江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题(教师版)
2019-2020学年江苏省南京市高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省南京市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合A ＝{1，2，3}，集合B ＝{x |x 2≤4，x ∈R }，则A ∩B ＝（ ） A ．∅ B ．{1}C ．{1，2}D ．{1，2，3}【答案】C【解析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得A B .【详解】由24x ≤，解得22x -≤≤，故{}2B x x =|-2≤≤，所以{}1,2A B =.故选：C 【点睛】本小题主要考查集合交集，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2．已知向量(1,2)OA =-，(1,1)OB =-，则向量AB 的坐标为（ ） A ．（－2，3） B ．（0，1）C ．（－1，2）D ．（2，－3）【答案】D【解析】利用向量减法运算，求得AB . 【详解】依题意()()()1,11,22,3AB OB OA =-=---=-. 故选：D 【点睛】本小题主要考查平面向量减法的坐标运算，属于基础题.3．已知a ＝log 0.81.2，b ＝1.20.8，c ＝sin 1.2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a【答案】B【解析】利用0,1分段法，判断出,,a b c 的大小关系. 【详解】0.80.8log 1.2log 10a =<=，0.801.2 1.21b =>=，由于ππ1.232<<，所以0sin1.21c <=<，所以a c b <<.故选：B 【点睛】本小题主要考查指数式、对数式和三角函数比较大小，属于基础题. 4．函数()tan 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域为（ ） A ．,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z B ．2,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C ．,28k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D ．,8x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】根据正切型三角函数定义域的求法，求得()f x 的定义域. 【详解】 由ππ2π42x k +≠+，解得ππ28k x ≠+，所以()f x 的定义域为,28k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.故选：C 【点睛】本小题主要考查正切型三角函数定义域的求法，属于基础题.5．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则AB 的长为（ ） A ．2 B ．4C ．2πD ．4π【答案】B【解析】利用扇形面积公式求得扇形的半径，进而求得AB 的长. 【详解】设扇形的半径为r ，依题意2124,22r r ⋅⋅==.所以AB 224r α=⋅=⋅=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查扇形面积公式，考查扇形弧长计算，属于基础题.6．若向量,a b 满足：()()1,,2a a b a a b b =+⊥+⊥，则a b -=（ ）A ．1B ．2C ．5D 【答案】D【解析】利用已知条件求得2,a b b ⋅，由此求得a b -r r的值.【详解】由()()1,,2a a b a a b b =+⊥+⊥得()()222102220a b a a a b a b a b b a b b a b b ⎧+⋅=+⋅=+⋅=⎪⎨+⋅=⋅+=⋅+=⎪⎩，化简得212a b b ⎧⋅=-⎨=⎩.所以()22221225a b a ba ab b -=-=-⋅+=++=.故选：D 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积运算，考查两个向量垂直的表示，考查向量模的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 7．函数212ln ||()x f x x ⋅=图象的大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数的奇偶性和单调性，选出正确选项. 【详解】由于函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠，且()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，由此排除B,C 选项.由于()()222221212212,f e f e e e e e ==⋅<，所以当0x >时，()f x 存在减区间，由此排除D 选项. 故选：A 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.8．安装了某种特殊装置的容器内有细沙10cm 3，容器倒置后，细沙从容器内流出，tmin 后容器内剩余的细沙量为y ＝101+at（单位：cm 3），其中a 为常数．经过4min 后发现容器内还剩余5cm 3的沙子，再经过xmin 后，容器中的沙子剩余量为1.25cm 3，则x ＝（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．12【答案】C【解析】根据已知条件求得a 的值，由此列方程，求得x 的值.【详解】当4t =时5y =，所以14510a +=，即11114lg5,4lg51lg,lg 242a a a +==-==⋅.设经过min y 后，剩余沙子为111lg 425104y +⋅=，即1411l g 1011241lg 421510101024yy y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭+⋅⎢⎥⎣⎦⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭，即1341122y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13,124y y ==.所以再经过的时间1248x =-=. 故选：C 【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数解析式，考查对数运算，考查运算求解能力，属于中档题.二、多选题9．下列各选项中，值为1的是（ ） A ．log 26·log 62 B ．log 62＋log 64C ．()()112222⋅D．((112222+-【答案】AC【解析】对选项逐一化简，由此确定符合题意的选项. 【详解】对于A 选项，根据log log 1a b b a ⋅=可知，A 选项符合题意. 对于B 选项，原式()66log 24log 81=⨯=≠，B 选项不符合题意. 对于C选项，原式((11222211⎡⎤==⎣⎦⋅=+，C 选项符合题意.对于D选项，由于(()((1111222222222222-+⎡⎤=⎣⋅⎢⎥⎦4221=-=≠，D 选项不符合题意. 故选：AC 【点睛】本小题主要考查对数、根式运算，属于基础题. 10．记函数()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为G ，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）的最小正周期为πB ．函数f （x ）在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．直线12x π=-是图象G 的一条对称轴D ．将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移3π个单位长度，得到图象G 【答案】ABC【解析】根据三角函数的图像与性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】函数()f x 的最小正周期为2ππ2=，故A 选项正确. 由πππ2232x -≤-≤，解得π5π1212x -≤≤，所以函数f （x ）在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故B 选项正确. 由于ππππsin 2sin 1121232f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以直线12x π=-是图象G 的一条对称轴，故C 选项正确.sin 2y x =向右平移π3得到π2πsin 2sin 233y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 选项错误.故选：ABC 【点睛】本小题主要考查三角函数图像与性质，包括周期性、单调性、对称性和图像变换等知识，属于基础题.11．已知函数f （x ）＝x ，g （x ）＝x －4，则下列结论正确的是（ ） A ．若h （x ）＝f （x ）g （x ），则函数h （x ）的最小值为4 B ．若h （x ）＝f （x ）|g （x ）|，则函数h （x ）的值域为RC ．若h （x ）＝|f （x ）|－|g （x ）|，则函数h （x ）有且仅有一个零点D ．若h （x ）＝|f （x ）|－|g （x ）|，则|h （x ）|≤4恒成立 【答案】BCD【解析】对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项. 【详解】对于A 选项，()()()224424h x x x x x x =-=-=--，当2x =时，函数()h x 的最小值为4-，所以A 选项错误.对于B 选项，()224,444,4x x x h x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，画出()h x 图像如下图所示，由图可知，()h x 的值域为R ，故B 选项正确.对于C 选项，()4,0424,044,4x h x x x x x x -<⎧⎪=--=-≤≤⎨⎪>⎩，画出()h x 图像如下图所示，由图可知，()h x 有唯一零点2，故C 选项正确.对于D 选项，由C 选项的分析，结合()h x 图像可知()4h x ≤恒成立，故D 选项正确. 故选：BCD 【点睛】本小题主要考查函数的最值、值域和零点，考查分段函数，考查数形结合的思想方法，属于基础题.12．已知向量,a b 是同一平面α内的两个向量，则下列结论正确的是（ ） A ．若存在实数λ，使得b a λ=，则a 与b 共线 B ．若a 与b 共线，则存在实数λ，使得b a λ=C ．若a 与b 不共线，则对平面α内的任一向量c ，均存在实数,λμ，使得c a b λμ=+r r rD ．若对平面α内的任一向量c ，均存在实数,λμ，使得c a b λμ=+r r r，则a 与b 不共线【答案】ACD【解析】根据平面向量共线、平面向量的基本定理判断出正确选项. 【详解】根据平面向量共线的知识可知A 选项正确.对于B 选项，若a 与b 共线，可能0a =，当b 为非零向量时，不存在实数λ，使得b a λ=，所以B 选项错误.根据平面向量的基本定理可知C 、D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】本小题主要考查平面向量共线、平面向量的基本定理，属于基础题.三、填空题13．已知a 和b 都是单位向量，且0,2a b c a b ⋅==+，则向量b 与c 的夹角的余弦值是____．【解析】利用cos ,b c b c b c⋅=⋅求得向量b 与c 的夹角的余弦值.【详解】依题意cos ,b c b c b c⋅=⋅()2222442b a ba b a b ⋅+====+⋅+.【点睛】本小题主要考查平面向量数量积、模的运算，考查向量夹角的计算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14．在△ABC 中，已知7sin cos 13A A ＋＝，则sinAcosA 的值为____，tanA 的值为____．【答案】60169-125- 【解析】利用同角三角函数的基本关系式，求得sin cos ,tan A a A 的值. 【详解】 由7sin cos =13A A +两边平方得496012sin cos ,sin cos 169169A A A A +==-.由于A 是三角形的内角，故A 为钝角，所以sin cos 0A A ->，而()2289sin cos 12sin cos 169A A A A -=-=，所以17sin cos 13A A -=.由17sin cos 137sin cos 13A A A A ⎧-=⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋＝解得125sin ,cos 1313A A ==-，所以sin 12tan cos 5A A A ==-. 故答案为：（1）60169-（2）125-【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.15．已知函数f （x ）（x ∈R ）是周期为4的奇函数，且当0≤x ≤2时，(1),01()sin ,12x x x f x x x π-⎧=⎨<⎩剟…则376f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______． 【答案】14【解析】根据函数()f x 的周期性、奇偶性和分段函数解析式，求得所求表达式的值. 【详解】 依题意3711111111π42sin66666f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππ1sin 2πsin 662⎛⎫=--== ⎪⎝⎭.371111162224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：14【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题. 16．已知A ，B 是函数()sin 2xf x π=的图象与函数()cos2xg x π=的图象的两个不同的交点，则线段AB 长度的最小值是______．【解析】求得()(),f x g x 在一个周期内的两个交点坐标，由此求得AB 长度的最小值. 【详解】()f x 和()g x 的周期为2π4π2T ==，由()()f x g x =得ππsin cos 22x x =，在[]0,4x ∈时，有ππ24x =或π5π24x =，记得12x =或52x =，不妨设15,,,2222A B ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以AB 长度的最小值为AB ==.【点睛】本小题主要考查正弦函数与余弦函数，考查两点间的距离公式.四、解答题17．已知向量()()2,,1,6a m b m ==-． （1）若//a b ，求实数m 的值； （2）若a b a b +=-，求实数m 的值． 【答案】（1）3-或4；（2）14【解析】（1）利用两个向量平行的条件列方程，解方程求得m 的值；（2）将a b a b +=-两边平方，求得0a b ⋅=，根据向量数量积的坐标运算列方程，解方程求得m 的值.【详解】（1）由于//a b ，所以()2610m m ⋅--=，解得3m =-或4m =.（2）将a b a b +=-两边平方得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，所以0a b ⋅=，即()2160m m -+=，解得14m =.【点睛】本小题主要考查两个向量平行的坐标表示，考查向量模的运算、数量积的运算，考查方程的思想，属于基础题.18．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为O ，始边为x 轴的正半轴，终边经过点P （－3，m ），且4sin 5α=． （1）求实数m 的值；（2）求sin(2)cos()3sin cos 22παππααπα-++⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．【答案】（1）4；（2）17【解析】（1）根据三角函数的定义列方程，解方程求得m 的值. （2）由（1）求得cos α的值，利用诱导公式化简求得表达式的值. 【详解】（1）由于角α的终边经过点()3,P m -，且4sin 05α=>，所以0m>，且4sin 5α==，从而()2225169m m =+，即216m =，解得4m =. （2）由（1）知()4,3,4m P =-，所以3cos 5α==-，所以sin(2)cos()sin cos 13cos sin 7sin cos 22ππααππαααααα-++--==-⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查诱导公式和同角三角函数的基本关系式，属于基础题.19．已知函数()2x x e ae f x --=是奇函数，其中e 是自然对数的底数．（1）求实数a 的值；（2）若f （lgx ）＋f （－1）＜0，求x 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）()0,10【解析】（1）根据奇函数的性质，利用()00f =列方程，解方程求得a 的值. （2）利用函数的奇偶性和单调性化简不等式，并由此求得不等式的解集. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为R ，且为奇函数，所以()1002af -==，解得1a =. （2）由（1）得()122x x e f x e=-，由于1,2xx e e -都在R 上递增，所以函数()122x x e f x e=-在R 上递增，根据()f x 为奇函数得()()()lg 11f x f f <--=，所以lg 1x <，解得010x <<.即不等式的解集为()0,10. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.20．如图，摩天轮的半径为50m ，圆心O 距地面的高度为65m ．已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每30min 转动一圈．游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱．（1）游客进入摩天轮的舱位，开始转动tmin 后，他距离地面的高度为h ，求h 关于t 的函数解析式；（2）已知在距离地面超过40m 的高度，游客可以观看到游乐场全景，那么在摩天轮转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间是多少？ 【答案】（1）π6550cos ,015t h t ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭；（2）20min 【解析】（1）建立平面直角坐标系，根据摩天轮的转动速度，结合三角函数的知识，求得h 关于t 的解析式.（2）由40h >列不等式，解不等式求得距离地面超过40m 的时间范围，由此求得游客可以观看到游乐场全景的时间. 【详解】（1）如图以摩天轮的圆心为坐标原点，水平方向为x 周，建立平面直角坐标系.设游客的位置为点P .因为摩天轮按逆时针方向匀速转动，且每30min 转动一圈，所以OP 在min t 内所转过的角为2πt πt3015=.因为游客是从摩天轮的最低点进入摩天轮的舱位，所以，以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角为πt π152-，因此P 点的纵坐标为ππ50sin 152t ⎛⎫- ⎪⎝⎭.从而游客距离地面的高度πππ50sin 656550cos 15215t t h ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0t ≥.（2）令π6550c o s 4015t h ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，得π1co s 152t ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以ππt 5π2π2π3153k k +<<+，即3053025k t k +<<+，k ∈N ，令0k =，则525t <<.由于在距离地面超过40m 的高度，游客可以观看到游乐场全景，因此，在转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间为25520min -=.【点睛】本小题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查三角不等式的解法，属于中档题. 21．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝3，D 为BC 中点，2AE EB =,12AF FC =．（1）若3A π∠=，求AD EF ⋅的值；（2）若0DE DF ⋅=，求AB AC ⋅uu u r uuu r的值． 【答案】（1）12-；（2）818【解析】（1）利用向量加法、减法和数量积运算，化简求得AD EF ⋅的值.（2）利用向量加法、减法和数量积运算，结合0DE DF ⋅=，化简求得AB AC ⋅uu u r uuu r的值. 【详解】（1）由于D 是BC 的中点，所以()12AD AB AC =+，由于2AE EB =,12AF FC =，所以21,33AE AB AF AC ==.所以AD EF ⋅()112233AB AC AC AB ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭2212112333AB AB AC AC ⎛⎫=--⋅+ ⎪⎝⎭22111366AB AB AC AC =--⋅+22111166333626-⨯-⨯⨯⨯+⨯33121222=--+=-.（2）()21113262DE AE AD AB AB AC AB AC =-=-+=-， ()11113226DF AF AD AC AB AC AB AC =-=-+=--，所以11116226DE DF AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2211212129AB AC AB AC=-++⋅323049AB AC =-++⋅=,解得818AB AC ⋅=.【点睛】本小题主要考查向量加法、减法和数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.22．已知函数f （x ）＝sinx ，g （x ）＝lnx ． （1）求方程()2f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在[0，2π]上的解； （2）求证：对任意的a ∈R ，方程f （x ）＝ag （x ）都有解；（3）设M 为实数，对区间[0，2π]内的满足x 1＜x 2＜x 3＜x 4的任意实数x i （1≤i ≤4），不等式()()()()()()122334M f x f x f x f x f x f x -+-+-…成立，求M 的最小值． 【答案】（1）π4或5π4；（2）详见解析；（2）4【解析】（1）利用诱导公式化简()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合同角三角函数的基本关系式求得tan x 的值，由此求得方程的解.（2）将a 分成0a =和0a ≠两种情况，结合零点存在性证得结论成立.（3）先证得4M ≥，再证得()()()()()()1223344f x f x f x f x f x f x ≥-+-+-，由此求得M 的最小值为4. 【详解】（1）因为，()()πsin ,2f x x f x f x ⎛⎫==-⎪⎝⎭，所以πsin sin 2x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即sin cos x x =，且[]0,2πx ∈.若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x +=矛盾.所以cos 0x ≠，从而tan 1x =.又[]0,2πx ∈，所以π4x =或5π4x =. （2）当0a =时，由()()f x ag x =得sin 0x =，即πx =是该方程的一个解；当0a ≠时，令()1ln sin h x x x a =-.因为()h x 的图像在区间22,a ae e -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦上连续不断，且2221211sin 0a a h ee a a a a a --⎛⎫⎛⎫=--≤-+=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2221211sin 0a a h e e a a a a a -⎛⎫⎛⎫=-≥-=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据零点存在性定理可知，存在220,aax e e-⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭，使得()00h x =.因此，当0a ≠时，方程()()f x ag x =有解0x x =. 综上所述，对任意a R ∈，方程()()f x ag x =都有解. （3）先证：4M ≥. 取1234π3π0,,,2π22x x x x ====，122334sin sin sin sin sin sin 1214M x x x x x x ≥-+-+-=++=.再证：当123402πx x x x ≤<<<≤时，都有()()()()()()1223344f x f x f x f x f x f x ≥-+-+-，即1223344sin sin sin sin sin sin x x x x x x --≥+-+.①若2πx ≤，因为234π2πx x x ≤<<≤，于是2341sin ,sin ,sin 0x x x -≤≤，所以2334sin sin 1,sin sin 1x x x x -≤-≤，而12sin sin 2x x -≤，所以122334sin sin sin sin sin sin 4x x x x x x --+-+≤.②若3πx ≤，1223sin sin 1,sin sin 1x x x x -≤-≤，34sin sin 2x x -≤，所以122334sin sin sin sin sin sin 4x x x x x x --+-+≤；③若23πx x <<，1223sin sin 1,sin sin 2x x x x -≤-≤，34sin sin 1x x -≤，所以122334sin sin sin sin sin sin 4x x x x x x --+-+≤，于是对任意满足条件的1234x x x x <<<，都有1223344sin sin sin sin sin sin x x x x x x --≥+-+.综上所述，M 的最小值为4. 【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查零点存在性定理，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析、思考与解决问题的能力，属于难题.。
2022-2023学年江苏省南京市第五高级中学高一上学期期末学情自测数学试题(解析版)
