2011—2017高考全国卷文科数学立体几何总结

合集下载

2011—2017高考全国卷Ⅰ文科数学解析汇报几何总汇编

2011—2017高考全国卷Ⅰ文科数学解析汇报几何总汇编

新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编解 析 几 何一、选择题【2017,5】已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点,P 是C 上一点,且PF 与x 轴垂直,点A 的坐标是(1,3),则APF ∆的面积为( )A .13 B .12 C .23 D .32【解法】选D .由2224c a b =+=得2c =,所以(2,0)F ,将2x =代入2213y x -=,得3y =±,所以3PF =,又A 的坐标是(1,3),故APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=,选D .【2017,12】设A 、B 是椭圆C :2213x y m+=长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足∠AMB =120°,则m 的取值范围是( )A .(0,1][9,)+∞B .[9,)+∞C .(0,1][4,)+∞D .[4,)+∞【解法】选A .图 1图 2解法一:设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点,易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AM B ∠最大,依题意只需使0120AEB ∠≥.1.当03m <<时,如图1,0tantan 602AEB a b ∠==≥=1m ≤,故01m <≤;2. 当3m >时,如图2,0tantan 602AEB a b ∠==≥=9m ≥. 综上可知,m 的取值范围是(0,1][9,)+∞,故选A .解法二:设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点,易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AM B ∠最大,依题意只需使0120AEB ∠≥.1.当03m <<时,如图1,01cos ,cos1202EA EB ≤=-,即12EA EB EA EB⋅≤-,带入向量坐标,解得1m ≤,故01m <≤;2. 当3m >时,如图2,01cos ,cos1202EA EB ≤=-,即12EA EB EA EB⋅≤-,带入向量坐标,解得9m ≥.综上可知,m 的取值范围是(0,1][9,)+∞,故选A .【2016,5】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为( )A .13B .12 C .23D .34解析:选B . 由等面积法可得1112224bc a b ⨯=⨯⨯⨯,故12c a =,从而12c e a ==.故选B . 【2015,5】已知椭圆E 的中心为坐标原点,离心率为12,E 的右焦点与抛物线C : y 2=8x ,的焦点重合,A ,B 是C 的准线与E 的两个交点,则|AB |=( )A .3B .6C .9D .12解:选B .抛物线的焦点为(2,0),准线为x =-2,所以c=2,从而a=4,所以b 2=12,所以椭圆方程为2211612x y +=,将x =-2代入解得y=±3,所以|AB |=6,故选B 【2014,10】10.已知抛物线C :y 2=x 的焦点为F ,A (x 0,y 0)是C 上一点,|AF |=054x ,则x 0=( )A A .1 B .2 C .4 D .8 解:根据抛物线的定义可知|AF |=001544x x +=,解之得x 0=1. 故选A 【2014,4】4.已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2,则a=( ) D A .2 B .26 C .25 D .1解:2c e a ====,解得a=1,故选D【2013,4】已知双曲线C :2222=1x y a b -(a >0,b >0)的离心率为2C 的渐近线方程为( ).A .y =14x ±B .y =13x ±C .y =12x ± D .y =±x解析:选C .∵e =c a =,即2254c a =.∵c 2=a 2+b 2,∴2214b a =.∴12b a =.∵双曲线的渐近线方程为b y x a =±,∴渐近线方程为12y x =±.故选C .【2013,8】O 为坐标原点,F 为抛物线C :y 2=的焦点,P 为C 上一点,若|PF |=POF 的面积为( ).A .2B ...4 答案:C解析:利用|PF |=P x =x P =y P =±S △POF =12|OF |·|y P |= 故选C .【2012,4】4.设1F 、2F 是椭圆E :2222x y a b+(0a b >>)的左、右焦点,P 为直线32ax =上一点,21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形,则E 的离心率为( )A .12 B .23C .34D .45【解析】如图所示,21F PF ∆是等腰三角形,212130F F P F PF ∠=∠=︒,212||||2F P F F c ==,260PF Q ∠=︒,230F PQ ∠=︒,2||F Q c =,又23||2a F Q c =-,所以32a c c -=,解得34c a =,因此34c e a ==,故选择C . 【2012,10】10.等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线216y x =的准线交于A ,B 两点,||AB =,则C 的实轴长为( )A B .C .4D .8【解析】设等轴双曲线C 的方程为22221x y a a-=,即222x y a -=(0a >),抛物线216y x =的准线方程为4x =-,联立方程2224x y a x ⎧-=⎨=-⎩,解得2216y a =-,因为||AB =,所以222||(2||)448AB y y ===,从而212y =,所以21612a -=,24a =,2a =,因此C 的实轴长为24a =,故选择C .【2011,4】椭圆221168x y +=的离心率为( )A .13 B .12 C.3 D.2【解析】选D .因为221168x y +=中,2216,8a b ==,所以2228c a b =-=,所以42c e a ===. 【2011,9】已知直线l 过抛物线的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,12AB =,P 为C 的准线上一点,则ABP △的面积为( ).A .18B .24C .36D .48【解析】不妨设抛物线的标准方程为()220y px p =>,由于l 垂直于对称轴且过焦点,故直线l 的方程为2px =.代入22y px =得y p =±,即2AB p =,又12AB =,故6p =,所以抛物线的准线方程为3x =-,故1612362ABP S =⨯⨯=△.故选C .二、填空题【2016,15】设直线2y x a =+与圆22:220C x y ay +--=相交于,A B两点,若AB =C 的面积为 .解析:4π.由题意直线即为20x y a -+=,圆的标准方程为()2222x y a a +-=+,所以圆心到直线的距离d =,所以AB===, 故2224a r +==,所以24S r =π=π.故填4π.【2015,16】已知F 是双曲线C :2218y x -=的右焦点,P 是C 左支上一点,A ,当ΔAPF 周长最小时,该三角形的面积为 .解: a =1,b 2=8,⇒ c =3,∴F (3,0).设双曲线的的左焦点为F 1,由双曲线定义知|PF |=2+|PF 1|,∴ΔAPF 的周长为|PA |+|PF |+|AF |=|PA |+|AF |+|PF 1|+2,由于|AF |是定值,只要|PA |+|PF1|最小,即A ,P ,F 1共线,∵A,F 1 (-3,0),∴直线AF 1的方程为13x +=-,联立8x 2-y 2=8消去x 整理得y 2+-96=0,解得y=y =-舍去),此时S ΔAPF =S ΔAFF 1-S ΔPFF13=⨯=三、解答题【2017,20】设A ,B 为曲线C :42x y =上两点,A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率;(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且BM AM ⊥,求直线AB 的方程. 解析:第一问:【解法1】设 1122(,),(,)A x y B x y ,AB 直线的斜率为k ,又因为A,B 都在曲线C 上,所以 4/211x y = ①4/222x y = ②②-①得2221122121()()44x x x x x x y y -+--==由已知条件124x x += 所以,21211y yx x -=-即直线AB 的斜率k=1.【解法2】设 ),(),,(2211y x B y x A ,AB 直线的方程为y=kx+b,所以⎩⎨⎧=+=4/2x y b kx y整理得:,4,044212k x x b kx x =+∴=--且421=+x x 所以k=1第二问:设 00(,)M x y 所以200/4y x =① 又12y x =所以00011,2,12k x x y ==∴== 所以M (2,1),11(2,1)MA x y =--,22(2,1)MB x y =--,且AM BM ⊥,0AM BM =即05)()(221212121=++-++-y y y y x x x x ②,设AB 直线的方程为y x b =+,,4/2⎩⎨⎧=+=x y bx y化简得0442=--b x x ,所以2212121,24,4b y y b y y b x x =+=+-=由②得0772=--b b 所以b=7或者b=-1(舍去) 所以AB 直线的方程为y=x+7【2016,20】在直角坐标系xOy 中,直线:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ,交抛物线2:2(0)C y px p =>于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连结ON 并延长交C 于点H .(1)求OH ON;(2)除H 以外,直线MH 与C 是否有其他公共点?请说明理由.解析 (1)如图,由题意不妨设0t >,可知点,,M P N 的坐标分别为()0,M t ,2,2t P t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2,N t t p ⎛⎫⎪⎝⎭,从而可得直线ON 的方程为y x p t =,联立方程22p x ty px y ⎧==⎪⎨⎪⎩,解得22x t p =,2y t =. 即点H 的坐标为22,2t t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,从而由三角形相似可知22H N OH y tON y t ===.(2)由于()0,M t ,22,2t H t p ⎛⎫⎪⎝⎭,可得直线MH 的方程为22ty t x t p-=, 整理得2220ty px t --=,联立方程222202ty y px t px--==⎧⎪⎨⎪⎩,整理得22440ty y t -+=,则2216160t t ∆=-=,从而可知MH 和C 只有一个公共点H .【2015,20】已知过点A (0, 1)且斜率为k 的直线l 与圆C :(x -2)2+(y -3)2=1交于M ,N 两点.(Ⅰ)求k 的取值范围; (Ⅱ)OM ON ⋅=12,其中O 为坐标原点,求|MN |. 解:(Ⅰ)依题可设直线l 的方程为y=kx +1,则圆心C (2,3)到的l 距离1d =<.k <. 所以k的取值范围是. (Ⅱ)将y=kx +1代入圆C 的方程整理得 (k 2+1)x 2-4(k +1)x +7=0.设M (x 1, y 1),N (x 2, y 2),则1212224(1)7,.11k x x x x k k ++==++ 所以OM ON ⋅=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+1)(kx 2+1)=(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+124(+1)8+1k k k =+=12,解得k =1=1k ,所以l 的方程为y=x +1.故圆心在直线l 上,所以|MN |=2.【2013,21】已知圆M :(x +1)2+y 2=1,圆N :(x -1)2+y 2=9,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程;(2)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB |. 解:由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径r 1=1;圆N 的圆心为N (1,0),半径r 2=3.设圆P 的圆心为P (x ,y ),半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,所以|PM |+|PN |=(R +r 1)+(r 2-R )=r 1+r 2=4.由椭圆的定义可知,曲线C 是以M ,N 为左、右焦点,长半轴长为2(左顶点除外),其方程为22=143x y +(x ≠-2). (2)对于曲线C 上任意一点P (x ,y ),由于|PM |-|PN |=2R -2≤2,所以R ≤2,当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R =2.所以当圆P 的半径最长时,其方程为(x -2)2+y 2=4. 若l 的倾斜角为90°,则l 与y 轴重合,可得|AB |=若l 的倾斜角不为90°,由r 1≠R 知l 不平行于x 轴,设l 与x 轴的交点为Q ,则1||||QP RQM r =,可求得Q (-4,0),所以可设l :y =k (x +4).由l 与圆M=1,解得k=4±当k=4时,将4y x =代入22=143x y +,并整理得7x 2+8x -8=0,解得x 1,2=47-±, 所以|AB ||x 2-x 1|=187.当k=4-|AB |=187.综上,|AB |=|AB |=187.【2012,20】设抛物线C :py x 22=(0>p )的焦点为F ,准线为l ,A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B ,D 两点。

