整数规划割平面法

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割平面法——精选推荐

3 割平面法

割平面法是通过生成一系列的平面割掉非整数部分来得到最优整数解的方法。

目前，割平面法有分数割平面法，原始割平面法，对偶整数割平面法，混合割平面法等。

我们介绍Gomory割平面法（纯整数规划割平面法）

用例子说明割平面法基本思想。例5-8求下列问题：Max Z=2x 1+ 3x 2

s.t.2x 1+4x 2 ≤25

x 1≤8

2x 2 ≤10

x 1,x 2 ≥0,且取整数值

化成标准问题

Max Z=2x 1+ 3x 2

s.t.2x 1+4x 2 + x 3 =25

x 1+ x 4=8

2x 2 + x 5 =10

x j 0,且取整数值

松驰问题(P)

Max Z=2x 1+ 3x 2

s.t.2x 1+4x 2 + x 3 =25

x 1+ x 4=8

2x 2 + x 5 =10

x j 0

松驰问题(P)

用单纯形法求解得到最优解：

B（8，9/4）Z=22

（3/4）

但不是原问题（IP）的解，（IP）可行域是OABDE内的全部方格点组成。

D E O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210

X 1X 2

引进割平面法l 1: x 1+ x 2=10割去非整数部分FBG l 2: x 1+2x 2=12 割去非整数部分HDGF

B F D E l 1O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 1

l 2

G B F H D E O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 12

10987654321X 12

H E O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 12

运筹学整数规划

运筹学是研究在资源有限的条件下，如何进行决策和优化的一门学科。整数规划是运筹学中的一个重要分支，它解决的是决策变量必须为整数的问题。整数规划在实际问题中具有广泛的应用，如生产计划、设备配置、选址问题等。

整数规划问题的数学模型可以表示为：

max/min c^T x

s.t. Ax ≤ b

x ≥ 0

x ∈ Z

其中，c是目标函数的系数矩阵，x是决策变量的向量，A是

约束条件的系数矩阵，b是约束条件的向量，Z表示整数集合。

整数规划问题与线性规划问题相似，但整数规划问题的约束条件多了一个整数限制，使得问题的解空间变得更为复杂。由于整数规划问题的NP-hard性质，求解整数规划问题是一项困难

的任务。

求解整数规划问题的常用方法有分支定界法、割平面法和启发式算法等。

分支定界法是一种穷举搜索的方法，它通过将整数规划问题不断分割成更小的子问题，从而逐步搜索解空间，直到找到最优解。分支定界法对于规模较小的问题比较有效，但对于大规模复杂问题，效率较低。

割平面法是一种通过添加新的约束条件来减少解空间的方法。它利用线性松弛问题（将整数约束条件放宽为线性约束条件）的解来构造有效的割平面，从而逐步缩小解空间，找到最优解。割平面法通常比分支定界法更有效，但对于某些问题，可能需要添加大量的割平面才能收敛到最优解。

启发式算法是一种基于经验和启发式搜索的方法。它通过设置初始解、搜索策略和邻域搜索等步骤，来快速找到近似最优解。常见的启发式算法有遗传算法、模拟退火算法和禁忌搜索算法等。启发式算法虽然不能保证找到全局最优解，但能够在可接受的时间内找到较优解。

割平面法Gommoy

算法步骤：

① 求解原整数规划对应的线性规划 min f （x ）=cx ， .⎩

⎨⎧≥≤为整数xi x b A t s x .0.，设最优解为x*。

② 如果最优解的分量均为整数,则x ＊为原整数规划的最优解:否则任选一个x ＊中不是整数的分量,设其对应的基变量为x p ，, 定义包含这个基变量的切割约束方程∑=+j

com j ij b x r p x ，其中x j 为非基变量。

③ 令][b b b ],[r com com com ij ij ij r r -=-=,其中［]为高斯函数符号,表示不大于某数的最大整数. 将切割约束方程变换为∑∑-=-+j

j ij j j ij

p x r x r x com com b ][b ][,由于10,1r 0<≤<≤com ij b ,所以有∑-j ij com x r b 〈1,因为自变量为整数，则∑-j ij com x r b 也为整数,所以进一步有∑-j ij com x r b 〈=0.

