【高中教育】2020高中数学第二章圆锥曲线与方程1

合集下载

2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.5曲线与方程课件湘教版选修2_1

1．方程的曲线与曲线的方程的意义一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个_二__元__方__程__f_(x_，__y_)_＝__0_的实数解建立了如下的关系：
点在曲线上⇔点的坐标满足方程．即： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的_解__； (2)以这个方程的解为坐标的点_都__是__曲线上的点．此时，方程叫曲线的方程，曲线叫方程的曲线．
(2)①因为 12＋(－2－1)2＝10，( 2)2＋(3－1)2≠10，所以点 P(1，－2)在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上，而点 Q( 2，3)不在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上． ②若点 Mm2 ，－m在方程 x2＋(y－1)2＝10 所表示的曲线上，则 m2 2＋(－m－1)2＝10，解之得 m＝2 或 m＝－158.
(2)判断方程表示曲线的注意事项 ①方程变形前后要等价，否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线． ②当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想．
1.方程(x＋y－1)·( x－3－1)＝0 表示的是( ) A．两条互相垂直的直线 B．两条射线 C．一条直线和一条射线 D．一个点(2，－1) 解析：选 C.因为(x＋y－1)·( x－3－1)＝0，所以可得xx＋－y3－≥10＝，0，或者 x－3－1＝0，也就是 x＋y－1＝0(x≥3)或 x＝4. 故方程表示一条射线和一条直线．故选 C.
圆锥曲线共同特征的应用已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的右焦点为 F(c，0)，离心率 e＝ac，点 A 在椭圆上，d 为点 A 到定直线 l：x＝ac2的距离． (1)求证：|AdF|＝e； (2)试判断以右焦点弦 AB 为直径的圆与直线 l 的位置关系并说明理由．

【2019-2020】高中数学第二章圆锥曲线与方程1

教学资料参考范本【2019-2020】高中数学第二章圆锥曲线与方程1撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．知识点一点与椭圆的位置关系思考1 判断点P(1,2)与椭圆＋y2＝1的位置关系．思考2 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？知识点二直线与椭圆的位置关系思考1 直线与椭圆有几种位置关系？思考2 如何判断y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系？知识点三直线与椭圆的相交弦思考若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？梳理弦长公式：(1)|AB|＝＝|x1－x2|＝；(2)|AB|＝ |y1－y2|＝ .注：直线与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，k为直线的斜率．其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程得到．类型一直线与椭圆的位置关系命题角度1 直线与椭圆位置关系的判断例1 直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是( )A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定反思与感悟直线与椭圆的位置关系判断方法(代数法)联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程：(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点．(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点．(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．跟踪训练1 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围．命题角度2 距离的最值问题例2 在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．反思与感悟此类问题可用数形结合思想寻找解题思路，简化运算过程，也可以设出所求点的坐标，利用点到直线的距离公式求出最小距离．跟踪训练2 已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使点P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．类型二弦长及中点弦问题例3 已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点．(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．反思与感悟处理直线与椭圆相交的关系问题的通用方法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．跟踪训练3 已知椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．类型三椭圆中的最值(或范围)问题例4 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．引申探究在例4中，设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB 面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程．反思与感悟解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．跟踪训练4 椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，△F1PF2面积的最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)已知直线l与椭圆交于A，B两点，且直线l的方程为y＝kx＋(k>0)，若O为坐标原点，求△OAB的面积的最大值．1．经过椭圆＋＝1的中心的直线与椭圆的两个交点间距离的最大值为( )A．6 B．8 C．10 D．162．经过椭圆＋＝1的焦点与椭圆长轴垂直的直线与椭圆的相交弦的长度为( )A．1 B．2 C．3 D．43．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( ) A．m>1 B．m>1且m≠3C．m>3 D．m>0且m≠34．过点P(－1,1)的直线交椭圆＋＝1于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，则AB所在的直线方程为________________．5．直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，且|MN|＝，求直线l的方程．解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解．答案精析问题导学知识点一思考1 当x＝1时，得y2＝，故y＝±，而2>，故点在椭圆外．思考2 当P在椭圆外时，＋>1；当P在椭圆上时，＋＝1；当P在椭圆内时，＋<1.知识点二思考1 有三种位置关系，分别有相交、相切、相离．思考2 联立消去y得关于x的一元二次方程.知识点三思考有两种方法：一种方法是联立直线方程与椭圆方程求出交点坐标，利用两点间距离公式可求得，另一种方法是利用弦长公式可求得．题型探究例1 A [直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交．]跟踪训练1 解由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.整理得x2＋2kx＋1＝0.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，解得k ＜－或k ＞. 即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪.例2 解设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝x ＋m ，代入＋＝1，并整理得4x2＋3mx ＋m2－7＝0，Δ＝9m2－16(m2－7)＝0⇒m2＝16⇒m ＝±4，故两切线方程为y ＝x ＋4和y ＝x －4，显然y ＝x －4距l 最近，d ＝＝＝，切点为P.跟踪训练2 解设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x －y ＋a ＝0，联立方程⎩⎨⎧x2＋8y2＝8，x－y＋a＝0，得9y2－2ay ＋a2－8＝0， Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，解得a ＝3或a ＝－3，∴与直线l 距离较近的切线方程为x －y ＋3＝0，最小距离为d ＝＝.由得⎩⎪⎨⎪⎧ x＝－83，y＝13，即P 点坐标为(－，)．例3 解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝(x －4)，即y ＝x.由消去y 可得x2－18＝0，若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.于是|AB|＝＝ 14 ＝＝×6＝3.所以线段AB 的长度为3.(2)当直线l 的斜率不存在时，不合题意．所以直线l 的斜率存在．设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k(x －4)．联立消去y 得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x ＋(64k2－64k －20)＝0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，由于AB 的中点恰好为P(4,2)，所以＝＝4，解得k ＝－，且满足Δ>0.这时直线的方程为y －2＝－(x －4)，即x ＋2y －8＝0.跟踪训练3 解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.①∵A，B 为直线x ＋y －1＝0上的点，∴＝－1.由已知得＝kOC ＝，代入①式可得b ＝a.∵直线x ＋y －1＝0的斜率k ＝－1.又|AB|＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，∴|x2－x1|＝2.联立ax2＋by2＝1与x ＋y －1＝0，可得(a ＋b)x2－2bx ＋b －1＝0.且由已知得x1，x2是方程(a ＋b)x2－2bx ＋b －1＝0的两根， ∴x1＋x2＝，x1x2＝，∴4＝(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝2－4·.②将b ＝a 代入②式，解得a ＝，∴b＝.∴所求椭圆的方程是＋＝1.例4 解 (1)由⎩⎨⎧ 4x2＋y2＝1，y＝x＋m，得5x2＋2mx ＋m2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知5x2＋2mx ＋m2－1＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)，所以|AB|＝＝＝＝＝.所以当m ＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y ＝x. 引申探究解可求得O 到AB 的距离d ＝，又|AB|＝，∴S△AOB＝|AB|·d＝··＝ ≤·＝，当且仅当－m2＝m2时，等号成立，此时m ＝±∈[－，]．∴所求直线的方程为x －y±＝0.跟踪训练4 解 (1)已知椭圆的离心率为，不妨设c ＝t ，a ＝2t ，即b ＝t ，其中t>0，又△F1PF2面积取最大值时，即点P 为短轴端点，因此·2t·t＝，解得t ＝1，则椭圆的方程为＋＝1.(2)联立⎩⎨⎧ y＝kx＋3，x24＋y23＝1，整理得(4k2＋3)x2＋8kx ＝0.解得x1＝0或x2＝－.∵k>0，∴|AB|＝|x1－x2|＝|－|＝·，原点O到直线l的距离为d＝.∴S△OAB＝··＝＝≤＝，当且仅当4k＝，即k＝时，△OAB面积的最大值为.当堂训练1．B 2.D 3.B 4.x－2y＋3＝05．解设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并化简，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝0.由|MN|＝，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，所以(1＋k2)(x1－x2)2＝，所以(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝，即(1＋k2)(－)2＝，化简得k4＋k2－2＝0，所以k2＝1，所以k＝±1.所以所求直线l的方程是x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.。

