平面向量的数量积及运算律同步练习

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综合算式专项练习题平面向量的数量积与向量积

综合算式专项练习题平面向量的数量积与向量积综合算式专项练习题：平面向量的数量积与向量积一、平面向量的数量积平面向量的数量积，又称为点乘或内积，是两个向量之间的一种运算。

设有两个平面向量A和A，它们的数量积记作A•A。

其计算公式如下：A•A = |A| * |A| * cos(A)其中，|A|表示向量A的模或长度，|A|表示向量A的模或长度，A表示向量A和A之间的夹角。

数量积的几何意义是，向量的数量积等于它们的模的乘积与夹角的余弦值的乘积。

通过计算数量积，我们可以了解到两个向量之间的夹角大小及其正负关系。

二、平面向量的向量积平面向量的向量积，又称为叉乘或外积，是两个向量之间的一种运算。

设有两个平面向量A和A，它们的向量积记作A×A。

其计算公式如下：A×A = |A| * |A| * sin(A) * A其中，|A|表示向量A的模或长度，|A|表示向量A的模或长度，A表示向量A和A之间的夹角，A表示单位法向量。

向量积的几何意义是，向量的向量积等于它们的模的乘积与夹角的正弦值的乘积，并且结果是一个垂直于这两个向量所在平面的向量。

向量积的模表示两个向量所在平行四边形的面积。

三、综合算式练习题下面是一些综合算式练习题，旨在帮助你巩固平面向量的数量积与向量积的概念和计算方法。

1. 已知A = 3A + 2A，A= −2A + A，计算A•A和A×A的结果。

2. 已知A = 2A− 4A，A = 5A + 3A，计算A•A和A×A的结果，并判断向量A和A是否垂直。

3. 已知A = AA + AA，A = A− A，若A•A = 6，且A与A的夹角为30°，求A和A的值。

- 以上仅为示例题目，你可以通过类似的题目进行练习，掌握平面向量的数量积与向量积的运算方法及其几何意义。

在解答问题时，记得先求解向量的模或长度，然后计算夹角的余弦或正弦值，并根据公式得出结果。

如果有需要，可以引入平面解析几何的知识来辅助计算。

平面向量的数量积及运算律同步练习

平面向量的数量积及运算律同步练习一、选择题：1. 若｜a ｜＝｜b ｜=１，a ⊥b ，且2a ＋３b 与k a -4b 也互相垂直，则k 的值为( )A.－６B.６C.３D.－３2．若AP 31=PB ，AB λ=BP ，则λ的值为 ( )A ．41B ．43C ．34D ．34-3．设a 和b 的长度均为6，夹角为 120︒，则-|a b|等于（）A ．36B ．12C ．6D ．364．若||＝2sin15°，||＝4cos375°、，夹角为30°，则·为（）A ．23B ．3C ．32D ．215．若|a |=|b |=|a －b |,则b 与a +b 的夹角为（）A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°6．已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别（）A ．0,24B ．24,4C ．16，0D ．4，07．已知、均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|+ 3| = （）A ．7B ．10C ．13D ．48．已知,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,=⋅=⋅ （）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既非乙的充分条件也非乙的必要条件9．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（）A ．6πB ．3π C ．32π D ．65π10．若向量 a 与b 的夹角为60 ，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=- ,则向量a 的模为（）A ．2B ．4C ．6D ．1211．设)41,cos 1(),cos 1,2(-+=--=θθ，且,20,||πθ<<则θ为（）A ．4πB ．6πC ．3πD ．3π或6π12．在ABC ∆中，5||,3||,415,0,,===<∙==∆S ABC ，则,夹角为（） A. 6π B. 3π C. 65πD. 32π二、填空题13.命题①若b ≠0 ，且a ·b =c ·b ，则a =c ；②若a =b ，则3a ＜4b ;③(a ·b ) ·c =a ·(b ·c ),对任意向量a ，b ，c 都成立；④a 2·b 2=(a ·b )2 ；正确命题的个数为____14.向量a 、b 满足（a －b ）·（2a+b ）=－4，且|a |=2，|b |=4，则a 与b 夹角的余弦值等于15.向量,,满足=++，且4||,1||,3||===，则∙+∙+∙＝16．设))34sin(),34(cos()),32sin(),32(cos(),sin ,(cos απαπαπαπαα++++C B A ，则OC OB OA ++＝三、计算题 17. 已知向量a 与b 的夹角为θ，|a |=2，|b |=3，分别在下列条件下求a •b ，(1) θ=135o ;(2) a ∥b ;(3)a ⊥b .18.已知()2,1-=OA ，()m OB ,3=，若OA ⊥OB ，若OA ∥OB ，分别求出m 值。

平面向量的数量积与向量积练习题

平面向量的数量积与向量积练习题在学习平面向量的数量积与向量积时，练习题是非常重要的。

通过解决练习题，我们可以更好地理解和掌握相关的概念与计算方法。

下面是一些平面向量数量积与向量积的练习题，希望能够帮助大家提高解题能力。

1. 给定平面向量a = (2, -3)和b = (5, 1)，计算a·b和|a × b|。

解法：首先，我们知道a·b的计算公式为a·b = |a||b|cosθ，其中θ为a和b的夹角。

|a × b|的计算公式为|a × b| = |a||b|sinθ。

根据向量a和b的坐标，我们可以计算得到：a·b = 2*5 + (-3)*1 = 10 - 3 = 7|a × b| = √[(2*1 - (-3)*5)^2 + ((-3)*5 - 2*1)^2] = √[11^2 + (-17)^2] = √(121 + 289) = √410 ≈ 20.25所以，a·b = 7，|a × b| ≈ 20.25。

2. 已知平面向量a和b的模长分别为3和6，且a·b = -12，求向量a 与向量-b的夹角。

解法：根据a·b = |a||b|c osθ的计算公式，我们可以得到cosθ = a·b / (|a||b|)。

代入已知条件，可以计算得到cosθ = -12 / (3*6) = -12 / 18 = -2 / 3。

由于向量a和向量-b具有相同的模长，且夹角为θ和π-θ，则向量a 和向量-b的夹角为θ = arccos(-2 / 3) ≈ 2.3 radians。

3. 平面向量a = (1, 2, 3)和b = (-4, 5, 6)，求向量a × b。

解法：向量a × b的计算公式为：a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3,a1b2 - a2b1)。

高一下数学同步训练：平面向量的数量积及运算律、坐标表示与平移(附答案)