2011-2017全国1卷分类汇编 立体几何

2011-2017全国1卷分类汇编 立体几何

2011-2017高考全国I 卷分类汇编——立体几何【2011年全国】(19)如图,四棱锥S ABCD -中,AB CD ,BC CD ⊥,侧面SAB 为等边三角形,2,1AB BC CD SD ====. (Ⅰ)证明:SD SAB ⊥;(Ⅱ)求AB 与平面SBC 所成角的大小.【2012年全国】(19)(本小题满分12分) 如图,直三棱柱111ABC A B C -中,112AC BC AA ==,D 是棱1AA 的中点,1DC BD ⊥。

(Ⅰ)证明:1DC BC ⊥(Ⅱ)求二面角11A BD C --的大小。

【2013年全国】18、(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,CA=CB ,AB=A A 1,∠BA A 1=60°. (Ⅰ)证明AB ⊥A【2014年全国】19. (本小题满分12分)如图三棱锥111ABC AB C -中,侧面11BB C C 为菱形,A 11AB B C ⊥.(Ⅰ) 证明:1AC AB =;(Ⅱ)若1AC AB ⊥,o160CBB ∠=,AB=Bc ,求二面角111A A B C --的余弦值.【2015年全国】(18)如图,,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E ,F 是平面ABCD同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE=2DF ,AE ⊥EC 。

(1)证明:平面AEC ⊥平面AFC(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值【2016年全国】(18)(本题满分为12分)如图,在已A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF =2FD ,90AFD ∠=,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60. (I )证明;平面ABEF ⊥平面EFDC ; (II )求二面角E -BC -A 的余弦值.【2017年全国】18.(12分)如图,在四棱锥P−ABCD 中,AB//CD ,且90BAP CDP ∠=∠=.(1)证明:平面PAB ⊥平面PAD ;(2)若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=,求二面角A −PB −C 的余弦值.。

2011-2017新课标高考立体几何分类总汇编(文)

