05_01_准经典运动

固体物理学_黄昆_第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动_20080606
第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动
V 问题的提出 晶体中的电子在外加场的作用下 —— 外场可以是电场、磁场、掺入杂质势场等 —— 如何描述电子的运动？ 如果外场与晶体的势场相比弱许多，可以用电子在晶体周期性势场中的本征态为基础进行讨论。
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⎛ ∂2E ⎛ dv x ⎞ ⎜ 2 ⎜ dt ⎟ ⎜ ∂k x ⎜ ⎟ dv y ⎟ 1 ⎜ ∂ 2 E ⎜ 将加速度分量用矩阵来表示： = ⎜ ⎜ dt ⎟ = 2 ⎜ ∂k ∂k y x ⎜ ⎟ ⎜ 2 dv z ⎜ ⎟ ⎜ ∂ E ⎜ dt ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ∂k ∂k ⎝ z x
REVISED TIME: 08-8-30
* * *
在能带底部： k = (0, 0, 0) ，有效质量 mx = m y = mz =
K
=2 2a 2 J 1
⎛ m* x ⎜ 有效质量张量约化为一个标量： ⎜ 0 ⎜ 0 ⎝
在能带顶部： k = ( ±
0
m 0
* y
0⎞ ⎛1 0 0⎞ =2 ⎜ =2 ⎟ 0 ⎟ = 2 ⎜ 0 1 0⎟ ，或 m* = ⎟ 2a J 1 ⎜ 2a 2 J 1 *⎟ ⎟ mz ⎠ ⎝0 0 1⎠
K 2 K 2 K (r ) 粒子的概率密度分布函数： ψ ( r , t ) = uk 0
Δ/2
−Δ / 2
∫
Δ/2
dk x
−Δ / 2
∫
Δ/2
dk y
−Δ / 2
∫
dk z e
K K ( ∇k E ) k0 2 ik ⋅[ r − t] =
ψ (r , t ) = (r )
0
K
2
K
2
sin Δu / 2 sin Δv / 2 sin Δw / 2 Δ6 Δu / 2 Δv / 2 Δw / 2
2
2
2
⎧ 1 ∂E )k t ⎪u = x − ( = ∂k x 0 ⎪ ⎪ 1 ∂E ⎪ —— 其中 ⎨ v = y − ( ) k0 t = ∂ k y ⎪ ⎪ 1 ∂E ) k0 t ⎪w = z − ( ∂ = k ⎪ ⎩ z
sin Δu / 2 ~ u 的曲线如图 XCH005_001 所示 Δu / 2
=2 <0 2a 2 J 1
K
π
a
,±
π
a
,±
π
a
* * ) ，有效质量 m* x = m y = mz = −
在k = (
K
π
a
m* x = −
, 0, 0) 布里渊区侧面中心的 X 点，有效质量
=2 2a 2 J 1
* z
=2 m =m = 2 2a J 1
* y
⎛ m* x ⎜ 有效质量张量： ⎜ 0 ⎜ 0 ⎝
K = 如果将波包看成一个准粒子，则粒子的速度： vk
0
K
1 ( ∇ k E ) k0 =
⎧k x ⎫ Δ ⎪ ⎪ Δ π π 因为 k 很小： − ≤ ⎨ k y ⎬ ≤ ，在第一布里渊区 ( − , ) a a 2 ⎪ ⎪ 2 k ⎩ z⎭
Δ <<
2π 2π >> a —— 波包远远大于原胞，在这一个限度里才能将电子看作是准经典粒子 ，即 Δ a
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
⎧k x ⎫ K Δ ⎪ ⎪ Δ k 的取值范围： − ≤ ⎨ k y ⎬ ≤ 2 ⎪ ⎪ 2 ⎩k z ⎭
K 波包函数：ψ ( r , t ) =
Δ/2
−Δ / 2
∫
Δ/2
dk x
−Δ / 2
∫
Δ/2
dk y
−Δ / 2
∫
dk z e
K K K K K E ( k0 + k ) i [( k0 + k )⋅r − t) =
K K K K K dk K K 根据功能原理： F ⋅ vk dt = dk ⋅ =vk —— ( = − F ) ⋅ vk = 0 dt K d ( =k ) K —— 可以证明： =F dt K K K d ( =k ) K d ( mv ) K 将 =F与 = F 比较： =k 具有动量的性质 —— 准动量 dt dt
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波包的限度： u =
2π Δ
K (r ) Δ 当 u = v = w = 0 时： ψ ( r , t ) = uk
0
K
2
K
2
6
⎧ 1 ∂E ) k0 t ⎪ x0 = ( = ∂ k x ⎪ ⎪ 1 ∂E K 1 ⎪ 波包中心：⎨ y0 = ( ) k0 t —— r0 = ⋅ (∇k E )k0 t = = ∂k y ⎪ ⎪ 1 ∂E )k t ⎪ z0 = ( = ∂k z 0 ⎪ ⎩
2 m* x = = /
