整数规划割平面法
割平面法
§3割平面法割平面法也是求解整数规划问题常用方法之一。
3.1基本思路用割平面法求解整数规划的基本思路是：先不考虑整数约束条件，求松弛问题的最优解，如果获得整数最优解，即为所求，运算停止。
如果所得到最优解不满足整数约束条件，则在此非整数解的基础上增加新的约束条件重新求解。
这个新增加的约束条件的作用就是去切割相应松弛问题的可行域，即割去松弛问题的部分非整数解(包括原已得到的非整数最优解)。
而把所有的整数解都保留下来，故称新增加的约束条件为割平面。
当经过多次切割后，就会使被切割后保留下来的可行域上有一个坐标均为整数的顶点，它恰好就是所求问题的整数最优解。
即切割后所对应的松弛问题，与原整数规划问题具有相同的最优解。
下面以全整数规划问题的割平面法为例，介绍割平面的求解过程。
3.2求解步骤与举例割平面法的具体求解步骤如下：1.对于所求的整数规划问题(4.2)，先不考虑整数约束条件，求解相应的松弛问题（4.6）2.如果该问题无可行解或已取得整数最优解，则运算停止；前者表示原问题也无可行解，后者表示已求得整数最优解。
如果有一个或更多个变量取值不满足整数条件，则选择某个变量建立割平面。
3.增加为割平面的新约束条件，用前面介绍的灵敏分析的方法继续求解，返回1。
下面介绍割平面的建立方法及其求解过程。
例1 求解下列整数规划问题（4.7）解引入松弛变量，写成标准形式：(4.8)对上述模型不考虑整数条件，用单纯形法求解相应松弛问题的最终单纯形表为（表4-2）表4-215/38/3-13/3显然，为非整数解。
为求得整数解，我们想办法在原约束条件的基础下引入一个新的约束条件，以保证一个或几个变量取值为整数。
为此，在表4-2中任选一个取值非整数的变量，如，写出用基变量表示基变量的表达式：(4.9)将上式的所有变量的系数及右端常数均改写成一个整数与一个非负真分数之和的形式。
据此，(4.9)式可以改写成若将带有整数系数的变量整数项留在方程的左边，其余移到方程的右边，则有， (4.10) 由于要求变量取值为正整数，方程(4.10)的左边必为整数。
割平面法
31/7=4+3/7 于是，（1）式变为
4 1 3 x4 ( 1 ) x3 (3 ) x5 4 7 7 7
⑵
将所有整数项放在等式的左边，非整数值项放 在右边，得
3 4 1 x4 x3 3x5 4 x3 x5 7 7 7
⑶
⑶式左边是一个整数值，右边是一个小于１的 数。由于是等式，所以，右边应该是一个小于 或等于０的整数值，即
二、构造割平面约束的方法
在松弛问题的最优表中，设 b的分量bko不是 整数，将其分成整数与非负分数之和，即
bko Nko fko, 其中N ko为不超过bko的最大整数， fko为非负真分数; bko 所在行中的每一个非基 变量xj的系数分成整数与非负分数两部分：
ako , j Nko , j fko , j
１、求出松弛问题的最优解，若全部变量为整数解， 停止计算；否则转２。
２、构造割平面方程 •构造方法 割平面约束具备两个性质： ⑴ 已获得的非整数最优解不满足该线性约束， 从而保证在以后的解中不可能再出现。
⑵ 所有的整数解皆满足该线性约束，从而保 证整数规划问题的最优解始终都保留在每次所 形成的、新的线性规划问题的可行域中。 我们通过下面的例子来说明构造这种线性约束 的思路。
第二节 解纯整数规划的割平面法
一、 割平面方法的基本思想和步骤
二、构造割平面约束的方法
三、示例
一、 割平面方法的基本思想和步骤
•基本思想： 在IP问题的松弛问题中依次引进线性约束（称 Gomory约束或割平面），使问题的可行域逐步缩 小，所割去的区域仅包含问题的部分非整数解；当 规划问题的最优解恰好位于缩小的可行域的一个顶 点时，算法结束。 •求解步骤
割平面法-经典
割平面法的基础仍然是用解LP的方法去解整数规划问题. 其基本的步骤是: (1) 把约束条件中所有的系数整数化; (2) 不考虑决策变量的整数约束条件, 增加线性约束条件 (cutting plane), 使得原可行域中切割掉一部分,这部分只 包含非整数部分,但没有切割掉任何整数可行解;
1 3 x3 x4 0 4 4 4 3 即 3x 3 x 4 3
上式就是所要求的一个切割方程(割平面).
