波色统计和费米统计
量子光学实验习题
量子光学实验习题量子光学是研究光作为粒子（光子）的性质和行为的学科。
在量子光学领域，我们探索着光子的波粒二象性、光子之间的量子纠缠、光与物质之间的相互作用等重要问题。
为了深入理解量子光学的基本概念和实验技术，下面将提出几道习题，希望读者能够思考并解答。
习题一：波粒二象性1. 解释光的波粒二象性是什么意思？2. 请列举一些证明光的波粒二象性的实验证据。
习题二：光子统计1. 什么是玻色统计和费米统计？2. 请简要阐述为什么光子服从玻色统计。
习题三：量子纠缠1. 解释量子纠缠现象是什么。
2. 描述一个量子纠缠的实验过程。
习题四：相干与干涉1. 解释相干性在光学中的重要性。
2. 描述一个干涉实验并说明产生干涉条纹的原因。
习题五：光与物质相互作用1. 解释光与物质相互作用的基本原理。
2. 举例说明光与物质相互作用的应用。
解答一：波粒二象性1. 光的波粒二象性指的是光既可以表现出波动性，如干涉和衍射现象，又可以表现出粒子性，如光子的能量量子化。
2. 证明光的波粒二象性的实验证据包括双缝干涉实验、单缝衍射实验、康普顿散射实验等。
解答二：光子统计1. 玻色统计和费米统计描述了粒子的行为概率。
玻色统计适用于由整数自旋的粒子组成的系统，如光子；费米统计适用于由半整数自旋的粒子组成的系统，如电子。
2. 光子服从玻色统计是因为光子是无质量的粒子，不受泡利不相容原理的限制，可以占据同一个量子态。
解答三：量子纠缠1. 量子纠缠指的是在量子系统中，两个或多个粒子之间的状态相互依赖，无法用单个粒子的状态来描述。
2. 量子纠缠的实验过程可以包括将两个纠缠粒子分开，然后对其中一个进行测量，测量结果会瞬间传递到另一个粒子上，使其纠缠状态发生变化。
解答四：相干与干涉1. 相干性在光学中非常重要，它决定了干涉现象的出现。
相干性表示光波振动的一致性，包括相位和幅度的一致性。
2. 干涉实验可以通过将光分为两束，经过不同路径再次交叉，观察光的叠加效果来实现。
量子力学中的粒子统计描述粒子的统计行为
量子力学中的粒子统计描述粒子的统计行为量子力学是描述微观粒子行为的理论框架，它通过统计描述的方式来揭示粒子的行为和性质。
粒子统计描述是量子力学中的一个重要概念，通过它我们可以了解粒子在微观尺度上的行为规律。
本文将介绍两种主要的粒子统计描述，即玻色-爱因斯坦统计和费米-狄拉克统计，并探讨其在实际物理系统中的应用。
一、玻色-爱因斯坦统计玻色-爱因斯坦统计适用于具有完全相同性质的粒子，这类粒子被称为玻色子。
玻色子不受泡利不相容原理的限制，可以存在于相同的量子态。
根据玻色-爱因斯坦统计，每个玻色子的量子态服从玻色-爱因斯坦分布。
玻色-爱因斯坦分布描述了玻色子在不同量子态上的分布情况。
对于一维动能为E的量子态，玻色-爱因斯坦分布的概率函数为：P(E) = (e^(E/(kT))-1)^(-1)其中，k是玻尔兹曼常数，T是系统的温度。
这个分布函数表明，当温度趋近于绝对零度时，具有更低动能的量子态更有可能被占据，从而形成玻色-爱因斯坦凝聚。
玻色-爱因斯坦凝聚是玻色子在低温下进入同一量子态的现象。
在这种凝聚态中，大量的玻色子共享同一量子态，形成波函数的宏观相干性。
这种现象在超流体和玻色-爱因斯坦凝聚气体等领域具有重要的应用，如量子计算、量子通信等。
二、费米-狄拉克统计费米-狄拉克统计适用于具有半整数自旋的粒子，这类粒子被称为费米子。
根据泡利不相容原理，同一个量子态只能容纳一个费米子，这导致费米子之间的排斥作用。