2011-2017新课标高考立体几何分类总汇编(文)

2011-2017新课标立体几何分类汇编〔文科〕一、选填题【2011新课标】8. 在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示,如此相应的侧视图可以为〔 〕A. B. C. D. 【解析】由正视图和俯视图可以判断此几何体前局部是一个的三棱锥,后面是一个圆锥,选D.【2011新课标】16. 两个圆锥有公共底面,且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上,假如圆锥底面面积是这个球面面积的163,如此这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.【解析】由圆锥底面面积是这个球面面积的163,得223416r R ππ= 所以23=R r ,如此小圆锥的高为2R,大圆锥的高为23R ,所以比值为31.【2012新课标】7.如图,网格上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,如此此几何体的体积为〔 〕 A .6B .9C .12D .18【解析】由三视图知,其对应几何体为三棱锥,其底面为一边长为6,这边上高为3,棱锥的高为3,故其体积为1163332⨯⨯⨯⨯=9,应当选B.【2012新课标】8.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α2此此球的体积为〔 〕A 6B .3C .6D .3【解析】设求圆O 的半径为R ,如此R ==343V R π∴==.选B【2013新课标1】11. 某几何体的三视图如下列图,如此该几何体的体积为( ).A .16+8πB .8+8πC .16+16πD .8+16π【解析】该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体.V 半圆柱=12π×22×4=8π,V 长方体=4×2×2=16.所以所求体积为16+8π.应当选A.【2013新课标1】15. H 是球O 的直径AB 上一点,AH ∶HB =1∶2,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,如此球O 的外表积为______.【解析】如图,设球O 的半径为R , 如此AH =23R ,OH =3R. 又∵π·EH 2=π,∴EH =1. ∵在Rt △OEH 中,R 2=22+13R ⎛⎫⎪⎝⎭,∴R 2=98. ∴S 球=4πR 2=9π2.【2013新课标2】9. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O -xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,如此得到的正视图可以为( ).【解析】如下列图,该四面体在空间直角坐标系O -xyz 的图像为如下图:如此它在平面zOx 的投影即正视图为,应当选A.【2013新课标2】15. 正四棱锥O -ABCD 的体积为322,底面边长为3,如此以O 为球心,OA 为半径的球的外表积为__________.【解析】如下列图,在正四棱锥O -ABCD 中, V O -ABCD =13×S 正方形ABCD ·|OO 1|=13×2(3)×|OO 1|=322, ∴|OO 1|=322,|AO 1|=62,在Rt △OO 1A 中, OA =2211||||OO AO +=22326622⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即6R =,∴S 球=4πR 2=24π.【2014新课标1】8.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一个几何体的三视图,如此这个几何体是〔 〕【解析】:根据所给三视图易知,对应的几何体是一个横放着的三棱柱. 选B 【2014新课标2】6. 如图,网格纸上正方形小格的边长为1〔表示1cm 〕,图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm ,高为6c m 的圆柱体毛坯切削得到,如此切削掉局部的体积与原来毛坯体积的比值为〔 C 〕 〔A 〕1727 〔B 〕 59 〔C 〕1027 (D) 13【2014新课标2】7. 正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2,侧棱长为3,D 为BC 中点,如此三棱锥11DC B A -的体积为〔 C 〕 〔A 〕3 〔B 〕32 〔C 〕1 〔D 〕32【2015新课标1】11. 圆柱被一个平面截去一局部后与半球〔半径为r 〕组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如下列图,假如该几何体的外表积为16+20π,如此r=〔 B 〕 〔A 〕1 (B) 2 (C) 4 (D) 8【2015新课标1】6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。