引入松驰变量x5, 从而可得到一等式约束条件,将所得等
式约束加入到原标准化的松驰问题之中, 得到如下新的 松驰问题.
max s .t . z x1 x 2 x1 x 2 x 3 3x 1 x 2 x4 1 4
k k
(3) 由变量(包括松驰变量)的非负整数条件, 从而可得
f i - f ik x k 0
k
上式即为所要求的切割方程 割平面法是Gomory在1958年提出的, 当时引起了人们广 泛注意, 但至今完全用它解决实际问题仍是少数, 因为其 收敛性很慢. 但若下其它方法(如分枝定界法)配合使用,
3x 3 x 4 x 5 3 x1 , x 2 , x 3 , x4 , x5 0
将所得等式约束加入到原标准化的松驰问题的最优单纯
形表之中,得 cj 1 1 0 0 0
CB
1
XB
b
x1
1
x2
0
x3
-1/4
x4 x5
1/4 0
x1 3/4
1
0
x2 7/4
x5 -3
0
0 0
1
0 0
(3) 求解上面的LP问题,若所得的最优解为整数, 则该解也
割平面法-运筹学整数规划
第二节 分枝定界法(Branch and Bound method)
引言：穷举法对小规模的问题可以。大规模问题则不行。
一、基本思想和算法依据
基本思想是：先求出相应的线性规划最优解，若此解不 符合整数条件，则其目标函数的值就是整数规划问题最优值 的上界，而任意满足整数条件的可行解的目标函数值将是其 下界（定界），然后将相应的线性规划问题进行分枝，分别 求解后续的分枝问题。如果后续分枝问题的最优值小于上述 下界, 则剪掉此枝; 如果后续某一分枝问题的最优解满足整数 条件，且其最优值大于上述下界，则用其取代上述下界，继
s .t
2 x1 x1 , x 2
x2 0
6
x1 , x 2取整数
19
解: 1 求解相应的线性规划得
cj
4
CB
XB
b
x1
0
x3
20
4
0
x4
6
2
检验数
0
4
0
x3
8
0
4
x4
3
1
检验数
-12
0
3
x2
8 /3
0
4
x1
5 /3
1
检验数
-4 4 /3
0
3
0
0
x2
x3
x4
5
1
0
1
0
1
3
0
0
3
1
-2
1 /2
-3x3 - x4 -3 引 得入松弛变量x5，将其加入到原规划的约束条件中，利用上述最终1表5
cj
1
CB
XB
b
x1
0
x3
1
整数规划求解题技巧
整数规划求解题技巧整数规划（Integer Programming，IP）是线性规划（Linear Programming，LP）的扩展，它要求所有变量的取值必须是整数。
整数规划常用于求解实际问题中的最优决策，具有广泛的应用领域，如运输、生产、资源分配等。
下面我将介绍一些整数规划求解题的技巧。
1. 转化为纯整数规划：将实际问题转化为纯整数规划问题可以简化模型。
纯整数规划要求所有变量的取值都必须是整数，没有连续变量的限制。
通过建立合适的约束条件和目标函数，可以将问题转化为纯整数规划问题进行求解。
2. 松弛约束：对于某些约束条件，如果将其从等式形式变为不等式形式且松弛一些限制，可以增加问题的可行解空间。
这样可以使得模型具有更多的可行解，从而提高求解效率。
3. 分枝定界法：分枝定界法是一种常用的求解整数规划问题的方法。
它将整数规划问题划分为多个子问题，通过不断划分和求解这些子问题，逐步逼近最优解。
分枝定界法通常包括两个步骤：分枝和定界。
分枝是指将问题分解为多个子问题，每个子问题都是原问题的一个可能解。
定界是指通过对子问题的求解，确定上界和下界，从而缩小搜索范围。
4. 启发式算法：启发式算法是一种常用的求解整数规划问题的方法，它通过启发式规则和策略来指导搜索过程。
启发式算法不保证找到最优解，但可以在较短时间内找到近似最优解。
常见的启发式算法包括贪心算法、模拟退火算法、遗传算法等。
5. 接近最优策略：在实际问题中，有时求解整数规划问题的时间复杂度非常高，甚至是NP-hard难题。
面对这种情况，可以采取接近最优的策略。
即对于一个相对较大的整数规划问题，先求解一个近似最优解，然后逐步优化，以此来降低问题的复杂度。
6. 问题分解：对于大规模的整数规划问题，可以将问题分解成多个较小的子问题。
通过对这些子问题的求解，可以逐步逼近整体问题的最优解。
问题分解可以提高求解效率，同时可以充分利用问题的结构特点。
7. 约束松弛法：约束松弛法是一种将整数规划问题转化为线性规划问题进行求解的方法。
割平面法
§3割平面法割平面法也是求解整数规划问题常用方法之一。