高一数学同步检测十六平面向量的数量积及运算律、坐标表示与平移说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项)1．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与向量b 的夹角是 A.π6 B.π4 C.π3 D.π2答案：C解析：由条件得a ·b －a 2＝2，∴a ·b ＝a 2＋2＝|a ||b |cosα＝6cosα.又∵|a |＝1，∴cosα＝12. ∴α＝π3. 2．下面几个有关向量数量积的关系式：①0·0＝0；②|a ·b |≤a ·b ；③a 2＝|a |2；④(a ·b )|a |2＝b a；⑤(a ·b )2＝a 2·b 2；⑥(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2.其中正确的个数是A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B解析：|a ·b |＝|a ||b ||cosθ|≥|a ||b |cosθ＝a ·b ；(a ·b )2＝|a |2|b |2cos 2θ≤|a |2|b |2＝a 2·b 2，故②④⑤错，①③⑥正确．3．将函数y ＝log 2(2x)的图象F 按a ＝(2，－1)平移到F ′，则F ′的解析式为A ．y ＝log 2[2(x －2)]－1B ．y ＝log 2[2(x ＋2)]－1C ．y ＝log 2[2(x ＋2)]＋1D ．y ＝log 2[2(x －2)]＋1答案：A得y ′＝log 2[2(x ′－2)]－1.∴F ′的解析式为y ＝log 2[2(x －2)]－1.4．已知单位向量i 与j 的夹角为60°，则2j －i 与i 的关系为A ．相等B ．垂直C ．平行D ．共线答案：B解析：∵(2j －i )·i ＝2j ·i －i 2＝2|j ||i |cos60°－|i |2＝2×1×1×12－1＝0，∴2j －i 与i 垂直． 5．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为A ．－17 B.17 C ．－16 D.16答案：A解析：向量λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)．又∵λa ＋b 与a －2b 垂直，∴(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0.解得λ＝－17，选A. 6．在△ABC 中，＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC 为直角三角形，则k 的值为A ．－23 B.43C ．－23或113D ．－23、113或3±132答案：D解析：分三种情况：7．已知A(2,1)、B(6,7)，把向量按向量(3,2)平移后得到一个新向量，那么下面各向量中能与垂直的是 A ．(－3，－2) B ．(12，－13) C ．(－4,6) D ．(0，－2)答案：B8．平面向量a 、b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．12答案：B解析：由已知|a |＝2，|a ＋2b |2＝|a |2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12， ∴|a ＋2b |＝2 3.9．设A 、B 、C 、D 是平面上四个不同的点，其中任意三点不共线．若(＋－2)·(－)＝0，则△ABC 是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形答案：A解析：可先把条件拼凑成能使用三角形法则的形式再求解．又∵A 、B 、C 三点不共线，∴△ABC 是等腰三角形．10．设a ，b ，c 是单位向量且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为A ．－2 B.2－2 C ．－1 D ．1－ 2答案：D解析：∵a ，b ，c 是单位向量且a ·b ＝0，∴|a ＋b |＝ 2.∴(a －c )·(b －c )＝a ·b －a ·c －c ·b ＋c 2＝1－(a ＋b )·c＝1－|a ＋b ||c |cos 〈a ＋b ，c 〉＝1－2cos 〈a ＋b ，c 〉≥1－ 2.第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，答案需填在题中横线上)11．若向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为120°，则a ·a ＋a ·b ＝________.答案：12解析：a ·a ＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b |cos120°＝1＋(－12)＝12. 12．将一次函数y ＝mx ＋n 的图象C 按向量a ＝(2,3)平移后，得到的图象仍然为C ，则m 的值为______．答案：32解析：函数y ＝mx ＋n 的图象C 按a ＝(2,3)平移后所得图象的解析式为y －3＝m(x －2)＋n ，即y ＝mx －2m ＋n ＋3.由题设条件两图象重合，故y ＝mx －2m ＋n ＋3与y ＝mx ＋n 是同一函数．∴－2m ＋n ＋3＝n.∴m ＝32. 13．设向量a 与b 的夹角为θ，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，则cosθ＝________. 答案：解析：令b ＝(x ，y)，由2b －a ＝(－1,1)，∴(2x,2y)－(3,3)＝(2x －3,2y －3)＝(－1,1)．∴x ＝1，y ＝2，即b ＝(1,2)．∴a ·b ＝9.由a ·b ＝|a ||b |cosθ，14．平面向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点Q为直线OP上的一个动点，当·取到最小值时，的坐标为__________．答案：(4,2)三、解答题(本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．已知△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，求点D的坐标和向量.答案：解：设D(x0，y0)，16．设a＝(cos23°，cos67°)，b＝(cos68°，cos22°)，u＝a＋t b(t∈R)，求：(1)a·b；(2)u的模的最小值．答案：解：(1)a·b＝cos23°cos68°＋cos67°cos22°＝cos23°cos68°＋sin23°sin68°＝cos(23°－68°)＝cos45°＝2 2.(2)∵|u|2＝(a＋t b)2＝|a|2＋t2|b|2＋2t a·b，|a|2＝cos223°＋cos267°＝cos223°＋sin223°＝1，|b|2＝cos268°＋sin268°＝1，∴|u|2＝1＋t2＋2t·22＝(t＋22)2＋12.当t＝－22时，|u|min＝22.17．已知a、b均为非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．答案：解：设a与b的夹角为θ.18．已知向量＝(2cosx＋1，cos2x－sinx＋1)，＝(cosx，－1)，定义f(x)＝·.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若x∈(0,2π)，当·<－1时，求x的取值范围．答案：19．已知函数y＝－2x2＋8x－9，其图象按a平移后，得到的抛物线的顶点在y轴上，且在x轴上截得的弦长为4，求平移后的函数解析式及向量a的坐标．答案：解法一：设a＝(h，k)，平移后的函数解析式为y＝－2x2＋b，由题意可知其过点(2,0)，∴－2×4＋b＝0.∴b＝8.∴平移后的函数解析式为y＝－2x2＋8.设P(x，y)为平移前函数图象上的任意一点，其平移后的对应点为P′(x′，y′)，∴4h＋8＝0.∴h＝－2.又y′＝－2x′2＋k－1过点(2,0)．∴－8＋k－1＝0.∴k＝9.∴a＝(－2,9)，y′＝－2x′2＋8，即平移后的函数解析式为y＝－2x2＋8.。