2022-2023学年江苏省南京市第五高级中学高一上学期期末学情自测数学试题一、单选题1．已知集合A ={1，2，3}，B ={x ∈N |x ≤2}，则A ∪B =（ ） A ．{2，3} B ．{0，1，2，3} C ．{1，2} D ．{1，2，3}【答案】B【分析】先求出集合B ，再求A ∪B.【详解】因为{1,2,3},{0,1,2}A B ==，所以0,1,3}2,{A B =. 故选：B2．命题“(0,)sin 2x x x π∀∈≤，”的否定是（ ） A ．(0,)sin 2x x x π∀∈≥，B ．(0,)sin 2x x x π∀∈>，C ．(0,)sin 2x x x π∃∈≤，D ．(0,)sin 2x x x π∃∈>，【答案】D【分析】直接利用全称命题的否定为特称命题进行求解.【详解】命题“(0,)sin 2x x x π∀∈≤，”为全称命题， 按照改量词否结论的法则，所以否定为：(0,)sin 2x x x π∃∈>，， 故选：D 3．已知弧长为3π的弧所对的圆心角为6π，则该弧所在的扇形面积为（ ） AB ．1π3C ．2π3D ．4π3【答案】B【分析】先求得扇形的半径，由此求得扇形面积.【详解】依题意，扇形的半径为π32π6=，所以扇形面积为1ππ2233⋅⋅=.故选：B4．,x R ∀∈不等式2410ax x +-<恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．4aB ．4a 或0a =C ．4a ≤-D ．40a【答案】A【分析】先讨论系数为0 的情况，再结合二次函数的图像特征列不等式即可. 【详解】,x R ∀∈不等式2410ax x +-<恒成立， 当0a =时，显然不恒成立，所以0Δ1640a a <⎧⎨=+<⎩，解得：4a.故选：A.5．已知0.50.5e ,ln 5,log e a b c -===，则（ ） A ．c<a<b B ．c b a << C ．b a c << D ．a b c <<【答案】A【分析】借助指对函数的单调性，利用中间量0或1比较即可. 【详解】因为0.500=e <e 1a -<=，ln5lne=1b =>，0.50.5=log e<log 1=0c ， 所以c<a<b ， 故选：A.6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()(4)f x f x =+，且(1)1f -=-，则(2020)(2021)f f +=（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】C【分析】由()(4)f x f x =+得函数的周期性，由周期性变形自变量的值，最后由奇函数性质求得值． 【详解】∵()f x 是奇函数，∴(0)0,(1)(1)1f f f ==--=， 又()(4)f x f x =+，∴()f x 是周期函数，周期为4． ∴(2020)(2021)(0)(1)011f f f f +=+=+=． 故选：C ．7．已知函数()e xf x x =+，()lng x x x =+，()sinh x x x =+的零点分别为,,,a b c 则,,a b c 的大小顺序为（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．a c b << D ．c<a<b【答案】C【分析】利用数形结合，画出函数的图象，判断函数的零点的大小即可．【详解】函数()e xf x x =+，()lng x x x =+，()sinh x x x =+的零点转化为e x y =，ln y x =，sin y x=与y x =-的图象的交点的横坐标，因为零点分别为,,,a b c在坐标系中画出e x y =，ln y x =，sin y x =与y x =-的图象如图： 可知a<0，0b >，0c ， 满足a c b <<． 故选：C ．8．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象对应的函数解析式为（ ）A ．1(2)2y f x =+B ．(21)y f x =+C ．1()22x y f =+D ．(1)2xy f =+【答案】B【分析】利用三角函数的图象变换规律可求得结果.【详解】观察图象可知，右方图象是由左方图象向左移动一个长度单位后得到()1y f x =+的图象，再把(1)=-y f x 的图象上所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变）得到的， 所以右图的图象所对应的解析式为(21)y f x =+. 故选：B二、多选题9．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上是增函数的是（ ） A ．21y x =+ B ．3y x = C ．23y x = D ．3x y -=【答案】AC【分析】利用函数的奇偶性和单调性的概念进行判断. 【详解】对于A ： ()2211=-+=+y x x∴ 函数21y x =+ 是偶函数，在()0,∞+ 上是增函数，故A 正确；对于B ： ()33=-=-y x x∴ 函数3y x = 是奇函数，故B 错误；对于C ：()2233=-=y x x23y x ∴=是偶函数，在()0,∞+ 上是增函数，故C 正确； 对于D ： 33---==xxy3-∴=xy 是偶函数，在()0,∞+ 上是减函数，故D 错误.故选：AC 10．若110a b<<，则下列不等式正确的是（ ） A ．a b < B ．a b <C ．a b ab +<D ．2b aa b+>【答案】BCD【分析】利用不等式的基本性质求解即可【详解】由于110a b<<，则0b a <<，故a b <错误； 0a b ab +<<正确；||||a b <正确；2222a b a b abb a ab ab++=>=，∴2b a a b +>，正确故选：BCD ．11．若函数()tan(2)3f x x π=+，则下列选项正确的是（ ）A ．最小正周期是 πB ．图象关于点(,0)3π对称C ．在区间7(,)1212ππ上单调递增D ．图象关于直线12x π=对称【答案】BC【分析】利用正切函数的周期，对称中心，函数的单调性，判断选项即可． 【详解】函数tan(2)3y x π=+，函数的最小正周期为：2π，A 错误； 令23246k k x x k Z ππππ+=⇒=-∈，， 当2k =时，3x π=，所以图象关于点(,0)3π对称，B 正确；因为2232k x k πππππ-<+<+，Z k ∈，解得5(212k x ππ∈-，)212k ππ+，当1k =时，7(,)1212x ππ∈,所以在区间7(,)1212ππ上单调递增，C 正确；又正切函数不具有对称轴，所以D 错误故选：B C ．12．设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数.令[]()22f x x x =-，以下结论正确的是（ ）A ．()1.10.8f -=B ．()f x 为偶函数C ．()f x 最小正周期为12D ．()f x 的值域为[]0,1【答案】AC【分析】根据高斯函数的定义逐项检验即可，对于A ，直接求解即可，对于B ，取 1.1x =-，检验可得反例，对于C ，直接求解()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即可；对于D ，要求()f x 的值域，只需求102x ≤<时()f x 的值域即可.【详解】对于A ，()[]2.21 2.230..8.122f --=-+=-=-，故A 正确. 对于B ，取 1.1x =-，则()1.10.8f -=，而()[]2.2 2.2 2.221021..f --===， 故()()1.1 1.1f f -≠-，所以函数()f x 不为偶函数，故B 错误.对于C ，则[][]()1212121212f x x x x x f x ⎛⎫+=+-+=+--= ⎪⎝⎭，故C 正确.对于D ，由C 的判断可知，()f x 为周期函数，且周期为12， 要求()f x 的值域，只需求102x ≤<时()f x 的值域即可. 当0x =时，则()[]0000f =-=， 当102x <<时，()[]22202(0,1)f x x x x x =-=-=∈， 故当102x ≤<时，则有()01f x ≤<，故函数()f x 的值域为[)0,1，故D 错误. 故选：AC ．三、填空题135log 25=_____． 【答案】6【分析】利用根式性质与对数运算进行化简.5log 25426=+=， 故答案为：614．请写出一个同时满足下列两个条件的函数：____________.（1）12x x R ∀∈， ，若12x x >则12()()f x f x >（2）121212,,()()()x x R f x x f x f x ∀∈+= 【答案】()2x f x =，答案不唯一【分析】由条件（1）12x x R ∀∈， ，若12x x >则12()()f x f x >.可知函数()f x 为R 上增函数； 由条件（2）121212,,()()()x x R f x x f x f x ∀∈+=.可知函数()f x 可能为指数型函数. 【详解】令()2x f x =，则()2x f x =为R 上增函数，满足条件（1）.又1212()2x x f x x ++=，121212()()222x x x xf x f x +=⨯=故12()f x x +=12()()f x f x即121212,,()()()x x R f x x f x f x ∀∈+=成立.故答案为：()2x f x =，（()3x f x =，()4x f x =等均满足题意）15．在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，P ，Q 的纵坐标分别为35，45．则αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标为_____________. 【答案】1【分析】根据任意角三角函数的定义可得3sin 5α=，4cos 5α=，4sin 5β=，3cos 5β=，再由()sin αβ+展开求解即可.【详解】以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，P ，Q 的纵坐标分别为35，45所以3sin 5α=，α是锐角，可得4cos 5α=，因为锐角β的终边与单位圆相交于Q 点，且纵坐标为45，所以4sin 5β=，β是锐角，可得3cos 5β=， 所以()3344sin sin cos cos sin 15555αβαβαβ+=+=⨯+⨯=，所以αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标为1. 故答案为：1.四、双空题16．已知函数()2log ,042,482x x f x cos x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩，,t R ∃∈使方程()f x t =有4个不同的解：1234,,,x x x x ，则1234x x x x 的取值范围是_________; 1234x x x x +++的取值范围是________.【答案】 (32,35) 65(14,)4【分析】先画出分段函数()f x 的图像，依据图像得到12,x x 之间的关系式以及34,x x 之间的关系式，分别把1234x x x x +++和1234x x x x 转化成只有一个自变量的代数式，再去求取值范围即可. 【详解】做出函数()2log ,042,482x x f x cos x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩的图像如下：()f x 在](0,1单调递减：最小值0；()f x 在[]1,4单调递增：最小值0，最大值2； ()f x 在[]4,8上是部分余弦型曲线：最小值2-，最大值2.若方程()f x t =有4个不同的解：1234,,,x x x x ，则02t << 不妨设四个解依次增大，则12341145,784x x x x <<<<<<<< 12,x x 是方程2log x t =(04)x <<的解，则2122log log x x =-，即121=x x ；34,x x 是方程2cos2x t π=(48)x ≤≤的解，则由余弦型函数的对称性可知3412x x +=.故2123434333(12)(6)36x x x x x x x x x ==-=--+，由345x <<得2332(6)3635x <--+<即12343235x x x x << 1234121111212x x x x x x x x +++=++=++当1114x <<时，1()12m x x x=++单调递减，则1116514124x x <++<故答案为：①(32,35)；②65(14,)4五、解答题 17．求值：(1)22log 33582lg 2lg 22+--(2)25π10π13πsincos tan 634⎛⎫-+- ⎪⎝⎭【答案】(1)6 (2)0【分析】(1)根据指数运算公式和对数运算公式求解即可； (2)根据诱导公式化简求值即可. 【详解】（1）22log 33582lg 2lg 22+--()()2lo 23g 3322lg5lg 22lg 2=+---223lg 5lg 22lg 2=+-+-7(lg5lg 2)=-+71=-6=；（2）25π10π13πsincos tan 634⎛⎫-+- ⎪⎝⎭πππsin 4πcos 3πtan 3π634⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππsincos tan 634=+- 11122=+- 0=．18．已知全集U =R ，集合{}2120A x x x =--≤，集合{}11B x m x m =-≤≤+.(1)当4m =时，求()U A B ⋃； (2)若()U B A ⊆，求实数m 的取值范围. 【答案】(1){4x x ≤或5}x >； (2)4m <-或5m >.【分析】（1）确定集合A ，B ，求出集合B 的补集，根据集合的并集运算，即可求得答案. （2）求出集合A 的补集，根据()U B A ⊆，列出相应不等式，求得答案.【详解】（1）集合{}{}212034A x x x x x =--≤=-≤≤，当4m =时，{}35B x x =≤≤，则{3UB x x =<或5}x >，故()UAB ={4x x ≤或5}x >；（2）由题意可知{3UA x x =<-或4}x > ，{}11B x m x m =-≤≤+≠∅,由UB A ⊆，则13m +<-或14m ->，解得4m <-或5m >.19．已知函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图.(1)求函数()f x 的解析式;(2)将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，当,6x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()g x 值域.【答案】(1)()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)[3,2]-.【分析】（1）根据图象由函数最值求得A ，由函数周期求得ω，由特殊点求得ϕ，即可求得解析式； （2）根据三角函数图象的变换求得()g x 的解析式，再利用整体法求函数值域即可.【详解】（1）由图象可知，()f x 的最大值为2，最小值为2-，又0A >，故2A =，周期453123T πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，2||ππω∴=，0ω>，则2ω=， 从而()2sin(2)f x x ϕ=+，代入点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，得5sin 16⎛⎫+=⎪⎝⎭πϕ， 则5262k ππϕπ+=+，Z k ∈，即23k πϕπ=-+，Z k ∈， 又||2ϕπ<，则3πϕ=-.()2sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.（2）将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，故可得2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；再将所得图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象 故可得()2sin()6g x x π=-；[,]6x ππ∈-5[,]636x πππ∴-∈-，3sin ,162x π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， 2sin 3,26x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎣⎦⎝⎭，()[3,2]g x ∴-的值域为. 20．已知函数sin()cos sin()cos(2)()cos tan()sin 2f πααπαπααπααα-+-=+-⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）化简()f α；（2）若1(),052f παα=-<<，求sin cos ,s cos in αααα⋅-的值. 【答案】（1）()sin cos f ααα=+；（2）75- 【分析】（1）利用诱导公式进行化简即可；（2）由（1）结果两边平方，再利用同角三角函数的基本关系联立解方程组即可得出结果.【详解】解：（1）sin()cos sin()cos(2)sin cos (sin )cos ()cos tan()cos cos tan sin 2f πααπαπααααααπαααααα-+--=+=+--⎛⎫- ⎪⎝⎭所以()sin cos f ααα=+.（2）由1()sin cos 5f ααα=+=，平方可得221sin 2sin cos cos 25αααα++=， 即242sin cos 25αα⋅=-. 所以12sin cos 25αα⋅=-， 因为249 (sin cos )12sin cos 25αααα-=-=， 又02πα-<<，所以sin 0α<，cos 0α>，所以sin cos 0αα-<,所以7sin cos 5αα-=-. 【点睛】本题考查了诱导公式、同角三角函数的化简与求值，属于基础题.21．某市城郊有一块大约500m 500m ⨯的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S 平方米.（1）分别用x 表示y 及S 的函数关系式，并给出定义域；（2）请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S 最大，并求出最大值【答案】（1）1500030306S x x=--，定义域是(6，500)；（2）设计50m 60m x y ，==时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米.【分析】（1）总面积为3000xy =，且26a y +=，可得3000y x =，15003a x =-（其中6500)x <<，从而运动场占地面积为(4)(6)S x a x a =-+-，代入整理即得；（2）由（1）知，占地面积150003030(6)S x x =-+，由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x 的值．【详解】解：（1）由已知30003000,,xy y x=∴=其定义域是(6,500). (4)(6)(210),S x a x a x a =-+-=-26a y +=，∴1500332y a x =-=-， 150015000(210)(3)30306S x x x x∴=--=--，其定义域是(6,500).（2）150003030(6)3030303023002430,S x x =-+≤--⨯= 当且仅当150006x x=，即50(6,500)x =∈时，上述不等式等号成立， 此时，50x =，60y =，2430max S =．答：设计50m 60m x y ，== 时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米.22．已知函数1()ln 1x f x x -=+. (1)求证：()f x 是奇函数；(2)若对于任意[]3,5x ∈都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围；(3)若存在,(1,)αβ∈+∞，且αβ<，使得函数()f x 在区间[],αβ上的值域为ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析(2)(,3ln 2)-∞- (3)209m <<【分析】（1）利用奇偶性的定义求解即可；（2）对于任意[]3,5x ∈都有()3f x t >-成立，仅需min ()3f x t >-即可；（3）由()f x 单调性可得,αβ是方程112x m mx x -=-+，即22(2)20mx m x m +-+-=的两实数根，根据一元二次函数的图像和性质求解即可.【详解】（1）又101x x ->+即(1)(1)0x x -+>解得(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞， 所以()f x 的定义域为(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞，关于原点对称， 又因为1111()ln ln ln ()111x x x f x f x x x x -+--⎛⎫-===-=- ⎪-++⎝⎭， 所以()f x 是奇函数.（2）由题意2()ln 11f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，令2()11u x x =-+(()0)u x >， 因为()u x 在(1,)+∞上为增函数，ln u 在(0,)+∞上为增函数，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数，当[]3,5x ∈时，ln 2()ln 2ln3f x -≤≤-，对于任意[]3,5x ∈都有()3f x t >-成立，仅需min ()3f x t >-即可，所以ln 23t ->-，解得3ln 2t <-.（3）由（2）可知()f x 在(1,)+∞上为增函数，又因为()f x 在区间[],αβ上的值域为ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以0m >且1ln ln 121ln ln 12m m m m αααβββ⎧-⎛⎫=- ⎪⎪+⎝⎭⎪⎨-⎛⎫⎪=- ⎪⎪+⎝⎭⎩，所以112112m m m m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩， 则,αβ是方程112x m mx x -=-+，即22(2)20mx m x m +-+-=的两实数根， 令2()2(2)2h x mx m x m =+-+-， 则由题意对称轴214m x m-=>，2(2)42(2)0m m m ∆=--⨯⨯->，(1)0h m =>， 解得209m <<.。
2019-2020学年江苏省南京市高一上学期期末考试数学试题与答案
已知向量 a = (2, m) ，=b (m −1,6) ．
⑴ 若 a / / b ，求实数 m 的值； ⑵ 若 a + b = a − b ，求实数 m 的值． 【答案】⑴ 4 或 −3 ；⑵ 1 ；
4
【解析】⑴ 因为 a / / b ， a = (2, m) ，=b (m −1,6) ，所以 2 ×=6 m(m −1) ，
余的细沙量为 y = 101+at （单位： cm3 ），其中 a 为常数．经过 4 min 后发现容器内还剩余 5cm3 的沙
子，再经过 x min 后，容器中的沙子剩余量为1.25cm3 ，则 x = （ ）．
A. 4
B. 6
C. 8
D.12
2
高一数学
【答案】C；
2019-2020 学年第一学期 · 期末统考试卷
4, x > 4.
h ( x) ≤ 4 恒成立，故 C,D 正确．
12. 已知向量 a,b 是同一平面α 内的两个向量，则下列结论正确的是（ ）． A.若存在实数 λ ，使得 b = λa ，则 a 与 b 共线 B.若 a 与 b 共线，则存在实数 λ ，使得 b = λa C.若 a 与 b 不共线，对平面内任意向量 c ，均存在实数 λ ， µ ，使得=c λa + µb D.若对平面α 内任意向量 c ，均存在实数 λ ， µ ，使得=c λa + µb ，则 a 与 b 不共线
2x
+
π 4
的定义域为（
）．
A.
x
|
x
≠
kπ
+
π 2
,
k
江苏省南京市2019-2020年度高一上学期数学期末考试试卷A卷
江苏省南京市2019-2020年度高一上学期数学期末考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2018高一上·上海期中) 已知集合，，则 ________2. （1分） (2016高三上·常州期中) 如图，已知A，B分别是函数f（x）= sinωx（ω＞0）在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB= ，则该函数的周期是________．3. （1分）(2018·山东模拟) 已知向量，，若，则实数________．4. （1分） (2018高一上·旅顺口期中) 已知函数（且）恒过定点，则________.5. （1分） (2019高三上·沈河月考) ________．6. （1分） (2016高一上·成都期末) 函数的定义域是________．7. （1分） (2019高三上·吉林月考) 已知向量与的夹角为，，则________.8. （1分）若f（x）=ex﹣ae﹣x为奇函数，则f（x﹣1）＜e﹣的解集为________9. （1分） (2016高一上·上杭期中) 已知函数f（x）= ，则关于函数F（x）=f（f（x））的零点个数，正确的结论是________．（写出你认为正确的所有结论的序号）①k=0时，F（x）恰有一个零点．②k＜0时，F（x）恰有2个零点．③k＞0时，F（x）恰有3个零点．④k＞0时，F（x）恰有4个零点．10. （1分） (2019高一上·郁南月考) 关于下列结论：①函数y=2x的图象与函数y=log2x的图象关于y轴对称；②函数y=ax+2(a>0且a≠1)的图象可以由函数y=ax的图象平移得到；③方程log5(2x+1)=log5(x2-2)的解集为{-1,3}；④函数y=ln(1+x)-ln(1-x)为奇函数.其中不正确的是________.11. （1分）(2017·武邑模拟) 设ω＞0，函数y=sin（ωx+ ）的图象向右平移π个单位后与原图象重合则ω的最小值为________．12. （1分）如图，矩形ORTM内放置5个边长均为的小正方形，其中A，B，C，D在矩形的边上，且E为AD的中点，则（﹣）•=________13. （1分） (2017高三上·邳州开学考) 已知定义在R上的函数f（x）=（x2﹣3x+2）•g（x）+3x﹣4，其中函数y=g（x）的图象是一条连续曲线．已知函数f（x）有一个零点所在区间为（k，k+1）（k∈N），则k的值为________．14. （1分） (2020高三上·浦东期末) 已知数列，，，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为________二、解答题 (共6题；共60分)15. （5分）已知集合P={x|x2+x﹣6=0}，Q={x|ax+1=0}满足Q⊊P，求a所取的一切值．16. （10分）已知函数f（x）=sin（ x﹣）﹣2cos2 x+1（1）求f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调区间和最大值．17. （10分） (2016高一下·湖南期中) 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图．（1）求f（x）的解析式；（2）将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．18. （10分） (2020高一下·郧县月考)（1）若向量，已知与的夹角为钝角,则k的取值范围是多少？（2）在等腰直角三角形中，是线段BC上的点，且，则的取值范围是多少？19. （15分） (2016高一上·铜仁期中) 某产品生产厂家生产一种产品，每生产这种产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为42万元，且每生产1百台的生产成本为15万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述规律，完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最大？20. （10分）(2019高三上·衡水月考) 已知函数的图像与轴相切，.（1）求证：；（2）若，求证： .参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共60分)15-1、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、。
江苏省南京市十校2019-2020学年度高一第一学期期中联考数学试卷 含解析
A. a > c > b B. c > a > b C. b > c > a D. b > a > c
9. 函数 f ( x=) 4x − 2x+1 −1, x ∈ (−∞, 2] 的值域为（ ）. A. (−1,7] B. [−2,7] C. (−2, 23] D. [−2,+∞)
10. 数学学习的最终目标：让学习者会用数学的眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会 用数学语言表达世界.“双 11”就要到了，电商的优惠活动很多，某同学借助已学的数 学知识对优惠活动进行研究，已知 2019 年“双 11”期间某商品原价为 a 元，商家准备 在节前连续两次对该商品进行提价且每次提价10% ，在活动期间再连续两次降价且每 次降价10% ，该同学得到结论，最后商品价格与原价 a 元相比（ ）. A. 相等 B. 略有提高 C. 略有降低 D. 无法确定
已知函数 f = ( x) x ( x + 4) . (1) 将函数 f ( x) 写成分段函数的形式，并作出函数在 [−5,1] 上的简图；
(2) 根据函数图象直接写出函数的单调增区间；
(3) 函数 f ( x) 在开区间 (−4, n) 上既有最大值也有最小值，直接写出实数 n 的取值范围.
