《概率论与统计原理》、《概率与统计原理》期末复习资料121220

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概率论与数理统计期末必备复习资料

上的概率。
浙江师范大学 23
分布函数
F ( x)的性质：
(1) 0 F(x) 1, F() lim F(x) 0, F() lim F(x) 1
x
x
(2)F(x)是一个不减函数
Q 0 P(x1 X x2 ) F (x2 ) F (x1)
(3)对于离散型随机变量，若分布律为 P{X xk} pk
则其分布函数 F(x) P{X x} P{X xk} xk x
浙江师范大学 24
概率密度
定义：对于随机变量X的分布函数 F (x), 若存在
非负的函数 f (x), 使对于任意实数 x, 有：
x
F (x) f (t)dt
则称X为连续型随机变量，其中f (x) 称为X的概率密度函数，简称概率密度。
2. 等可能概型中事件概率的计算公式：
P A k
n n为随机试验的总的结果数，即样本点的总数，k为事件A包含的结果数。
浙江师范大学 8
条件概率
1. 定义：事件A已发生的条件下事件B发生的概率，称为条件概率，记为P(B|A)。
例将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正面的情况，设 A={至少有一次为正面H}，B={两次掷出同一面}，求P(B|A)
对随机实验，若样本空间只包括两个元素，即
S {e1, e2}，则一定能在S上定义一个服从(0-1)分布

《概率论与数理统计》期末考试复习公式总结

第一章

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

特别地，当A 、B 互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式

概率的乘法公式

全概率公式：从原因计算结果

Bayes 公式：从结果找原因

第二章

二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)

)

()()|(B P AB P B A P =

)|()()(B A P B P AB P =)

|()(A B P A P =∑==n

k k k B A P B P A P 1)

|()()(∑==

k k

i i k B A P B P B A P B P A B P 1

)

|()()

|()()|(

泊松分布——X~P(λ)

概率密度函数

怎样计算概率

均匀分布X~U(a,b)

指数分布X~Exp(θ)

分布函数

对离散型随机变量

对连续型随机变量

分布函数与密度函数的重要关系：

二元随机变量及其边缘分布

),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...)

1,0(!

)(==

=-k e k k X P k

，λλ1

)(=⎰

+∞

∞

-dx x f )

(b X a P ≤≤⎰=≤≤b

dx x f b X a P )()()0(1)(/≥=-x e x f x θ

∑≤==≤=x

k k X P x X P x F )

()()(⎰∞

-=≤=x dt t f x X P x F )()()(⎰∞-=≤=x dt t f x X P x F )()()()

()()(,Y E X E XY E Y X =独立时与当)

概率论与数理统计期末考试复习资料

必然事件和不可能事件?与任何事件都相互独立。 ?与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、B、C 相互独立。
二项分布在n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为0,1,2,, n 。
P( X

k)

Pn(k )

C
k n
p k q nk
，
其中
q 1 p,0 p 1, k 0,1,2,, n ，
则称随机变量 X 服从参数为n ，p 的二项分布。记为 X ~ B(n, p) 。
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同
（9）几时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称何概型此随机试验为几何概型。对任一事件 A，
P(A) L(A) 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。
L()
（10） P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
B：A=B。
（6）事 A、B 中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。

概率论与数理统计期末考试复习资料

泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
超几何分布几何分布
均匀分布
随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为
H(n,N,M)。
P(X k) qk1 p, k 1,2,3, ，其中 p≥0，q=1-p。
随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。
事件试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，
它具有如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
（5）基本事件、样本空间和事件
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母 A，B，C，…表示事件，它们是的子集。为必然事件，?为不可能事件。
积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P(X xk) pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
设 X 为随机变量，x 是任意实数，则函数称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
P(a X b) F(b) F(a) 可以得到 X 落入区间(a,b] 的概
F (x) ?记0,住积分公式：x<0。

概率论与数理统计期末必备复习资料共80页

43、重复别人所说的话，只需要教育；而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、Leabharlann Baidu越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
概率论与数理统计期末必备复习资料
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自己。——德国

