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二次函数与一次函数的关系知识点

二次函数与一次函数的关系知识点概述:二次函数和一次函数是数学中常见的两种函数类型，它们在图像、性质和应用等方面都有着一定的联系和区别。

本文将从几个关键的知识点展开，来详细介绍二次函数与一次函数之间的关系。

知识点一：基本定义与特征1. 一次函数：一次函数又称为线性函数，通常表示为y = mx + c的形式，其中m为斜率，c为y轴截距。

一次函数的图像是一条直线，斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与y轴的交点位置。

2. 二次函数：二次函数是一个以x为自变量，y为因变量的函数，通常表示为y = ax^2 + bx + c的形式，其中a、b、c为常数，且a不等于0。

二次函数的图像是一条抛物线，开口的方向由a的正负决定，a为正时抛物线开口向上，a为负时开口向下。

知识点二：图像比较1. 一次函数的图像是一条直线，直线的特点是方向固定，斜率不变。

斜率为正时直线向上倾斜，斜率为负时直线向下倾斜。

直线与x轴和y轴的交点分别为x轴截距和y轴截距。

2. 二次函数的图像是一条抛物线，抛物线的特点是开口方向和形状不固定。

a的正负决定了抛物线的开口方向，a的绝对值越大，抛物线的开口越宽。

抛物线的顶点坐标即为最值点，对称轴为过顶点且垂直于x轴的直线。

知识点三：性质比较1. 一次函数的性质：(1) 一次函数的导数恒为常数，代表了直线的斜率。

(2) 一次函数的增减性由斜率的正负决定，斜率为正则函数递增，斜率为负则函数递减。

(3) 一次函数的零点即为方程y = mx + c的解，也即直线与x轴的交点。

2. 二次函数的性质：(1) 二次函数的导数恒为一次函数，代表了抛物线在不同点的斜率。

(2) 二次函数的增减性由导数的正负决定，导数为正则函数在该区间递增，导数为负则函数在该区间递减。

(3) 二次函数的零点即为方程y = ax^2 + bx + c的解，也即抛物线与x轴的交点。

知识点四：应用比较1. 一次函数的应用：一次函数常用于描述线性的关系或者恒定的速率问题，比如速度与时间的关系、货币兑换等。

二次函数与一次函数的关系知识点

二次函数与一次函数的关系知识点1. 介绍：二次函数和一次函数是高中数学学习中经常涉及的两种函数类型。

二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0；而一次函数是指形如y=kx+b的函数，其中k、b为常数且k≠0。

本文将探讨二次函数与一次函数之间的关系及其相关知识点。

2. 二次函数的特点：2.1 函数图像：二次函数的图像通常呈现抛物线的形状，可以是开口向上或开口向下的。

开口向上的二次函数在最低点取得最小值，而开口向下的二次函数在最高点取得最大值。

2.2 零点和顶点：二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，在二次函数中可以使用求根公式或配方法求得。

函数的顶点是指函数图像的最低点或最高点，在二次函数中可以通过计算x坐标的中点来找到顶点。

2.3 对称性：二次函数的图像具有关于顶点的对称性，即关于x=a的直线对称于关于y=b的直线。

3. 一次函数的特点：3.1 函数图像：一次函数的图像通常呈现直线的形状，具有斜率的概念。

斜率为正值时，函数图像呈现上升趋势；斜率为负值时，函数图像呈现下降趋势。

3.2 零点：一次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，在一次函数中可以通过令y=0来求解，得到x的值。

3.3 截距：一次函数的截距是指函数图像与y轴相交的点，在一次函数中可以通过令x=0来求解，得到截距的值。

4. 二次函数与一次函数的关系：4.1 平移：二次函数与一次函数可以通过平移进行相互转换。

平移是指将函数图像沿x轴或y轴进行上下左右的移动。

通过改变二次函数或一次函数的系数或常数，可以实现平移操作。

4.2 对应点：对于二次函数y=ax^2+bx+c和一次函数y=kx+b，当二次函数的顶点(x, y)和一次函数的某一点(x, y')对应时，有如下关系： y = y' + (c - y')其中，y表示二次函数的值，y'表示一次函数的值。

