2020届二轮(理科数学) 数列 三角函数 平面向量 专题卷(全国通用)
2020届二轮(理科数学) 平面向量解三角形复数 专题卷(全国通用)
单元质检六平面向量、解三角形、复数(时间:45分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题6分,共48分) 1.设复数i -21+i =a+b i(a ,b ∈R ),则a+b=( ) A.1B.2C.-1D.-22.已知O 是△ABC 所在平面内一点,D 为BC 边的中点,且2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则有( ) A.OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗3.若非零向量a ,b 满足a ⊥(2a+b ),且a 与b 的夹角为2π3,则|O ||O |=( )A.12B.14C.√32D.24.已知菱形ABCD 的边长为a ,∠ABC=60°,则OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.-32a 2B.-34a 2C.34a 2D.32a 25.一艘船以每小时15 km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向,行驶4 h 后,船到达B 处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为 ( )A.15√2 kmB.30√2 kmC.45√2 kmD.60√2 km6.已知向量OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),向量OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),向量OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2cos α,√2sin α),则向量OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角的取值范围是( ) A.[0,π4]B.[π4,5π12] C.[5π12,π2]D.[π12,5π12]7.已知|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,点C 在线段AB 上,且|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为1,则|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -t OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |(t ∈R )的最小值为( ) A.√2 B.√3C.2D.√58.已知平面向量a ,b ,|a |=1,|b |=2,且a ·b =1.若e 为平面单位向量,则(a+b )·e 的最大值为( ) A.√6B.6C.√7D.7二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.设i为虚数单位,复数z=1-i的虚部是.3-i10.已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(t a+b),则实数t的值为.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值,则点P的坐标⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),OO11.已知向量OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,1),在x轴上存在一点P使OO是.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的12.在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为BC的中点,若F为该矩形内(含边界)任意一点,则OO最大值为.13.若向量a,b满足a=(-√3,1),(a+2b)⊥a,(a+b)⊥b,则|b|= .⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO 14.在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,-1),P是曲线y=√1-O2上一个动点,则OO值范围是.三、解答题(本大题共2小题,共22分)15.(11分)在△ABC中,A=30°,BC=2√5,点D在AB边上,且∠BCD为锐角,CD=2,△BCD的面积为4.(1)求cos ∠BCD的值;(2)求边AC的长.16.(11分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,满足c cos B+(2a+b)cos C=0.(1)求角C;(2)若c=√3,求△ABC面积的最大值.单元质检六 平面向量、解三角形、复数1.A 解析∵i -21+i =-12+32i =a+b i,∴a=-12,b=32. ∴a+b=1,故选A .2.B 解析由2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选B .3.B 解析∵a ⊥(2a+b ),且a 与b 的夹角为2π3,∴a ·(2a+b )=2a 2+a ·b =2|a |2-12|a ||b |=0.又|a |≠0,|b |≠0,∴2|a |=12|b |,∴|O ||O |=14,故选B .4.D 解析如图,设OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a+b )·a =a 2+a ·b =a 2+a ·a ·cos60°=a 2+12a 2=32a 2.5.B 解析如图所示,依题意有AB=15×4=60(km),∠DAC=60°,∠CBM=15°,∴∠MAB=30°,∠AMB=45°.在△AMB 中,由正弦定理,得60sin45°=OOsin30°,解得BM=30√2(km),故选B .6.D 解析由题意,得OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+√2cos α,2+√2sin α), 所以点A 的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2.如图,当A 为直线OA 与圆的切点时,向量OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角分别达到最大值和最小值,故选D .7.B 解析依题意,可将点A ,B 置于圆x 2+y 2=4上;由点C 在线段AB 上,且|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为1,得原点O 到线段AB 的距离为1,∠AOB=180°-2×30°=120°,(OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -t OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=4+4t 2-2t ×22cos120°=4t 2+4t+4=4(O +12)2+3的最小值为3,因此|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -t OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为√3. 8.C 解析(a+b )·e=a ·e+b ·e ≤|a ·e|+|b ·e|=|O ·O |O ||+|O ·O|O ||,其几何意义为a 在e 方向上的投影的绝对值与b 在e 方向上的投影的绝对值的和, 当e 与a+b 共线时,取得最大值,(|a ·e|+|b ·e|)max =|a+b |=√|O |2+|O |2+2O ·O =√7,则(a+b )·e 的最大值为√7,故选C . 9.-15解析∵z=1-i 3-i=(1-i)(3+i)(3-i)(3+i)=4-2i 10=25−15i,∴复数z=1-i3-i 的虚部是-15.10.-5 解析由a ⊥(t a +b )可得a ·(t a +b )=0, 所以t a 2+a ·b =0,而a 2=12+(-1)2=2,a ·b =1×6+(-1)×(-4)=10,所以有t ×2+10=0,解得t=-5. 11.(3,0) 解析设点P 坐标为(x ,0),则OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2,-2),OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-4,-1),OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x 2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值1. 故点P 坐标为(3,0).12.92 解析以A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系,则E (2,12).设F (x ,y ),则0≤x ≤2,0≤y ≤1, 则OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x+12y ,令z=2x+12y ,当z=2x+12y 过点(2,1)时,OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最大值92.13.√2 解析∵a =(-√3,1),∴|a |=2.∵(a +2b )⊥a ,(a +b )⊥b , ∴(a +2b )·a =0,(a +b )·b =0,即|a |2+2a ·b =0,① |b |2+a ·b =0.②由①-②×2,得|a |2=2|b |2, 则|b |=√2.14.[0,√2+1] 解析如图,画出函数y=√1-O 2的图象.这是以O (0,0)为圆心,以1为半径的一个半圆.不妨用虚线把这个半圆补充为一个圆.设OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ,则θ∈[0°,90°]. 当θ∈[0°,45°]时,cos(45°-θ)=|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2,当θ∈[45°,90°]时,cos(θ-45°)=|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2.由于y=cos x ,x ∈R 是偶函数,所以|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2cos(θ-45°),θ∈[0°,90°].OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos θ =2√2cos(θ-45°)cos θ =2cos 2θ+2sin θcos θ =sin2θ+cos2θ+1 =√2sin(2θ+45°)+1.因为θ∈[0°,90°], 所以2θ+45°∈[45°,225°].当2θ+45°=90°,即θ=22.5°时,OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最大值√2+1,当2θ+45°=225°,即θ=90°时,OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值0, 所以OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[0,√2+1].15.解(1)∵BC=2√5,CD=2,S △BCD =12BC ·CD ·sin ∠BCD=4,∴sin ∠BCD=2√55.∴cos ∠BCD=√55.(2)在△BCD 中,CD=2,BC=2√5,cos ∠BCD=√55,由余弦定理得,DB 2=CD 2+BC 2-2CD ·BC ·cos ∠BCD=16,即DB=4.∵DB 2+CD 2=BC 2,∴∠BCD=90°,即△ACD 为直角三角形. ∵A=30°,∴AC=2CD=4.16.解(1)由已知得,sin C cos B+(2sin A+sin B )cos C=0,则sin C cos B+sin B cos C+2sin A cos C=0,∴sin(B+C )+2sin A cos C=0,则sin A+2sin A cos C=0.∵sin A>0,∴cos C=-12. ∵C ∈(0,π),∴C=2π3.(2)由余弦定理,c 2=a 2+b 2-2ab cos C , 得3=a 2+b 2+ab ≥2ab+ab=3ab ,∴ab ≤1,当且仅当a=b=1时取等号. ∴S △ABC =12ab sin C ≤12×1×√32=√34. ∴△ABC 面积的最大值为√34.。
2020年高考数学二轮限时训练三角函数、平面向量7理
、选择题A.C.第三部分：三角函数、平面向量（7）【解析】sin nn - 16（限时：时间2 2=a —ab—b ,.1—4ncos"6厶…n n 2 n=sin丁—sin严金—cos w【答案】B2 .已知sin a 14,a€ n,A.第一象限角.第二象限角45分钟，满分100分）则sinnc。
汴cos32n，2n ,则【解析】■/sina=—,a€n, n,4 24 3又cos 3 ==5, 3€ 2 n, 2 n ,• sin 3 3'5,• sin( a + 3')=sin a c os 3 + cos a sinC.第三象限角•第四象限角…cos.15 ~T，20>0.3<2 n,n <3 <2 n,5 • ••尹 <a 7 + 3 <2 n.「•a+3 是第二象限角.【答案】3. （2020年大同模拟）函数f（x）= sin 2 n 2 (x + ) —sin (x41 n 1=^cos(2x — ―) — ^cos(2x + ―)1 1=2s in 2x + 2Sin 2x = sin 2x ,••• f （x ）是周期为n 的奇函数.【答案】 CA . 周期为 2 n 的奇函数B . 周期为 2n 的偶函数 C. 周期为 n 的奇函数 D. 周期为n 的偶函数【解析】 2f(x) = sin (7t =2 1 — COs(2x + y) n 2 n + j ) —sin (x —Q )—2 1 — cos(2x —守)A .（2020年献县二模）已知cos （n . a — ―)+ sin a = 5 .^ 3，贝U sin(7 na+-了）的值是（2.3 5B.2..3 5C. D.【解析】 ■/ cos( n——)+ sin•撐cos1 . a+ qsina+ sin an 4• sin( a+ —) = 5,▼ 7n 又 T sin( a+ ) = sin(6 a+ _6)=— sin(na+ 7)，7n 4.•.Srin( a+ ~)=—匚.6 5 【答案】5. (2020 年正定模拟）若 sinn 1 n 小3 —a = 4，贝U cos — + 2a =(7t 、:3 1cos a+ 于 Sin a7 A.— 82n.cos —— 2 a = 1 — 2sin 1 — 2X 4 2= 7,4 8'【答案】 A :■、填空题6. （2020年海南•宁夏高考改编2— cos 10【答案】 2【解析】3n•.•a 、3€ 4 -,n3n n 3• ••尹 <a + 33 <2 n, 訂--7<4 n4 cos 3 n 5• . cos( a + 3门=5, —4 ：—13，n3 n•・ cos a+ ■4 = cos ( a + 3 )— —4nn=cos( a + 33 )cos3-4+ si n( a + 3 )sin3-T4 5312 56=-x — 513 + — 5x =13—65.C .4D.【解析】 n••• sin -n COS ~3 + 2 a = COS n —2n=—cos2nV —2a7 8.2n■3【解析】3— sin 70 °2— cos 2 103 — sin 70 1 + cos 2022(3 — sin 70 ° ) 3 — cos 20 °=2(3 — cos 20 ° )23 — cos 20 °= 2.7. （2020年南通模拟）已知a 、3nV ，n3nsin( a + 3 ) = — 5, sin 3 ——1 + cos 2x2+ sin x + a sin n 2sin 2 — x2, n=cos x + sin x + asin x +T=：2sin x + -4 + a 2sin=(辽 + a 2)sinx+-4 .依题意有：2+ a 2= ：2 + 3 ,.•• a =± : 3. 【答案】 土 ,；3 三、解答题 nn【解析】T 2< a < n, 0< 3<2，n3 n an• •• 4< a —~2<n,- 7<2 —3<2.故由cos a得 sin aa 2 a由 sin — —3 = 3，得 cos — —310.在厶ABC 中，已知角A 为锐角，且 f(A)=(1)求f(A)的最大值;【答案】 56 65【解析】f(x)21 + 2cos x — 1 2+ sin x + a sin2cos x7tx+N[cos( n — 2A) — 1]sinAn + 2 sin.2n A.2 sin — — 2 —sin n 2 ”cos A.8.设 f(x)nx + —的最大值为:2 + 3,贝V 常数a =9 .设 cos a1 9,sin2 3,7tn<3<2，求 cos( a+3 ). a + 3cos 2=cosa7,5 27 .• cos( 2aa + 3 ) = 2cos —239729.3 27 n⑵若A + B = 了亍，f (A) = 1，求△ ABC 的三个内角.【解析】(1)f(A) A A(cos 2A + 1)sin 2°。
2020年高考数学二轮限时训练三角函数、平面向量2理