平面向量的数量积与面积计算练习题

平面向量的数量积与面积计算练习题题1：计算向量a=(2,3)和向量b=(-1,4)的数量积。

解：向量a=(2,3)，向量b=(-1,4)。

根据数量积的定义，向量a和向量b的数量积等于它们对应分量的乘积之和。

所以，向量a和向量b的数量积为：2 × (-1) +3 ×4 = -2 + 12 = 10。

所以，向量a=(2,3)和向量b=(-1,4)的数量积为10。

题2：已知向量a=(3,5)，向量b的模长为4，且向量a和向量b的数量积为-6，求向量b。

解：已知向量a=(3,5)，向量b的模长为4，且向量a和向量b的数量积为-6。

设向量b=(x,y)，则根据数量积的定义，有：3x + 5y = -6 （1）又因为向量b的模长为4，所以有：x^2 + y^2 = 4^2 （2）解方程组（1）和（2），可以求得向量b的坐标。

将方程（1）中的3x替换为(-6 - 5y)，得到：(-6 - 5y) + 5y = -6化简得：-6 = -6由此可知方程（1）是一个恒等式，即无论向量b的坐标如何，方程（1）永远成立。

所以，向量b的坐标可以是任意值。

因此，向量b有无数个解。

题3：计算以向量a=(2,3)和向量b=(-1,4)为邻边所构成的平行四边形的面积。

解：以向量a=(2,3)和向量b=(-1,4)为邻边所构成的平行四边形的面积可以通过计算向量a和向量b的数量积的绝对值来求得。

向量a和向量b的数量积已在题1中计算过，结果为10。

平行四边形的面积等于两个邻边的数量积的绝对值。

所以，以向量a=(2,3)和向量b=(-1,4)为邻边所构成的平行四边形的面积为|10| = 10。

题4：已知向量a=(-3,4)，向量b=(1,2)，求以向量a和向量b为邻边所构成的平行四边形的面积。

解：已知向量a=(-3,4)和向量b=(1,2)。

先计算向量a和向量b的数量积。

向量a和向量b的数量积为：(-3) × 1 + 4 × 2 = -3 + 8 = 5。

5.4 平面向量的数量积及运算律课时闯关(含答案解析)

一、选择题1．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a·b ＝0，则实数m 的值为( )A ．－32 B.32C ．2D ．6解析：选D.由a·b ＝0，得3×2＋m ×(－1)＝0，∴m ＝6.2．若a ，b 是非零向量，且a ⊥b ，|a|≠|b|，则函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )是( )A ．一次函数且是奇函数B ．一次函数但不是奇函数C ．二次函数且是偶函数D ．二次函数但不是偶函数解析：选A.∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，∴f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )＝x 2·a·b ＋(|b |2－|a |2)x －a·b ＝(|b |2－|a |2)·x .又∵|b |≠|a |，∴f (x )为一次函数，且是奇函数，故选A.3．(2013·重庆一中高三调研)若向量a 与b 的夹角为75°，|a |＝2sin 150°，|b |＝4cos 15°，则a·b 的值为( )A ．－1B ．1C ．－ 3 D. 3解析：选B.|a |＝2sin 150°＝2×12＝1. a·b ＝1×4cos 15°cos75°＝1×2×2cos 15°sin15°＝1.4．(2011·高考课标全国卷)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，2π3 p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤2π3，πp 3：|a －b |>1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，π3 p 4：|a －b |>1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π其中的真命题是( )A ．p 1，p 4B ．p 1，p 3C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：选A.由|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2cos θ>1，得2＋2cos θ>1，∴cos θ>－12，∴0≤θ<2π3. 由|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2－2cos θ>1，得2－2cos θ>1，∴cos θ<12，∴π3<θ≤π. ∴p 1，p 4正确．5．(2011·高考辽宁卷)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B ．1C. 2 D ．2解析：选B.由(a －c )·(b －c )≤0，a ·b ＝0，得a ·c ＋b ·c ≥c 2＝1，∴(a ＋b －c )2＝1＋1＋1－2(a ·c ＋b ·c )≤1.∴|a ＋b －c |≤1.二、填空题6．已知向量a ，b 满足|b|＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是________．解析：b 在a 上的投影是|b |·cos 60°＝2×12＝1. 答案：17．(2011·高考江西卷)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________．解析：∵(a ＋2b )·(a －b )＝|a |2－2|b |2＋a·b ＝－2且|a |＝|b |＝2，∴a·b ＝2，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝12. 而〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝π3. 答案：π38．(2012·高考上海卷)在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是__________．解析：设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝x (0≤x ≤1)，则AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋xAD →，AN →＝AD →＋DN →＝AD →＋(1－x )AB →，∴AM →·AN →＝(AB →＋xAD →)·[AD →＋(1－x )AB →]＝xAD →2＋(1－x )AB →2＋(x －x 2＋1)AB →·AD →＝x |AD →|2＋(1－x )|AB →|2＋(－x 2＋x ＋1)×2×1×12＝x ＋4(1－x )－x 2＋x ＋1＝－(x ＋1)2＋6.∵0≤x ≤1，∴－(x ＋1)2＋6∈[2,5]．答案：[2,5]三、解答题9．已知向量OA →＝(λcos α，λsin α)(λ≠0)，OB →＝(－sin β，cos β)，其中O 为坐标原点，β＝α－π6，求向量OA →与OB →的夹角．解：设向量OA →与OB →的夹角为θ，∵cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝－λsin βcos α＋λsin αcos β|λ| ＝λsin (α－β)|λ|，又∵α－β＝π6，∴当λ＞0时，cos θ＝12，θ＝60°，即向量OA →与OB →的夹角为60°.当λ＜0时，cos θ＝－12，θ＝120°，即O A →与O B →的夹角为120°. 10．已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 夹角为45°，求使向量a ＋λb 与λa ＋b 的夹角是锐角时，λ的取值范围．解：若a ＋λb 与λa ＋b 的夹角是锐角，则(a ＋λb )·(λa ＋b )>0，且λ≠1(即夹角不是0°)．即λa 2＋(λ2＋1)a ·b ＋λb 2>0且λ≠1.∵a 2＝|a |2＝2，b 2＝|b |2＝9，a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝2×3×22＝3， ∴2λ＋(λ2＋1)×3＋9λ>0，即3λ2＋11λ＋3>0且λ≠1，解得λ<－11－856或λ>－11＋856且λ≠1. 11．(探究选做)(2013·重庆调研)在△ABC 中，设B C →·C A →＝C A →·A B →.(1)求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若|B A →＋B C →|＝2且B ∈[π3，2π3]，求B A →·B C →的取值范围．解：(1)证明：因为B C →·C A →＝C A →·A B →，所以C A →·(B C →－A B →)＝0.又A B →＋B C →＋C A →＝0，所以C A →＝－(A B →＋B C →)，所以－(A B →＋B C →)·(B C →－A B →)＝0，所以A B →2－B C →2＝0，所以|A B →|2＝|B C →|2，即|A B →|＝|B C →|，故△ABC 为等腰三角形．(2)因为B ∈[π3，2π3]，所以cos B ∈[－12，12]，设|A B →|＝|B C →|＝a ，因为|B A →＋B C →|＝2，所以|B A →＋B C →|2＝4，所以a 2＋a 2＋2a 2 cos B ＝4，所以，a 2＝21＋cos B，所以B A →·B C →＝|B A →|·|B C →|cos B＝2 cos B 1＋cos B ＝2－21＋cos B ∈[－2，23]．。

