向量的方向
4.向量的模
二、几种特殊的向量
1.单位向量 2.零向量 3.相等向量 4.自由向量 5.相反向量 6.共线向量 7.共面向量
作业:
pp.3-4 2, 4, 5
➢笛卡尔的《几何》虽然不像现在的解析几何那样,给读者展现 出一个从建立坐标系和方程到研究方程的循序过程,但是他通过 具体的实例,确定表达了他的新思想和新方法.这种思想和方法 尽管在形式上没有现在的解析几何那样完整,但是在本质上它却 是地道的解析几何.
➢笛卡尔的解析几何有两个基本思想: (1)用有序数对表示点的坐标; (2)把互相关联的两个未知数的代数方程,看成平面上的一 条曲线。
vector and coordinate
Contents
1
向量的概念
2
向量的加减法
3
数量乘向量
4 向量的线性关系与分解
5
标架与坐标
6 向量在轴上的射影
7
向量的数量积
8
向量的向量积
9
三向量的混合积
10 三向量双重向量积
《解析几何》
-Baidu Nhomakorabeahapter 1
§1 向量的概念
Contents
一、向量的概念 二、几种特殊的向量
1.1向量的概念(小结)
一、向量的概念
1.向量 2.数量 3.向量的大小
向量的方向
4.向量的模
二、几种特殊的向量
1.单位向量 2.零向量 3.相等向量 4.自由向量 5.相反向量 6.共线向量 7.共面向量
作业:
pp.3-4 2, 4, 5
➢笛卡尔的《几何》虽然不像现在的解析几何那样,给读者展现 出一个从建立坐标系和方程到研究方程的循序过程,但是他通过 具体的实例,确定表达了他的新思想和新方法.这种思想和方法 尽管在形式上没有现在的解析几何那样完整,但是在本质上它却 是地道的解析几何.
➢笛卡尔的解析几何有两个基本思想: (1)用有序数对表示点的坐标; (2)把互相关联的两个未知数的代数方程,看成平面上的一 条曲线。
(新)2021届高考数学《解析几何》讲解课件
第一定义
第二(统一)定义
圆
d点点 常数(r)
d点点 常数 1 d点点
椭圆
d点点 d点点 常数(2a)
d点点 常数(e) 1 d点线
双曲线 | d点点 d点点 | 常数(2a)
d点点 常数(e) 1 d点线
抛物线
d点点 常数(e) 1 d点线
高考数学圆讲解的课件第二定义 —— 阿波罗尼斯圆(阿氏圆)
椭圆的第二(统一)定义: d点点 常数(e) 1
d点线
到定点与定直线的距离之比是一个小于1的常数的点之轨迹
高考数学讲解课件
双曲线的第一定义: d点点
d点点
常数(2a)
与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹
高考双数学曲讲线解课的件 第二(统一)定义:
到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹
x2 b2
1
一般式 Ax2 By 2 C
(A,B异号,且C≠O)
极坐标方程
ep 1 e cos
M(ρ,θ) F
注:椭圆看大小;双曲线看正负;抛物线看一次
高考数抛学讲物解课线件 的方程
右开口式 y2 2 px l
F
横式
y2 mx
标
左开口式 y2 2 px F
l
普 通 方 程
准
式
竖式
上开口式 x2 2 py
解析几何课件全册(第四版)
分必要条件是:存在唯一的实数 ,使 b a.
证 必要性
充设分性b‖ 显a然;取
b
,
当
b
与
a
同向时
a 取正值,
当的b此唯与时一a性b反 与.向设时ab同取向a负 .,且值又,设a 即b 有 aba,baaa.
b.
两式相减,得 ( )a
0,即
a
0,
a 0,故 0,即 .
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c ).
(3)
a
(a)
0.