3.1基本思路用割平面法求解整数规划的基本思路是：先不考虑整数约束条件，求松弛问题的最优解，如果获得整数最优解，即为所求，运算停止。
如果所得到最优解不满足整数约束条件，则在此非整数解的基础上增加新的约束条件重新求解。
这个新增加的约束条件的作用就是去切割相应松弛问题的可行域，即割去松弛问题的部分非整数解(包括原已得到的非整数最优解)。
而把所有的整数解都保留下来，故称新增加的约束条件为割平面。
当经过多次切割后，就会使被切割后保留下来的可行域上有一个坐标均为整数的顶点，它恰好就是所求问题的整数最优解。
即切割后所对应的松弛问题，与原整数规划问题具有相同的最优解。
下面以全整数规划问题的割平面法为例，介绍割平面的求解过程。
3.2求解步骤与举例割平面法的具体求解步骤如下：1.对于所求的整数规划问题(4.2)，先不考虑整数约束条件，求解相应的松弛问题（4.6）2.如果该问题无可行解或已取得整数最优解，则运算停止；前者表示原问题也无可行解，后者表示已求得整数最优解。
如果有一个或更多个变量取值不满足整数条件，则选择某个变量建立割平面。
3.增加为割平面的新约束条件，用前面介绍的灵敏分析的方法继续求解，返回1。
下面介绍割平面的建立方法及其求解过程。
例1 求解下列整数规划问题（4.7）解引入松弛变量，写成标准形式：(4.8)对上述模型不考虑整数条件，用单纯形法求解相应松弛问题的最终单纯形表为（表4-2）表4-215/38/3-13/3显然，为非整数解。
为求得整数解，我们想办法在原约束条件的基础下引入一个新的约束条件，以保证一个或几个变量取值为整数。
为此，在表4-2中任选一个取值非整数的变量，如，写出用基变量表示基变量的表达式：(4.9)将上式的所有变量的系数及右端常数均改写成一个整数与一个非负真分数之和的形式。
据此，(4.9)式可以改写成若将带有整数系数的变量整数项留在方程的左边，其余移到方程的右边，则有， (4.10) 由于要求变量取值为正整数，方程(4.10)的左边必为整数。
milp优化问题的典型求解方法
Milp（Mixed Integer Linear Programming）是一类线性规划问题，其变量包括整数型和实数型变量。
对于Milp优化问题，常见的求解方法包括整数规划分支定界法、整数规划切割平面法、启发式算法等。
本文将着重介绍Milp优化问题的典型求解方法，以便读者更好地理解和应用这些方法。
一、整数规划分支定界法1. 整数规划分支定界法是一种常用的Milp求解方法，其基本思想是通过不断地分支和界定变量取值范围来逐步逼近最优解。
具体步骤包括：（1）初始化线性规划问题，将整数变量约束为取值范围。
（2）求解线性松弛问题，得到最优解和最优目标值。
（3）检查最优解中的整数变量是否满足整数条件，若满足则更新最优解和目标值，否则进行分支操作。
（4）重复步骤（2）和步骤（3）直至满足终止条件。
二、整数规划切割平面法2. 整数规划切割平面法是另一种常用的Milp求解方法，其核心思想是通过不断添加约束条件来逼近最优解。
具体步骤包括：（1）初始化线性规划问题，将整数变量约束为取值范围。
（2）求解线性松弛问题，得到最优解和最优目标值。
（3）检查最优解中的整数变量是否满足整数条件，若满足则更新最优解和目标值，否则添加约束条件。
（4）重复步骤（2）和步骤（3）直至满足终止条件。
三、启发式算法3. 启发式算法是一类常用的Milp求解方法，其特点是通过启发式策略来搜索最优解。
常见的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法、禁忌搜索算法等。
这些算法通过不断地迭代和搜索来寻找最优解，其求解步骤包括：（1）初始化种群或解空间。
（2）根据指定策略进行选择、交叉和变异操作。
（3）更新种群或解空间，并计算适应度值。
（4）重复步骤（2）和步骤（3）直至满足终止条件。
四、优化问题的特点及应用4. Milp优化问题的求解方法在实际应用中具有广泛的适用性，常见的应用领域包括生产调度、物流规划、网络设计等。
由于Milp问题的复杂性和求解困难性，对于实际问题的建模和求解需要充分考虑问题特点和求解方法的选择。
整数规划割平面法
整数规划割平面法 Written by Peter at 2021 in January割平面法求解整数规划问题：Max Z=3x 1+2x 22x 1+3x 2144x 1+2x 218x 1,x 20，且为整数解：首先，将原问题的数学模型标准化，这里标准化有两层含义：（1）将不等式转化为等式约束，（2）将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数，以便于构造切割平面。