平面向量的数量积练习题(含答案)

1．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于( ) A ．－1 B ．－12 C.12 D ．12．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．103．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73 4．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC→等于 ( ) A ．－32 B ．－23 C.23 D.32二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC→＝________. 7．已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________．三、解答题(共22分)8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°.(1)求b ；(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c .9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．一、选择题(每小题5分，共15分)1．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC→＝1，则BC 等于 ( ) A. 3 B.7 C ．2 2 D.23 2．已知|a |＝6，|b |＝3，a·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )A ．－4B ．4C ．－2D ．23．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2等于( )A ．2B ．4C ．5D ．10二、填空题(每小题5分，共15分)4．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF→的值是________．6．在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC→|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________．三、解答题7． (13分)设平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．如果我是山，就要站成一种尊严，让山花灿烂，山风拂面，让每一处角落都渗透梦语言，让我价值在太阳底下展现；如果我是水，就要流成一种磅礴，让小船远航，鱼儿欢畅，让每一股细流都一往无前，让我价值迎风吟唱。

高中第一册(下)数学平面向量的数量积及运算律同步练习1

平面向量的数量积及运算律同步练习1一、选择题1.下面给出的几个有关向量的关系式：①O ·O ＝O ②(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ) ③｜a ·b ｜＝｜a ｜｜b ｜ ④0·O ＝0其中正确的关系式有( )A.0个B.1个C.2个D.3个2.已知e 1、e 2是两个单位向量，则下面结果正确的是( )A.｜e 1·e 2｜＝1B.e 1·e 2＝1C.e 1·e 2＝-1D.e 1·e 2≤13.△ABC 中，a ＝10,b ＝16,c ＝30，则BC ·CA 等于( ) A.80B.803C.-80D.-8034.设e 1、e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e 1-e 2)·(3e 1+2e 2)等于( ) A.-8B.-29C.29D.8 5.若｜a ｜＝4,｜b ｜＝6,a 与b 的夹角为135°，则a ·(-b )等于( ) A.12B.-12C.122D.-1226.已知｜a ｜＝2,｜b ｜＝3，且a ⊥b ，又(2a +3b )⊥(λa -b )，则λ的值为( ) A.49B.-49C.827 D.-827 7.△ABC 中，AB ＝c ,BC ＝a ，且c ·a ＜0，则△ABC 是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法确定8.已知｜a ｜＝4,｜b ｜＝3,a ·b ＝6，则｜a +b ｜＝( ) A.7B.37C.13D.139.已知｜a -b ｜＝32041 ,｜a ｜＝4,｜b ｜＝5，则a ·b 等于( ) A.103B.-103C.102D.1010.已知e 1、e 2是两个单位的向量，则( )A.e 1·e 2＝1B.｜e 1·e 2｜＝1C.e 1＝e 2D.e 12＝e 22二、填空题11.a ·〔b ·(a ·c )-c ·(a ·b )〕＝.12.｜a ｜＝4,a 与b 的夹角为45°，则a 在b 的投影为.13.已知｜a ｜＝2cos22.5°，｜b ｜＝4sin22.5°，a 与b 的夹角为60°，则a ·b ＝.14.在△ABC 中，｜AB ｜＝｜AC ｜＝2，且AB ·CA ＝-2，则△ABC 的形状为.15.已知｜a ｜＝4,｜b ｜＝8，a 与b 的夹角为120°，则｜4a -2b ｜＝.三、解答题16.已知｜a ｜＝4,｜b ｜＝5,｜a +b ｜＝21.求：(1)a ·b ;(2)(2a -b )(a +3b ).17.已知｜a ｜＝4,｜b ｜＝5,a 与b 的夹角为60°，且(k a +b )⊥(a -2b ),求k.18.a 、b 是非零向量，且(a -b )⊥(a +b ),(a +2b )⊥(2a -b ).求：(3a +4b )与(2a +b )的夹角.参考答案1.A2.D3.D4.C5.C6.C7.D8.B9.A 10.D11.0 12.22 13.2 14.等边三角形 15.16316.(1)-10 (2)-9317.(k a +b )⊥(a -2b )⇒ (k a +b )·(a +2b )＝0⇒k a 2-(2k-1)a ·b -2b 2＝0⇒k ×42-(2k-1)×4×5×cos60°-2×52＝0⇒k ＝-10⇒cos θ＝b a b a b a b a ++++2·43)2)(43(＝aa a 55102＝552∴θ＝arccos 552。

(完整版)平面向量的数量积练习题

平面向量的数量积•选择题1.已知 a (2,3),b ( 1, 1),则a?b 等于( ) A.1 B.-1 C.5 D.-52.向量 a ， b 满足 …b 4,且 a b 2 ,则a 与b 的夹角为（）A. — B C . — D •6 4 3 23.已知 a,b 均为单位向量，它们的夹角为 600，那么；3b ( )A. . 7 B • 10 C • .13 D • 44 .若平面向量与向量' 的夹角是1舸,且1询=了厉，则3=（5.卜面 4个有关向量的数量积的关系式① 0?0 =0 ② (a ?b ) ?c = a ? ( b ?c ) —*> —» —!■> —» —» -*■ ——*■ —» f —B- —③ a ?b = b ?a ④ | a ?b | w a ?b ⑤ | a ?b | | a |? b | 其中正确的是（）A . ①②B 。

①③C 。

③④D 。

③ ⑤6.已知|a |=8，e 为单位向量，当它们的夹角为一时，a 在e 方向上的投影为（） 3A. 30° B C.--： D.8.已知 a =(2,3) , b =(4 ,7), 则a 在b 上的投影值为（ )A 、 13B 、13 、C 底C 、D 1655 5—*■ —¥■ ―► 一► —*■9.已知 a (1,2),b (3,2),ka b 与a 3b 垂直时k 值为 ( )7.设a 、b 是夹角为；：：：的单位向量，贝U2a )A 、17B 、18C 19D 、20 A . 4,3 B.4 C.4 D.8+b 和3a 2b 的夹角为（C .10.若向量a=(cos ,sin b=(cos ,sin a与b 一定满足a与b的夹角等于+、(a + b)丄(a—b)a II b11.设i , j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，OP3cos i 3sin j ,mur(Q/OQ i。