4.3 一次函数的特殊情况：当二次函数的系数a=0时，二次函数就变成了一次函数。

一次函数与二次函数疑难解析

一次函数和二次函数新知全解：1．一次函数（1）一次函数的概念函数叫做一次函数，它的定义域是R，值域为R一次函数的图象是，其中叫做该直线的，b叫做该直线在y 轴上的．一次函数又叫．（2）一次函数的性质①函数的改变量Δy＝与自变量改变量Δ＝__________的比值等于，的大小表示直线与轴的．②当>0时，一次函数是；当<0时，一次函数是．③当b＝0时，一次函数为，是；当b≠0时，它．④直线y＝＋b与轴的交点为，与y轴的交点为。

2．二次函数（1）函数y＝a2＋b＋ca≠0叫做，它的定义域为R（2）二次函数的性质与图象a ＜0 值域a>0 a<0 24[,)4ac b y a -∈+∞ 24(,]4ac b y a -∈-∞ 奇偶性 b=0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数单调性 a>0 a<0(,],2b x a∈-∞-时递增 [,)2b x a ∈-+∞时递减图象特点 ()()241:;2:(,)224b b ac b x a a a-=--对称轴顶点最值抛物线有最低点，当2b x a =-时，y 有最小值2min 44ac b y a -= 抛物线有最高点，当2b x a =-时，y 有最大值2max 44ac b y a-= 3配方法将二次函数y ＝a 2＋b ＋c 配成顶点式y ＝a －h 2＋来求抛物线的顶点和函数y 的最值问题．配方法是研究二次函数的主要方法，熟练地掌握配方法是掌握二次函数性质的关键，对一个具体的二次函数，通过配方就能知道这个二次函数的主要性质．(,],2b x a ∈-∞-时递减[,)2b x a ∈-+∞时递增（4）二次函数解析式的三种形式①一般式：f （）=a 2bca≠0②顶点式：f=f=a-h 2a≠0，，h 为顶点坐标．③两根式：f=a-1-2a≠0，1、2为两实根．3．待定系数法一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法。

二次函数与一次函数的综合题

相交点的坐标可以通过解方程组得到
二次函数与一次函数图像相交的点为方程组的解
相交点的个数取决于方程组的解的个数
垂直关系
二次函数与一次函数的图像垂直关系可以通过求导数的方法来判断。如果两个函数的导数相等，则它们的图像平行；如果一个函数的导数为0，另一个函数的导数不为0，则它们的图像垂直。
二次函数与一次函数的图像垂直关系可以通过代入法来判断。将一次函数的解析式代入二次函数的解析式中，得到一个关于x的二次方程，如果该二次方程的判别式Δ=0，则说明两个函数的图像垂直。
奇偶性的判断方法
代数法：通过代入特殊值或化简函数表达式来判断函数的奇偶性
性质法：利用奇偶函数的性质来判断函数的奇偶性
定义法：根据奇偶性的定义来判断函数的奇偶性
图像法：通过观察函数的图像来判断函数的奇偶性
奇偶性的应用
利用奇偶性判断函数图像的对称性
利用奇偶性简化函数表达式
利用奇偶性求解函数值域
利用奇偶性分析函数的单调性
定义法：利用函数单调性的定义，通过比较自变量取值范围内任意两点处的函数值大小来证明函数的单调性。
导数法：利用导数与函数单调性的关系，通过判断导数的正负来证明函数的单调性。
图像法：利用函数图像的走势来判断函数的单调性，通过观察图像在自变量取值范围内的变化趋势来证明函数的单调性。
05
二次函数与一次函数的奇偶性
相切关系
在切点处，二次函数的导数等于一次函数的斜率，即切线的斜率。
二次函数与一次函数相切时，它们的图像在切点处相切，切线的斜率等于一次函数的斜率。
二次函数与一次函数相切的条件是二次函数的导数等于一次函数的斜率。
当二次函数与一次函数相切时，它们的交点只有一个，即切点。
相交关系