第三部分：三角函数、平面向量（2）（限时：时间45分钟，满分100分）一、选择题1 . (2020 年湖北高考)设 a = (1 , - 2) , b = ( — 3,4) , c = (3,2)，则(a + 2b) • c =()A . ( — 15, 12)B . 0 C.— 3 D . — 11 【解析】•/ a + 2b = ( — 5,6),•••(a + 2b) • c = ( — 5,6) • (3,2) =— 15 + 12=— 3.【答案】 C2 .如图，已知正六边形 P 1P 2P 3P4RR ，下列向量的数量积中最大的是 ( )【解析】 利用数量积的几何意义，向量 P 1P 3、P 1P 4、P 1P 5、PR 中，P 1P 3在向量P 1P 2方向上 的投影最大，故 P 1F 2 • P 1P 3最大.【答案】 A3. （2020年江安质检）设A （a,1） , B （2 , b ） , C （4,5）为坐标平面上三点， 0为坐标原点.若0A 与0B 在0C 方向上的投影相同，则 a 与b 满足的关系式为（） A . 4a — 5b = 3 B . 5a — 4b = 3C. 4a + 5b = 14 D . 5a + 4b = 12【答案】 A1 1 3 一【解析】O A • O C 由已知得 —— |O ©0E • O C |O © 4a + 58+ 5b ,41 — .41， •- 4a — 5b = 3. C.P 1P 2 • P P D.P 1P 2 • P1R4 .已知a= 3, 2si n a , b =，cos a, ?，且a与b平行，则锐角a的值为（）A. 8B. n6nC.〒D. 4n 3" 【解析】•• ■ a // b , 13^ 1—一 2sin a •石 COS a= 0,3 2 21 1即 ---- s in 2 2 2a = 0 ,• Sin 2 a= 1. 又••• 0<a< n 2,••• 0<2a <n,【答案】 C5. （2020年汤阴模拟）在厶ABC 中，（B ~C + B^A ） •AC = |A ~C|2，则三角形ABC 的形状一定 是（）A .等边三角形B •等腰三角形 C.直角三角形 D •等腰直角三角形【解析】 由(B"C + B A ) •A'C = |A"C|2,得 A T C • (B ~C + B^A — A_C) = 0, 即 A T C • (B ~C + B ^ + CA )= o ,2B T = 0,AA C ±B A ，•/A = 90° 【答案】 C、填空题【解析】a •b = |a||b| cos 0,— 3 = 3X 2X cos 0, 即卩 1 cos 0=— 2又•0€ [0 ,n ] ,「.0 =2n3 . 6 .（201 1年上海春招）已知|a| = 3,|b| = 2,若a •b =— 3，则a 与b 夹角的大小为【答案】 n则 2 a= — , •a n ~4'••AC 2n 3【解析】 对于A , AC + A 乍=AC + CD = AD = 2B C ，故A 正确.1 —对于 B,vA D = A B + B C + C D = A B + ^A D + A F ,1• 2A D =A B + A F ，•••A E = 2A B + 2A "F ，故 B 正确.对于 C,VA c ・A~D = I A E I IA "C|COS / DAC= |A ~D| •3|A "B|cos 303 =^lA B||A D| , AD •A B = |A D| • |A B |cos Z DAB=|A ~D||A E|cos 601 _= 2|A _B||A D|.故 C 不正确.对于 D,v (A D •A F)E F = |A D||A F |cos 60 ° •E F ,1 =2|A D||A F| •E F , AD(A F •E F)—> —> —> =AD • |A F ||E F |cos 120=(-2E^) • |AP| • ADI •(—弓7 . （2020年江西高考）如图，正六边形 ABCDE 中，有下列四个命题:—> —> —>A . AC + AF = 2BCB . A "D = 2AB + 2A "?C. A _C •AD = A D •A 'B —> —> —> —> —> —>D. (A D •A F)E F = AD(A F •E F)其中真命题的代号是.（写出所有真命题的代号）AB=2|A 1D| • |A •E "F ，故D 正确.【答案】 A B D8. (2020年淮安模拟)△ ABC 内接于以 O 为圆心的圆，且 30" + 4O B — 5O C = 0,则/C【解析】•/ 30" + 4013 — 5O C = 0,••• 3O 1 + 4O B = 5OC ,—1 2 —12 —1 —1 —1 2 • 9OA + 16OB + 24OA •O B = 25OC .又 O A 2= O —B 2 = O C 2,又 30A + 4OB = 5OC , •••点 C 在劣弧 AB 上，C = 135°.【答案】135°三、解答题9 •已知| a| = 1, |b| = .2 a 与b 的夹角为0.(1)若 a // b 求 a • b ;⑵若a — b 与a 垂直，求0.【解析】(1) ••• a / b ,「.0= 0 或 n,• a • b = | a|| b|cos 0= 1 x ：2 x cos 0=± '2.⑵•「(a — b)丄 a ,「. a •( a — b) = 0,2 即 a — a •b = 0,• 1 — 1 x ■'2cos 0= 0,二 cos 0=孑.nT0 € [0 ,n ] ,「・0=才.10.已知向量 O A = (3 , — 4) , O —B = (6 , — 3),OC = (5 — m — (3 + m)).(1)若点A 、B 、C 不能构成三角形，求实数 m 应满足的条件；⑵ 若厶ABC 为直角三角形，求实数 m 的值.【解析】 (1)已知向量 O 11 = (3 , — 4) , O B = (6 , — 3) , O C = (5 — m — (3 + m)), 若点A B 、C 不能构成三角形，则这三点共线，• OALOB.VA I B = (3,1) , A T C = (2 - m,1 - m),1故知3(1 —m)= 2 - m「•实数m=㊁时，满足条件.⑵由题意，△ ABC为直角三角形，①若/A为直角，则A E丄AC,• 3(2 —m)+ (1 —m)= 0，解得m= 4.②若/B 为直角，B C = ( — 1 —m, —m),3则A"B ±B C , • 3( — 1 —m) + ( —m)= 0,解得m= —③若/C为直角，则B C ±A C ,• (2 —m)( — 1 —m)+ (1 —m)( —m)= 0,解得m=号5。
2020年高考数学(理)二轮专项复习专题06 平面向量(含答案)
2020年高考数学（理）二轮专项复习专题06 平面向量平面向量是工具性的知识，向量的坐标化使得向量具有代数和几何两种形式，它把“数”和“形”很好地结合在一起，体现了重要的数学思想方法，在高考中，除了对向量本身的概念与运算的知识进行考察外，向量还与平面几何、三角几何、解析几何、立体几何等知识综合在一起考查，本专题应该掌握向量的基本概念、向量的运算方法与公式以及向量的应用．§6－1 向量的概念与运算【知识要点】1．向量的有关概念与表示(1)向量：既有方向又有大小的量，记作向量c b a ,,,自由向量：数学中所研究的向量是可以平移的，与位置无关，只要是长度相等，方向相同的向量都看成是相等的向量．(2)向量的模：向量的长度，记作：|||,|a AB向量的夹角：两个非零向量a ，b ，作b a ==OB OA ,，则(AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作：〈a ，b 〉 零向量：模为0，方向任意的向量，记作：0单位向量：模为1，方向任意的向量，与a 共线的单位向量是：)0(||=/±a a a(3)相等向量：长度相等，且方向相同的向量叫相等向量． 相反向量：长度相等，方向相反的向量．向量共线：方向相同或相反的非零向量是共线向量，零向量与任意向量共线；共线向量也称为平行向量．记作a ∥b向量垂直；〈a ，b )＝90°时，向量a 与b 垂直，规定：0与任意向量垂直． 2．向量的几何运算(注意：运算法则、运算律)(1)加法：平行四边形法则、三角形法则、多边形法则． (2)减法：三角形法则． (3)数乘：记作：λ a ．它的长度是：｜λ a ｜＝｜λ ｜·｜a ｜ 它的方向：①当λ ＞0时，λ a 与a 同向 ②当λ ＜0时，λ a 与a 反向 ③当λ ＝0时，λ a ＝0 (4)数量积：①定义：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉其物理背景是力在位移方向所做的功． ②运算律：1．(交换律)a ·b ＝b ·a2．(实数的结合律)λ (a ·b )＝(λ a )·b ＝a ·(λ b ) 3．(分配律)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ③性质：设a ，b 是非零向量，则：a ·b ＝0⇔a ⊥ba 与b 同向时，a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜ a 与b 反向时，a ·b ＝－｜a ｜·｜b ｜ 特殊地：a ·a ＝｜a ｜2或a a a ⋅=||夹角：||||,cos b a ba b a ⋅>=<|a ·b |≤|a | |b |3．向量的坐标运算若在平面直角坐标系下，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (1)加法：a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)减法：a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)数乘：λ a ＝(λ x 1，λ y 1) (4)数量积：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 (5)若a ＝(x ，y )，则22||y x +=a(6)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则222221212121||||,cos yx yx y y x x +++=>=<⋅⋅b a ba b a(7)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221221)()(||y y x x AB -+-=(8)a 在b 方向上的正射影的数量为22222121||,cos ||y x y y x x ++=>=<⋅b b a b a a 4．重要定理(1)平行向量基本定理：若a ＝λ b ，则a ∥b ，反之：若a ∥b ，且b ≠0，则存在唯一的实数λ 使得a ＝λ b (2)平面向量基本定理：如果e 1和e 2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2使a ＝a 1e 1＋a 2e 2(3)向量共线和垂直的充要条件：若在平面直角坐标系下，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) 则：a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则⎪⎩⎪⎨⎧==⇔=2121y y x x b a【复习要求】1．准确理解相关概念及表示，并进行简单应用；2．掌握向量的加法、减法、数乘运算的方法、几何意义和坐标运算，了解向量的线性运算的法则、性质；会选择合适的方法解决平面向量共线等相关问题；3．熟练掌握向量的数量积的运算、性质与运算律，会利用向量的数量积解决有关长度、角度、垂直、平行等问题．【例题分析】例1 向量a 、b 、c 是非零的不共线向量，下列命题是真命题的个数有( )个 (1)(b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直，(2)若a ·c ＝b ·c ，则a ＝b ， (3)(a ·b )c ＝a (b ·c )， (4)a ·b ≤｜a ｜｜b ｜ A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【分析】(1)真命题，注意：向量的数量积是一个实数，因此[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )(a ·c )－(c ·a )(b ·c )＝0，所以c (b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直；(2)假命题．a ·c ＝b ·c ≠a ＝b ；即向量的数量积不能两边同时消掉相同的向量，比如：向量a 与向量b 都是与向量c 垂直且模长不等的向量，可以使得左边的式子成立，但是a 、b 这两个向量不相等；(3)假命题．(a ·b )c ≠a (b ·c )，实际上(a ·b )c 是与向量c 方向相同或相反的一个向量，a (b ·c )是与a 方向相同或相反的一个向量，向量a 、c 的方向可以不同，左右两边的向量就不等；(4)真命题．a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉，且cos 〈a ，b 〉≤1，所以a ·b ≤｜a ｜｜b ｜． 解答：选C ．【评析】(1)我们在掌握向量的有关概念时要力求准确和完整，比如平行向量(共线向量)、零向量等，注意积累像这样的容易错误的判断并纠正自己的认识；(2)向量的加减运算与数乘运算的结果仍然是一个向量，而向量的数量积运算结果是一个实数，要熟练掌握向量的运算法则和性质．例2 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A ．)37,97(B ．)97,37(--C ．)97,37(D ．)37,97(--【分析】知道向量的具体坐标，可以进行向量的坐标运算；向量的平行与垂直的关系也可以用坐标体现，因此用待定系数法通过坐标运算求解．解：不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m ，2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，对于(c ＋a )∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )；又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0，则有37,97-=-=n m 故选择D 【评析】平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．此外，待定系数法是在解决向量的坐标运算中常用的方法．例3 (1)已知向量)10,(),5,4(),12,(k OC OB k OA -===，且A 、B 、C 三点共线，求实数k 的值． (2)已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，－3)，若k a －2b 与a 垂直，求实数k 的值． 【分析】(1)向量a 与b (b ≠0)共线⇔存在实数m 使a ＝m b ． 当已知向量的坐标时，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．(2)利用向量的数量积能够巧妙迅速地解决有关垂直的相关问题． a ·b ＝0⇔a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0解：(1)∵)10,(),5,4(),12,(k OC OB k OA -===, ∴)5,4(),7,4(-+=--=k k , ∵A 、B 、C 三点共线，∴CB AB //，即(4－k )(－5)－(4＋k )(－7)＝0，解得：⋅-=32k (2)由(k a －2b )⊥a ，得(k a －2b )·a ＝k a 2－2b ·a ＝2k －2·(2－3)＝0，所以k ＝－1．【评析】①向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数m 使a ＝m b ；当已知向量的坐标时，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．若判断(或证明)两个向量是否共线，只要判断(或证明)两个向量之间是否具有这样的线性关系即可；反之，已知两个向量具有平行关系时，也有线性等量关系成立．②利用向量的共线定理来解决有关求参数、证明点共线或线段平行，以及利用向量的数量积解决垂直问题等是常见的题型，注意在解题过程中适当选择方法、正确使用公式，并注意数形结合．例4 已知：｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，〈a ，b 〉＝60°，求：①a ·b ；②(2 a ＋b )·b ；③｜2a ＋b ｜；④2 a ＋b 与b 的夹角θ 的余弦值【分析】利用并选择合适的公式来求数量积、模、夹角等：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2a a a a a a ⋅⋅=⇒=||||2，若a ＝(x ，y )，则22||y x +=a222221212121||||,cos yx yx y y x x +++=>=<⋅⋅b a ba b a解：①∵｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉＝5； ②(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b ·b ＝10＋25＝35； ③;6125201644)2(|2|222=++=++=+=+⋅⋅b b a a b a b a④⋅==++=++>=+<⋅⋅⋅⋅6161756135||)2()2(|||2|)2(,2cos 2b b a b b a b b a b b a b b a【评析】向量的数量积是一个非常好的工具，利用向量的数量积可以解决求长度、角度、距离等相关问题，同时用向量的数量积解决垂直相关问题也是常见的题型，注意使用正确的公式．例5 已知向量a ＝(sin θ ，cos θ －2sin θ )，b ＝(1，2)． (Ⅰ)若a ∥b ，求tan θ 的值；(Ⅱ)若｜a ｜＝｜b ｜，0＜θ ＜π，求θ 的值．【分析】已知向量的坐标和平行关系与模长，分别用坐标公式刻画． 解：(Ⅰ)因为a ∥b ，所以2sin θ ＝cos θ －2sin θ ，于是4sin θ ＝cos θ ，故41tan =θ． (Ⅱ)由｜a ｜＝｜b ｜知，sin 2θ ＋(cos θ －2sin θ )2＝5，所以1－2sin2θ ＋4sin 2θ ＝5． 从而－2sin2θ ＋2(1－cos2θ )＝4，即sin2θ ＋cos2θ ＝－1， 于是22)4π2sin(-=+θ又由0＜θ ＜π知，49π4π24π<+<θ，所以45π4π2=+θ，或47π4π2=-θ 因此2π=θ，或43π=θ．例6 设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( ) (A)－2(B)22-(C)－1(D)21-【分析】由向量的模长以及夹角，考虑从数量积的运算寻找解决问题的突破口解：∵a ，b ，c 是单位向量，∴(a －c )·(b －c )＝a ·b －(a ＋b )·c ＋c 221〉,〈cos 121-≥+-=⋅⋅c b a故选D ．例7 在△ABC ，已知23||.||32BC ==⋅，求角A ，B ，C 的大小． 【分析】熟悉向量的数量积的形式，再结合三角公式来解决问题 解：设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c由||||32⋅⋅=得bc A bc 3cos 2=，所以23cos =A 又A ∈(0，π)，因此6π=A 由23||||3BC AC AB =⋅得23a bc =，于是43sin 3sin sin 2==⋅A B C 所以43)sin 23cos 21(sin ,43)6π5sin(sin =+=-⋅⋅C C C C C ，因此02cos 32sin ,3sin 32cos sin 22=-=+⋅C C C C C ，即0)3π2sin(=-C由6π=A 知6π50<<C ，所以34π3π2,3π<--C ，从而03π2=-C ，或π3π2=-C ，即6π=C ，或32π=C ，故 6π,32π,6π===C B A ，或⋅===32π,6π,6πC B A【评析】向量往往是一步工具性的知识应用，继而转化为三角函数、不等式、解三角形等知识，因此，熟练准确掌握向量的基本概念、基本运算法则、性质，以及灵活选择合适的公式非常必要．练习6－1一、选择题1．平面向量a ，b 共线的充要条件是( ) A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ ∈R ，b ＝λ aD ．存在不全为零的实数λ 1，λ 2，λ 1a ＋λ 2b ＝02．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λ a ＋b 与a 垂直，则λ 是( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且2=，则顶点D 的坐标为( ) A ．)27,2(B ．)21,2(-C ．(3，2)D ．(1，3)4．设△ABC 的三个内角A ，B ，C ，向量)cos 3,(cos ),sin ,sin 3(A B B A ==n m ，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( ) A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 二、填空题5．设a ＝(2k ＋2，4)，b ＝(8，k ＋1)，若a 与b 共线，则k 值为______． 6．已知向量),3(),2,1(m OB OA =-=，若AB OA ⊥，则 m ＝______． 7．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，MN MP 21=，则P 点坐标为______． 8．已知a 2＝1，b 2＝2，(a －b )·a ＝0，则a 和b 的夹角是______． 三、解答题9．已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB 相等，其中A (1，2)，B (3，2)，求实数x 的值．