高等数学 初等函数
高等数学公式大全以及初等函数图像
高等数学公式
导数公式：
基本积分表：
三角函数的有理式积分：
2
22212211cos 12sin u du
dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ，
a
x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22=
'='⋅-='⋅='-='='2
2
22
11
)(11
)(11
)(arccos 11
)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-
='+=
'--
='-=
'⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==C
a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C
a a dx a C
x ctgxdx x C x dx tgx x C
ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x
x
)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222
22
22
2C a
x
x a dx C x a x
a a x a dx C a x a
x a a x dx C a x
arctg a x a dx C
ctgx x xdx C tgx x xdx C
x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2
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高等数学公式
导数公式：
基本积分表：
三角函数的有理式积分：
2
22212211cos 12sin u du
dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ，
a
x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22=
'='⋅-='⋅='-='='2
2
22
11
)(11
)(11
)(arccos 11
)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-
='+=
'--
='-=
'⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==C
a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C
a a dx a C
x ctgxdx x C x dx tgx x C
ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x
x
)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222
22
22
2C a
x
x a dx C x a x
a a x a dx C a x a
x a a x dx C a x
arctg a x a dx C
ctgx x xdx C tgx x xdx C
x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2
高等数学初等函数
复合函数的求导法则
反函数的定义和性质
反函数的求导法则
函数图像的描绘
函数图像的绘 制方法：描点 法、切线法等
函数图像的基 本特征：单调 性、周期性、
对称性等
函数图像的变 换：平移、伸
缩、翻转等
函数图像的识 别与分类：一 次函数、二次 函数、幂函数
等
初等函数的导数和
04
微积分
导数的概念和性质
导数的几何意义：在曲线上 某点的切线斜率。
函数在计算机 科学中的应用： 实现算法，处
理数据
常见问题的数学模型建立
线性回归模型：用于预测两个或 多个变量之间的关系
三角函数模型：用于解决周期性 问题
添加标题
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添加标题
添加标题
指数模型：描述增长或衰减过程
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分段函数模型：处理离散数据或 分段连续数据
利用初等函数解决实际问题的方法
建立数学模型：将实际问题转化为数学问题，利用初等函数表达实际问题中的变量关系。 求解方程：通过求解方程来找到实际问题的解决方案。 函数图像分析：利用函数图像来直观地理解实际问题，通过观察图像的变化趋势来解决问题。 数值计算：利用初等函数的性质和计算方法，对实际问题进行数值计算，得到近似解或精确解。
01
添加章节标题
初等函数的定义和
02
高等数学函数基本公式
１. 基本初等函数求导公式
(1) 0)(='C (2) 1
)(-='μμμx x
(3) x x cos )(sin ='
(4) x x sin )(cos -='
(5)
x x 2
sec )(tan =' (6)
x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='
(8) x x x cot csc )(csc -='
(9)