费米-狄拉克统计描述了费米子在不同量子态上的分布情况。
费米-狄拉克分布函数描述了费米子在不同能级上的分布概率。
对于一维动能为E的量子态，费米-狄拉克分布的概率函数为：P(E) = 1 / (e^(E/(kT)) + 1)该分布函数表明，当温度趋近于绝对零度时，具有更低动能的费米子更有可能被占据。
费米-狄拉克统计在凝聚态物理和核物理等领域有广泛的应用。
例如，在金属中，费米-狄拉克统计解释了导电电子的行为。
由于电子的自旋为1/2，符合费米子统计，所以金属中的电子遵循费米-狄拉克统计。
费米统计和玻色统计
1. 费米统计 量子统计给出，费米子系统在温度 T 的平衡 态下，能量为 E 的量子态上的平均粒子数：
N (E) = 1 e
( E − μ ) / kT
+1
— 费米 — 狄拉克统计
N(E) 1 0.5 0 EF
μ = μ (T) — 粒子化学势
EF = μ (0) — 费米能量 T 不太高时，μ (T) ≈ EF
±1
≈e
− ( E − μ ) / kT
=e
μ / kT
⋅e
− E / kT
= A(T )e − E / kT
— 麦克斯韦 — 玻耳兹曼统计 所以高能态时，量子统计就过渡到经典的 麦克斯韦 — 玻耳兹曼统计。
Hale Waihona Puke 2. 玻色统计 量子统计给出，玻色子系统在温度 T 的平衡 态下，能量为 E 的量子态上的平均粒子数：
N (E) = 1 e ( E − μ ) / kT − 1
— 玻色 — 爱因斯坦统计 对所有温度 T ，N(E) 应满足 0 ≤ N(E) < ∞ ， 由此可引出玻色 — 爱因斯坦凝聚的概念。
设最低能级（基态）为能量零点：E0 = 0， 1 N 0 = N ( E 0 ) = − μ / kT e −1 T → 0K 时，要求 0 ≤ N0 < ∞ ， 则有 μ < 0 。
原子速度分布逐渐达到BEC的三维示意图 1995年实现了超冷原子的BEC，达到了宏观数量的 原子处于同一量子态（2001 Nobel）。 BEC实现了 原子相干，可做成原子干涉仪和量子频标等。
3. 量子统计到经典统计的过渡 当 E 很高时，(E−μ) >> kT
N (E) = 1 e
热力学 统计物理：第八章 玻色统计和费米统计
y
y l
e l • ( ) • ( l )
1
[ y
l
l
ln(1 e l
)]
1
l
l
y 1 e l
l
l l
e l 1 y
Y 1 ln p 1 ln
y
V
N ln
U ln
Y 1 ln
y
dN d ( ln )
dU d ( ln )
Ydy 1 ln dy
U ln ln[ (1 e l )l ]
l
[
l
l ln(1 e l )]
l
l
e l • ( l )
1 e l
l
ll
e l 1
广义力Y是 l 的统计平均值：
y
Y
l
l
y
al
l
l l
e l 1 y
Y也可通过配分函数求得：
Y 1 ln 1 ln[ (1 e l )l ]
y
(dU Ydy dN ) d ( ln ) ln dy d ( ln )
y
(dU Ydy dN ) d ( ln ) ln dy d ( ln )
y
d ( ln ) ln • d ln • d ln dy d ( ln ) ln • d ln • d
e l 1
在实际应用中，两种分布的区别在于将和看作已知常量（开系条件
的平均分布），还是将N和U看作已知常量（孤立系统的最概然分布）。
说明： 本节推导玻色系统和费米系统热力学量的 统计表达式时，采用平均分布观点，也就