19. （本小题 12 分）
已知全集U = R ，A= {x a − 2 ≤ x ≤ a + 3} ，B= {x 2 ≤ x ≤ 7} ，C= {x ( x − 4)( x + 3) ≥ 0} . (1) 当 a = 3 时，求 A B ， A (U B) ；
(2) 若 A C = A ，求实数 a 的取值范围.
18. （本小题 10 分）
2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)
2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。
江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末统考数学试题Word版含答案
江苏省南京市2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合M ＝{x |0≤x ＜2}，N ＝{－1，0，1，2}，则M ∩ N ＝ ▲ ． 2．计算：lg4＋lg 52的值是 ▲ ．3．函数 f (x )＝(x －2)12的定义域是 ▲ ． 4．已知 tan α＝2，则 tan(α＋π4) 的值是 ▲ ．5．若函数 f (x )＝cos x ＋|2x －a | 为偶函数，则实数a 的值是 ▲ ．6．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，1)．若向量a －b 与向量k a ＋b 共线，则实数k 的值是 ▲ ． 7．已知角α的终边经过点P (12，5)，则sin(π＋α)＋cos(－α) 的值是 ▲ ．8．已知函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(2－x )，x ＜1，2x ，x ≥1，则 f (－2)＋f (log 23) 的值是 ▲ ．9．在△ABC 中，若 tan A ＞1，则角A 的取值范围是 ▲ ．10．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ．若|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为 π3，则线段BD 的长度为 ▲ ．11．已知α∈(0，π2)，且满足 sin 2α_x001F_－3cos 2α_x001F_sin αcos α ＝2，则tan α 的值是 ▲ ．12．已知函数 f (x )＝sin(ωx －π3) (ω＞0)，将函数 y ＝f (x ) 的图象向左平移 π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值是 ▲ ．13．如图，已知函数f (x )的图象为折线ACB (含端点A ，B )，其中A (－4，0)，B (4，0)，C (0，4)，则不等式 f (x )＞log 2(x ＋2) 的解集是 ▲ ．14．若m ＞0，且关于x 的方程 (mx －1)2－m ＝x 在区间 [0，1] 上有且只有一个实数解，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－3，4)． （1）求向量a ＋b 与向量a 夹角的大小； （2）若a ⊥(a ＋λb )，求实数λ的值．16．（本小题满分14分）已知函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ) ( A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π) 的图象如图所示． （1）求A ，ω，φ的值；（2）若x ∈[－π2，π12]，求f (x )的值域．(第16题图)已知sin α＝－437，α∈(－π2，0)．（1）求cos(π4＋α)的值；（2）若sin(α＋β)＝－3314，β∈(0，π2)，求β的值．18．（本小题满分16分）如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为 π3的扇形，点A 在弧 ⌒PQ 上(异于点P ，Q )，过点A 作AB ⊥OP ，AC ⊥OQ ，垂足分别为B ，C ．记∠AOB ＝θ，四边形ACOB 的周长为l ．（1）求l 关于θ的函数关系式；（2）当θ为何值时，l 有最大值，并求出l 的最大值．19．（本小题满分16分）如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE →＝2EB →．M 是线段CE 上一动点． （1）若M 是线段CE 的中点，AM →＝m AB →＋n AD →，求m ＋n 的值； （2）若AB ＝9，CA →·CE →＝43，求 (MA →＋2MB →)·MC →的最小值．P（第18题图）MEDCBA(第19题图)如果函数f(x)在定义域内存在区间[a，b]，使得该函数在区间[a，b]上的值域为[a2，b2]，则称函数f(x)是该定义域上的“和谐函数”．（1）求证：函数f(x)＝log2(x＋1)是“和谐函数”；（2）若函数g(x)＝x2－1＋t (x≥1)是“和谐函数”，求实数t的取值范围．江苏省南京市2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{0，1} 2．1 3．[2，＋∞) 4．－3 5．06．－1 7．713 8．5 9．(π4，π2) 10．711．3 12．2 13．(－2，2) 14．(0，1]∪[3，＋∞)注：第1、3、13题的答案必须是集合或区间形式，第9、14题可以用不等式表示；其它题严格按标准执行。
2022-2023北京人大附中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．下列表示同一集合的是（ ）A ．M ＝{（3，2）}，N ＝{（2，3）}B ．M ＝{（x ，y ）|y ＝x }，N ＝{y |y ＝x }C ．M ＝{1，2}，N ＝{2，1}D ．M ＝{2，4}，N ＝{（2，4）}2．以下函数中是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（ ）A ．y =1x 2B ．y =1xC ．y ＝x 2D ．y ＝x 3．函数f(x)=x x 2+1的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．4．若x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2﹣3x +2＝0B ．x 2+3x ﹣2＝0C ．x 2+3x +2＝0D ．x 2﹣3x ﹣2＝05．已知a ＞b ＞c ，则下列说法一定正确的是（ ）A ．ab ＞bcB ．|a |＞|b |＞|c |C ．ac 2＞bc 2D ．2a ＞b +c6．若命题“∃x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1＜0”为假命题，则实数m 的取值范围（ ）A ．m ≤﹣2或m ≥2B ．﹣2＜m ＜2C ．m ＜﹣2或m ≥2D ．﹣2≤m ≤27．定义域与对应法则称为函数的两个要素．下列各对函数中，图象完全相同的是（ ）A ．f(x)=(√x)2与g （x ）＝xB ．f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1C ．f(x)=√x 2与g （x ）＝xD ．f(x)=√x x 与g （x ）＝1 8．“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．设函数f （x ）=x+3x+1，则下列函数中为奇函数的是（ ）A ．f （x ﹣1）﹣1B ．f （x ﹣1）+1C ．f （x +1）﹣1D ．f （x +1）+110．人大附中学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12米长的围栏，准备围成两边靠墙（墙足够长）的菜园，若P处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是2m和am（0＜a≤10），设此矩形菜园ABCD的最大面积为u，若要求将这棵树围在菜园内（包括边界），则函数u＝f（a）（单位：m2）的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f(x)=√3−xx的定义域为．12．马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措施，需要通过微信公众号提前预约才能进入公园．根据以上信息，“预约”是“游园”的条件．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要或者既不充分也不必要）．13．已知一元二次方程（a﹣2）x2+4x+3＝0有一正根和一负根，则实数a的取值范围为．14．已知函数f(x)=2x−1，g（x）＝kx+2（k＞0），若∀x1∈[2，3]，∃x2∈[﹣1，2]，使f（x1）＝g（x2）成立，则实数k的取值范围是．．15．函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+1，x∈(−12，12)，若f（x）在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（10分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|ax﹣1≥0}．（1）当a＝2时，求A∩B与A∪B；（2）若_____，求实数a的取值范围．请从①A∩B＝A；②∀x∈A，x∉B；③“x∈B”是“x∈A”的必要条件；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）17．（12分）设函数f（x）＝2x2﹣ax+4（a∈R）．（1）当a＝9时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）≥0对∀x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．18．（13分）已知函数f(x)=x2+a(a∈R)．x（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若a＝2，判断f（x）在[1，+∞）的单调性，并用单调性定义证明．一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x |﹣5＜x ＜﹣3}，B ＝{x |2a ﹣3＜x ＜a ﹣2}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．{﹣1}C ．[1，+∞）∪{﹣1}D ．R20．已知x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，则x +y 的最小值是（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．421．f （x ）＝x （x +1）（x +2）（x +3）的最小值为（ ）A ．﹣1B ．﹣1.5C ．﹣0.9375D ．前三个答案都不对22．若集合A 的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A 为互斥集．若A ＝{a ，b ，c }⊆{1，2，3，4，5}，且A 为互斥集，则1a +1b +1c 的最大值为（ ） A ．116 B ．1312 C ．74 D ．4760二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23．关于x 的方程x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，k ＝ ．24．已知k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值，则实数k 的取值范围是 ． 25．对于集合A ，称定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数．①若A ＝{1，2}，则A 上的等域函数有 个；②若∃A ＝[m ，n ]，使f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1为A 上的等域函数，a 的取值范围是 ．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答䋈写在答题纸上的相应位置．）26．（15分）对于正整数集合A ，记A ﹣{a }＝{x |x ∈A ，x ≠a }，记集合X 所有元素之和为S （X ），S （∅）＝0．若∃x ∈A ，存在非空集合A 1、A 2，满足：①A 1∩A 2＝∅；②A 1∪A 2＝A ﹣{x }；③S （A 1）＝S （A 2）称A 存在“双拆”．若∀x ∈A ，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（2）A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，证明：A 不能“任意双拆”；（3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．2022-2023学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．下列表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}B．M＝{（x，y）|y＝x}，N＝{y|y＝x}C．M＝{1，2}，N＝{2，1}D．M＝{2，4}，N＝{（2，4）}解：对于A，集合M，N表示的点坐标不同，故A错误，对于B，集合M表示点集，集合N表示数集，故B错误，对于C，由集合的无序性可知，M＝N，故C正确，对于D，集合M表示数集，集合N表示点集，故D错误．故选：C．2．以下函数中是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=1x2B．y=1x C．y＝x2D．y＝x解：y=1x2是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足题意，A正确；y=1x是奇函数，不正确；y＝x2在区间（0，+∞）上是增函数；不正确；y＝x是奇函数，不正确．故选：A．3．函数f(x)=xx2+1的图象大致是（）A．B．C．D．解：函数f(x)=xx2+1的定义域为R，f（﹣x）=−xx2+1=−f（x），可得f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项C；当x＞0时，f（x）＞0，可排除选项A、D．故选：B ．4．若x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2﹣3x +2＝0B ．x 2+3x ﹣2＝0C ．x 2+3x +2＝0D ．x 2﹣3x ﹣2＝0解：∵x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，∴2x 1x 2=(x 1+x 2)2−(x 12+x 22)=9﹣5＝4，解得x 1x 2＝2，∵x 1+x 2＝3，x 1x 2＝2，∴x 1，x 2为根的一元二次方程是x 2﹣3x +2＝0．故选：A ．5．已知a ＞b ＞c ，则下列说法一定正确的是（ ）A ．ab ＞bcB ．|a |＞|b |＞|c |C ．ac 2＞bc 2D ．2a ＞b +c解：因为a ＞b ＞c ，则a ＞b 且a ＞c ，所以a +a ＞b +c ，即2a ＞b +c ，故D 正确，当b ＜0时，ab ＜bc ，故A 错误，当a ＝﹣1，b ＝﹣2，c ＝﹣3时，|a |＜|b |＜|c |，故B 错误，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，故C 错误，故选：D ．6．若命题“∃x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1＜0”为假命题，则实数m 的取值范围（ ）A ．m ≤﹣2或m ≥2B ．﹣2＜m ＜2C ．m ＜﹣2或m ≥2D ．﹣2≤m ≤2 解：由题意可知，“∀x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1≥0”为真命题，所以Δ＝m 2﹣4≤0，解得﹣2≤m ≤2，故选：D ．7．定义域与对应法则称为函数的两个要素．下列各对函数中，图象完全相同的是（ ）A ．f(x)=(√x)2与g （x ）＝xB ．f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1 C ．f(x)=√x 2与g （x ）＝xD ．f(x)=√x x 与g （x ）＝1解：对于A ，f （x ）的定义域为[0，+∞），g （x ）的定义域为R ，故A 错误，对于B ，f(x)=x 4−1x 2+1=x 2﹣1，g （x ）＝x 2+1，f （x ）与g （x ）的定义域，值域，映射关系均相同， 故f （x ）与g （x ）图象完全相同，故B 正确，对于C ，f （x ）的值域为[0，+∞），g （x ）的值域为R ，故C 错误，对于D ，f （x ）的定义域为{x |x ≠0}，g （x ）的定义域为R ，故D 错误．故选：B ．8．“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解：由ab ＞0可得{a ＞0b ＞0或{a ＜0b ＜0， 当{a ＞0b ＞0时，由基本不等式可得b a +a b ≥2，当a ＝b 时，等号成立； 当{a ＜0b ＜0时，b a ＞0，a b ＞0，由基本不等式可得b a +a b ≥2，所以充分性满足； 当b a +a b ≥2时，设t =b a ，则有t +1t ≥2，由对勾函数的性质可得t ＞0，即b a ＞0，可得ab ＞0，所以必要性满足．故“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的充要条件．故选：C ．9．设函数f （x ）=x+3x+1，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．f （x ﹣1）﹣1 B ．f （x ﹣1）+1C ．f （x +1）﹣1D ．f （x +1）+1 解：因为f （x ）=x+3x+1=1+2x+1的图象关于（﹣1，1）对称，则f （x ﹣1）﹣1的图象关于原点对称，即函数为奇函数．故选：A ．10．人大附中学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12米长的围栏，准备围成两边靠墙（墙足够长）的菜园，若P 处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是2m 和am （0＜a ≤10），设此矩形菜园ABCD 的最大面积为u ，若要求将这棵树围在菜园内（包括边界），则函数u ＝f （a ）（单位：m 2）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由题意，设CD ＝x ，则AD ＝12﹣x ，所以矩形菜园ABCD 的面积S ＝x （12﹣x ）＝﹣x 2+12x ＝﹣（x ﹣6）2+36，因为要将这棵树围在菜园内，所以{x ≥212−x ≥a，解得：2≤x ≤12﹣a ， 当12﹣a ＞6，也即0＜a ＜6时，在x ＝6处矩形菜园ABCD 的面积最大，最大面积u ＝S max ＝36，当12﹣a ≤6，也即6≤a ≤10时，在x ＝12﹣a 处矩形菜园ABCD 的面积最大，最大面积u ＝S max ＝a （12﹣a ），综上：u ＝f （a ）={36，0＜a ＜6a(12−a)，6≤a ＜10， 根据函数解析式可知，选项B 符合．故选：B ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f(x)=√3−x x 的定义域为 （﹣∞，0）∪（0，3] ．解：因为f(x)=√3−x x， 所以{3−x ≥0x ≠0，解得x ≤3且x ≠0， 即函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，3]．故答案为：（﹣∞，0）∪（0，3]．12．马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措施，需要通过微信公众号提前预约才能进入公园．根据以上信息，“预约”是“游园”的 充分必要 条件．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要或者既不充分也不必要）． 解：园采取了“无预约，不游园”的措施，意思就是说：游园的前提时预约，只有预约了才可以游园，不预约就不能游园．所以：“预约”是“游园”的 充分必要条件．故答案为：充分必要．13．已知一元二次方程（a ﹣2）x 2+4x +3＝0有一正根和一负根，则实数a 的取值范围为 （﹣∞，2） ． 解：一元二次方程（a ﹣2）x 2+4x +3＝0有一正根和一负根，所以{a −2≠0Δ=16−12(a −2)＞03a−2＜0，解得a ＜2， 即实数a 的取值范围为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．14．已知函数f(x)=2x−1，g （x ）＝kx +2（k ＞0），若∀x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，则实数k 的取值范围是 [1，+∞） ．解：已知函数f(x)=2x−1，g （x ）＝kx +2（k ＞0），若∀x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，因为函数f(x)=2x−1在x ∈[2，3]上单调递减，所以f （x ）max ＝f （2）＝2，f （x ）min ＝f （3）＝1，可得f （x 1）∈[1，2]，又因为g （x ）＝kx +2（k ＞0）在x ∈[﹣1，2]上单调递增，所以g （x ）max ＝g （2）＝2k +2，g （x ）min ＝g （﹣1）＝﹣k +2，所以g （x 2）∈[﹣k +2，2k +2]，若x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，所以[1，2]⊆[﹣k +2，2k +2]，所以{−k +2≤12k +2≥2⇒⇒{k ≥1k ≥0，所以k ≥1． 实数k 的取值范围是：[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．15．函数f （x ）＝ax 2﹣（a +1）x +1，x ∈(−12，12)，若f （x ）在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a 的取值范围是 (−∞，−1)∪(−1，−12) ．解：由①可知，a +1≠0，即a ≠﹣1；由③可知，a ＜0；由②可知，−12＜a+12a＜12，即−1＜a+1a＜1，又a＜0，则a＜a+1＜﹣a，解得a＜−1 2；综上，实数a的取值范围为(−∞，−1)∪(−1，−12 )．故答案为：(−∞，−1)∪(−1，−12 )．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（10分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|ax﹣1≥0}．（1）当a＝2时，求A∩B与A∪B；（2）若_____，求实数a的取值范围．请从①A∩B＝A；②∀x∈A，x∉B；③“x∈B”是“x∈A”的必要条件；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）解：（1）当a＝2时，A＝{1，2，3}，B＝{x|x≥12 }，A∩B＝{1，2，3}，A∪B＝{x|x≥12}；（2）若选①A∩B＝A，则A⊆B，当a＝0时，B＝∅，不符合题意，当a＜0时，B＝{x|x≤1a}，不合题意；当a＞0时，B＝{x|x≥1a}，则1a≤1，解得a≥1，故a的取值范围为{a|a≥1}；若选②∀x∈A，x∉B；当a＝0时，B＝∅，符合题意，当a＜0时，B＝{x|x≤1a}，符合题意；当a＞0时，B＝{x|x≥1a}，则1a＞3，解得0＜a＜1 3，故a的取值范围为{a|a＜13 }；③若选“x∈B”是“x∈A”的必要条件，则A⊆B，当a＝0时，B＝∅，不符合题意，当a ＜0时，B ＝{x |x ≤1a}，不合题意；当a ＞0时，B ＝{x |x ≥1a }，则1a ≤1， 解得a ≥1，故a 的取值范围为{a |a ≥1}．17．（12分）设函数f （x ）＝2x 2﹣ax +4（a ∈R ）．（1）当a ＝9时，求不等式f （x ）＜0的解集；（2）若不等式f （x ）≥0对∀x ∈（0，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）函数f （x ）＝2x 2﹣ax +4（a ∈R ），当a ＝9时，f （x ）＜0，即2x 2﹣9x +4＜0，整理得（2x ﹣1）（x ﹣4）＜0，解得12＜x ＜4， 故所求不等式的解集为(12，4)；（2）f （x ）≥0对∀x ∈（0，+∞）恒成立，即2x 2﹣ax +4≥0在x ∈（0，+∞）上恒成立，即a ≤2x +4x 在x ∈（0，+∞）上恒成立，即a ≤(2x +4x )min ，又2x +4x ≥2√2x ×4x =4√2（当且仅当2x =4x 即x =√2时，取“＝“）． 所以a ≤4√2，故实数a 的取值范围为(−∞，4√2]．18．（13分）已知函数f(x)=x 2+a x (a ∈R)．（1）判断f （x ）的奇偶性并证明；（2）若a ＝2，判断f （x ）在[1，+∞）的单调性，并用单调性定义证明．解：（1）当a ＝0时，f （x ）＝x 2为偶函数，当a ≠0时，f （x ）＝x 2+a x 为非奇非偶函数；证明如下：当a ＝0时，f （x ）＝x 2，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2＝x 2，即f （x ）为偶函数，当a ≠0时，f （x ）＝x 2+a x ，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2−a x =x 2−a x ≠±f （x ），即为非奇非偶函数； （2）a ＝2时，f （x ）=x 2+2x ，设1≤x 1＜x 2，则x 1﹣x 2＜0，x 1+x 2−2x 1x 2＞0，则f （x 1）﹣f （x 2）=x 12−x 22+2x 1−2x 2=（x 1﹣x 2）（x 1+x 2−2x 1x 2）＜0， 所以f （x 1）＜f （x 2），故f （x ）在[1，+∞）单调递增． 一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x |﹣5＜x ＜﹣3}，B ＝{x |2a ﹣3＜x ＜a ﹣2}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．{﹣1}C ．[1，+∞）∪{﹣1}D ．R解：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①B ＝∅时，2a ﹣3≥a ﹣2，解得a ≥1；②B ≠∅时，{a ＜12a −3≥−5a −2≤−3，解得a ＝﹣1；∴综上可得，a 的取值范围是a ≥1或a ＝﹣1．故选：C ．20．已知x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，则x +y 的最小值是（） A ．1 B ．√2 C ．2 D ．