a a a x
x ln )(=' (10) (e )e x
x '=
(11)
a x x a ln 1
)(log =
'
(12)
x x 1)(ln =
'，
(13)
211)(arcsin x x -=
' (14)
211)(arccos x x --
=' (15)
21(arctan )1x x '=
+
(16)
21(arccot )1x x '=-
+
函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则
（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）
（3） v u v u uv '+'=')(
（4） 2v v u v u v u '-'='
⎪⎭⎫ ⎝⎛
反函数求导法则
若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应
区间
x
I 内也可导，且
)(1)(y x f ϕ'=
' 或 dy dx dx dy 1=
复合函数求导法则
设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为
高等数学第一章函数部分的知识点及例题
② 差运算： lim −
→0
③ 积运算： lim
→0
④ 商运算：
()
lim
→0 ()
=
→0
→0
= lim − lim
→0
→0
= lim ∙ lim
lim
→0
→0
→0
lim
൞
lim+ = 0
→0
例题、讨论下列函数的极限
1
−
e x2
1. 若f x = ൝
0
1
x
x2
x sin
1. f x = ቐ
a−
x ≠ 0 讨论f（x）在 = 0的连续性
x=0
x>0
x≤0
求a使得f（x）在x=0连续
一些结论：基本初等函数在定义区间都是连续的
一切初等函数在其定义域内是连续的
结论：
除0以外，无穷小于无穷大互为导数
无穷小与常数的乘积为无穷小
无穷小与有界函数的乘积为无穷小
例题、求下列函数的极限
（1）
3 +2 2
lim
→2 −2 2
arctan
（4） lim
→∞
sin
→∞
（2） lim
（3） lim sin
高等数学第二节初等函数
税率（%） 3 10 20
写出个人月收入x （不大于12500元）元与应缴纳税款y元 之间的关系，当某人月收入为6500元时，应缴纳多少税款？
解： 依此可以列出下面的函数关系：
0,
0 x 3500
y
(x (x
-Fra Baidu bibliotek
3500) 3500)
第二节初等函数
一、基本初等函数 二、复合函数 三、初等函数 四、建立函数关系举例
一、基本初等函数
1 、常数函数 y C y
O
yc
x
函数定义域为R，只有一个函数值
1.1 函数
2、幂函数
y x y
y x2
1
(是常数)
y x y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
随着而不同，但在(0, )中都有定义；经过点 (1,1)， 在(0, )内当 0时，x为增函数； 0时，x为减函数
解
y y 设通话x分钟，中国联通收费 1 元，中国移动收费 2 元
则
y1 36 0.4x, y2 0.6x
令y1 y2，得x 180
即如果他每月通话180分钟，可随意选择一处
当x 180，y1 y2，
即如果他每月通话大于180分钟，应选择中国联通
当x 180，y1 y2，
即如果他每月通话小于180分钟，应选择中国移动
高等数学第二节初等函数
则 d ksv2
因为当v=50km/h，d=s，则有 s=2500ks 所以k=1/2500
即d与v间的函数模型为 d 1 sv2 2500
s （2） d
即v 2500 25 2
2
2
所以车速最小为25 2 km/h时，才能使此地段车流量最大
（3） y sin x 1
cot x 2
解 : （1） y u 2， u cos x
（2）
y
u，
u cot，
x
2
（3） y sin u,u v, v x 1
注意: （1）不是任何两个函数都可以复合成一 个复合函数的; Z Df ——复合条件
（2）复合函数可以由两个以上的函数复合 而成. （3）分析一个复合函数的复合过程时，
余弦函数： y=cos x
函数图象关于 y 轴对称，是偶函数；
是周期函数，周期为2 ；
cos x 1，是有界函数。
正切函数： y=tan x
y
y=tan x
-
2
O
2
函数图象关于原点对称，是奇函数；
是周期函数，周期为 ；
当 x (k - , k ), k Z 时，
今后我们所讨论的函数，绝大多数都是初等函数。
高等数学 第一节 函数的概念
, )
2 2
是y tan x的反函数，在定义域上 单调递增，
奇函数，无周期，上界 y
2
，下界 y
2
反正切函数y=arctanx,x∈R的图象与性质
y tan x, x (
(1)定义域:R
(2)值域: (
2
2
, )
2 2
, )
2 2
yx
3
2.5
yR
1.5
记作
因变量
.
自变量
当x0 A时, 称f ( x0 )为函数在点 x0处的函数值 .
函数值全体组成的数集
B { y y f ( x), x A} 称为函数的值域.
函数的两要素: 定义域与对应法则.
(
A
x
x0 )
对应法则f
自变量
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义
的一切实数值.