2020年高中数学第二章圆锥曲线...

2020年⾼中数学第⼆章圆锥曲线...2020年⾼中数学第⼆章圆锥曲线与⽅程 2.2 抛物线 2.2.2 抛物线的简单性质(1)导学案北师⼤版选修1-学习⽬标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等简单性质.2.会利⽤抛物线的性质解决⼀些简单的抛物线问题.知识点⼀抛物线的简单性质思考1 类⽐椭圆、双曲线的简单性质，结合图像，你能说出抛物线y 2＝2px (p >0)中x 的范围、对称性、顶点坐标吗？答案范围x ≥0，关于x 轴对称，顶点坐标(0，0). 思考2 参数p 对抛物线开⼝⼤⼩有何影响？答案因为过抛物线的焦点F 且垂直于对称轴的弦的长度是2p ，所以p 越⼤，开⼝越⼤. 梳理知识点⼆焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则类型⼀抛物线简单性质的应⽤例1 已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的⾯积等于4，求此抛物线的标准⽅程.解由题意，设抛物线⽅程为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点F (m 2，0).直线l ：x ＝m2，所以A ，B 两点坐标为(m 2，m )，(m2，－m )，所以|AB |＝2|m |. 因为△OAB 的⾯积为4，所以12·|m2|·2|m |＝4，所以m ＝±2 2.所以抛物线的标准⽅程为y 2＝±42x . 引申探究等腰直⾓三⾓形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的⾯积是___________________________________________________________. 答案 4p 2解析因为抛物线的对称轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直⾓三⾓形，所以由抛物线的对称性知，直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从⽽直线OA 与x 轴的夹⾓为45°.由⽅程组y ＝x ，y 2＝2px ，得?x ＝0，y ＝0或?x ＝2p ，y ＝2p ，所以易得A ，B 两点的坐标分别为(2p ，2p )和(2p ，－2p ). 所以|AB |＝4p ，所以S △AOB ＝12×4p ×2p ＝4p 2.反思与感悟把握三个要点确定抛物线简单性质(1)开⼝：由抛物线标准⽅程看图像开⼝，关键是明确⼆次项是x 还是y ，⼀次项的系数是正还是负.(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.(3)定值：焦点到准线的距离为p ；过焦点垂直于对称轴的弦(⼜称为通径)长为2p ；离⼼率恒等于1.跟踪训练1 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，其上⼀点P 到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线的⽅程.解设抛物线的⽅程为y 2＝2ax (a ≠0)，点P (x 0，y 0). 因为点P 到对称轴距离为6，所以y 0＝±6.因为点P 到准线距离为10，所以|x 0＋a2|＝10.①因为点P 在抛物线上，所以36＝2ax 0，②由①②，得a ＝2，x 0＝9或a ＝18，x 0＝1或a ＝－18，x 0＝－1或a ＝－2，x 0＝－9.所以所求抛物线的⽅程为y 2＝±4x 或y 2＝±36x . 类型⼆抛物线的焦点弦问题例2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点. (1)若直线l 的倾斜⾓为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离. 解 (1)因为直线l 的倾斜⾓为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.⼜F ? ????32，0，所以直线l 的⽅程为y ＝3? ??x －32.联⽴?y 2＝6x ，y ＝3? ????x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).则x 1＋x 2＝5. ⽽|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，所以线段AB 的中点M 的横坐标是3. ⼜准线⽅程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.反思与感悟 (1)抛物线的焦半径(2)过焦点的弦长的求解⽅法设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p .然后利⽤弦所在直线⽅程与抛物线⽅程联⽴，消元，由根与系数的关系求出x 1＋x 2即可. 跟踪训练2 直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的⽅程为_________________________________________________________________. 答案 x ＋y －1＝0或x －y －1＝0解析∵抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0)，若l 与x 轴垂直，则|AB |＝4，不符合题意. 所以可设所求直线l 的⽅程为y ＝k (x －1). 由y ＝k x －，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.⼜AB 过焦点，由抛物线的定义可知|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k 2＋2＝8，即2k 2＋4k2＝6，解得k＝±1.所以所求直线l 的⽅程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0. 类型三与抛物线有关的最值问题例3 设P 是抛物线y 2＝4x 上的⼀个动点，F 为抛物线的焦点.(1)求点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最⼩值； (2)若点B 的坐标为(3，2).求|PB |＋|PF |的最⼩值.解 (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1，0)，准线⽅程是x ＝－1.由抛物线的定义知，点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离.于是问题转化为在曲线上求⼀点P ，使点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到F (1，0)的距离之和最⼩.显然，连接AF ，AF 与抛物线的交点即为点P ，故最⼩值为22＋12＝5，即点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最⼩值为 5.(2)如图，把点B 的横坐标代⼊y 2＝4x 中，得y ＝±2 3.因为23>2，所以点B 在抛物线内部.过点B 作BQ 垂直于准线，垂⾜为点Q ，交抛物线于点P 1，连接P 1F.此时，由抛物线定义知，|P 1Q |＝|P 1F |.所以|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝3＋1＝4，即|PB |＋|PF |的最⼩值为4.反思与感悟抛物线的定义在解题中的作⽤，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进⾏转化，另外要注意平⾯⼏何知识的应⽤，如两点之间线段最短，三⾓形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.跟踪训练3 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的⼀个动点，则点P 到点A (0，2)的距离与点P 到该抛物线的准线的距离之和的最⼩值为( ) A.172B.2C. 5D.92答案 A解析如图，由抛物线定义知 |PA |＋|PQ |＝|PA |＋|PF |，则所求距离之和的最⼩值转化为求|PA |＋|PF |的最⼩值，则当A 、P 、F 三点共线时，|PA |＋|PF |取得最⼩值. ⼜A(0，2)，F (12，0)，∴(|PA |＋|PF |)min ＝|AF | ＝－122＋－2＝172.1.设AB 为过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，则|AB |的最⼩值为( ) A.p2 B.p C.2pD.⽆法确定答案 C解析当AB 垂直于对称轴时，|AB |取最⼩值，此时AB 为抛物线的通径，长度等于2p . 2.设抛物线y 2＝8x 上⼀点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A.4 B.6 C.8 D.12 答案 B解析由抛物线的定义可知，点P 到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.3.已知抛物线y ＝ax 2的准线⽅程是y ＝－2，则此抛物线上的点到准线距离的最⼩值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B解析由题意知抛物线顶点到准线的距离最短，故最⼩值为2.4.过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜⾓为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A.8 B.16 C.32 D.61 答案 B解析由y 2＝8x 得焦点坐标为(2，0)，由此直线⽅程为y ＝x －2，由?y 2＝8x ，y ＝x －2，联⽴得x 2－12x ＋4＝0，设交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⽅程知x 1＋x 2＝12，∴弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.5.正三⾓形的⼀个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三⾓形的边长.解如图OAB 为正三⾓形，设|AB |＝a ，则OD ＝32a ，∴A (32a ，a2)代⼊y 2＝2px ，即a 24＝2p ×32a ，解得a ＝43p . ∴正三⾓形的边长为43p .1.讨论抛物线的简单性质，⼀定要利⽤抛物线的标准⽅程；利⽤简单性质，也可以根据待定系数法求抛物线的⽅程.2.抛物线中的最值问题：注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是平⾯⼏何知识的应⽤.40分钟课时作业⼀、选择题1.以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其⽅程为( ) A.y 2＝8x B.y 2＝－8xC.y 2＝8x 或y 2＝－8x D.x 2＝8y 或x 2＝－8y 答案 C解析设抛物线⽅程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，依题意得x ＝p2，代⼊y 2＝2px 或y 2＝－2px ，得|y |＝p ，∴2|y |＝2p ＝8，p ＝4. 即抛物线⽅程为y 2＝±8x .2.若抛物线y 2＝x 上⼀点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A.(14，±24) B.(18，±24) C.(14，24) D.(18，24) 答案 B解析由题意知，点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离，因此点P 在线段OF 的垂直平分线上，⽽F (14，0)，所以点P 的横坐标为18，代⼊抛物线⽅程得y ＝±24，故点P 的坐标为(18，±24)，故选B. 3.过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( ) A.6 B.8 C.9 D.10答案 B解析因为直线AB 过焦点F (1，0)，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.4.已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上⼀动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最⼩值是( ) A.2 B.3 C.115 D.3716答案 A解析如图所⽰，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为PF 的距离，由图可知，距离和的最⼩值即F 到直线l 1的距离d ＝|4＋6|－2＋42＝2.5.经过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作⼀直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则y 1y 2x 1x 2的值是( )A.4B.－4C.p 2D.－p 2答案 B解析采⽤特例法，当直线与x 轴垂直时，易得A ? ????p 2，p ，B ? ??p 2，－p ，∴y 1y 2x 1x 2＝－4.6.已知抛物线y 2＝4x ，A (－1，0)，F (1，0)，点B 在抛物线上，且|BF |＝5，则cos ∠BAF 等于( ) A.54141 B.541 C.4141 D.44141答案 A解析由抛物线的定义知，过B 作BG 垂直准线于G ，|BG |＝|BF |＝5，设B (x 1，y 1)，则x 1＋1＝5，得x 1＝4. ∵B 点在抛物线y 2＝4x 上，∴y 21＝4×4，得|y 1|＝4，在Rt△ABG 中，|AG |＝|y 1|＝4， |BG |＝5，∴|AB |＝42＋52＝41，cos∠ABG ＝|BG ||AB |＝541＝54141，∵∠BAF ＝∠ABG ，∴cos∠BAF ＝54141.7.设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜⾓为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的⾯积为( ) A. 334 B.939 C.6332 D.94答案 D解析由已知得焦点坐标为F ? ??34，0，因此直线AB 的⽅程为y ＝33(x －34). 即4x －43y －3＝0.联⽴直线和抛物线⽅程，并化简得x 2－212x ＋916＝0，故x A ＋x B ＝212.根据抛物线的定义有|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12，同时原点到直线AB 的距离为h ＝|－3|42＋－432＝38，因此S △OAB ＝12|AB |·h ＝94.⼆、填空题8.设抛物线y 2＝16x 上⼀点P 到对称轴的距离为12，则点P 与焦点F 的距离|PF |＝________________________________________________________________________. 答案 13解析设P (x 1，y 1)，|y 1|＝12，∵点P 在抛物线y 2＝16x 上，∴16x 1＝y 21＝122，即x 1＝9，由抛物线的定义，可得|PF |＝x 1＋4＝9＋4＝13.9.抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，|AF |＝3，则|BF |＝________. 答案 3 2解析由题意知F (1，0)，且AB 与x 轴不垂直，则由|AF |＝3，知x A ＝2.设l AB ：y ＝k (x －1)，代⼊y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x A ·x B ＝1，故x B ＝12，故|BF |＝x B ＋1＝32.10.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂⾜坐标为(2，1).符合抛物线⽅程为y 2＝10x 的条件是________.(要求填写合适条件的序号) 答案②⑤解析由抛物线⽅程y 2＝10x ，知它的焦点在x 轴上，所以②符合.⼜∵它的焦点坐标为F ? ??52，0，原点O (0，0)，设点P (2，1)，可得k PO ·k PF ＝－1，∴⑤也符合. ⽽①显然不符合，通过计算可知③、④不合题意.故答案为②⑤. 三、解答题11.若抛物线的顶点在原点，开⼝向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上⼀点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准⽅程.解设所求抛物线的标准⽅程为x 2＝2py (p >0)，A (x 0，y 0)，由题知M ? ?0，－p 2.∵|AF |＝3，∴y 0＋p2＝3.∵|AM |＝17，∴x 20＋? ?y 0＋p 22＝17，∴x 20＝8，代⼊⽅程x 20＝2py 0得， 8＝2p ? ?3－p 2，解得p ＝2或p ＝4.∴所求抛物线的标准⽅程为x 2＝4y 或x 2＝8y .12.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，其准线为l ，过M (1，0)且斜率为3的直线与l 相交于A点，与C 的⼀个交点为B ，若AM →＝MB →，求抛物线⽅程.解由题意知，准线l ：x ＝－p2，过M (1，0)且斜率为3的直线⽅程为y ＝3(x －1)，联⽴x ＝－p 2，y ＝3x －，解得x ＝－p2，y ＝－3p2＋∴点A 的坐标为(－p2，－3(p 2＋1)).⼜∵AM →＝MB →，∴M 是AB 的中点，∴B 点坐标为(p2＋2，3(p2＋1))，将B (p 2＋2，3(p2＋1))代⼊y 2＝2px (p >0)，得3(p2＋1)2＝2p (p2＋2)，解得p ＝2或p ＝－6(舍去)，∴抛物线⽅程为y 2＝4x . 13.已知抛物线y 2＝2x .(1)设点A 的坐标为(23，0)，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA |；(2)在抛物线上求⼀点P ，使P 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最⼩值. 解 (1)设抛物线上任⼀点P 的坐标为(x ，y )，则|PA |2＝(x －23)2＋y 2＝(x －23)2＋2x＝(x ＋13)2＋13.∵x ≥0，且在此区间上函数是增加的，故当x ＝0时， |PA |min ＝23，故距离点A 最近的点的坐标为(0，0). (2)设点P (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任⼀点，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离为 d ＝|x 0－y 0＋3|2＝|y 22－y 0＋3|2＝y 0－2＋5|22，当y 0＝1时，d min ＝522＝524，∴点P 的坐标为(1 2，1).。

