3.1.3空间向量的数量积运算 课件

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3.1.3
探究点三 利用数量积求距离 问题 类比平面向量， 说出用数量积求长度或距离的方法． 答案 利用数量积 a· b＝|a||b|cos θ 知
π 例 3 已知 a，b，c 中每两个的夹角都是 ，且|a|＝4，|b| 3 ＝6，|c|＝2，试计算|a＋b＋c|. 解 ∵|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，且〈a，b〉＝〈a，c〉＝ π 〈b，c〉＝3，∴|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)· (a＋b＋c)
b2＋a2＋b2＋2(0＋b2cos 60° ＋0)＝a2＋3b2， → ∴|CD|＝ a2＋3b2，即 CD＝ a2＋3b2.
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3.1.3
1．设 a、b、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线， 下列命题： ① (a· b)· c－(c· a)· b＝ 0； ② |a|－ |b |<|a－ b|； ③ (b· a)· c－(c· a)· b 与 c 垂直； ④ (3a＋ 2b)· (3a－ 2b)＝ 9|a|2－ 4|b |2. 其中正确的有 A．①② B．②③ C．③④ D．②④ ( D)
＝12＋1×1×cos 60° －2×1×1×cos 60° ＋1×1×cos 60° ＋12－2×1×1×cos 60° ＝1. → → → (3)|OA＋OB＋OC|＝ → → → OA＋OB＋OC2
＝ 12＋12＋12＋2×1×1×cos 60° ×3＝ 6.
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3.1.3
探究点二 利用数量积求夹角 问题 1 怎样利用数量积求直线夹角或余弦值？
问题 2 利用数量积怎样证明两个向量垂直？ π 答案 要证明两个非零向量垂直，即〈a，b〉＝2，只
需证明 a· b＝0 即可．
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3.1.3
例2
证明：(三垂线定理)在平面内的一条直
线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂 直，那么它也和这条斜线垂直． 已知：如图，PO，PA 分别是平面 α 的垂线、斜线，AO 是 PA 在平面 α 内的射影， l⊂ α， 且 l⊥OA， 求证： l⊥PA. 证明 如图，取直线 l 的方向向量 a，同 → → → 时取向量PO，OA.∵ l⊥OA，∴ a· OA＝0. → ∵PO⊥α∴ l⊂α，∴ l⊥PO，∴ a· PO＝0. → → → → → 又∵ a· PA＝a· (PO＋OA)＝a· PO＋a· OA＝0，∴ l⊥PA.
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小结
3.1.3 求向量的模，可以转化为求向量的数量积，求两点
间的距离或某条线段的长度，可以转化为求对应向量的模， 其中的关键是将线段长度用向量的模表示出来．
跟踪训练 3 如图所示，已知线段 AB 在平面 α 内，线段 AC⊥α，线段 BD⊥AB，线段 DD′⊥α 于 D′， 如果∠ DBD′＝30° ，AB ＝ a， AC＝ BD＝b，求 CD 的长． → → 解 易知 AC⊥AB.，<CA，BD>＝60° ， → → → → → → ∵|CD|2＝CD· CD＝(CA＋AB＋BD)2 →2 →2 → 2 → → → → → → ＝|CA| ＋|AB| ＋|BD| ＋2(CA· AB＋CA· BD＋AB· BD)＝
问题 2
类比平面向量的数量积，说出空间向量的数量积
a· b 的定义？ 答案 已知两个非零向量 a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫
做 a，b 的数量积，记作 a· b. 零向量与任何向量的数量积为 0.
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3.1.3
问题 3
请你类比平面向量说出 a· b 的几何意义．
答案
a· b 的几何意义是 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上
的投影|b|cos θ 的乘积．
问题 4 给出下列各式：①|a· b|＝ |a||b |；②(a· b)c＝a(b· c)； ③ m· (a－ b)＝m· a－m· b； ④m· a＝ m· b⇒a＝b； ⑤若 a· b＝ 3， 3 ③ ． 则 a＝ .其中正确的式子是 ________ b
上的三条棱对应向量表示，再代入数量积公式进行运算．
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3.1.3
跟踪训练 1 已知正四面体 OABC 的棱长为 1.求： → → (1)OA· OB； → → → → (2)(OA＋OB)· (CA＋CB)； → → → (3)|OA＋OB＋OC|. 1 → → → → 解 (1)OA· OB＝|OA|· |OB|· cos∠AOB＝2. → → → → → → → → → (2)(OA＋OB)· (CA＋CB)＝(OA＋OB)· (OA＋OB－2OC)
|a|· |b| ； ②若 a 与 b 同向，则 a· b＝________ | a |· |b | 若 a 与 b 反向，则－ a· b ＝ ________. |a|2 或|a|＝ a· 特别地，a· a＝________ a
a· b 性质 ③若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝________ |a||b|
④|a· b|≤|a|· |b|
3.1.3
空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用 数量积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构 造向量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为证 明两个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量的数 量积．
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3.1.3
1．空间向量的夹角 已知两个非零向量 a，b，在空间任取一 → → 定义 点 O，作OA ＝a，OB＝b，则∠AOB 叫 做向量 a，b 的夹角 记法 范围
〈 a，b〉 _______
π [ 0 ， π ] 〈a，b〉∈________.当〈a，b〉＝ 时， 2
a· a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.