当0 a 1时，a x为减函数；当a 1时，a x为增函数
4、对数函数y = loga x(a > 0且a ≠ 1)
y log a x ( a 1)
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3
2
1
2
4
6
8
-1
-2
-3
高等数学初等函数习题答案
高等数学初等函数习题答案
高等数学初等函数习题答案
高等数学作为大学本科阶段的数学课程，是一门较为重要的学科。其中，初等
函数是高等数学的基础内容之一，也是数学中最为常见和重要的函数类型之一。学习初等函数的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以帮助学
生巩固所学知识，提高解题能力。下面将对一些常见的高等数学初等函数习题
进行解答。
1. 求函数 f(x) = x^2 - 3x + 2 的零点。
解：要求函数的零点，即求函数 f(x) = x^2 - 3x + 2 = 0 的解。我们可以使用因
式分解或者配方法来求解该方程。
首先，我们可以尝试因式分解：x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0。因此，方程的解为 x = 1 或 x = 2。
其次，我们可以使用配方法：x^2 - 3x + 2 = (x - 1.5)^2 - 0.25。因此，方程的
解为x = 1.5 ± 0.5。
综上所述，函数 f(x) = x^2 - 3x + 2 的零点为 x = 1, 2 或x = 1.5 ± 0.5。
2. 求函数 f(x) = e^x + 2 的反函数。
解：要求函数的反函数，即求函数 f(x) = e^x + 2 的反函数 g(x)。我们可以通过
交换自变量和因变量来求解。
首先，将 f(x) = e^x + 2 转化为关于 x 的方程：y = e^x + 2。
然后，将 y 与 x 互换位置：x = e^y + 2。
接下来，解出 y：y = ln(x - 2)。
因此，函数 f(x) = e^x + 2 的反函数为 g(x) = ln(x - 2)。
高等数学中的基本初等函数
高等数学中的基本初等函数
数学历来都是科学研究的主要工具，数学函数也可以将研究物理、化学、经济、工程等方面的问题分析和求解。其中，初等数学函数又是数学函数中的重要内容。初等数学函数是指由若干种变量的运算表达式组成的函数，它以常见的幂、对数、三角、双曲等函数体系为基础，经过一定变换形成了一个完整的函数系统。这些函数在学科研究中都有广泛的应用。
初等数学函数是指一些基本的函数，如常见的幂函数、对数函数、三角函数、双曲函数等。常见的幂函数是指将变量x记作一个数字的函数，将x的数字改变乘以一个常数，并称之为幂函数。例如，
f(x)=x^2表示x的平方，f(x)=x^3表示x的立方。对数函数是指将
变量x记作一个数字的函数，将x的数字改变求以一个常数为底的对数，称之为对数函数。例如，f(x)=log2x表示以2为底的x的对数，f(x)=logax表示以a为底的x的对数。
三角函数是由经典三角几何中的三角大小关系推出的函数，并在广泛的数学研究中得到了广泛的应用。例如，sin(x)表示x弧度的正弦值，cos(x)表示x弧度的余弦值，tan(x)表示x弧度的正切值，cot(x)表示x弧度的余切值，sec(x)表示x弧度的正割值，和csc(x)表示x 弧度的余割值。
双曲函数是双曲线在数学研究中极为重要的初等函数，用以表示椭圆形、双曲线形势场和椎体形等几何体的曲率、旋转、延长等形态变化。例如，sinh(x)表示x的双曲正弦值，cosh(x)表示x的双曲余
弦值，tanh(x)表示x的双曲正切值，coth(x)表示x的双曲余切值，sech(x)表示x的双曲正割值，和csch(x)表示x的双曲余割值。
高等数学中的基本初等函数
高等数学中的基本初等函数
高等数学是生活中最常用到和最重要的数学科目之一，它将数学与实际应用结合起来，使其能够更好地指导和解决实际问题。它大量地使用函数概念，而基本初等函数是高等数学中最基本和最重要的函数类型之一。
基本初等函数是指一元多项式函数、根式函数、指数函数和对数函数。一元多项式函数是最基本的初等函数，它包含有定义域和值域，其中定义域由可以实现唯一解的自变量组成，而值域是可以实现唯一解的值的集合，即由函数值组成。一元多项式函数可以表示为指数、根式或对数函数。
根式函数是一种一元多项式函数的推广，它的定义域和值域同样由可以实现唯一解的自变量和值组成，只是在定义函数的时候把变量替换成根式，而值域仍然是可以实现唯一解的值的集合。根式函数的结构比一元多项式函数更复杂，因此需要更多的技术手段来解决。
