指数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调性——洪俊卫学习课件.ppt
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函数专题指数型与对数型复合函数的单调性与值域-)2
函数专题：指数型与对数型复合函数的单调性与值域
一、复合函数的概念
如果函数()=y f t 的定义域为A ，函数()=t g x 的定义域为D ，值域为C ， 则当⊆C A 时，函数()()=y f g x 为()f t 与()g x 在D 上的复合函数， 其中()=t g x 叫做内层函数，()=y f t 叫做外层函数 二、复合函数的单调性
1、复合函数单调性的规律：“同增异减”
若内外两层函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数； 若内外两层函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数 2、具体判断步骤
（1）求出原函数的定义域；
（2）将复合函数分解为内层函数和外层函数； （3）分析内层函数和外层函数的单调性； （4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论. 三、指数型复合函数值域的求法
1、形如()=x y f a （0>a ，且1≠a ）的函数求值域
借助换元法：令=x a t ，将求原函数的值域转化为求()f t 的值域， 但要注意“新元t ”的范围 2、形如()
=f x y a
（0>a ，且1≠a ）的函数求值域
借助换元法：令()=f x μ，先求出()=f x μ的值域， 再利用=y a μ的单调性求出()
=f x y a 的值域。
四、对数型复合函数值域的求法
1、形如(log )=a y f x （0>a ，且1≠a ）的函数求值域
借助换元法：令log =a x t ，先求出log =a x t 的值域M ， 再利用()=y f t 在M 上的单调性，再求出()=y f t 的值域。 2、形如()log =a y f x （0>a ，且1≠a ）的函数的值域
指数型复合函数
y f [g(x)] 增函数 减函数 减函数 增函数
小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定 义域，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。
四.函数单调区间的求解
例1.求y= x2 2x的单调增区间.
1
解：设u=x 2 2x, 则y= u u 2 由x 2 2x 0, 得x 0或x 2. (注意：定义域先源自文库） (1) 又u=x 2 2x (x 1)2 1, 对称轴
y
y kx b(k 0)
y kx b(k 0)
O
x
图象的函数解析式是 : y kx b(k 0)， 此函数是一次函数，
当k 0时，此函数为增函数，函数的单调递增区间为, ， 当k 0时，此函数为减函数，函数的单调递减区间为, 。
y k (k 0) x
(1)当a 1时，y at是单调增的， f (x)的增区间就是原函数的增区间； f (x)的减区间就是原函数的减区间。
(2)当1 a 0时，y at是单调减的， f (x)的增区间就是原函数的减区间； f (x)的减区间就是原函数的增区间。
定义域 值域 单调区间
y 2x1 R
O
x b
x
2a
y ax2 bx c(a 0)
图象的函数解析式是：y ax2 bx c(a 0)。此函数是二次函数。
指数型复合函数
上是增函数，在
b 2a
,
上是减函数。
y
y a x (0 a 1)
y ax (a 1)
O
x
图象的解析式是：y ax (a 0且a 0)。此函数是指数函数。
当a 1时，函数在 ,上是增函数； 当0 a 1时，函数在 ,上是减函数。
的单调递减区间为1, 2。
小结：考虑指数函数的单调性要先考虑函数的定义域，在定义域范
围内求函数的单调性。
例4.求函数y 3x2 x6的单调减区间
解：函数f (x)的定义域是 R。
令u
x2
x
6
x
1
2
13
, 则y
3u
2 2
y 3u 在定义域内是增函数。
又u
x
1 2
2
13 2
在
,
1 2
上是减函数，在
1 2
,上是增函数。
y
3x2
x6
在
,
1 2
上是减函数，在
1 2
,
上是增函数。
y
3x2
指数函数与复合函数的单调性(第三课时)ppt课件
0 x=1 x
质 两点 ：定点( 0 , 1 ) ,特征点( 1 , a )； 两线 ：x = 1与y = 1
在 R 上是增函数 ppt课件 在 R 上是减函数 3
思考1 如图所示： 则下列式子中正确的是（ B ）
y ax A.0 a b 1 c d
y
y bx
B.0 b a 1 d c
ppt课件
22
1
典例示范（3）y 2 x
1
解：(3)函数y 2 x的定义域为(-,0) (0， )