2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程的概念学案(含解析)新人教B版选修

2.1.1 曲线与方程的概念学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法．知识点曲线与方程的概念一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)＝0的形式，其中F(x，y)是关于x，y的解析式．在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：①曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；②以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．那么，方程F(x，y)＝0叫做曲线的方程；曲线C叫做方程的曲线．特别提醒：(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程F(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．如果曲线l上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则1．曲线l的方程是F(x，y)＝0.( ×)2．方程F(x，y)＝0的曲线是l.( ×)3．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线l上．( √)4．坐标满足方程F(x，y)＝0的点在曲线l上．( ×)题型一曲线与方程的概念理解与应用命题角度1 曲线与方程的判定例1 已知坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么( )A．曲线C上的点的坐标都适合F(x，y)＝0B．凡坐标不适合F(x，y)＝0的点都不在曲线C上C．不在曲线C上的点的坐标必不适合F(x，y)＝0D．不在曲线C上的点的坐标有些适合F(x，y)＝0，有些不适合F(x，y)＝0答案C解析“不在曲线C上的点的坐标必不适合F(x，y)＝0”是“坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上”的逆否命题．所以C正确．反思感悟解决“曲线”与“方程”的判定问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的两个条件是否都满足，并作出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．跟踪训练1 设方程F(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是( )A．坐标满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标都不满足方程F(x，y)＝0C．坐标满足方程F(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程F(x，y)＝0答案D解析“坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程F(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A，C错，B显然错．命题角度2 曲线与方程的概念应用例2 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.证明①如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点．因为点M 与x 轴的距离为|y 0|，与y 轴的距离为|x 0|，所以|x 0|·|y 0|＝k ，即(x 0，y 0)是方程xy ＝±k 的解．②设点M 1的坐标(x 1，y 1)是方程xy ＝±k 的解，则x 1y 1＝±k ，即|x 1|·|y 1|＝k .而|x 1|，|y 1|正是点M 1到纵轴、横轴的距离，因此点M 1到这两条直线的距离的积是常数k ，点M 1是曲线上的点．由①②可知，xy ＝±k 是与两条坐标轴的距离的积为常数k (k >0)的点的轨迹方程．反思感悟解决此类问题要从两方面入手(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．跟踪训练2 写出方程(x ＋y －1)x －1＝0表示的曲线．解由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得⎩⎨⎧x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0. 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1，∴方程表示直线x ＝1和射线x ＋y －1＝0(x ≥1)．题型二曲线与方程关系的应用例3 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值．解 (1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，Q (2，3)不在此曲线上．(2)∵M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或m ＝－185. 引申探究本例中曲线方程不变，若点N (a,2)在圆外，求实数a 的取值范围．解结合点与圆的位置关系，得a 2＋(2－1)2>10，即a 2>9，解得a <－3或a >3，故所求实数a 的取值范围为(－∞，－3)∪(3，＋∞)．反思感悟判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．跟踪训练3 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R )，求k 的取值范围．解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )，∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋12. ∴k ≤12， ∴k 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.由方程判断曲线典例方程(x ＋y －1)x 2＋y 2－4＝0所表示的曲线的轨迹是( )考点题点答案 D解析原方程等价于⎩⎨⎧x ＋y －1＝0，x 2＋y 2≥4或x 2＋y 2＝4. 其中当x ＋y －1＝0时，x 2＋y 2－4需有意义，等式才成立，即x 2＋y 2≥4，此时它表示直线x ＋y －1＝0上不在圆x 2＋y 2＝4内的部分；当x 2＋y 2＝4时方程表示整个圆，所以方程对应的曲线是D.[素养评析] (1)由具体的方程判断曲线的步骤(2)由方程判断曲线是建立起数与形的联系，提升数形结合能力，形成数学直观想象的素养．1．方程y ＝3x －2 (x ≥1)表示的曲线为( )A ．一条直线B ．一条射线C ．一条线段D ．不能确定答案 B解析方程y ＝3x －2表示的曲线是一条直线，当x ≥1时，它表示一条射线．2．方程xy 2－x 2y ＝2x 所表示的曲线( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线x －y ＝0对称答案 C解析同时以－x 代替x ，以－y 代替y ，方程不变，所以方程xy 2－x 2y ＝2x 所表示的曲线关于原点对称．3．方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形为________．答案两条相交直线解析原方程可化为(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0，即2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0，∴原方程表示直线2x －y ＝0和直线2x ＋y ＋3＝0. 4．若曲线ax 2＋by 2＝4过点A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则a ＝________，b ＝________. 答案 4 1解析 ∵曲线过A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3两点， ∴⎩⎨⎧ 4b ＝4，14a ＋3b ＝4，∴⎩⎨⎧ b ＝1，a ＝4. 5．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________．答案 4个点解析由题意，得⎩⎨⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0， ∴⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝2或⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－2， ∴方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是4个点．1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．一、选择题1．“曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”是“曲线C的方程是F(x，y)＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析结合曲线方程的定义易得．2．若曲线C的方程为y＝2x－1(1<x<5)，则下列四个点中在曲线C上的是( ) A．(0,0) B．(7,15) C．(2,3) D．(4,4)答案C解析由y＝2x－1(1<x<5)得A，B的横坐标不满足题意，D项中坐标代入后不满足方程，故选C.3．方程|x|＋|y|＝|xy|＋1表示的曲线是( )A．一条直线B．一个正方形C．一个圆D．四条直线答案D解析由|x|＋|y|＝|xy|＋1得(|x|－1)(|y|－1)＝0，即x＝±1或y＝±1，因此该方程表示四条直线．4．下列方程对应的曲线是同一条曲线的是( )①y＝a log a x；②y＝x2；③y＝log a a x；④y＝3x3.A．①②B．③④C．②④D．①③答案B解析由y ＝log a a x ＝x ，y ＝3x 3＝x ，得③④表示同一条曲线．5．过坐标原点O 作单位圆x 2＋y 2＝1的两条互相垂直的半径OA ，OB ，若在该圆上存在一点C ，使得OC →＝aOA →＋bOB →(a ，b ∈R )，则以下说法正确的是( )A ．点P (a ，b )一定在单位圆内B ．点P (a ，b )一定在单位圆上C ．点P (a ，b )一定在单位圆外D ．当且仅当ab ＝0时，点P (a ，b )在单位圆上答案 B解析 ∵OC →2＝(aOA →＋bOB →)2，且OA →⊥OB →，∴a 2＋b 2＋2abOA →·OB →＝a 2＋b 2＝1，因此点P (a ，b )一定在单位圆上，故选B.6．方程|x |－|y |＝0表示的图形是下图中的( )答案 C解析由|x |－|y |＝0知y ＝±x ，即表示一、三象限角平分线或二、四象限角平分线．7．关于方程x (x 2＋y 2－1)＝0和x 2＋(x 2＋y 2－1)2＝0所表示的图形叙述正确的是( )A ．表示的图形都是一条直线和一个圆B ．表示的图形都是两个点C ．前者表示一条直线和一个圆，后者表示两个点D ．前者表示两个点，后者表示一条直线和一个圆考点曲线与方程的意义题点方程是否表示同一曲线答案 C解析 x (x 2＋y 2－1)＝0⇔x ＝0或x 2＋y 2＝1，表示直线x ＝0和圆x 2＋y 2＝1.x 2＋(x 2＋y 2－1)2＝0⇔⎩⎨⎧ x ＝0，x 2＋y 2－1＝0⇔⎩⎨⎧x ＝0，y ＝±1，表示点(0,1)，(0，－1)．故选C.8．下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是( )答案D解析对于A，点(0，－1)满足方程，但不在曲线上，排除A；对于B，点(1，－1)满足方程，但不在曲线上，排除B；对于C，曲线上第三象限的点，由于x<0，y<0，不满足方程，排除C.二、填空题9．设命题甲：点P的坐标适合方程F(x，y)＝0，命题乙：点P在曲线C上，命题丙：点Q 的坐标不适合方程F(x，y)＝0，命题丁：点Q不在曲线C上，已知甲是乙的必要条件，但不是充分条件，那么丙是丁的________条件．答案充分不必要解析依题意可知，曲线C上的点都满足方程，但以满足方程F(x，y)＝0的解为坐标的点不一定都在曲线C上，那么逆否命题为不满足方程的解为坐标的点一定不在曲线C上，从而丙是丁的充分条件，但不是必要条件．10．方程(x－1)2＋y－2＝0表示的是____________．答案点(1,2)解析由(x－1)2＋y－2＝0，知(x－1)2＝0且y－2＝0，即x＝1且y＝2，所以(x－1)2＋y－2＝0表示的是点(1,2)．11．给出下列说法：①方程yx－2＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线；②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2；③方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示四个点．其中正确说法的序号是________．考点曲线与方程的意义题点曲线与方程的综合应用答案③解析对于①，方程yx－2＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线(除掉点(2,0))，所以①错误；对于②，到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝－2或y ＝2，所以②错误；对于③，方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示点(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)四个点，所以③正确．三、解答题12．判断下列命题是否正确．(1)以坐标原点为圆心，r 为半径的圆的方程是y ＝r 2－x 2； (2)过点A (2,0)平行于y 轴的直线l 的方程为|x |＝2.考点曲线与方程的概念题点曲线方程的求解与证明解 (1)不正确．设(x 0，y 0)是方程y ＝r 2－x 2的解，则y 0＝r 2－x 20，即x 20＋y 20＝r 2.两边开平方取算术平方根，得x 20＋y 20＝r 即点(x 0，y 0)到原点的距离等于r ，点(x 0，y 0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、r 为半径的圆上的一点如点⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2，－32r 在圆上，却不是y ＝r 2－x 2的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解．所以，以原点为圆心，r 为半径的圆的方程不是y ＝r 2－x 2，而应是y ＝±r 2－x 2.(2)不正确．直线l 上的点的坐标都是方程|x |＝2的解．然而，坐标满足|x |＝2的点不一定在直线l 上，因此|x |＝2不是直线l 的方程，直线l 的方程为x ＝2.13．已知曲线C 的方程为x ＝4－y 2，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围成的图形的面积．解由x ＝4－y 2，得x 2＋y 2＝4.又x ≥0，∴方程x ＝4－y 2表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝12π·4＝2π. 所以所求图形的面积为2π.14．已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是( )A ．a >1B ．0<a <1C ．0<a <1或a >1D ．a ∈∅答案 A精品-------精品解析 ∵a >0，∴方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)的图象大致如图，要使方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求y ＝a |x |在y 轴右侧的斜率大于y ＝x ＋a 的斜率，∴a >1.15．方程|x －1|＋|y －1|＝1表示的曲线所围成的图形的面积是________．考点曲线与方程的意义题点曲线与方程的综合应用答案 2解析方程|x －1|＋|y －1|＝1可写成⎩⎨⎧ x >1，y ≥1，x ＋y ＝3或⎩⎨⎧ x >1，y <1，x －y ＝1或⎩⎨⎧ x ≤1，y ≥1，y －x ＝1或⎩⎨⎧ x ≤1，y <1，x ＋y ＝1，图形如图所示，它是边长为2的正方形，其面积为2.。