从而有：Max Z=3x 1+2x 22x 1+3x 2+x 3=14 2x 1+x 2+x 4=9x 1,x 20，且为整数利用单纯形法求解，得到最优单纯形表，见表1：表1最优解为：x 1=13/4, x 2=5/2, Z=59/4根据上表，写出非整数规划的约束方程，如：x 2+1/2x 3-1/2x 4=5/2(1)将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式，即：(1+0)x 2+(0+1/2)x 3+(-1+1/2)x 4=2+1/2把整数及带有整数系数的变量移到方程左边，分数及带有分数系数的变量称到方程右边，得：x 2 - x 4-2 =1/2-(1/2x 3+1/2x 4)(2)由于原数学模型已经“标准化”，因此，在整数最优解中，x 2和x 4也必须取整数值，所以(2)式左端必为整数或零，因而其右端也必须是整数。
又因为x 3,x 40，所以必有：1/2-(1/2x 3+1/2x 4)<1由于(2)式右端必为整数，于是有：1/2-(1/2x 3+1/2x 4)0(3)或x 3+x 41(4)这就是考虑整数约束的一个割平面约束方程，它是用非基变量表示的，如果用基变量来表示割平面约束方程，则有：2x 1+2x 211(5)从图1中可以看出，(5)式所表示的割平面约束仅割去线性规划可行域中不包含整数可行解的部分区域，使点E(3.5，2)成为可行域的一个极点。
图1在(3)式中加入松弛变量x 5，得：-1/2x 3-1/2x 4+x 5=-1/2(6)将(6)式增添到问题的约束条件中，得到新的整数规划问题：Max Z=3x 1+2x 22x 1+3x 2+x 3=142x 1+x 2+x 4=9-1/2x 3-1/2x 4+x 5=-1/2x i 0，且为整数，i=1,2,…,5该问题的求解可以在表1中加入(6)式，然后运用对偶单纯形法求出最优解。
求解整数规划常用的方法有分枝定界法和割平面法。这两种
1
3
2 ◎0
◎0 6 2 1 √ 0 5 1 0
0
5
3
1
√
0
4
2
0
0 ◎0 0 1
1 0 0 1
1
3
2 ◎0
2
3
2
0
√
做最少直线
（4） 在未被直线覆盖的部分中找出最小元素， 然后在打√行各元素中都减去这最小元素，而在打√ 列的各元素都加上这最小元素。这样得到新的系数 矩阵（它的最优解和原问题相同）。
很多0元素的新系数矩阵 c ij ，而最优解保持不变。
匈牙利法是针对目标要求极小化问题提出的 基本原理：为了实现目标极小，在系数矩阵
元素cij≥0条件下，如果能使矩阵具有一组处于 不同行不同列的零元素cij’＝0，画上圈符号 “◎”，表示对应该元素的决策变量xij=1，未画 圈元素对应的决策变量xij＝0，那么目标的数值
非平衡的指派问题，设两项虚任务，其收益为0， 化为平衡指派问题。
ABCDE F
1
3
5
4
5
0
0
2
6
7
6
8
0
0
3
8
9
8 10 0
0
4 10 10 9 11
0
0
5 12 11 10 12 0
0
6 13 12 11 13 0
0
求最大值问题转化为求最小值问题，利用下式
mZ a x m iZ n
nn
即
minZ
0 4 0 0
◎0
3
1
0
2 ◎0 0 2
2
2
1 ◎0
0 4 ◎0 0
整数规划的割平面法计算流程与举例
整数规划的割平面法计算流程与举例下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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割平面法_精品文档
从而
fi-ΣfijXj≤0
⑸
取⑸式作为切割方程。因为任何整数可行解都满足这个方程，所以 把它加到原问题的约束中，它能够对原可行域进行切割，而不会切 割掉整数解。
例3 用割平面法求解
maxZ=x1+x2 -x1+x2≤1 3xx1,1x+2x≥20≤，4 整数
解：将问题标准化得
maxZ=x1+x2
⑴
-x1+x2=1
1
D B（1，1）
x3 =1+x1-x2 x4=4 -3x1-x2 代入切割方程 得
-1 0
3x1+x2=4
3（1+x1-x2）+（4-3x1-x2）≥3
1
x1
即 x2≤1，将此切割方程 加入原约 束中，就等于切掉原可行域得