10．已知向量a 与b 同向，b ＝(1，2)，a ·b ＝10．(1)求向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(b ·c )a ．11．若向量a 与b 的夹角为60°，｜b ｜＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，求向量a 的模．§6－2 向量的应用【知识要点】1．向量的基本概念与运算与平面几何联系解决有关三角形的形状、解三角形的知识； 2．以向量为载体考查三角函数的知识；3．在解析几何中用向量的语言来表达平行、共线、垂直、中点以及定比分点等信息，实际上还是考查向量的运算方法与公式． 【复习要求】会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．例1若·==⋅⋅，求证三角形ABC 是正三角形， 【分析】给出的是一个连等的等式，考虑移项进行向量的运算，进而得到正三角形的某些判定的结论． 证明0)()(=+=-=-⋅⋅⋅⋅，即BC 与BC 边上的中线垂直，所以AB ＝AC ，同理BC ＝BA ，可以得到该三角形是等边三角形；例2 已知四边形ABCD 中，若⋅⋅⋅⋅===，判断四边形ABCD 的形状． 【分析】已知向量的数量积的对称式，可以从运算和几何意义上分别研究． 解答1从几何意义上设k ====⋅⋅⋅⋅若k ＞0，则∠ABC ，∠BCD ，∠CDA ，∠DAB 都是钝角，与四边形内角和为360°矛盾，舍；同理k ＜0时，也不可能，故k ＝0，即四边形ABCD 为矩形．解答2从运算上，0)()(=+=-=-⋅⋅⋅⋅DC AB BC CD AB BC CD BC BC AB 同理；0)()(=+=-=-⋅⋅⋅⋅ 于是BC AD //，同理CD AB //，得到四边形ABCD 是平行四边形；∴02)()(==+=-=-⋅⋅⋅⋅⋅ ∴BC AB ⊥，∴四边形ABCD 为矩形．【评析】利用数量积解决三角形的形状时，常常涉及向量的夹角问题，注意向量的数量积的正负对向量夹角的约束，另外，一些对称式告诉我们几何图形应该具有一个规则的形状，不因为改变字母而变化形状，我们可以直观判断形状．例3 已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量)1,3(-=m ，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，求角A ，B 的大小．【分析】在三角形中，借助垂直向量的条件可以得到A 角的三角方程，从而求出三角形的内角A ，已知的等式左右两边是边的齐次式，可以借助三角形的正弦定理、三角公式等知识求三角形的其余内角．解：∵ 0sin cos 3=-=⊥⋅∴A A n m n m ，即3tan =A ，∴三角形内角;3π=A ∵a cosB ＋b cos A ＝c sinC ，∴sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ，即sin(A ＋B )＝sin 2C ，sin C ＝1，,2π=C ∴⋅=6πB 【评析】向量的知识经常被用在三角形或者解析几何等知识里，结合相关的知识点进行考查，常见的有中点的表达(比如221OB OA OM AB AM 、MBAM +===、等都说明M 是AB 中点)、定比分点的表达、平行(或共线)或垂直的表达等，要注意分析并积累向量语言表达的信息．例4 已知△ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A (3，4)、B (0，0)、C (c ，0)．(1)若0=⋅AC AB ，求c 的值；(2)若c ＝5，求sin ∠A 的值．【分析】(1)利用点的坐标求向量的坐标，利用向量数量积的坐标公式转化为代数问题进行运算求解即可．(2)向量的数量积有代数和几何两种运算公式，为我们沟通了更多的等量关系，我们不仅可以数形结合，还可以利用解三角形的其他知识，如①利用数量积AC AB ⋅求出cos A 进而求sin A ；②余弦定理正弦定理解：(1))4,3(),4,3(--=--=c AC AB 由0=⋅AC AB 可得－3(c －3)＋16＝0解得325=c (2)[法一]当c ＝5时，可得AB ＝5，52=AC ，BC ＝5，△ABC 为等腰三角形， 过B 作BD ⊥AC 交AC 于D ，可求得52=BD 故,552sin ==ABBD A[法二].cos ||||),4,2(),4,3(A ⋅=-=--=⋅=∈=+-=⨯∴∴∴552sin ],π,0[,55cos 166cos 525A A A A 【评析】向量的数量积有代数和几何两种运算公式，为我们沟通了更多的等量关系，使用时不仅可以数形结合，还可以和解三角形的其他知识——余弦定理、正弦定理一起来解决有关三角形的问题．例5 若等边△A B C 的边长为32，平面内一点M 满足CA CB CM 3261+=，则 =⋅______．解析：建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C (0，0)，)3,3(),0,32(B A ，利用向量坐标运算，求得)21,233(M ，从而求得)25,23(),21,23(--=-=，运用数量积公式解得为－2．另外，还可以通过向量的几何运算求解．解：),3265()6131()()(--=--=⋅⋅⋅ 660cos 3232,32||||=⨯===⋅⋅ ，得到.2-=⋅【评析】注意向量有两套运算公式，有坐标时用代数形式运算，没有坐标时用向量的几何形式运算，同时注意向量在解三角形中的几何运用，以及向量的代数化手段的重要性．例6 已知向量a ＝(cos a ，sin a )，b ＝(cos β ，sin β )，c ＝(－1，0) (Ⅰ)求向量b ＋c 的长度的最大值；(Ⅱ)设4π=α，且a ⊥(b ＋c )，求cos β 的值． 【分析】关于向量的模一方面有坐标的计算公式和平方后用向量的数量积运算的公式，另一方面有几何意义，可以数形结合；解：(1)解法1：b ＋c ＝(cos β －1，sin β )，则 ｜b ＋c ｜2＝(cos β －1)2＋sin 2β ＝2(1－cos β )．∵－1≤cos β ≤1，∴0≤｜b ＋c ｜2≤4，即0≤｜b ＋c ｜≤2．当cos β ＝－1时，有｜b ＋c ｜＝2，所以向量b ＋c 的长度的最大值为2． 解法2：∵｜b ｜＝1，｜c ｜＝1，｜b ＋c ｜≤｜b ｜＋｜c ｜＝2 当cos β ＝－1时，有｜b ＋c ｜＝(－2，0)，即｜b ＋c ｜＝2， b ＋c 的长度的最大值为2．(2)解法1：由已知可得b ＋c ＝(cos β －1，sin β )，a ·(b ＋c )＝cos α cos β ＋sin α sin β －cos α ＝cos(α －β )－cos α ． ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos(α －β )＝cos α ．由4π=α，得4πcos )4πcos(=-β，即).(4ππ24πZ ∈±=-k k β ∴4ππ2+=k β或β ＝2k π，(k ∈Z )，于是cos β ＝0或cos β ＝1．解法2：若4π=α，则)22,22(=a ，又由b ＝(cos β ，sin β )，c ＝(－1，0)得,22sin 22cos 22)sin ,1(cos )22,22()(-+=-⋅=+⋅ββββc b a ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos β (cos β －1)＝0∴sin β ＝1－cos β ，平方后sin 2β ＝(1－cos β )2＝1－cos 2β ，化简得cos β (cos β －1)＝0 解得cos β ＝0或cos β ＝1，经检验，cos β ＝0或cos β ＝1即为所求例7 已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角,3π=C 求△ABC 的面积． 【分析】已知向量的坐标和位置关系，考虑用坐标运算入手，结合三角形的条件解决问题证明：(1)∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ， 即Rbb R a a 22⋅⋅=，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a ＝b ， ∴△ABC 为等腰三角形．解(2)由题意可知m ⊥p ，m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab ， 由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(舍去ab ＝－1) ∴33πsin 421sin 21===⋅⋅C ab S 例8 已知向量)2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos xx x x -==b a ，其中].2π,0[∈x(1)求a ·b 及｜a ＋b ｜；(2)若f (x )＝a ·b －2λ ｜a ＋b ｜的最小值是23-，求λ 的值． 【分析】只要借助向量的数量积以及模的坐标公式代入，继而转化为三角函数与函数的有关知识． 解：(1)x xx x x 2cos 2sin 23sin2cos 23cos =-=⋅b a ]2π,0[,cos 22cos 22)(||2∈=+=+=+x x x b a b a或]2π,0[,cos 22cos 22)2sin 23(sin )2cos 23(cos||22∈=+=-++=+x x x x x x x b a (2)f (x )＝a ·b －2λ ｜a ＋b ｜＝cos2x －4λ cos x ＝2cos 2x －4λ cos x －1＝2(cos x －λ )2－2λ 2－1 ∵],1,0([cos ]2π,0[x x ∴∈①当λ ≤0时；f (x )的最小值是－1，不可能是23-，舍； ②当0＜λ ＜1时，f (x )的最小值是23122-=--λ，解得;21=λ③当λ ≥1时，f (x )的最小值是2341-=-λ，解得185<=λ，舍；∴⋅=21λ【评析】向量的知识经常和三角函数、函数、不等式等的知识联系在一起进行考查，向量仅仅是一步坐标运算，继而转化为其他知识，因此使用公式时要准确，为后续解题做好准备．练习6－2一、选择题1．若为a ，b ，c 任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定成立的是( ) A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c C ．m (a ＋b )＝m a ＋m b D ．(a ·b )c ＝a (b ·c ) 2．设)31,(cos ),sin ,23(αα==b a ，且a ∥b ，则α 的值是( ) A ．)(,4ππ2Z ∈+=k k α B ．)(,4ππ2Z ∈-=k k α C ．)(,4ππZ ∈+=k k α D ．)(,4ππZ ∈-=k k α3．在△ABC 中，b a ==,，且a ·b ＞0，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形4．已知：△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，且=++，则点P 与△ABC 的位置关系是( ) A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上二、填空题5．若向量a ，b 满足｜a ｜＝1，｜b ｜＝2，且a 与b 的夹角为3π，则｜a ＋b ｜＝______． 6．已知向量a ＝(cos θ ，sin θ )，向量)1,3(-=b ，则｜2a －b ｜的最大值是______． 7．若)1,2(),3,1(x ==b a ，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，则x ＝______．8．已知向量)5,3(),6,4(==OB OA ，且OB AC OA OC //,⊥，则向量＝______ 三、解答题9．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，｜b ｜＝1，求｜a ＋2b ｜．10．P 在y 轴上，Q 在x 轴的正半轴上，H (－3，0)，M 在直线PQ 上，,0=⋅MQ 23-=．当点P 在y 轴移动时，求点M 的轨迹C 方程．11．已知向量a ＝(sin θ ，1)，2π2π),cos ,1(<<-=θθb (1)若a ⊥b ，求θ ；(2)求｜a ＋b ｜的最大值．习题6一、选择题1．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2 a ＋3b ＝( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6) D ．(－2，－4) 2．给出下列五个命题： ①｜a ｜2＝a 2；②ab a b a 2=⋅；③(a ·b )2＝a 2·b 2； ④(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2；⑤若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；其中正确命题的序号是( ) A ．①②③ B ．①④ C ．①③④D ．②⑤3．函数y ＝2x ＋1的图象按向量a 平移得到函数y ＝2x ＋1的图象，则( ) A ．a ＝(－1，－1) B ．a ＝(1，－1) C ．a ＝(1，1) D ．a ＝(－1，1) 4．若a 2＝1，b 2＝2，(a －b )·a ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 5．已知在△ABC 中，,⋅⋅⋅==则O 为△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 二、填空题6．已知p ＝(1，2)，q ＝(－1，3)，则p 在q 方向上的正射影长为______； 7．如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：①．2=+ ②．AF AB AD 22+= ③．AB AD AD AC ⋅⋅=④．)()(⋅=⋅其中真命题的代号是______(写出所有真命题的代号)．8．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120°．如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若y x +=，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是______．9．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(1，1)，若向量b ⊥(a ＋λ b )，则实数λ 的值______；若b ba aa a c )(⋅⋅-=，则向量a 与c 的夹角为______；10．已知｜a ｜＝3，｜b ｜＝4，a ·b ＝－2，则｜a ＋b ｜＝______． 三、解答题11．已知).1,3(),3,1(-==b a(1)证明：a ⊥b ；(2)若k a －b 与3a －k b 平行，求实数k ； (3)若k a －b 与k a ＋b 垂直，求实数k ．12．设向量a ＝(cos23°，cos67°)，b ＝(cos68°，cos22°)，u ＝a ＋t b ，(t ∈R )．(1)求a ·b(2)求u 的模的最小值．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，.73tan =C(1)求cos C ； (2)若25=⋅，且a ＋b ＝9，求c ．14．已知函数f (x )＝kx ＋b 的图象与x ，y 轴相交于点A ，B ，j i j i ,(22+=，分别是与x ，y 轴正半轴同方向的单位向量)函数g (x )＝x 2－x －6，(1)求k ，b 的值；(2)当x 满足f (x )＞g (x )时，求函数)(1)(x f x g +的最小值．15．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若f (x )＝a ·b 在区间(－1，1)上是增函数，求t 的取值范围．专题06 平面向量参考答案练习6－1一、选择题1．D 2．A 3．A 4．C 二、填空题5．3或－5 6．4 7．)23,1(-- 8．45° 三、解答题9．由已知)0,2(==a ，所以⎩⎨⎧=--=+043232x x x ，得x ＝－1．10．(1)由已知设a ＝(λ ，2λ )且λ ＞0，a ·b ＝λ ＋4λ ＝10，λ ＝2，所以a ＝(2，4)； (2)(b ·c )a ＝(2－2)a ＝0． 11．6．练习6－2一、选择题1．D ． 2．C ． 3．C ． 4．D ． 二、填空题5．7 6．4 7．－6或9 8．)214,72(- 三、解答题9．32 由已知｜a ｜＝2，｜a ＋2b ｜2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴32|2|=+b a .10．解答：设M (x ，y )，∵M 在直线PQ 上, ),0,32(),2,0(,23x Q y P --=∴ ∵)2,(),2,3(,0y y x PM yHP PM HP +=-==⋅ ∴02323.=-yy x ，即y 2＝4x ．(除原点．) 11．解：(Ⅰ)若a ⊥b ，则sin θ ＋cos θ ＝0，由此得)2π2π(1tan <<--=θθ，所以;4π-=θ(Ⅱ)由a ＝(sin θ ，1)，b ＝(1，cos θ )得)cos (sin 23)cos 1()1(sin ||22θθθθ++=++=+b a,)4πsin(223++=θ当1)4πsin(=+θ时，｜a ＋b ｜取得最大值，即当4π=θ时，｜a ＋b ｜最大值为.12+习题6一、选择题1．B 2．B 3．A 4．B 5．D 二、填空题6．2107．①、②、④ 8．2 9．λ ＝－3；90° 10．21 三、解答题11．(2)k ＝±3；(3)k ＝±1． 12．答案：(1)22=⋅b a ，(2)22||min =u13．解答：(1)∵73tan =C ，∴73cos sin =C C ，又∵sin 2C ＋cos 2C ＝1 解得⋅±=81cos C ∵tan C ＞0，∴C 是锐角． ∴⋅=81cos C(2)∵20,25cos ,25===⋅∴∴ab C ab ．又∵a ＋b ＝9 ∴a 2＋2ab ＋b 2＝81．∴a 2＋b 2＝41．∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝36．∴c ＝6．14．略解：(1)由已知得)0,(k b A -，B (0，b )，则),(b k b AB =，于是.2,2==b kb∴k ＝1，b ＝2． (2)由f (x )＞g (x )，得x ＋2＞x 2－x －6，即(x ＋2)(x －4)＜0，得－2＜x ＜4，521225)(1)(2-+++=+--=+x x x x x x f x g由于x ＋2＞0，则3)(1)(-≥+x f x g ，其中等号当且仅当x ＋2＝1，即x ＝－1时成立∴)(1)(x f x g +的最小值是－3． 15．略解：解法1：依定义f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，则f '(x ＝－3x 2＋2x ＋t ．若f (x )在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上可设f '(x )≥0．∴f '(x )≥0⇔t ≥3x 2－2x ，在区间(－1，1)上恒成立，考虑函数g (x )＝3x 2－2x ，由于g (x )的图象是对称轴为31=x ，开口向上的抛物线，故要使t ≥3x 2－2x 在区间(－1，1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5．而当t ≥5时，f '(x )在(－1，1)上满足f ′(x )＞0，即f (x )在(－1，1)上是增函数．故t 的取值范围是t ≥5． 解法2：依定义f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，f '(x )＝－3x 2＋2x ＋t ． 若f (x )在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上可设f '(x )≥0． ∵f '(x )的图象是开口向下的抛物线，∴当且仅当f '(1)＝t －1≥0，且f '(－1)＝t －5≥0时，f '(x )在(－1，1)上满足f '(x )＞0，即f (x )在(－1，1)上是增函数．故t 的取值范围是t ≥5．。