高中文科数学立体几何知识点总结

高中文科数学立体几何知识点总结

ll//m立体几何知识点整理(文科)ml//m一.直线和平面的三种位置关系:αl1.线面平行方法二:用面面平行实现。

l//l//αl 符号表示:2.线面相交lβlαAα方法三:用平面法向量实现。

符号表示:3.线在面内nl若n 为平面的一个法向量,nl 且l,则l//。

lα α符号表示:二.平行关系:1.线线平行:l方法一:用线面平行实现。

l// ll//mm3.面面平行:方法一:用线线平行实现。

l//l' αl βm l' m'mm // l,mm ' 且相交//方法二:用面面平行实现。

l',m'且相交l//βll//m γ mmα方法二:用线面平行实现。

方法三:用线面垂直实现。

l//若l,m ,则l//m 。

m//// 方法四:用向量方法:l,m且相交βl m若向量l 和向量m 共线且l 、m 不重合,则l//m 。

α2.线面平行:方法一:用线线平行实现。

1/11WORD 格式lA αC B方法三:用向量方法:若向量l 和向量m 的数量积为0,则lm 。

三.垂直关系:三.夹角问题。

4.线面垂直:(一)异面直线所成的角:方法一:用线线垂直实现。

(1)范围:(0,90] lAC l ABAB AB AC AC,Al(2)求法: 方法一:定义法。

步骤1:平移,使它们相交,找到夹角。

P nA θOα 方法二:用面面垂直实现。

步骤2:解三角形求出角。

(常用到余弦定理)余弦定理: βlmlacmlm,lcos2 a 2 b 2abc2 θbα(计算结果可能是其补角) 5.面面垂直:方法二:向量法。

转化为向量 方法一:用线面垂直实现。

C的夹角βllθ()计算结果可能是其补角:lA BαABAC ABACcos方法二:计算所成二面角为直角。

(二)线面角6.线线垂直:(1)定义:直线l上任取一点P(交点除外),作方法一:用线面垂直实现。

m l lmlmP O于O,连结AO,则AO为斜线PA在面内的射影,PAO(图中)为直线l与面所成的角。

2011届高考数学知识点总结-立体几何

2011届高考数学知识点总结-立体几何

高中数学第九章-立体几何考试内容平面及其基本性质.平面图形直观图的画法.平行直线.对应边分别平行的角.异面直线所成的角.异面直线的公垂线.异面直线的距离.直线和平面平行的判定与性质.直线和平面垂直的判定与性质.点到平面的距离.斜线在平面上的射影.直线和平面所成的角.三垂线定理及其逆定理.平行平面的判定与性质.平行平面间的距离.二面角及其平面角.两个平面垂直的判定与性质.多面体.正多面体.棱柱.棱锥.球.考试要求(1)掌握平面的基本性质,会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形,能够根据图形想像它们的位置关系.(2)掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理,掌握两条直线所成的角和距离的概念,对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线时的距离.(3)掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理;掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理;掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理.(4)掌握两个平面平行的判定定理和性质定理,掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念,掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理.(5)会用反证法证明简单的问题.(6)了解多面体、凸多面体的概念,了解正多面体的概念.(7)了解棱柱的概念,掌握棱柱的性质,会画直棱柱的直观图.(8)了解棱锥的概念,掌握正棱锥的性质,会画正棱锥的直观图.(9)了解球的概念,掌握球的性质,掌握球的表面积、体积公式.9(B).直线、平面、简单几何体考试内容:平面及其基本性质.平面图形直观图的画法.平行直线.直线和平面平行的判定与性质.直线和平面垂直的判定.三垂线定理及其逆定理.两个平面的位置关系.空间向量及其加法、减法与数乘.空间向量的坐标表示.空间向量的数量积.直线的方向向量.异面直线所成的角.异面直线的公垂线.异面直线的距离.直线和平面垂直的性质.平面的法向量.点到平面的距离.直线和平面所成的角.向量在平面内的射影.平行平面的判定和性质.平行平面间的距离.二面角及其平面角.两个平面垂直的判定和性质.多面体.正多面体.棱柱.棱锥.球.考试要求:(1)掌握平面的基本性质。

高中文科数学立体几何部分整理

高中文科数学立体几何部分整理

高中文科数学立体几何部分整理第一章 空间几何体(一)空间几何体的三视图与直观图1.投影:区分中心投影与平行投影。

平行投影分为正投影和斜投影。

2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形; 正视图——光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图; 侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影,得到的投影图; 正视图——光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图; 注:(1)俯视图画在正视图的下方,“长度”与正视图相等;侧视图画在正视图的右边,“高度”与正视图相等,“宽度”与俯视图。

(简记为“正、侧一样高,正、俯一样长,俯、侧一样宽”.(2)正视图,侧视图,俯视图都是平面图形,而不是直观图。

3.直观图:3.1直观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。

直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

3.2斜二测法:step1:在已知图形中取互相垂直的轴Ox 、Oy ,(即取90xoy ∠=︒ );step2:画直观图时,把它画成对应的轴'',''o x o y ,取'''45(135)x o y or ∠=︒︒,它们确定的平面表示水平平面;step3:在坐标系'''x o y 中画直观图时,已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变,平行于x 轴(或在x 轴上)的线段保持长度不变,平行于y 轴(或在y 轴上)的线段长度减半。

结论:一般地,采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的4倍. 解决两种常见的题型时应注意:(1)由几何体的三视图画直观图时,一般先考虑“俯视图”. (2)由几何体的直观图画三视图时,能看见的轮廓线和棱画成实线,不能看见的轮廓线和棱画成虚线。

【例题点击】将正三棱柱截去三个角(如图1所示A B C ,,分别是GHI △三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( )E F DIA H GBC EF D AB C侧视 BEA .BEB . BEC .BED .解:在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A(二)立体几何 1.棱柱1.1棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