2021_2022高中数学第二章圆锥曲线与方程1曲线与方程2求曲线的方程3课件新人教A版选修2

第二章圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
2.1.2 求曲线的方程
【学习要求】 1．掌握求轨迹方程时建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程
的四个步骤以及利用方程研究曲线五个方面的性质． 2．掌握求轨迹方程的几种常用方法．【学法指导】
通过建立直角坐标系得到曲线的方程，从曲线方程研究曲线的性质和位置关系，进一步感受坐标法的作用和数形结合思想.
因为曲线在 x 轴的上方，所以 y>0. 虽然原点 O 的坐标(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是 y＝18x2 (x≠0)．小结 (1)求曲线方程时，建立的坐标系不同，得到的方程也不同．
(2)求曲线轨迹方程时，一定要注意检验方程的解与曲线上点的坐标的对应关系，对于坐标适合方程但又不在曲线上的点应注意剔除．
例 2 讨论方程 y2＝1－x2x (x≥0)的曲线性质，并画出图形．解 (1)范围：∵y2≥0，又 x2≥0，∴1－x>0. 解得 x<1，∴0≤x<1. 又当 x＝0 时，y＝0，∴曲线过原点．当 x→1 时，y2→＋∞，∴y2≥0. 综上可知，曲线分布在两平行直线 x＝0 和 x＝1 之间．
当堂检测
1．在△ABC 中，若 B、C 的坐标分别是(－2,0)、(2,0)，BC
边上的中线的长度为 5，则 A 点的轨迹方程是 ( D )
AHale Waihona Puke x2＋y2＝5B．x2＋y2＝25
C．x2＋y2＝5 (y≠0) D．x2＋y2＝25 (y≠0)
解析 BC 的中点为原点，BC 边上的中线长为 5，即 OA ＝5.设 A(x，y)，则有 x2＋y2＝25 (y≠0)．
知识要点
1．解析几何研究的主要问题： (1)根据已知条件，求出__表__示___曲__线__的__方__程____； (2)通过曲线的方程，研究_曲__线__的___性__质______．