2020年高考数学二轮限时训练 三角函数、平面向量 4 理
第三部分：三角函数、平面向量（4）(限时：时间45分钟，满分100分) 一、选择题1．已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫133，83 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫133，43 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43 【解析】 a －2b ＋3c ＝(13＋3x,4＋3y)＝(0,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 13＋3x ＝04＋3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－133y ＝－43.【答案】 D2．(2020年石家庄二模)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)【解析】 在平行四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →，∴BD →＝(AC →－AB →)－AB →＝(1,3)－2(2,4)＝(1,3)－(4,8)＝(－3，－5)．【答案】 B3．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)【解析】 由题知：4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20),2(a －c )＝(4，－2)．由题意知：4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，则(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋d ＝0，即(2,6)＋d ＝0，故d ＝(－2，－6)．【答案】 D4．(2020年广东五校联考)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sinx ，34，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12cosx ，且a ∥b ，则锐角x 为( )A.π6B.π4C.π3D.512π 【解析】 ∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sinx ，34，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12cosx ，且a ∥b ， ∴12sinxcosx －34×13＝0，即14sin2x －14＝0， ∴sin2x＝1.又∵x 为锐角，∴2x＝π2，x ＝π4. 【答案】 B5．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A(3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝αOA →＋βOB →，其中α、β∈R 且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －2)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0【解析】 由已知得OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，设C(x ，y)，由OC →＝αOA →＋βOB →，得(x ，y)＝α(3,1)＋β(－1,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3α－βy ＝α＋3β，解得⎩⎪⎨⎪⎧ α＝110(3x ＋y)β＝110(3y －x)，又α＋β＝1，∴110(3x ＋y)＋110(3y －x)＝1， 即x ＋2y －5＝0.【答案】 D二、填空题6．e 1，e 2是不共线向量，且a ＝－e 1＋3e 2，b ＝4e 1＋2e 2，c ＝－3e 1＋12e 2，若b ，c 为一组基底，则a ＝________.【解析】 设a ＝λ1b ＋λ2c ，则－e 1＋3e 2＝λ1(4e 1＋2e 2)＋λ2(－3e 1＋12e 2)即－e 1＋3e 2＝(4λ1－3λ2)e 1＋(2λ1＋12λ2)e 2，⎩⎪2λ1＋12λ2＝3解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＝－118λ2＝727，∴a ＝－118b ＋727c . 【答案】 －118b ＋727c 7．向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，c ＝a ＋b ，d ＝a －b ，若c ∥d ，则实数x ＝________.【解析】 c ＝a ＋b ＝(1＋x,3)，d ＝a －b ＝(1－x,1)，由c ∥d ，得1＋x －3(1－x)＝0，解得x ＝12. 【答案】 128．(2020年启东模拟)已知向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{b |b ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }，则M∩N＝________.【解析】 由(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3λ1＝－2＋4λ22＋4λ1＝－2＋5λ2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＝－1λ2＝0，∴M∩N＝{(－2，－2)}．【答案】 {(－2，－2)}三、解答题9．已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和D(－2,3)，以AB →、AC →为一组基底来表示AD →＋BD →＋CD →.【解析】 由已知得：AB →＝(1,3)，AC →＝(2,4)，AD →＝(－3,5)，BD →＝(－4,2)，CD →＝(－5,1)，∴AD →＋BD →＋CD →＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．设AD →＋BD →＋CD →＝λ1AB →＋λ2AC →，则(－12,8)＝λ1(1,3)＋λ2(2,4)，⎩⎪3λ1＋4λ2＝8解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＝32λ2＝－22，∴AD →＋BD →＋CD →＝32AB →－22AC →.10．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,1)，k ，t 为正实数，x ＝a ＋(t 2＋1)b ，y ＝－1k a ＋1t b ，问是否存在k 、t ，使x ∥y ，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】 x ＝a ＋(t 2＋1)b＝(1,2)＋(t 2＋1)(－2,1)＝(－2t 2－1，t 2＋3) y ＝－1k a ＋1t b ＝－1k (1,2)＋1t (－2,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k －2t，－2k ＋1t ， 假设存在正实数k ，t 使x //y ，则(－2t 2－1)(－2k ＋1t )－(t 2＋3)(－1k －2t)＝0， 化简得t 2＋1k ＋1t＝0，即t 3＋t ＋k ＝0， ∵k，t 是正实数，故满足上式的k ，t 不存在，∴不存在这样的正实数k ，t ，使x ∥y .。
2020届高三数学二轮复习过关检测2 三角函数与平面向量 理
过关检测(二) 三角函数与平面向量(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(2020·重庆)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．32．(2020·济南三模)已知非零向量a 、b 满足向量a ＋b 与向量a －b 的夹角为π2，那么下列结论中一定成立的是( )． A ．a ＝b B ．|a |＝|b | C ．a ⊥bD ．a ∥b3．函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图象关于直线x ＝π4对称，则φ的可能取值是( )．A.3π4 B ．－3π4 C.π4 D.π24．(2020·惠州模拟)已知向量a ，b ，则“a ∥b ”是“a ＋b ＝0”的________条件( )．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5．(2020·哈尔滨四校联考三模)已知角2α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边过－12，32,2α∈[0,2π)，则tan α＝( )．A ．－ 3 B. 3 C.33 D ．－336．(2020·皖南八校联考)设向量a ，b 满足：|a |＝2，a ·b ＝32，|a ＋b |＝22，则|b |等于( )．A.12 B ．1 C.32D ．2 7．(2020·湖南十二校第一次联考)已知平面向量a ＝(－2，m )，b ＝(1,2)，且a ∥b ，则|a ＋3b |等于( )．A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D ．4 58．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则( )．A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π69．若△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA →＋AB →＋AC →＝0，|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →的值是( )．A ．3B ．2C ．1D ．010．(2020·陕西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )．A.32 B.22 C.12 D ．－1211．平面上不共线的4个点A ，B ，C ，D ，若(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 是( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形12．给出下列四个命题：①f (x )＝sin2x －π4的对称轴为x ＝k π2＋3π8，k ∈Z ；②函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的最大值为2； ③函数f (x )＝sin x cos x －1的周期为2π；④函数f (x )＝sin x ＋π4在－π2，π2上是增函数．其中正确命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11．(2020·北京顺义模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)．则sin 2α－tan α＝________.12．(2020·肇庆调研)已知向量a ＝(4,3)，b ＝(－2,1)，如果向量a ＋λb 与b 垂直，则|2a －λb |的值为________．13．函数y ＝tan π4x －π2(0＜x ＜4)的图象如图所示，A 为图象与x 轴的交点，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →等于________．14．(2020·太原调研)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝2，sin B ＋sin C ＝3sin A ，且△ABC 的面积为43sin A ，则∠A ＝________.三、解答题(本大题共5小题，共54分)15．(10分)(2020·临沂一模)已知f (x )＝cos x －3π4－sin x －5π4.(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)若f (α)＝85，求sin 2α－2sin 2α1－tan α的值．16.(10分)(2020·安徽)设函数f (x )＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝g (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )．求g (x )在区间[－π，0]上的解析式．17．(10分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sinB ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．18．(12分)(2020·四川)函数f (x )＝6cos2ωx2＋3sin ωx －3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．(1)求ω的值及函数f (x )的值域；(2)若f (x 0)＝835，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，求f (x 0＋1)的值． 19．(12分)(2020·陕西五校联考)已知向量m ＝(sin x ，3sin x )，n ＝(sin x ，－cos x )，设函数f (x )＝m ·n ，若函数g (x )的图象与f (x )的图象关于坐标原点对称． (1)求函数g (x )在区间－π4，π6上的最大值，并求出此时x 的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，若f (A )－g (A )＝32，b ＋c ＝7，△ABC 的面积为23，求边a 的长．参考答案过关检测(二) 三角函数与平面向量1．A [由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3.]2．B [由(a ＋b )·(a －b )＝0，得：a 2＝b 2，∴|a |＝|b |.]3．A [∵y ＝cos x ＋2的对称轴为x ＝k π(k ∈Z )，∴x ＋φ＝k π，即x ＝k π－φ(k ∈Z )，令π4＝k π－φ(k ∈Z )得φ＝k π－π4(k ∈Z )，显然在四个选项中，只有3π4满足题意．故正确答案为A.]4．B [a ∥b 只要求两向量共线，而“a ＋b ＝0”要求反向共线且模相等．] 5．B [由三角函数定义知：tan 2α＝32－12＝－3，又2 α∈[0,2π)，∴2α＝2π3，∴α＝π3，∴tan α＝ 3.]6．B [|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4＋3＋b 2＝8，∴|b |＝1.]7．A [因为a ∥b ，所以m ＝－4，故a ＋3b ＝(1,2)，所以其模为 5.]8．D [由题图知：T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2，又2×π3＋φ＝π2，∴φ＝－π6.]9．A [仔细分析式子：2OA →＋AB →＋AC →＝0，易得△ABC 是直角三角形，且A 为直角，又|OA →|＝|AB →|，故C ＝30°， 由此|AC →|＝3，|BC →|＝2，CA →·CB →＝|CA →|·|CB →|·cos 30°＝3.]10．C [由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .又c 2＝12(a 2＋b 2)，所以2ab cos C ＝12(a 2＋b 2)，即cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12.]11．解析 因为角α终边经过点P (－3，3)，所以sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33，∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. 答案 －3612．解析 a ＋λb ＝(4,3)＋λ(－2,1)＝(4－2λ，3＋λ)，∵(a ＋λb )⊥b ，∴(4－2λ，3＋λ)·(－2,1)＝0， 解得λ＝1,2a －λb ＝(8,6)－(－2,1)＝(10,5)， |2a －λb |＝102＋52＝5 5. 答案 5 513．解析 (OB →＋OC →)·OA →＝2OA →2，由图知|OA →|＝2，∴(OB →＋OC →)·OA →＝8.答案 814．解析 由正弦定理得：b ＋c ＝3a ＝23，①又S △ABC ＝12bc sin A ＝43sin A ，∴bc ＝83，②由①平方得：b 2＋c 2＝203，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝203－4163＝12，∴A ＝60°.答案 60°15．解 (1)f (x )＝cos x －34π－sin x －54π＝sin x －π4＋sin x －π4＝2sin x －π4.∴f (x )的最小正周期为2π，最小值为－2. (2)由f (α)＝85，得sin α－π4＝45，∴22(sin α－cos α)＝45， ∴2sin αcos α＝－725.∴sin 2α－2sin 2α1－tan α＝2sin αcos α－sin α1－sin αcos α＝2sin αcos α－sin αcos α－sin αcos α＝2sin αcos α＝－725.16．解 (1)f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－cos 2x 2＝12－12sin 2x ， 故f (x )的最小正周期为π.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )＝12sin 2x ，故①当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，x ＋π2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.由于对任意x ∈R ，g ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝g (x )，从而g (x )＝g ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝12sin(π＋2x )＝－12sin 2x .②当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2时，x ＋π∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2. 从而g (x )＝g (x ＋π)＝12sin[2(x ＋π)]＝12sin 2x .综合①、②得g (x )在[－π，0]上的解析式为 g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2，－12sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0.17．