全国卷立体几何题型总结

全国卷立体几何题型总结

全国卷立体几何题型总结
全国卷的立体几何题型总结如下:
1.空间直线和面的位置关系:包括确定直线和平面的位置关系,求平面与直线的交点、垂足等。

2.空间向量:涉及确定向量的方向、模长和坐标,求向量的数量积、向量积和混合积。

3.空间几何体积:主要考察确定几何体的形状和大小,求立体图形的表面积和体积。

4.立体几何相似:这部分可能涉及判断命题的真假,或者计算几何体的体积等。

此外,还有可能考察到判断或计算几何体的表面积、体积,以及利用三视图还原几何体等题型。

20112017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编10立体几何

20112017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编10立体几何

年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编2011—201710.立体几何一、选择题,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面)如图,网格纸上小正方形的边长为1(2017·6)将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为(???? D. 36 C. 42 A. 90 B. 633244·)(2014·6 (2016·7)(2015·6)(2017·6))(2016·4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为(32??12???? DC..B..A 3)(2016·7)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为(32π.28πD.πA.20 B.24πC一个正方体被一个平面截取一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分6)(2015·)体积的比值为(1111 D.A. B.C.5786体积o,C为该球面上的动点. 若三棱锥O-ABC10(2015·)已知A、B是球O的球面上两点,∠AOB=90 )的最大值为36,则球O的表面积为(256π C. 144π D. πA. 36 B. 64π,图中粗线画出的是某零件的三视图,该零)(表示1cm(2014·6)如图,网格纸上正方形小格的边长为1的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的,高为6cm 件由一个底面半径为3cm )比值为(110517 D.A.B.C.327927的体BDC-C的底面边长为2,侧棱长为,D为BC中点,则三棱锥AB)正三棱柱(2014·7ABC-A311111)积为(33 D..A.3 B.C1 22,(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 0)9(2013·)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是平面为投影面,则得到正视图可以为()画该四面体三视图中的正视图时,以zOx A.B. C. D.()网格上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为(2012·7)如图,18 D..9 C12 A.6B.O到平面α,的距离为(2012·8)平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心2 则此球的体积为()D.πC.64πA.πB.4π3636则相应的侧视图可以为()在一个几何体的三视图中,(2011·8)正视图和俯视图如右图所示,D.C. A. B.二、填空题的球面上,则球3,2,1,其顶点都在球OO的表面积为(2017·15)长方体的长、宽、高分别为23为半径的球的表OA,底面边长为,则以O(2013·15)已知正四棱锥O-ABCD为球心,的体积为32________. 面积为若圆锥底面面且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上,已知两个圆锥有公共底面,(2011·16)3.积是这个球面面积的,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为16三、解答题1,PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,(2017·18)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面ADBC==AB2.∠BAD=∠ABC=90°PPAD;1)证明:直线BC∥平面(72. 的体积,求四棱锥(2)若△PADP-ABCD面积为ABCBDCFAE=,EF交CDFOAC19(2016·)如图,菱形ABCD的对角线与BD交于点,点E、分别在AD,上,. EF的位置D′DEF于点H,将△沿EF折到△?D(Ⅰ)证明:'HDAC?;5—,求五棱锥D′(Ⅱ)若2?AE?5,AB?AC6,?,OD'24ED. ABCEF体积AHOF BC,DF=4C上,AE=A,AA=8,点E,F分别在B,D中A(2015·19)如图,长方体ABCD-BCDAB=16,BC=1011111111111. α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形过点E,F的平面;(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由). 把该长方体分成的两部分体积的比值(Ⅱ)求平面α. E为PD的点中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,-(2014·18)如图,四棱锥PABCD平面AEC;PB // (Ⅰ)证明:3点到平,求ABDP-的体积VA,(Ⅱ)设AP=1AD==,三棱锥3 4. 面PBD的距离BCA?BBABCABED,,分别是中,. (2013·18)如图,直三棱柱的中点1111ACD/BC/ (Ⅰ)证明:平面;112?AA?AC?CBDE?CA. ,求三棱锥(Ⅱ)设,的体积22AB?11C A11B1EAC DB1AA是棱,,DAABC-BC中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°(2012·19)如图,三棱柱AAAC?BC?111112. 的中点C1B1;⊥平面BDCI() 证明:平面BDC1 A1. 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比(Ⅱ)平面BDC1DCBA-.⊥底面ABCDPDAB∠P中,ABCD底面ABCD为平行四边形,DAB=60°,=2AD,四棱锥)2011·(18如图,BD(Ⅰ)证明:PA⊥;-. ,求棱锥ADPD(Ⅱ)若==1 PBC的高D2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编10.立体几何一、选择题(2017·6)B解析:由题意,该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱,故其体积122???634?3?3??6?V???,故选为B. 2,所以正方体的体对角线长为8,所以正方体的外接球的半)A解析:因为正方体的体积为(2016·4322??,故选,所以球面的表面积为径为A.123)(4??3?,故选因为原几何体由同底面一个圆柱和一个圆锥构成,所以其表面积为C. )C解析:(2016·728S?1,所以截去部分体积与剩余部解析:截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的6)D(2015·61.分体积的比值为512R,三棱锥O-ABC体积最大时,CR,则△AOB面积为到平面AOB(2015·10)C解析:设球的半径为2123??144?4?RS6R?RV??36?. 距离最大且为R,此时O的表面积,所以球622,高cm),由三视图得,该零件由左侧底面半径为(·6=54πcmπ(2014·6)C 解析:原来毛坯体积为:·3222·4=342+π·2π23cm,高为cm的圆柱构成,所以该零件的体积为:π·3·为4cm的圆柱和右侧底面半径为22,所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为)(π=20πcm(cm),则切削掉部分的体积为54π-34?1020C.,故选??2754C的距离相等,D面BD //ABC,点B和到面ABC2014·(7)C解析:∵B// BD,∴VV??1111 11CB-D-ABCAB111111?V???2?3?3?1,故选C.ABBC-2311A9)(2013·zOxO-ABC的直观图,以解析:在空间直角坐标系中,先画出四面体. 平面为投影面,则得到正视图如右图,故选A,棱锥的高6,这边上高为3(2012·7)B解析:由三视图知,其对应几何体为三棱锥,其底面为一边长为113???6?3B.为3,故选,故其体积为=9234223??31??(2)R?3R??V?4. 8)R,,则的半径为B解析:设求圆O(2012·3D. 后面是一个圆锥,选D解析:由正视图和俯视图可以判断此几何体前部分是一个的三棱锥,(2011·8)二、填空题2222??14S?432R=?+2R+1,=14. π2017·(15)14解析:球的直径是长方体的对角线,所以21323h?224则底面正方形设正四棱锥的高为解析:,解得高2013·15),则. (?V3)h??(?h2326232??. ,所以球的表面积为,所以的对角线长为24?(46)2262??36(?OA)?)(?22.2?3r3r3,则小圆锥的高所以,得(2011·16)解析:由圆锥底面面积是这个球面面积的??2?16R42R16R31R.,所以比值为,大圆锥的高为为223三、解答题1,,为等边三角形且垂直于底面ABCD (2017·18)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD ADBC=AB=2.∠BAD=∠ABC=90°P;∥平面PAD(1)证明:直线BC72. 的体积面积为,求四棱锥P-ABCD(2)若△PAD o,所ABC=90内,因为∠BA D=∠(2017·18)解析:(1)在平面ABCD ADB. 平面//PAD以BC//AD. 又,故BC PADBC?面C1,取AD的中点M,连结PM,CM,由AD及BC//(2)D=AAB=BC2PAD,平面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCDABCM为正方形,则CM⊥AD. 因为侧面知四边形,,BC=x所以CM⊥PM.设⊥面∩平面ABCD=AD,所以CMPAD,因为,ABCDCMPAD?底面PM?面x?3?CD2x,PM72,所以PD=x。

(完整)高中文科数学立体几何部分整理.doc

(完整)高中文科数学立体几何部分整理.doc

(完整)高中文科数学立体几何部分整理.doc立体几何高中文科数学立体几何部分整理第一章空间几何体(一)空间几何体的三视图与直观图1.投影:区分中心投影与平行投影。

平行投影分为正投影和斜投影。

2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形;正视图——光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图;侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影,得到的投影图;正视图——光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图;注:(1)俯视图画在正视图的下方,“长度”与正视图相等;侧视图画在正视图的右边,“高度”与正视图相等,“宽度”与俯视图。

(简记为“正、侧一样高,正、俯一样长,俯、侧一样宽” .( 2)正视图,侧视图,俯视图都是平面图形,而不是直观图。

3.直观图:3.1 直观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。

直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

3.2 斜二测法:step1:在已知图形中取互相垂直的轴 Ox 、 Oy ,(即取 xoy 90 );step2:画直观图时,把它画成对应的轴 o ' x ',o ' y' ,取 x ' o ' y' 45 (or 135 ) ,它们确定的平面表示水平平面;step3:在坐标系 x ' o ' y ' 中画直观图时,已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变,平行于 x 轴(或在 x 轴上)的线段保持长度不变,平行于y 轴(或在 y 轴上)的线段长度减半。

结论:一般地,采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的2倍 .4解决两种常见的题型时应注意:(1)由几何体的三视图画直观图时,一般先考虑“俯视图”.(2)由几何体的直观图画三视图时,能看见的轮廓线和棱画成实线,不能看见的轮廓线和棱画成虚线。

【例题点击】将正三棱柱截去三个角(如图1 所示 A ,B , C 分别是△GHI 三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2 所示方向的侧视图(或称左视图)为()HA G ABBB侧视BBBCCIEDEDEEEEA .B .C .D .立体几何解:在图 2 的右边放扇墙 (心中有墙 ), 可得答案 A(二)立体几何1.棱柱1.1 棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

高考数学立体几何知识点总结精选全文完整版

高考数学立体几何知识点总结精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版高考数学立体几何知识点总结(1)棱柱:定义:有两个面互相平行,别的各面都是四边形,且每相邻两个四边形的大众边都互相平行,由这些面所围成的几多体。