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(wenku.baidu.com)几何
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，贝IJ称此随机试验为几何概型。对廿事件A,
P(A) =誥。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。
(10)加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)=()时，P(A+B)=P(A)+P(B)
分布，所以((M)分布是一项分布的特例。
泊松分布
设随机变量X的分布律为
P(X =Q = +宀几>0, &=0丄2…，k!
贝9称随机变量X月臥参数为兄的泊松分布，记为
X〜;F(/l)或者卩(几)。
泊松分布为二项分布的极限分布(叩=儿n-oo)。
超几何分布
,Ct• CT k=0丄2…」
P(X_ 灯 _m,
一个事件就是由G中的部分点（基本事件巧组成的集合。通常用大写~r母&艮C,…表示事件，匕们是。的十集。
G为必然事件，0为不可能事件。
不可能事件（0）的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Q）的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）
的关系与
①^系：
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（月发生必薛件B发生）：AuB

概率论与数理统计期末复习资料

概率统计、概率论与数理统计、随机数学课程

期末复习资料

注：以下是考试的参考内容,不作为实际考试范围,考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考;

1、能很好地掌握写样本空间与事件方法,会事件关系的运算,了解概率的古典定义

2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义

3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式

4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质;

5、理解随机变量的概念,能熟练写出0—1分布、二项分布、泊松分布的分布律;

6、理解分布函数的概念及性质,理解连续型随机变量的概率密度及性质;

7、掌握指数分布参数λ、均匀分布、正态分布,特别是正态分布概率计算

8、会求一维随机变量函数分布的一般方法,求一维随机变量的分布律或概率密度;

9、会求分布中的待定参数;

10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数,会判别随机变量的独立性;

11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算;

12、理解二维随机变量的概念,理解二维随机变量的联合分布函数及其性质,理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质,理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质,并会用它们计算有关事件的概率;

13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法;

14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差;会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差;

15、较熟练地求协方差与相关系数.

16、了解矩与协方差矩阵概念;会用独立正态随机变量线性组合性质解题;

概率论期末考试复习题及答案

第一章

1.设P （A ）=

31，P （A ∪B ）=21

，且A 与B 互不相容，则P （B ）=____6

1_______.

2. 设P （A ）=

31，P （A ∪B ）=21

，且A 与B 相互独立，则P （B ）=______4

1_____.

3．设事件A 与B 互不相容，P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，则P （B A ⋃）=___0.5_____. 4．已知P （A ）=1/2，P （B ）=1/3，且A ，B 相互独立，则P （A B ）=________1/3________. A 与B 相互独立

5．设P （A ）=0.5，P （A B ）=0.4，则P （B|A ）=___0.2________.

6．设A ，B 为随机事件，且P(A)=0.8，P(B)=0.4，P(B|A)=0.25，则P(A|B)=____ 0.5______．

7．一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为一红一黑的概率是________ 0.6________．

8．设袋中装有6只红球、4只白球，每次从袋中取一球观其颜色后放回，并再放入1只同颜色的球，若连

取两次，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率等于____12/55____.

9．一袋中有7个红球和3个白球，从袋中有放回地取两次球，每次取一个，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率p=___0.21_____.

10．设工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂产量的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%.求：（1）从该厂生产的产品中任取1件，它是次品的概率； 3.5% （2）该件次品是由甲车间生产的概率.

概率论与统计原理复习资料全

《概率论与统计原理》复习资料

一、填空题

1、设A，B，C为三个事件，则下列事件“B发生而A与C至少有一个发生”，“A，B，C中至少有两个发生”，“A，B，C中至少有一个发生”，“A，B，C中不多于一个发生”，“A，B，C中恰好有一个发生”，“A，B，C中恰好有两个发生”分别可表示为、、、、、。

参考答案：

B（A+C，AB+AC+BC，A +B+C，C

B+B

A+C

A，AB C+AC B+A BC，AB

A+C

考核知识点：事件的关系及运算

2、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，则“两个数之和为3”、“两个数之和为17”、“两个数相同”的概率分别为、、。

