高等数学 初等函数
高数16个基本初等函数
高数是一门重要的数学课程，其中最基础的内容就是16个基本初等函数。
这些函数在数学和实际应用中都有着广泛的应用，下面我们将逐一介绍这16个函数。
一、常数函数常数函数是指函数f(x)=c，其中c为常数。
这个函数的图像是一条平行于x轴的直线，它的斜率为0。
常数函数在实际应用中常用于表示一些固定的量，如重力加速度g=9.8m/s²。
二、幂函数幂函数是指函数f(x)=x^a，其中a为常数。
幂函数的图像随着a的不同而变化，当a>1时，函数的图像呈现出上升的趋势，当0<a<1时，函数的图像呈现出下降的趋势。
幂函数在实际应用中常用于描述一些具有指数增长或衰减的现象，如人口增长、放射性衰变等。
三、指数函数指数函数是指函数f(x)=a^x，其中a为常数。
指数函数的图像随着a的不同而变化，当a>1时，函数的图像呈现出上升的趋势，当0<a<1时，函数的图像呈现出下降的趋势。
指数函数在实际应用中常用于描述一些具有指数增长或衰减的现象，如利息的复利计算、细胞的增长等。
四、对数函数对数函数是指函数f(x)=loga(x)，其中a为常数。
对数函数的图像是一条上升的曲线，它的斜率在x=1处为1。
对数函数在实际应用中常用于描述一些量的倍数关系，如声音的强度、地震的震级等。
五、三角函数三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数和余弦函数的图像都是周期性波动的曲线，它们的周期为2π。
正切函数的图像则是一条无限延伸的曲线。
三角函数在实际应用中常用于描述周期性变化的现象，如天体运动、电流的交流等。
六、反三角函数反三角函数是指正弦函数的反函数、余弦函数的反函数和正切函数的反函数。
反三角函数的图像是一条上升或下降的曲线，它们的定义域和值域与对应的三角函数相反。
反三角函数在实际应用中常用于求解三角函数的反函数值，如角度的计算、电路的分析等。
七、双曲函数双曲函数是指双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数。
高等数学第一章公式
高等数学公式与定理（第六版上册）第一章 函数与极限第一节：初等函数幂函数：a x y =(是常数）R a ∈ 指数函数：x a y =（a >0且)1≠a对数函数：y=x a log (a>0且a ≠1，特别当a=e 时，记为y=lnx) 三角函数: 如y=x sin 等 反三角函数：如y=arctan x 等第二节：数列的极限收敛数列的性质：定理1 (极限的唯一性)如果数列{x n }收敛，那么它的极限唯一。
定理2 (收敛数列的有界性)如果数列{x n }收敛，那么数列{x n }一定有界。
定理3 (收敛数列的保号性)如果,lima x n n =∞→且a>0(或a<0),那么存在正整数N>0，当n>N 时，都有.n x >0(.n x <0)定理 4 (收敛数列与其子数列的关系)如果数列{.n x }收敛于a,那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.第三节 函数的极限函数极限的性质定理1 (函数极限的唯一性) 如果)(limx f xx →存在，那么这极限唯一.定理2 （函数极限的局部有界性）如果)(limx f xx →=A 存在，那么存在常数M>0和δ>0,使得当0<{0x x - }<δ时，有)(x f M≤.定理 3 （函数极限的局部保号性）如果)(limx f xx →=A ，且A>0(或A<0),那么存在常数δ>0，使得δ<-<00x x 时，有0)(>x f （或0)(<x f ）定理3′ 如果)0()(lim 0≠=→A A x f xx ,那么就存在着n x 的某一去心邻域),(00x U 当)(00x U x ∈时，就有2)(0A x f >.推论 如果在0x 的某去心邻域内)0)x 0)(0≤≥（或（f x f ，而且A x f x x =→)(lim 0，那么）或（00≤≥A A定理4 （函数极限与数列极限的关系） 如果极限)(limx f xx →存在，{n x }为函数)(x f 的定义域内任一收敛于0x 的数列，且满足：)(*0N n x x n ∈≠,那么相应的函数数列)(n x f 必收敛，且).(lim )(lim 0x f x f x x n →∞→=第四节 无穷小与无穷大定理 1 在自变量的同义一变化过程0x x →)x (∞→或中，函数)(x f 具有极限A 的充分必要条件是,)(a A x f +=其中a是无穷小。
1.2初等函数
u = g(x), x D
（其中 u 称为中间变量）
注：(1) 复合条件！
如：
y = arc u = x2
sin u +2
不能构成复合函数！
(2) 复合函数只要符合条件可以多次进行复合！
例1 函数 y = esin2 2x是由哪些简单函数复合而来？
解
y = eu
u = v2
v = sin w w = 2x
初等函数
一、基本初等函数 二、复合函数 三、初等函数
一 、基本初等函数
基本初等函数是指常数函数、幂函数、指数函数、 对数函数、三角函数和反三角函数这六类函数。
高等数学中许多函数都是由这六类函数构成的。 下面看几个我们不太熟悉的基本初等函数。
y = sec x = 1 cos x
y = csc x = 1 sin x
y = arcsin x
y = arccos x来自y = arctan x
y = arccot x
从基本初等函数的定义可以看出 e2x 就不是 基本初等函数，那e2x又叫什么函数呢
这就是我们下面讲的复合函数。
二、复合函数
y = f (u), u D1 g(D) D1 y = f [g(x)], x D
例2
设函数
f (x) =
1, 0,
x x
1 1
，求
f[
f ( x)].