指数函数是一元多项式函数和根式函数的推广，它的定义域和值域也是由可以实现唯一解的自变量和值组成，只是变量替换成指数，而值域也仍然是可以实现唯一解的值的集合。指数函数的结构比根式函数更复杂，因此需要更多的技术手段来解决。
对数函数也是一元多项式函数、根式函数和指数函数的推广，它的定义域和值域是由可以实现唯一解的自变量和值组成，只是变量替换为对数，而值域也仍然是可以实现唯一解的值的集合。对数函数的结构比指数函数更复杂，因此需要更多的技术手段来解决。
由上可知，基本初等函数在高等数学中起着非常重要的作用，它们通过自变量和函数值的结合，可以在不同的尺度上发挥不同的作用。他们的结构虽然复杂，但仍然可以通过正确的方法得到有用的结果，而这就是数学的魅力所在。
《高等数学》初等函数
初等函数
一、基本内容
1. 基本初等函数
(1) 幂函数：幂函数αx y =（α是任意实数）。
（2）指数函数：x a y =（a 为常数，且0>a ，1≠a ）。
（3）对数函数：x y a log =（a 为常数，且0>a ，1≠a ）。
（4）三角函数：
正弦函数x y sin = 余弦函数x y cos =
正切函数x y tan = 余切函数x y cot =
正割函数x y sec = 余割函数x y csc =
（5）反三角函数：
反正弦函数x y arcsin =，是正弦函数在区间]2
,2[ππ-上的反函数。 反余弦函数x y arccos =，是余弦函数在区间],0[π上的反函数。
反正切函数x y arctan =，是正切函数在区间)2
,2(ππ-上的反函数。 反余切函数x arc y cot =，是余切函数在区间),0(π上的反函数。
2. 复合函数：
（1）定义：设函数)(u f y =的定义域为f D ，函数)(x u ϕ=的值域为ϕR ，若φϕ≠=M R D f ，则在M 内通过变量u 确定了一个y 是x 的函数，记作)]([x f y ϕ=，该函数称为x 的复合函数。其中x 称为自变量，y 称为因变量，u 称为中间变量。
（2）复合函数的分解原则：把一个复合函数分解成基本初等函数或基本初等函数的四则运算。
3. 初等函数：常数和基本初等函数经过有限次的四则运算与复合所构成的，并可用
一个式子表示的函数。
*4. 双曲函数：
双曲正弦函数 2
x
x e e shx y --==， ),(+∞-∞∈x 双曲余弦函数 2
高数1_2初等函数
y = sinx是有界函数,其图形位于直线y=-1与直线y=1之间 y = sinx是奇函数,
其图形关于原点对称
y = sinx是周期函数, T 2
在 2k , 2k 上, y sin x是增函数(k Z) 2 2
3 在 2 k , 2 k 上, y sin x是减函数( k Z ) 2 2
三、初等函数
定义 由基本初等函数及常数经过有限次四则运算及复合 运算所构成的，且用一个解析式表示的函数，叫做初等函数.
例如， y lg sin 2 x ,
y 3 tan x
y e2 x cos(2x 1) 都是初等函数.
说明：① 高等数学中所讨论的函数绝大多数都是初等函数； ② 今后在微积分运算中，常常需要把一个初等函数分 解为基本初等函数或基本初等函数的四则运算形式 .
第一章
第二节 初等函数
一、基本初等函数 二、复合函数 三、初等函数
一、基本初等函数
幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数
1.幂函数 (1)定义：函数 y x （ 是常数）. 不论μ取什么值，幂函数在（0，+∞）内总是有定 义的. ⑵ 图形及其主要性质 当μ>0时，图象过 (0，0) 点与(1，1)点，在(0，+ ∞) 是单调增加的；
y = arctanx是增函数
初等函数(高等数学课件
正切函数 定义 性质
余切函数 定义 性质
函数的单调性及其判定方法
什么是单调函数？
如何判定单调性？
单调函数是保持增减关系的函数。
可以通过导数或一阶导数的符号 来判定函数的单调性。
单调递减函数
函数值随自变量递减的函数。
函数的周期性及其判定方法
1
周期性定义
函数在某个区间内与其在该区间外的部分完全相同。
性质
它们具有整数次幂、可加性和可乘性的特点。
指数函数和对数函数的定义
1
指数函数
指数函数是以自然常数e为底的幂函数。
对数函数
2
对数函数是指数函数的逆运算。
3
性质
它们具有特定的增长和衰减规律，应用 广泛。
三角函数的定义和性质
正弦函数 定义 性质
余弦函数 定义 性质
三角函数是描述角度和周期性现象的重要工具。
初等函数在实际问题中的应用
1 数学模型
利用初等函数构建数学模型，解决实际问题，如物体的抛体运动等。
2 经济学