二次函数与一次函数交点求范围专题

二次函数与一次函数交点求范围专题 1. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=2x 2+mx+n 经过点A （0，﹣2），B （3，4）．（1求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点）．若直线CD 与图象G 有公共点，结合函数图象，求点D 纵坐标t 的取值范围?2.二次函数y=x2+bx+c 的图象如图所示，其顶点坐标为M （1，-4）．（1）求二次函数的解析式；（2）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n 与这个新图象有两个公共点时，求n 的取值范围．3．已知二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+32在x=0和x=2时的函数值相等． (1)求二次函数的解析式；(2)若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A(−3，m)，求m 和k 的值；(3)设二次函数的图象与x 轴交于点B ，C(点B 在点C 的左侧)，将二次函数的图象在点B ，C 间的部分(含点B 和点C)向左平移n(n>0)个单位后得到的图象记为G ，同时将(2)中得到的直线y=kx+6向上平移n 个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G 有公共点时，求n 的取值范围．4.已知二次函数y=x2-2（k+1）x+k2-2k-3与x 轴有两个交点．（1）求k 的取值范围；（2）当k 取最小的整数时，求二次函数的解析式；（3）将（2）中求得的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y=x+m 有三个不同公共点时m 的值．1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．（1求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围?解：（1）∵抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4），代入得：，解得：，∴抛物线解析式为y=2x2﹣4x﹣2，对称轴为直线x=1；（2）由题意得：C（﹣3，﹣4），二次函数y=2x2﹣4x﹣2的最小值为﹣4，由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4，设直线BC解析式为y=kx+b，将B与C坐标代入得：，解得：k=，b=0，∴直线BC解析式为y=x，当x=1时，y=，则t的范围为﹣4≤t≤．2.二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，其顶点坐标为M（1，-4）．（1）求二次函数的解析式；（2）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围．（1）因为M （1，-4）是二次函数y=（x+m ）2+k 的顶点坐标，所以y=（x-1）2-4=x 2-2x-3，（2）令x 2-2x-3=0，解之得：x 1=-1，x 2=3，故A ，B 两点的坐标分别为A （-1，0），B （3，0）．如图，当直线y=x+n （n ＜1），经过A 点时，可得n=1，当直线y=x+n 经过B 点时，可得n=-3，∴n 的取值范围为-3＜n ＜1，翻折后的二次函数解析式为二次函数y=-x 2+2x+3当直线y=x+n 与二次函数y=-x 2+2x+3的图象只有一个交点时，x+n=-x 2+2x+3，整理得：x 2-x+n-3=0，△=b 2-4ac=1-4（n-3）=13-4n=0，解得：n= ， ∴n 的取值范围为：n ＞，由图可知，符合题意的n 的取值范围为：n ＞或-3＜n ＜1．13 413 4 13 44.已知二次函数y=x2-2（k+1）x+k2-2k-3与x轴有两个交点．（1）求k的取值范围；（2）当k取最小的整数时，求二次函数的解析式；（3）将（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y=x+m有三个不同公共点时m的值．解：（1）∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=4（k+1）2-4（k2-2k-3）=16k+16＞0．∴k＞-1．∴k的取值范围为k＞-1．（2）∵k＞-1，且k取最小的整数，∴k=0．∴y=x2-2x-3=（x-1）2-4．（3）翻折后所得新图象如图所示．平移直线y=x+m知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点．①当直线位于l1时，此时l1过点A（-1，0），∴0=-1+m，即m=1．②∵当直线位于l2时，此时l2与函数y=-x2+2x+3（-1≤x≤3）的图象有一个公共点∴方程x+m=-x2+2x+3，即x2-x-3+m=0有两个相等实根．∴△=1-4（m-3）=0，即．综上所述，m的值为1或．。

一次函数和二次函数相交的问题

类型一：已知一次函数和二次函数解析式求交点坐标并比较大小1如图，已知直线y=x与抛物线y=-x2交于A、B两点.21 (2)记一次函数y=x的函数值为y i,二次函数y=^x2 若y i>y2,求x的取值范围.类型二：已知相关点的坐标求解一次函数和二次函数的解析式并比较大小如图，二次函数y (x-2) 2+m的图象与y轴交于点C,点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点 A (1, 0)及点B.(1) 求一次函数与二次函数的解析式；(2) 根据图象，写出满足kx+b>(x-2) 2+m的x的取值范围.练习1:如图所示，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C,点C、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D. (1)求D点的坐标和一次函数、二次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.练习2:在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于 A (-1, 0), B (3, 0), C (0, -3), 一次函数图象与二次函数图象交于B、C两点.(1)求一次函数和二次函数的解析式.(2) 当自变量x为何值时，两函数的函数值都随x的增大而增大?(3) 当自变量x为何值时，一次函数值大于二次函数值.(4) 当自变量x为何值时，两函数的函数值的积小于0.类型三：与一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题1如图，一次函数y=x- 1与x轴交点A恰好是二次函数与x的其中一个交点，已知二次函数图2象的对称轴为x=1，并与y轴的交点为(0，1).( 1)求二次函数的解析式；(2)设该二次函数与一次函数的另一个交点为C点，连接BC,求三角形ABC的面积. 瑞练习1：如图，A (-1，0)、B (2，-3)两点在一次函数y i=-x+m与二次函数y2=a«+bx-3的图象上.(1 )求m的值和二次函数的解析式.(2) 二次函数交y轴于。