解
f
[
f
(
x)]
=
1, 0,
f (x) 1 f (x) 1
不管 x 取何值 f (x)
都只取0和1 ，所以 f (x) 不可能大于1.
所以 f [ f ( x)] = 1.
高等数学初等函数
初等函数的分类
幂函数：形如y=x^n的函数， 具有指数幂的形式
指数函数：形如y=a^x的函 数，其中a>0且a≠1
对数函数：形如y=log_a(x) 的函数，其中a>0且a≠1
三角函数：包括正弦函数、 余弦函数、正切函数等，具 有周期性和对称性
函数在计算机 科学中的应用： 实现算法，处
理数据
常见问题的数学模型建立
线性回归模型：用于预测两个或 多个变量之间的关系
三角函数模型：用于解决周期性 问题
添加标题
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指数模型：描述增长或衰减过程
分段函数模型：处理离散数据或 分段连续数据
利用初等函数解决实际问题的方法
建立数学模型：将实际问题转化为数学问题，利用初等函数表达实际问题中的变量关系。 求解方程：通过求解方程来找到实际问题的解决方案。 函数图像分析：利用函数图像来直观地理解实际问题，通过观察图像的变化趋势来解决问题。 数值计算：利用初等函数的性质和计算方法，对实际问题进行数值计算，得到近似解或精确解。
反三角函数：包括反正弦函 数、反余弦函数、反正切函 数等，是三角函数的反函数
初等函数的运算方
03
法
函数的四则运算
定义：函数加法、减法、 乘法、除法的运算规则
性质：函数四则运算的性 质和定理
运算顺序：先乘除后加减 的顺序
应用：函数四则运算在数 学和其他领域中的应用
复合函数和反函数
复合函数的定义和性质
YOUR LOGO
THANK YOU
汇报人：XX
计算方法：比较法、导数法、 不等式法
高等数学初等函数
正切函数 y tan x
y tan x
余切函数 y cot x
y cot x
正割函数 y sec x
y sec x
余割函数 y csc x
y csc x
5、反三角函数
反正弦函数 y arcsin x
y arcsin x
反余弦函数 y arccos x
一般来说，分段函数不是初等函数，但下例所示 的分段函数是初等函数。
例 1 y=∣x∣= x, x 0 是由 y= u 和 u= x 2 复合而成的复合函数,
x, x 0
那就是说，原函数与 x2 是同一个函数，因此它也是初等函数。
小结
函数的分类:
有 有理整函数(多项式函数) 理
代 数
函 数 有理分函数(分式函数)
一般地，若函数 y=f(u)的定义域为 D1，u=φ (x)的定义域
为 D2,值域 w2={u│u= φ (x),x∈D2}且 W2∩D1≠φ这样得到的
以 x 为自变量，y 为因变量的函数，称为由函数y=f(u)和 u= φ(x) 复合而成的复合函数,记作 y=f[φ (x)],其中 u 称为中 间变量。
初 等
函 数
函
无理函数
函数
数
超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)
例：
设f
(x)
1 2
0
x
1 ,
求函数
f
(x
3)的定义域.