是将、和y（粒子能量含外参量y）看作 已知参量，而将热力学量表达为、和y的
函数。
回顾：
第8章 玻色统计和费米统计 《热力学统计物理》
利用
1 U ln Y ln N ln y
ln ln ln (dU Ydy dN ) d ( ) dy d ( ) y
ln ln ln ln d ( ) d ln d d d ( )
12
2 mkT 3 2 1 g( ) Ve [1 3 2 e ] （8.2. 6） 2 h 2
2V x 32 U g 3 (2mkT) x dx h 1 0 e
32
3 2 mkT 3 2 1 g ( ) VkTe [1 5 2 e ] （8.2. 7） 2 2 h 2
第八章 玻色统计与费米统计 14
(2) 费米系统
引入费米系统的配分函数
l [1 e
l l
l l
]
ln l ln(1 e l )
l
通过和玻色系统相似的运算，得到的热力学量的 统计表达式与玻色系统热力学量的统计表达式完全相 同。
第八章 玻色统计与费米统计 15
第八章 玻色统计与费米统计 23
将玻耳兹曼分布所得的结果
e
N h 32 1 ( ) V 2m kT g
2
2
作为零级近似代入上式，表示为经典极限条件的形式
3 1 1N h 32 U NkT [1 ( ) ] 2 4 2 g V 2m kT
3 1 3 U NkT[1 n ] 2 4 2g
1 (dU Ydy dN ) ds T
ln ln (dU Ydy dN ) d (ln ) ln ln dS kd (ln )
玻色统计和费米统计
第八章 玻色统计和费米统计
复习. Boltzmann 统计，玻色统计和费米统计。
玻耳兹曼系统：粒子可以分辨，每一个个体量子态能够容纳的粒 子数不受限制。 玻色系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态能够容纳的粒子数 不受限制。 费米系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态最多能够容纳一个 粒子。
玻耳兹曼统计是假设系统由大量全同近独立的粒子组成， 具有确 定的粒子数 N ，能量 E ，体积 V . 能级： 简并度: 离子数:
al
ωl
<< 1 ，
又叫做非
简并条件）都遵从玻耳兹曼分布。不满足上述条件的系统遵从玻 色统计分布或者费米统计分布。
玻色统计分布满足
al =
ωl
e
α + β El
−1
， 费米统计分布满足。 al
= E 确定。
=
ωl
e
α + β El
+1
系数 α 与 β 由 ∑ al = N 与
l
∑a E
l l
l
8.1 热力学量的统计表达式
U=
V π 2c3
∞
∫
0
ηω 3 dω e
ηω kT
=
π 2k 4
15c η
3 3
VT 4 。
−1
和热力学结果一致，区别在于热力学中比例系数由实验确定。而 统计物理可以直接求出比例系数。 2．由普朗克公式看出，辐射场的内能密度 U (ω , T ) 随频率 ω 的分布 有一个极大值 ω m ， 用数值计算方法可以求得 出 ω m 与温度成正比，这就是维恩位移定理。
S = k (ln Ζ + βU ) =
U
平衡辐射的通量密度 J u 与内能
热学-统计物理12 第 1 2章 玻色统计和费米统计
取对数
(l al 1)! l al!(l 1)!
ln [ln(l al 1)! ln(l 1)! ln al!]
l
al 1,l 1
ln [ln(l al )! ln l! ln al!]