4解：设f （t ）＝t 3+2022t ，函数定义域为R ，f （﹣t ）＝（﹣t ）3+2022×（﹣t ）＝﹣t 3﹣2022t ＝﹣f （t ），∴f （t ）是奇函数，∀t 1＜t 2，有t 13＜t 23，则f （t 1）﹣f （t 2）＝t 13+2022t 1﹣（t 23+2022t 2）＜0，即f （t 1）＜f （t 2）． ∴函数f （t ）是增函数，由x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，所以√x +√y −2＝0，可得√x +√y =2，两边同时平方再利用基本不等式，有4＝x +y +2√xy ≤2（x +y ），当且仅当x ＝y ＝1时取等号，所以x +y 的最小值为2，故选：C ．21．f （x ）＝x （x +1）（x +2）（x +3）的最小值为（ ）A ．﹣1B ．﹣1.5C ．﹣0.9375D ．前三个答案都不对解：y ＝x （x +1）（x +2）（x +3）＝[x （x +3）][（x +1）（x +2）]＝（x 2+3x ）[（x 2+3x ）+2]，令a ＝x 2+3x ＝（x +32）2−94≥−94．y ＝a 2+2a ＝（a +1）2﹣1，∵a ≥−94，∴a ＝﹣1时，y 有最小值﹣1．故选：A ．22．若集合A 的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A 为互斥集．若A ＝{a ，b ，c }⊆{1，2，3，4，5}，且A 为互斥集，则1a +1b +1c 的最大值为（ ） A ．116 B ．1312 C ．74 D ．4760解：∵A 为{1，2，3}，{1，2，4}，[1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，且A 为互斥集，∴A 为{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，5}，{2，3，4}，{2，4，5}，{3，4，5}，要想1a +1b +1c 取得最大值，则a ，b ，c 要最小， 此时a ，b ，c ∈{1，2，4}，令a ＝1，b ＝2，c ＝4，则1a +1b +1c =11+12+14=74． 故选：C ．二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23．关于x 的方程x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，k ＝ ﹣1或0或3 ．解：∵x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，∴x ﹣1≠0，且 x =k−2x x， ∴x ≠0，且 x 2+2x ﹣k ＝0有一个实数根，结合x ≠0且x ≠1，可得k ＝﹣1或k ＝0或k ＝3．故答案为：﹣1或0或3．24．已知k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值，则实数k 的取值范围是 [1，+∞） ． 解：因为k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值， 易知x ≥0时，f （x ）＝﹣x +k +1单调递减，故此时f （x ）≤f （0）＝k +1；当x ＜0时，f （x ）=2−x+k 单调递增，结合x →0﹣时，f （x ）→2k，所以由题意只需k +1≥2k 即可，解得k ≥1，或k ≤﹣2（舍），故k 的取值范围为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．25．对于集合A ，称定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数．①若A ＝{1，2}，则A 上的等域函数有 2 个；②若∃A ＝[m ，n ]，使f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1为A 上的等域函数，a 的取值范围是 {a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1} ．解：定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数，（1）所以若 f （x ）＝x ，则 f （1）＝1，f （2）＝2，所以f （x ）＝x 的定义域与值域均为A ＝{1，2}，同理若f （1）＝2，f （2）＝1，也满足题意，所以A 上的等域函数有2个；若a ＜0，则f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1≤﹣1＜0，因此 n ＜0，从而f （x ）在[m ，n ]上单调递增，{f(m)=m f(n)=n， 所以f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 有两个不等的负实根，即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0有2个不等的负实根，所以{ Δ=(2a +1)2−4a(a −1)＞0x 1+x 2=2a+1a ＜0x 1x 2=a−1a ＞0，解得−18＜a ＜0； 若a ＝0，则f （x ）＝﹣1，不合题意；a ＞0 时，①若m ≤1≤n ，则f （x ）min ＝﹣1，因此m ＝﹣1，f （﹣1）＝4a ﹣1，f （n ）＝a （n ﹣1）2﹣1，若1≤n ≤3，则n ＝f （﹣1）＝4a ﹣1，令1≤4a ﹣1≤3，解得12≤a ≤1， 若n ＞3，则f （n ）＝n ，所以方程f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 有大于3的实数根，即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0有大于3的实数根，即Δ＝（2a +1）2﹣4a （a ﹣1）≥0，解得a ≥−18， 所以a ＞0时，x =2a+1±√8a+12a ，令2a+1+√8a+12a＞3，解得√8a +1＞4a ﹣1， 当4a ﹣1≤0时，即0＜a ≤14时，不等式显然成立，当a ＞14时，8a +1＞（4a ﹣1）2，解得0＜a ＜1，所以14＜a ＜1，所以0＜a ＜1满足题意， 综上，0＜a ≤满足题意；下面讨论a ＞1时是否存在[m ，n ]满足题意，②若n ≤1，则 f （x ）在[m ，n ]上是减函数，因此{f(m)=n f(n)=m，显然m ＝f （n ）≥﹣1， 令{a(m −1)2−1=n a(n −1)2−1=m，相减得a （m +n ﹣2）＝﹣1，即m ＝2−1a −n ，n ＝2−1a −m ， 因此有{a(m −1)2−1=2−1a −m a(n −1)2−1=2−1a −n ， 设g （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1﹣（2−1a −x ）＝0在[﹣1，1]上有两个不等实根，整理得g （x ）＝ax 2﹣（2a ﹣1）x +a +1a −3，a ＞1时，由于g （1）=1a −2＜0，因此方程g （x ）＝0一个根大于1，一根小于1，不合要求； ③若1≤m ＜n ，则f （x ）在[m ，n ]上是增函数，因此{f(m)=m f(n)=n，即f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 在[1，+∞）上有两个不等实根， 即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0 在[1，+∞）上有两个不等实根，设h （x ）＝ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1，则h （1）＝﹣2＜0，所以h （x ）＝0 的两根一个大于1，一个小于1，不合题意，综上，a 的取值范围是{a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1}．故答案为：2；{a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1}．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答䋈写在答题纸上的相应位置．）26．（15分）对于正整数集合A ，记A ﹣{a }＝{x |x ∈A ，x ≠a }，记集合X 所有元素之和为S （X ），S （∅）＝0．若∃x ∈A ，存在非空集合A 1、A 2，满足：①A 1∩A 2＝∅；②A 1∪A 2＝A ﹣{x }；③S （A 1）＝S （A 2）称A 存在“双拆”．若∀x ∈A ，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（2）A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，证明：A 不能“任意双拆”；（3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．解：（1）对集合{1，2，3，4}，{1，2，3，4}﹣{4}＝{1，2，3}，且1+2＝3，∴集合{1，2，3，4}可以双拆，若在集合中去掉元素1，∵2+3≠4，2+4≠3，3+4≠2，∴集合{1，2，3，4}不可“任意双拆”；若集合{1，3，5，7，9，11}可以“双拆”，则在集合{1，3，5，7，9，11}去除任意一个元素形成新集合B，若存在集合B1，B2，使得B1∩B2＝∅，B1∪B2＝B，S（B1）＝S（B2），则S（B）＝S（B1）+S（B2）＝2S（B1），即集合B中所有元素之和为偶数，事实上，集合B中的元素为5个奇数，这5个奇数和为奇数，不合题意，∴集合{1，3，5，7，9}不可“双拆”．（2）证明：设a1＜a2＜a3＜a4＜a5．反证法：如果集合A可以“任意双拆”，若去掉的元素为a1，将集合{a2，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5＝a3+a4，①，或a5＝a2+a3+a4，②，若去掉的是a2，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5＝a3+a4，③，或a5＝a1+a3+a4，④，由①﹣③可得a1＝a2，矛盾；由②﹣③得a1＝﹣a2，矛盾；由①﹣④可得a1＝﹣a2，矛盾；由②﹣④可得a1＝a2，矛盾．∴A不能“任意双拆”；（3）设集合A＝{a1，a2，a3，•，a n}，由题意可知S（A）﹣a i（i＝1，2，•，n）均为偶数，∴a i（i＝1，2，•，n）均为奇数或偶数，若S（A）为奇数，则a i（i＝1，2，•，n）均为奇数，∵S（A）＝a1+a2+•+a n，∴n为奇数，若S（A）为偶数，则a i（i＝1，2，•，n）均为偶数，此时设a i＝2b i，则{b1，b2，b3，•，b n}可任意双拆，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意双拆”集，此时各项之和也是奇数，则集合A中元素个数n为奇数，当n＝3时，由题意知集合A＝{a1，a2，a3}不可“任意双拆”，当n＝5时，集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}不可“任意双拆”，∴n≥7，当n＝7时，取集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}，∵3+5+7+9＝11+13，1+9+13＝5+7+11，1+3+5+77＝7+13，1+9+11＝3+5+13，3+7+9＝1+5+13，1+3+5+9＝7+11，则集合A可“任意双拆”，∴集合A中元素个数n的最小值为7．。
2019-2020学年江苏南京高一上学期期末数学试卷详解版
2019~2020学年江苏南京高一上学期期末数学试卷(详解)一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。
）2.A.B.C.D.【答案】【解析】已知向量，，则向量的坐标为（ ）．D ∵向量，，∴，选项正确．故选．3.A.B.C.D.【答案】已知，，，则，，的大小关系是（ ）．B1.A.B.C.D.【答案】【解析】已知集合，集合，则（ ）．C ∵集合，集合，∴．故选．【解析】，，∵，∴，∴．故选．4.A. B.C.D.【答案】【解析】函数的定义域为（ ）．C ∵函数，则，，即，，∴函数的定义域为．故选．5.A.B.C.D.【答案】【解析】已知扇形的面积为，圆心角为弧度，则的长为（ ）．B∵扇形面积为，圆心角又为，∴，则，由，则．即，，解得．故的长为．故选．6.A.B.C.D.【答案】【解析】若向量，满足：，，，则（ ）．D 依题意，，，∴，，∴，∴，，∴，∴．故选．7.A.B.C. D.【答案】【解析】函数图象的大致为（ ）．A 的定义域为，故排除选项；，所以函数是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项；又当时，，，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故排除选项．故选．8.A.B.C.D.【答案】【解析】安装了某种特殊装置的容器内有细沙，容器倒置后，细沙从容器内流出，后容器内剩余的细沙量为（单位：），其中为常数．经过后发现容器内还剩余的沙子，再经过后，容器中的沙子剩余量为，则（ ）．C由题意可知，后，剩沙子，则，∴，又∵再过剩沙子，∴，∴，∴．故选．二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。
）9.A. B.C.D.【答案】A 选项：【解析】下列各选中，值为的是（ ）．AC根据换底公式有：，故正确；B 选项：C 选项：D 选项：，故错误；，故正确；原式的平方可得：，∴原式，故错误．故选 A C .10.A.B.C.D.【答案】A 选项：B 选项：C 选项：D 选项：【解析】记函数的图象为，则下列结论正确的是（ ）．函数的最小正周期为函数在区间上单调递增直线是图象的一条对称轴将函数的图象向右平移个单位长度，得到图象ABC∵函数，∴函数的最小正周期为，故正确；令，，，，则函数在上单调递增，当时，在上单调递增，故正确；令，，则，，函数的对称轴为，，当时，函数的一对称轴为，故正确；将函数的图象向右平移个单位长度，得到，故错误．故选 A B C .11.A.B.C.D.【答案】【解析】已知函数，，则下列结论正确的是（ ）．若，则函数的最小值为若，则函数的值域为若，则函数有且仅有一个零点若，则恒成立BCD 若，则，故取得的最小值．所以选项错误．若，则当时，，当时，．所以当时，，当时，．故的值域为．所以选项正确．若，当时，，当时，，当时，．故当时，解得，只有一个零点．所以选项正确．当时，单调递增，此时有，所以恒成立．故选项正确．一综上所述，结论正确的有、、．故选、、．12.A.B.C.D.【答案】A 选项：B 选项：C 选项：D 选项：【解析】已知向量，是同一平面内的两个向量，则下列结论正确的是（ ）．若存在实数，使得，则与共线若与共线，则存在实数，使得若与不共线，则对平面内的任一向量，均存在实数，，使得若对平面内的任一向量，均存在实数，，使得，则与不共线ACD若存在实数，使得，则不可能为零向量，所以与共线，故正确；若与共线，当为零向量时，不为零向量时，不存在实数，使得，故错误；若与不共线，则与可作为平面内一组基底，则存在实数，，使得平面内的任一向量，都可以表示成，故正确；若对平面内的任一向量，均存在实数，，使得，则与为平面内的一组基底，故与不共线，故正确．故选 A C D .三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。
2019-2020学年江苏省南京师大附中2019级高一上学期期末考试数学试卷及解析
2019-2020学年江苏省南京师大附中2019级高一上学期期末考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、单项选择题：本小题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.已知集合 U = R ,集合{}2|320A x x x =-+>,则U C A =（ ）A. (1,2)B. [1,2 ]C. (-2,-1 )D. [ -2,-1]【答案】B【解析】 解一元二次不等式化简集合A 的表示,再利用补集的定义,结合数轴求出即可.【详解】因为A ()(),12,=-∞+∞,U = R ,所以U C A =[1,2]．故选：B2.设13331log ,4,log 24a b c ===,则a ,b ,c 的大小关系为（ ）． A. c >a > bB. b > a > cC. c > b > aD. b > c > a【答案】D【解析】 根据指数函数、对数函数的单调性,利用中间值比较方法判断出三个数的大小. 【详解】103333331log log 10,441,0log 1log 2log 314a b =<==>==<<=, 所以 b > c > a ．故选：D3.如图,已知点 C 为△OAB 边AB 上一点,且AC =2CB ,若存在实数m ,n ,使得OC mOA nOB =+,则m n -的值为（ ）．A. 13-B. 0C. 13D. 23【答案】A【解析】根据平面向量的基本定理和共线定理,结合已知求出m n -的值. 【详解】1111233333BC B OC OB OB OB A BO O OA O A B =+=+=++=+,所以13m n -=-. 故选：A4.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示,则ϕ的值为（ ）．A. 6πB. 6π-C. 4π-D. 4π 【答案】D【解析】 利用最高点和最低点的坐标,求出周期,利用周期公式求出ω的值,把其中一个点的坐标代入函数解析式中,最后求出ϕ的值.【详解】由图可知,322T π=,所以223T πω==,所以()22sin 3f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,又因为328f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以232382k ππϕπ⨯+=+,解得()24k k Z πϕπ=+∈,因为2πϕ<,所以4πϕ=. 故选：D。
江苏省南京市2019 2020高一上学期期末调研数学Word版含答案
学年度第一学期期末调研南京市2018-2019高一数学012019．注意事项：、解答题（第题）11题~第144页，包括填空题（第1题~第10题）、选择题（第1．本试卷共分钟．20题）三部分．本试卷满分为160分，考试时间为12015题~第上对应题目的．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡2．．．答案空格内．考试结束后，交回答题卡．上．50分．请把答案填写在答题卡相应位置一、填空题：本大题共10小题，每题5分，共．．．．．．．▲．A∪B)＝，4}，集合A＝{0，3}，B＝{1，3}，则?(，1．已知全集U＝{0，12，3Ux．▲ 2 －4 的定义域为2．函数f(x) ＝αsin ．▲的值为P3．已知角α的终边经过点(－5，12)，则αtan C．，则实数x的值为▲3)＝(4，－，b＝(x，6)，且a∥b4．已知向量a x 的值为▲，则6 ．5．已知x＝log12－log366 D，B＝60°中，．如图，在直角三角形ABCAB＝2，∠6B→→A．的值为▲AD⊥BC，垂足为D，则ABAD·题图）（第6π7．将函数f (x)＝2sin2x的图象向左平移个单位后，得到函数g (x) 的图象，则g (0) 的值6为▲．3－x，x≤2，?8．已知a＞0且a≠1，若函数f (x)＝的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围?log x，x＞2?a是▲．→→→→→→→→9．已知向量OA与OB满足|OA|＝2，|OB|＝1．又OM＝tOA，ON＝(1－t)OB，→→→2且|MN|在t＝时取到最小值，则向量OA与OB的夹角的值为▲．7πx2－x，g(x)＝sin．若使不等式f(x)＜g(x) 成立的整数kx10．已知函数f(x)＝x恰有1个，则实2数k的取值范围是▲．二、选择题：本大题共4小题，每题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．0.71.4，则a，b，c的大小关系是（）0.711．已知a＝log，b＝1.4c，＝0.7 .41 a＜＜bc D．bc＜cb C．＜a＜＜．＜＜．A abc B a12．函数f(x)＝x sin x，x∈[－π，π]的大致图象是（）yπ－πxOyxπ－πOA．B．yyπOπ－x－πO xπC．D．→→→→··AB的值是（）AD＝3，若AC，则AD＝11AC．在平行四边形13ABCD中，AB＝4，A．10 B．14 C．18 D．2214．已知函数f(x)＝2cos x (x∈[0，π]) 的图象与函数g(x)＝3tan x的图象交于A，B两点，则△OAB（O为坐标原点）的面积为（）ππ3ππ3A．B．C．D．4422三、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，向量c满足ac＝bc＝5．··（1）求向量c的坐标；（2）求向量a与c的夹角θ．16．（本小题满分14分）25已知α是第二象限角，且sinα＝． 5 （1）求tanα的值；sin(π＋α)＋cos(π－α) 的值．（2）求ππsin(－α)＋cos(＋α)2217．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)( A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象如图所示．y2●（1）求函数f(x) 的解析式；（2）求函数f(x) 的单调增区间；π（3）当x∈[－，0] 时，求函数f(x) 的值域． 216分）18．（本小题满分万吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利0.2某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费元；如果进行精加工后销售，每吨可获利0.61?2，x≤8≤x，020?P＝P（万元）与精加工的蔬菜量x（吨）有如下关系：8x＋3 ．8＜x≤14，10设该农业合作社将x（吨）蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润（扣除加工费）为y（万元）．1yx的函数表达式；）写出（关于（2）当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润．19．(本小题满分16分)→→3如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝5，cos∠CAB＝，D是边BC上一点，且BD＝2DC．5．→→→y的值；，求实数x，AD＝xAB＋yAC）设（1→||BP→→→→的值．⊥PC，求与AD 共线，PA（2）若点P满足BP C→||AD DPBA（第19题图）分）20．（本小题满分16 ．x)1)＞2f (∈M给定区间I，集合是满足下列性质的函数f (x) 的集合：任意xI，f (x＋x )∈M3R）已知I＝，f (x)＝；，求证：f(x1 （．若g (x)∈的取值范围；，求实数aMx＝g ，）已知（2I＝(01]，(x)a＋log22 )的关系．M) ，讨论函数h (x与集合R a－＋x)(，，－＝）已知（3I[11]h x＝－＋axa5 (∈南京市2018-2019学年度第一学期期末调研高一数学参考答案 201901．分）分，共50一、填空题（10小题，每题5545．3．－4．－8 1．{2，4} 2．[2，＋?) 13π12)[，10．9．6．37 ．38．(1，2] 23分）小题，每题5分，共204二、选择题（D ．14 13．C 11．B 12．A分）6小题，共90三、解答题（分）．（本小题满分1415 y)．）设解：（1c＝(x，＝5，b＝(1，－2)，ac＝bc，因为a＝(2，1)··，＝52x＋y?……………………4分所以?，52x－y＝?，3x＝?……………………7分解得1)所以c＝(3，－．?，y＝－1?，－＝(31)，＝（2）因为a(2，1)，c分9……………………所以|a|＝5，|c|＝10．＝5，－＋2×31×(1)＝又ac·2c5a·……………………11分θ所以cos＝＝＝，2|||c|a10×5π，所以[0 又θ∈，π]θ＝．分……………………14 4 1)不扣分．＝）最后没有写成（注：1c(3，－θ范围或范围写错，扣分．1θ（2）不写（本小题满分．14分）1652 ，α是第二象限角，且1解：（）因为αsin＝552522(1＝－－α1＝－α所以cos－)＝－分4 sin (55)525αsin 分……………………7 tanα＝＝＝－2．所以αcos5－5αcosα－α)－sincos(sin(π＋α)＋π－分11 ……………………（2）＝ππα－sincosα)＋αα)＋cos(sin(－2212)＋＋1 (－α－tan－1tanα1 14分……………………＝．＝＝＝31αtanα－(1－tan1－2)－5，扣1分；注：（1）计算要能体现公式．如未能体现公式，直接写出cosα＝－5如未能体现公式，直接写出tanα＝－2，扣1分；不写α角的范围，扣1分；－sinα－cosαsinα＋cosα1 （2）只看化简结果或，得4分；最后只看最终结果，3分．3αsinα－cosαcosα－sin17．（本小题满分14分）ππ114解：（1）由图象知，A＝2，T＝×(－)＝π，31262π所以ω＝＝2，从而f(x)＝2sin(2x＋φ)．……………………2分Tπππ又因为f(x)的图象经过点(，2)，所以2sin(＋φ)＝2，即sin(＋φ)＝1，633πππ从而＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ＋．632ππ又因为|φ|＜π，所以φ＝，故f(x)＝2sin(2x ＋)．……………………5分66πππ（2）令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，262ππ解得kπ－≤x≤kπ＋，63ππ所以函数f(x)的增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z．……………………9分36π（3）令t＝2x＋．6πππ5因为x∈[－，0]，所以t∈[－，]，2661从而sin t ∈[－1，]，……………………12分2．即2sin t∈[－2，1]．π所以当x∈[－，0]时，函数f(x)的值域为[－2，1]．……………………14分2注：（1）A，ω各1分；φ算对得3分；（2）结果没有写成区间的扣1分；18．（本小题满分16分）解：（1）由题意知，当0≤x≤8时，1121422＋x＋，＝―x……………………3分xy＝0.6＋0.2(14―x)―x202055当8＜x≤14时，3x＋81y＝0.6x＋0.2(14―x)―＝x＋2，……………………5分10101214?2，≤x≤8―x＋x＋，05520?……………………7分＝即y1?．≤14 8＜x x＋2，10121411822＋，―4) ＋≤x≤8时，y＝―x＋＝―(xx（2）当020*******．……………………10分所以当x＝4时，y＝max51当8＜x≤14时，y＝x＋2，1017．……………………12分＝14时，y＝x所以当max5181718＞，所以当x＝4时，y＝．因为max55518答：当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为万元．…………………16分5注：（1）若无过程直接得到分段函数，且正确，不扣分；（2）按标准．19．（本小题满分16分）→→→→→→，)AD―AC2(＝AB―AD，所以DC2＝BD）因为1（解：→→→21即AD＝AB＋AC．33→→→→→又AD＝xAB＋y AC，且AB，AC不共线，12所以x＝，y＝．……………………4分33→→（2）（方法一）因为BP与AD共线，→→所以存在实数λ，使得BP＝λAD．…………………… 6 分λ→→→→→→λ212因为AD＝AB＋AC，所以BP＝AB＋AC，3333λλ→→→→→→→→λ22λ从而PA＝PB＋BA＝―AB―AC―AB＝―(＋1)AB―AC，3333λ→→→→→λ2PC＝PA＋AC＝―( ＋1)AB＋(1―)AC，……………………8分33λλ→→→→→→22λλλ4222··．)ACAC―(11)―AB1)＋(＋1)(―AB所以PAPC＝(＋33333分10 ……………………→→→→3322·AC＝2×5×25，AB＝6，＝5，cos∠CAB＝，所以AB4＝，AC＝＝因为AB2，AC55λλ→→λ2λ24λ2·×4＋(＋1)(―1)×6PA―PC＝(＋1)(1―)×25所以333331282λ―8λ―2，＝……………………14分9→→→→331282·λ―8λ―2＝0，解得λ＝PC，所以PA，即PC＝0或λ＝―．PA 因为⊥9416→|BP|33因此＝|λ|＝或．分16 ……………………→164||AD．xA（方法二）如图，以为坐标原点，AB所在直线为轴建立直角坐标系xOy3 ＝∠，＝，＝因为AB2AC5cos CAB，C5yDP所以A(0，0)，B(2，0)，C(3，4)．→→→21又AD＝AB＋AC，33→1828所以AD＝(2，0)＋(3，4)＝(，)．3333……………………8分→→因为BP与AD共线，→→→8λ8λ所以存在实数λ，使得BP＝λAD，即BP＝(，)．……………………10分338λ＋6→→→λ88λ8λ所以AP＝AB＋BP＝(2，0)＋(，)＝(，)，33338λ―38λ―128λ＋6→→→8λCP＝AP―AC＝(，)―(3，4)＝(，)．3333……………………12分→→→→→→·CP＝0，所以AP，因为PA⊥PC，即AP⊥CP8λ―38λ＋68λ―128λ2―36λ―9＝064λ．…………………14分所以×＋×＝0，即333333解得λ＝或λ＝―，416→|BP|33因此＝|λ|＝或．……………………16分→416|AD|20．（本小题满分16分）xx+1xx＞0，即f (x＋1)＞×32＝3f (x))f (x＝3＝，所以f (x＋1)―2f (x)3，―2解：（1）证明：因为所以f (x)∈M．……………………2分（2）因为g (x)＝a＋log x，x∈(0，1]，且g (x)∈M，2所以当x∈(0，1]时，g (x＋1)＞2g (x)恒成立，即a＋log(x＋1)＞2a＋2log x恒成立，2211所以a＜log(x＋1)―2log x＝log(＋)恒成立．……………………4分2222xx11因为函数y＝log(＋) 在区间(0，1] 上单调递减，所以当x＝1时，y＝1．2min2xx分7 ……………………．1＜a所以2＋x＝－) (）（3hx＋axa，(0∈，5－x1]．(h，，1―∈x当，M)x(若h ∈则[1]xh2＞1)＋x ()恒成立，22恒成立10－a2＋ax2＋x2＞－5－a＋1)＋x(a＋1)＋x(即－2－(a＋2)x＋4＞0恒成立．即x……………………9分2－(a＋2)x＋4，x∈[―记H (x)＝x1，1]．a＋2≤―1，即a≤―4时，H(x)＝H (―1) ＝a＋7＞0①当，即a＞―7．min2 又因为a≤―4，所以―7＜a≤―4；……………………11分a＋2②当－1＜＜1，即－4＜a＜0时，2a＋2(2－a)(6＋a)H (x)＝H ()＝＞0，恒成立，min24所以－4＜a＜0；……………………12分a＋2≥1，即a≥0时，H (x)＝H (1)＝3－a＞0，即a＜3．③当min2又a≥0，所以0≤a＜3．综上所得－7＜a＜3．……………………14分所以当－7＜a＜3时，h (x) ∈M；/M．……………………16分当a≤－7或a≥3时，h(x)∈注：（1）按标准；（2）得到a＋log(x＋1)＞2a＋2log x恒成立，得2分；2222＋2ax＋2a－＞－＋1)a－52x10恒成立，不得分，＋(1)x）得到－（3(＋＋ax2－(a＋2)x＋4化简后得x＞0恒成立，得2分．。