初等函数在经济学中广泛应用，如收益函数、成本函数、供需曲线等。
3 物理学
初等函数用于描述物理现象，如波动、震动、电路等。
初等函数(高等数学课件)
初等函数的详细介绍，包括定义、性质、运算、图像以及实际应用等内容。
什么是初等函数？
大学初等函数教案
课程名称：高等数学
授课班级：XX班
授课时间：2课时
教学目标：
1. 理解并掌握初等函数的基本概念和性质。
2. 掌握初等函数的图像和性质，能够绘制基本的初等函数图像。
3. 熟练运用导数和积分的基本概念，解决实际问题。
教学重点：
1. 初等函数的基本概念和性质。
2. 初等函数的图像和性质。
3. 导数和积分的基本概念及应用。
教学难点：
1. 初等函数的图像和性质的理解与应用。
2. 导数和积分的基本概念在实际问题中的应用。
教学过程：
第一课时
一、导入
1. 复习高中数学知识，引入初等函数的概念。
2. 提问：什么是初等函数？举例说明。
二、讲授新课
1. 初等函数的基本概念和性质
- 定义：由常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等通过有限次四则运算和复合运算构成的函数。
- 性质：奇偶性、周期性、连续性等。
2. 初等函数的图像和性质
- 举例说明基本初等函数的图像。
- 讲解函数图像的变化规律。
三、课堂练习
1. 绘制给定函数的图像。
2. 判断给定函数的奇偶性和周期性。
四、课堂小结
1. 总结本节课所学内容。
2. 强调初等函数的基本概念、性质和图像。
第二课时
一、复习导入
1. 回顾上一节课所学内容。
2. 提问：什么是导数？什么是积分？
二、讲授新课
1. 导数的基本概念
- 定义：函数在某一点的导数表示该点处函数曲线的切线斜率。 - 求导法则：四则运算法则、复合函数求导法则等。
2. 积分的基本概念
- 定义：函数的积分表示函数图像与x轴围成的面积。
- 积分法则：不定积分、定积分等。
三、课堂练习
1. 求给定函数的导数。
高等数学函数
高等数学函数 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
§1函数
本节内容: 一、邻域 二、函数的概
念
三、基本初等
函数
四、复合函数 五、初等函数
一、邻域
1.定义1:设,a R R δ+
∈∈,则
—点a 的δ邻域
a —(,)U a δ的中心,
δ—(,)
U aδ的半径.
2.定义2:
—点a的去心δ邻域
二、函数的概念
f——定义在D上的函数; D——定义域;
x——自变量; y——因变量;
() f x
0——x
处的函数值;
{}
(),
W y y f x x D
==∈——值域.
注意:函数的两个要素——定义域和对应法则.
补例1求下列函数的定义域.
(1)y =1
(2)ln y x =+1
2
.
三、基本初等函数
基本初等函数指下列5类: 幂函数
是常数()y x μ
μ=
指数函数 是常数(,,)x y a a a a =>≠01
对数函数
是常数log (,,)a y x a a a =>≠01
三角函数
sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc y x y x y x y x y x y x
======
反三角函数
arcsin ,arccos ,arctan ,arccot y x y x y x y x ====
(一)幂函数 1.幂函数的定义: 2.幂函数的图形与性质:
(a)μ取不同值,幂函数的定义域与值域均
可能不同;
(b)对任意μ,函数图形都过点(1,1);当0μ>时,图形过点
(0,0)和(1,1);
图1-2
2
x -1
图1-1
2
(c)当0μ>时,幂函数在(0,)+∞为单调递增函数;
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Q cot(− x) = − cot( x) 奇偶性： 奇偶性： ∴ 余切函数是奇函数，正切曲线 关于原点0对称 单调性： 单调性：余切函数在开区间
内都是减函数。
( kπ , π + k π ) , k ∈ Z
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f 商 : g
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三. 初等函数
由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步 骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 . 否则称为非初等函数 .