l
由斯特令公式，得：
k
所以
dU Ydy d N 1 d[k(ln ln ln )]
k
而对于经典热力学中的简单系统，
dU TdS pdV dN
（ u 是单个粒子的化学势, PdV Ydy )
即 dU Ydy d N TdS
3
U
l
ll
l
ll
e l 1
g
2V
h3
3
(2m) 2
2d
0 e 1
引入变量 x βε ，并将上两式改写为
1
N
g
2V
h3
3
(2mkT) 2
x 2dx 0 e x 1
3
U
g
2V
h3
3
(2mkT) 2 kT
0
时，需要采取玻色统计或费米统计的方法来处理。微观粒 子全同原理决定了二者与玻耳兹曼系统不同的宏观性质。
12.1.2 玻色系统
1.系统的平均总粒子数
如果把α,β 和 y 看作由实验确定的参量，系统的平均
总量子数可由下式给出：
N
l
al
l
ωl eα βεl 1
引入巨配分函数
l [1 e ] l l
玻尔兹曼分布,玻色分布,和费米分布的关系
玻尔兹曼分布,玻色分布,和费米分布的关系
玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布是统计物理中描述粒子分布的三种基本分布。
玻尔兹曼分布是描述经典粒子在能量状态间的分布情况的分布函数。
根据玻尔兹曼分布，粒子在不同能级上的分布概率与能级的能量成反比。
玻色分布是描述玻色子（具有整数自旋）的分布情况的分布函数。
根据玻色分布，玻色子能够在同一能级上具有任意多个粒子，并且各个粒子之间没有排斥作用。
费米分布是描述费米子（具有半整数自旋）的分布情况的分布函数。
根据费米分布，费米子不能在同一个能级上具有多个粒子，并且各个粒子之间存在排斥作用。
三种分布函数在经典极限情况下可以相互转化。
当粒子间的相互作用很弱或忽略不计时，玻色分布和费米分布在高温极限下会趋向于玻尔兹曼分布。
而在低温极限下，玻尔兹曼分布则趋向于费米分布（保守统计中的玻尔兹曼-玻色平衡）。
综上所述，玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布是三种不同情况下的统计分布，它们在特定条件下可以相互转化或者趋于相似的分布模式。
费米狄拉克统计和玻色爱因斯坦统计
费米狄拉克统计和玻色爱因斯坦统计费米狄拉克统计和玻色爱因斯坦统计是两种用于描述粒子统计行为的统计方法。
它们分别适用于费米子和玻色子，这两种粒子在量子力学中具有不同的交换行为和性质。
了解它们的差异对于研究粒子的行为以及理解宏观物理现象至关重要。
一、费米狄拉克统计费米狄拉克统计是描述费米子统计行为的一种统计方法。
费米子是一类具有半整数自旋的粒子，例如电子、质子和中子等。
狄拉克统计的主要特点是：每个量子态只能由一个费米子占据，不同费米子之间不能占据相同的量子态。
这种排斥行为称为泡利不相容原理，它导致了费米子在填充能级时的特殊性质。
对于费米子系统，它们的能级填充遵循费米-狄拉克分布函数。
费米-狄拉克分布函数表示了在温度为T的热平衡下，粒子占据能级的概率。
在零温下，费米子会填充最低的能级，而在有限温度下，费米子的填充受到波尔兹曼因子的影响。
二、玻色爱因斯坦统计玻色爱因斯坦统计是描述玻色子统计行为的统计方法。
玻色子是一类具有整数自旋的粒子，例如光子、声子和玻色凝聚中的声子等。
相比于费米子，玻色子具有不同的交换行为，允许多个玻色子占据相同的量子态。
玻色爱因斯坦统计的特点是，可以有多个玻色子处于同一能级上，而且他们之间的交换不会对系统的状态产生影响。
当玻色子系统处于热平衡时，玻色-爱因斯坦分布函数描述了粒子占据能级的概率分布。
在更低的温度下，玻色子会聚集在能级的基态上，形成玻色凝聚。
三、费米狄拉克统计和玻色爱因斯坦统计的应用费米狄拉克统计和玻色爱因斯坦统计在理论物理和实验物理研究中有广泛的应用。
它们被用来描述固体材料的电子结构、理解物质的热力学性质以及研究凝聚态物理中的相变和超流性等现象。
在固体物理学中，费米狄拉克统计用来解释电子在晶格中的分布，特别是在导体中的电子行为。
根据费米狄拉克统计，能带中的电子填充遵循泡利不相容原理，因此解释了为什么导体具有电流传导的性质。
而在玻色爱因斯坦统计方面，光子是一种典型的玻色子。
玻色湮灭和费米子分布的区别