解 (1)∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ， 由正弦定理知：a ＝b ， 故△ABC 为等腰三角形． (2)由m ⊥p ，得：a (b －2)＋b (a －2)＝0， ∴a ＋b ＝ab ， 由余弦定理知：4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0. 解得：ab ＝4(舍去ab ＝－1)∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.18．解 (1)由已知可得，f (x )＝3cos ωx ＋3sin ωx ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，又正三角形ABC 的高为23，从而BC ＝4，所以函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4.函数f (x )的值域为[－23，23]． (2)因为f (x 0)＝835，由(1)有f (x 0)＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝835，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝45.由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，知πx 04＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. 故f (x 0＋1)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π4＋π3＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＋π4＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3sin π4＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫45×22＋35×22＝765.19．解 (1)由题意得：f (x )＝sin 2x －3sin x cos x ＝1－cos 2x 2－32sin 2x ＝12－sin2x ＋π6， 所以g (x )＝－12－sin2x －π6.因为x ∈－π4，π6，所以2x －π6∈－2π3，π6.所以当2x －π6＝－π2即x ＝－π6时，函数g (x )在区间－π4，π6上的最大值为12.(2)由f (A )－g (A )＝32得：1－sin2A ＋π6＋sin2A －π6＝32，化简得：cos 2A ＝－12，又因为0＜A ＜π2，所以A ＝π3，由题意知：S △ABC ＝12bc sin A ＝23，解得bc ＝8，又b ＋c ＝7， 所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A ) ＝49－2×8×1＋12＝25.故所求边a的长为5.。
2020届高考数学(理)二轮重点突击专题卷(4)平面向量
重点突击专题卷（4）平面向量1、已知向量(2,0,a =，则下列向量中与a 成45︒的夹角的是()A. (0,0,2)B. (2,0,0)C.D.0)2、已知i j k 、、为空间两两垂直的单位向量，且32,2a i j k b i j k =+-=-+，则53a b ⋅=( ) A ．15-B ．5-C ．3-D ．1-3、已知P 是ABC △内的一点，1()3AP AB AC =+,则ABC △的面积与ABP △的面积的比值为( ) A.32B.2C.3D.64、若132a k b ==（，），（，），且a b ，共线，则2a b a b -⋅+（）（）=( ) A.-13 B.0C.-12D.-55、设向量(2,4)a =与向量(,6)b x =共线，则实数x =( )A ．2B ．3C ．4D ．66、下列命题中正确的是( )A ．若//,//a b b c ，则a c 与所在直线平行B ．向量a b c 、、共面即它们所在直线共面C ．空间任意两个向量共面D ．若//a b ，则存在唯一的实数λ，使a b λ=7、在ABC △中，13BD BC =，若 AB a AC b ==，，则AD =（ ）A.2133a b +B.1233a b + C.1233a b -D.2133a b -8、己知向量(2,3),(,4)a bm ==，若,a b共线，则实数m =( )A.－6B.83- C. 83 D.69、已知向量()()2,31,2a b ==-，，若42ma b a b +-与共线，则m 的值为( ) A ．12B ． 2C ．12-D ．2-10、设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与(2)b a --共线，则λ=( ) A.0B.12-C.-2D.1211、四边形ABCD 中，2AB a b =+,4,53BC a b CD a b =--=--，其中,a b 不共线，则该四边形ABCD 一定为( ) A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形12、已知已知,,a b c 是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是( ) A ． 2,,2a a b a b -+ B ． 2,,2b b a b a -+ C ．,2,a b b c -D ．,,c a c a c +-13、已知()1,2a =r，()4,bk =r ，若()()2//3a b a b +-r rr r ，则k=_________．14、若()()12,3,3,2,,2A B C m ⎛⎫--⎪⎝⎭三点共线,则m 的值为__________. 15、设向量()(),1,1,2a m b ==,且222a b a b +=+,则m =__________.16、在ABC ∆中, ,3A O π∠=为平面内一点, 且,OA OB OC M ==为劣弧BC 上的一动点,且OMpOB qOC =+,则p q +的取值范围为__________.17、已知向量()()()3,1,1,2,2,1a b c =-=-=,若(),a xb yc x y R =+∈,则x y +=__________.18、在ABC △中，1ACAB ==，45BAC ∠=︒，点P 满足：(1)(0)BP BA BC λλλ=-+>，2AP =1.求BA AC ⋅的值；2.求实数λ的值19、若()()()1,2,3,2,0,6a b c ==-= 1. k 为何值时()()3ka b a b +⊥- 2.若cxa yb =+,求实数23x y -的值20、已知三个点()()()2,1,3,2,1,4AB D -.1.求证: AB AD ⊥;2.要使四边形ABCD 为矩形,求点C 的坐标,并求矩形ABCD 两对角线所夹锐角的余弦值。
高考数学(理)二轮专题练习：三角函数、解三角形、平面向量(含答案)
三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．[问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________． 答案 －152．同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限[问题2] cos 9π4＋tan ⎝⎭⎫－7π6＋sin 21π的值为___________________________． 答案22－333．三角函数的图象与性质 (1)五点法作图；(2)对称轴：y ＝sin x ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ；y ＝cos x ，x ＝k π，k ∈Z ；对称中心：y ＝sin x ，(k π，0)，k ∈Z ；y ＝cos x ，⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z ；y ＝tan x ，⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z . (3)单调区间：y ＝sin x 的增区间：⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π (k ∈Z )， 减区间：⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π (k ∈Z )；y ＝cos x 的增区间：[]－π＋2k π，2k π (k ∈Z )， 减区间：[2k π，π＋2k π] (k ∈Z )；y ＝tan x 的增区间：⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )． (4)周期性与奇偶性：y ＝sin x 的最小正周期为2π，为奇函数；y ＝cos x 的最小正周期为2π，为偶函数；y ＝tan x 的最小正周期为π，为奇函数．易错警示：求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误： (1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反； (2)忘掉写＋2k π，或＋k π等，忘掉写k ∈Z ；(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为⎣⎡⎦⎤0，π2. [问题3] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的递减区间是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z ) 4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β――→令α＝βsin 2α＝2sin αcos α.cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β――→令α＝βcos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α.在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]．α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，α＝⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4. [问题4] 已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 答案 －56655．解三角形(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；(ⅲ)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中A >B ⇔sin A >sin B .(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状．[问题5] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________. 答案 45°6．向量的平行与垂直设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且b ≠0，则a ∥b ⇔b ＝λa ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. a ⊥b (a ≠0)⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同．[问题6] 下列四个命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④若a ＝0，则－a ＝0.其中正确命题是________． 答案 ④ 7．向量的数量积 |a |2＝a 2＝a·a ，a·b ＝|a||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2， cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，a 在b 上的投影＝|a |cos 〈a ，b 〉＝a·b |b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 22＋y 22. 注意：〈a ，b 〉为锐角⇔a·b >0且a 、b 不同向； 〈a ，b 〉为直角⇔a·b ＝0且a 、b ≠0； 〈a ，b 〉为钝角⇔a·b <0且a 、b 不反向．易错警示：投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零．[问题7] 已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在向量b 上的投影为________． 答案1258．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，消去律不成立；(a ·b )c 与a (b ·c )不一定相等，(a ·b )c 与c 平行，而a (b ·c )与a 平行．[问题8] 下列各命题：①若a ·b ＝0，则a 、b 中至少有一个为0；②若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；③对任意向量a 、b 、c ，有(a ·b )c ≠a (b ·c )；④对任一向量a ，有a 2＝|a |2.其中正确命题是________． 答案 ④9．几个向量常用结论：①P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心；②P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →⇔P 为△ABC 的垂心； ③向量λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|) (λ≠0)所在直线过△ABC 的内心；④|P A →|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的外心．易错点1 图象变换方向或变换量把握不准致误例1 要得到y ＝sin(－3x )的图象，需将y ＝22(cos 3x －sin 3x )的图象向______平移______个单位(写出其中的一种特例即可)． 错解 右 π4或右 π12找准失分点 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12. 题目要求是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4→y ＝sin(－3x )． 右移π4平移方向和平移量都错了；右移π12平移方向错了．正解 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12， 要由y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12得到y ＝sin(－3x )只需对x 加上π12即可，因而是对y ＝22(cos 3x －sin 3x )向左平移π12个单位．答案 左π12易错点2 忽视隐含条件的挖掘致误例2 已知cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，0<α<π2，0<β<π2，求cos β.错解 由0<α<π2，0<β<π2，得0<α＋β<π，则cos(α＋β)＝±1114.由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝437.故cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝7198或12.找准失分点 由0<α＋β<π，且sin(α＋β)＝5314<32，∴0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π，又cos α＝17<12，∴π3<α<π2，即α＋β∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，∴cos(α＋β)＝－1114. 正解 ∵0<α<π2且cos α＝17<cos π3＝12，∴π3<α<π2，又0<β<π2， ∴π3<α＋β<π，又sin(α＋β)＝5314<32， ∴2π3<α＋β<π. ∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1114，sin α＝1－cos 2α＝437. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12.易错点3 忽视向量共线致误例3 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是__________．错解 ∵cos θ＝a·b|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1.因θ为锐角，有cos θ>0， ∴2λ＋15·λ2＋1>0⇒2λ＋1>0，得λ>－12，λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 找准失分点 θ为锐角，故0<cos θ<1，错解中没有排除cos θ＝1即共线且同向的情况． 正解 由θ为锐角，有0<cos θ<1. 又∵cos θ＝a·b|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1，∴0<2λ＋15·λ2＋1≠1，∴⎩⎨⎧2λ＋1>0，2λ＋1≠5·λ2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2.∴λ的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠2.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠21．(2014·大纲全国)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45答案 D解析 因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.2．(2014·大纲全国)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b 答案 C解析 ∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1，∴c >b >a .3．已知sin θ＋cos θ＝43 (0<θ<π4)，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13 D ．－13答案 B解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝169，∴sin 2θ＝79，又0<θ<π4，∴sin θ<cos θ.∴sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2 ＝－1－sin 2θ＝－23. 4．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( ) A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]答案 A解析 ∵a ·b ＝0，且a ，b 是单位向量，∴|a |＝|b |＝1. 又∵|c －a －b |2＝c 2－2c ·(a ＋b )＋2a ·b ＋a 2＋b 2＝1， ∴2c ·(a ＋b )＝c 2＋1.∵|a |＝|b |＝1且a ·b ＝0，∴|a ＋b |＝2， ∴c 2＋1＝22|c |cos θ(θ是c 与a ＋b 的夹角)． 