2019-2020学年01月14日南师附中高一上数学期末试卷+解析
=
2 ，所以
2 × 3π 38
+ϕ
=
π 2
+ 2kπ
，解得 ϕ
= π + 2kπ (k ∈ Z) ，
4
因为 ϕ < π ，所以ϕ = π ．
2
4
5.
函数 f ( x)=
log2
1− 1+
x x
+
1 3
2x
−1
的定义域是（
）．
A. [1, +∞)
B. (0,1)
C. (−1,0]
D. (−∞, −1]
A. (1, 2)
B.[1, 2]
C. (−2, −1)
【答案】B；
【解析】因为 A = (−∞,1) (2, +∞) ，U = R ,所以 U A = [1, 2] ．
D. [−2, −1]
2.
设
a
=
log3
1 4
，
b
=
1
43
，
c
=
log3
2
，则
a, b, c
的大小关系为（
）．
A. c > a > b
11. 设 a 为实数，则直线 y = a 和函数 =y x4 + 1 的图象的公共点个数可以是（ ）．
A. 0
B.1
C. 2
D. 3
【答案】ABC；
【解析】 =y x4 + 1 是偶函数，且在 [0, +∞) 上递增，画出草图，可知 y = a 与该函数的交点个数可能为 0，
1，2．
12. 设函数 f ( x) 的定义域为 D ，若对于任意 x ∈ D ，存在 y ∈ D 使 f ( x) − f ( y) = C （ C 为常数）成立，则
2023-2024学年江苏省南京高一上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年江苏省南京高一上册期末数学试题一、单选题1．已知{}R,{13},2U A xx B x x ==-<<=≤∣∣，则()U A B ⋃=ð（）A ．(](),12,-∞-+∞B ．()[),12,-∞-⋃+∞C ．[)3,+∞D ．()3,+∞【正确答案】C【分析】由并集和补集的概念即可得出结果.【详解】∵{}R,{13},2U A xx B x x ==-<<=≤∣∣∴),3(A B ⋃=-∞，则,()[)3U A B ⋃=+∞ð，故选：C.2．已知22log 3,log 5a b ==，则18log 15=（）A ．21a ba +-B ．12a b a++C ．1a b -+-D ．1a b +-【正确答案】B【分析】利用对数的换底公式和对数的运算性质进行运算求解即可．【详解】2221822log 15log 3log 5log 15log 1812log 312a ba++===++，故选：B ．3．设a b c d ,,,为实数，且c d <，则“a b <”是“”a c b d -<-的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：由a b <不能推出a c b d -<-，如2a =，3b =，0c =，1d =，满足a b <，但是a c b d -=-，故充分性不成立；当a c b d -<-时，又c d <，可得a c c b d d -+<-+，即a b <，故必要性成立；所以“a b <”是“”a c b d -<-的必要不充分条件.故选：B.4．函数()3ln f x x x=-的零点所在的大致区间为（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,e D ．()e,3【正确答案】D【分析】由题意可知()f x 在()0,∞+递增，且()()e 0,30f f ，由零点存在性定理即可得出答案.【详解】易判断()f x 在()0,∞+递增，()()3e lne 0,3ln310ef f =-=-.由零点存在性定理知，函数()3ln f x x x=-的零点所在的大致区间为()e,3.故选:D.5．已知π1sin 63x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25πsin()2cos ()6π3x x -+-的值是（）A ．59-B ．19C ．59D ．13+【正确答案】C 【分析】令π6t x =+，代入所求式子，结合诱导公式化简即可得出结果.【详解】令π6t x =+，则π6=-x t ，1sin 3t =，则2225π125sin()2cos ()sin(π)2cos ()sin 2sin 63399ππ2x x t t t t -+-=-+-=+=+=.故选：C.6．将函数()π2sin 43⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x 的图象向右平移π3个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 所具有的性质是（）A ．图象关于直线3x π=对称B ．图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C ．()g x 的一个单调递增区间为5ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．曲线()g x 与直线y =π6【正确答案】D【分析】先利用题意得到()π2sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x ，然后利用正弦函数的性质对每个选项进行判断即可【详解】函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度得到ππ5ππ2sin 42sin 42sin 43333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭y x x x ，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到()π2sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x ，对于A ，因为ππsin 2sinπ01,33⎛⎫⨯+==≠± ⎪⎝⎭所以直线3x π=不是()g x 的对称轴，故A 错误；对于B ，ππ2πsin 2sin 0,633⎛⎫⨯+=≠ ⎪⎝⎭所以图象不关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，故B 错误；对于C ，当5ππ,44⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ，则π13π5π2,366⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦x ，因为正弦函数sin y x =在13π5π,66⎡⎤-⎢⎣⎦不单调，故5ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不是()g x 的一个单调递增区间，故C 错误；对于D ，当()g x sin 23⎛⎫+=⎪⎝⎭x π则ππ22π33+=+x k 或2π2π,Z 3+∈k k ，则πx k =或Z π6,+∈k k π，则相邻交点距离最小值为π6，故D 正确故选：D.7．函数()22cos 1x xf x x =+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】利用函数的奇偶性及()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的函数值正负逐个选项判断即可．【详解】因为()22cos 1x xf x x =+，定义域为R ，所以()222()cos()2cos ()()11x x x xf x f x x x ---==-=--++，所以()f x 为奇函数，又因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x >，所以由图象知D 选项正确，故选D ．8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如.][3.64,3.63⎡⎤-=-=⎣⎦已知函数()1e 21e xxf x =-+，则函数()()y f x f x =+⎡⎤⎣-⎡⎤⎦⎣⎦的值域是（）A ．{}1,0-B ．{}0C ．{}0,1D ．{}1,0,1-【正确答案】A【分析】依题意可得()1121e xf x =-++，再根据指数函数的性质讨论0x >，0x =和0x <时，函数的单调性与值域，即可得出答案.【详解】因为()1e 11e 11111121e 21e 21e 21e x x x x x xf x +-⎛⎫=-=-=--=-+ ⎪++++⎝⎭，定义域为R ，因为1e x y =+在定义域上单调递增，则11e xy =+在定义域上单调递减，所以()1121e xf x =-++在定义域R 上单调递减，0x <时，()()()111e 0,1,,1,0,,01e 22xx f x f x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤∈∈∈= ⎪ ⎪⎣⎦+⎝⎭⎝⎭，()00f ⎡⎤=⎣⎦0x >时，()()()111e 1,,0,,,0,11e 22xx f x f x ∞⎛⎫⎛⎫⎡⎤∈+∈-=- ⎪ ⎪⎣⎦+⎝⎭⎝⎭；则0x >时，()()101,f x f x ⎡⎤⎡⎤+-=-+=-⎣⎦⎣⎦0x <时，()()()011f x f x ⎡⎤⎡⎤+-=+-=-⎣⎦⎣⎦，0x =时，()()000f x f x ⎡⎤⎡⎤+-=+=⎣⎦⎣⎦.故选：A.关键点睛：本题解题关键在于理解题中高斯函数的定义，才能通过研究()f x 的性质来研究()()y f x f x =+⎡⎤⎣-⎡⎤⎦⎣⎦的值域，突破难点.二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．若,a b n >为正整数，则n n a b >B ．若0,0b a m >>>，则a m ab m b+>+C ．22222a ba b++≥D ．若0απ<<，则0sin 1α<<【正确答案】BC【分析】利用不等式性质、基本不等式及正弦函数的图象性质逐个选项判断即可得到答案．【详解】对于A ，若1,1,2a b n ==-=，则n n a b =，故A 错误；对于B ，0,0b a m >>>时，a m aab bm ab am b a b m b+>⇔+>+⇔>+，故B 正确；对于C ，由20,20a b >>，则22222a b a b ++≥⨯，当且仅当a b =时取等号，故C 正确；对于D ，当π2α=时，πsin 12=，故D 错误；故选：BC ．10．设m 为实数，已知关于x 的方程()2310mx m x +-+=，则下列说法正确的是（）A ．当3m =时，方程的两个实数根之和为0B ．方程无实数根的一个必要条件是1m >C ．方程有两个不相等的正根的充要条件是01m <<D ．方程有一个正根和一个负根的充要条件是0m <【正确答案】BCD【分析】逐项分析每个选项方程根的情况对应的参数m 满足的不等式，解出m 的范围，判断正误.【详解】对于A 选项，3m =时2310x +=无实根，A 错误；对于B 选项，当0m =时方程有实根，当0m ≠时，方程无实根则2(3)40m m --<，解得19m <<，一个必要条件是1m >，B 正确；对于C 选项，方程有两个不等正根，则0m ≠，0∆>，30mm ->，10m>，解得01m <<；对于D 选项，方程有一个正根和一个负根，则0m ≠，10m<，解得0m <，D 正确；故选：BCD.11．设0,0a b >>，已知22,a b M N ab +==）A ．M 有最小值B ．M 没有最大值C ．N 有最大值为2D ．N 有最小值为2【正确答案】ABD【分析】由均值不等式分别求出,M N 的最值，即可得出答案.【详解】,0a b >时()[)10,,2,AB b b a t M t a a b t∞∞=∈+=+=+∈+，正确，0,0a b >>时2a b +≤，则C 2a b ≥+错误，D 正确；故选：ABD.12．设ω为正实数，a 为实数，已知函数()()4sin f x x a ωϕ=++，则下列结论正确的是（）A ．若函数()f x 的最大值为2，则2a =-B ．若对于任意的x ∈R ，都有()()πf x f x +=成立，则2ω=C ．当π3ϕ=时，若()f x 在区间ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．当a =-ϕ∈R ，函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎣⎦上至少有两个零点，则ω的取值范围是[)4,+∞【正确答案】ACD【分析】对A ：根据正弦函数的有界性分析判断；对B ：利用函数的周期的定义分析判断；对C ：以x ωϕ+为整体，结合正弦函数的单调性分析判断；对D ：以x ωϕ+为整体，结合正弦函数的性质分析判断.【详解】A 选项，由题意42a +=，则2a =-，A 正确；B 选项，若()()πf x f x +=，则()f x 的周期为π，设()f x 的最小正周期为T ，则()*2π=πkT kk ωN =Î，解得()*2ωk k N =Î，B 错误；C 选项，当π3ϕ=时，∵ππ,62x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则πππππ,36323x ωωω⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，若()f x 在区间ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则0πππ632πππ232ωωω⎧⎪>⎪⎪-+≥-⎨⎪⎪+≤⎪⎩，解得10,3ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，C 正确；D 选项，由题意可得()sin 2x ωϕ+=，对ϕ∀∈R ，在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少两个零点，∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则π,2x ωϕϕωϕ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，若对ϕ∀∈R ，在π0,2⎡⎤⎢⎣⎦上至少两个零点，则π2π2ωϕϕ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，解得4ω≥，D 正确；故选：ACD.方法点睛：求解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质问题的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式．(2)整体意识：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解．①令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，可求得对称轴方程．②令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，可求得对称中心的横坐标．③将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号．(3)讨论意识：当A 为参数时，求最值应分情况讨论A >0，A <0.三、填空题13．命题“21,20x x ∃≥-<”的否定是__________.【正确答案】21,20x x ∀≥-≥【分析】根据特称命题的否定，可得答案.【详解】由题意，则其否定为21,20x x ∀≥-≥.故答案为.21,20x x ∀≥-≥14．已知2212sin cos 2sin cos θθθθ+=-，则tan θ=__________.【正确答案】3【分析】将已知式中分子221sin cos θθ=+，再分子分母同时除以2cos θ，解方程即可得出答案.【详解】由题意222222sin 2sin cos cos tan 2tan 12sin cos tan 1θθθθθθθθθ++++==--，即tan 12tan 1θθ+=-，则tan 3θ=.故3.15．设函数21,0()3,0x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，则满足3()()32f x f x +->的x 的取值范围是__________.【正确答案】()1,+∞【分析】结合函数解析式，对x 分三种情况讨论，分别计算可得.【详解】当0x ≤时，()33212141122f x f x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=++-+=-≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()332f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭在0x ≤时无解；当302x <≤时，()3332132222x xf x f x x x ⎛⎫⎛⎫+-=+-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在R 单调递增，1x =时132123+⨯-=，则()332f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的解集为31,2⎛⎤⎥⎝⎦；当32x >时，()330223333332x x f x f x -⎛⎫+-=+>+> ⎪⎝⎭，则()332f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭在32x >时恒成立；综上，()332f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的解集为()1,+∞.故()1,+∞．16．已知函数()f x 是定义在R 上不恒为零的偶函数，且对于任意实数x 都有()1()(1)x f x xf x -=-成立，则7(())2f f =__________.【正确答案】0【分析】根据解析式求出102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，进而得到若()10f x -=，则()0f x =，从而求出7(())02f f =.【详解】由()1()(1)x f x xf x -=-，令0x =可得()00f =，今12x =可得11112222f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()f x 是偶函数可得1122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0,1x ≠时，若()10f x -=，则()0f x =，则135702222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则7(())(0)02f f f ==.故0.四、解答题17．设m ∈R ，已知集合(){}2321,2201x A xB x x m x m x +⎧⎫=<=+--<⎨⎬-⎩⎭∣∣.(1)当1m =时，求A B ⋃；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的必要条件，求m 的取值范围.【正确答案】(1)3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)[)3,+∞【分析】（1）求出集合,A B ，由并集的定义即可得出答案.（2）由“x B ∈”是“x A ∈”的必要条件可得A B ⊆，则322m -≤-，解不等式即可得出答案.【详解】（1）由3211x x +<-可得2301x x +<-，即()()1230x x -+<，则3,12A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()(){210},1B x x m x m =+-<=∣时，13,1,,122B A B ⎛⎫⎛⎫=-⋃=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）由“x B ∈”是“x A ∈”的必要条件可得A B ⊆，则322m -≤-，则3m ≥，实数m 的取值范围是[)3,+∞.18．设tan 2α=，计算下列各式的值：(1)2sin cos 3sin cos αααα+-；(2)22sin sin cos ααα-.【正确答案】(1)1(2)5【分析】（1）所求表达式分子分母同时除以cos α，代入求解即可；（2）将分子2看成()222sin cos αα+，所求表达式分子分母同时除以2cos α，代入求解即可；【详解】（1）原式2tan 122113tan 1321αα+⨯+===-⨯-；（2）原式()22222222sin cos 2tan 22225sin sin cos tan tan 22αααααααα++⨯+====---.19．设函数()f x 和()g x 的定义域为()1,1-，若()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且()()2lg(1)f x g x x -=-.(1)求函数()f x 和()g x 的解析式；(2)判断()f x 在()0,1上的单调性，并给出证明.【正确答案】(1)()lg(1)lg(1)f x x x =-++，()()()lg 1lg 1g x x x =+--(2)单调递减，证明见解析【分析】（1）根据函数奇偶性构造关于()f x 和()g x 得方程组，进而求出它们的解析式；（2）根据函数单调性定义进行证明.【详解】（1）由()()2lg(1)f x g x x -=-，可得()()2lg(1)f x g x x ---=+，由()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，可得()()2lg(1)f x g x x +=+，则()lg(1)lg(1)f x x x =-++，()()()lg 1lg 1g x x x =+--；（2）由（1）得()2lg(1)f x x =-()f x 在()0,1单调递减，证明如下：取任意1212,(0,1),x x x x Î<，()()22211212221lg(1)lg(1)lg 1x f x f x x x x --=---=-由1201x x <<<，可得2212110x x ->->，则2122111x x ->-，则()()2112221lg 01x f x f x x --=>-，则()()12f x f x >，则()f x 在()0,1单调递减.20．如图所示，有一条“L ”，河道均足够长.现过点D 修建一条长为m l 的栈道AB ，开辟出直角三角形区域（图中OAB ）养殖观赏鱼，且OAB θ∠=.点H 在线段AB 上，且OH AB ⊥.线段OH 将养殖区域分为两部分，其中OH 上方养殖金鱼，OH 下方养殖锦鲤.(1)当养殖观赏鱼的面积最小时，求l 的长度；(2)若游客可以在河岸OA 与栈道AH 上投喂金鱼，在栈道HB 上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路21，求θ的取值范围.【正确答案】(1)42(2)ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）过D 作,DM DN 垂直于,OA OB ，求得2,6tan tan AM BN θθ==，从而得出养殖观赏鱼的面积11233tan 2tan OAB S OA OB θθ=⋅=+ ，利用基本不等式可求得OAB S 最小时θ的值，进而求得l 的长度；（2）由π2AOB OHA ∠=∠=，可得BOH θ∠=，则,,tan sin tan OH OH OA AH BH OH θθθ===，由题意21BH OA AH ≥+，则tan 2111sin tan θθθ≥+，化切为弦可得12cos θ≥π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可求得结果.