玻色湮灭和费米子分布的区别在量子物理学中，存在两种不同类型的粒子：玻色子和费米子。
这两种粒子之间最大的区别在于它们的统计行为。
玻色子具有玻色-爱因斯坦统计，而费米子具有费米-狄拉克统计。
这种统计行为导致了在相同的能级下，玻色子和费米子的分布方式有所不同。
本文将简要介绍玻色湮灭和费米子分布的区别。
一、统计方法不同玻色-爱因斯坦统计和费米-狄拉克统计是两种不同的统计方法。
在玻色-爱因斯坦统计中，多个粒子可以占据相同的量子态，而在费米-狄拉克统计中，每个粒子只能占据唯一的量子态。
二、玻色子和费米子基态能级不同在相同的温度和体积下，玻色子和费米子的基态能级不同。
玻色子可以聚集在相同的基态能级中，形成所谓的玻色-爱因斯坦凝聚态，而费米子必须占据不同的基态能级。
这种分布方式导致，玻色子可以形成大规模的凝聚态，而费米子只能在很小的尺度上形成凝聚态。
三、处理方式不同在处理玻色子和费米子的问题时，需要采用不同的数学处理方法。
对于玻色子，可以采用玻色算子来描述其行为。
而对于费米子，则需要采用费米算子。
这种数学处理方式进一步反映出玻色子和费米子的统计行为的差异。
四、体系行为不同玻色子和费米子的统计行为直接影响了它们所处体系的行为。
对于玻色子，由于它们可以聚集在相同的基态能级中，所以是一种自发对称破缺体系，其表现出了宏观量子现象，如超流和玻色-爱因斯坦凝聚态等。
而费米子则表现出了泡利不相容原理，即两个具有相同自旋的费米子不能在同一个量子态中。
综上所述，玻色湮灭和费米子分布的区别主要在于它们的统计行为不同，基态能级不同，数学处理方式不同以及体系行为不同。
这些区别不仅在理论物理学中有着重要的应用，在其他领域中，例如量子信息处理中，也有着重要的意义。
统计物理10-第八章
l
e
l
配分函数的
含义和求法
热力学量的 统计表达式
单原子分子 固体的
理想气体
热容量
分 布
al
l
e kT 1
光子气体μ=0
推导普朗克 公式和内能
分 布
al
l
e kT 1
自由电子气体
0K时费米系 统的性质
一、基本框架
热力学小结
热运动的 宏观理论
热
平衡态理论
力
研究方法：由观
学
察和实验归纳出 的热力学的基本
p N ln Z1
V
开系的热力 学基本方程
dU TdS Ydy dN
dS 1 (dU dN Ydy)
T
S k(U N ln )
1
kT
kT
S k ln
粒子化学势
玻尔兹曼 关系式
S k ln
玻尔兹曼 关系式
对三种系统普遍适用！ 对非平衡态同样适用！
熵的统计意义 熵是系统微观粒子作无规则运动混乱程度的量度。
第八章 玻色统计和费米统计
§8.1 热力学量的统计表达式 §8.2 光子气体
§8.3 金属中的自由电子气体
§8.1 热力学量的统计表达式
一、玻色和费米系统的巨配分函数
A 0
al
l
e l
A
A A
1 1
M-B分布 B-E分布 F-D分布
l
Ξ
1 Ae l A
l
巨配分函数
ln l ln(1 Ae l )
非平衡态理论
定律 。
热力学小结
二、基本知识点
推导maxwel关
系
化学势的概念 开系的热力学基本
第八章 波色统计和费米统计
必有可观数目粒子出现在零能
级。 ——玻色—爱因斯坦凝聚。
热统
22
Tc
2
(2.612)2/ 3
2 mk
n2/ 3
因此，为了容易实现玻色－爱因斯坦 凝聚，需要提高临界温度。 为此，要提高气体密度，减小气体粒 子质量。
二、热力学量 T<T c时
n
2
h3
(2m)3/ 2
0
1/ 2d
e kT 1
热统
25
§8.4 光子气体
一、光子气体特性
光子——辐射场能量的量子化，自旋 1－玻色子。 平衡辐射场中，光子数不守恒。
空窖壁不断吸收和发射光子，保持能量守恒，但光子能量 有高有低，发射光子平均能量高发射光子数目少，被吸收的 光子平均能量低，被吸收的光子数目就多，因此不要求光子 数守恒。
光子气体服从玻色分布
l
l
l
S k(ln U N )
？ k ln F.D k( l lnl al lnal (l al ) ln(l al ))
l
l
l
热统
11
al
l
e l
1
e l l al
al
l
ln l al
al
1 e l l l al
ln l ln(1 e l )
l
l
ln
0
N
g(
2m kT
h2
)3
/
2Ve
(1