④ 将切割方程加入约束方程中,用对偶单纯算法求解线性规划

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≥≤-≤=∑00b b Ax .,)(min com x x r t s cx x f j j ij ，转。

算法MATLAB 实现

代码：

function ［intx ，intf ］=Gomory(A,c ，b ，base ）

%约束矩阵:A ；

%目标函数系数向量：c

％约束右端向量:b

%初始基向量base

%目标函数取最小化时的自变量值:x

％目标函数的最小值：minf

供应链网络设计中的整数线性规划模型构建与求解

供应链网络设计中的整数线性规划模型构建

与求解

一、引言

供应链网络设计是指为了实现最佳成本、服务和质量目标，在给定的供应链网络中选择适当的位置、规模和资源配置，以实现最佳的供应链绩效。整数线性规划（Integer Linear Programming，简称ILP）是一种数学优化方法，可以在满足约束条件的前提下，找到使目标函数最优化的整数解。本文将讨论在供应链网络设计中如何构建和求解整数线性规划模型。

二、问题形式化

在供应链网络设计中，我们需要考虑以下因素：

1. 供应链网络中的位置：确定供应链网络中的仓库和生产设施的位置。

2. 生产能力：确定每个生产设施的产能。

3. 运输网络：确定仓库与生产设施之间的运输路径和费用。

4. 需求预测：确定各个市场的需求量及其对应的价格。

5. 成本约束：考虑生产、运输和库存等成本的限制。

6. 目标函数：以最小化总成本或最大化总利润为目标。

三、模型构建

根据上述问题，我们可以构建以下整数线性规划模型：

目标函数：最小化总成本或最大化总利润。

约束条件：

1. 生产能力约束：每个生产设施的产量不得超过其产能上限。

2. 需求满足约束：市场需求必须得到满足，即供应量必须大于等于需求量。

3. 运输约束：运输路径上的运输量必须满足产能、需求和运输限制。

4. 成本约束：考虑各个方面的成本，如生产成本、运输成本和库存成本等。

5. 位置约束：每个生产设施和仓库的位置满足适当的限制条件。

四、求解方法

求解整数线性规划模型可以采用以下方法：

1. 分支定界法：将整数规划问题转化为一系列线性规划问题，通过分别求解这些线性规划问题来逐步逼近最优解。

割平面法求解整数规划问题实验报告

运筹学与最优化MATLAB 编程

实验报告

割平面法求解整数规划问题

一、引言：

通过对MATLAB 实践设计的学习，学会使用MATLAB 解决现实生活中的问题。该设计是在MATLAB 程序设计语言的基础上，对实际问题建立数学模型并设计程序，使用割平面法解决一个整数规划问题。经实验，该算法可成功运行并求解出最优整数解。二、算法说明：

割平面法有许多种类型，本次设计的原理是依据Gomory 的割平面法。Gomory 割平面法首先求解非整数约束的线性规划，再选择一个不是整数的基变量，定义新的约束，增加到原来的约束中，新的约束缩小了可行域，但是保留了原问题的全部整数可行解。

算法具体设计步骤如下：

1、首先，求解原整数规划对应的线性规划

,*)(min x c x f =⎩⎨⎧≥≤0

..x b

Ax t s ，设最优解为x*。

2、如果最优解的分量均为整数，则x*为原整数规划的最优解；否则任选一个x*中不为整数的分量，设其对应的基变量为x p ，定义包含

这个基变量的切割约束方程con j

j ij p b x r x =+∑，其中x p 为非基变量。

3、令][ij ij ij r r r -=，][con con con b b b -=，其中[]为高斯函数符号，表示不大于某数的最大整数。将切割约束方程变换为