外层函数 y 2t 内层 函数t 1 在x (-,0) ,在x (0， )
1x 所以y 2 x 在x (-,0) ,在x (0， )
4 5a
有负根, 求a的取值范围
析：( 3)x 3a 2 4 5a
即：
y y
(3)x 4 3a
2
5 a
ppt课件
1 01
y y
3a 2 35aa2
5a
x
17
精讲细练
例2：求下列复合函数的单调区间
(1) y 23x1
(2) y 3x2 2x5
拓展1:
y= -x+2
3|x| x 2的实 根个数为 2 个
析：变形为3|x| x 2 即： y 3|x|
质 两点 ：定点( 0 , 1 ) ,特征点( 1 , a )； 两线 ：x = 1与y = 1
在 R 上是增函数 ppt课件 在 R 上是减函数 3
思考1 如图所示： 则下列式子中正确的是（ B ）
y ax A.0 a b 1 c d
y
y bx
B.0 b a 1 d c
ppt课件
22
1
典例示范（3）y 2 x
1
解：(3)函数y 2 x的定义域为(-,0) (0， )
外层函数 y 2t 内层 函数t 1 在x (-,0) ,在x (0， )
1x 所以y 2 x 在x (-,0) ,在x (0， )
4 5a
有负根, 求a的取值范围
析：( 3)x 3a 2 4 5a
即：
y y
(3)x 4 3a
2
5 a
ppt课件
1 01
y y
3a 2 35aa2
5a
x
17
精讲细练
例2：求下列复合函数的单调区间
(1) y 23x1
(2) y 3x2 2x5
拓展1:
y= -x+2
3|x| x 2的实 根个数为 2 个
析：变形为3|x| x 2 即： y 3|x|
指数函数(复合函数的单调性)
x2
1 x
1 3y 2
x 2 1
4 y
42
x
x
3 5 y x 1 3
1 2 x 1
3.求下列函数的单调区间
1 y 2 2 x 1 2 y 3
3 x 2
2
1 3 y 2
x 2 2 x 1
4.求下列函数的单调区间
1y
1 2
x
x
1 2 2y x 1 2
作业：求下列函数的单调区间
1y 0.2 2 y 3
§2.1.2指数函数wk.baidu.com其性质 （复合函数单调性）
吉林二中数学组
复合函数的单调性的解题步骤：
1.求下列函数的单调区间
1 y 2 2 x 1 2 y 3
3 x
1 3 y 2
5x
2.求下列函数的单调区间
1y 2 2y 0.7
1 x
1 x
3y 8
指数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调性——洪俊卫ppt资料
3、求解复合函数单调性书写过程的规范
2、复合函数的内外函数的确定
学案第六题
求函f数 (x)(2)-x2-4x的单调.区 5
研究方法与思路
研究方法
同增异减
先确定函数类型 研究思路
研究方法 逐个击破
总结
注
意
成绩
啦
恭喜本节课 获得新知识
课下独立 完成学案思维
应用部分
思考
自己本节课 的疑惑点
本节课自己的 表现是否满意
大小 内外
小函数
大函数
f (t ) ( 1 )对t x加一 2 定的条件
限制呢
tx22x1
f (x)(1)x22x1 2
同增异减
宗旨
复合函数单调性求解
掌握要点
同增 异减
内函数
（注意x的范围哦）
求出内函数单调区间
外函数 下结论
判断外函数单调性
结合内外函数分析
写出函数单调区间 及单调性
展示
第一小组 3、求解复合函数单调性书写过程的规范
高 届数学组 洪俊卫
（1） 2、会求解指数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调性
指数函数底数a（复习） 2、会求解指数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调性
高 届数学组 洪俊卫
第五小组
学案 第五题 （2）
第七小组
复合函数的单调性 ppt课件
•复合函数的单调性
复合函数的定义：设y=f(u)定义
域A，u=g(x)值域为B，若A B，
则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函 数f与g的复合函数，u叫中间量
2020/12/2
1
•复合函数的单调性
•复合函数的单调性由两个函数共同决定；
引理1：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间 (a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u) 在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数 y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.
u=x2－4x+3=(x－2)2－1,
x＞3或x＜1，(复合函数定义域)
x＞2 (u增)
解得x＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间.