1 x2
解
f
(
x)
1 2
0 x1 1 x2
f
(
x
高等数学第二节初等函数
余弦函数： y=cos x
函数图象关于 y 轴对称，是偶函数；
是周期函数，周期为2 ；
cos x 1，是有界函数。
正切函数： y=tan x
y
y=tan x
-
2
O
2
函数图象关于原点对称，是奇函数；
是周期函数，周期为 ；
当 x (k - , k ), k Z 时，
则它们构成的复合函数为 y=f [(x)] = lgsinx.
例2.设y=f (u)=lg(u–2), u=(x)=sinx，能否构成
复合函数？
因u=sinx的值中,不能使y=lg(u-2)有意义， 所以 它们不能构成复合函数
例3. 指出下列复合函数的结构
（1） y cos2 x
（2） y
反正切函数 y arctan x
反正切函数图象关于原点对称， 是奇函数； 是单调增函数； arctan x ， 是有界函数。
2
反余切函数 y arccot x
是单调减函数； 0 arccot x ，是有界函数。
二、复合函数
在实际问题中，因变量与自变量的关系不是直接的，
y 1- x2
定义: 设函数 y f (u),其中u ( x)， 且(x) 的
值的全部或部分落在 f(u)的定义域内, 则称函数
y f [( x)]为 x的复合函数，而 u 为中间变量
x u f y
自变量
中间变量 因变量
例1.设y=f (u)=lgu, 而u=(x)=sinx.
解
y y 设通话x分钟，中国联通收费 1 元，中国移动收费 2 元
则
y1 36 0.4x, y2 0.6x
高等数学公式大全以及初等函数图像
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
高等数学第二节初等函数
x u f y
自变量
中间变量 因变量
例1.设y=f (u)=lgu, 而u=(x)=sinx.
则它们构成的复合函数为 y=f [(x)] = lgsinx.
例2.设y=f (u)=lg(u–2), u=(x)=sinx，能否构成
复合函数？
因u=sinx的值中,不能使y=lg(u-2)有意义， 所以 它们不能构成复合函数
税率（%） 3 10 20
写出个人月收入x （不大于12500元）元与应缴纳税款y元 之间的关系，当某人月收入为6500元时，应缴纳多少税款？
解： 依此可以列出下面的函数关系：
0,
0 x 3500
y
(x (x
-
3500) 3500)
都是初等函数。
y
3 3x tan 5x x3 sin x - 2-x
今后我们所讨论的函数，绝大多数都是初等函数。
四、函数关系举例
1.如何选择通信公司
小王买部手机想入网，他得知：中国联通130网的收费标准 是：月租费30元，每月来电显示6元，本地通话每分钟0.4元； 中国移动“神州行”储值卡的收费标准是：本地通话每分钟 0.6元，月租费和来电显示费全免，小王相拥有来电服务，请 问他如何选择？
第二节初等函数
一、基本初等函数 二、复合函数 三、初等函数 四、建立函数关系举例
一、基本初等函数
1 、常数函数 y C y
O
yc
x
函数定义域为R，只有一个函数值
1.1 函数
2、幂函数
y x y
y x2
1
(是常数)
y x y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
随着而不同，但在(0, )中都有定义；经过点 (1,1)， 在(0, )内当 0时，x为增函数； 0时，x为减函数
高等数学高数知识点总结
高数重点总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)2、分段函数不是初等函数。
3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim020==+→→x xxx x x x 4、两个重要极限：()e x ex xxxx xx x =⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∞→→→11lim 1lim )2(1sin lim )1(10 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[])()(lim )(0)(1lim x g x f x g x x x x ex f →=+→例如：()33lim 1031lim -⎪⎭⎫ ⎝⎛-→==-→e ex x x xx x5、可导必定连续，连续未必可导。
例如：||x y =连续但不可导。
6、导数的定义：()0000')()(lim)(')()(limx f x x x f x f x f xx f x x f x x x =--=∆-∆+→→∆7、复合函数求导：[][])(')(')(x g x g f dxx g df ∙= 例如：xx x x x x x y x x y ++=++=+=24122211', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx例如：yxdx dy ydy xdx y x y yy x y x -=⇒+-=⇒=+=+22,),2('0'22,),1(122左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若⎩⎨⎧==)()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[])(')('/)('/)/(/22t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ∙∆=-∆+ 例如：计算 ︒31sin11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：xxy sin =（x=0是函数可去间断点），)sgn(x y =（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x f 1sin )(（x=0是函数的振荡间断点），xy 1=（x=0是函数的无穷间断点） 12、渐近线：水平渐近线：c x f y x ==∞→)(lim铅直渐近线：.)(lim 是铅直渐近线，则若，a x x f ax =∞=→ 斜渐近线：[]ax x f b xx f a b ax y x x -==+=∞→∞→)(lim ,)(lim,即求设斜渐近线为例如：求函数11223-+++=x x x x y 的渐近线13、驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。
