第26章二次函数压轴题总复习课件

若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
判别式： b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c （a≠0）
图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的根
有两个不同的 解x=x1，x=x2
与x轴有两个不 b2-4ac＞0 同的交点 （x1 ，0） （x2 ，0）
y
O
x y
a=-2,b=4,c=0
4、a，b，c符号的确定
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定 开口向上 开口向下 a>0 a<0
（2）C的符号： 由抛物线与y轴的交点位置确定. 交点在x轴上方 交点在x轴下方 经过坐标原点
c>0
c<0 c=0
（3）b的符号： 由对称轴的位置确定 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴
(6)a-b+c的符号：
因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c的符号由x=-1时， 对应的y值决定。 当x=-1，y>0,则a-b+c>0 当x=-1，y<0,则a-b+c<0 当x=-1，y=0,则a-b+c=0
练习：
1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示，则a、b、c的符号为（ ） A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0 C、a<0,b<0,c<0 D、a>0,b<0,c=0
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
开口向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
二次函数知识点导航：
• • • • • • • • 1、二次函数的定义 2、二次函数的图像及性质 3、求解析式的三种方法 4、a，b，c及相关符号的确定 5、抛物线的平移 6、二次函数与一元二次方程的关系 7、二次函数的应用题 8、二次函数的综合运用
1、二次函数的定义
• 定义： y=ax² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常 数， a ≠ 0 ） • 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式
当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0有两个不相等的实数根
b b 2 4ac x1, 2 . 2a 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0有两个相等的实数根 : b x1, 2 . 2a 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0 没有实数根
二次函数y=ax² ＋bx＋c的图象和x轴交点的横坐标， 便是对应的一元二次方程ax² ＋bx＋c=0的解。 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: (1)有两个交点 b2 – 4ac > 0 (2)有一个交点 b2 – 4ac= 0 (3)没有交点 b2 – 4ac< 0
(4) 由图象可知：
当-3 < x < 1时，y < 0 当x< -3或x>1时，y > 0 y
•
(-3,0)
(1,0) x 0
•
• • • (-1,-2)
3 (0,-– 2)
3、求抛物线解析式的三种方法
1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解 y=ax2+bx+c(a≠0) 析式为________________ 2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k）， y=a(x-h)2+k(a≠0) 通常设抛物线解析式为_______________
A
y x
o
2、二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0， 那么这个二次函数图象的顶点必在第 四 象限 先根据题目的要求画出函数的草图，再根据 图象以及性质确定结果（数形结合的思想） y x
3、已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a 其中正确的结论的个数是（ D） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
左加右减，上加下减
引申：y=2(x+3)2-4
y=2(x+1)2+2
3、由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以得 到函数y=x2-5x+6的图象.
5 1 2 y=x2-5x+6 ( x ) 2 4
y=x2
5 2 1 y (x ) 2 4
6、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程根的情况与b² -4ac的关系 • 我们知道:代数式b² -4ac 对于方程的根起着关键 的作用.
（4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定 与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 a、b同号 a、b异号 b=0
（5）a+b+c的符号：
因为x=1时,y=a+b+c,所以a+b+c的符号由x=1时， 对应的y值决定。 当x=1时，y>0,则a+b+c>0 当x=1时，y<0，则a+b+c<0 当x=1时，y=0，则a+b+c=0
分析:
(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)
(2) 新抛物线向右平移5个单位, 再向上平移4个单位即得原抛物线 答案:y=-x2+6x-5
开口向上，对称轴x=-1，顶点（-1，-2）
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两 点，求C，A，B的坐标。
3 2)
C(0，
A(-3,0)
B(1,0)
（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时， y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
（4）x为何值时，y<0？x为² ，y=2x² ，y=100-5 x² ， x
2 个。 • y=3 x² -2x³ +5,其中是二次函数的有____
=2 时,函数y=(m+1)χ 2.当m_______
是二次函数？
m2 m
- 2χ+1
2、二次函数的图像及性质 y
y 0 x 0 x
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值
3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) (x2,0),通常设解析式为_____________
练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。 (1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(2)已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴 16 上,则c=＿＿＿＿ .
(3)一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根 是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 （-2、0）、（5/3 、0）. x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿ ＿＿
7、二次函数的综合运用
1、若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的 顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.
y
-1
0
1
x
要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方 向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的 交点的位置，注意运用数形结合的思想。
5、抛物线的平移
练习 1、二次函数y=2x2的图象向 下 平移 3 个单位可得 到y=2x2-3的图象； 二次函数y=2x2的图象向 右 平移 3 个单位可得到 y=2(x-3)2的图象。 2、二次函数y=2x2的图象先向 左 平移 1 个单位， 再向 上 平移 2 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的 图象。
开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
b 4ac b 2 当x 时, y最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, y最大值为 2a 4a
例 1：
已知二次函数
1 2 3 y x x 2 2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
O
b2-4ac=0
与x轴有唯一个 交点 ( b ,0)
2a
x y
O
有两个相等的 解 b x1=x2=
2a
b2-4ac＜0
与x轴没有 交点
没有实数根 x
例(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个 1 相等的实数根,则m=＿＿＿＿ ,此时抛物线 y=x21 2x+m与x轴有＿＿＿＿个交点 .
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
例2、已知二次函数y=ax2+bx+c的最 大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并 且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x