平面向量的数量积练习题含答案

平面向量的数量积练习题含答案Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】平面向量的数量积练习题一、选择题1．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是23，则a·b为 ( )C．3 D．2解析：由数量积的几何意义知所以a·b＝23×3＝2.答案：D2．设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝( )A．1 B．2 C．3 D．5解析：因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，两式相减得：4a·b＝4，所以a·b＝1.答案：A3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为( )解析：|a－b|＝（a－b）2＝a2＋b2－2a·b＝3，设向量a与a－b的夹角为θ，则cos θ＝a·（a－b）|a||a－b|＝22－12×3＝32，又θ∈[0，π]，所以θ＝π6.答案：A4．(2015·陕西卷)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( ) A．|a·b|≤|a||b| B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2 D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2解析：根据a·b＝|a||b|cos θ，又cos θ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A恒成立．当向量a和b方向不相同时，|a－b|>||a|－|b||，B不恒成立．根据|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝(a＋b)2，C恒成立．根据向量的运算性质得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，D恒成立．答案：B5．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为( )A．2 B．4 C．6 D．12解析：因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b＝6b2＝|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2＝|a |2－2|a |－96＝－72，所以|a |2－2|a |－24＝0，所以|a |＝6. 答案：C6．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，4)，且a ∥b ，则|a －b |＝( )A ．53 B ．35 C ．25D ．22 解析：因为a ∥b ，所以4＋2x ＝0，所以x ＝－2，a －b ＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6)，所以|a －b |＝3 5.答案：B7．(2015·杭州模拟)如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO →·BC →的值是( )A ．－8B ．－1C ．1D ．8[答案] D[解析] 取BC 的中点D ，连接AD 、OD ，则有OD ⊥BC ，AD →＝12(AB →＋AC →)，BC →＝AC →－AB →，AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＋DO →·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →) ＝12(AC →2－AB →2)＝12×(52－32)＝8，选D ． 8．(2015·福建卷)设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋k b ．若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53解析：c ＝a ＋k b ＝(1＋k ，2＋k )，又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32. 答案：A9．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1，2)、B (4，1)、C (0，－1)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不正确解析：AC →＝(－1，－3)，AB →＝(3，－1)．因为AC →·AB →＝－3＋3＝0，所以AC ⊥AB .又因为|AC →|＝10，|AB →|＝10，所以AC ＝AB .所以△ABC 为等腰直角三角形．答案：C10．点O 是△ABC 所在平面上一点，且满足OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅，则点O 是△ABC 的( )A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心解析：因为OA →·OB →＝OB →·OC →，所以OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0, 则OB →⊥CA →.同理OA →⊥BC →，OC →⊥AB →.所以O 是△ABC 的垂心．答案：B11．在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足PA PB PC ++＝AB ，则△PBC 与△ABC 的面积之比是( )解析：由PA →＋PB →＋PC →＝AB →，得PA →＋PB →＋BA →＋PC →＝0，即PC →＝2AP →，所以点P 是CA 边上的三等分点，如图所示．故S △PBCS △ABC ＝PC AC＝23.答案：C12．O 是平面ABC 内的一定点，P 是平面ABC 内的一动点，若()()()()PB PC OB OC PC PA OA OC -⋅+=-⋅+＝0，则O 为△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心解析：因为(PB →－PC →)·(OB →＋OC →)＝0，则(OB →－OC →)·(OB →＋OC →)＝0，所以OB →2－OC →2＝0，所以|OB →|＝|OC →|. 同理可得|OA →|＝|OC →|，即|OA →|＝|OB →|＝|OC →|.所以O 为△ABC 的外心．答案：B二、填空题13．如图所示，△ABC 中∠C ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足3BM MA =，则CM CB ⋅＝________．解析：CM →·CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫CA →＋14AB →·CB →＝14AB →·CB →＝14(CB →－CA →)·CB →＝14CB 2→＝4. 答案：414.如图所示，已知点A(1，1)，单位圆上半部分上的点B满足OA OB⋅＝0，则向量OB 的坐标为________．解析：设B(x，y)，y>0，⎩⎨⎧x2＋y2＝1，x＋y＝0，⎩⎨⎧x＝－22，y＝22，所以OB→＝⎝⎛⎭⎪⎫－22，22.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－22，2215．在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c，且满足：|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．解析：在△ABC中，因为|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，所以△ABC为直角三角形，且BC⊥BA，以BA，BC为x，y轴建立坐标系，则B(0，0)，A(3，0)，C(0，1)，所以a＝BC→＝(0，1)，b＝CA→＝(3，－1)，c＝AB→＝(－3，0)．所以a·b＋b·c＋a·c＝－1－3＋0＝－4.答案：－416．在△ABC 中，已知|AB |＝|AC |＝4，且 AB AC ＝8，则这个三角形的形状是________．解析：因为AB →·AC →＝4×4·cos A ＝8，所以cos A ＝12，所以∠A ＝π3，所以△ABC 是正三角形．答案：正三角形三、解答题17．已知向量a ＝(2，0)，b ＝(1，4)．(1)求|a ＋b |的值；(2)若向量k a ＋b 与a ＋2b 平行，求k 的值；(3)若向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，求k 的取值范围．解：(1)因为a ＝(2，0)，b ＝(1，4)，所以a ＋b ＝(3，4)，则|a ＋b |＝5.(2)因为a ＝(2，0)，b ＝(1，4)，所以k a ＋b ＝(2k ＋1，4)，a ＋2b ＝(4，8)；因为向量k a ＋b 与a ＋2b 平行，所以8(2k ＋1)＝16，则k ＝12.(3)因为a ＝(2，0)，b ＝(1，4)，所以k a ＋b ＝(2k ＋1，4)，a ＋2b ＝(4，8)；因为向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，所以⎩⎨⎧4（2k ＋1）＋32>0，k ≠12，解得k >－92或k ≠12.18.如图所示，ABCD 是正方形，M 是BC 的中点，将正方形折起使点A 与M 重合，设折痕为EF ，若正方形面积为64，求△AEM 的面积．解：如图所示，建立直角坐标系，显然EF 是AM 的中垂线，设AM 与EF 交于点N ，则N 是AM 的中点，又正方形边长为8，所以M (8，4)，N (4，2)．设点E (e ，0)，则AM →＝(8，4)，AN →＝(4，2)，AE →＝(e ，0)，EN →＝(4－e ，2)，由AM →⊥EN →得AM →·EN →＝0，即(8，4)·(4－e ，2)＝0，解得e ＝5，即|AE →|＝5.所以S △AEM ＝12|AE →||BM →|＝12×5×4＝10.19．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，|3a －b |＝ 5.(1)求|a ＋3b |的值；(2)求3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值．解：(1)由|3a －b |＝5，得(3a －b )2＝5，所以9a 2－6a·b ＋b 2＝5.因为a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b 2|＝1，所以9－6a·b ＋1＝5.所以a·b ＝56.所以(a ＋3b )2＝a 2＋6a·b ＋9b 2＝1＋6×56＋9×1＝15.所以|a ＋3b |＝15.(2)设3a －b 与a ＋3b 的夹角为θ.因为(3a －b )·(a ＋3b )＝3a 2＋8a·b －3b 2＝3×1＋8×56－3×1＝203.所以cos θ＝（3a －b ）·（a ＋3b ）|3a －b ||a ＋3b |＝2035×15＝439.因为0°≤θ ≤180°，所以sin θ＝ 1－cos 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4392＝339.所以3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值为339. 20．在四边形ABCD 中，已知AB ＝9，BC ＝6，CP →＝2PD →.(1)若四边形ABCD 是矩形，求AP →·BP →的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，且AP →·BP →＝6，求AB →与AD →夹角的余弦值．解：(1)因为四边形ABCD 是矩形，所以AD →·DC →＝0.由CP →＝2PD →，得DP →＝13DC →，CP →＝23CD →＝－23DC →.所以AP →·BP →＝(AD →＋DP →)·(BC →＋CP →)＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋13DC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－23DC →＝AD →2－13AD →·DC →－29DC 2→＝36－29×81＝18.(2)由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋13DC →＝AD →＋13AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋23CD →＝AD →－23AB →，所以AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋13AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－23AB →＝AD 2→－13AB →·AD →－29AB →2＝36－13AB →·AD →－18＝18－13AB →·AD →.又AP →·BP →＝6，所以18－13AB →·AD →＝6，所以AB →·AD →＝36.又AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ，所以54cos θ＝36，即cos θ＝23.所以AB →与AD →夹角的余弦值为23.21． (2015·济宁模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，θ∈[0，π]，向量b ＝(3，－1)．(1)若a ⊥b ，求θ的值；(2)若|2a －b |<m 恒成立，求实数m 的取值范围．[解析] (1)∵a ⊥b ，∴3cos θ－sin θ＝0，得tan θ＝3，又θ∈[0，π]，∴θ＝π3.(2)∵2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴|2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋8(12sin θ－32cos θ)＝8＋8sin(θ－π3)，又θ∈[0，π]，∴θ－π3∈[－π3，23π]，∴sin(θ－π3)∈[－32，1]，∴|2a－b|2的最大值为16.∴|2a－b|的最大值为4.又|2a－b|<m恒成立．∴m>4.22．(本题满分12分)(2015·厦门模拟)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sinα，cos x＋2cosα)，其中0<α<x<π.(1)若α＝π4，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应的x的值；(2)若a与b的夹角为π3，且a⊥c，求tan2α的值．[解析]∵b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sinα，cos x＋2cosα)，α＝π4.∴f(x)＝b·c＝cos x sin x＋2cos x sinα＋sin x cos x＋2sin x cosα＝2sin x cos x＋2(sin x＋cos x)．令t＝sin x＋cos x(π4<x<π)，则t∈(－1，2)，且2sin x cos x＝t2－1.∴y＝t2＋2t－1＝(t＋22)2－32，t∈(－1，2)．当t＝－22时，y min＝－32，此时sin x＋cos x＝－22.即2sin(x＋π4)＝－22，sin(x＋π4)＝－12，∵π4<x<π，∴π2<x＋π4<5π4.∴x＋π4＝7π6，即x＝1112π.所以函数f(x)的最小值为－32，相应的x的值为1112π.(2)∵a与b的夹角为π3，cos π3＝a·b|a||b|＝cosαcos x＋sinαsin x＝cos(x－α)，∵0<α<x<π，∴0<x－α<π.∴x－α＝π3，∵a⊥c，∴cosα(sin x＋2sinα)＋sinα(cos x＋2cosα)＝0，化简得sin(x＋α)＋2sin2α＝0.代入x－α＝π3得sin(2α＋π3)＋2sin2α＝52sin2α＋32cos2α＝0，∴tan2α＝－3 5 .。