【详解】（1）过D 作,DM DN 垂直于,OA OB ，垂足分别为,M N，则2,6DM ON DN OM ====,tan tan tan DM AM BN DN θθθθ====，养殖观赏鱼的面积)11123tan 22tan OAB S OA OB θθθ=⋅==+⎭ ，由π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得tan 0θ>，则13tan tan θθ+≥，当且仅当tan θ=即π6θ=时取等号，则OAB S 最小时，π6θ=，此时l的长度为1sin cos 22DM DN l θθ=+=（2）由π2AOB OHA ∠=∠=，可得BOH θ∠=，则,,tan sin tan OH OH OA AH BH OH θθθ===，由题意1BH OA AH ≥+，则tan 111sin tan θθθ≥+，而()()22sin tan sin 1cos 1cos 1111cos cos 1cos cos 1cos cos sin tan sin θθθθθθθθθθθθθθ-===-++++，则1cos θ≥π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得cos 0θ>，则cos 2θ≤，则ππ,42θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.21．设a 为实数，已知函数()122x x f x =-，()()ln ln 2g x x x a =⋅-+.(1)若函数()f x 和()g x 的定义域为[)1,+∞，记()f x 的最小值为1M ，()g x 的最小值为2M .当21M M ≤时，求a 的取值范围；(2)设x 为正实数，当()0g x >恒成立时，关于x 的方程()()0f g x a +=是否存在实数解？若存在，求出此方程的解；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(2)不存在，理由见解析【分析】（1）利用指数函数的单调性及二次函数的性质，分别求出()f x 和()g x 的最小值12,M M ，然后解不等式即可；（2）利用二次函数的性质，求得()g x 的最小值为1a -，由题意可得1a >，当()0g x >时,()21g x >，()112g x <，可得()()0f g x a +>，即可得出结论.【详解】（1）当1x ≥时，函数2x y =和12x y =-均单调递增，所以函数()122x x f x =-单调递增，故当1x =时，()f x 取最小值32，则132M =；当1x ≥时，ln 0x ≥，()()2ln 11g x x a =-+-，则当ln 10x -=，即e x =时，()g x 取最小值1a -，即21M a =-，由题意得312a -≤，则52a ≤，即a 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）当0x >时，ln R x ∈，()()2ln 11g x x a =-+-，则当ln 10x -=，即e x =时，()g x 取最小值为1a -，则()0g x >恒成立时，有10a ->，即1a >，当()0g x >时，()21g x >，()112g x <，则()()()()1202g x g x f g x =->，则()()0f g x a +>，故关于x 的方程()()0f g x a +=不存在实数解.22．设a ∈R ，函数()2πsin cos ,,π2f x x x a x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭.(1)讨论函数()f x 的零点个数；(2)若函数()f x 有两个零点12,x x ，求证.123π2x x +<【正确答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数()f x 的零点个数；（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明123π2x x +<.【详解】（1）()2cos cos 1f x x x a =--++，令()0f x =，即2cos cos 1x x a +=+，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()21cos 1,0,,0,04t x t t f x ⎡⎫=∈-+∈-=⎪⎢⎣⎭即21t t a +=+，10a +≥或114a +<-即[)5,1,4a ∞∞⎛⎫∈--⋃-+ ⎪⎝⎭时，21t t a +=+无解；114a +=-即54a =-时，21t t a +=+仅有一解12t =-，此时x 仅有一解2π3；1104a -<+<即514a -<<-时，21t t a +=+有两解12t =-，1cos 2x =-()f x 有两个零点；综上，[)5,1,4a ∞∞⎛⎫∈--⋃-+ ⎪⎝⎭时，()f x 无零点，54a =-时，()f x 有一个零点，5,14a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()f x 有两个零点；（2）()f x 有两个零点时，令1122cos ,cos t x t x ==，则12,t t 为21t t a +=+两解，则121t t +=-，则12cos cos 1x x +=-，则221122cos 2cos cos cos 1x x x x ++=，由12π,,π2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得12cos 0,cos 0x x <<，则122cos cos 0x x >，则2212cos cos 1x x +<，则2221223πcos sin cos 2x x x ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，由2π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得223ππ3π,π,cos 0222x x ⎛⎫⎛⎫-∈-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则123πcos cos 2x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，由cos y x =在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，可得123π2x x <-，则123π2x x +<.函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．。
江苏省南京市2019-2020学年度第一学期期末调研测试高一数学试卷(含答案)
南京市2019－2020学年度第一学期期末调研测试高 一 数 学 2020.01注意事项：1．本试卷包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分。
本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置。
3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．已知集合A ＝{1，2，3}，集合B ＝{x |x 2≤4，x ∈R }，则A ∩B ＝A ．B ．{1}C ．{1，2}D ．{1，2，3} 2．已知向量OA →＝(－1，2)，OB →＝(1，－1)，则向量AB →的坐标为A ．(－2，3)B ．(0，1)C ．(－1，2)D ．(2，－3) 3．已知a ＝log 0.81.2，b ＝1.20.8，c ＝sin1.2，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a4．函数f (x )＝tan(2x ＋π4)的定义域为A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }B ．{x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z }C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z }D ．{x |x ≠k π＋π8，k ∈Z }5．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则AB ⌒的长为A ．2B ．4C ．2πD ．4π 6．若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|a －b |＝A ．1B ．2C ．5D ． 57．函数f (x )＝12 ln |x |x 2的图象大致为ABC D8．安装了某种特殊装置的容器内有细沙10 cm 3，容器倒置后，细沙从容器内流出，t min 后容器内剩余的细沙量为y ＝101+at (单位：cm 3)，其中a 为常数．经过4 min 后发现容器内还剩余5 cm 3的沙子，再经过x min 后，容器中的沙子剩余量为1.25 cm 3，则x ＝ A ．4 B ．6 C ．8 D ．12二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置．上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分． 9．下列各选项中，值为1的是A ．log 26·log 62B ．log 62＋log 64C ．(2＋3)12·(2－3)12D ． (2＋3)12－(2－3)1210．记函数f (x )＝sin(2x －π3)的图象为G ，则下列结论正确的是A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )在区间[－π12，5π12]上单调递增C ．直线x ＝－π12是图象G 的一条对称轴D ．将函数y ＝sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到图象G11．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝x －4，则下列结论正确的是A ．若h (x )＝f (x )g (x )，则函数h (x )的最小值为4B ．若h (x )＝f (x )|g (x )|，则函数h (x )的值域为RC ．若h (x )＝|f (x )|－|g (x )|，则函数h (x )有且仅有一个零点D ．若h (x )＝|f (x )|－|g (x )|，则|h (x )|≤4恒成立12．已知向量a ，b 是同一平面α内的两个向量，则下列结论正确的是A ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则a 与b 共线B ．若a 与b 共线，则存在实数λ，使得b ＝λaC ．若a 与b 不共线，则对平面α内的任一向量c ，均存在实数λ，μ，使得c ＝λa ＋μbD ．若对平面α内的任一向量c ，均存在实数λ，μ，使得c ＝λa ＋μb ，则a 与b 不共线 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 13．已知a 和b 都是单位向量，且a ·b ＝0，c ＝2a ＋b ，则向量b 与c 的夹角的余弦值是 ▲ ． 14．在△ABC 中，已知sin A ＋cos A ＝713，则sin A cos A 的值为 ▲ ，tan A 的值为 ▲ ．(本题第一空2分，第二空3分)15．已知函数f (x ) (x ∈R )是周期为4的奇函数，且当0≤x ≤2时，f (x )＝⎩⎨⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ， 1＜x ≤2，则f (f (376))＝ ▲ ．16．已知A ，B 是函数f (x )＝sin πx 2的图象与函数g (x )＝cos πx2的图象的两个不同的交点，则线段AB 长度的最小值是 ▲ ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知向量a ＝(2，m )，b ＝(m －1，6)． （1）若a ∥b ，求实数m 的值； （2）若|a ＋b |＝|a －b |，求实数m 的值．18．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为O ，始边为x 轴的正半轴，终边经过点 P (－3，m )，且sin α＝45．（1）求实数m 的值； （2）求sin(2π－α)＋cos(π＋α)sin(π2＋α)＋cos(3π2－α) 的值．19．（本小题满分12分）已知函数 f (x )＝e x －a e －x2 是奇函数，其中e 是自然对数的底数．（1）求实数a 的值；（2）若f (lg x )＋f (－1)＜0，求x 的取值范围．20．(本小题满分12分)如图，摩天轮的半径为50 m ，圆心O 距地面的高度为65 m ．已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每30 min 转动一圈．游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱．（1）游客进入摩天轮的舱位，开始转动t min 后，他距离地面的高度为h ，求h 关于t 的函数解 析式；（2）已知在距离地面超过40 m 的高度，游客可以过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间 是多少？21．（本小题满分12分）在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝3，D 为BC 中点，AE →＝2EB →，AF →＝12FC →．（1）若∠A ＝π3，求AD →·EF →的值；（2）若DE →·DF →＝0，求AB →·AC →的值．22．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝sin x ，g (x )＝ln x ．（1）求方程 f (x )＝f (π2－x ) 在[0，2π]上的解；（2）求证：对任意的a ∈R ，方程f (x )＝ag (x )都有解；（3）设M 为实数，对区间 [0，2π] 内的满足x 1＜x 2＜x 3＜x 4的任意实数x i （1≤i ≤4），不等式M ≥|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋| f (x 3)－f (x 4)|都成立，求M 的最小值．FEDCBA（第21题图）南京市2019－2020学年度第一学期期末调研测试高一数学参考答案 2020.01一、单项选择题1．C 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．A 8．C 二、多项选择题9．AC 10．ABC 11．BCD 12．ACD 三、填空题 13．5514．－60169；－125 15．14 16． 6四、解答题17．（本小题满分10分）解：（1）因为向量a ＝(2，m )，b ＝(m －1，6)，且a ∥b ，所以12＝m (m －1)．即m 2－m －12＝0． …………………… 3分 解得 m ＝－3或m ＝4． …………………… 5分 （2）方法一：因为 a ＝(2，m )，b ＝(m －1，6)，所以 a ＋b ＝(m ＋1，m ＋6)， a －b ＝(3－m ，m －6)． …………………… 7分 因为 |a ＋b |＝|a －b |，所以|a ＋b |2＝|a －b |2， 即 (m ＋1)2＋(m ＋6)2＝(3－m )2＋(m －6)2，解得 m ＝14． …………………… 10分方法二：因为|a ＋b |＝|a －b |，所以|a ＋b |2＝|a －b |2， 即a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ，所以a ·b ＝0． …………………… 7分 因为 a ＝(2，m )，b ＝(m －1，6)， 所以 2(m －1)＋6m ＝0，解得m ＝14． …………………… 10分18．（本小题满分12分）解：（1）因为角α的始边在x 轴的正半轴上，终边经过点P (－3，m )，且sin α＝45，所以 m ＞0 ，sin α＝m 9＋m 2＝45， …………………… 3分 从而25m 2＝16(9＋m 2)，即m 2＝16，解得m ＝4． …………………… 5分 （2）由（1）知，m ＝4，所以P (－3，4)，从而cos α＝－39＋16＝－35．…………… 7分所以sin(2π－α)＋cos(π＋α)sin(π2＋α)＋cos(3π2－α)＝－sin α－cos αcos α－sin α＝－45＋35－35－45＝17． …………………… 12分（说明：四个诱导公式各1分，结果错误扣1分） 19．（本小题满分12分）解：（1）方法一：因为函数f (x )＝e x －a e －x2是奇函数，且f (x )的定义域为R ，所以 f (－0)＝－f (0)，即 f (0)＝0， 从而1－a2＝0，解得 a ＝1． …………………… 4分 当a ＝1时，f (x )＝e x －e －x 2，对任意x ∈R ， f (－x )＝e －x －e x2＝－f (x )，即f (x )是奇函数．所以 a ＝1． …………………… 6分 方法二：因为函数f (x )＝e x －a e －x2 是奇函数，且f (x )的定义域为R ，所以对任意x ∈R ， f (－x )＝－f (x )， 即 e －x －a e x 2＝－e x －a e －x 2恒成立，从而e x ＋e －x ＝a (e x ＋e －x ) 恒成立． …………………… 4分 所以a ＝1． …………………… 6分 （2）因为函数y ＝e x 在R 上单调递增，y ＝e －x ，即y ＝(1e)x 在R 上单调递减，所以函数y ＝e x －e －x2在R 上单调递增． …………………… 8分因为 f (lg x )＋f (－1)＜0， 所以 f (lg x )＜－f (－1)． 由（1）知，f (x )是奇函数．所以 f (lg x )＜f (1)． …………………… 10分因此lg x ＜1＝lg10，又y ＝lg x 是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，所以0＜x ＜10，即x 的取值范围是(0，10)． …………………… 12分20．(本小题满分12分)解：（1）如图，以摩天轮的圆心为坐标原点，水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系．设游客的位置为点P ．因为摩天轮按逆时针方向匀速转动，且每30 min所以OP 在t min 内所转过的角为2πt 30＝πt15．…… 所以，以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角为πt 15－π2，因此P 点的纵坐标为50sin(πt 15－π2)． ………… 从而游客距离地面的高度h ＝50sin(πt 15－π2)＋65＝65－50cos(πt15)，t ≥0． …………………… 6分（2）令h ＝65－50cos(πt 15)＞40，得cos(πt 15)＜12，所以2k π＋π3＜πt 15＜2k π＋5π3，即 30k ＋5＜t ＜30k ＋25，k ∈Z ，k ≥0． …………………… 9分 令k ＝0，则5＜t ＜25．由于在距离地面超过40 m 的高度，游客可以观看到游乐场全景，因此，在转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间为25－5＝20 min ．…………………… 12分21．（本小题满分12分）解：方法一：（1）因为D 为BC 中点，＝2，＝12，所以 ＝＋＝＋12＝＋12(－)＝12＋12，＝＋＝－23＋13． …………………… 2分所以 ·＝(12＋12)·(－23＋13)＝－132＋162－16·＝－13||2＋16||2－16||||cos A ．因为 AB ＝6，AC ＝3，∠A ＝π3，所以 ·＝－13×62＋16×32－16×6×3×cos π3＝－12． …………………… 6分（2）＝－＝23－(12＋12)＝16－12，＝－＝13－(12＋12)＝－12－16． …………………… 8分因为·＝0，所以 ·＝(16－12)·(－12－16)＝－1122＋1122＋29·＝－3＋34＋29·＝0，解得 ·＝818． …………………… 12分方法二：（1）以点A 为坐标原点，所在方向为x 轴正半轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中C 在第一象限．因为 AB ＝6，AC ＝3，∠A ＝π3，所以 B (6，0)，C (3cos π3，3sin π3)，即C (32，因为D 为BC 中点，所以D (154，343)．因为 ＝2，所以E (4，0)． 因为 ＝12，所以F (12，32)，从而 ＝(154，343)，＝(－72，32)． ………………………… 4分所以 ·＝154×(－72)＋343×32＝－12． ………………………… 6分（2）设∠A ＝θ，则同（1），建立平面直角坐标系．因此 C (3cos θ，3sin θ)，D (3＋32cos θ，32sin θ)，E (4，0)，F (cos θ，sin θ)．所以＝(1－32cos θ，－32sin θ)，＝(－3－12cos θ, －12sin θ)． ……………… 8分因为·＝0，所以(1－32cos θ) (－3－12cos θ)＋34sin 2θ＝0，即－94＋4cos θ＝0，解得cos θ＝916，即C (2716，3sin θ)．从而 ·＝(6，0) ·(2716，3sin θ)＝818． …………………… 12分22．（本小题满分12分）解：（1）因为f (x )＝sin x ，f (x )＝f (π2－x )，所以sin x ＝sin(π2－x )，即sin x ＝cos x ，且x ∈[0，2π]．若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾． 所以cos x ≠0，从而 tan x ＝1．又x ∈[0，2π]，所以x ＝π4或5π4． …………………… 2分（2）当a ＝0时，由f (x )＝ag (x )，得sin x ＝0，即x ＝π是该方程的一个解；………… 4分当a ≠0时，令h (x )＝ln x －1asin x ．因为h (x )的图象在区间[e －2|a| , e 2|a|]上连续不间断，且 h (e －2|a|)＝－2|a |－1a sin(e －2|a|)≤－2|a |＋1|a |＝－1|a |＜0，h (e 2|a|)＝2|a |－1a sin(e －2|a|)≥2|a |－1|a |＝1|a |＞0，根据零点存在定理，存在x 0∈(e －2|a|，e 2|a|)，使得h (x 0)＝0． 因此，当a ≠0时，方程 f (x )＝ag (x ) 有解x ＝x 0．综上，对任意的a ∈R ，方程f (x )＝ag (x )都有解． ………………………… 7分 （3）先证：M ≥4．取x 1＝0，x 2＝π2，x 3＝3π2，x 4＝2π，M≥|sin x1－sin x2|＋|sin x2－sin x3|＋|sin x3－sin x4|＝1＋2＋1＝4．………………9分再证：当0≤x1＜x2＜x3＜x4≤2π时，都有4≥|sin x1－sin x2|＋|sin x2－sin x3|＋|sin x3－sin x4|．①若π≤x2，因为π≤x2＜x3＜x4≤2π，于是－1≤sin x2，sin x3，sin x4≤0，所以|sin x2－sin x3|≤1，|sin x3－sin x4|≤1，而|sin x1－sin x2|≤2，所以|sin x1－sin x2|＋|sin x2－sin x3|＋|sin x3－sin x4|≤4；……………………10分②若x3≤π，|sin x1－sin x2|≤1，|sin x2－sin x3|≤1，|sin x3－sin x4|≤2，所以|sin x1－sin x2|＋|sin x2－sin x3|＋|sin x3－sin x4|≤4；……………………11分③若x2＜π＜x3，|sin x1－sin x2|≤1，|sin x2－sin x3|≤2，|sin x3－sin x4|≤1，所以|sin x1－sin x2|＋|sin x2－sin x3|＋|sin x3－sin x4|≤4．于是对任意满足条件的x1＜x2＜x3＜x4，都有4≥|sin x1－sin x2|＋|sin x2－sin x3|＋|sin x3－sin x4|．综上，M的最小值为4．…………………………12分高一期末调研数学试卷第11 页共11 页。
江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析