一次函数和二次函数相交的问题

一次函数和二次函数相交的问题类型一：已知一次函数和二次函数解析式求交点坐标并比较大小1如图，已知直线y=x 与抛物线y=_x 2交于A 、B 两点.21(1) 求交点A 、B 的坐标；(2)记一次函数y=x 的函数值为y i ，二次函数y= — x 2的函数值为y ?2若y i > y 2,求x 的取值范围.类型二：已知相关点的坐标求解一次函数和二次函数的解析式并比较大小如图，二次函数y= (x-2 ) 2+m 的图象与y 轴交于点C,点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点 A (1, 0)及点B .(1) 求一次函数与二次函数的解析式； (2)根据图象，写出满足 kx+b >( x-2 ) 2+m 的x 的取值范围.练习1:如图所示，二次函数的图象与 x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点一次函数的图象过点 B 、D . (1 )求D 点的坐标和一次函数、二次函数的解析式；函数值的x 的取值范围.练习2:在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于 A (-1，0)，函数图象交于B 、C 两点.(1) 求一次函数和二次函数的解析式. (2)当自变量x 为何值时，两函数的函数值都随x 的增大而增大？(3) 当自变量x 为何值时，一次函数值大于二次函数值. (4)当自变量x 为何值时，两函数的函数值的积小于0.3：一次函数y=2x+3与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象交于 A( m, 5)和B (3, n )两点，且点B 是抛物线的顶点. (1)求一次函数和二次函数的表达式； (2)在同一坐标系中画岀两个函数的图象;(3)从图象上观察，x 为何值时，两个函数的值都随 x 的增大而增大，当x 为何值时，二次函数的值大于一次函数的值?类型三：与一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题。

1如图，一次函数y=x- 与x 轴交点A 恰好是二次函数与 x 的其中一个交点，已知2二次函数图象的对称轴为 x=1，并与y 轴的交点为(0，1).( 1)求二次函数的解析式；(2)设该二次函数与一次函数的另一个交点为 C 点，连接BC ，求三角形ABC的面积.(1)求m 的值和二次函数的解析式.(2)二次函数交y 轴于。

(完整版)一次函数和二次函数相交的问题

一次函数和二次函数相交的问题类型一：已知一次函数和二次函数解析式求交点坐标并比较大小如图，已知直线y=x 与抛物线y=21x 2交于A 、B 两点．（1）求交点A 、B 的坐标；（2）记一次函数y=x 的函数值为y 1，二次函数y=21x 2的函数值为y 2．若y 1＞y 2，求x 的取值范围．类型二：已知相关点的坐标求解一次函数和二次函数的解析式并比较大小如图，二次函数y=（x-2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A （1，0）及点B ．（1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m 的x 的取值范围．练习1：如图所示，二次函数的图象与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ．（1）求D 点的坐标和一次函数、二次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．练习2：在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于A （-1，0），B （3，0），C （0，-3），一次函数图象与二次函数图象交于B 、C 两点．（1）求一次函数和二次函数的解析式．（2）当自变量x 为何值时，两函数的函数值都随x 的增大而增大？（3）当自变量x 为何值时，一次函数值大于二次函数值．（4）当自变量x 为何值时，两函数的函数值的积小于0．ABC Oxy练习3：一次函数y=2x+3与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且点B 是抛物线的顶点．（1）求一次函数和二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（3）从图象上观察，x 为何值时，两个函数的值都随x 的增大而增大，当x 为何值时，二次函数的值大于一次函数的值？类型三：与一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题。

一次函数和二次函数的综合练习(相交识大小,形成图形面积等问题)附一次与反比例的综合问题(看图识大小)

一次函数和二次函数的综合练习（相交产生大小，形成图形面积等问题）类型一：已知一次函数和二次函数解析式求交点坐标并比较大小类型二：已知相关点的坐标求解一次函数和二次函数的解析式并比较大小如图，二次函数y=（x-2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A （1，0）及点B ．（1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m 的x 的取值范围．练习1：如图所示，二次函数的图象与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ．（1）求D 点的坐标和一次函数、二次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．练习2：在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于A （-1，0），B （3，0），C （0，-3），一次函数图象与二次函数图象交于B 、C 两点．（1）求一次函数和二次函数的解析式．（2）当自变量x 为何值时，两函数的函数值都随x 的增大而增大？（3）当自变量x 为何值时，一次函数值大于二次函数值．（4）当自变量x 为何值时，两函数的函数值的积小于0．类型三：与一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题。