高等数学初等函数习题答案
高等数学初等函数习题答案高等数学初等函数习题答案高等数学作为大学本科阶段的数学课程，是一门较为重要的学科。
其中，初等函数是高等数学的基础内容之一，也是数学中最为常见和重要的函数类型之一。
学习初等函数的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
下面将对一些常见的高等数学初等函数习题进行解答。
1. 求函数 f(x) = x^2 - 3x + 2 的零点。
解：要求函数的零点，即求函数 f(x) = x^2 - 3x + 2 = 0 的解。
我们可以使用因式分解或者配方法来求解该方程。
首先，我们可以尝试因式分解：x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0。
因此，方程的解为 x = 1 或 x = 2。
其次，我们可以使用配方法：x^2 - 3x + 2 = (x - 1.5)^2 - 0.25。
因此，方程的解为x = 1.5 ± 0.5。
综上所述，函数 f(x) = x^2 - 3x + 2 的零点为 x = 1, 2 或x = 1.5 ± 0.5。
2. 求函数 f(x) = e^x + 2 的反函数。
解：要求函数的反函数，即求函数 f(x) = e^x + 2 的反函数 g(x)。
我们可以通过交换自变量和因变量来求解。
首先，将 f(x) = e^x + 2 转化为关于 x 的方程：y = e^x + 2。
然后，将 y 与 x 互换位置：x = e^y + 2。
接下来，解出 y：y = ln(x - 2)。
因此，函数 f(x) = e^x + 2 的反函数为 g(x) = ln(x - 2)。
3. 求函数 f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x 的极值点。
解：要求函数的极值点，即求函数 f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x 的导数为零的点。
首先，求出函数的导数：f'(x) = 6x^2 + 6x - 12。
高等数学公式大全以及初等函数图像
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式：三角函数：正弦函数sin x ；余弦函数cos x ；正切函数sin tan cos x x x =；余切函数cos cot sin xx x =； 正割函数1sec cos x x =；余割函数1csc sin x x=·诱导公式：常用三角函数公式：22cos sin 1x x += 22cos sin cos 2x x x -= 2sin cos sin 2x x x = 21cos 22sin x x -= 21cos 22cos x x += 22211tan sec cos x x x +== 22211cot csc sin x x x+== xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x1sin sin [cos()cos()]2x y x y x y =-+-- 1cos cos [cos()cos()]2x y x y x y =++-1sin cos [sin()sin()]2x y x y x y =++-·和差角公式： ·和差化积公式：反三角函数： arcsin arccos 2x x π+= arctan arc cot 2x x π+=arcsin x ：定义域[1,1]-，值域[,]22ππ-；arccos x ：定义域[1,1]-，值域[0,]π；arctan x ：定义域(,)-∞+∞，值域(,)22ππ-；arc cot x ：定义域(,)-∞+∞，值域(0,)π·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( αααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==33223()33a b a a b ab b ±=±+± 3322()()a b a b a ab b ±=±+ 123221()()n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++122(1)(1)(1)()2!!n n n n n k kn n n n n n k a b a na b a b a b b k ------++=++++++高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
高等数学第七节初等函数连续
五、连续的应用举例
1.利用函数的连续性求极限
f(x)为初等函数 x0 定义区间
lim xx0
f
(x)
f (x0 )
例1 求 lim ln sin x
解
x 2
y ln sin x是初等函数, 是其定义域内一点，
2
lim lnsin x lnsin
x
2
0
2
2、求函数的连续区间
例2
求函数y
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
y
y f (x)
oa
2
y
M
B
C y f (x)
a
o
A
x1 1 2 3 x2 b x
1 b x m
定理 2 (介值定理)如果函数 f (x)在闭区间[a,b]上连续，m 与M 分别为 f (x)在闭区间[a,b]上的最小值与最大值，则对于 介于m与M 之间的任一实数c(m c M )，至少存在一点
(a b),使得 f ( ) c.