1 23/ 2
e )
热统
14
内能
U D( )a( ) d 0
3 2
g
(
2mk
h2
T
)3
/
量子力学中的量子力学中的光子统计
量子力学中的量子力学中的光子统计量子力学中的光子统计量子力学是描述微观粒子行为的理论，它的发展与应用对于现代科学和技术产生了重大影响。
在量子力学中，光子是一种基本的粒子，也是电磁波的量子，它的统计行为对于理解光的性质以及与物质的相互作用至关重要。
本文将介绍光子的统计性质，包括玻色-爱因斯坦统计和费米-狄拉克统计。
1. 玻色-爱因斯坦统计玻色-爱因斯坦统计适用于粒子之间不存在排斥作用的情况，也就是说，多个粒子可以同时占据同一个量子态。
根据玻色-爱因斯坦统计，光子是玻色子，因此多个光子可以处于同一个状态，它们可以组成光束，形成强度叠加的现象。
玻色-爱因斯坦统计可由玻色分布函数来描述。
对于温度为T的光子气体，玻色分布函数如下：n(E) = [exp(E/kT) - 1]^-1其中，n(E)表示能量为E的状态上平均光子数，k为玻尔兹曼常数，T为温度。
从公式中可以看出，当温度接近绝对零度时（T → 0），玻色分布函数趋向于无穷大，即光子会尽可能占据能量最低的状态，这就是所谓的玻色-爱因斯坦凝聚现象。
2. 费米-狄拉克统计费米-狄拉克统计适用于粒子之间存在排斥作用的情况，也就是说，同一个量子态最多只能有一个粒子占据。
根据费米-狄拉克统计，电子是费米子，因此多个电子不能同时占据同一个量子态，它们的运动受到泡利不相容原理的制约。
费米-狄拉克统计同样可由分布函数来描述。
对于温度为T的电子气体，费米-狄拉克分布函数如下：n(E) = [exp((E - μ)/kT) + 1]^-1其中，n(E)仍表示能量为E的状态上平均电子数，而μ则是化学势（在热力学平衡下，μ与粒子数守恒有关）。
从这个公式可以看出，费米-狄拉克统计下，电子的能级填充是分段的，由低能级到高能级逐渐填满。
3. 光子的玻色-爱因斯坦统计实验证据实验证明了光子服从玻色-爱因斯坦统计的特性。
例如，光子的激光现象就是典型的玻色-爱因斯坦凝聚，大量的光子占据同一个状态，形成相干光束。
热力学与统计物理学第八章__玻色统计和费米统计
§8.1 热力学的统计表达式 §8.2 弱简并玻色气体和费米气体 §8.3 玻色—爱因斯坦凝聚 §8.4 光子气体 §8.5 金属中的自由电子气体
1
§8.1 热力学的统计表达式
经典极限条件
e 1
e
Z1 N
V N
2m h2
3
2
1
V
1 3
h
1
1 2
N
2mkT
n3 1
又 d ln ln d ln d ln dy
y
dU
Ydy
dN
d
ln
ln y
dy
d
ln
d
ln
d
ln
ln
d
d
ln
ln
d
d
ln
ln
ln
6
dS
kd
ln
ln
ln
积分
S
k
ln
ln
ln
S kln N U k ln
S k ln
ln
ln
如果求得巨配分 函数，据此可以 求得系统内能、 物态方程和熵。 从而确定系统的 全部平衡性质。
巨配分函数是以 , , y 为自然变量的特性函数。
对简单系统就是 T ,V ,
热力学中巨热力学势是以 T ,V , 为自然变量的
特性函数：
J U TS N kT ln 9
§8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
存在 n 个能量为 的光子
31
玻色分布给出在温度为 T 的平衡状态下 n
的平均值： n 1 e kT 1
从粒子观点看， n 是平均光子数；
玻色统计和费米统计
ln ln ln d ln d d dy y
根据前面求出的已知量，可求得 (拉氏乘法原理，加上一个为0的项)
第九章 玻色统计和费米统计
上式指出是 dU Ydy d N 的积分因子。
1 与dS (dU Ydy dN )比较 T
玻色分布
9.1.1 玻色系统
把, 和y看作由实验确定的参量. 1 、巨配分函数
第九章 玻色统计和费米统计
取对数为 对取偏导为
ln l ln( 1 e l )
l
上下同乘e l
l ln l e 1 l
2、系统的平均总粒子数
kT
, 意味着：平衡状态下光子气体的化学势为零。
体积为V的空窖内,在p到p+dp的动量范围内，自由粒子可能 的量子态数为
光子自旋有两个投影.