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返回
有限个矢量a1, a2 ,an相加可由矢量的三角形求和 法则推广
自 任 意 点O开 始 , 依 次 引OA1 a1 , A1 A2 a2 ,,
An1 An an ,由 此 得 一 折 线OA1 A2 An , 于 是 矢 量OAn
§3.7 空间两直线的相关位置
§3.6 空间直线与点的相关位置
第四章 柱面锥面旋转曲面 与二次曲面
§4.1 柱面
§4.2 锥面
§4.3 旋转曲面
§4.4 椭球面 §4.5 双曲面
§4.6 抛物面
第五章 二次曲线的一般理论
§5.1 二次曲线与直线的相关位置 §5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线 §5.3 二次曲线的切线 §5.4 二次曲线的直径 §5.5 二次曲线的主直径和主方向 §5.6 二次曲线方程的化简与分类
证 必要性
充设分性b‖ 显a然;取
b
,
当
b
与
a
同向时
a 取正值,
当的b此唯与时一a性b反 与.向设时ab同取向a负 .,且值又,设a 即b 有 aba,baaa.
b.
两式相减,得 ( )a
0,即
a
0,
a 0,故 0,即 .
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c ).
(3)
a
(a)
0.
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有限个矢量a1, a2 ,an相加可由矢量的三角形求和 法则推广
自 任 意 点O开 始 , 依 次 引OA1 a1 , A1 A2 a2 ,,
An1 An an ,由 此 得 一 折 线OA1 A2 An , 于 是 矢 量OAn
§3.7 空间两直线的相关位置
§3.6 空间直线与点的相关位置
第四章 柱面锥面旋转曲面 与二次曲面
§4.1 柱面
§4.2 锥面
§4.3 旋转曲面
§4.4 椭球面 §4.5 双曲面
§4.6 抛物面
第五章 二次曲线的一般理论
§5.1 二次曲线与直线的相关位置 §5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线 §5.3 二次曲线的切线 §5.4 二次曲线的直径 §5.5 二次曲线的主直径和主方向 §5.6 二次曲线方程的化简与分类
解析几何(第三版)
曲线的射影分
类
习题 1.1
习题 1.2
习题 1.3
习题 1.4
02
04
06
习题 2.1
习题 2.3
习题 3.1
01
习题 1.5
05
03
习题 2.4
习题 2.2
习题 3.2
习题 3.3
习题 3.4
习题 3.5
习题 4.1
习题 4.3
习题 4.4
习题 5.1
习题 5.3
习题 5.2
习题 5.4
习题 5.5
习题 6.1
习题 6.2
习题 6.3
3
习题 6.6
1
习题 6.4
4
习题 7.1
2
习题 6.5
5
习题 7.2
习题 7.3
习题 7.4
习题 7.5
习题 7.6
作者介绍
丘维声,教授,北京大学名教授(2000~2001年北大评出的十大知名教授之一),不仅在数学科学的研究前
沿成绩卓然,而且也是我国高中阶段初等数学普及教育的专家。他多次参与国家高考命题工作,被教育部基教司
内积讲解的地方茅塞顿开,之前只知道对应坐标乘积相加不知道为什么这样。
这本书错误的地方太多,应该是排版的问题,象这种逻辑性很强的书,错误的地方太多的话,根本无法看下
去。
类
习题 1.1
习题 1.2
习题 1.3
习题 1.4
02
04
06
习题 2.1
习题 2.3
习题 3.1
01
习题 1.5
05
03
习题 2.4
习题 2.2
习题 3.2
习题 3.3
习题 3.4
习题 3.5
习题 4.1
习题 4.3
习题 4.4
习题 5.1
习题 5.3
习题 5.2
习题 5.4
习题 5.5
习题 6.1
习题 6.2
习题 6.3
3
习题 6.6
1
习题 6.4
4
习题 7.1
2
习题 6.5
5
习题 7.2
习题 7.3
习题 7.4
习题 7.5
习题 7.6
作者介绍
丘维声,教授,北京大学名教授(2000~2001年北大评出的十大知名教授之一),不仅在数学科学的研究前
沿成绩卓然,而且也是我国高中阶段初等数学普及教育的专家。他多次参与国家高考命题工作,被教育部基教司
内积讲解的地方茅塞顿开,之前只知道对应坐标乘积相加不知道为什么这样。
这本书错误的地方太多,应该是排版的问题,象这种逻辑性很强的书,错误的地方太多的话,根本无法看下
去。
解析几何全册课件
线为
的连
的中点
对边
一组
设四面体
证
e
e
e
AP
e
AD
e
AC
e
AB
P
P
P
P
P
P
EF
F
E
CD
AB
ABCD
=
=
=
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返回
连接AF,因为AP1是△AEF 的中线,所以有
又因为AF1是△ACD 的中线,所以又有
上一页
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返回
.