高中第一册(下)数学平面向量的数量积及运算律同步练习

平面向量的数量积及运算律同步练习1．设a，b，c为任意非0向量，且相互不共线，则真命题为（）（1）（a·b）·c－(c·a)·b＝0 （2）|a|－|b|＜|a－b|（3）(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直（4）（3a+2b)(3a－2b)=9|a|2－4|b|2A.（2）（4）B.（2）（3）C.（1）（2）D.（3）（4）2．已知|a|＝3，|b|＝4，（a＋b）·（a＋3b）＝33，则a与b的夹角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°3．△ABC中，AB→＝a，BC→＝b，且a·b＞0，则△ABC为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形4．已知等边△ABC的边长为1，且BC→＝a，CA→＝b，AB→＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于（）A.－32B.32C.0D.945．已知|a|2＝1，|b|2＝2，（a－b)⊥a，则a与b的夹角为（）A.60°B.90°C.45°D.30°6．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则（2e1－e2）（3e1＋2e2）＝ . 7．已知| i |＝| j|＝1，i·j＝0，且a＋b＝2i－8j，a－b＝8i＋16j，求a·b＝ . 8．已知|a|＝3，|b|＝5，如果a∥b，则a·b＝ .9．已知a，b，c两两垂直，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求r＝a＋b＋c的长及它与a，b，c的夹角的余弦.10．设a，b为两个相互垂直的单位向量，是否存在整数k，使向量m＝k a＋b与n＝a＋k b的夹角为60°，若存在，求k值；若不存在，说明理由.11．非零向量（a＋3b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，求向量a与b夹角的余弦值.答案1．A 2．C 3．C 4．A 5．C 6．927．－63 8．±159．已知a，b，c两两垂直，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求r＝a＋b＋c的长及它与a，b，c的夹角的余弦.解：|r|＝|a＋b＋c|＝（a＋b＋c）2＝1＋4＋9＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝14设a＋b＋c与a、b、c的夹角分别为θ1，θ2，θ3则cosθ1＝a·（a＋b＋c）|a|·|a＋b＋c|＝114同理cosθ2＝214＝147，cosθ3＝31414.10．设a，b为两个相互垂直的单位向量，是否存在整数k，使向量m＝k a＋b与n＝a＋k b的夹角为60°，若存在，求k值；若不存在，说明理由.解：∵|a|＝|b|＝1，又a·b＝0m·n＝(k a＋b)·(a＋k b)＝2k，又|m|＝k2＋1 ，|n|＝k2＋1若cos60°＝m·n|m|·|n |＝2kk2＋1＝12∴k2＋4k＋1＝0∵k＝2±3 Z，∴不存在.11．19 38。