南京市2019－2020学年度第一学期期末调研测试高一数学注意事项：1．本试卷包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置.3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.5．考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．1.已知集合A ＝{1，2，3}，集合B ＝{x |x 2≤4，x ∈R }，则A ∩B ＝（ ） A. ∅ B. {1}C. {1，2}D. {1，2，3}【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得AB .【详解】由24x ≤，解得22x -≤≤，故{}2B x x =|-2≤≤，所以{}1,2A B =.故选：C【点睛】本小题主要考查集合交集，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2.已知向量(1,2)OA =-，(1,1)OB =-，则向量AB 的坐标为（ ） A. （－2，3） B. （0，1）C. （－1，2）D. （2，－3）【答案】D 【解析】 【分析】利用向量减法运算，求得AB .【详解】依题意()()()1,11,22,3AB OB OA =-=---=-. 故选：D【点睛】本小题主要考查平面向量减法的坐标运算，属于基础题.3.已知a ＝log 0.81.2，b ＝1.20.8，c ＝sin 1.2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a ＜b ＜c B. a ＜c ＜bC. c ＜a ＜bD. c ＜b ＜a【答案】B 【解析】 【分析】利用0,1分段法，判断出,,a b c 的大小关系.【详解】0.80.8log 1.2log 10a =<=，0.801.2 1.21b =>=，由于ππ1.232<<，所以0sin1.21c <=<，所以a c b <<.故选：B【点睛】本小题主要考查指数式、对数式和三角函数比较大小，属于基础题. 4.函数()tan 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域为（ ） A. ,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z B. 2,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C. ,28k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D. ,8x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】 分析】根据正切型三角函数定义域的求法，求得()f x 的定义域. 【详解】由ππ2π42x k +≠+，解得ππ28k x ≠+，所以()f x 的定义域为,28k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.故选：C【点睛】本小题主要考查正切型三角函数定义域的求法，属于基础题. 5.已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则AB 的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 2π D. 4π【答案】B 【解析】 【分析】利用扇形面积公式求得扇形的半径，进而求得AB 的长. 【详解】设扇形的半径为r ，依题意2124,22r r ⋅⋅==.所以AB 224r α=⋅=⋅=. 故选：B【点睛】本小题主要考查扇形面积公式，考查扇形弧长计算，属于基础题. 6.若向量,a b 满足：()()1,,2a a b a a b b =+⊥+⊥，则a b -=（ ） A. 1 B. 2 C. 5【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件求得2,a b b ⋅，由此求得a b -的值.【详解】由()()1,,2a a b a a b b =+⊥+⊥得()()222102220a b a a a b a b a b b a b b a b b ⎧+⋅=+⋅=+⋅=⎪⎨+⋅=⋅+=⋅+=⎪⎩，化简得212a b b ⎧⋅=-⎨=⎩.所以()22221225a b a b a a b b -=-=-⋅+=++=故选：D【点睛】本小题主要考查平面向量数量积运算，考查两个向量垂直的表示，考查向量模的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 7.函数212ln ||()x f x x ⋅=图象的大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，选出正确选项.【详解】由于函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠，且()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，由此排除B,C 选项.由于()()222221212212,f e f e e e e e ==⋅<，所以当0x >时，()f x 存在减区间，由此排除D 选项. 故选：A【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题. 8.安装了某种特殊装置的容器内有细沙10cm 3，容器倒置后，细沙从容器内流出，tmin 后容器内剩余的细沙量为y ＝101+at （单位：cm 3），其中a 为常数．经过4min 后发现容器内还剩余5cm 3的沙子，再经过xmin 后，容器中的沙子剩余量为1.25cm 3，则x ＝（ ） A. 4 B. 6C. 8D. 12【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件求得a 的值，由此列方程，求得x 的值.【详解】当4t =时5y =，所以14510a +=，即11114lg5,4lg51lg,lg 242a a a +==-==⋅.设经过min y 后，剩余沙子为111lg 425104y +⋅=，即1411lg 1011241lg 421510101024y y y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭+⋅⎢⎥⎣⎦⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭，即1341122y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13,124y y ==.所以再经过的时间1248x =-=. 故选：C【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数解析式，考查对数运算，考查运算求解能力，属于中档题.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填写在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分．9.下列各选项中，值为1的是（ ） A. log 26·log 62 B. log 62＋log 64C. ()()112222+⋅D. ()()112222+-【答案】AC 【解析】 【分析】对选项逐一化简，由此确定符合题意的选项.【详解】对于A 选项，根据log log 1a b b a ⋅=可知，A 选项符合题意. 对于B 选项，原式()66log 24log 81=⨯=≠，B 选项不符合题意. 对于C选项，原式((11222211⎡⎤==⎣⎦⋅-=，C 选项符合题意.对于D选项，由于(()(()1111222222222222+--+⎡⎤=⎣⋅⎢⎥⎦4221=-=≠，D 选项不符合题意. 故选：AC【点睛】本小题主要考查对数、根式运算，属于基础题. 10.记函数()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为G ，则下列结论正确的是（ ） A. 函数f （x ）的最小正周期为π B. 函数f （x ）在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C. 直线12x π=-是图象G 的一条对称轴D. 将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移3π个单位长度，得到图象G 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据三角函数的图像与性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】函数()f x 的最小正周期为2ππ2=，故A 选项正确. 由πππ2232x -≤-≤，解得π5π1212x -≤≤，所以函数f （x ）在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故B 选项正确. 由于ππππsin 2sin 1121232f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以直线12x π=-是图象G 的一条对称轴，故C 选项正确.sin 2y x =向右平移π3得到π2πsin 2sin 233y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 选项错误.故选：ABC【点睛】本小题主要考查三角函数图像与性质，包括周期性、单调性、对称性和图像变换等知识，属于基础题.11.已知函数f （x ）＝x ，g （x ）＝x －4，则下列结论正确的是（ ） A. 若h （x ）＝f （x ）g （x ），则函数h （x ）的最小值为4 B. 若h （x ）＝f （x ）|g （x ）|，则函数h （x ）的值域为RC. 若h （x ）＝|f （x ）|－|g （x ）|，则函数h （x ）有且仅有一个零点D. 若h （x ）＝|f （x ）|－|g （x ）|，则|h （x ）|≤4恒成立【答案】BCD 【解析】 【分析】对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项.【详解】对于A 选项，()()()224424h x x x x x x =-=-=--，当2x =时，函数()h x 的最小值为4-，所以A 选项错误.对于B 选项，()224,444,4x x x h x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，画出()h x 图像如下图所示，由图可知，()h x 的值域为R ，故B 选项正确.对于C 选项，()4,0424,044,4x h x x x x x x -<⎧⎪=--=-≤≤⎨⎪>⎩，画出()h x 图像如下图所示，由图可知，()h x 有唯一零点2，故C 选项正确.对于D 选项，由C 选项的分析，结合()h x 图像可知()4h x ≤恒成立，故D 选项正确. 故选：BCD【点睛】本小题主要考查函数的最值、值域和零点，考查分段函数，考查数形结合的思想方法，属于基础题.12.已知向量,a b 是同一平面α内的两个向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若存在实数λ，使得b a λ=，则a 与b 共线 B. 若a 与b 共线，则存在实数λ，使得b a λ=C. 若a 与b 不共线，则对平面α内的任一向量c ，均存在实数,λμ，使得c a b λμ=+D. 若对平面α内的任一向量c ，均存在实数,λμ，使得c a b λμ=+，则a 与b 不共线 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平面向量共线、平面向量的基本定理判断出正确选项. 【详解】根据平面向量共线的知识可知A 选项正确.对于B 选项，若a 与b 共线，可能0a =，当b 为非零向量时，不存在实数λ，使得b a λ=，所以B 选项错误.根据平面向量的基本定理可知C 、D 选项正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查平面向量共线、平面向量的基本定理，属于基础题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13.已知a 和b 都是单位向量，且0,2a b c a b ⋅==+，则向量b 与c 的夹角的余弦值是____．【解析】 【分析】 利用cos ,b c b c b c⋅=⋅求得向量b 与c 的夹角的余弦值.【详解】依题意cos ,b c b c b c⋅=⋅()222254442b a ba ab bb a b ⋅+====++⋅+⋅+. 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积、模的运算，考查向量夹角的计算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 14.在△ABC 中，已知7sin cos 13A A ＋＝，则sinAcosA 的值为____，tanA 的值为____． 【答案】 (1). 60169- (2). 125- 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式，求得sin cos ,tan A a A 的值.【详解】由7sin cos =13A A +两边平方得496012sin cos ,sin cos 169169A A A A +==-.由于A是三角形的内角，故A 为钝角，所以sin cos 0A A ->，而()2289sin cos 12sin cos 169A A A A -=-=，所以17sin cos 13A A -=.由17sin cos 137sin cos 13A A A A ⎧-=⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋＝解得125sin ,cos 1313A A ==-，所以sin 12tan cos 5A A A ==-. 故答案为：（1）60169-（2）125- 【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.15.已知函数f （x ）（x ∈R ）是周期为4的奇函数，且当0≤x ≤2时，(1),01()sin ,12x x x f x x x π-⎧=⎨<⎩则376f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．【答案】14【解析】 【分析】根据函数()f x 的周期性、奇偶性和分段函数解析式，求得所求表达式的值. 【详解】依题意3711111111π42sin 66666f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππ1sin 2πsin 662⎛⎫=--== ⎪⎝⎭.371111162224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：14【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题. 16.已知A ，B 是函数()sin2xf x π=的图象与函数()cos2xg x π=的图象的两个不同的交点，则线段AB 长度的最小值是______．【解析】【分析】求得()(),f x g x 在一个周期内的两个交点坐标，由此求得AB 长度的最小值.【详解】()f x 和()g x 的周期为2π4π2T ==，由()()f x g x =得ππsin cos 22x x =，在[]0,4x ∈时，有ππ24x =或π5π24x =，记得12x =或52x =，不妨设15,,22A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，所以AB 长度的最小值为AB ==.【点睛】本小题主要考查正弦函数与余弦函数，考查两点间的距离公式.四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17.已知向量()()2,,1,6a m b m ==-． （1）若//a b ，求实数m 的值； （2）若a b a b +=-，求实数m 的值． 【答案】（1）3-或4；（2）14【解析】 【分析】（1）利用两个向量平行的条件列方程，解方程求得m 的值；（2）将a b a b +=-两边平方，求得0a b ⋅=，根据向量数量积的坐标运算列方程，解方程求得m 的值.【详解】（1）由于//a b ，所以()2610m m ⋅--=，解得3m =-或4m =.（2）将a b a b +=-两边平方得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，所以0a b ⋅=，即()2160m m -+=，解得14m =.【点睛】本小题主要考查两个向量平行的坐标表示，考查向量模的运算、数量积的运算，考查方程的思想，属于基础题.18.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为O ，始边为x 轴的正半轴，终边经过点P （－3，m ），且4sin 5α． （1）求实数m 的值；（2）求sin(2)cos()3sin cos 22παππααπα-++⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．【答案】（1）4；（2）17【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义列方程，解方程求得m 的值.（2）由（1）求得cos α的值，利用诱导公式化简求得表达式的值. 【详解】（1）由于角α的终边经过点()3,P m -，且4sin 05α=>，所以0m >，且4sin 5α==，从而()2225169m m =+，即216m =，解得4m =. （2）由（1）知()4,3,4m P =-，所以3cos 5α==-，所以sin(2)cos()sin cos 13cos sin 7sin cos 22ππααππαααααα-++--==-⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查诱导公式和同角三角函数的基本关系式，属于基础题.19.已知函数()2x x e ae f x --=是奇函数，其中e 是自然对数的底数．（1）求实数a 的值；（2）若f （lgx ）＋f （－1）＜0，求x 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）()0,10 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，利用()00f =列方程，解方程求得a 的值. （2）利用函数的奇偶性和单调性化简不等式，并由此求得不等式的解集.【详解】（1）函数()f x 的定义域为R ，且为奇函数，所以()1002af -==，解得1a =. （2）由（1）得()122x x e f x e =-，由于1,2xx e e -都在R 上递增，所以函数()122x xe f x e=-在R 上递增，根据()f x 为奇函数得()()()lg 11f x f f <--=，所以lg 1x <，解得010x <<.即不等式的解集为()0,10.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.20.如图，摩天轮的半径为50m ，圆心O 距地面的高度为65m ．已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每30min 转动一圈．游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱．（1）游客进入摩天轮的舱位，开始转动tmin 后，他距离地面的高度为h ，求h 关于t 的函数解析式；（2）已知在距离地面超过40m 的高度，游客可以观看到游乐场全景，那么在摩天轮转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间是多少？ 【答案】（1）π6550cos ,015t h t ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭；（2）20min 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据摩天轮的转动速度，结合三角函数的知识，求得h 关于t 的解析式.（2）由40h >列不等式，解不等式求得距离地面超过40m 的时间范围，由此求得游客可以观看到游乐场全景的时间.【详解】（1）如图以摩天轮的圆心为坐标原点，水平方向为x 周，建立平面直角坐标系.设游客的位置为点P .因为摩天轮按逆时针方向匀速转动，且每30min 转动一圈，所以OP 在min t 内所转过的角为2πt πt3015=.因为游客是从摩天轮的最低点进入摩天轮的舱位，所以，以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角为πt π152-，因此P 点的纵坐标为ππ50sin 152t ⎛⎫- ⎪⎝⎭.从而游客距离地面的高度πππ50sin 656550cos 15215t t h ⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0t ≥. （2）令π6550cos 4015t h ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，得π1cos 152t ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以ππt 5π2π2π3153k k +<<+，即3053025k t k +<<+，k ∈N ，令0k =，则525t <<.由于在距离地面超过40m 的高度，游客可以观看到游乐场全景，因此，在转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间为25520min -=.【点睛】本小题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查三角不等式的解法，属于中档题.21.在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝3，D 为BC 中点，2AE EB =,12AF FC =．（1）若3A π∠=，求AD EF ⋅的值；（2）若0DE DF ⋅=，求AB AC ⋅的值．【答案】（1）12-；（2）818【解析】 【分析】（1）利用向量加法、减法和数量积运算，化简求得AD EF ⋅的值.（2）利用向量加法、减法和数量积运算，结合0DE DF ⋅=，化简求得AB AC ⋅的值. 【详解】（1）由于D 是BC 的中点，所以()12AD AB AC =+，由于2AE EB =,12AF FC =，所以21,33AE AB AF AC ==.所以AD EF ⋅()112233AB AC AC AB ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭2212112333AB AB AC AC ⎛⎫=--⋅+ ⎪⎝⎭22111366AB AB AC AC =--⋅+22111166333626-⨯-⨯⨯⨯+⨯33121222=--+=-.（2）()21113262DE AE AD AB AB AC AB AC =-=-+=-， ()11113226DF AF AD AC AB AC AB AC =-=-+=--，所以11116226DE DF AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2211212129AB AC AB AC=-++⋅323049AB AC =-++⋅=,解得818AB AC ⋅=.【点睛】本小题主要考查向量加法、减法和数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.22.已知函数f （x ）＝sinx ，g （x ）＝lnx ．（1）求方程()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[0，2π]上的解；（2）求证：对任意的a ∈R ，方程f （x ）＝ag （x ）都有解；（3）设M 为实数，对区间[0，2π]内的满足x 1＜x 2＜x 3＜x 4的任意实数x i （1≤i ≤4），不等式()()()()()()122334Mf x f x f x f x f x f x -+-+-成立，求M 的最小值．【答案】（1）π4或5π4；（2）详见解析；（2）4【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合同角三角函数的基本关系式求得tan x 的值，由此求得方程的解.（2）将a 分成0a =和0a ≠两种情况，结合零点存在性证得结论成立.（3）先证得4M ≥，再证得()()()()()()1223344f x f x f x f x f x f x ≥-+-+-，由此求得M 的最小值为4.【详解】（1）因为，()()πsin ,2f x x f x f x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以πsin sin 2x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即sin cos x x =，且[]0,2πx ∈.若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x +=矛盾.所以cos 0x ≠，从而tan 1x =.又[]0,2πx ∈，所以π4x =或5π4x =. （2）当0a =时，由()()f x ag x =得sin 0x =，即πx =是该方程的一个解；当0a ≠时，令()1ln sin h x x x a =-.因为()h x 的图像在区间22,a ae e -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦上连续不断，且2221211sin 0a a h e e a a a a a --⎛⎫⎛⎫=--≤-+=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2221211sin 0a a h e e a a a a a -⎛⎫⎛⎫=-≥-=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据零点存在性定理可知，存在220,aax e e-⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭，使得()00h x =.因此，当0a ≠时，方程()()f x ag x =有解0x x =. 综上所述，对任意a R ∈，方程()()f x ag x =都有解. （3）先证：4M ≥. 取1234π3π0,,,2π22x x x x ====，122334sin sin sin sin sin sin 1214M x x x x x x ≥-+-+-=++=.再证：当123402πx x x x ≤<<<≤时，都有()()()()()()1223344f x f x f x f x f x f x ≥-+-+-，即1223344sin sin sin sin sin sin x x x x x x --≥+-+.①若2πx ≤，因为234π2πx x x ≤<<≤，于是2341sin ,sin ,sin 0x x x -≤≤，所以2334sin sin 1,sin sin 1x x x x -≤-≤，而12sin sin 2x x -≤，所以122334sin sin sin sin sin sin 4x x x x x x --+-+≤.②若3πx ≤，1223sin sin 1,sin sin 1x x x x -≤-≤，34sin sin 2x x -≤，所以122334sin sin sin sin sin sin 4x x x x x x --+-+≤；③若23πx x <<，1223sin sin 1,sin sin 2x x x x -≤-≤，34sin sin 1x x -≤，所以122334sin sin sin sin sin sin 4x x x x x x --+-+≤，于是对任意满足条件的1234x x x x <<<，都有1223344sin sin sin sin sin sin x x x x x x --≥+-+.综上所述，M 的最小值为4.【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查零点存在性定理，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析、思考与解决问题的能力，属于难题.。