∑∑-=-+j

ij con con j

j ij p x r b b x r x ][][，由于0

1<-∑j

j ij con x r b ，因为自变量为整数，则∑-j

j ij con x r b 也为整数，所以进一

milp优化问题的典型求解方法

Milp（Mixed Integer Linear Programming）是一类线性规划问题，其变量包括整数型和实数型变量。对于Milp优化问题，常见的求解方法包括整数规划分支定界法、整数规划切割平面法、启发式算法等。

本文将着重介绍Milp优化问题的典型求解方法，以便读者更好地理解和应用这些方法。

一、整数规划分支定界法

1. 整数规划分支定界法是一种常用的Milp求解方法，其基本思想是通过不断地分支和界定变量取值范围来逐步逼近最优解。具体步骤包括：（1）初始化线性规划问题，将整数变量约束为取值范围。

（2）求解线性松弛问题，得到最优解和最优目标值。

（3）检查最优解中的整数变量是否满足整数条件，若满足则更新最优解和目标值，否则进行分支操作。

（4）重复步骤（2）和步骤（3）直至满足终止条件。

二、整数规划切割平面法

2. 整数规划切割平面法是另一种常用的Milp求解方法，其核心思想是通过不断添加约束条件来逼近最优解。具体步骤包括：

（1）初始化线性规划问题，将整数变量约束为取值范围。

（2）求解线性松弛问题，得到最优解和最优目标值。

（3）检查最优解中的整数变量是否满足整数条件，若满足则更新最优解和目标值，否则添加约束条件。

（4）重复步骤（2）和步骤（3）直至满足终止条件。

三、启发式算法

3. 启发式算法是一类常用的Milp求解方法，其特点是通过启发式策略来搜索最优解。常见的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法、禁忌搜索算法等。这些算法通过不断地迭代和搜索来寻找最优解，其求解步骤包括：

（1）初始化种群或解空间。

整数规划割平面法

整数规划割平面法 Written by Peter at 2021 in January

割平面法

求解整数规划问题：

Max Z=3x 1+2x 2

2x 1+3x 214

4x 1

+2x 2

x 1,x 20，且为整数

解：首先，将原问题的数学模型标准化，这里标准化有两层含义：（1）将不等式转化为等式约束，（2）将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数，以便于构造切割平面。从而有：

Max Z=3x 1+2x 2

2x 1+3x 2+x 3=14 2x 1+x 2+x 4=9

x 1,x 20，且为整数

利用单纯形法求解，得到最优单纯形表，见表1：

表1

最优解为：x 1=13/4, x 2=5/2, Z=59/4

根据上表，写出非整数规划的约束方程，如：

x 2+1/2x 3-1/2x 4=5/2

(1)

将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式，即：

(1+0)x 2+(0+1/2)x 3+(-1+1/2)x 4=2+1/2

把整数及带有整数系数的变量移到方程左边，分数及带有分数系数的变量称到方程右边，得：

x 2 - x 4-2 =1/2-(1/2x 3+1/2x 4)

(2)

由于原数学模型已经“标准化”，因此，在整数最优解中，x 2和x 4也必须取整数值，所以(2)式左端必为整数或零，因而其右端也必须是整数。又因为x 3,x 40，所以必有：

1/2-(1/2x 3+1/2x 4)<1

由于(2)式右端必为整数，于是有：

1/2-(1/2x 3+1/2x 4)0

(3)