定理 2(零点定理) 如果函数 f (x)在闭区间[a,b]上连续，
且 f (a) 与 f (b) 异 号 ， 则 在 (a ,b )内 至 少 有 一 点 ， 使 得 f ( ) 0.
y
y f (x)
ao
1 2 3 b x
例5 证明方程 x3 4x2 1 0在区间(0,1)内 至少有一根.
初等函数的连续性
一、 基本初等函数在定义域内是连续的. 二、四则运算的连续性
定理 若函数 f ( x), g( x)在点 x0处连续,
则 f ( x) g( x),
f ( x) g( x),
f (x) g( x)
高数1_2初等函数
⑶ 反正切函数
定义：正切函数 y = tanx 在
, 2 2
上的反函数，称为反正切
函数.记作 y = arctanx. (反正切函数的主值)
定义域：
x ,
y 值 域： , 2 2 y = arctanx是有界函数
例1
分析函数 y ln sin x 的复合结构.
解 函数 y ln sin x 是由 y ln u , u sin v , v x 复合而成.
例2
设 f ( x) x 2 , g ( x) 2x , 求 f [ g ( x)] , g[ f ( x)].
解 f ( x) x2 f [ g ( x)] [ g ( x)]2 (2 x ) 2 4 x
x 1 x
f { f [ f ( x)]}
1 1 f [ f ( x)]
1 x x 1 1 x
例4 解
设 f(x) 的定义域是（0，1），求f(lgx)的定义域. 令u = x，则0< u <1
当u = lgx时，0< lgx <1，所以1< x <10
即
函数的定义域为x ∈(1，10)
例如 函数 y sin 2 x 由 y u 2 , u sin x复合而成;
函数 y 1 x 2 是由y u , u 1 x 2复合而成的.
说明： ⑴ 并不是任何两个函数都可以构成一个复合函数； 例如 y arcsin u, u 2 x 2就不能复合成一个函数. 因为u=2+x2的值域u>2，全部落在y=arcsinu的定义域之外. ⑵ 复合函数的中间变量可以不只一个 (两个以上函数也可构成复合函 数) 例： y 2u ，u cos v，v x 复合得到 y 2cos x ； ⑶ 分解复合函数时，每一步必须都是基本初等函数或基本初等函 数的四则运算.
高等数学公式大全以及初等函数图像
平均曲率：K . : 从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM 弧长。 s
M点的曲率：K lim d
y .
s0 s ds
(1 y2 )3
直线：K 0;
半径为a的圆：K 1 . a
定积分的近似计算 ：
b
矩形法： f
a
(x)
b
n
sin sin 2sin cos
2
2
sin sin 2 cos sin
2
2
cos cos 2 cos cos
2
2
cos cos 2sin sin
2
2
反三角函数：
平面外任意一点到该平面的距离：d Ax0 By0 Cz0 D A2 B2 C 2
空间直线的方程：x x0 m
y y0 n
z z0 p
t,其中s
{m,
n,
p};
x 参数方程： y
x0 y0
mt nt
z z0 pt
二次曲面：
a r c s ixn a r cxcos 2
arctan x arc cot x 2
arcsin x ：定义域[1,1]，值域[ , ] ； arccos x ：定义域[1,1]，值域[0, ]； 22
arctan x ：定义域 (, ) ，值域 ( , ) ； arc cot x ：定义域 (, ) ，值域 (0, ) 22
x y
x y z
全微分的近似计算：z dz f x (x, y)x f y (x, y)y
初等函数_反函数_复合函数
定义
在定义域的不同区间内用不同的对应法则表示的函数叫分段函数。
例
已知函数y
f
(x)
2
x,
0 x 1，
1 x, x 1
并求出f (0), f (0.5), f (1), f (3)的值
解
f (0) 0，f (0.5) 2 0.5, f (1) 2，f (3) 4
f 的反函数.
只有在一一对应的前提下才能有反函数.
y f (x)与 x f -1( y) 互为反函数
y
反函数的图形
y f (x)
y x
函数 y = f (x) 与其反函数 y = f 1(x) 的图形关于
y f 1(x)
第Ⅰ、Ⅲ 象限的角平分线 y = x 对称
O
x
反函数的图形
(1) y sin 1 x2
(2) y ln cos 2x
解 (1) y sin u, u t , t 1 x2
(2) y ln u, u cost, t 2x
以上过程称为分解过程
复合函数分解到什么时候为止 ？
分解到基本初等函数或基本初等函数的四则运算为止 .