2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念课件新人教B版选修2_1

2．两条曲线的交点坐标曲线 C1：F(x，y)＝0 和曲线 C2：G(x，y)＝0 的交点坐标为方程组GFxx，，yy＝＝00，的实数解．
1．方程 xy2－x2y＝2x 所表示的曲线( )
A．关于 x 轴对称
B．关于 y 轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线 x－y＝0 对称
10)(去除端点)和一条直线 x＋2y＝8.
方程表示的曲线的判断步骤
提醒：(1)方程变形前后要等价，否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线．
(2)当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想．
当堂达标固双基
1．思考辨析
(1)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 y＝±x.
()
(2)方程 x－ y＝0 表示直角坐标系中第一、三象限的角平分
A
B

C
D
[答案] D
合作探究提素养
曲线与方程的概念
【例 1】分析下列曲线上的点与相应方程的关系： (1)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线与方程|x|＝2 之间的关系； (2)与两坐标轴的距离的积等于 5 的点与方程 xy＝5 之间的关系； (3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程 x＋y＝0 之间的关系．
[解] (1)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线上的点的坐标都是方程|x| ＝2 的解；但以方程|x|＝2 的解为坐标的点不一定都在过点 A(2,0)且平行于 y 轴的直线上．因此，|x|＝2 不是过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线的方程．
(2)与两坐标轴的距离的积等于 5 的点的坐标不一定满足方程 xy ＝5；但以方程 xy＝5 的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于 5.因此，与两坐标轴的距离的积等于 5 的点的轨迹方程不是 xy＝ 5.