平面向量的数量积练习题

§ 平面向量的数目积一、选择题1．若向量 a ， b ， c 知足 a ∥b 且 a ⊥c ，则 c ·(a ＋2b)＝()A ．4B ．3C ．2D ． 0分析：由 a ∥b 及 a ⊥ c ，得 b ⊥c ，则 c ·(a ＋2b)＝c ·a ＋ 2c ·b ＝ 0.答案： Da ·a2．若向量 a 与 b 不共线， a ·b ≠0，且 c ＝ a － a ·b b ，则向量 a 与 c 的夹角为 ()A ．0分析 ∵ a ·c ＝a · － a ·a＝ a ·a － a 2a a ·bb·＝ 2－a 2＝0， a ·b a b a又 a ≠0，c ≠0，∴ a ⊥ c ，∴〈 a ，c 〉＝ π2，应选 D. 答案 Dr r3. 设向量 a =（1. cos ）与 b =（ -1， 2 cos ）垂直，则 cos2等于（）21 C .0AB22rr r r0, 1 2cos 20, cos 22cos 21 0. 正确的选项是 C.分析 Q ab, a b答案 C4．已知 | a| ＝6，| b| ＝3，a ·b ＝－ 12，则向量 a 在向量 b 方向上的投影是 ( )．A ．－ 4B ．4C ．－ 2D ． 2分析设 a 与 b 的夹角为 θ，∵ a ·b 为向量 b 的模与向量 a 在向量 b 方向上的投a ·b2影的乘积，而 cos θ＝ | a|| b| ＝－ 3，2∴ | a|cos θ＝ 6×－ 3 ＝－ 4.答案A5．若 a ，b ，c 均为单位向量，且 a ·b ＝0，(a －c) ·(b －c) ≤0，则 | a ＋ b － c| 的最大值为()．－1B．1D．2分析由已知条件，向量 a，b，c 都是单位向量能够求出， a2＝1，b2＝1，c2＝1，由 a·b＝0，及 (a－ c)(b－ c) ≤0，能够知道， (a＋b) ·c≥c2＝1，因为 | a＋ b－ c| 2＝ a2 ＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－ 2b·c，因此有 | a＋ b－ c| 2＝ 3－ 2(a·c＋b·c) ≤1，故 | a＋b－c| ≤1.答案 B1 3 2＋2a·bx＋1 在 x 6．已知非零向量 a、b 知足 | a| ＝ 3| b| ，若函数 f(x)＝3x ＋| a| x∈ R 上有极值，则〈 a，b〉的取值范围是 ()∵ f(x)＝1 3 2＋2a·bx＋1 在 x∈ R 上有极值，∴ f′(x)＝ 0 有两不相等的分析3x ＋ | a| x实根，∵ f′(x)＝x2＋2| a| x＋ 2a·b，∴ x2＋2| a| x＋2a·b＝0 有两个不相等的实根，∴Δ＝ 4| a| 2－8a·b＞ 0，即12| a| 2 ∴cos〈 a， b〉＜| a|| b|＝π∴6＜〈 a，b〉≤π.1 a·ba·b＜2| a| 2，∵ cos〈a，b〉＝| a|| b| ， | a| ＝ 3| b| ，32，∵ 0≤〈a，b〉≤π，答案 D7．如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，以下向量的数目积中最大的是()．→·P1P3→·P1P4→·P1P5→·P 1P 6→→→→2π分析因为 P 1P 2⊥P 1P 5，故其数目积是 0，可清除 C ；P 1P 2与P 1P 6的夹角是3 ，故其数目积小于零，可清除 D ；设正六边形的边长是 a ，→ →→ →3 → → → →＝° 2 则P 1 2·1 3＝| P 1 21 32，P1 2·1 4＝| P 1 21 4P P P P || P P |cos 30 ＝°2aP P PP || P P |cos 60a .答案 A 二、填空题8．已知向量 a ，b 均为单位向量，若它们的夹角是 60°，则 | a －3b| 等于 ________．分析 ∵ | a －3b| 2＝a 2－6a ·b ＋9b 2＝10－ 6×cos60＝°7，∴ | a －3b| ＝ 7. 答案 7r (3, r (3m 1,4 r r9.已知向量 a2) , a m) ，若 a b ，则 m 的值为．r r r r3(3m 1) ( 2)(4 m) 0, m 1分析 Q ab, a b答案 110．已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量， k 为实数，若向量 a ＋ b 与向量 ka － b 垂直，则 k ＝________.分析设 a 与 b 夹角为 θ，由题意知 | a| ＝ 1， | b| ＝ 1， θ≠0且 θ≠π由.a ＋b 与向量 ka － b 垂直，得(a ＋ b) ·(ka －b)＝ 0，即 k| a| 2＋(k － 1)| a|| b|cos θ－ | b| 2＝0，(k － 1)(1＋cos θ)＝0.又 1＋cos θ≠0，∴ k － 1＝ 0，k ＝1.答案 1．已知2π2，＝1＋ 2若 ·＝， 11e 1，e 2 是夹角为 3 2e bke e .a b 0则实数 k 的值为 ________．分析由题意知： a ·b ＝(e 1－ 2·1＋2 ＝，即 2 1 2 1 2 2122e ) (ke e ) 0 ke ＋e e －2ke e － 2e ＝ 0， 2π 2π 5即 k ＋cos 3 －2kcos 3 －2＝0, 化简可求得 k ＝4. 5答案 4uuur12．在等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边 BC 的中点，假如 AB 的长为 2，则( ABuuur uuur＋ AC )·AD 的值为________．uuuruuuruuuruuur 1 uuuruuur uuuruuuruuur分析：| BC | 2＝| AB | 2＋| AC | 2＝8，| AD | ＝2| BC | ，AB ＋ AC ＝2 AD ，( AB uuur uuur ＝2 uuur uuur ＝ 1 uuur 2＝4.＋ AC · AD · 2| BC |) AD AD答案： 4三、解答题13．已知向量 a ＝ (1,2)，b ＝(2，－ 2)．(1)设 c ＝4a ＋b ，求 (b ·c)a ；(2)若 a ＋λb 与 a 垂直，求 λ的值；(3)求向量 a 在 b 方向上的投影．分析： (1)∵a ＝(1,2)， b ＝ (2，－ 2)，∴ c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2，－ 2)＝(6,6)．∴ b ·c ＝2×6－ 2×6＝0，∴ (b ·c) a ＝0a ＝ 0.(2) a ＋λb ＝ (1,2)＋λ(2，－ 2)＝(2λ＋1,2－2λ)，因为 a ＋λb 与 a 垂直，5∴ 2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝2.(3)设向量 a 与 b 的夹角为 θ，向量 a 在 b 方向上的投影为 | a|cos θ.· ＝ 1×2＋2×－2 2＝－ 2∴ | a|cos θ＝ a b22＋－ 22＝－| b| 2 2 2 .→ → →14．如下图， AB ＝(6,1)，BC ＝ (x ，y)， CD ＝(－2，－ 3)． → →(1)若BC ∥ DA ，求 x 与 y 之间的关系式；→ →(2)在(1)条件下，若 AC ⊥ BD ，求 x ，y 的值及四边形 ABCD 的面积．→ → → → → →分析(1)∵AD ＝AB ＋ BC ＋CD ＝(x ＋4，y －2)， DA ＝－ AD ＝ (－x －4,2－y)．→→→又 BC∥DA且BC＝(x，y)，∴ x(2－ y)－y(－x－4)＝0，即 x＋2y＝0.①→→→→→→→→(2)因为 AC＝AB＋BC＝ (x＋6，y＋ 1)，BD＝ BC＋CD＝(x－ 2，y－3)，又 AC⊥ BD，∴→ →AC·BD＝0.即 (x＋6)(x－2)＋ (y＋1)(y－3)＝ 0，②联立①②化简，得 y2－2y－3＝0，∴ y＝ 3 或 y＝－ 1.→→故当 y＝3 时， x＝－ 6，此时 AC＝(0,4)，BD＝(－ 8,0)，1 → →∴S ABCD＝2| AC| ·|BD| ＝16；→→当 y＝－ 1 时， x＝ 2，此时 AC＝(8,0)， BD＝ (0，－ 4)，1 → →∴S ABCD＝2| AC| ·|BD| ＝16.→→→→→→→15．已知平面上三点 A，B，C 知足 | AB| ＝3，| BC| ＝4，| CA| ＝5，求AB·BC＋BC·CA → →＋CA·AB的值．→→分析由题意知△ ABC为直角三角形， AB⊥BC，→ →3∴AB·BC＝0，cos∠BAC＝5，4cos∠BCA＝5，→→4∴ BC和CA夹角的余弦值为－5，→→3CA和AB夹角的余弦值为－5，→→→→→→∴AB·BC＋BC·CA＋ CA·AB4 3＝20×－5＋15×－5＝－ 25.16．设两向量e1，e2知足 | e1| ＝2，| e2| ＝ 1，e1，e2的夹角为60°，若向量2t e1 ＋ 7e2与向量 e1＋t e2的夹角为钝角，务实数t 的取值范围．思路剖析转变为 (2te1＋ 2 ·1 ＋ 2 ＜7e ) (e te )且 2te1＋7e2≠λ(e1＋te2)(λ＜0)．分析 2 ＝， 2 ·2＝××＝°由已知得 e1 2＝，14 e 1 e e 2 1 cos 601.∴ (2te ＋7e ) ·(e ＋te )＝2te2＋ (2t2＋ 7)e ·e ＋ 7te2＝2t2＋15t ＋7.12121 1 2 2欲使夹角为钝角，需2t 2＋15t＋7＜0.1得－ 7＜t＜－2.设 2t e1＋ 7e2＝λ(e1＋t e2)(λ＜ 0)．2t＝λ，∴∴ 2t 2＝ 7.7＝t λ.14∴ t＝－ 2 ，此时λ＝－14.14即 t＝－ 2 时，向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π.∴夹角为钝角时， t 的取值范围是－7，－14 ∪－14，－1 2 2 2。