练习1：如图，A （-1，0）、B （2，-3）两点在一次函数y 1=-x+m 与二次函数y 2=ax 2+bx-3的图象上．（1）求m 的值和二次函数的解析式．（2）二次函数交y 轴于C ，求△ABC 的面积．变式：已知一次函数y 1=-x+m 与二次函数y 2=ax 2+bx-3的图象交于两点A （-1，0）、B （2，-3），且二次函数与y 轴交于点C ，P 为抛物线顶点．求△ABP 的面积．练习2：如图，一次函数的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y=21x 2+bx+c 的图象与一次函数y=21x+1的图象交于B ，C 两点，与x 轴交于D ，E 两点，且D 点坐标为（1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）求线段BC 的长及四边形BDEC 的面积S ；附加一次与反比例的综合问题（看图识大小）1.：已知：如图，正比例函数y=ax 的图象与反比例函数y=的图象交于点A （3，2）（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；（3）M （m ，n ）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m ＜3，过点M 作直线MN ∥x 轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC ∥y 轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．,2.如图，过y 轴上点A 的一次函数与反比例函数相交于B 、D 两点，B （﹣2，3），BC ⊥x 轴于C ，四边形OABC 面积为4．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点D 的坐标；（3）当x 在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值．（直接写出结果）3.如图，反比例函数y=的图象与直线y=x+m在第一象限交于点P（6，2），A、B为直线上的两点，点A的坐标为2，点B的横坐标为3．D、C为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于y轴．（1）直接写出k，m的值；（2）求梯形ABCD的面积．4.如图，直线y=kx+b与反比例函数y=（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4．（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC的面积．。

运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题

运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题数学思想是解决各种数学问题的基础，数学的各个分支都离不开数学思想。

二次函数、一次函数和方程是高中数学中的重要内容，其中许多问题需要运用数学思想才能得以解决。

一、二次函数问题1、最值问题对于二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)$，最值问题是常见的问题之一。

通过求导或者配方法可以得到二次函数的顶点坐标。

但是，在实际问题中，经常需要通过变量代换或者条件限制等方式来解决最值问题。

例如，某面积为$S$的矩形中，正好能容纳一个底边长为$x$的半圆形，问该矩形的长和宽分别为多少？解：设矩形的长和宽分别为$l$和$w$，则根据题意得到方程$\frac{πx^2}{4}=lw$。

要求矩形的长和宽的和最小，可以将$l+w$作为新的变量，即求$f(l,w)=l+w$的最小值。

将$l$用$\frac{πx^2}{4w}$表示代入函数中，得到$f(\frac{πx^2}{4w},w)=\frac{πx^2}{4w}+w$，对变量$w$求导，得到$\frac{df}{dw}=-\fr ac{πx^2}{4w^2}+1$。

令$\frac{df}{dw}=0$，得到$w=\frac{πx^2}{4}$。

将$w$代入原方程，解得$l=x$，因此矩形的长和宽分别为$\frac{πx}{2}$和$\frac{x}{2}$。

2、交点问题对于两个二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$和$g(x)=dx^2+ex+f$，交点问题是常见的问题之一。

可以通过解方程或者配方法求解交点。

例如，已知$f(x)=x^2+2x+3$和$g(x)=3x^2-2x+5$，问两个函数有几个交点？解：将两个函数相减得到$h(x)=2x^2-4x+2=2(x-1)^2$，因此两个函数如果有交点，则交点的横坐标为$x=1$。

将$x=1$代入任一函数即可求得交点，$f(1)=6$，$g(1)=6$，因此两个函数有一个交点$(1,6)$。

九年级数学上册专题突破19《二次函数和反比例函数》解密二次函数与一次函数的交点问题(新版)北京课改版【

解密二次函数与一次函数的交点问题1. 知识载体（1）一次函数解析式:y =mx +n （m 、n 为常数且m ≠0）（2）二次函数解析式:y =ax 2+bx +c （a ,b ,c 为常数且a ≠0） 2. 解题思想数形结合（把交点问题转化为方程问题求解） 3. 解题方法求这两个函数的交点坐标或交点个数需要把一次函数解析式和二次函数解析式联立方程组2y mx ny ax bx c=+⎧⎨=++⎩ ，整理后得到一个新的一元二次方程，根据判别式来确定交点的个数：（1）△＞0⇔一次函数与二次函数有两个交点；（2）△=0⇔二次函数与一次函数有一个交点；（3）△＜0⇔二次函数与一次函数没有交点。