四、分段函数
(1)分段函数是一个函数 注意： (2)分段函数的定义域是各 个表达式定义域的并集
(3)求值时应把自变量代入 相应区间的表达式中计 算
变量 u 称为中间变量
类似地，可以定义多于两重复合关系的复合函数
外层函数 y f (u)
u g(x) 内层函数
y
f
u
gx
y f (g(x))
例1 写出y sin u， u 2x2 1的复合函数
高等数学函数
高等数学函数 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】§1函数本节内容: 一、邻域 二、函数的概念三、基本初等函数四、复合函数 五、初等函数一、邻域1.定义1:设,a R R δ+∈∈,则—点a 的δ邻域a —(,)U a δ的中心,δ—(,)U aδ的半径.2.定义2:—点a的去心δ邻域二、函数的概念f——定义在D上的函数; D——定义域;x——自变量; y——因变量;() f x0——x处的函数值;{}(),W y y f x x D==∈——值域.注意:函数的两个要素——定义域和对应法则.补例1求下列函数的定义域.(1)y =1(2)ln y x =+12.三、基本初等函数基本初等函数指下列5类: 幂函数是常数()y x μμ=指数函数 是常数(,,)x y a a a a =>≠01对数函数是常数log (,,)a y x a a a =>≠01三角函数sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc y x y x y x y x y x y x======反三角函数arcsin ,arccos ,arctan ,arccot y x y x y x y x ====(一)幂函数 1.幂函数的定义: 2.幂函数的图形与性质:(a)μ取不同值,幂函数的定义域与值域均可能不同;(b)对任意μ,函数图形都过点(1,1);当0μ>时,图形过点(0,0)和(1,1);图1-22x -1图1-12(c)当0μ>时,幂函数在(0,)+∞为单调递增函数;而0μ<时,幂函数在(0,)+∞为单调递减函数;(d)幂函数为无界函数. 3.幂函数的运算性质: (a)a a aαβαβ+⋅=;(b)a aa ααββ-=;(c)()a a αβαβ=;(d)()a b a b μμμ⋅=⋅. (二)指数函数 1.指数函数的定义: 2.指数函数的图形与性质: (a)定义域为R ,值域为R +;图1-3(b)a 不论取何值,函数图形都过点(0,1); (c)当1a >时,指数函数为单调递增函数, 而01a <<时,指数函数为单调递减函数;(d)指数函数为无界函数; (e)指数函数是非奇非偶函数. 3.指数函数的运算性质: 与幂函数的运算性质相似,略. (三)对数函数 1.对数函数的定义: 其中a ——底数. 一种特殊对数:ln y x =. 2.对数函数的图形与性质:图1-4x(a)定义域为R +,值域为R ;(b)a 不论取何值,函数图形都过点(1,0); (c)当1a >时,对数函数为单调递增函数; 而01a <<时,对数函数为单调递减函数;(d)对数函数为无界函数; (e)对数函数是非奇非偶函数. 3.对数函数的运算性质: (a)log ()log log a a a uv u v =+;(b)log log log a a a uu v v=-;(c)log log v a a u v u =; (d)ln log ln a xx a=.(四)三角函数1.sin ,cos y x y x ==:sin y x =——正弦函数;cos y x =——余弦函数.sin ,cos y x y x ==的图形与性质:(a)定义域均为R ,值域均为[1,1]-; (b)sin ,cos y x y x ==均为非单调函数; (c)sin ,cos y x y x ==均为有界函数; (d)sin y x =为奇函数,cos y x =为偶函数; (e)sin ,cos y x y x ==均为周期函数. 2.tan ,cot y x y x ==:tan y x =——正切函数;cot y x =——余切函数.tan ,cot y x y x ==的图形与性质:(a)tan y x =定义域为1\{()}2R k π+,cot y x =定义域为\{}R k π, 值域均为R ;(b)tan ,cot y x y x ==均为非单调函数;(c)tan ,cot y x y x ==均为无界函数;(d)tan ,cot y x y x ==均为奇函数;图1-6(e)tan ,cot y x y x ==均为周期函数.3.sec ,csc y x y x ==:1sec cos y x x==——正割函数; 1csc sin y x x==——余割函数. (五)反三角函数1.arcsin ,arccos y x y x ==:arcsin y x =——反正弦函数;arccos y x =——反余弦函数.arcsin ,arccos y x y x ==的图形与性质:(a)arcsin ,arccos y x y x ==定义域均为[1,1]-,arcsin y x =的值域为[2,2]ππ-,arccos y x =的值域为[0,]π;(b)arcsin ,arccos y x y x ==均为单调函数; (c)arcsin ,arccos y x y x ==均为有界函数; (d)arcsin y x =为奇函数,arccos y x =为非奇非偶函数.