,
,
,
)
4
4
.
1
,
0
,
,
,
,
,
,
)
1
(
2
.
4
.
证
如图
因为
所以
但
因而
即
A
B
C
M
(图1.11)
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返回
例2 用向量方法证明:联结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半.
证
设ΔABC两边AB,AC之中点分别为M,N,那么
所以
且
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例3 化简
解
例4 试用向量方法证明:空间四边形相邻各边中点的连线构成平行四边形.
的连
的中点
对边
一组
设四面体
证
e
e
e
AP
e
AD
e
AC
e
AB
P
P
P
P
P
P
EF
F
E
CD
AB
ABCD
=
=
=
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连接AF,因为AP1是△AEF 的中线,所以有
又因为AF1是△ACD 的中线,所以又有
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.
,
,
,
)
4
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1
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0
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(
2
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证
如图
因为
所以
但
因而
即
A
B
C
M
(图1.11)
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例2 用向量方法证明:联结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半.
证
设ΔABC两边AB,AC之中点分别为M,N,那么
所以
且
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例3 化简
解
例4 试用向量方法证明:空间四边形相邻各边中点的连线构成平行四边形.
空间解析几何第三章
o o x
R
r M Q ϕ P
y
(6),(7)式中的ϕ,u为参数,其取值范围是 -π≤ϕ<π,-∞<u<+ ∞
柱面坐标系的三组坐标面
z z z
O O y x x y x
O y
r = 常数 — 圆柱面
ϕ = 常数
— 平面 半
z = 常数 — 水平面
轨迹与方程(空间曲线) 第二章 轨迹与方程(空间曲线)
二、曲面的参数方程 1、双参数向量函数 在两个变数u,v的变动区域内定义的函数 r=r(u,v) 或 r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 (2) 称为双参数向量函数,其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是变向量 r(u,v)的分量,它们都是变数u,v的函数。 当u,v取遍变动区域的一切 z M 值时,向径 OM= r(u,v) =x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 的终点M(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) x 所画的轨迹一般为一张曲面。
C′
如图:投影曲线的研究过程. 如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
面上的投影曲线 空间曲线在 xOy 面上的投影曲线
H ( x, y) = 0 z = 0
类似地: 类似地: 可定义空间曲线在其他坐标面上的投影. 可定义空间曲线在其他坐标面上的投影.
R
r M Q ϕ P
y
(6),(7)式中的ϕ,u为参数,其取值范围是 -π≤ϕ<π,-∞<u<+ ∞
柱面坐标系的三组坐标面
z z z
O O y x x y x
O y
r = 常数 — 圆柱面
ϕ = 常数
— 平面 半
z = 常数 — 水平面
轨迹与方程(空间曲线) 第二章 轨迹与方程(空间曲线)
二、曲面的参数方程 1、双参数向量函数 在两个变数u,v的变动区域内定义的函数 r=r(u,v) 或 r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 (2) 称为双参数向量函数,其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是变向量 r(u,v)的分量,它们都是变数u,v的函数。 当u,v取遍变动区域的一切 z M 值时,向径 OM= r(u,v) =x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 的终点M(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) x 所画的轨迹一般为一张曲面。
C′
如图:投影曲线的研究过程. 如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
面上的投影曲线 空间曲线在 xOy 面上的投影曲线
H ( x, y) = 0 z = 0
类似地: 类似地: 可定义空间曲线在其他坐标面上的投影. 可定义空间曲线在其他坐标面上的投影.