A1B部分，如图。 显然在A1B区域不含整数解点，对原可行域切割的结果是产生了一
下面讨论切割方程的求法。
设与整数规划相对应的线性规划最优解中基变量XBi=（B-1b)i不 是整数，将最优单纯形表中该基变量对应的行还原成约束方程，即
XBi +ΣaijXj=（B-1b)i
⑴
将（B-1b)i，aij都分解成整数与非负真分数之和的形式，即
（B-1b)i=Ni+fi 其中0＜ fi ＜1 ⑵
aij=Nij+fij
其中0≤ fij ＜1 ⑶
这里Ni、Nij是整数，将⑵、 ⑶代入⑴，得
XBi +Σ（Nij+fij）Xj=Ni+fi
即
XBi +ΣNijXj-Ni=fi-ΣfijXj
⑷
当诸Xi都是整数时， ⑷式左端是整数，所以右端亦应是整数，但右
求解整数规划的方法
求解整数规划的方法整数规划是一种最优化问题，其解决方案限制了决策变量必须取整数值。
整数规划的应用非常广泛，涉及到许多实际问题，如制造业生产调度、物流优化、资源分配等。
在本文中，我们将介绍几种常用的整数规划方法。
一、分支定界法分支定界法是一种常用的整数规划求解方法，它通过不断将解空间分割为子问题并求解这些子问题，最终找到整数规划的最优解。
具体步骤如下：1. 初始时，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并求解线性规划问题的松弛解。
2. 如果松弛解满足整数约束条件，则找到一个整数解，更新当前最优解。
3. 如果松弛解不满足整数约束条件，则选择一个变量将其分割为两个子问题，并分别求解这两个子问题。
4. 对每个子问题，递归地应用上述步骤，直到找到一个整数解或者确定当前子问题的上界小于当前最优解。
5. 最终，得到整数规划的最优解。
分支定界法的优点是能够保证找到最优解，但其缺点是计算复杂度较高，特别是在问题规模较大时，会导致计算时间过长。
二、整数规划的近似算法当整数规划问题规模较大时，找到精确解的计算复杂度可能变得非常高，此时可以考虑使用近似算法来求解。
近似算法的思想是通过放松整数约束条件，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并对线性规划问题进行求解。
然后，根据线性规划问题的解，对整数规划问题进行修正，得到整数规划问题的一个近似解。
三、割平面法割平面法是一种常用的整数规划求解方法，它通过添加一系列线性不等式（割平面）来逐步减小可行解空间，最终找到整数规划的最优解。
具体步骤如下：1. 初始时，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并求解线性规划问题的松弛解。
2. 如果松弛解满足整数约束条件，则找到一个整数解，更新当前最优解。
3. 如果松弛解不满足整数约束条件，则根据当前松弛解所对应的目标函数值，添加一系列线性不等式（割平面）来限制可行解空间。
4. 对添加了割平面约束的线性规划问题，继续求解，并更新最优解。
5. 重复以上步骤，直到找到一个整数解或者确定当前问题的上界小于当前最优解。
gomory割平面法原理及应用
gomory割平面法原理及应用标题：Gomory割平面法：原理及应用引言：在运筹学领域，Gomory割平面法是一种强大的整数规划求解方法，它通过引入一系列割平面来逐步逼近最优解。
本文将深入探讨Gomory割平面法的原理和应用，解释其工作原理以及在实际问题中的应用场景。
对于理解和应用这一方法，本文将从简到繁、由浅入深地进行解释。
一、Gomory割平面法原理1.1 整数规划问题简介在介绍Gomory割平面法之前，我们首先了解整数规划问题。
整数规划是线性规划的一种扩展形式，其中变量被限制为取整数值。
我们将探讨整数规划问题的基本概念、约束条件以及目标函数。
1.2 割平面的引入割平面是指在整数规划问题中，通过添加一系列附加约束来限制解的空间。
这些约束通常是线性的，并且通过改进松弛线性规划问题的解来逼近整数解。
1.3 Gomory割平面法的基本思想Gomory割平面法通过将松弛线性规划问题求解为一个整数规划问题，然后应用割平面的思想逐步逼近最优整数解。
本节将详细介绍Gomory割平面法的基本思想和具体步骤。
二、Gomory割平面法应用案例在本节中，我们将通过一个实际案例来展示Gomory割平面法的应用。
假设我们有一个生产计划问题，需要确定如何分配资源以最大化利润并满足资源的限制条件。
我们将逐步应用Gomory割平面法来解决这个问题，并解释每一步的具体操作。