分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示:用各极点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱几多特性:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥定义:有一个面是多边形,别的各面都是有一个大众极点的三角形,由这些面所围成的几多体分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示:用各极点字母,如五棱锥几多特性:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比即是极点到截面隔断与高的比的平方。

(3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示:用各极点字母,如五棱台几多特性:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的极点(4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,别的三边旋转所成的曲面所围成的几多体几多特性:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

(5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几多体几多特性:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的极点;③侧面展开图是一个扇形。

(6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分几多特性:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的极点;③侧面展开图是一个弓形。

(7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几多体几多特性:①球的截面是圆;②球面上恣意一点到球心的隔断即是半径。

文科数学高考立体几何考点总结学习资料

文科数学高考立体几何考点总结学习资料

【例 4】已知正四棱锥 ABCD A1B1C1D1中,AA1 2AB,则CD与平面BDC1所成角的正
弦值等于________
【例 5】已知三棱锥 S ABC 中,底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形, SA 垂直于底面 ABC , SA 3, 那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值是
(Ⅰ)求证: A1C1 与 AC 共面, B1D1 与 BD 共面
(Ⅱ)求证:平面 A1ACC1 ⊥平面 B1BDD1
(Ⅲ)求二面角 A BB1 C 的余弦值大小
【例 12】.如图,已知四边形 ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外的一点,则在四棱 锥 P-ABCD 中,M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G,过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.求证:AP∥GH.
【例 9】[2012·安徽卷文]如图,长方体 ABCD A1B1C1D1 中,底面 A1B1C1D1 是正方形,O 是 BD 的中点, E 是棱 AA1 上任意一点。 (Ⅰ)证明: BD EC1 ; (Ⅱ)如果 AB =2, AE = 2 , OE EC1 , 求 AA1 的长。
【例 10】[2008·安徽卷文理]如图,在四棱锥 O ABCD 中,底面 ABCD 四边长为1的菱形,
D1 A1
C1
B1 N
D A
C M
B
【例 2】.直三棱柱 ABC A1B1C1中,若 BAC 90 ,AB AC AA1 ,则异面直线 BA1
与 AC1 所成的角等于
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【例 3】正方体 ABCD A1B1C1D1 中, BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为________

高中文科数学立体几何知识点总结

高中文科数学立体几何知识点总结
WORD 文档
立体几何知识点整理(文科)
一. 直线和平面的三种位置关系:
1. 线面平行
l
l // α
2. 线面相交
l 符号表示:
l
A α
符号表示:
3. 线在面内 α
n l且l
,则 l // 。 l
符号表示:
二. 平行关系:
1. 线线平行:
方 法一:用线面平行实现。
l m
l //
l
l // m
m
方法二:用面面平行实现。
步骤 2:解三角形,求出二面角的平面角。 方法二:截面法。
步骤二:判断
与 n n 的关系,可能相等或
12
者互补。
四. 距离问题。
1 .点面距。 方法一:几何法。
P
A
O
步骤 1:过点 P 作 PO
于 O ,线段 PO 即为所求。
步骤 2:计算线段 PO 的长度。 (直接解三角形;等
体积法和等面积法;换点法
A(x , y ,z ) , B( x2 ,y 2 , z2 ) 则:
1 11
AB
;
d A,B
AB
3. 若空间中的向量 a ( x1 ,y 1, z1 ) ,
( 2, y , z )
bx
22
专业资料
C
p ,都存在唯一的有序实数对
B
D
C
1
B
1
则a b
ab
WORD 文档
4 / 11
专业资料
WORD 文档
1
1
1
(Ⅲ )求点 C 到平面 A BD 的距离. 1
解答过程 (Ⅰ )取 BC 中点 O ,连结 AO .

(word完整版)高中文科数学立体几何部分整理

(word完整版)高中文科数学立体几何部分整理

图第1页高中文科数学立体几何部分整理第一章空间几何体(一)空间几何体的三视图与直观图1•投影:区分中心投影与平行投影。

平行投影分为正投影和斜投影。

2•三视图一一是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形;正视图一一光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图;侧视图一一光线从几何体的左面向右面正投影,得到的投影图;正视图一一光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图;注:(1)俯视图画在正视图的下方,“长度”与正视图相等;侧视图画在正视图的右边,“高度”与正视图相等,“宽度”与俯视图。

(简记为“正、侧一样高,正、俯一样长,俯、侧一样宽” •(2)正视图,侧视图,俯视图都是平面图形,而不是直观图。

3•直观图:3.1直观图一一是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。

直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

3.2斜二测法:stepl:在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy,(即取xoy 90 );step2:画直观图时,把它画成对应的轴o'x',o'y',取x'o' y' 45 (or 135 ),它们确定的平面表示水平平面;step3:在坐标系x'o'y'中画直观图时,已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变,平行于x轴(或在x轴上)的线段保持长度不变,平行于y轴(或在y轴上)的线段长度减半。

结论:一般地,采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的—倍•4解决两种常见的题型时应注意:(1)由几何体的三视图画直观图时,一般先考虑“俯视图”.(2 )由几何体的直观图画三视图时,能看见的轮廓线和棱画成实线,不能看见的轮廓线和棱画成虚线。

【例题点击】将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示A, B, C分别是A GHI三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为()B. C. D.1.3棱柱的性质:① 侧棱都相等,侧面是平行四边形;② 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ③ 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ④ 直棱柱的侧棱长与高相等,侧面与对角面是矩形。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