或

x 3+x 41

整数规划的割平面法计算流程与举例

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割平面法_精品文档

表中x1=3/4，不是整数，将表中第一行还原成方程，即 x1-1/4x3+1/4x4=3/4
因为3/4=0+3/4，-1/4=-1+3/4，1/4=0+1/4
所以有
x1-x3=3/4-3/4x3-1/4x4
因而有切割方程： 3/4x3+1/4x4 ≥ 3/4
即
3x3+x4 ≥3
引入松弛变量x5，得方程 -3x3-x4+x5=-3
运筹学
第四章整数规划
1
.
§3 割平面法
割平面法是1958年美国学者R.E.Gomory提出的求解纯整数规划的一种比较简便的方法，其基本思想是：先不考虑变量的整数限制求解线性规划，如果得到的解不是整数解，则不断增加适当的约束，割掉原可行域不含整数解的一部分，最终得到一个具有若干整数顶点的可行域，而这些顶点中恰有一个顶点是原问题的整数解。
-x1+x2=1
1
D B（1，1）
x3 =1+x1-x2 x4=4 -3x1-x2 代入切割方程得
-1 0
3ห้องสมุดไป่ตู้1+x2=4
3（1+x1-x2）+（4-3x1-x2）≥3
1
x1
即 x2≤1，将此切割方程加入原约束中，就等于切掉原可行域得
A1B部分，如图。显然在A1B区域不含整数解点，对原可行域切割的结果是产生了一

割平面法的基本思想

割平面法主要用于求解整数规划问题的方法。1958年由美国格莫理提出。基本思路是：先不考虑整数性约束，求解相应的线性规划问题。若线性规划问题的最优解恰好是整数解，则此解即为整数规划问题的最优解。否则，就增加一个新的约束条件,称为割平面。割平面必须具有两条性质：（1)从线性规划问题的可行域中至少割掉目前的非整数最优解；（2)不割掉任何整数可行域，然后在缩小的可行域上继续解线性规划问题。重复以上做法，经有限次切割后，必可在缩小的可行域的一个整数极点上达到整数规划问题的最优解。

混合整数线性规划（MILP）的割平面法通过将整数问题线性松弛为非整数线性问题，并对其进行求解，来求解MILP 问题。线性规划理论说明，在温和的假定下（如果线性规划存在最优解，并且可行域不包含一条线），总存在一个极值点或顶点是最优的。检验所获的最优解是否为整数解。如否，则必然存在一线性不等式将最优点和真可行集的凸包分离。找到这样的不等式是分离问题，而这样的不等式就是切割。切割可以被加入到被松弛的线性规划中，使得当前的非整数解对松弛不再可行。该过程不断重复，直到找到最优整数解。

用于普遍的凸连续优化和变体的割平面法有不同的名称：Kelley 法，Kelley-Cheney-Goldstein 法和捆绑法。它们常用于不可微的凸最小化问题。对于这类问题，通常的可微优化的梯度法无法使用，而使用这些方法可以高效地得到凸目标函数及其次梯度。这种情况最常出现在双拉格朗日函数的凹优化中。另一种常见情形是Dantzig-Wolfe分解应用于结构优化问题中，这类问题通常有含有指数级变量的表达式。通过延迟列生成法按需生成这些变量等同于在对应的对偶问题上切割平面。

求解整数规划的方法

整数规划是一种最优化问题，其解决方案限制了决策变量必须取整数值。整数规划的应用非常广泛，涉及到许多实际问题，如制造业生产调度、物流优化、资源分配等。在本文中，我们将介绍几种常用的整数规划方法。

一、分支定界法

分支定界法是一种常用的整数规划求解方法，它通过不断将解空间分割为子问题并求解这些子问题，最终找到整数规划的最优解。具体步骤如下：

1. 初始时，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并求解线性规划问题的松弛解。

2. 如果松弛解满足整数约束条件，则找到一个整数解，更新当前最优解。

3. 如果松弛解不满足整数约束条件，则选择一个变量将其分割为两个子问题，并分别求解这两个子问题。

4. 对每个子问题，递归地应用上述步骤，直到找到一个整数解或者确定当前子问题的上界小于当前最优解。

5. 最终，得到整数规划的最优解。

分支定界法的优点是能够保证找到最优解，但其缺点是计算复杂度较高，特别是在问题规模较大时，会导致计算时间过长。

二、整数规划的近似算法

当整数规划问题规模较大时，找到精确解的计算复杂度可能变得非常高，此时可

以考虑使用近似算法来求解。近似算法的思想是通过放松整数约束条件，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并对线性规划问题进行求解。然后，根据线性规划问题的解，对整数规划问题进行修正，得到整数规划问题的一个近似解。