x , x ≥ 0 可表为 y = x2 , 故为初等函数. 例如 , y = − x , x < 0 又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
D = D1 ∩ D2 ≠ Φ ,则我们可以定义这两个函数的
下列运算: 和(差) f ± g : ( f ± g )( x) = f ( x) ± g ( x), x ∈ D; 积 f ⋅g:
( f ⋅ g )( x) = f ( x) ⋅ g ( x), x ∈ D;
f f ( x) ( )( x) = , x ∈ D \{x | g ( x) = 0, x ∈ D} g g ( x)
ymin= −1
x = kπ +
目录
f(x)= 0
x = kπ (k ∈ Z)
π
2
(k ∈ Z)
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f(x)=sinx 图 象 2π 奇函数 单调增区间: 单调增区间: 单调性
[− + 2kπ, + 2kπ ](k ∈ Z) 2 2
f(x)= cosx
x
x
周期性 奇偶性
π
2π 偶函数 单调增区间: 单调增区间:
3(3x +1) +1
9x + 4 , x < 0
=
3x +1, 0 ≤ x <1
x, x ≥1
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内容小结
1. 基本初等函数的性质 2. 复合函数 3. 初等函数的结构
第二节 目录
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作业
P13 1 (1)(2) ; 2 (3); 4
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0<a<1
a>1
图 象
定义域: ( −∞, +∞) 定义域:
性 质
值域: 值域:
(0, +∞)
当x>0时, y > 1 时 当x<0时, 0 < y < 1 时
在 ( −∞, +∞) 上是增函数
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当 x = 0 时, y = 1 , 即过点 ( 0 , 1)
当x>0时, 0 < y < 1 时 当x<0时, y > 1 时 在 ( −∞, +∞) 上是减函数
1
0 -1 π
2
π
3π 2
2π x 0
π
2
π
3π 2
2π x
-1
R [−1,1] −
x = 2kπ +
π
R [−1,1] −
x = 2kπ (k ∈ Z) 时
最
值
ymax=1
x = 2kπ −
2
(k ∈ Z) 时 (k ∈ Z) 时
π
2
ymax=1
x = 2kπ + π (k ∈ Z) 时
ymin= −1
( 自学, P12 – P13 )
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非初等函数举例: 符号函数
当x>0 当x=0 当x<0
y 1
O
−1
x
取整函数 当
y
− 2−1
O 12 3 4 x
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例1 是由哪些函数复合而成的. 是由哪些函数复合而成的. 解
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例2
分析下列复合函数的结构： 分析下列复合函数的结构：
对 数 函 数
求 y = a ( x ∈ R, a > 0, a ≠ 1) 的反函数
x
解: y = a x ( x ∈ R )的值域为(0, +∞ ),即 y > 0
y = a ⇒ x = log a y
x
反函数为: 反函数为: y = log a x ( x > 0, a > 0, a ≠wenku.baidu.com1) 对数函数
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反余切函数 y = arc cot x
定义域： 定义域 （ − ∞, +∞） 值域： 值域： 奇偶性： 奇偶性：
π
π
2
y = arc cot x
(0, π )
无
单调性： （ 单调性： 在 − ∞, +∞)单调递减 有界性： 有界性： 有界函数
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二、复合函数
定义: 定义
注意: 不是任何两个函数都可以复合成一个复 注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的; 合函数的 ——复合条件 复合条件
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反余弦函数
y = arccos x
定义域： [-1，1] 定义域 值域： 值域： 奇偶性： 奇偶性：
y
y = arccos x
[0, π ]
无
π
π
2
单调性： 单调性： 在 [-1，1] 单调递减 有界性： 有界性： 有界函数
−1
x
O 1
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⑷反余切函数 y = arccot x ( x ∈ R) ,值域为 (0,π )
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反正弦函数
y = arcsin x
定义域： [-1，1] 定义域 值 域： [ −
π
y
2
π π
, ] 2 2
y = arcsin x −1
O
1x
奇偶性： 奇偶性： 奇函数 单调性： 单调性： 在 [-1，1] 单调递增 有界性： 有界性： 有界函数
−π 2
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因为这个区间是最简单的,且每一个余弦值都对应一个 因为这个区间是最简单的 且每一个余弦值都对应一个 角在这个区间,且是余弦函数的一个单调区间 且是余弦函数的一个单调区间. 角在这个区间 且是余弦函数的一个单调区间
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反正切函数 y = arctan x
定义域： 定义域 （ − ∞, +∞） π π 值域： 值域： (− , )
2 2
y
y = arctan x
π
2
o
−
π
2
x
奇偶性： 奇偶性： 奇函数 单调性： （ 单调性： 在 − ∞, +∞)单调递增 有界性： 有界性： 有界函数
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当 x = 1 时, y = 0 , 即过点 ( 1 , 0 ) 当0<x<1时, y > 0 时 当x>1时, y < 0 时 在 (0, +∞) 上是减函数
三角函数
三角函数常用公式
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f(x)=sinx
y y
f(x)= cosx
1
图 象 定义域 值 域