又－1≤cos θ≤1，∴0<c 2＋1≤22|c |， ∴c 2－22|c |＋1≤0， ∴2－1≤|c |≤2＋1.5.函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ，φ∈R )的部分图象如图所示，那么f (0)等于( ) A ．－12B ．－1C ．－32D ．－ 3答案 B解析 由题图可知，函数的最大值为2，因此A ＝2. 又因为函数经过点⎝⎛⎭⎫π3，2，则2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝2， 即2×π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝－π6＋2k π，k ∈Z .f (0)＝2sin φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋2k π＝－1. 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( ) A.32 B.22 C.12 D ．－12答案 C解析 ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab ，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2. ∴cos C ≥12.∴cos C 的最小值为12.7．(2014·山东)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．答案 16解析 已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|sin π6＝12×23×12＝16. 8．(2014·江苏)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________． 答案 π6解析 由题意，得sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝cos π3， 因为0≤φ<π，所以φ＝π6.9．已知函数f (x )＝A sin(ω＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0，－π2<φ<π2)，其部分图象如图所示．若横坐标分别为－1,1,5的三点M ，N ，P 都在函数f (x )的图象上，记∠MNP ＝θ，则cos 2θ的值是________． 答案 －725解析 由图可知，A ＝1，f (x )的最小正周期T ＝8， 所以T ＝2πω＝8，即ω＝π4.又f (1)＝sin(π4＋φ)＝1，且－π2<φ<π2，所以－π4<φ＋π4<3π4，即φ＋π4＝π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝sin π4(x ＋1)．因为f (－1)＝0，f (1)＝1，f (5)＝－1， 所以M (－1,0)，N (1,1)，P (5，－1)．所以NM →＝(－2，－1)，NP →＝(4，－2)，NM →·NP →＝－6，|NM →|＝5，|NP →|＝25， 则cos ∠MNP ＝NM →·NP →|NM →|·|NP →|＝－35，即cos θ＝－35.于是cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－725. 10．(2014·天津)已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin(2x －π3)． 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数，f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12，f (π4)＝14，所以，函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.。
2020年高考数学二轮限时训练三角函数、平面向量6理
第三部分：三角函数、平面向量（6）（限时：时间45分钟，满分100分）一、选择题1.若A 、B 、C D 是平面内任意四点，给出下列式子：①A1B + C D = B C + D t :②人乙+ B D = B C + A 1D :③人乙一B 1D = D C + A E .其中正确的 有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【解析】 ①式的等价式是 A E — B~C = D A — C D ，左边=A E + C B 右边=D A + D C ，不 一定相等；②式的等价 式是AJ C — B C = A 1D — B E , A T ! + C B = A I D + DB = A E成立；③式的等 价式是 A E — D E = A !B + B E , A I D = A D 成立，故选 C. 【答案】 C2 . （2020年福鼎）0是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三个点，一动点P 满 足：O P = O 1 +入（A E + A C ），入 € （0,+^），则直线 AP 一 定通过△ ABC 的（ ）A .外心B .内心C.重心D .垂心【解析】 由 O P = O 1 +入（A E + A E ），得 O P — O 1 =入（A E+ A C ）, 即 A"P =入（A E + A~C ）,•••△ ABC 中BC 的中线在直线 AP 上,故直线AP 一定通过厶ABC 的重心.【答案】 C3.已知平面内有一点 P 及一个△ ABC 若 P E + P E + P 「C = A B ，则（ ）A. 点P 在厶ABC 外部B. 点P 在线段AB 上C. 点P 在线段BC 上D. 点P 在线段AC 上【解析】 TP E + P E + P"C = A E,即 P E + P E + B E + P E = 0, • P E + P E + P E= 0, E + P E + P E — A E=0,2P E = C P，•点P在线段AC上.4 .（2020年柳州上学期期末）已知O 为厶ABC 内一点，且OA OC 2O B= 0,则厶AOC W^ ABC 的面积之比是（ ）A . 1 : 2B . 1 ：3C. 2 : 3 D . 1 ：1【解析】 设AC 的中点为D,则 O A + O C = 2O D ,/•O A + O C + 2O B = 2O D + 2O B = 0•••O D = - OB ,即点O 为AC 边上的中线BD 的中点，S A AOC 1…S A ABC T 2.【答案】 A5. （201 1年正定模拟）已知向量a 、b 、c 中任意两个都不共线，并且 a + b 与c 共线，b + c 与a 共线，那么a + b + c 等于（）A . aB . bC. c D . 0【解析】•/ a + b 与c 共线，• a + b =^ 1C ①又T b + c 与a 共线，• b + c =^ 2a由①得：b =^ 1C — a . --b + c =^ 1C — a + c =（入 1 + 1） c — a =^ 2a ,卩 I 二- 1即 ，•• a + b + c =— c + c = 0.【答案】 D 二、填空题6 .已知a 与b 是两「个不共线向量，且向量 a +入b 与一（b — 3a ）共线，贝U 入= __________【解析】 由已知得a +入b =— k （ b — 3a ）,入 1 + 1 =入 =— 1h =-丄f J解得3.(3/L-1 , II ai【答案】—337.在？ABCD中，A E = a, A l D = b, A N = 3N C , M为BC的中点，贝U M N = ____ .(用a、b表示)【解析】由A1N = 3N C，得4ANI = 3A~C = 3(a+ b),A"M = a+ 2b,N 3 111•••M N = 4(a+ b) - (a+ 2b)一4a+4b-1 1【答案】一：a+ 4b8.如图，|0K| = 1, |01?| = 3, |O"C| = 2,/ AOB=Z BOC= 30°,用O1, O B 表示O C，贝U O C = __________ .【解析】作O1的相反向量O A '，过C作CD// OB交直线OA于D,作CE// OD交直线OB于E,则O C = O D + O E ,在厶 OCE 中，CE = 2, OE= 2 ：3,•••OlD = 2OA T = — 2O X , O E = 2O B .• O 1 = — 2O 1 + 2O B .【答案】 —2OA + 2OB三、解答题9.Q A 试确定入的值.再 r A A A 1 A A【解析】 AA NP — NA = 2（BN —CN ）=2<B N + NC = ^Bc,又 QA=血血 ^B M-XA M1 A A=gBW 入 MC且又A P ^ 3AgBMi^ 入 MC = 2BC ,BM^ MC= BC, 如右图所示，在厶ABC 中, 在BN 的延长线上取点P ,使得1 1 N,使得AN= 3AC,在AB 上取点 M 使得AM= §ABNP = 1B N 在CM 的延长线上取一点 Q 使得MQ=^ CM 时，辰 在AC 上取点如右图所示，已知A OAB 中，点C 是以A 为中心的点B 的对称点, DC 和 OA 交于 E ,设 OA = a , 8B = b .(1.)用a 和b 表示向量O C D C ；(2)若洗=入OA 求实数入的值.【解析】(1)由条件可得，OB^ 0C= 2OA• OC = 2O A - 0B= 2a -b .T T T 2 T TCD= OD- O(= 3OA OC 3• ••入=12.10.D在 OB 上，且 OD= 2DB2 5 =3b —(2 * * a — b) = — 2a +3b ， • D C = 2a -|b .⑵设CE = m C D• - OE= OC+ CE = OGF mCD =2a - b + m - 2a + 5b5=(2 — 2m) a + 3m- 1 b . 又OE=^ OA=^ a , 2— 2m =入， 5§m- 1 = 0,3 m= 5, 解得 4入=5, 故入=4. 5。
2020届二轮(理科数学) 数列 解析几何 专题卷(全国通用)
2020届二轮（理科数学）数列 解析几何 专题卷（全国通用）一、选择题1．在等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a 的值为（ ） A ．154B ．152C ．74 D ．722．已知双曲线2222:1x y C a b -=（a >0，0b >，则C 的渐近线为（ ） A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±3．已知命题:p x ∀∈R ，23x x <，命题:q x ∃∈R ，使得321x x =-，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝4．设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．21n n S a =-B ．32n n S a =-C ．43n n S a =-D ．32n n S a =-5．关于x 的不等式22280x ax a --<(0)a >的解集为12(,)x x ，且：2115x x -=，则a =（ ） A ．52B ．72C ．154D ．1526．过抛物线24x y =的焦点F 作直线，交抛物线于111(,)P x y ，222(,)P x y 两点，若126y y +=，则12||PP =（ ）A ．5B ．6C ．8D ．107．曲线2ln y x x =在x e =处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A ．24eB ．22eC ．2eD ．22e8．已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N ，若OMN △为直角三角形，则||MN =（ ） A ．32B ．3 C．D ．4二、填空题9．在数列{}n a 中，11a =，当n ∈*N ，1n n a a n +-=，则100a 的值为 ． 10．若定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式(ln )(1)0ef x xf -<的解集为 （结果用区间表示）．三、简答题11．设等差数列{}n a 的公差为1d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）记11n n n c a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．12．已知动点M 到两定点1(,0)F m -，2(,0)F m 的距离之和为4(02)m <<，且动点M 的轨迹曲线C 过点1)2N ． （1）求m 的值；（2）若直线:l y kx =+与曲线C 有不同的两个交点,A B ，且2OA OB ⋅=u u u r u u u r（O 为坐标原点），求k 的值．13．已知函数23()ln 2f x x ax x =-+-（a 为常数，且a ∈R ） （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间(0,1)上有唯一的极值点0x ，求实数a 和极值0()f x 的取值范围．答案一、选择题 1．【答案】B【解析】等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，所以2112a a q a ==，4141(12)1512a S a -==-，所以42152S a =． 2．【答案】C【解析】由题知，c a =，即2222254c a b a a +==，∴2214b a =，∴12b a =， ∴C 的渐近线方程为12y x =±，故选C ． 3．【答案】B【解析】取1x =-，推出1123-->，可知命题p 为假命题．令32()1f x x x =+-，∵()f x 图像连续，且(0)(1)0f f ⋅<，故()f x 有零点， 即方程3210x x +-=有解，即x ∃∈R ，使得321x x =-，故B 为真． 4．【答案】D【解析】121()22333()32()23313nn n n S --==-⋅=-⋅-，12()3n n a -=，对照两式可知选D ． 5．【答案】A【解析】由条件知1x ，2x 为方程设22280x ax a --=的两根，则212122,8x x a x x a +==-，由222222211212((4(2)4(836)5)1)x x x x x x a a a -=+-=-⨯-==，解得52a =． 6．【答案】C【解析】24x y =的焦点为(0,1)，准线为1y =-，因为111(,)P x y ，222(,)P x y 两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点， 所以111(,)P x y ，222(,)P x y 两点到准线的距离分别是11y +，21y +，所以由抛物线的定义知12121212||||||112628PP PF P F y y y y =+=+++=++=+=，故选C ． 7．【答案】B【解析】2ln y x x =，12ln 22ln 2y x x x x'=⨯+⨯=+， 所以|224x e y ='=+=，且()2y e e =，所以切线方程为24()y e x e -=-，即42y x e =-， 此直线与x 轴､y 轴交点坐标分别为(,0),(0,2)2e e -，所以切线与坐标轴围成的三角形面积是212222e e S e =⨯⨯=，故选B ．8．【答案】B【解析】根据题意，可知其渐近线的斜率为(2,0)F ， 从而得到30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线y x =和y x =联立，求得M ，3(,2N ，所以||3MN ==．二、填空题9．【答案】4951【解析】因为1n n a a n +-=，所以211a a -=，322a a -=，433a a -=，L ，11n n a a n --=-（2n ≥）， 将以上个式子相加得1(1)(11)(1)123(1)22n n n n n a a n -+---=++++-==L ， 因为11a =，所以(1)12n n n a -=+，所以10010099149512a ⨯=+=．10．【答案】(0,)e【解析】令()()xf xg x e=，则2(()())()x x e f x f x g x e '-'=， 因为()()f x f x '>，所以()0g x '>，所以函数()g x 为(,)-∞+∞上的增函数， 由(ln )(1)ef x xf <，得ln 1(ln )(1)x f x f e e<，即(ln )(1)g x g <， 因为函数()g x 为(,)-∞+∞上的增函数，所以ln 1x <．所以不等式的解集是(0,)e ． 故答案为(0,)e ．三、简答题11．【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=；（2）21n nT n =+． 【解析】（1）由题得1110451002a d a d +=⎧⎨=⎩，解得1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）或112a d =⎧⎨=⎩， 故21n a n =-，12n n b -=．（2）111(21)(21)n n n c a a n n +==-+， 所以122334111111111133557(21)(21)n n n T a a a a a a a a n n +=++++=++++⨯⨯⨯-+L L 1111111111(1)(1)233557212122121nn n n n =-+-+-++-=-=-+++L ． 12．【答案】（1）m =（2）． 【解析】（1）依题意(02)m <<，即42m >，知曲线C 是以两定点1(,0)F m -，2(,0)F m 为焦点，长半轴长为2的椭圆，所以2a =，设曲线C 的方程为22214x y b+=，代入点1)2N ， 解得21b =，由222c a b =-，解得23c =，所以m =．（2）由（1）知曲线C 的方程为2214x y +=，设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立方程2214x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y得221()104k x +++=，2410Δk =->，得214k >，12x x +=122414x x k =+，则12121212(OB x y x kx OA x x y x k ⋅=+=++u u u r u u u r221212264(1)()2214k k x x x x k-=++++==+，得21134k =>， 所以k的值为 13．【答案】（1）函数()f x 的递增区间是(0,1)，递减区间是(1,)+∞；（2）(1,)a ∈+∞，03()(,)2f x ∈-∞-．【解析】（1）2121()21ax x f x ax x x-++'=-+=()0x >，当1a =时，221(21)(1)()x x x x f x x x -++-+-'==，由0()0x f x >⎧⎨'>⎩，解得01x <<，所以函数()f x 的递增区间是(0,1)，递减区间是(1,)+∞．（2）记2()21g x ax x =-++，(0)1g =，函数()f x 在区间(0,1)上有唯一极值点0x ，则函数()g x 图像是开口向下的抛物线，且(1)0g <，即0,12110a a a >⎧⇔>⎨-++<⎩，所以a 的取值范围是(1,)+∞，0()0g x =20021ax x ⇔=+，所以20000000001331()ln ln ln 22222x f x x ax x x x x x +=-+-=-+-=+-， 因为0()f x 在0(0,1)x ∈上单调递增，且0→x 时，-∞→)(x f ，23)1(-=f ，所以0()f x 的取值范围是3(,)2-∞-．。
2020届高考数学(理)二轮强化专题卷(5)平面向量