注意：（2）△=0是（1）和（3）的分界点，所以在解决问题时往往利用△=0求出参数的值，从而确定所求范围。

例抛物线解析式为：221y x x =-- ，直线解析式为：y x n =+ ，分析两图象的交点个数。

例题1 （历下区二模）已知二次函数y =x 2﹣2mx +m 2﹣4的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），且与y 轴交于点D 。

当m =﹣1时，将函数y =x 2﹣2mx +m 2﹣4的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象Q 。

当直线与图象Q 有两个公共点时，求实数b 的取值范围。

答案：令y =0得x 2﹣2mx +m 2﹣4=0，解得x 1=m ﹣2，x 2=m +2， ∴A （m ﹣2，0），B （m +2，0），D （0，m 2﹣4），当m =﹣1时，y =x 2+2x ﹣3，则A （﹣3，0），B （1，0），顶点为（﹣1，﹣4）因为直线b x y +=21与图象Q 有两个公共点，则当直线b x y +=21过A 点时23=b ，当直线b x y +=21过B （1，0）时，21=b ，当直线b x y +=21与y =﹣x 2﹣2x +3只有一个公共点时，1673=b ，根据图象，可得﹣21＜b ＜23或b ＞1673。

一次函数与二次函数图象的交点问题专项练习及答案

一次函数与二次函数图象的交点问题专项练习1.已知：关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m +1）x +3m +3=0（m ＞1）。

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2（其中x 1＞x 2），若y 是关于m 的函数，且y =x 1﹣3x 2，求这个函数的解析式；（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m =2的左侧部分沿直线m =2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当关于m 的函数y =2m +b 的图象与此图象有两个公共点时，b 的取值范围。

2.已知抛物线2221y x mx m =-+-+与x 轴交点为A 、B （点B 在点A 右侧），与y 轴交于点C 。

（1）试用含m 的代数式表示A 、B 两点的坐标；（2）当点B 在原点的右侧，点C 在原点的下方时，若BOC △是等腰三角形，求抛物线的解析式；（3）已知一次函数y kx b =+，点P （n ，0）是x 轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P 作垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交抛物线2221y x mx m =-+-+于点N ，若只有当14n <<时，点M 位于点N 的下方，求这个一次函数的解析式。

3.已知关于x 的方程mx 2+（3m +1）x +3=0（m ≠0）。

（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值；（3）在（2）的条件下，将关于x 的二次函数y =mx 2+（3m +1）x +3的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请结合这个新的图象回答：当直线y =x +b 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围。

4.已知一次函数1y kx b=+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，二次函数2224y x ax =-+（其中a ＞2）。

一次函数与二次函数图像的交点问题

C
A
B
(3)已知点P(m,0)是x轴上的一个动点,过点P作垂直于x轴的直线交(2) 中的二次函数图象于点M,交一次函数y=px+q的图象于点N.若只有当 1<m<5时,点M位于点N的下方,求一次函数y=px+q 的解析式．
C A
解：依题意并结合图象可知，一次函数的图
象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m+4与y轴交于点A （0,3），与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）. (1)求该抛物线的表达式及点B，C的坐标；
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m+4与y轴交于点A （0,3），与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）. (1)求该抛物线的表达式及点B，C的坐标；
解：∵抛物线y=mx2-2mx+m+4与y轴交于点A（0,3）， ∴m+4=3．∴m=-1． ∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3． ∵抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于点B,C， ∴令y=0，即-x2+2x+3=0 ．解得x1=-1，x2=3．又∵点B在点C左侧， ∴点B的坐标为(-1,0)，点C的坐标为(3,0)．
一次函数与二次函数图像的交点问题
高级教师萧老师
核心考点考纲要求考试题型中考分值考查频率
会根据二次
点在函数图函数解析式
象上的意义；求其图象与
一次函数、坐标轴的交
二次函数、点坐标；会解答题
4-7分 ★ ★ ★ ★ ★
一元二次方利用二次函
程
数的图象求
一元二次方
程的近似解.