新课标全国卷 文科数学总结立 体 几 何一、选择题【2017,6】如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB 与平面MNQ 不平行的是( )【2016,7】如图所示,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是( ) A .17π B . 18π C . 20π D . 28π【2016,11】平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ,α∥平面11CB D ,α平面ABCD m =,α平面11ABB A n =,则,m n 所成角的正弦值为( )A .32 B .22 C .33 D .13【2015,6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书 中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各位多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有( ) A .14斛 B .22斛 C .36斛 D .66斛【2015,11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16+20π,则r =( ) B A .1 B .2 C .4 D .8【2015,11】 【2014,8】 【2013,11】 【2012,7】【2014,8】如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的一个几何体的三视图,则这个几何体是( ) A .三棱锥 B .三棱柱 C .四棱锥 D .四棱柱【2013,11】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A .16+8πB .8+8πC .16+16πD .8+16π【2012,7】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为A .6B .9C .12D .15【2012,8】平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为2,则此球的体积为( )A .6πB .43πC .46πD .63π【2011,8】在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为( )二、填空题【2017,16】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径.若平面SCA SCB ⊥平面,SA AC =,SB BC =,三棱锥S ABC -的体积为9,则球O 的表面积为_______. 【2013,15】已知H 是球O 的直径AB 上一点,AH ∶HB =1∶2,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为______.【2011,16】已知两个圆锥由公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的316,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 . 三、解答题【2017,18】如图,在四棱锥P ABCD -中,AB ∥CD ,且90BAP CDP ∠=∠=︒.(1)证明:平面PAB ⊥平面PAD ;(2)若PA PD AB DC ===,90APD ∠=︒,且四棱锥P ABCD -的体积为83,求该四棱锥的侧面积.【2016,18】如图所示,已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形,6PA =,顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ,D 在平面PAB 内的正投影为点E .连结PE 并延长交AB 于点G . (1)求证:G 是AB 的中点;(2)在题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F (说明作法及理由),并求四面体PDEF 的体积.PABD CGE【2015,18】如图四边形ABCD 为菱形,G 为AC 与BD 交点,BE ⊥平面ABCD ,(Ⅰ)证明:平面AEC ⊥平面BED ; (Ⅱ)若∠ABC =120°,AE ⊥EC , 三棱锥E - ACD 6【2014,19】如图,三棱柱111C B A ABC -中,侧面C C BB 11为菱形,C B 1的中点为O ,且⊥AO 平面C C BB 11.(1)证明:;1AB C B ⊥(2)若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB 求三棱柱111C B A ABC -的高.【2013,19】如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,CA =CB ,AB =AA 1,∠BAA 1=60°.(1)证明:AB ⊥A 1C ;(2)若AB =CB =2,A 1C 6,求三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积.【2012,19】如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱垂直底面,90ACB ∠=︒,AC=BC=21AA 1,D 是棱AA 1的中点.(1)证明:平面BDC 1⊥平面BDC ;(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.【2011,18】如图所示,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,60DAB ∠=,2AB AD =,PD ⊥底面ABCD . (1)证明:PA BD ⊥;(2)若1PD AD ==,求棱锥D PBC -的高.DA 11CC 1解 析一、选择题【2017,6】如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB 与平面MNQ 不平行的是( )【解法】选A .由B ,AB ∥MQ ,则直线AB ∥平面MNQ ;由C ,AB ∥MQ ,则直线AB ∥平面MNQ ;由D ,AB ∥NQ ,则直线AB ∥平面MNQ .故A 不满足,选A .【2016,7】如图所示,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是( ). A .17π B . 18π C . 20π D . 28π解析:选A . 由三视图可知,该几何体是一个球截去球的18,设球的半径为R ,则37428ππ833R ⨯=,解得2R =.该几何体的表面积等于球的表面积的78,加上3个截面的面积,每个截面是圆面的14, 所以该几何体的表面积为22714π23π284S =⨯⨯+⨯⨯⨯14π3π17π=+=.故选A .【2016,11】平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ,α∥平面11CB D ,α平面ABCD m =,α平面11ABB A n =,则,m n 所成角的正弦值为( )A .32 B .22 C .33 D .13解析:选A . 解法一:将图形延伸出去,构造一个正方体,如图所示.通过寻找线线平行构造出平面α,即平面AEF ,即研究AE 与AF 所成角的正弦值,易知3EAF π∠=3.故选A .ABCDA 1B 1C 1D 1EF解法二(原理同解法一):过平面外一点A 作平面α,并使α∥平面11CB D ,不妨将点A 变换成B ,作β使之满足同等条件,在这样的情况下容易得到β,即为平面1A BD ,如图所示,即研究1A B 与BD 所成角的正弦值,易知13A BD π∠=,所以其正弦值为32.故选A .D 1C 1B 1A 1DCBA【2015,6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书 中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各位多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有( ) BA .14斛B .22斛C .36斛D .66斛解:设圆锥底面半径为r ,依题11623843r r ⨯⨯=⇒=,所以米堆的体积为211163203()54339⨯⨯⨯⨯=,故堆放的米约为3209÷1.62≈22,故选B .【2015,11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16+20π,则r =( ) B A .1 B .2 C .4 D .8解:该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半径都为r ,圆柱的高为2r ,其表面积为2πr 2+πr×2r+πr 2+2r×2r =5πr 2+4r 2=16+20π, 解得r=2,故选B .【2014,8】如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的 一个几何体的三视图,则这个几何体是( )BA .三棱锥B .三棱柱C .四棱锥D .四棱柱 解:几何体是一个横放着的三棱柱. 故选B【2013,11】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A .16+8πB .8+8πC .16+16πD .8+16π 解析:选A .该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体. V 半圆柱=12π×22×4=8π,V 长方体=4×2×2=16.