（5）平面向量1、在ABC △中,记π,,2,4AB a AC b AB BC ABC ====∠=,AD 是边BC 的高线O 是线段AD 的中点,则AO =( ) A.1123a b + B.1132a b +C.1134a b +D.1136a b +2、如图,正方形ABCD 中, M N 、分别是BC CD 、的中点,若AC AM BN λμ=+,则λμ+=（ ）A. 2B. 83C.65 D. 853、向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示，若c a bλμ=+(,R)λμ∈,则λμ=（ ）A ．2B ．4C ．12D ．12-4、已知M 是ABC △内一点,11,34AM AB AC =+则ABM △ABC △的面积之比为（ ）A.14B.13C.12D.235、如图，在ABC △中，π3ABC ∠=,2AD DB =u u ur u u u r ，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+uu u r uuu r uu u r ，若ABC △的面积为||AP uu u r的最小值为( )B.3 D.436、如图，ABC △中，,,AD DB AE EC CD ==与BF 交于,F 设,,AB a AC b AF xa yb ===+，则(,)x y 为 ( )A.11(,)22B.22(,)33C.11(,)33D.21(,)327、在ABC △中,已知D 是AB 边上的一点,若,12,3AD DB CD CA CB λ==+,则λ=( ) A.23B.13C.13-D.23-8、向量(0,2),(3,1)m n =-=,则与2m n +共线的向量可以是()A 1)-B ．(-C ．(1)-D ．(-9、在Rt ABC △中，90C ∠︒＝，3AC ＝，则AB AC ⋅等于( ) A ．－3B ．－6C ．9D ．610、已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC △内一点，则()PA PB PC ⋅+u u ru u ru u u r的最小值是（ ） A.32- B.2- C.43-D.1-11、已知向量()(),,1,2a m n b ==-,若()||25,0a a b λλ==<,则m n -=__________. 12、已知点O 在ABC ∆所在平面内,且4AB =,3AO =,()0OA OB AC +⋅=则AB AC ⋅取得最大值时线段BC 的长度是__________.13、在等腰直角三角形ABC 上(包括边界)有一点P ，2AB AC ==，1PA PB ⋅=u u r u u r，则PC uu u r 的取值范围是 。
高考数学二轮滚动检测 三角函数、解三角形与平面向量试卷 理含解析 试题
三角函数、解三角形与平面向量本套试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部，一共150分，考试时间是是120分钟．第一卷一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)1．全集U ＝R ，集合P ＝{x |x 2≤1}，那么∁U P ＝( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】 ∵x 2≤1⇔－1≤x ≤1， ∴∁U P ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 【答案】 D2．(2021·高考)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1]D ．[0,1] 【解析】 由⎩⎨⎧1－x ＞0x ≥0得，函数定义域为[0,1)．【答案】 B3．(2021·高考)f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，那么“f (x )为[0,1]上的增函数〞是“f (x )为[3,4]上的减函数〞的( )A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件【解析】 ①∵f (x )在R 上是偶函数，∴f (x )的图象关于y 轴对称． ∵f (x )为[0,1]上的增函数，∴f (x )为[－1,0]上的减函数．又∵f (x )的周期为2，∴f (x )为区间[－1＋4,0＋4]＝[3,4]上的减函数． ②∵f (x )为[3,4]上的减函数，且f (x )的周期为2， ∴f (x )为[－1,0]上的减函数．又∵f (x )在R 上是偶函数，∴f (x )为[0,1]上的增函数．由①②知“f (x )为[0,1]上的增函数〞是“f (x )为[3,4]上的减函数〞的充要条件． 【答案】 D4．f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，假设a ＝f (lg 5)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫lg 15，那么( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a －b ＝0 C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1【解析】 f (x )＝12⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝1＋sin 2x 2， ∴a ＝12＋sin (2lg 5)2，b ＝12＋sin ⎝⎛⎭⎫2lg 152＝12－sin (2lg 5)2. 因此，a ＋b ＝1. 【答案】 C5．(2021·高考)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否认为( )A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0B ．不存在x ∈R ，使得x 2<0C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 20<0【解析】 因为“∀x ∈M ，p (x )〞的否认是“∃x ∈M ，綈p (x )〞，故“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否认是“存在x 0∈R ，使得x 20<0”．【答案】 D6．在△ABC 中，假设sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，那么△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定【解析】 由正弦定理，得a 2＋b 2<c 2， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，那么C 为钝角，故△ABC 为钝角三角形． 【答案】 C7．(2021·高考)将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2＜θ＜π2的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，假设f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，那么φ的值可以是( ) A.5π3 B.5π6 C.π2D.π6【解析】 ∵P ⎝⎛⎭⎫0，32在f (x )的图象上， ∴f (0)＝sin θ＝32.∵θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴θ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x －φ)＋π3. ∵g (0)＝32， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝32. 验证，φ＝56π时，sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－53π＝sin ⎝⎛⎭⎫－43π＝32成立． 【答案】 B8．(2021·高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .假设b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，那么角C ＝( )A.π3B.2π3C.3π4D.5π6【解析】 由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b .又因为b ＋c ＝2a ， 所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝⎝⎛⎭⎫53b 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫73b 22×53b ×b ＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.【答案】 B9．假设非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，那么a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°【解析】 ∵(2a ＋b )·b ＝0， ∴2a ·b ＋b 2＝0， ∴a ·b ＝－12b 2，设a 与b 的夹角为θ，又|a |＝|b |， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12b 2|a ||b |＝－12，∴θ＝120°. 【答案】 C10．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，那么( )A ．f (x )在(0，π2)单调递减B ．f (x )在(π4，3π4)单调递减C ．f (x )在(0，π2)单调递增D ．f (x )在(π4，3π4)单调递增【解析】 ∵f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ) ＝2sin(ωx ＋φ＋π4)，又∵f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin(2x ＋φ＋π4)．由f (x )＝f (－x )知f (x )是偶函数，因此φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2cos 2x .由0<2x <π知0<x <π2时，f (x )单调递减．应选A.【答案】 A11．(2021·高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，那么目的函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2【解析】 可行域如图阴影局部(含边界)令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知，当直线l 过A 点时，z 获得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0得A (5,3)． ∴z 最小＝3－2×5＝－7. 【答案】 A12．(2021·课标全国卷Ⅱ)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，以下结论中错误的选项是( ) A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．假设x 0是f (x )的极小值点，那么f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递减D ．假设x 0是f (x )的极值点，那么f ′(x 0)＝0【解析】 假设c ＝0，那么有f (0)＝0，所以A 正确．由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 得f (x )－c ＝x 3＋ax 2＋bx ，因为函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的对称中心为(0,0)，所以f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的对称中心为(0，c )，所以B 正确．由三次函数的图象可知，假设x 0是f (x )的极小值点，那么极大值点在x 0的左侧，所以函数在区间(－∞，x 0)单调递减是错误的，D 正确．【答案】 C第二卷二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，把答案填在题中横线上) 13．(2021·高考)设f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ，假设对任意实数x 都有|f (x )|≤a ，那么实数a 的取值范围是________．【解析】 由于f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6，那么|f (x )|＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6≤2，要使|f (x )|≤a 恒成立，那么a ≥2. 【答案】 [2，＋∞)14．设e 1，e 2为单位向量， 且e 1，e 2的夹角为π3，假设a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，那么向量a 在b 方向上的射影为________．【解析】 由于a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，所以|b |＝2，a·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 21＋6e 1·e 2＝2＋6×12＝5， 所以a 在b 方向上的射影为|a |·cos<a ，b >＝a·b |b |＝52.【答案】 5215．(2021·高考)点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．假设平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，那么D 的面积为________．【解析】 设P (x ，y )，且AB →＝(2,1)，AC →＝(1,2)． ∴OP →＝OA →＋AP →＝(1，－1)＋λ(2,1)＋μ(1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋2λ＋μ，y ＝－1＋λ＋2μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3μ＝2y －x ＋3，3λ＝2x －y －3，又1≤λ≤2,0≤μ≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤x －2y ≤3，6≤2x －y ≤9表示的可行域是平行四边形及内部． 如图，点B (3,0)到直线x －2y ＝0的间隔 d ＝355.又|BN |＝ 5.∴区域D 的面积S ＝355×5＝3.【答案】 316．在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．假设sin ∠BAM ＝13，那么sin ∠BAC ＝________.【解析】 因为sin ∠BAM ＝13，所以cos ∠BAM ＝223.在△ABM 中，利用正弦定理，得BM sin ∠BAM ＝AM sin B，所以BM AM ＝sin ∠BAM sin B ＝13sin B ＝13cos ∠BAC .在Rt △ACM 中，有CMAM＝sin ∠CAM ＝sin(∠BAC －∠BAM )．由题意知BM ＝CM ，所以13cos ∠BAC＝sin(∠BAC －∠BAM )．化简，得22sin ∠BAC cos ∠BAC －cos 2∠BAC ＝1. 所以22tan ∠BAC －1tan 2∠BAC ＋1＝1，解得tan ∠BAC ＝ 2.再结合sin 2∠BAC ＋cos 2∠BAC ＝1，∠BAC 为锐角可解得sin ∠BAC ＝63. 【答案】63三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤)17．(本小题满分是10分)函数f (x )＝A sin(ωx －π6)＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的间隔 为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈(0，π2)，f (α2)＝2，求α的值．【解】 (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的间隔 为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，∴函数f (x )的解析式为y ＝2sin(2x －π6)＋1.(2)∵f (α2)＝2sin(α－π6)＋1＝2，∴sin(α－π6)＝12.∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，∴α＝π3.18．(本小题满分是12分)(2021·高考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ， (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．【解】 (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ， 所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A .所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋ cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A＝5.19．(本小题满分是12分)(2021·高考)函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π6的值； (2)假设cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3.【解】 (1)因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12， 所以f ⎝⎛⎭⎫－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫－π6－π12 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝2cos π4＝2×22＝1. (2)因为θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，cos θ＝35， 所以sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45， cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝⎛⎭⎫352－1＝－725， sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－2425. 所以f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－π12 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝2×⎝⎛⎭⎫22cos 2θ－22sin 2θ ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725－⎝⎛⎭⎫－2425＝1725. 20．