=2 ∂2E = 2 ∂k x 2a 2 J 1 cos k x a
=2 ∂2E = 2 —— 有效是波矢的函数 有效质量： m = = / 2 ∂k y 2a J 1 cos k y a
* y 2 2 m* z = = /
=2 ∂2E = ∂k z2 2a 2 J 1 cos k z a
s 带电子的能量： E ( k ) = ε i − J 0 − 2 J 1 (cos k x a + cos k y a + cos k z a )
s
K
⎧ ≠ 0, α = β ∂2E 可以验证： k x , k y , k z 在张量主轴方向上，即有 =⎨ ∂kα ∂k β ⎩ = 0, α ≠ β
V 方法一 —— 求解在外加势场时电子的薛定谔方程 [ −
=2 2 K ∇ + V ( r ) + U ]ψ = Eψ 2m
V 方法二 —— 在满足一定条件下将电子的运动近似当作经典粒子来处理， 这样可以很方便地讨论 均匀电磁场中各种电导效应以及一般晶体中输运过程问题。 —— 本节介绍电子在晶体中准经典运动的一些基本概念和规律 05_01 准经典运动 1 波包和粒子的速度 在量子力学中， 所研究的体系如果可以和经典的体系类比， 对某一个态的经典描述近似成立 —— 则 这个态由一个波包来描述 —— 波包的构建 —— 根据量子力学测不准原理，粒子的坐标和动量不能同时有确定的值 粒子空间分布 —— 在 r0 附近的 Δr 范围内 粒子动量取值 —— 为 =k0 附近 =Δk 的范围内，构成了粒子的波包 波包中心 r0 —— 为粒子的中心 中心的动量 =k0 —— 粒子的动量 + 波包的波函数
0
m* y 0
0⎞ ⎛ −1 0 0 ⎞ =2 ⎜ ⎟ 0 ⎟ = 2 ⎜ 0 1 0⎟ ⎟ 2a J 1 ⎜ *⎟ ⎟ 0 0 1 mz ⎝ ⎠ ⎠
晶体中的共有化电子的有效质量一般是一个张量，是波矢的函数。 —— 在一个能带底部附近，有效质量总是正的 —— 在能带顶部附近，有效质量总是负的，在这个能带的顶部有一个质量为 m * （为负）的电子。
—— 在一维近自由电子近似模型中
能带底和能带顶：
dE = 0 —— 电子的速度为零 dk
能带
d 2E = 0 处 —— 电子的速度最大 dk 2
速度和能量的变化结果与自由电子的是不同的 —— 如图 XCH005_002 所示
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K uk ′ ( r )
K K K K k ′ = k0 + k —— k 必须很小
为得到以量子态 k0 为中心的波包 —— 将量子态 k0 为中心， k ′ − k0 = k 范围里所有布洛赫波叠加 —— 先将能量和晶格周期函数在 k0 附近展开 势场周期性函数近似表示 —— uk ' ( r ) ≈ uk0 ( r ) 能量 E ( k ′) 按泰勒级数展开： E ( k ′) ≅ E ( k0 ) + k ⋅ (∇ k E ) k0
3 电子的加速度和有效质量
K d ( =k ) K 电子状态变化基本公式： =F dt K 1 ∂E ( k ) K 1 电子的速度： vk = ∇k E —— 电子的速度分量： vα = = ∂kα = K K dvα d 1 ∂E ( k ) dvα 1 dk β ∂ ∂E ( k ) 电子的加速度分量： = ∑ ( ) = ( ) —— dt dt = ∂kα dt = β dt ∂k β ∂kα
⎛ ∂2E ⎜ 2 ⎜ ∂k x 1 ⎜ ∂2E 电子的倒有效质量： 2 ⎜ = ⎜ ∂k y ∂k x ⎜ 2 ⎜ ∂ E ⎜ ∂k ∂k ⎝ z x
⎛ ∂2E ⎜ 2 ⎜ ∂k x 1 ⎜ 如果将 k x , k y , k z 选在张量主轴方向上，有 2 ⎜ 0 = ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝ ⎛ 2 ∂2E ⎜= / 2 ∂k x 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟=⎜ 0 ⎜ *⎟ mz ⎠ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝
d ( =k β ) dt
将
K dvα 1 ∂ 2 E (k ) = Fβ 代入得到： = 2 ∑ Fβ = β ∂k β ∂kα dt
∂2E ∂k x ∂k y ∂2E 2 ∂k y ∂2E ∂k z ∂k y ∂2E ⎞ ⎟ ∂k x ∂k z ⎟ ⎛ Fx ⎞ ∂2E ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Fy ⎟ ∂k y ∂k z ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ Fz ⎠ 2 ∂ E ⎟ ∂k z2 ⎟ ⎠
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