解析几何第三章坐标变换与二次曲线的分类 ppt课件
r e3 )
x
y z
x x c11xc12yc13z zyCzyc c2 31 1x x c c2 32 2y y c c2 33 3zz
这就是向量的坐标变换公式。
下面讨论点的坐标变换公式:
设点 M 在 I[O ;e r 1 ,e r 2 ,e r 3 ]和 I [O ;e r 1 ,e r 2 ,e r 3 ]中的坐标 分别为 (x, y, z)和 (x,y,z),并设点O 在 I 中的 坐标为(d1,d2,d3).
c12 c22 c32
c13 cc2 33 3
②
则称
①
或
②
为从
rrr e1,e2,e3到
er1,er2,er3 的基变换公式。
7
称矩阵
c11 c12 c13
C
c21 c31
c22 c32
c23 c33
为从坐标系 I 到坐标系 I 的过渡矩阵。
从而基变换公式可简写为:
( e r 1 e r 2 e r 3 ) ( e r 1 e r 2 e r 3 ) C
设曲面 S 在坐标系 I 中的一般方程为F(x,y,z)0, 则它在坐标系 I 中的一般方程为:
F ( c 1 1 x c 1 2 y c 1 3 z d 1 , c 2 1 x c 2 2 y c 2 3 z d 2 , c 3 1 x c 3 2 y c 3 3 z d 3 ) 0
解析几何全册课件
工程设计:如建筑、机械、 电子等领域
计算机图形学:如游戏、 动画、虚拟现实等领域
物理学:如光学、电磁学、 量子力学等领域
数学教育:如中学、大学 等教育阶段的数学教学
03
平面解析几何
平面直角坐标系
坐标轴:x轴和y轴 坐标原点:(0,0) 坐标单位:长度单位
坐标表示:(x,y)表示点在平面上的 位置
椭圆、双曲线和抛物线的应用实例
抛物线的定义和标准方程
椭圆、双曲线和抛物线的解题技巧和方法
空间解析几何的重要定理和公式
空间直线方 Baidu Nhomakorabea:描述空 间中直线的 位置和方向
空间平面方 程:描述空 间中平面的 位置和方向
空间直线与 平面的关系: 平行、垂直、
相交等
空间向量与 空间解析几 何的关系: 向量在空间 解析几何中
解析几何全册课件大纲
汇报人:XX
目录
Contents
01 添 加 目 录 项 标 题 02 解 析 几 何 概 述 03 平 面 解 析 几 何 04 空 间 解 析 几 何 05 解 析 几 何 中 的 变 换 06 解 析 几 何 中 的 重 要 定 理 和 公 式
01
添加章节标题
02
解析几何概述
反演法:将已知条件转化为未知条件,逆向 求解几何问题
综合法:结合多种解题技巧和方法,灵活运 用,求解复杂几何问题
《解析几何教程》课件
《解析几何教程》PPT课 件
这个《解析几何教程》PPT课件将带你深入了解解析几何的世界。通过精美的 图片和丰富的内容,让你更好地理解这门学科的历史、背景、基础知识以及 应用。
解析几何的历史和背景
解析几何起源于古希腊时期,是数学中的一门重要学科。我们将探索它的起源、发展和对数学的影响。
解析几何的基础知识
Байду номын сангаас
解析几何中的难点和注意事项
在解析几何的学习过程中,我们会遇到一些难点和需要注意的地方。我们将探讨这些问题,并给出解决方法和 建议。
结语和总结
通过这个《解析几何教程》PPT课件,我们希望你对解析几何有了更深入的了 解。综合回顾和总结将帮助你巩固所学,并为未来的学习提供指导。
在这一部分中,我们将介绍解析几何的基本概念和原理,包括点、直线、平面等,为后续的内容打下坚实的基 础。
解析几何的三大问题
解析几何有着许多经典问题,如垂直平分线、相交角平分线和最小距离等。 我们将深入研究这些问题,并探索它们的应用。
通过案例讲解解析几何的应用
实际案例将帮助我们更好地理解解析几何在实际生活和工程中的应用。我们将讨论如何解决实际问题并应用解 析几何的原理。