＝ |a|2 ＋ |b|2 ＋ |c|2 ＋ 2a· b ＋ 2a· c ＋ 2b· c ＝ |a|2 ＋ |b|2 ＋ |c|2 ＋ 2|a|· |b|· cos〈a，b〉＋2|a|· |c|cos〈a，c〉＋2|b|· |c|cos〈b， c〉＝42＋62＋22＋4×6＋4×2＋6×2＝100， ∴|a＋b＋c|＝10.
3．如图所示，已知 PA⊥平面 ABC，∠ABC ＝120° ，PA＝AB＝BC＝6，则 PC 等于 A．6 2 B．6 C．12 D．144 ( C ) → → → → → 2 →2 → 2 → 2 解析 ∵ PC ＝ PA ＋ AB ＋ BC ∴ PC ＝ PA ＋ AB ＋ BC ＋ → → → 2AB· BC＝36＋36＋36＋2×36cos 60° ＝144.∴ |PC|＝12.
问题：你能用向量法证明“在平面内的一条直线，如果和这 个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直” 吗？
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小结 面与面垂直，它们之间可以相互转化． ①要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．
3.1.3
立体几何中的垂直有：线与线垂直、线与面垂直、
②要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条 相交直线垂直．
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3.1.3
探究点一 空间向量的数量积运算 问题 1 空间两向量的夹角是怎样定义的， 范围怎样规定？
答案 → a，OB＝b，则∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉 ． 规定：0≤〈a，b〉≤π. → 已知两个非零向量 a， b， 在空间任取一点 O， 作OA＝
3.1.3
3.1.3
空间向量的数量积运算
1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的 数量积的概念、性质和计算方法及运算规律． 2．掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几 何中一些简单的问题．
数量积是向量最重要的运算，利用数量积可以求向 量的模、两个向量的夹角；通过类比平面向量的数量积， 学习空间两向量的数量积，通过向量积的运用，培养数 学应用意识．
跟踪训练 2
如图所示，已知平行六面体
ABCD— A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形， 且∠ C1CB＝∠ C1CD＝∠ BCD＝ 60° .求证： CC1⊥ BD. → → → 证明 设CB＝a，CD＝b，CC1＝c，则|a|＝|b|.
→ → → → → ∵BD＝CD－CB＝b－a， ∴BD· CC1＝(b－a)· c＝b· c－a· c ＝|b||c|cos 60° －|a||c|cos 60° ＝0， → → ∴C1C⊥BD，即 C1C⊥BD.
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a· b＝b· c＝c· a＝0. 1 → → (1)BC· ED1＝b· [2(c－a)＋b]＝|b|2＝42＝16. 1 → → (2)BF· AB1＝c－a＋2b· (a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. 1 1 1 → → b＋a (3)EF· FC1＝2c－a＋2b· 2 1 1 1 1 2 ＝ (－a＋b＋c)· b＋a＝－ |a| ＋ |b|2＝2. 2 2 4 2 小结 计算两个向量的数量积，可先将各向量用同一顶点
λ(a· b) (λa)· b＝__________
b· a a· b＝________ a· b＋a· c a· (b＋ c)＝________________
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3.1.3
(3)数量积的性质
a· b＝0 ①若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔___________
两个 向量 数量 积的
⊥ b a______
想一想： 〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？〈a，b〉与〈a， -b〉呢？
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3.1.3
2．空间向量的数量积
|a||b|cos〈a，b〉 (1)定义： 已知两个非零向量 a， b， 则_________________
叫做 a， b 的数量积，记作 a· b. (2)数量积的运算律 数乘向量与向量 数量积的结合律 交换律 分配律
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3.1.3 例 1 已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝ 2，AD
＝ 4， E 为侧面 AB1 的中心， F 为 A1D1 的中点．试计算： → → → → → → (1)BC· ED1；(2)BF· AB1； (3)EF· FC1. → → → 解 如图，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，
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3.1.3
2．已知 a，b 均为单位向量，它们的夹角为 60° ，那么 |a＋3b|等于 A. 7 B. 10 C. 13 D．4 ( C )
解析 |a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a· b＋9b2 ＝1＋6· cos 60° ＋9＝13.∴|a＋3b|＝ 13.