三、割平面法

割平面法是一种常用的整数规划求解方法，它通过添加一系列线性不等式（割平面）来逐步减小可行解空间，最终找到整数规划的最优解。具体步骤如下：1. 初始时，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并求解线性规划问题的松弛解。

整数规划知识点总结

一、整数规划基本概念

整数规划是指决策变量的取值受到整数限制的线性规划问题。数学形式可以表示为：

\[\min c^Tx\]

\[ s.t. Ax \leq b\]

\[x\geq0 \]

\[x_i \in \{0, 1, 2, ...\}\]

其中，c为目标函数系数，x是决策变量，A是约束系数矩阵，b是约束条件的右端向量，决策变量x是整数。当所有的决策变量都是整数时，称为纯粹整数规划（Pure Integer Programming）。当部分决策变量为整数，部分为连续变量时，称为混合整数规划

（Mixed Integer Programming, MIP）。

二、整数规划解法

整数规划问题的求解可以采用分支定界法、割平面法、隐枚举法等不同方法。下面将对常

用的整数规划解法进行简要介绍。

1.分支定界法

分支定界法是一种求整数规划解的有效方法，它通过对决策变量进行分支，将整数规划问

题不断分解为子问题，然后采用线性规划方法求解子问题。具体步骤如下：

1）求解线性规划松弛问题，得到一个整数解。

2）若解为整数，则成为可行解，否则确定需要分支的决策变量，分为两个子问题。

3）对子问题继续重复上述过程，直到无法再分或求解出整数解为止。

2.割平面法

割平面法是在分支定界法的基础上进行改进，它在每一次迭代求解线性规划松弛问题后，

引入一些额外的不等式（割平面）来改进松弛问题的界。这些割平面是通过分析整数规划

问题的特性产生的，可以有效提高整数规划问题求解的效率。

3.隐枚举法

隐枚举法是一种通过隐藏对决策变量的枚举，将整数规划问题转化为线性规划问题进行求

gomory割平面法原理及应用

标题：Gomory割平面法：原理及应用

引言：

在运筹学领域，Gomory割平面法是一种强大的整数规划求解方法，它通过引入一系列割平面来逐步逼近最优解。本文将深入探讨Gomory割平面法的原理和应用，解释其工作原理以及在实际问题中的应用场景。对于理解和应用这一方法，本文将从简到繁、由浅入深地进行解释。

一、Gomory割平面法原理

1.1 整数规划问题简介

在介绍Gomory割平面法之前，我们首先了解整数规划问题。整数规划是线性规划的一种扩展形式，其中变量被限制为取整数值。我们将探讨整数规划问题的基本概念、约束条件以及目标函数。

1.2 割平面的引入

割平面是指在整数规划问题中，通过添加一系列附加约束来限制解的空间。这些约束通常是线性的，并且通过改进松弛线性规划问题的解来逼近整数解。

1.3 Gomory割平面法的基本思想

Gomory割平面法通过将松弛线性规划问题求解为一个整数规划问题，然后应用割平面的思想逐步逼近最优整数解。本节将详细介绍Gomory割平面法的基本思想和具体步骤。