高中数学第2章圆锥曲线与方程章末小结(含解析)1数学教案

第2章圆锥曲线与方程1．圆锥曲线的标准方程求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般要先确定焦点的位置，再确定参数，当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为一般形式：①椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)；②双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；③抛物线方程为x2＝2py(p≠0)或y2＝2px(p≠0)．2．椭圆、双曲线的离心率求椭圆、双曲线的离心率常用以下两种方法：(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝ca，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．3．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何的角度看，直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点．其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行或重合．(2)从代数的角度看，可通过将表示直线的方程与曲线的方程组成方程组，消元后利用所得形如一元二次方程根的情况来判断．4．求曲线的方程求曲线方程的常用方法有：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x，y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x，y之间的关系式．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程．曲线方程的求法[例1] 过原点作圆的弦OA，求OA中点B的轨迹方程．[解] 法一(直接法)：设B点坐标为(x，y)，由题意，得|OB|2＋|BC|2＝|OC|2，如图所示，即x 2＋y 2＋[(x －1)2＋y 2]＝1，即OA 中点B 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)．法二(几何法)：设B 点坐标为(x ，y )，由题意知CB ⊥OA ，OC 的中点记为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，如法一中图，则|MB |＝12|OC |＝12，故B 点的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)．法三(代入法)：设A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 12，y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y .又因为(x 1－1)2＋y 21＝1，所以(2x －1)2＋(2y )2＝1.即⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)．法四(交点法)：设直线OA 的方程为y ＝kx ，当k ＝0时，B 为(1,0)；当k ≠0时，直线BC 的方程为： y ＝－1k(x －1)，直线OA ，BC 的方程联立消去k 即得其交点轨迹方程：y 2＋x (x －1)＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(x ≠0,1)，显然B (1,0)满足⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，故⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)为所求．(1)解决轨迹问题要明确圆锥曲线的性质，做好对图形变化情况的总体分析，选好相应的解题策略和拟定好具体的方法，注意将动点的几何特性用数学语言表述．(2)要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．1．求与圆x 2＋y 2＝1外切，且和x 轴相切的动圆圆心M 的轨迹方程．解：设两圆的切点为A ，M 的坐标为(x ，y )，圆M 与x 轴相切于点N ，∴|AM |＝|MN |， |MO |－1＝|MN |＝|y |. ∴x 2＋y 2－1＝|y |. 化简得：x 2＝2|y |＋1.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 2＝2|y |＋1.2．已知定点A (4,0)和圆x 2＋y 2＝4上的动点B ，点P 分AB 之比为AP ∶PB ＝2∶1，求点P 的轨迹方程．解：设点P 的坐标为(x ，y )，点B 的坐标为(x 0，y 0)，由题意得AP ―→＝2PB―→，即(x －4，y )＝2(x 0－x ，y 0－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝2x 0－2x ，y ＝2y 0－2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －42，y 0＝3y 2，代入圆的方程x 2＋y 2＝4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －422＋9y 24＝4，即⎝⎛⎭⎪⎫x －432＋y 2＝169.∴所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －432＋y 2＝169.圆锥曲线的定义及性质问题[例2] F 1，F 2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝123，求双曲线的标准方程．[解] 如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a＞0，b ＞0)．∵e ＝ca＝2，∴c ＝2a .由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c，在△PF1F2中，由余弦定理，得：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|(1－cos 60°)，即4c2＝c2＋|PF1||PF2|.①又S△PF1F2＝123，∴12|PF1||PF2|sin 60°＝123，即|PF1||PF2|＝48.②由①②，得c2＝16，c＝4，则a＝2，b2＝c2－a2＝12，∴所求的双曲线方程为x24－y212＝1.(1)圆锥曲线的定义是标准方程和几何性质的根源，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．(2)应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．3．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1解析：根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52.①又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a 2＋b 2＝9.②根据①②可知a 2＝4，b 2＝5，所以C 的方程为x 24－y 25＝1.答案：B4．抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( )A ．x 1，x 2，x 3成等差数列B ．y 1，y 2，y 3成等差数列C ．x 1，x 3，x 2成等差数列D ．y 1，y 3，y 2成等差数列解析：由抛物线定义：|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|CF |＝|CC ′|.∵2|BF |＝|AF |＋|CF |， ∴2|BB ′|＝|AA ′|＋|CC ′|.又∵|AA ′|＝x 1＋p 2，|BB ′|＝x 2＋p 2，|CC ′|＝x 3＋p2，∴2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋p 2＋x 3＋p2⇒2x 2＝x 1＋x 3.答案：A直线与圆锥曲线的位置关系[例3] x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．[解] (1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点F (a 2－1，0)，由题设，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个交点，所以Δ>0，即m 2<3k 2＋1， ① 所以x P ＝x M ＋x N2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1， ②把②代入①得2m >m 2，解得0<m <2，由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故所求m的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立，组成方程组，消去一个未知数，转化为关于x (或y )的一元二次方程，由根与系数的关系求出x 1＋x 2，x 1x 2(或y 1＋y 2，y 1y 2)进而解决了与“距离”“中点”等有关的问题．5．设抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋k 所得弦长|AB |＝3 5. (1)求k 的值；(2)以弦AB 为底边，x 轴上的P 点为顶点组成的三角形面积为39时，求点P 的坐标．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋k ，y 2＝4x ，得4x 2＋4(k －1)x ＋k 2＝0，Δ＝16(k －1)2－16k 2＞0，∴k ＜12.又由根与系数的关系有x 1＋x 2＝1－k ，x 1x 2＝k 24，∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋22·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·1－2k ，即51－2k ＝35，∴k ＝－4.(2)设x 轴上点P (x,0)，P 到AB 的距离为d ，则d ＝|2x －0－4|5＝|2x －4|5，S △PAB ＝12·35·|2x －4|5＝39，∴|2x －4|＝26，∴x ＝15或x ＝－11. ∴P 点坐标为(15,0)或(－11,0).圆锥曲线中的定点、定值、最值问题[例4] (2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：2a 2＋2b2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0，1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，32，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解析] (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上．因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t ，－4－t 22. 则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋m －1x 1＋x 2x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．(1)圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长轴、短轴，双曲线的虚轴、实轴，抛物线的焦点等，可以通过直接计算求解，也可用“特例法”和“相关系数法”．(2)圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等的最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题，这两类问题的解决往往要通过回归定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及数形结合、设参、转化代换等途径来解决．6．设椭圆x 29＋y 24＝1上的动点P (x ，y )，点A (a,0)(0＜a ＜3)．若|AP |的最小值为1，求a 的值．解：|AP |2＝(x －a )2＋y 2＝(x －a )2＋4⎝⎛⎭⎪⎫1－x 29＝59⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9a 52－4a 25＋4.因为x 29＝1－y 24，所以x 29≤1,0≤|x |≤3. (1)当0＜9a 5≤3，即0＜a ≤53时，x ＝9a 5，|AP |2取最小值4－4a 25＝1.解得a ＝152.因为152＞53，所以a 不存在．(2)当9a 5＞3，即53＜a ＜3时，x ＝3，|AP |2取最小值59⎝ ⎛⎭⎪⎫3－9a 52＋4－4a25＝1.解得a ＝2或a ＝4(舍)．所以，当a ＝2时，|AP |的最小值为1.7．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，证明：直线AC 经过原点O .证明：如图所示．∵抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， ∴经过点F 的直线AB 的方程可设为x ＝my ＋p2，代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根， ∴y 1y 2＝－p 2，∵BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p2上，∴点C的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 2，故直线CO 的斜率k ＝y 2－p 2＝－2y 2p ＝y 1x 1，即k 也是直线OA 的斜率， ∴直线AC 经过原点O .(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·浙江高考)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( )A.133B.53C.23D.59解析：根据题意知，a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝5，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝53.答案：B2．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(0,1)解析：由x 2＋ky 2＝2，得x 22＋y 22k＝1，又∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴2k＞2，即0＜k ＜1.