二次函数与一次函数交点问题.doc

课题：一次函数与二次函数的交点及交点的判断目的：掌握一次函数与二次函数的交点坐标的算法会用判别式判断一次函数与二次函数有无交点初步认识函数图像中的集合问题重点：一次函数与二次函数的交点坐标的计算难点：理解函数交点坐标的意义课时：一课时过程：引入(1)看函数图像通过函数特点，性质求解析式⑵ 通过解析式画函数图像通过观察发现在同一坐标系当川图像相交于A,C两点像这种图像相交点经常会应用到例如：连接OC O,A,C三点构成三角形OAC,如果要求三角形OAC的面积应该如何求解呢根据；S = — xOAx y c只要求出C点的坐标就可以求出三角形OAC的面积新课一.求交点坐标分析交点坐标的特点：例如A (1,0)是两函数的交点，该点的意义在于：当即y\ = >2 =纵坐标=o上式说明：当X“时两函数值是相等的。

推导：y\ -=纵坐标如果让风=儿=纵坐标，推导出函数的横坐标，即：2兀2 — 4x + 2 = 2x — 2 =纵坐标观察2? — 4x + 2 = 2兀—2是一个一元二次方程x是满足x =儿的未知数，所以只要解出方程的根就是满足的横坐标2兀2 — 4x + 2 = 2兀一2移项得至ij：2X2-6X +4=0因式分解：(x —l)(x —2)=0解根为X] = iyX2 = 2把T] =1带入任意一个函数得至叽=0即坐标为（1,0）把V] = 1带入任意一个函数得至少]=0即坐标为（2,2）由此得到交点坐标的方法:1:令两函数值相等（解析式等）2：3：解出等式的未知数x4：把未知数x的值带入两函数任意一个（一般是一次函数）5：写出交点坐标（x, y）练习1y} - x2 + 2x -1y2 =1解：令X =歹2 即X2 4- 2x - 1 = X + 1解方程：兀]=1,无2=-2 把坷=l,x2 =—2带入上述函数的到x =2,y2 =-1(-2, -1)即交点坐标为（1,2）练习2j = x1 +3x4-4 Y求歹2=一兀一 1 解：令=?2得交点即x~ + 3x + 4 = —x— I解方程：无解分析：无解说明没有X能满足必=旳也就是没有交点如何能在不计算的情况判断函数有无交点。

二次函数和一次函数交点问题

课题：一次函数与二次函数的交点及交点的判断目的：掌握一次函数与二次函数的交点坐标的算法会用判别式判断一次函数与二次函数有无交点初步认识函数图像中的集合问题重点：一次函数与二次函数的交点坐标的计算难点：理解函数交点坐标的意义课时：一课时：过程引入看函数图像通过函数特点，性质求解读式(1)通过解读式画函数图像(2)两点通过观察发现在同一坐标系当中图像相交于A,C 像这种图像相交点经常会应用到三点构成三角形OAC,如果要求例如：连接OC O,A,C 三角形OAC的面积应该如何求解呢根据。

1y?OAS??c2点的坐标就可以求出三角形OAC的面积只要求出C新课一．求交点坐标分析交点坐标的特点：202??4x?y?2x1x=1时A（1,0）是两函数的交点，该点的意义在于：当例如y?2x?2?02y?y?纵坐标?0即21上式说明：当x=1时两函数值是相等的。

y?y?纵坐标y?y?纵坐标推导：，推导出函数的横坐标，如果让21212纵坐标??2?x2?2x2x?4即：22?2?2x?2x?4x观察是一个一元二次方程yy?y?y的未知数，所以只要解出方程的根就是满足x是满足的横坐标21212?4x?2?2x?2x220??462x?x移项得到：0)?)(?(x1x2?因式分解：2??1,xx解根为210??1带入任意一个函数得到y把x即坐标为（1,0）1101带入任意一个函数得到y?把x?即坐标为（2,2）11由此得到交点坐标的方法：?>0（两个交点）1：令两函数值相等（解读式等）??=0（一个交点）：2?<0（无交点）3：解出等式的未知数x4：把未知数x的值带入两函数任意一个（一般是一次函数）5：写出交点坐标（x，y）二．练习121??2y?xx1y?x?12解：2y?y1??x?x2x?1令即212?x?x?1,解方程：211???2,y?x?1,x?2y带入上述函数的到把2211-1）（-2，1,2即交点坐标为（）练习22?3xx?4y?1y??x?1得交点求2解：2yy?1?4??xx?3x?即令21解方程：无解y?y也就是没有交点分析：无解说明没有x能满足21如何能在不计算的情况判断函数有无交点。