二、Gomory割平面法应用案例

在本节中，我们将通过一个实际案例来展示Gomory割平面法的应用。假设我们有一个生产计划问题，需要确定如何分配资源以最大化利润

并满足资源的限制条件。我们将逐步应用Gomory割平面法来解决这

个问题，并解释每一步的具体操作。

三、Gomory割平面法的优缺点

在实际应用中，我们需要综合考虑Gomory割平面法的优点和局限性。本节将讨论Gomory割平面法的优缺点，并帮助读者在实践中做出合

割平面法-经典

割平面法经典 (cuttingplane), -1/41/4 3/41/4 -1/2-1/2 c(1,1)0.5 c(1,1)0.5 -1/41/4 3/41/4 -3-1 -1/2-1/2 1/31/12 -1-1/3 -1/2-1/6 ip(1,1), gomory1958 dlhss9 分享于 2020-11-15 12:50:15.0 割平面法经典文档格式: .ppt 文档页数: 16页文档大小: 581.0k 文档热度: 文档分类: 幼儿/小学教育 -- 教育管理文档标签: 割平面法经典
解 (一)、求解松驰问题)
相应的松驰问题为:
max s .t . z x1 x 2 x1 x 2 1 3x 1 x 2 4 x1 , x 2 0
松驰问题标准化, 得:
max s .t . z x1 x 2 x1 x 2 x 3 3x 1 x 2 1 x4 4
x1 3/4 x2 7/4
0
0
wenku.baidu.com
-1/2
-1/2
x2
A(3/4,7/4)
1
C(1,1)
0.5
R
o
0.5
1
x1
x2
A(3/4,7/4)
1
C(1,1)
0.5
R`
o
0.5
1
x1

整数规划求解方法

整数规划是一种优化问题，其中决策变量被限制为整数。求解整数规划问题的方法有以下几种：

1. 枚举法：对整数规划的决策变量进行枚举计算，找到满足约束条件的整数解并计算目标函数的值。虽然这种方法可以保证找到最优解，但是在决策变量较多时计算复杂度非常高。

2. 列生成法/分支定界法：将整数规划转化为线性规划问题，然后利用线性规划求解方法求解。通过不断添加新的决策变量，同时利用剪枝技术来减少搜索空间，从而求得整数规划的最优解。

3. 隐枚举法：通过将整数规划问题转化为混合整数规划问题，然后利用线性松弛来求解。通过求解线性松弛问题的松弛变量，来判断是否满足整数约束条件，进而判断是否需要继续搜索。

4. 启发式方法/元启发式方法：基于某种特定的启发规则进行搜索，通过局部搜索和全局搜索相结合的方式来求解整数规划问题。常见的启发式算法有遗传算法、粒子群算法等。

5. 对偶法/割平面法：通过对目标函数和约束条件进行线性组合，构建一个对偶问题，并求解对偶问题来间接求得原问题的最优解。

需要根据具体的整数规划问题来选择合适的求解方法。有些方法适用于特定类型的整数规划问题，所以需要根据问题特点来选择合适的方法。同时，对于大规模的整数规划问题，可能需要结合多种方法进行求解。

5.3 割平面法

1 1 3 x − x3 + x4 = 为了得到整数最优解。为了得到整数最优解。将上式变量的系数和 1 4 4 4 常数项都分解成整数和非负真分数常数项都分解成整数和非负真分数两部分之和整数和非负真分数两部分之和 3 1 7 x2 + x3 + x4 = 4 4 4 +((1+0)x1+(-1+3/4)x3+1/4x4=0+3/4 +(3 +(1 x2+(3/4)x3+(1/4)x4=1+3/4 然后将整数部分与分数部分分开，然后将整数部分与分数部分分开，移到等式左右两边，得到：两边，得到：
割平面求解举例例3： Max Z=x1+x2 ① -x1+x2≤1 ② 3x1+x2 ≤4 ③ x1 , x2≥0 ④
x1 , x2为整数⑤ 为整数⑤
松弛问题
Max Z=x1+x2 -x1+x2≤13 =1 +x 3x1+x2 ≤4 4=4 +x x1 , x2≥0
如不考虑条件⑤ 如不考虑条件⑤，容易求得相应的线性规划的最优解： =3/4， =7/4，最优解：x1=3/4，x2=7/4，max z=10/4
n
fr −
j=m+1
∑f
rj
xj ≤ 0