三、Gomory割平面法的优缺点在实际应用中，我们需要综合考虑Gomory割平面法的优点和局限性。
本节将讨论Gomory割平面法的优缺点，并帮助读者在实践中做出合理的选择。
四、总结与回顾通过本文的学习，我们了解了Gomory割平面法的原理和应用。
这种方法通过引入割平面，可以逐步逼近整数规划问题的最优解。
我们探讨了Gomory割平面法的基本思想、具体步骤以及应用案例，希望读者能够对该方法有更深入、全面的理解和应用。
观点和理解：Gomory割平面法作为整数规划领域中的重要方法，具有以下观点和理解：1. Gomory割平面法通过引入割平面，可以在保证最优解的情况下进一步限制解的空间，提高整数规划问题的求解效率。
《Gomory割平面法》课件
欢迎来到《Gomory割平面法》PPT课件！在本课件中，我们将探讨什么是 Gomory割平面法以及它的原理和步骤。我们还将了解它的优势、应用领域和 局限性。让我们一起开始吧！
什么是Gomory割平面法
Gomory割平面法是一种整数规划求解方法，通过引入割平面将整数线性规划 问题转化为等价的继续性线性规划问题。割平面是用来约束目标函数与约束 条件关系的附加条件。
Gomory割平面法可应用于生产 计划和调度问题，如产品线排程 和作业调度。
Gomory割平面法的局限性
1 计算复杂度
Gomory割平面法在处理 大规模问题时的计算复杂 度较高。
2 问题依赖
适用于某些类型的整数线 性规划问题，但不一定适 用于所有情况。
3 数据假设
在应用Gomory割平面法 时，需要满足一定的数据 假设条件。
Gomory割平面法的原理
Gomory割平面法的原理在于通过对整数线性规划问题进行线性松弛，找到最优线性松弛解，然后向目标函数 添加割平面约束条件，逐步逼近整数解。
Gomory割平面法的步骤
1
初始化
设置目标函数和约束条件，并将它们转
线性松弛求解
2
化为标准形式。
通过求解线性松弛问题，得到最优线性
松弛解。
通过割平面的添加，Gomory割平面法能够更快地找到整数解。
Gomory割平面法的应用领域
供应链优化
Gomory割平面法可用于优化供 应链网络中的整数规划问题，如 仓库位置选择和物流路径优化。
资源分配
生产调度
在资源有限的情况下，Gomory 割平面法可用于优化资源的分配 问题，如人力资源和资金的分配。
割平面法求解整数规划技巧
割平面法求解整数规划技巧割平面法是一种经典的求解整数规划问题的方法，它可以通过不断添加约束来逼近整数解，并最终找到最优解。
下面将介绍一些割平面法求解整数规划问题的技巧。
1. 初始化问题：割平面法的第一步是用线性松弛来求解相应的线性规划问题。
线性松弛问题忽略了约束条件中的整数要求，将其转化为一个线性函数的最优化问题。
通过求解线性松弛问题，可以获得一个最优解，并作为整数规划问题的一个可行解。
2. 添加割平面约束：如果线性松弛问题的最优解不是整数解，割平面法会添加一个新的约束条件来限制解的空间。
这个新的约束条件可以通过不等式来表示，例如 x1 + x2 ≤ 3。
通过添加这个不等式，割平面法将整数规划问题的可行区域缩小，从而更有可能得到一个整数解。
3. 求解线性松弛更新问题：添加割平面约束后，需要重新求解线性松弛问题，得到新的最优解。
如果新的最优解是整数解，则整数规划问题得到解决。
如果新的最优解不是整数解，则继续添加割平面约束，并重复这个步骤，直到找到整数解为止。
4. 割平面生成技巧：割平面法的关键在于如何选择适当的割平面约束。
以下是一些常用的割平面生成技巧：- Gomory割割平面：Gomory割是一种经典的割平面约束生成方法。
它利用线性规划的单纯形表达式中的非整数系数生成新的约束。
对于每个非整数系数cij，可以将其转化为一个新的不等式约束 cij xj ≤∑(cij - xi), 其中 xi 表示已经确定的整数变量的取值。
- 0-1割平面：0-1割平面方式适用于含有0-1变量（即只能取0或1值）的整数规划问题。
它可以通过适当选择0-1变量的线性组合来生成割平面约束。
- 最小割边集生成割平面：对于某些特殊问题，可以使用图论中的最小割边集生成割平面约束。
这种方法适用于有图结构的整数规划问题，通过找到图中的最小割边集，可以生成割平面约束来缩小解的空间。
5. 割平面法的终止条件：割平面法在每次迭代中都会找到一个更好的整数解并更新线性松弛问题。
gomory割平面法
gomory割平面法一、概述Gomory割平面法是一种用于解决整数规划问题的算法。