这个《解析几何教程》PPT课件将带你深入了解解析几何的世界。通过精美的 图片和丰富的内容,让你更好地理解这门学科的历史、背景、基础知识以及 应用。
解析几何的历史和背景
解析几何起源于古希腊时期,是数学中的一门重要学科。我们将探索它的起源、发展和对数学的影响。
解析几何的基础知识
Байду номын сангаас
解析几何中的难点和注意事项
在解析几何的学习过程中,我们会遇到一些难点和需要注意的地方。我们将探讨这些问题,并给出解决方法和 建议。
结语和总结
通过这个《解析几何教程》PPT课件,我们希望你对解析几何有了更深入的了 解。综合回顾和总结将帮助你巩固所学,并为未来的学习提供指导。
在这一部分中,我们将介绍解析几何的基本概念和原理,包括点、直线、平面等,为后续的内容打下坚实的基 础。
解析几何的三大问题
解析几何有着许多经典问题,如垂直平分线、相交角平分线和最小距离等。 我们将深入研究这些问题,并探索它们的应用。
通过案例讲解解析几何的应用
实际案例将帮助我们更好地理解解析几何在实际生活和工程中的应用。我们将讨论如何解决实际问题并应用解 析几何的原理。
相关主题
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例2: 求过三点M1(2, 1, 4), M2( 1, 3, 2)和M3(0, 2, 3) 的平面的方程.
解: 先找出该平面的法向量n.
由于n与向量M1M2, M1M3都垂直. 而M1M2={3, 4, 6} M1M3={2, 3, 1} n
可取n = M1M2 M1M3
i jk
M1
M3
3 4 6 = 14i + 9j k
2(x +1) 3(y 2) + 4(z 3) = 0
即:
2x 3y + 4z 4 = 0
Байду номын сангаас
2. 平面方程的几种特殊情形
(1) 过原点的平面方程 由于O(0, 0, 0)满足方程, 所以D = 0. 于是, 过原点的平面方程为: Ax + By + Cz = 0
M0
( D,0,0) A
且法向量为 n = {A, B, C}的平面.
注:一次方程: Ax + By + Cz + D = 0 (2)
称为平面的一般方程.
例2: 已知平面过点M0(1, 2, 3), 且平行于 平面2x 3y + 4z 1= 0, 求其方程.
解: 所求平面与已知平面有相同的法向量 n ={2 3, 4}
M2
2 3 1
所以, 所求平面的方程为:
14(x 2) + 9(y + 1) (z 4) = 0
即: 14x + 9y z 15 = 0
例3、已知两点M1(1,-2,3),M2(3,0,-1),求线段的垂直 平分面的方程。 解:因为矢量M1M2={2,2,-4}=2{1,1,-2}
垂直于平面,所以平面的一个法矢量为 n={1,1,-2}. 又所求平面过点M1M2的中点M0(2,-1,1),故 平面的点法式方程为 (x-2)+(y+1)-2(z-1)=0 整理得
M0M=ua+vb
z M0 a
又因为 M0M=r-r0 所以 r-r0= ua+vb
r0 b M r
即 r=r0+ ua+vb (1) x O
y
方程(1)称为平面的矢量式参数方程。
3、平面的坐标式参数方程 r=r0+ ua+vb (1)
若设M0,M的坐标分别为(x0,y0,z0),(x,y,z),则
x+y-2z+1=0
三、平面的一般方程
1. 定理1: 任何x, y, z的一次方程. Ax +By +Cz +D = 0 都表示平面,且此平面的一个法向量是: n = {A, B, C}
证: A, B, C不能全为0, 不妨设A 0, 则方程可以化为
A
x
(
D A
)
B
(
y
0
)
C
(
z
0
)
0
它表示过定点
2. 平面的点法式方程
设平面过定点 M0(x0, y0, z0), 且有法向量n={A,B, C}.