二次函数和一次函数的综合应用

二次函数和一次函数的综合应用二次函数和一次函数是数学中常见的函数类型，它们在实际问题的解决中具有广泛的应用。

二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，一次函数的一般形式为y=mx+n。

在本文中，将探讨二次函数和一次函数的综合应用，并通过实际问题的例子，说明它们在现实生活中的应用价值。

1. 抛物线的模型应用二次函数可以用来建立抛物线的模型，抛物线在现实生活中的应用非常广泛。

例如，在物理学中，当考虑抛体在空中自由落体运动时，可以使用二次函数来描述物体的运动轨迹。

另外，抛物线也可用于炮弹的射程计算、杆塔的线拉力计算等工程问题。

2. 二次方程的求解二次函数与二次方程密切相关，二次方程是二次函数的零点问题。

二次方程的求解是解决许多实际问题的基础。

例如，在物理学中，当考虑自由落体运动时，可以通过求解二次方程来计算物体的时间、速度等参数。

在经济学中，二次方程可以用来解决成本、收益、利润等问题。

在工程领域中，二次方程可以应用于建筑、设计、模拟等方面。

3. 直线与曲线的交点问题一次函数和二次函数之间的交点问题是实际生活中常见的问题。

例如，在经济学中，我们可以通过求解一次函数和二次函数的交点，来分析生产成本与产量之间的关系，或者评估销售利润和销售数量之间的关系。

在几何学中，我们可以通过求解二次函数与一次函数的交点，来解决线段和抛物线的交点问题。

4. 最优化问题二次函数和一次函数也常用于解决最优化问题。

例如，在经济学中，我们可以通过建立成本函数和收益函数来优化生产和经营决策。

通过研究二次函数的顶点来确定最大值或最小值。

在物理学中，最优化问题也广泛应用于动力学、力学等领域。

综上所述，二次函数和一次函数的综合应用非常重要，并在许多领域中发挥着重要的作用。

通过建立模型、求解方程、分析交点和解决最优化问题，我们可以利用二次函数和一次函数来解决现实生活中的实际问题。

这些方法不仅在学术研究中有重要意义，也对我们的日常生活产生了积极的影响。

二次函数与一次函数结合问题

二次函数与一次函数结合问题二次函数与一次函数相结合的专题一、知识点1、二次函数的解析式求解：（待定系数法）①一般式法：设二次函数为y=ax²+bx+c(a≠0)使用这种方法求解时，通常题目会告诉我们二次函数经过几个点的坐标。

需要知道a、b、c的值，要求出三个点的坐标，如果只知道两个系数，则需要两个点的坐标，如果只知道一个系数，则需要一个点的坐标。

将坐标代入函数，然后求解方程组得到系数，就可以得到解析式。

例如：已知二次函数y=ax²+bx+c（a、b、c为常数）的图像经过三点A（2,0），B（4，-6），C（1，-2），求这个二次函数的解析式。

解：将A（2,0），B（4，-6），C（1，-2）代入y=ax²+bx+c，得到三个方程：①4a+2b+c=0②16a+4b+c=-6③a+2b+c=-2解方程组得到a=-1，b=5，c=-6，因此二次函数的解析式为y=-x²+5x-6.②顶点式法：设二次函数为y=a(x-h)²+k(a≠0)使用这种方法求解时，通常题目会告诉我们对称轴和顶点坐标。

在所设的函数中，对称轴就是x=h，因此顶点坐标是（h，k）。

只要告诉我们二次函数的顶点坐标，那么就知道了h和k两个未知数（a，h，k）的值。

需要再告诉我们函数上一个点的坐标就可以求出a，即求出了解析式。

例如：已知某二次函数的顶点坐标为（1,5），且该函数经过点A（0,7），求这个二次函数的解析式。

解：由题意，可设该二次函数为y=a(x-1)²+5，因为函数经过点A（0,7），将A（0,7）代入函数得到：a(-1)²+5=7因此，a=2，所以二次函数的解析式为y=2(x-1)²+5，即y=2x²-4x+7.③交点式法：设二次函数为y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)使用这种方法求解时，通常题目会告诉我们某二次函数与x轴的两个交点的坐标。