它的基本思想是将线性规划问题转化为整数规划问题，通过不断添加割平面来逐步逼近整数解。
二、线性规划与整数规划1. 线性规划线性规划（Linear Programming，LP）是指目标函数和约束条件均为线性函数的最优化问题。
它可以表示为：$$ \begin{aligned} &\max_{x} c^T x \\ &s.t. \quad Ax \leq b, x \geq 0 \end{aligned} $$其中，$c$、$x$、$b$均为向量，$A$为矩阵。
2. 整数规划整数规划（Integer Programming，IP）是指在线性规划的基础上，要求$x$取值必须为整数的最优化问题。
它可以表示为：$$ \begin{aligned} &\max_{x} c^T x \\ &s.t. \quad Ax \leq b, x\in Z^n_+ \end{aligned} $$其中，$Z^n_+$表示$n$维非负整数集合。
三、Gomory割平面法的基本思想1. 割平面法概述割平面法是一种用于求解整数规划问题的算法。
它的基本思想是通过添加割平面来逐步逼近整数解。
割平面法的核心是确定割平面的方法。
2. Gomory割平面法Gomory割平面法是一种经典的割平面法，由Ralph Gomory于1958年提出。
其基本思想是通过将松弛线性规划问题转化为整数规划问题，并不断添加新的约束条件（即割平面），来逼近整数解。
Gomory割平面法的具体步骤如下：（1）将线性规划问题转化为松弛线性规划问题，即将$x$取值限制为非负整数变量改为非负实数变量，得到如下形式：$$ \begin{aligned} &\max_{x} c^T x \\ &s.t. \quad Ax \leq b, x \geq 0 \end{aligned} $$（2）求解松弛线性规划问题，得到最优解$x^*$。
运筹学(第5章割平面)_
§5· 1整数规划模型 §5· 2纯整数规划的割平面法 §5· 4分支定界法 §5· 7最优分配问题
本章基本要求
掌握整数规划的数学模型的建摸技巧； 掌握0-1规划模型 了解割平面公式； 掌握分支定界法； 掌握匈牙利法解决最优分配问题。
整数规划
整数规划：决策变量全体或部分约
问 题
1、去掉整数约束的规划问题 的最优解与整数规划的最优 解有何关系？ 2、如何建立整数规划模型？ 如何求解整数规划问题？
例5-1 求解整数规划
(1.5, 3.33) 最优值是-4.83
放松整数约束得到的线性规划问题
为该整数规划松弛问题 任何一个整数规划都可以看成是一 个线性规划松弛问题再加上整数约 束构成 整数规划的可行域是线性规划松弛 问题可行域的一个子集.
例5-15 求解下列（AIP）： min f= -2x1-5x2 s.t. 2x1 -x2 + x3 = 9 2x1 + 8 x2 + x4 = 31 xj≥0, 整数， j=1,…，4。
1/6 5/6 1/2
1/2 1/4 1/4
整数规划最优解和线性规划 松弛问题最优解的关系
对于最大化问题
松弛问题最优解≥整数规划最优解
对于最小化问题
松弛问题最优解≤整数规划ห้องสมุดไป่ตู้优解
§5.1整数规划模型
1、固定费用问题 2、选择性约束条件
１．固定费用问题
例5-2 某工厂生产1#、2#和3#三种产 品，每种产品需经过三道工序，有关 信息如下表所示。若j#产品投产，无论 产量大或小，都需要一笔固定的费用dj， 问每种产品各生产多少，可使这一周 内生产的产品所获利润最大?试建立整 数规划模型．
第5章 整数-割平面法与0-1整数规划
基本思路示意
(3/4,7/4)
z=x1+x2
• •
•
(1,1)
•
不考虑条件⑤ 不考虑条件⑤，可求得相应线性 规划的最优解(即问题 即问题B)： 规划的最优解 即问题 ： x1=3/4，x2=7/4，max z=10/4 ， ， 但不合于整数条件。 但不合于整数条件。
思路: 思路 寻找左图中像CD那样的直线切割域 那样的直线切割域R， 寻找左图中像 那样的直线切割域 ， 去掉三角形域ACD，那么具有整数坐标的 去掉三角形域 ， C点(1，1)就是域 的一个极点，从而进 就是域R’的一个极点 点 ， 就是域 的一个极点， 入单纯型法中顶点的选择之列. 入单纯型法中顶点的选择之列 • 解法的关键 解法的关键: • 怎样构造一个这样 割平面” 。 的“割平面”CD。
4.1 引入 变量的实际问题 引入0-1变量的实际问题