(本小题满分是12分)向量a ＝(cos 3x 2，sin 3x 2)，b ＝(－sin x 2，－cos x 2)，其中x ∈[π2，π]． (1)假设|a ＋b |＝3，求x 的值；(2)函数f (x )＝a ·b ＋|a ＋b |2，假设c >f (x )恒成立，务实数c 的取值范围．【解】 (1)∵a ＋b ＝(cos 3x 2－sin x 2，sin 3x 2－cos x 2)， ∴|a ＋b |＝ (cos 3x 2－sin x 2)2＋(sin 3x 2－cos x 2)2＝2－2sin 2x ， 由|a ＋b |＝3，得2－2sin 2x ＝3，即sin 2x ＝－12.∵x ∈[π2，π]，∴π≤2x ≤2π. 因此2x ＝π＋π6或者2x ＝2π－π6，即x ＝7π12或者x ＝11π12. (2)∵a·b ＝－cos 3x 2sin x 2－sin 3x 2cos x 2＝－sin 2x ， ∴f (x )＝a·b ＋|c ＋b |2＝2－3sin 2x ，∵π≤2x ≤2π，∴－1≤sin 2x ≤0，∴2≤f (x )＝2－3sin 2x ≤5，∴[f (x )]max ＝5.又c >f (x )恒成立，因此c >[f (x )]max ，那么c >5.∴实数c 的取值范围为(5，＋∞)．21．(本小题满分是12分)(2021·高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，cos 2A －3cos(B ＋C )＝1.(1)求角A 的大小；(2)假设△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值．【解】 (1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0.解得cos A ＝12或者cos A ＝－2(舍去)． 因为0<A <π，所以A ＝π3. (2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20. 又b ＝5，所以c ＝4.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21.又由正弦定理，得sin B sin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2·sin 2A ＝2021×34＝57. 22．(本小题满分是12分)函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．假设曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有一样的切线y ＝4x ＋2.(1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)假设x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围．【解】 (1)∵曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，∴b ＝d ＝2.∵f ′(x )＝2x ＋a ，故f ′(0)＝a ＝4.∵g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，∴g ′(0)＝2＋c ＝4，故c ＝2.从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)令F (x )＝kg (x )－f (x )，那么F ′(x )＝(k e x －1)(2x ＋4)，由题设可得F (0)≥0，故k ≥1，令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2，①假设1≤k ＜e 2，那么－2＜x 1≤0，从而当x ∈[－2，x 1)时，F ′(x )＜0，当x ∈(x 1＋∞)时，F ′(x )＞0，即F (x )在[－2，＋∞)上最小值为F (x 1)＝2x 1＋2－x 21－4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0，此时f (x )≤kg (x )恒成立；②假设k＝e2，F′(x)＝(e x＋2－1)(2x＋4)，故F(x)在[－2，＋∞)上单调递增，因为F(－2)＝0，所以f(x)≤kg(x)恒成立；③假设k＞e2，那么F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0，从而当x∈[－2，＋∞)时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上所述k的取值范围为[1，e2]．。
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2020届二轮（理科数学）数列 三角函数 平面向量 专题卷（全国通用）(时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．在△ABC 中，已知a ＝40，b ＝202，A ＝45°，则角B 等于( ) A ．60° B ．60°或120° C ．30° D ．30°或150°[答案] C[解析] 由正弦定理，得sin B ＝b sin Aa ＝202×2240＝12，又b <a ，∴B 为锐角，B ＝30°.2．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为( ) A ．12 B ．18 C ．22 D ．44 [答案] C[解析] S 11＝11×(a 1＋a 11)2＝11×(a 2＋a 10)2＝11×42＝22.选C.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C ＝30°，c ＝5，a ＝8，则cos A 等于( )A.35 B ．±35C ．－35D.45 [答案] B[解析] 由正弦定理得5sin30°＝8sin A ，∴sin A ＝45，又a ＝8>c ＝5，∴A >30°，∴cos A ＝±35，故选B.4．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3] [答案] D[解析] ∵x >1，∴x －1>0.又x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3(当且仅当x ＝2时取“＝”)，要使x ＋1x －1≥a 恒成立，只需a ≤3.故选D.5．已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝(12)x 2－2(x ∈R )，则p 、q 的大小关系为( )A ．p ≥qB ．p >qC ．p <qD ．p ≤q[答案] A[解析] p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥4，当且仅当a ＝3时等号成立；q ＝(12)x 2－2≤(12)－2＝4，当且仅当x ＝0时等号成立．显然，p ≥q .6．(2018·新课标Ⅱ文，5)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11[答案] A[解析] 考查等差数列的性质及求和公式．a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3⇒a 3＝1，S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5.故选A.7．已知数列{log 2x n }是公差为1的等差数列，数列{x n }的前100项的和等于100，则数列{x n }的前200项的和等于( )A ．100×(1＋2100)B ．100×2100C ．1＋2100D ．200 [答案] A[解析] 由已知，得log 2x n ＋1－log 2x n ＝1， ∴x n ＋1x n＝2， ∴数列{x n }是以2为公比的等比数列．∵数列{x n }的前100项的和等于100，由定义得，数列{x n }的前200项的和等于100×(1＋2100)．8．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2[答案] A[解析] 本题考查线性规划与最优解． 由x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，画出可行域如图，容易求出A (2,0)，B (5,3)，C (1,3)，可知z ＝y －2x 过点B (5,3)时，z 最小值为3－2×5＝－7.9．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1且B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A.32 B.34 C.32或3 D.34或32[答案] D[解析] c ＝AB ＝3，b ＝AC ＝1，B ＝30°. 由于c sin B ＝3×12＝32，c sin B ＜b ＜c ，∴符合条件的三角形有两个． ∵b sin B ＝c sin C ，即112＝3sin C .∴sin C ＝32. ∴C ＝60°或120°，∵A ＝90°或30°，∴S △ABC ＝32或34. 10．等差数列{a n }中，若3a 8＝5a 13，且a 1>0，S n 为前n 项和，则S n 中最大的是( ) A ．S 21 B ．S 20 C ．S 11 D ．S 10[答案] B[解析] 设数列{a n }的公差为d ，因为3a 8＝5a 13，所以2a 1＋39d ＝0，即a 1＋a 40＝0， 所以a 20＋a 21＝0，又a 1>0，d <0，故a 20>0，a 21<0，所以S n 中最大的是S 20.11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝60°，△ABC 的面积为33，那么b 等于( )A ．22B ．2 3 C.3 D. 2 [答案] B[解析] ∵a ，b ，c 成等差数列， ∴2b ＝a ＋c ，平方得a 2＋c 2＝4b 2－2ac . 又S △ABC ＝33且B ＝60°.∴12ac sin B ＝12ac sin60°＝34ac ＝3 3. 解得ac ＝12，∴a 2＋c 2＝4b 2－24.由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4b 2－24－b 22×12＝b 2－88＝12.解得b 2＝12.∴b ＝2 3.12．(2018·安徽理，5)x , y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1 [答案] D[解析] 本题考查线性规划问题．如图，z ＝y －ax 的最大值的最优解不唯一，即直线与直线2x －y ＋2＝0，x ＋y －2＝0重合，∴a ＝2或－1.画出可行域，平移直线是线性规划问题的根本解法．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．在R 上定义运算⊙；a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为________．[答案] (－2,1)[解析] 由定义得x (x －2)＋2x ＋x －2<0， 即x 2＋x －2<0，∴－2<x <1.即x ∈(－2,1)．14．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.[答案] 63[解析] 因为a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，且数列{a n }是递增的等比数列，所以a 1＝1，a 3＝4，q ＝2，所以S 6＝1－261－2＝63.15．(2018·湖北理，13)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.[答案] 100 6[解析] 由题意可知，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°，所以∠ACB ＝45°.故由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC ，即有60022＝BC 12，解得BC ＝300 2.又由题意可知，在Rt △BCD 中，∠BCD ＝90°，∠CBD ＝30°，所以由tan ∠CBD ＝CD BC 可得33＝CD3002，解得CD ＝100 6.16．设点P (x ，y )在函数y ＝4－2x 的图像上运动，则9x ＋3y 的最小值为________． [答案] 18[解析] ∵P (x ，y )在y ＝4－2x 上运动， ∴2x ＋y ＝4.9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ·3y ＝232x ＋y ＝234＝18. 当且仅当2x ＝y ，即x ＝1，y ＝2时取等号． ∴当x ＝1，y ＝2时，9x ＋3y 取得最小值18.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2018·重庆文，16)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)设{a n }的公差为d ，则由已知条件得a 1＋2d ＝2,3a 1＋3×22d ＝92，化简得a 1＋2d ＝2，a 1＋d ＝32，解得a 1＝1，d ＝12，故通项公式a n ＝1＋n －12，即a n ＝n ＋12.(2)由(1)得b 1＝1，b 4＝a 15＝15＋12＝8.设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 4b 1＝8，从而q ＝2.故{b n }的前n 项和T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝1×(1－2n )1－2＝2n－1.18．(本小题满分12分)(2018·江西文)正项数列{a n }满足：a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝1(n ＋1)a n，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0，得(a n －2n )(a n ＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n .(2)a n ＝2n ，b n ＝1(n ＋1)a n ，则b n ＝12n (n ＋1)＝12(1n －1n ＋1)．T n ＝12(1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1)＝12(1－1n ＋1)＝n2(n ＋1).19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．[解析] (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0， 即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0. 因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0. 又cos B ≠0，所以tan B ＝ 3. 又0<B <π，所以B ＝π3.(2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，有b 2＝3(a －12)2＋14.又0<a <1，于是有14≤b 2<1，即有12≤b <1.20．(本小题满分12分)已知正常数a 、b 和正实数x 、y ，满足a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．[解析] x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·(a x ＋by )＝a ＋b ＋ay x ＋bxy ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当ay x ＝bx y 即yx＝ba时等号成立，∴x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18， 又a ＋b ＝10，∴ab ＝16.∴a ，b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根， ∴a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2.21．(本小题满分12分)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln2)(x －a 2)，此切线在x 轴上的截距为2－1ln2，求数列{a nb n}的前n 项和T n . [解析] (1)由已知，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，有 2a 8＝4×2a 7＝2a 1＋2， 解得d ＝a 8－a 7＝2，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln2)(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln2.由题意，a 2－1ln2＝2－1ln2，解得a 2＝2.所以，d ＝a 2－a 1＝1. 从而a n ＝n ，b n ＝2n .所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1.因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n .所以，T n ＝2n ＋1－n －22n.22．(本小题满分14分)某工厂有旧墙一面，长14米，现在准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形、面积为126平方米的厂房，工程条件是：①建1米新墙的费用为a 元；②修1米旧墙的费用为a 4元；③拆去1米旧墙，用所得的材料建1米新墙的费用为a2元，经讨论有两种方案：(1)利用旧墙的一段x 米(x <14)为矩形厂房一面的边长；(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x ≥14.问如何利用旧墙，即x 为多少米时，建造费用最省？(1)、(2)两种方案哪个更好？[解析] 以建造总费用为目标函数，通过函数求最小值来解本题．设利用旧墙的一面矩形边长为x 米，则矩形的另一面边长为126x米．(1)利用旧墙的一段x 米(x <14)为矩形一面边长，则修旧墙费用为x ·a4元．将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14－x )·a2元，其余建新墙的费用为(2x ＋2×126x－14)a 元． 故总费用为y ＝x ·a 4＋14－x 2·a ＋(2x ＋252x －14)a＝a ⎝⎛⎭⎫74x ＋252x －7＝7a (x 4＋36x －1)(0<x <14) ≥7a ·(2x 4·36x－1)＝35a ， 当且仅当x 4＝36x ，即x ＝12时，y min ＝35a 元．(2)若利用旧墙的一面矩形边长x ≥14， 则修旧墙的费用为a 4·14＝72a 元．建新墙的费用为(2x ＋252x －14)a ，故总费用为y ＝72a ＋(2x ＋252x －14)a＝72a ＋2a (x ＋126x －7)(x ≥14)． 设14≤x 1<x 2，则(x 1＋126x 1)－(x 2＋126x 2)＝(x 1－x 2)(1－126x 1x 2)．∵14≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1·x 2>196.从而1－126x 1x 2>0，所以函数y 在[14，＋∞)上为增函数．故当x ＝14时，y min ＝72a ＋2a (14＋12614－7)＝35.5a >35a .综上所述，采用第(1)种方案，利用旧墙12米为矩形的一面边长时，建墙总费用最省，为35a 元．。