第三节 接磁感应强度

F = BIL sin ϕ
方向：×
均匀磁场中，弯曲载流导线所受磁场力与从起点到 终点间载有同样电流的直导线所受的磁场力相同。
练习： 求电流I在磁场中所受的力
× a × × × o × × × b ×
r B× R × I × ×
× × × I × × × ×
r × B×
× I× ×
I1
I
F = BI⋅ 2R
-ϕ
r r r f = −evd × B
方向：×
大小： f = − e v d B s in θ 电流元 电流元
r Idl 的截面积为S，单位体积中有n个自由电子。
中的自由电子数：
磁场作用在电流元上的力为： r
v v r d F = ( nS d l ) ⋅ f = ( nS d l )( − ev d × B )
其会回到平衡位置。
P
M
r F2
r F1
O
r B r en
PP O ) ) ( (O P (O )
rr F r F 22 F2
⋅ ⋅⋅
r r er r en n en
r F2
M (N )
⊗
r F1
I
N
M ( ( N) ) MN Mr( N )
F 1r F1 F1
⊗⊗ r⊗
B
r en
⋅
P (O )
r B
例1： 均匀磁场中弯曲导线所受磁场力
I
r 解： 在导线上取电流元 Idl
r Idl
ϕ
r L
b r
B
其所受安培力
r r r d F = Id l × B
r r Q ∫ dl = L
a
r r r ∫ d F = ∫ Id l × B r r = I ( ∫ dl ) × B r F =
∴
r r r F = IL × B
y
J
K
r r r F1 = − BI (2 R ) k = − 2 BIRk
Q
o
P
R
x
半圆JQP受力与 JOP 相同。
z I
r B
r r r r r F2 = BI (2 R ) k = 2 BIRk ∴ F1 = −F2 r r r = 2 × 0.08 × 20 × 0.20 k = 0.64 k ( N ) ∴ F = 0
r r ② en ⊥ B , ห้องสมุดไป่ตู้ = π , 2
M = max = ISB
r r r ③ e n // − B , θ = π , M = 0
～线圈处于非稳定平衡态。 只要外界有轻微扰动而使线圈稍稍稍偏离该平衡 r r 位置，磁场产生的力矩使其继续偏转，直到 en // B 为止；即回到稳定平衡位置。
F1
r F3 l1
M
P
ϕ
θ
r F2 r B
r l2
N
r r Q Idl ⊥ B ∴ F1 = F2 = BIl2 r r F1 = − F2 ～不在同一条直线上
∴ MN、OP所受合力为零；但合力 矩不为零。 合力矩大小为：
r F4
r en
O
I
r F2
θ
M (N )
⋅
θ
P (O )
⊗
r F1
r r B en
+4
dB =
µ 0 Idl
4π R
sin 450 2
毕奥---萨伐尔定律 萨伐尔定律应用举例 二 毕奥 萨伐尔定律应用举例 载流长直导线的磁场. 例1 载流长直导线的磁场
v dB 方向均沿
z
D
θ2
解 dB =
x 轴的负方向 µ 0 Idz sin θ
4π
dz
I
θ
z
θ1
v r
a
v dB
* y P
Idz sinθ B = ∫ dB = ∫ 2 CD 4π r
M = F1l1 sin θ = BIl2l1 sin θ = BIS sin θ
S = l1l2
r r r r m = IS e n ～线圈的磁矩 F M r ⋅ P (O ) r r r r θ 线圈所受 M = ISen × B = m × B M ( N ) r θ ⊗ 磁力矩： r B r r r en F 若线圈有N匝： m = N IS e n r r r r r M = NISen × B = m × B ～此结论具有普遍意义。
=∫
2πR
o
= 2πRIB sin α
三 、磁场作用于载流线圈的磁力矩 如图，矩形载流线圈MNOP放在均 r 匀磁场 B 中。 r 规定：线圈平面的单位矢量 en 的方向与线圈中电流I的流向构 成右手螺旋关系。(右手定则) ① PM、NO边受力情况：
M
r F3 l1
P
ϕ
θ
r F2 r B