所以所求体积为16+8π.故选A .【2012,7】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )A .6B .9C .12D .15 【解析】由三视图可知,该几何体为三棱锥A-BCD , 底面△BCD 为底边为6,高为3的等腰三角形, 侧面ABD ⊥底面BCD ,AO ⊥底面BCD ,因此此几何体的体积为11(63)3932V =⨯⨯⨯⨯=,故选择B . 【2012,8】8.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为2,则此球的体积为( ) A .6πB .43πC .46πD .63π【解析】如图所示,由已知11O A =,12OO =,在1Rt OO A ∆中,球的半径3R OA ==, 所以此球的体积34433V R ππ==,故选择B . 【点评】本题主要考察球面的性质及球的体积的计算.【2011,8】在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为( )【解析】由几何体的正视图和侧视图可知,该几何体的底面为半圆和等腰三角形,其侧视图可以是一个由O B D CA等腰三角形及底边上的高构成的平面图形. 故选D . 二、填空题【2017,16】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径.若平面SCA SCB ⊥平面,SA AC =,SB BC =,三棱锥S ABC -的体积为9,则球O 的表面积为_______.【解析】取SC 的中点O ,连接,OA OB ,因为,SA AC SB BC ==,所以,OA SC OB SC ⊥⊥, 因为平面SAC ⊥平面SBC ,所以OA ⊥平面SBC ,设OA r=,3111123323A SBCSBC V S OA r r r r -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=,所以31933r r =⇒=, 所以球的表面积为2436r ππ=.【2013,15】已知H 是球O 的直径AB 上一点,AH ∶HB =1∶2,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为______.答案:9π2解析:如图,设球O 的半径为R ,则AH =23R ,OH =3R.又∵π·EH 2=π,∴EH =1.∵在Rt △OEH 中,R 2=22+13R ⎛⎫ ⎪⎝⎭,∴R 2=98. ∴S 球=4πR 2=9π2.【2011,16】已知两个圆锥由公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的316,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 . 【解析】设圆锥底面半径为r ,球的半径为R ,则由223π4π16r R =⨯,知2234r R =.根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O ,且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点,因此PB QB ⊥.设PO x '=,QO y '=,则2x y R +=. ① 又PO B BO Q ''△∽△,知22r O B xy '==.即2234xy r R ==. ② 由①②及x y >可得3,22Rx R y ==.则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比为13. 故答案为13.三、解答题【2017,18】如图,在四棱锥P ABCD -中,AB ∥CD ,且90BAP CDP ∠=∠=︒.(1)证明:平面PAB ⊥平面PAD ;(2)若PA PD AB DC ===,90APD ∠=︒,且四棱锥P ABCD -的体积为83,求该四棱锥的侧面积.【解法】(1)90BAP CDP ∠=∠=︒, ∴,AB AP CD DP ⊥⊥又AB ∥CD ∴AB DP ⊥又AP ⊂平面PAD ,DP ⊂平面PAD ,且AP DP P = ∴AB ⊥平面PADAB ⊂平面PAB ,所以 平面PAB ⊥平面PAD(2)由题意:设=PA PD AB DC a === ,因为90APD ∠=︒ ,所以PAD ∆为等腰直角三角形 即=2AD a取AD 中点E ,连接PE ,则22PE a =,PE AD ⊥. 又因为平面PAB ⊥平面PAD 所以PE ⊥平面ABCD因为AB ⊥平面PAD ,AB ∥CD 所以AB ⊥AD ,CD ⊥AD 又=AB DC a =所以四边形ABCD 为矩形所以311218233233P ABCD V AB AD PE a aa a -====即2a = 11=223+226=6+2322S ⨯⨯⨯⨯⨯侧【2016,18】如图所示,已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形,6PA =,顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ,D 在平面PAB 内的正投影为点E .连结PE 并延长交AB 于点G .(1)求证:G 是AB 的中点;(2)在题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F (说明作法及理由),并求四面体PDEF 的体积.PABD CGE解析 :(1)由题意可得ABC △为正三角形,故6PA PB PC ===. 因为P 在平面ABC 内的正投影为点D ,故PD ⊥平面ABC . 又AB ⊂平面ABC ,所以AB PD ⊥.因为D 在平面PAB 内的正投影为点E ,故DE ⊥平面PAB . 又AB ⊂平面PAB ,所以AB DE ⊥.因为AB PD ⊥,AB DE ⊥,PD DE D =,,PD DE ⊂平面PDG , 所以AB ⊥平面PDG .又PG ⊂平面PDG ,所以AB PG ⊥. 因为PA PB =,所以G 是AB 的中点.(2)过E 作EF BP ∥交PA 于F ,则F 即为所要寻找的正投影.E GCD BAP F理由如下,因为PB PA ⊥,PB EF ∥,故EF PA ⊥.同理EF PC ⊥, 又PA PC P =,,PA PC ⊂平面PAC ,所以EF ⊥平面PAC , 故F 即为点E 在平面PAC 内的正投影. 所以13D PEF PEF V S DE -=⋅△16PF EF DE =⋅⋅. 在PDG △中,32PG =6DG =3PD =2DE =.由勾股定理知22PE =PEF △为等腰直角三角形知2PF EF ==,故43D PEF V -=.【2015,18】如图四边形ABCD 为菱形,G 为AC 与BD 交点,BE ⊥平面ABCD ,(Ⅰ)证明:平面AEC ⊥平面BED ; (Ⅱ)若∠ABC =120°,AE ⊥EC , 三棱锥E - ACD 6解:(Ⅰ) ∵BE ⊥平面ABCD ,∴BE ⊥AC . ∵ABCD 为菱形,∴ BD ⊥AC ,∴AC ⊥平面BED ,又AC ⊂平面AEC ,∴平面AEC ⊥平面BED . …6分 (Ⅱ)设AB=x ,在菱形ABCD 中,由∠ABC =120°可得, AG=GC=32x ,GB=GD=2x. 在RtΔAEC 中,可得EG =32x . ∴在RtΔEBG 为直角三角形,可得BE=22x . …9分 ∴3116632E ACD V AC GD BE x -=⨯⋅⋅==, 解得x =2. 由BA=BD=BC 可得6.∴ΔAEC 的面积为3,ΔEAD 的面积与ΔECD 5所以三棱锥E-ACD 的侧面积为3+25 …12分18. 解析 (1)因为BE ⊥平面ABCD ,所以BE AC ⊥. 又ABCD 为菱形,所以AC BD ⊥.又因为BD BE B =,BD ,BE ⊂平面BED ,所以AC ⊥平面BED .又AC ⊂平面AEC ,所以平面AEC ⊥平面BED . (2)在菱形ABCD 中,取2AB BC CD AD x ====, 又120ABC ∠=,所以3AG GC x ==,BG GD x ==.在AEC △中,90AEC ∠=,所以132EG AC x ==, 所以在Rt EBG △中,222BE EG BG x =-=,所以3116622sin12023233E ACD V x x x x -=⨯⨯⋅⋅⋅==,解得1x =. 在Rt EBA △,Rt EBC △,Rt EBD △中, 可得6AE EC ED ===.所以三棱锥的侧面积112256632522S =⨯⨯⨯+⨯⨯=+侧.【2014,19】如图,三棱柱111C B A ABC -中,侧面C C BB 11为菱形,C B 1的中点为O ,且⊥AO 平面C C BB 11.(1)证明:;1AB C B ⊥(2)若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB 求三棱柱111C B A ABC -的高. 证明:(Ⅰ)连接 BC 1,则O 为B 1C 与BC 1的交点,∵AO ⊥平面BB 1C 1C . ∴AO ⊥B 1C , …2分 因为侧面BB 1C 1C 为菱形,∴BC 1⊥B 1C ,…4分 ∴BC 1⊥平面ABC 1,∵AB ⊂平面ABC 1,故B 1C ⊥AB . …6分(Ⅱ)作OD ⊥BC ,垂足为D ,连结AD ,∵AO ⊥BC ,∴BC ⊥平面AOD , 又BC ⊂平面ABC ,∴平面ABC ⊥平面AOD ,交线为AD , 作OH ⊥AD ,垂足为H ,∴OH ⊥平面ABC . …9分∵∠CBB 1=60°,所以ΔCBB 1为等边三角形,又BC =1,可得OD 3由于AC ⊥AB 1,∴11122OA B C ==,∴227AD OD OA =+=由 OH·AD=OD·OA ,可得OH=14,又O 为B 1C 的中点,所以点B 1到平面ABC 的距离为7,所以三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高高为7。

相关文档
最新文档