图1-72.arctan ,arccot y x y x ==:arctan y x =——反正切函数;arccot y x =——反余切函数.arctan ,arccot y x y x ==的图形与性质:(a)arctan ,arccot y x y x ==的定义域均为R ,arctan y x =的值域为(2,2)ππ-,arccot y x =的值域为(0,)π;(b)arctan ,arccot y x y x ==均为单调函数; 图1-8(c)arctan ,arccot y x y x ==均为有界函数; (d)arctan y x =为奇函数,arccot y x =为非奇非偶函数.四、复合函数设ln y u =,tan u x =,则ln(tan )y x =.1.定义:设有函数链且(),(),()y f u u D u x x D D D ϕϕ=∈⎧⎪=∈⎨⎪⋂≠Φ⎩1221,则 函数[()]y f x ϕ=称为由()y f u =及()u x ϕ=复合而成的复合函数,其中u 称为中间变量.2.写出下列复合函数的复合过程,并求其定义域.(1)arctan()y x =2;(2)sin()y x =2;(3)(sin )y x =2. 五、初等函数1.定义:由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的复合步骤所构成并且可以用一个式子表示的函数叫做初等函数.如:sin ln y x x =+,y =1,ln y x =+12,. 思考题:||y x =是否是初等函数?小结:邻域的定义;函数的定义及定义域;五类基本初等函数的图形与性质; 复合函数的定义与复合函数的分解; 初等函数的定义.。
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π
单调减区间: 单调减区间:
3π [ + 2kπ, + 2kπ ](k ∈ Z) 2 2
单调减区间: 单调减区间:
π
[2kπ ,π + 2kπ ](k ∈ Z)
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y = tan x
3π − 2
−
π
2
π
2
3π 2
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第一章
第二节
初等函数
一、基本初等函数 二、复合函数 三、初等函数
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一、基本初等函数
幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数
幂 函 数
定义: 称为幂函数,其中x是 定义:函数 y = x 称为幂函数,其中 是
自变量, 自变量
µ
µ是常数 是常数.
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画出 y = x , y = x , y = x , y = x , y = x 的图像
结束
反正弦函数
y = arcsin x
定义域： [-1，1] 定义域 值 域： [ −
π
y
2
π π
, ] 2 2
y = arcsin x −1
O
1x
奇偶性： 奇偶性： 奇函数 单调性： 单调性： 在 [-1，1] 单调递增 有界性： 有界性： 有界函数
−π 2
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因为这个区间是最简单的,且每一个余弦值都对应一个 因为这个区间是最简单的 且每一个余弦值都对应一个 角在这个区间,且是余弦函数的一个单调区间 且是余弦函数的一个单调区间. 角在这个区间 且是余弦函数的一个单调区间
定义域: 定义域:(0, +∞ )
ln x 换底公式：log a x = ln a
A > 0, A =
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e
ln A
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0<a<1
a>1
图
( 1, 0)
象
定义域: (0, +∞) 定义域:
( 1, 0)
性 质
值域: 值域:
( −∞, +∞)
当0<x<1时, y < 0 时 当x>1时, y > 0 时 在 (0, +∞) 上是增函数
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反余切函数 y = arc cot x
定义域： 定义域 （ − ∞, +∞） 值域： 值域： 奇偶性： 奇偶性：
π
π
2
y = arc cot x
(0, π )
无
单调性： （ 单调性： 在 − ∞, +∞)单调递减 有界性： 有界性： 有界函数
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二、复合函数
定义: 定义
注意: 不是任何两个函数都可以复合成一个复 注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的; 合函数的 ——复合条件 复合条件
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2
x 2
x
= 2 .