r l2 F1
v Idl
v dB
v v v µ0 Idl × r dB = 3 4π r
v dB
P *
v r
θ
v Idl
I
dB =
µ0 Idl sin θ dl
4π r
2
v r
µ0 = 4π ×10−7 N ⋅ A−2 真空磁导率
任意载流导线在点 P 处的磁感强度 磁感强度叠加原理
v v v v µ0 I dl × r B = ∫ dB = ∫ 3 4π r
2 1
注意： 上式不仅对矩形线圈成立，对于匀强磁场中任意形状 的平面线圈均成立；而且，对于带电粒子沿闭合回路运 动以及带电粒子自旋磁矩被看成为载流线圈时所受到的 磁力矩也适用。 所以，今后讨论磁介质、原子结构及原子核结构时， 均会用到磁矩的概念。
讨论：
r r r ① e n // B , θ = 0 , M = 0 ～线圈处于稳定平衡态。 r 若外界的扰动使线圈稍有偏转，磁场产生的 M 使
Q I = nev d S v r r ∴ dF = ( nSdl )( −evd × B ) v v = Idl × B
磁场对电流元的作用规律：
r vd
θ
r Id l
I
r B
-ϕ
v dF
v Idl
-
v v v dF = Idl × B
～安培定律
安培定律：一个电流元在磁场中 v 所受磁场力为电流元 Idl 与磁感 v 应强度 B 的矢量积。 一段有限载流导线在磁 场中受力为：
②用两种方法求力矩: 方法一：由力矩的定义
y
x Idlr
θ
dθ
r x o 选取电流元 Idl R r r r r B I z dF = Idl × B r r r dF = − Idl ⋅ B ⋅ sin(π − θ ) ⋅ k = − Idl ⋅ B ⋅ sin θ ⋅ k r r r r r r 电流元 Idl 所受力矩： dM = x × dF Q x ⊥ dF r r r ∴ dM = xdF ⋅ j = IdlB x sin θ ⋅ j r r Q x = R sin θ 2 2 ∴ dM = IBR sin θ ⋅ dθ ⋅ j dl = R d θ
z = −a cotθ , r = a / sinθ
µ0
r
2
x
C
o
dz = adθ / sin2 θ
B=
4 π a ∫θ
µ0 I
θ2
1
sin θ d θ
B=
4 π a ∫θ
µ0 I
θ2
1
sin θ d θ =
（cosθ 1 − cosθ 2） 4πa
µ0 I
v B 的方向沿 x 轴的负方向. 轴的负方向
r 设：v d ～电流元内自由电子定
向漂移速度；
r vd
r r 方向： v d // − Id l
--
r Id l
I
r B
v v ϕ ( Idl , B ) 夹角为： r v θ ( v d , B ) 夹角为：
θ = π −ϕ r
r Id l
I
vd
θ
r B
由洛仑兹力公式，一个电子 在磁场中受力：
ϕ
I
v B
v F =
∫
l
v v Id l × B
注意：①载流直导线在均匀磁场中受力： I L
ϕ r
B
F = ∫ IBsinϕdl = IBLsinϕ
L
方向由
v v v dF = Idl × B 决定。
②一般而言，各电流元受安培力大小与方向都不一 样，则求安培力时应将其分解为坐标分量后，再求 和。
F = ∫ dF Fy = ∫L dFy F = ∫L dF z z x x L r r s r F = Fxi + Fy j + Fz k
π θ1 → 2 θ 2 →π
BP =
µ0I
4π r
I
o
r
* P
圆形载流导线的磁场. 例2 圆形载流导线的磁场 真空中 , 半径为R 的载流导线 , 通有电流I , 称圆 的磁感强度的方向和大小. 电流. 电流 求其轴线上一点 p 的磁感强度的方向和大小
v Idl
r
v B
v dB
p *
o
R
ϕ
v B
N
r F4
r en
O
I
分析：线圈各边受力～四条边均受磁场力。 由安培定律： F3 = BIl1 sin(π − ϕ ) = BIl1 sin ϕ
F4 = BIl1 sin ϕ
r r F3 = − F4 ～在一条直线上 r r r 力学中力矩： M = r × F
∴ PM、NO所受合力、合力矩均为零 ② MN、OP边受力情况：