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正切函数的性质： 正切函数的性质： 定义域： 定义域： 值域： 值域： 周期性： 周期性：
π x | x ≠ + kπ , k ∈ Z 2
全体实数R 正切函数是周期函数， 最小正周期T= π
奇偶性： 奇偶性：
∴ 正切函数是奇函数，正切曲线
关于原点0对称
Q tan(− x) = − tan( x)
为减函数 定点
[0, +∞)为
(1,1)
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的性质: 幂函数 y = x 的性质
•所有幂函数都经过第一象限,并且都通过点(1,1), 所有幂函数都经过第一象限,并且都通过点(1,1), 所有幂函数都经过第一象限 (1,1) 但不通过第四象限. 但不通过第四象限. •当 µ > 0 时,幂函数经过原点(0,0),在 (0, +∞) 为 当 幂函数经过原点(0,0), (0,0),在 增函数. 增函数. •当µ < 0 时, 在 (0, +∞)为减函数,图像向上与y轴 当 减函数,图像向上与y 无限地接近,向右与x轴无限地接近. 无限地接近,向右与x轴无限地接近. •当 µ 为奇数时, 幂函数为奇函数;当µ 为偶数时, 当 奇数时 幂函数为奇函数; 偶数时 幂函数为偶函数. 幂函数为偶函数. •当µ = 0 时, 函数为常数函数 y = 1 当
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µ
指 数 函 数
定义: 叫做指数函数, 定义:函数 y = a 叫做指数函数, 是一个大于0,且不等于1的常量, 0,且不等于 其中 a是一个大于0,且不等于1的常量,函 数的定义域是R. 数的定义域是R. x
x
y=a
(a > 0, a ≠ 1) x ∈ R
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定义域: 定义域:(0, +∞ )
ln x 换底公式：log a x = ln a
A > 0, A =
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e
ln A
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0<a<1
a>1
图
( 1, 0)
象
定义域: (0, +∞) 定义域:
( 1, 0)
性 质
值域: 值域:
( −∞, +∞)
当0<x<1时, y < 0 时 当x>1时, y > 0 时 在 (0, +∞) 上是增函数
2 3
1 2
−1
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y=x y=x y=x y=x y=x
2 3
1 2
−1
定义域 值域
R R
R
[0, +∞)
偶函数
R R
[0, +∞) {x | x ≠ 0} [0, +∞) { y | y ≠ 0}
奇偶性 奇函数
奇函数 非奇非偶 奇函数
(−∞,0) U 增函数, 增函数 增函数, 增函数 [0, +∞)为 (0, +∞) 单调性 为 增函数 (−∞,0] 减函数
第一章
第二节
初等函数
一、基本初等函数 二、复合函数 三、初等函数
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一、基本初等函数
幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数
幂 函 数
定义: 称为幂函数,其中x是 定义:函数 y = x 称为幂函数,其中 是
自变量, 自变量
µ
µ是常数 是常数.
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画出 y = x , y = x , y = x , y = x , y = x 的图像
解
u = sin v , v= t , t = x 2 + 1. g [ f (x)] .
f ( x) x2
u ⑵ y= e ,
例3
2 x 设 f ( x) = x , g ( x) = 2 , 求 f [g (x )],
解
f [ g ( x )]=[ g ( x )] =( 2 ) = 4 , g [ f ( x )] = 2
[π + 2kπ,2π + 2kπ ](k ∈ Z)
π
单调减区间: 单调减区间:
3π [ + 2kπ, + 2kπ ](k ∈ Z) 2 2
单调减区间: 单调减区间:
π
[2kπ ,π + 2kπ ](k ∈ Z)
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y = tan x
3π − 2
−
π
2
π
2
3π 2
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2
x 2
x
= 2 .
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3x +1, x <1 求 f [ f (x)]. 例4. 设函数 f (x) = , x ≥1 x , x 换为 f (x) 解:
3 f (x) +1, f (x) <1 f [ f (x)] = f (x) ≥1 f (x) ,
x<0
y ≠ arcsin(2 + x2 )
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复合条件在实际应用时常取形式 内层函数的值域落在外层函数的定义域之内 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成. 合构成
x y = u, u = cotv, v = . 2
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函数的运算 设函数 f ( x), g ( x) 的定义域依次为 D1 , D2 ,
正割函数
余割函数
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y
y
O
x
O
x
y=sinx
y
y=cosx
y O
O
x
x
y=tanx
y=cotx
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反三角函数
y y y y
O
x
O
O x 1 x O 1 x
y=Arcsinx
y=Arccosx
y=Arctanx
y=Arccotx
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单调性： 单调性： 正切函数在开区间 − π + kπ , π + kπ , k ∈ Z 2 2 内都是增函数。
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y
y = cot x
−π
−
π
2
o
π
2
x π
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余切函数的性质： 余切函数的性质：
{ 定义域： 定义域： x | x ≠ kπ , k ∈ Z }