对于平面上任一点M(x, y, z), 向量M0M与n垂直.
z M0
n M0 M = 0
而M0 M ={x x0, y y0, z z0},
O
得:
x
A(x x0) +B( y y0) +C( z z0) = 0
x y z 1 (8)
abc
z
M3
称为平面的截距式方程。 其中a,b,c分别称为平面在
o
M2
三坐标轴上的截距。
x M1
y
二、平面的点法式方程
1. 法向量:
z
n
如果一非零向量垂直
M0 M
于一平面,这向量就叫做
该平面的法线向量.
o
y
x
法线向量的特征: 垂直于平面内的任一向量.
注: 1 对平面, 法向量n不唯一; 2 平面 的法向量n与 上任一向量垂直.
z z1 z2 z1 z3 z1
xy z 1
或
x1 y1 z1 1 0 (7)
x2 y2 z2 1
x3 y3 z3 1
(5)(6)(7)都有叫做平面的三点式方程。
特别地,若平面与三坐标轴的交点分别 为M1(a,0,0) M2(0,b,0),M3(0,0,c),其中abc≠0,则平面的方程为
n M
y
(1)
称方程(1) 为平面的点法式方程.
例1: 求过点(2, 3, 0)且以 n = {1, 2, 3}为法向量 的平面的方程.
解: 根据平面的点法式方程(1), 可得平面方程为: 1 (x 2) 2 (y + 3) + 3 (z 0) = 0
即:
x 2y + 3z 8 = 0
x x1 u(x2 x1) v(x3 x1)
y
y1
u( y2
y1 )
v( y3
y1 )
(4)
z z1 u(z2 z1) v(z3 z1)
从(3),(4)中分别消去参数u,v可得:
(r-r1,r2-r1,r3-r1)=0
(5)
x x1 x2 x1 x3 x1
与
y y1 y2 y1 y3 y1 0 (6)
通过点M0且与a,b平行的平面就被唯一确定。矢量a, b称为平面的方向矢量。
显然,任何一对与平面平行的不共线矢量都可作 为平面的方向矢量。
2、平面的矢量式参数方程
OM在0=空r0间,平,面取标上架的{任O意;一e1点,eM2,的e3径},并矢设为点OMM=0r的,径显矢然
点M在平面上的充要条件为矢量M0M与a,b,面, 因为a,b不共线,所以这个共面的条件可写成:
r0={x0,y0,z0},r={x,y,z} 并设 a={X1,Y1,Z1},b={X2,Y2,Z2}
则由(1)可得
x x0 X1u X 2v
y
y0
Y1u
Y2v
(2)
z z0 Z1u Z2v
(2)式称为平面的坐标式参数方程。
例1、已知不共线的三点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3),求过这三点的平面的方程。
1、平面的方程 2、平面与点的相关位置 3、两平面的相关位置 4、空间直线的方程 5、直线与平面的相关位置 6、空间两直线的相关位置 7、空间直线与点的相关位置 8、平面束
第一节 平面及其方程
一、由平面上一点与平面的方向矢量决定的平面的方程
1、方向矢量 在空间给定一个点M0与两个不共线的矢量a,b,则
解:设M(x,y,z)是平面上任意一点,已知点为Mi的 径矢为ri=OMi,则可取方向矢量为 r2-r1=M1M2={x2-x1,y2-y1,z2-z1}, r3-r1=M1M3={x3-x1,y3-y1,z3-z1}, 因此,平面的矢量式参数方程为
r=r1+u(r2-r1)+v(r3-r1) (3) 坐标式参数方程为