答案：D3．若抛物线x 2＝2ay 的焦点与椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点重合，则a 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点为(0，－1)，∴a2＝－1，即a ＝－2. 答案：A4．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4的曲线不可能是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：由于θ∈R ，对sin θ的值举例代入判断．sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．答案：C5．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)， ∴椭圆中c ＝2，又c a ＝12，∴a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12，从而椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.∵抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2， ∴x A ＝x B ＝－2，将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3，由图象可知|AB |＝2|y A |＝6.故选B. 答案：B6．设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，过F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,2)C ．(3,2)D ．(2,4)解析：依题意得，抛物线C 的方程是y 2＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，消去y 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0.因此线段AB 的中点的横坐标是62＝3，纵坐标是y ＝3－1＝2.所以线段AB 的中点坐标是(3,2)．答案：C7．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE―→＝12(OF ―→＋OP ―→)，则双曲线的离心率为( ) A.102B.105C.10D.2解析：设双曲线右焦点为M ，∵OE ⊥PF ，∴在直角三角形OEF 中，|EF |＝c 2－a 24.又OE ―→＝12(OF ―→＋OP ―→)，∴E 是PF 的中点．∴|PF |＝2c 2－a 24，|PM |＝a .又|PF |－|PM |＝2a ，∴2c 2－a 24－a ＝2a .∴离心率e ＝c a ＝102.答案：A8．已知|AB ―→|＝3，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，OP ―→＝13OA ―→＋23OB ―→，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 24＝1C.x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋y 29＝1解析：设P (x ，y )，A (0，y 0)，B (x 0,0)，由已知得(x ，y )＝13(0，y 0)＋23(x 0,0)，即x ＝23x 0，y ＝13y 0，所以x 0＝32x ，y 0＝3y .因为|AB ―→|＝3，所以x 20＋y 20＝9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋(3y )2＝9，化简整理得动点P 的轨迹方程是x 24＋y 2＝1.答案：A9．已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，若|PF 1|＝7，则△PF 1F 2最大内角的余弦值为( )A ．－17B.17C.59117D.1113解析：由双曲线定义知|PF 2|＝|PF 1|±2a . 所以|PF 2|＝13或|PF 2|＝1<c －a ＝2(舍去)又|F 1F 2|＝10，所以△PF 1F 2的最大内角为∠PF 1F 2， cos ∠PF 1F 2＝102＋72－1322×10×7＝－17.答案：A10．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫62，2 B ．(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫62，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫62，2∪(2，＋∞) 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.由于直线与双曲线相交于两个不同的点，则1－a 2≠0⇒a 2≠1，且此时Δ＝4a 2(2－a 2)>0⇒a 2<2，所以a 2∈(0,1)∪(1,2)．另一方面e ＝1a 2＋1，则a 2＝1e 2－1，从而e ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫62，2∪(2，＋∞)．答案：D11．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.∵|AB |＝42，|DE |＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5，∴p ＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4. 答案：B12．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13 B.12 C.23D.34解析：如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)．设E (0，m )，由PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |，则|MF |＝m a －ca.①又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m a ＋c2a.②由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，∴e ＝c a ＝13.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|F 2A |＝|AB |＝6，则|F 2B |＝________.解析：由椭圆定义知|F 1A |＋|F 2A |＝|F 1B |＋|F 2B |＝2a ＝10，所以|F 1A |＝10－|F 2A |＝4，|F 1B |＝|AB |－|F 1A |＝2，故|F 2B |＝10－|F 1B |＝8.答案：814．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，则|PA |＋|PM |的最小值是________．解析：设抛物线焦点为F ，则|PM |＝|PF |－12，∴|PA |＋|PM |＝|PA |＋|PF |－12.∴当且仅当A ，P ，F 共线时|PA |＋|PF |取最小值为|AF |＝5，∴|PA |＋|PM |最小值为92.答案：9215．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|，易知M 点在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于点P ，此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝10＋6－32＋42＝15.答案：1516．已知动点P 与双曲线x 2－y 2＝1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－13，则动点P 的轨迹方程为____________．解析：∵x 2－y 2＝1，∴c ＝ 2.设|PF 1|＋|PF 2|＝2a (常数a >0)，2a >2c ＝22， ∴a > 2. 由余弦定理有cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝2a 2－4|PF 1||PF 2|－1， ∵|PF 1||PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2， ∴当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时， |PF 1||PF 2|取得最大值a 2.此时cos ∠F 1PF 2取得最小值2a 2－4a2－1.由题意2a 2－4a 2－1＝－13，解得a 2＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝3－2＝1.∴P 点的轨迹方程为x 23＋y 2＝1.答案：x 23＋y 2＝1三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y轴上，且MN ―→＝2MP ―→，PM ―→⊥PF ―→，当点P 在y 轴上运动时，求N 点的轨迹C 的方程．解：∵MN ―→＝2MP ―→，故P 为MN 中点．又∵PM ―→⊥PF ―→，P 在y 轴上，F 为(1,0)，故M 在x 轴的负方向上．设N (x ，y )，则M (－x,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，(x >0)．∴PM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2，PF ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－y 2.∵PM ―→⊥PF ―→，∴PM ―→·PF―→＝0，即－x ＋y 24＝0.∴y 2＝4x (x >0)是轨迹C 的方程．18．(本小题满分12分)已知双曲线C 的两个焦点坐标分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，双曲线C 上一点P 到F 1，F 2距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点M (2,1)作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程．解：(1)依题意，得双曲线C 的实半轴长为a ＝1，焦半距为c ＝2，所以其虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 3.又其焦点在x 轴上，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 23＝1.(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝3，3x 22－y 22＝3，两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为M (2,1)为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.所以12(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6.故AB 所在直线l 的方程为y －1＝6(x －2)，即6x －y －11＝0.19．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．解：(1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，故直线ON 的方程为y ＝ptx ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t2p.因此H ⎝⎛⎭⎪⎫2t 2p，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点．20．(本小题满分12分)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .解：(1)根据a 2－b 2＝c 2及题设知M ⎝⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，得2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)设直线MN 与y 轴的交点为D ，由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2－c －x 1＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及a 2－b 2＝c 2代入②得9a 2－4a 4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.21．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝－2x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x ，消去x ，得y 2＋2y －2t ＝0.因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.由直线OA 与l 的距离d ＝55可得|t |5＝15，解得t ＝±1.因为－1∉⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.22．(2017·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP ―→＝ 2 NM―→.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP ―→·P Q ―→＝1.证明：过点P 且垂直于O Q 的直线l 过C 的左焦点F .解：(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP ―→＝(x －x 0，y )，NM ―→＝(0，y 0)．由NP ―→＝ 2 NM ―→，得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意知F (－1,0)．设Q(－3，t )，P (m ，n )，则O Q ―→＝(－3，t )，PF ―→＝(－1－m ，－n )，O Q ―→·PF―→＝3＋3m －tn ， OP ―→＝(m ，n )，P Q ―→＝(－3－m ，t －n )．由OP ―→·P Q ―→＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以O Q ―→·PF ―→＝0，即O Q ―→⊥PF ―→. 又过点P 存在唯一直线垂直于O Q ，所以过点P 且垂直于O Q 的直线l 过C 的左焦点F .。