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南京市2019－2020学年度第一学期期末调研测试高一数学注意事项：1．本试卷包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置.3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.5．考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．1.已知集合A ＝{1，2，3}，集合B ＝{x |x 2≤4，x ∈R }，则A ∩B ＝（ ） A. ∅ B. {1}C. {1，2}D. {1，2，3}【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得AB .【详解】由24x ≤，解得22x -≤≤，故{}2B x x =|-2≤≤，所以{}1,2A B =.故选：C【点睛】本小题主要考查集合交集，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2.已知向量(1,2)OA =-，(1,1)OB =-，则向量AB 的坐标为（ ） A. （－2，3） B. （0，1）C. （－1，2）D. （2，－3）【答案】D 【解析】利用向量减法运算，求得AB .【详解】依题意()()()1,11,22,3AB OB OA =-=---=-. 故选：D【点睛】本小题主要考查平面向量减法的坐标运算，属于基础题.3.已知a ＝log 0.81.2，b ＝1.20.8，c ＝sin 1.2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a ＜b ＜c B. a ＜c ＜bC. c ＜a ＜bD. c ＜b ＜a【答案】B 【解析】 【分析】利用0,1分段法，判断出,,a b c 的大小关系.【详解】0.80.8log 1.2log 10a =<=，0.801.2 1.21b =>=，由于ππ1.232<<，所以0sin1.21c <=<，所以a c b <<. 故选：B【点睛】本小题主要考查指数式、对数式和三角函数比较大小，属于基础题.4.函数()tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域为（ ）A. ,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z B. 2,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C. ,28k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D. ,8x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】 分析】根据正切型三角函数定义域的求法，求得()f x 的定义域.【详解】由ππ2π42x k +≠+，解得ππ28k x ≠+，所以()f x 的定义域为,28k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.【点睛】本小题主要考查正切型三角函数定义域的求法，属于基础题. 5.已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则AB 的长为（ ） A. 2 B. 4C. 2πD. 4π【答案】B 【解析】 【分析】利用扇形面积公式求得扇形的半径，进而求得AB 的长. 【详解】设扇形的半径为r ，依题意2124,22r r ⋅⋅==.所以AB 224r α=⋅=⋅=. 故选：B【点睛】本小题主要考查扇形面积公式，考查扇形弧长计算，属于基础题. 6.若向量,a b 满足：()()1,,2a a b a a b b =+⊥+⊥，则a b -=（ ） A. 1 B. 2C. 5【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件求得2,a b b ⋅，由此求得a b -r r的值.【详解】由()()1,,2a a b a a b b =+⊥+⊥得()()222102220a b a a a b a b a b b a b b a b b ⎧+⋅=+⋅=+⋅=⎪⎨+⋅=⋅+=⋅+=⎪⎩，化简得212a b b ⎧⋅=-⎨=⎩.所以()22221225a b a b a a b b -=-=-⋅+=++=.故选：D【点睛】本小题主要考查平面向量数量积运算，考查两个向量垂直的表示，考查向量模的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 7.函数212ln ||()x f x x ⋅=图象的大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，选出正确选项.【详解】由于函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠，且()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，由此排除B,C 选项.由于()()222221212212,f e f e e e e e==⋅<，所以当0x >时，()f x 存在减区间，由此排除D 选项. 故选：A【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.8.安装了某种特殊装置的容器内有细沙10cm 3，容器倒置后，细沙从容器内流出，tmin 后容器内剩余的细沙量为y ＝101+at （单位：cm 3），其中a 为常数．经过4min 后发现容器内还剩余5cm 3的沙子，再经过xmin 后，容器中的沙子剩余量为1.25cm 3，则x ＝（ ） A. 4 B. 6C. 8D. 12【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件求得a 的值，由此列方程，求得x 的值.【详解】当4t =时5y =，所以14510a +=，即11114lg5,4lg51lg ,lg 242a a a +==-==⋅.设经过min y 后，剩余沙子为111lg 425104y +⋅=，即1411l g 1011241lg 421510101024y y y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭+⋅⎢⎥⎣⎦⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭，即1341122y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13,124y y ==.所以再经过的时间1248x =-=. 故选：C【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数解析式，考查对数运算，考查运算求解能力，属于中档题.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填写在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分．9.下列各选项中，值为1的是（ ） A. log 26·log 62 B. log 62＋log 64C. ()()112222+⋅D. ()(112222+-【答案】AC 【解析】 【分析】对选项逐一化简，由此确定符合题意的选项.【详解】对于A 选项，根据log log 1a b b a ⋅=可知，A 选项符合题意. 对于B 选项，原式()66log 24log 81=⨯=≠，B 选项不符合题意. 对于C选项，原式((11222211⎡⎤==⎣⎦⋅=，C 选项符合题意.对于D 选项，由于()(()(1111222222222222--⎡⎤=⎣+⋅⎢⎥⎦4221=-=≠，D选项不符合题意. 故选：AC【点睛】本小题主要考查对数、根式运算，属于基础题. 10.记函数()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为G ，则下列结论正确的是（ ）A. 函数f （x ）的最小正周期为πB. 函数f （x ）在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C. 直线12x π=-是图象G 的一条对称轴D. 将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移3π个单位长度，得到图象G 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据三角函数的图像与性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】函数()f x 的最小正周期为2ππ2=，故A 选项正确. 由πππ2232x -≤-≤，解得π5π1212x -≤≤，所以函数f （x ）在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故B 选项正确.由于ππππsin 2sin 1121232f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以直线12x π=-是图象G 的一条对称轴，故C 选项正确.sin 2y x =向右平移π3得到π2πsin 2sin 233y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 选项错误. 故选：ABC【点睛】本小题主要考查三角函数图像与性质，包括周期性、单调性、对称性和图像变换等知识，属于基础题.11.已知函数f （x ）＝x ，g （x ）＝x －4，则下列结论正确的是（ ） A. 若h （x ）＝f （x ）g （x ），则函数h （x ）的最小值为4 B. 若h （x ）＝f （x ）|g （x ）|，则函数h （x ）的值域为RC. 若h （x ）＝|f （x ）|－|g （x ）|，则函数h （x ）有且仅有一个零点D. 若h （x ）＝|f （x ）|－|g （x ）|，则|h （x ）|≤4恒成立 【答案】BCD 【解析】【分析】对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项.【详解】对于A 选项，()()()224424h x x x x x x =-=-=--，当2x =时，函数()h x 的最小值为4-，所以A 选项错误.对于B 选项，()224,444,4x x x h x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，画出()h x 图像如下图所示，由图可知，()h x 的值域为R ，故B 选项正确.对于C 选项，()4,0424,044,4x h x x x x x x -<⎧⎪=--=-≤≤⎨⎪>⎩，画出()h x 图像如下图所示，由图可知，()h x 有唯一零点2，故C 选项正确.对于D 选项，由C 选项的分析，结合()h x 图像可知()4h x ≤恒成立，故D 选项正确. 故选：BCD【点睛】本小题主要考查函数的最值、值域和零点，考查分段函数，考查数形结合的思想方法，属于基础题.12.已知向量,a b 是同一平面α内的两个向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若存在实数λ，使得b a λ=，则a 与b 共线 B. 若a 与b 共线，则存在实数λ，使得b a λ=C. 若a 与b 不共线，则对平面α内的任一向量c ，均存在实数,λμ，使得c a b λμ=+r r rD. 若对平面α内的任一向量c ，均存在实数,λμ，使得c a b λμ=+r r r，则a 与b 不共线 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平面向量共线、平面向量的基本定理判断出正确选项. 【详解】根据平面向量共线的知识可知A 选项正确.对于B 选项，若a 与b 共线，可能0a =，当b 为非零向量时，不存在实数λ，使得b a λ=，所以B 选项错误.根据平面向量的基本定理可知C 、D 选项正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查平面向量共线、平面向量的基本定理，属于基础题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13.已知a 和b 都是单位向量，且0,2a b c a b ⋅==+，则向量b 与c 的夹角的余弦值是____．【解析】 【分析】 利用cos ,b c b c b c⋅=⋅求得向量b 与c 的夹角的余弦值.【详解】依题意cos ,b c b c b c⋅=⋅()2222442b a ba b a b ⋅+====+⋅+. 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积、模的运算，考查向量夹角的计算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14.在△ABC 中，已知7sin cos 13A A ＋＝，则sinAcosA 的值为____，tanA 的值为____． 【答案】 (1). 60169- (2). 125-【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式，求得sin cos ,tan A a A 的值.【详解】由7sin cos =13A A +两边平方得496012sin cos ,sin cos 169169A A A A +==-.由于A 是三角形的内角，故A 为钝角，所以sin cos 0A A ->，而()2289sin cos 12sin cos 169A A A A -=-=，所以17sin cos 13A A -=.由17sin cos 137sin cos 13A A A A ⎧-=⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋＝解得125sin ,cos 1313A A ==-，所以sin 12tan cos 5A A A ==-.故答案为：（1）60169-（2）125- 【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.15.已知函数f （x ）（x ∈R ）是周期为4的奇函数，且当0≤x ≤2时，(1),01()sin ,12x x x f x x x π-⎧=⎨<⎩剟…则376f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______． 【答案】14【解析】 【分析】根据函数()f x 的周期性、奇偶性和分段函数解析式，求得所求表达式的值. 【详解】依题意3711111111π42sin 66666f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππ1sin 2πsin 662⎛⎫=--==⎪⎝⎭.371111162224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：14【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题. 16.已知A ，B 是函数()sin 2xf x π=的图象与函数()cos2xg x π=的图象的两个不同的交点，则线段AB 长度的最小值是______．【解析】 【分析】求得()(),f x g x 在一个周期内的两个交点坐标，由此求得AB 长度的最小值. 【详解】()f x 和()g x 的周期为2π4π2T ==，由()()f x g x =得ππsin cos 22x x =，在[]0,4x ∈时，有ππ24x =或π5π24x =，记得12x =或52x =，不妨设15,,22A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，所以AB 长度的最小值为AB ==【点睛】本小题主要考查正弦函数与余弦函数，考查两点间的距离公式.四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知向量()()2,,1,6a m b m ==-． （1）若//a b ，求实数m 的值； （2）若a b a b +=-，求实数m 的值． 【答案】（1）3-或4；（2）14【解析】 【分析】（1）利用两个向量平行的条件列方程，解方程求得m 的值；（2）将a b a b +=-两边平方，求得0a b ⋅=，根据向量数量积的坐标运算列方程，解方程求得m 的值. 【详解】（1）由于//a b ，所以()2610m m ⋅--=，解得3m =-或4m =.（2）将a b a b +=-两边平方得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，所以0a b ⋅=，即()2160m m -+=，解得14m =. 【点睛】本小题主要考查两个向量平行的坐标表示，考查向量模的运算、数量积的运算，考查方程的思想，属于基础题.18.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为O ，始边为x 轴的正半轴，终边经过点P （－3，m ），且4sin 5α=． （1）求实数m 的值；（2）求sin(2)cos()3sin cos 22παππααπα-++⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．【答案】（1）4；（2）17【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义列方程，解方程求得m 的值.（2）由（1）求得cos α的值，利用诱导公式化简求得表达式的值. 【详解】（1）由于角α的终边经过点()3,P m -，且4sin 05α=>，所以0m >，且4sin 5α==，从而()2225169m m=+，即216m=，解得4m =.（2）由（1）知()4,3,4m P =-，所以3cos 5α==-，所以sin(2)cos()sin cos 13cos sin 7sin cos 22ππααππαααααα-++--==-⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查诱导公式和同角三角函数的基本关系式，属于基础题.19.已知函数()2x x e ae f x --=是奇函数，其中e 是自然对数的底数．（1）求实数a 的值；（2）若f （lgx ）＋f （－1）＜0，求x 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）()0,10 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，利用()00f =列方程，解方程求得a 的值. （2）利用函数的奇偶性和单调性化简不等式，并由此求得不等式的解集. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为R ，且为奇函数，所以()1002af -==，解得1a =. （2）由（1）得()122x x e f x e =-，由于1,2xx e e -都在R 上递增，所以函数()122x x e f x e=-在R 上递增，根据()f x 为奇函数得()()()lg 11f x f f <--=，所以lg 1x <，解得010x <<.即不等式的解集为()0,10.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.20.如图，摩天轮的半径为50m ，圆心O 距地面的高度为65m ．已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每30min 转动一圈．游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱．（1）游客进入摩天轮的舱位，开始转动tmin 后，他距离地面的高度为h ，求h 关于t 的函数解析式； （2）已知在距离地面超过40m 的高度，游客可以观看到游乐场全景，那么在摩天轮转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间是多少？【答案】（1）π6550cos ,015t h t ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭；（2）20min 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据摩天轮的转动速度，结合三角函数的知识，求得h 关于t 的解析式. （2）由40h >列不等式，解不等式求得距离地面超过40m 的时间范围，由此求得游客可以观看到游乐场全景的时间.【详解】（1）如图以摩天轮的圆心为坐标原点，水平方向为x 周，建立平面直角坐标系.设游客的位置为点P .因为摩天轮按逆时针方向匀速转动，且每30min 转动一圈，所以OP 在min t 内所转过的角为2πt πt3015=.因为游客是从摩天轮的最低点进入摩天轮的舱位，所以，以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角为πt π152-，因此P 点的纵坐标为ππ50sin 152t ⎛⎫-⎪⎝⎭.从而游客距离地面的高度πππ50sin 656550cos 15215t t h ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0t ≥.（2）令π6550cos 4015t h ⎛⎫=->⎪⎝⎭，得π1cos 152t ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以ππt 5π2π2π3153k k +<<+，即3053025k t k +<<+，k ∈N ，令0k =，则525t <<.由于在距离地面超过40m 的高度，游客可以观看到游乐场全景，因此，在转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间为25520min -=.【点睛】本小题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查三角不等式的解法，属于中档题. 21.在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝3，D 为BC 中点，2AE EB =,12AF FC =．（1）若3A π∠=，求AD EF ⋅的值；（2）若0DE DF ⋅=，求AB AC ⋅uu u r uuu r的值． 【答案】（1）12-；（2）818【解析】 【分析】（1）利用向量加法、减法和数量积运算，化简求得AD EF ⋅的值.（2）利用向量加法、减法和数量积运算，结合0DE DF ⋅=，化简求得AB AC ⋅uu u r uuu r的值. 【详解】（1）由于D 是BC 的中点，所以()12AD AB AC =+，由于2AE EB =,12AF FC =，所以21,33AE AB AF AC ==.所以AD EF ⋅()112233AB AC AC AB ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭2212112333AB AB AC AC ⎛⎫=--⋅+ ⎪⎝⎭22111366AB AB AC AC =--⋅+22111166333626-⨯-⨯⨯⨯+⨯33121222=--+=-.（2）()21113262DE AE AD AB AB AC AB AC =-=-+=-， ()11113226DF AF AD AC AB AC AB AC =-=-+=--，所以11116226DE DF AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2211212129AB AC AB AC=-++⋅323049AB AC =-++⋅=,解得818AB AC ⋅=.【点睛】本小题主要考查向量加法、减法和数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 22.已知函数f （x ）＝sinx ，g （x ）＝lnx ．（1）求方程()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[0，2π]上的解；（2）求证：对任意的a ∈R ，方程f （x ）＝ag （x ）都有解；（3）设M 为实数，对区间[0，2π]内的满足x 1＜x 2＜x 3＜x 4的任意实数x i （1≤i ≤4），不等式()()()()()()122334M f x f x f x f x f x f x -+-+-…成立，求M 的最小值．【答案】（1）π4或5π4；（2）详见解析；（2）4【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合同角三角函数的基本关系式求得tan x 的值，由此求得方程的解.（2）将a 分成0a =和0a ≠两种情况，结合零点存在性证得结论成立.（3）先证得4M ≥，再证得()()()()()()1223344f x f x f x f x f x f x ≥-+-+-，由此求得M 的最小值为4.【详解】（1）因为，()()πsin ,2f x x f x f x ⎛⎫==-⎪⎝⎭，所以πsin sin 2x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即sin cos x x =，且[]0,2πx ∈.若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x +=矛盾.所以cos 0x ≠，从而tan 1x =.又[]0,2πx ∈，所以π4x =或5π4x =. （2）当0a =时，由()()f x ag x =得sin 0x =，即πx =是该方程的一个解；当0a ≠时，令()1ln sin h x x x a =-.因为()h x 的图像在区间22,a ae e -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦上连续不断，且2221211sin 0a a h e e a a a a a --⎛⎫⎛⎫=--≤-+=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2221211sin 0a a h e e a a a a a -⎛⎫⎛⎫=-≥-=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据零点存在性定理可知，存在220,aax e e-⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭，使得()00h x =.因此，当0a ≠时，方程()()f x ag x =有解0x x =.综上所述，对任意a R ∈，方程()()f x ag x =都有解. （3）先证：4M ≥. 取1234π3π0,,,2π22x x x x ====，122334sin sin sin sin sin sin 1214M x x x x x x ≥-+-+-=++=. 再证：当123402πx x x x ≤<<<≤时，都有()()()()()()1223344f x f x f x f x f x f x ≥-+-+-，即1223344sin sin sin sin sin sin x x x x x x --≥+-+.①若2πx ≤，因为234π2πx x x ≤<<≤，于是2341sin ,sin ,sin 0x x x -≤≤，所以2334sin sin 1,sin sin 1x x x x -≤-≤，而12sin sin 2x x -≤，所以122334sin sin sin sin sin sin 4x x x x x x --+-+≤.②若3πx ≤，1223sin sin 1,sin sin 1x x x x -≤-≤，34sin sin 2x x -≤，所以122334sin sin sin sin sin sin 4x x x x x x --+-+≤；③若23πx x <<，1223sin sin 1,sin sin 2x x x x -≤-≤，34sin sin 1x x -≤，所以122334sin sin sin sin sin sin 4x x x x x x --+-+≤，于是对任意满足条件的1234x x x x <<<，都有1223344sin sin sin sin sin sin x x x x x x --≥+-+. 综上所述，M 的最小值为4.【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查零点存在性定理，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析、思考与解决问题的能力，属于难题.。