1. 投资场所的选定 相互排斥的计划 投资场所的选定——相互排斥的计划 某公司拟在市东、 南三区建立门市部。 例4 某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。拟 可供选择。 议中有7个位置 个位置(点 议中有 个位置 点)Ai (i=1，2，…，7)可供选择。 ， ， ， 可供选择 规定： 规定： • 在东区，由A1，A2，A3三个点中至多选两个； 在东区， 三个点中至多选两个； • 在西区，由A4，A5两个点中至少选一个； 在西区， 两个点中至少选一个； • 在南区，由A6，A7两个点中至少选一个。 在南区， 两个点中至少选一个。 • 如选用 i 点 ， 设备投资估计为 i 元 ， 每年可获利 如选用A 设备投资估计为b 润估计为c 但投资总额不能超过B元 润估计为 i元，但投资总额不能超过 元。问应选 择哪几个点可使年利润为最大? 择哪几个点可使年利润为最大
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割平面法
求解整数规划问题：
Max Z=3x 1+2x 2
2x 1+3x 2?14
4x 1+2x 2?18
x 1,x 2?0，且为整数
解：首先，将原问题的数学模型标准化，这里标准化有两层含义：（1）将不等式转化为等式约束，（2）将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数，以便于构造切割平面。
从而有：
Max Z=3x 1+2x 2
2x 1+3x 2+x 3=14
2x 1+x 2+x 4=9
x 1,x 2?0，且为整数
利用单纯形法求解，得到最优单纯形表，见表1：
表1
最优解为：x 1=13/4, x 2=5/2, Z=59/4
根据上表，写出非整数规划的约束方程，如：
x 2+1/2x 3-1/2x 4=5/2 (1)
将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式，即：
(1+0)x 2+(0+1/2)x 3+(-1+1/2)x 4=2+1/2
把整数及带有整数系数的变量移到方程左边，分数及带有分数系数的变量称到方程右边，得：
x 2 - x 4-2 =1/2-(1/2x 3+1/2x 4)
(2)
由于原数学模型已经“标准化”，因此，在整数最优解中，x 2和x 4也必须取整数值，所以(2)式左端必为整数或零，因而其右端也必须是整数。
又因为x 3,x 4?0，所以必有：
由于(2)式右端必为整数，于是有：
1/2-(1/2x 3+1/2x 4)?0
(3)
或
x 3+x 4?1
(4)
这就是考虑整数约束的一个割平面约束方程，它是用非基变量表示的，如果用基变量来表示割平面约束方程，则有：
2x 1+2x 2?11
(5)
从图1中可以看出，(5)式所表示的割平面约束仅割去线性规划可行域中不包含整数可行解的部分区域，使点E(3.5，2)成为可行域的一个极点。
图1
在(3)式中加入松弛变量x 5，得：
-1/2x 3-1/2x 4+x 5=-1/2
(6)
将(6)式增添到问题的约束条件中，得到新的整数规划问题：
Max Z=3x 1+2x 2
2x 1+3x 2+x 3=14
2x 1+x 2+x 4=9
x
?0，且为整数，i=1,2,…,5
i
该问题的求解可以在表1中加入(6)式，然后运用对偶单纯形法求出最优解。
具体计算过程见表2：
表2
由此得最优解为：x
1=7/2, x
2
=2, z=58/4
该最优解仍不满足整数约束条件，因而需进行第二次切割。
为此，从表2中抄下非整数解
x
1
的约束方程为：
x
1+x
4
-1/2x
5
= 7/2
按整数、分数归并原则写成：
x
1+x
4
-x
5
-3 = 1/2-1/2x
5
?0 (7)
这就是一个新的割平面方程，用基变量来表示，得：
x
1+x
2
?5 (8)
在(7)中加入松弛变量x
6
，得：
-1/2x
5+x
6
=-1/2 (9)
将(9)式增添到前一个问题的约束条件中去，得到又一个新的整数规划问题，对它求解可以在表2中加入(7)式，然后运用对偶单纯形法求出最优解。
具体计算过程见表3：
表3
由此得最优解为：x
1=4, x
2
=1,z=14。
该最优解符合整数条件，因此也是原整数规划问题的
最优解。
从图1中可以看出，由(8)式表示的割平面约束，不仅割去线性规划可行域中剩下的不
含整数解域，而且使最优整数解x
1=4, x
2
=1（即图2中的G点），成为新的线性规划可行域
的一个极点。
图2。