高一数学下学期平面向量的数量积及运算律习题精选试题

高一数学下学期平面向量的数量积及运算律习题精选一、选择题1．以下各题①假设，那么对任何一个向量，有.②假设，那么对任何一个非零向量，有.③假设，，那么.④假设，那么、中至少有一个为.⑤假设，，那么.⑥假设，那么，当且仅当时成立.其中真命题的个数为〔〕A．1 B．2 C．3 D．42．设、、是任意的非零平面向量，且互相不一共线，那么①；②；③不与垂直；④中，是真命题的有〔〕A．①② B．②③ C．③④ D．②④3．，，与的夹角为，那么等于〔〕A．12 B．3 C．6 D．4．和是两个单位向量，夹角为，那么下面向量中与垂直的是〔〕A． B． C． D．5．设、是夹角为的单位向量，那么和的夹角为〔〕A． B． C． D．6．中、、的对边分别为、、，，，，那么等于〔〕A． B． C． D．7．有四个式子，①；②；③；④，其中正确的个数为〔〕A．4个 B．3个 C．2个 D．1个8．在中，设，，那么等于〔〕A．0 B． C． D．9、设、是两非零向量，是在的方向上的投影，而是在的方向上的投影．假设与的夹角为钝角，那么〔〕A．B．C．D．10．在中，假设，，，且，那么的形状是〔〕A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．ABC均不正确11．假设为所在平面内一点，且满足，那么的形状为〔〕A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形D．A、B、C均不是二、填空题12．，，那么=__________〔设、是两个互相垂直的单位向量〕.13．假如向量、满足、，且和的夹角为，那么=________.14．假设向量、、满足，且，，. 那么_______.15．设，，且垂直，那么的值是__________.三、解答题16．设向量和的长度分别为和3，夹角是，求.17．，，且、、方向一样，求证.18．求证：平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和。

19．：，，且与的夹角为，问当且仅当为何值时，向量与垂直？20．：为⊙的一条直径，为圆周角，求证：直径所对的圆周角是直角，即.21．向量、、是模相等的非零向量，且，求证是正三角形.参考答案1．A 2．D 3．C 4．C 5．B 6．D 7．D 8．D 9．C 10．C 11．C12．13．3 14． 15．16．17．证明：∵，，∴，又、、同方向，∴，而，故结论得证.〔同学们考虑：假设、、方向不同，结果又如何？〕18．证明：设在中，，对角线，，那么，，∴，即.∴原题得证。

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