2020年圆锥曲线定义、标准方程及性质(精)

圆锥曲线定义、标准方程及性质
一．椭圆
定义Ⅰ：若 F1，F2 是两定点，P 为动点，且 PF1 PF2 2a F1F2 （ a 为常数）
则 P 点的轨迹是椭圆。定义Ⅱ：若 F1 为定点，l 为定直线，动点 P 到 F1 的距离与到定直线 l 的距离之比为常数
e（0<e<1），则 P 点的轨迹是椭圆。
［例 2］过点(1，0)的直线 l 与中心在原点，焦点在 x 轴上且离心率为 2 的椭圆 C 相交 2
2
顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
（2）抛物线
y2
2 px 上的动点可设为
P
(
y中 2 2p
,
y中
)
或
P(2 pt 2 ,2 pt)中
P
(x中 , y中 )中中 y中2 2 px中
考点一求圆锥曲线方程求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法. ●典例探究［例 1］某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴) 旋转所成的曲面，其中 A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、 B′是下底直径的两个端点，已知 AA′=14 m，CC′=18 m,BB′=22 m,塔高 20 m.
2a ；
注意：（1）图中线段的几何特征： AF1 BF2 c a ， AF2 BF1 a c
顶点到准线的距离： a a 2 中 a a 2 ；焦点到准线的距离： c a 2 中 c a 2

2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的几何性质(第2课时)课件新人教B版选修1_1

解析：由双曲线方程 mx2＋y2＝1，知 m<0，则双曲线方程可化为 y2－－x2m1 ＝1，则 a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的 2 倍， ∴b＝2，∴－m1 ＝b2＝4， ∴m＝－14.
答案：－14
4．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点是(－4,0)，(4,0)，过点(2,0)； (2)离心率为54，半虚轴长为 2.
椭圆的几何性质主要有范围、对称性、两轴(长轴和短轴)、离心率等，类比椭圆的几何性质，你认为双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)有哪些性质？
双曲线的几何性质
标准方程 ax22－by22＝1(a＞0，b＞0) ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)
图形
焦点焦距范围对称性性顶点质轴长
n m
x＝±
mn m x.
题目类型二、由双曲线的几何性质求标准方程例2.已知双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(3，－1)，一条渐近线与直线3x－y＝10平行，求双曲线标准方程．
[策略点睛]
解：由已知，双曲线中心在原点，坐标轴为对称轴，由于其中一条渐近线与直线 l：3x－y＝10 平行，
【错解】 ∵P(a，b)到 y＝x 的距离是 2，故|a－2b|＝ 2， ∴a－b＝±2. 又∵a2－b2＝1，∴(a＋b)(a－b)＝1，∴a＋b＝±12.
【错因】忽略了条件P(a，b)在双曲线的左支上，若P在双曲线的左支上，则a－b<0，故应有a－b＝－2.
【正解】 ∵点 P(a，b)到 y＝x 的距离为 2，故|a－2b|＝ 2， ∴a－b＝±2.又∵P 在双曲线的左支上，故 a－b<0，有 a－b＝－2. 又∵a2－b2＝1，即(a－b)(a＋b)＝1，∴a＋b＝－12.