第九章 玻色统计和费米统计
体积为V的空窖内, p到p+dp的动量范围内，光子的量子态数
(光子自旋有两个投影)
cp
态数
4V 2 p dp 3 h
2
d cdp
体积为V的空窖内，在到+d的圆频率范围内，光子的量子
h 2
每个量子态上的平均光子数
第九章 玻色统计和费米统计
9.3.2 辐射场的内能
U (, T )d N
普朗克公式
上式所给出的辐射场内能按频率的分布与实验结果完全符合。 1、低频
1 kT
1 2 2 2 ( px p y pz ) 2m
第九章 玻色统计和费米统计
2、微观状态数 在体积V内，在到+d的能量范围内，分子可能的 微观状态数 g由粒子可能具有自旋而引入的简并度． 其中： ３、系统的总分子数
第八章_玻色分布和费米分布
al l e l
式(8.1.3)满足时，显然有
al 1（对所有l）
l
(8.1.4) (8.1.5)
2020年12月11日星期五
第八章 玻色统计和费米统计
由此可见，式(8.1.3)和(8.1.5)都是非简并性条件的表达式。
当非简并性条件满足时，玻色分布和费米分布都过渡 到玻耳兹曼分布。
二、玻色和费米分布的巨配分函数及热力学公式
2020年12月11日星期五
第八章 玻色统计和费米统计
考虑三维自由粒子的情形，为简单起见，不考虑粒 子的内部结构，因此只有平动自由度，粒子的能量为：
1 2m
( px2
p
2 y
pz2 )
在体积V内，能量在ε-ε+dε内的粒子的可能微观状 态数为
D( )d
g
2V
h3
(2m)3/ 2 1/ 2d
其中，g是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度， D(ε)是态密度。例如，对于电子，考虑有两个相反的自旋 投影，g=2; 对于光子，由于有两个偏振方向，g=2。
2020年12月11日星期五
第八章 玻色统计和费米统计
系统的总粒子数和总能量为:
l
l
e l
1
N
l
e
ll
l
1
U
近似用积分来处理，作对应：
l D( )d
l
0
代入自由粒子气体的D(ε)dε的表达式
D( )d
g
2V
h3
(2m)3/ 2 1/ 2d
2020年12月11日星期五
第八章 玻色统计和费米统计
1.巨配分函数:
由于玻色子和费米子系统一般是粒子数可变系统，其配 分函数要用到下一章将要介绍的处理开放系统的巨正则配 分函数（简称巨配分函数）。下面先给出玻色和费米系统 的巨配分函数表达式,其详细推导在下一章给出。
量子力学中的粒子统计
量子力学中的粒子统计量子力学是自然界最基本的科学理论之一，描述了微观世界的行为规律。
在量子力学中，粒子的统计行为至关重要，可分为玻色子统计和费米子统计两种。
一、玻色子统计玻色子统计适用于具有整数自旋的粒子，如光子。
根据玻色子统计原理，任意多个玻色子可以占据量子态的相同态。
这意味着玻色子可以处于相同的能级，并呈现集体行为，例如在玻色-爱因斯坦凝聚中。
由于玻色子可以占据同一量子态，对它们的描述需要使用玻色子算符。
玻色子算符的重要性体现在玻色-爱因斯坦统计的推导中，即将相同量子态的粒子算符乘积代入对应的量子态方程，进而得到对粒子数的描述。
玻色子统计的一个显著特征是玻色子的密度算符的协同性。
