2022高三统考数学文北师大版一轮：第五章第四节 数列求和

第四节 数列求和

授课提示：对应学生用书第98页

[基础梳理]

1．等差数列的前n 项和公式

S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1

＋n （n －1）2

d ． 2．等比数列的前n 项和公式

S n ＝⎩⎨⎧

na 1，q ＝1，

a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.

3．数列求和方法 (1)公式法求和：

使用已知求和公式求和的方法，即等差、等比数列或可化为等差、等比数列的求和方法．

(2)错位相减法：

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的．

(3)倒序相加法：

如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的． (4)分组求和法：

一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． (5)并项求和法：

一个数列的前n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．

1．先看数列通项特点，再想求和方法． 2．常见的拆项公式

(1)若{a n }为各项都不为0的等差数列，公差为d (d ≠0)，

则1a n ·a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1

)； (2)1n （n ＋k ）＝1k (1n －1

n ＋k

)； (3)1

n ＋n ＋1

＝n ＋1－n ；

(4)log a (1＋1

n )＝log a (n ＋1)－log a n (a ＞0且a ≠1)． 3．一些常见数列的前n 项和公式

(1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝

n （n ＋1）

2

. (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2. (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n 2＋n .

(4)12＋22＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）

6

.

(5)13＋23＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2.

[四基自测] 1．(基础点：裂项求和)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1

n （n ＋1）

，则S 5等于( )

A ．1

B ．5

6 C.1

6

D ．130

答案：B

2．(易错点：错位相减法求和)1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1＝________(x ≠0且x ≠1)．

答案：1－x n （1－x ）2－nx n

1－x

3．(易错点：分组转化法求和)(2－1)＋(22－2)＋…＋(210－10)＝________． 答案：211－57

4．(基础点：并项求和)数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝________． 答案：9

授课提示：对应学生用书第99页

考点一 分组、并项转化法求和

挖掘1 分组转化求和/ 互动探究

[例1] (1)若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( )

A ．2n ＋n 2－1

B ．2n ＋

1＋n 2－1 C ．2n ＋1＋n 2－2 D ．2n ＋n －2 [解析] S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n

＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n ＋2n －1) ＝(2＋22＋…＋2n )＋2(1＋2＋3＋…＋n )－n ＝2（1－2n ）1－2

＋2×n （n ＋1）2－n

＝2(2n －1)＋n 2＋n －n ＝2n ＋1＋n 2－2. [答案] C

(2)直线l n ：y ＝x －2n 与圆C n ：x 2＋y 2＝2a n ＋n 交于不同的两点A n ，B n ，n ∈N ＋.

数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1

4|A n B n |2. ①求数列{a n }的通项公式；

②若b n ＝⎩⎨⎧2n －1（n 为奇数），

a n

（n 为偶数），求数列{b n }的前n 项和T n .

[解析] ①由题意知，圆C n 的圆心到直线l n 的距离d n ＝n ，圆C n 的半径r n ＝2a n ＋n ，

所以a n ＋1＝(12|A n B n |)2＝r 2

n －d 2n ＝2a n ＋n －n ＝2a n ， 又a 1＝1，所以a n ＝2n －1. ②当n 为偶数时，

T n ＝(b 1＋b 3＋…＋b n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n ) ＝[1＋5＋…＋(2n －3)]＋(2＋23＋…＋2n －1) ＝n （n －1）2＋2（1－2n ）1－4

＝n 2－n 2＋23(2n

－1)．

当n 为奇数时，n ＋1为偶数，

T n ＋1＝（n ＋1）2－（n ＋1）2

＋23(2n ＋1

－1)

＝n 2＋n 2＋23(2n ＋1

－1)．

而T n ＋1＝T n ＋b n ＋1＝T n ＋2n ，

所以T n ＝n 2＋n 2＋13(2n

－2)． 所以

T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2－n 2＋23（2n －1）（n 为偶数），n 2＋n 2＋13（2n －2）（n 为奇数）.

[

[例2] (1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋ (－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值是( ) A ．13 B ．76 C ．46 D ．－76

[解析] 因为S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，所以S 15＝(1－5)＋(9－13)＋…＋(49－53)＋57＝(－4)×7＋57＝29，S 22＝(1－5)＋(9－13)＋(17－21)＋…＋(81－85)＝－4×11＝－44，S 31＝(1－5)＋(9－13)＋(17－21)＋…＋(113－117)＋121＝－4×15＋121＝61，所以S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76. [答案] D

(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

2n ＋12π，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 020＝

( )