参考答案：0.04，0.02，0.1

考核知识点：古典型概率

3、同时抛掷3枚均匀的硬币，则3枚正面都向上的概率为，恰好有2枚正面向上的概率为。

参考答案：1/8，3/8

考核知识点：古典型概率

4、箱中有60个黑球和40个白球，从中任意连接不放回取出k个球，则第k次取出黑球的概率为。

参考答案：0.6

考核知识点：古典型概率

5、假设某商店获利15万元以下的概率为0.9，获利10万元以下的概率为0.5，获利5万元以下的概率为0.3，则该商店获利5~10万元的概率为，获利10~15万元的概率为。

参考答案：0.2，0.4

考核知识点：概率的性质

6、设袋中有6个球，其中4白2黑。用不放回两种方法取球，则取到的两个球都是白球的概率为；取到的两个球颜色相同的概率为；取到的两个球中至少有一个是白球的概率为。

参考答案：0.4，7/15，14/15

《概率论与统计原理》、《概率与统计原理》期末复习资料130314

概率与统计原理

一、填空题

1、设A ，B ，C 为三个事件，则下列事件“B 发生而A 与C 至少有一个发生”，“A ，B ，C 中至少有两个发生”，“A ，B ，C 中至少有一个发生”，“A ，B ，C 中不多于一个发生”，“A ，B ，C 中恰好有一个发生”，“A ，B ，C 中恰好有两个发生”分别可表示为、、、、、。参考答案： B （A+C ，AB+AC+BC ，A +B +C ，

A +

B +

A ，AB

+AC

BC ，

BC A +C B A +C AB

2、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，则“两个数之和为3”、“两个数之和为17”、“两个数相同”的概率分别为、、。

参考答案：0.04，0.02，0.1 考核知识点：古典型概率，参见P11

3、同时抛掷3枚均匀的硬币，则3枚正面都向上的概率为，恰好有2枚正面向上的概率为。

参考答案：1/8，3/8 考核知识点：古典型概率，参见P11~P13

4、箱中有60个黑球和40个白球，从中任意连接不放回取出k 个球，则第k 次取出黑球的概率为。

参考答案：0.6 考核知识点：古典型概率，参见P13

参考答案：0.2，0.4 考核知识点：概率的性质，参见P16~P17 6、设袋中有6个球，其中4白2黑。用不放回两种方法取球，则取到的两个球都是白球的概率为；取到的两个球颜色相同的概率为；取到的两个球中至少有一个是白球的概率为。参考答案：0.4，7/15，14/15 考核知识点：古典型概率和概率的性质，参见P18~P19

概率论期末复习知识点

知识点

第一章随机事件与概率

本章重点：随机事件的概率计算． 1．**事件的关系及运算 (1) A B ⊂(或B A ⊃)．

(2) 和事件： A B ⋃； 12n A A A ⋃⋃⋃（简记为1n

i A =）．

(3) 积事件： AB ， 12n A A A ⋂⋂

⋂（简记为12

n A A A 或1

i A =)．

(4) 互不相容：若事件A 和B 不能同时发生，即AB φ= (5) 对立事件： A ．

(6) 差事件：若事件A 发生且事件B 不发生，记作A B -(或AB ) ．

(7) 德摩根（De Morgan ）法则：对任意事件A 和B 有

A B A B ⋃=⋂, A B A B ⋂=⋂.

2． **古典概率的定义古典概型：

()A n A P A n =

Ω中所含样本点的个数中所含样本点的个数．

几何概率

()A P A =

的长度（或面积、体积）

样本空间的的长度（或面积、体积）·

3．**概率的性质 (1) ()0P φ=．

(2) (有限可加性) 设n 个事件

1,2,

,n A A A 两两互不相容，则有

121

()()

n i i P A A A P A =⋃⋃

⋃=∑．

(3)()1()P A P A =-．

(4) 若事件A ，B 满足A B ⊂，则有

()()()P B A P B P A -=-,

()()P A P B ≤．

(5) ()1P A ≤．

(6) (加法公式) 对于任意两个事件A ，B ，有

()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-.

对于任意n 个事件

1,2,

,n A A A ，有