即，不同位置上的玻色子的密度算符彼此对易。
这解释了玻色子可以在同一个量子态中存在，并且在玻色-爱因斯坦凝聚中，大量的玻色子可以聚集在基态上，形成凝聚态现象。
二、费米子统计费米子统计适用于具有半整数自旋的粒子，如电子。
根据费米子统计原理，不同的费米子不能占据同一量子态，即不允许多个费米子处于相同的能级。
这被称为泡利不相容原理。
泡利不相容原理的结果是，费米子存在于互相区分的态中，这为电子在原子中的排布提供了解释。
由于每个电子的自旋方向不同，所以它们占据的量子态也不同。
这也是为什么原子中的电子填充顺序遵循能级从低到高、自旋方向相反的原则。
费米子统计也需要通过费米子算符来描述。
费米子算符的特点是反对易关系，即任意两个费米子算符的乘积在调换顺序后会产生负号。
三、粒子统计的应用粒子统计理论在量子力学及其应用领域具有广泛的应用。
其中一个重要的应用是在凝聚态物理中描述物质的行为。
凝聚态物理研究固体和液体中的粒子行为，而粒子统计理论提供了描述这些系统中粒子行为的框架。
除了在凝聚态物理中的应用外，粒子统计理论还在高能物理学中发挥了重要作用。
例如，玻色子统计描述了光子的行为，而费米子统计描述了夸克和轻子等基本粒子的行为。
此外，粒子统计还与量子信息科学密切相关。
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A为常数，著名的斯特藩-玻尔兹曼定律
b
11
物理意义： 单位体积的辐射能只与温度有关， 与温度的四次方成正比。
b
12
适用量子分布的理想气体称之为简并气体。
1.费米分布 （适用自旋为1/2的电子系统）
FFD
1 e( )/kT
1
常记为 f ,称为费米能级
b
2
费米分布的性质
别：
b
3
费米能级的具体表示：
其中：n N 表示单位体积的自由电子数 V
b
4
f
f
0
1
2
8
Tc
2 2
mk
(N 2.612V
)2/3
玻色子的质量和粒子数密度决定。
b
7
物理意义：
超导体的正常态转化到超导态可用玻色凝聚解释
b
8
光子气体
平衡系统特点： 高频光子和低频光子总在不停地转换，因而光子数 量也在不断变化，系统中光子数不守恒。
b
9
上式称之为普朗克辐射公式。
b
10
上式为著名的维恩位移定律。 该定律可以用于确定很多星体表面的温度。
第十一章 玻色统计和费米统计
单
粒 子
经典分布 玻尔兹曼分布
态
上
的
三
费米分布
种 分 布
量子分布 玻色分布
经典分布考虑了微观粒子的测不准关系和能量量
子化的影响。但是却没有考虑粒子的全同性以及
泡利不相容原理。
b
1
粒子全同性的微观解释： 微观粒子具有波动性，它们在运动时无轨道可言， 因而无法用编号的方法追踪它们的运动，它们是 不可分辨的。 或者说，粒子的互换不产生新的微观态。
kT (
f0
)2
2 / 3
b
5
玻色分布特点： 玻色子：自旋为零或整数的粒子。主要用于处理 光子气体、声子气体和低温玻色凝聚。
选取单粒子基态能量为零
1 FBE (0) e/kT 1
即： e /kT 1, 0
b
6
1.玻色凝聚
质量不为零，粒子数守恒的玻色子组成的理想气体。 当T趋于绝对零度时，几乎所有的玻色子都会凝聚 到能量、动量为零的基态。