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3x +1, x <1 求 f [ f (x)]. 例4. 设函数 f (x) = , x ≥1 x , x 换为 f (x) 解:
3 f (x) +1, f (x) <1 f [ f (x)] = f (x) ≥1 f (x) ,
x<0
ymin= −1
x = kπ +
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f(x)= 0
x = kπ (k ∈ Z)
π
2
(k ∈ Z)
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f(x)=sinx 图 象 2π 奇函数 单调增区间: 单调增区间: 单调性
[− + 2kπ, + 2kπ ](k ∈ Z) 2 2
f(x)= cosx
x
x
周期性 奇偶性
π
2π 偶函数 单调增区间: 单调增区间:
单调性： 单调性： 正切函数在开区间 − π + kπ , π + kπ , k ∈ Z 2 2 内都是增函数。
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y
y = cot x
−π
−
π
2
o
π
2
x π
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余切函数的性质： 余切函数的性质：
{ 定义域： 定义域： x | x ≠ kπ , k ∈ Z }
1
0 -1 π
2
π
3π 2
2π x 0
π
2
π
3π 2
2π x
-1
R [−1,1] −
x = 2kπ +
π
R [−1,1] −
x = 2kπ (k ∈ Z) 时
最
值
ymax=1
x = 2kπ −
2
(k ∈ Z) 时 (k ∈ Z) 时
π
2
ymax=1
x = 2kπ + π (k ∈ Z) 时
ymin= −1
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反正切函数 y = arctan x
定义域： 定义域 （ − ∞, +∞） π π 值域： 值域： (− , )
2 2
y
y = arctan x
π
2
o
−
π
2
x
奇偶性： 奇偶性： 奇函数 单调性： （ 单调性： 在 − ∞, +∞)单调递增 有界性： 有界性： 有界函数
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D = D1 ∩ D2 ≠ Φ ,则我们可以定义这两个函数的
下列运算: 和(差) f ± g : ( f ± g )( x) = f ( x) ± g ( x), x ∈ D; 积 f ⋅g:
( f ⋅ g )( x) = f ( x) ⋅ g ( x), x ∈ D;
f f ( x) ( )( x) = , x ∈ D \{x | g ( x) = 0, x ∈ D} g g ( x)
3(3x +1) +1
9x + 4 , x < 0
=
3x +1, 0 ≤ x <1
x, x ≥1
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内容小结
1. 基本初等函数的性质 2. 复合函数 3. 初等函数的结构
第二节 目录
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作业
P13 1 (1)(2) ; 2 (3); 4
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对 数 函 数
求 y = a ( x ∈ R, a > 0, a ≠ 1) 的反函数
x
解: y = a x ( x ∈ R )的值域为(0, +∞ ),即 y > 0
y = a ⇒ x = log a y
x
反函数为: 反函数为: y = log a x ( x > 0, a > 0, a ≠ 1) 对数函数
解
u = sin v , v= t , t = x 2 + 1. g [ f (x)] .
f ( x) x2
u ⑵ y= e ,
例3
2 x 设 f ( x) = x , g ( x) = 2 , 求 f [g (x )],
解
f [ g ( x )]=[ g ( x )] =( 2 ) = 4 , g [ f ( x )] = 2
y ≠ arcsin(2 + x2 )
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复合条件在实际应用时常取形式 内层函数的值域落在外层函数的定义域之内 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成. 合构成
x y = u, u = cotv, v = . 2
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函数的运算 设函数 f ( x), g ( x) 的定义域依次为 D1 , D2 ,
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µ
指 数 函 数
定义: 叫做指数函数, 定义:函数 y = a 叫做指数函数, 是一个大于0,且不等于1的常量, 0,且不等于 其中 a是一个大于0,且不等于1的常量,函 数的定义域是R. 数的定义域是R. x
x
y=a
(a > 0, a ≠ 1) x ∈ R
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正割函数
余割函数
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y
y
O
x
O
x
y=sinx
y
y=cosx
y O
O
x
x
y=tanx
y=cotx
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反三角函数
y y y y
O
x
O
O x 1 x O 1 x
y=Arcsinx
y=Arccosx
y=Arctanx
y=Arccotx
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当 x = 1 时, y = 0 , 即过点 ( 1 , 0 ) 当0<x<1时, y > 0 时 当x>1时, y < 0 时 在 (0, +∞) 上是减函数