2020/12/2
8
例2 求下列复合函数的单调区间： y=log(2x－x2)
解: 设 y=logu,u=2x－x2.由u＞0,u=2x－x2
是20增20/1函2/2 数。
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
复合函数的定义：设y=f(u)定义
域A，u=g(x)值域为B，若A B，
则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函 数f与g的复合函数，u叫中间量
2020/12/2
1
•复合函数的单调性
•复合函数的单调性由两个函数共同决定；
引理1：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间 (a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u) 在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数 y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.
u=x2－4x+3=(x－2)2－1,
x＞3或x＜1，(复合函数定义域)
x＞2 (u增)
解得x＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间.
2020/12/2
8
例2 求下列复合函数的单调区间： y=log(2x－x2)
解: 设 y=logu,u=2x－x2.由u＞0,u=2x－x2
是20增20/1函2/2 数。
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
指数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调性——洪俊卫ppt课件
12
学案第五题（2）
求函数f (x) 3x2-2x-1的单调区间.
13
学案第六题
求函数f (x) ( 2)-x2-4x的单调区间. 5
14
研究方法与思路
研究方法
同增异减
先确定函数类型 研究思路
研究方法 逐个击破
15
总结
注
意
成绩
啦
恭喜本节课 获得新知识
课下独立 完成学案思维
应用部分
思考
-2
-1
2
4
6
-4
-2
0
Biblioteka Baidu
-1
2
4
6
性 1.定义域：R (图象的宽度)
质 2.值域：(0,＋∞) (图象的高度)
3.过定点 ：(0,1) (平移变换中：图动点动)
4.在 R上是 函数 在R上是 函数
6
复合函数 重新认识
大小 内外
小函数
大函数
f (t ) ( 1 )对t x加一 2 定的条件
限制呢
1、指数函数的底 数a与函数单调性 的关系 2、复合函数的内 外函数的确定
3、求解复合函数 单调性书写过程的 规范
1x qx = 3 6 hx = 3x
5
4
1x 3
gx = 2 2
fx = 2x
1
学案第五题（2）
求函数f (x) 3x2-2x-1的单调区间.
13
学案第六题
求函数f (x) ( 2)-x2-4x的单调区间. 5
14
研究方法与思路
研究方法
同增异减
先确定函数类型 研究思路
研究方法 逐个击破
15
总结
注
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成绩
啦
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-1
2
4
6
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-2
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-1
2
4
6
性 1.定义域：R (图象的宽度)
质 2.值域：(0,＋∞) (图象的高度)
3.过定点 ：(0,1) (平移变换中：图动点动)
4.在 R上是 函数 在R上是 函数
6
复合函数 重新认识
大小 内外
小函数
大函数
f (t ) ( 1 )对t x加一 2 定的条件
限制呢
1、指数函数的底 数a与函数单调性 的关系 2、复合函数的内 外函数的确定
3、求解复合函数 单调性书写过程的 规范
1x qx = 3 6 hx = 3x
5
4
1x 3
gx = 2 2
fx = 2x
1
指数函数定义域值域复合函数单调性平移轴对称PPT讲稿
对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法 作出：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图 等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，这种方法我们 遇到的有以下几种形式：
函数 y=f(x+a) y=f(x)+a y=f(-x) y=-f(x) y=-f(-x) y=f(|x|)
2 4x
(3) y 2x 1, y 2x 1. y
9
比较函数
8
y 2x
7
6
y 2x 1
5
y 2x 1
4
3
的图象关系.
2
1
-4 -2 O
2 4x
小 结：
f(x)的图象 向左平移a个单位得到f(x＋a)的图象; 向右平移a个单位得到f(x－a)的图象; 向上平移a个单位得到f(x)＋a的图象; 向下平移a个单位得到f(x)－a的图象.
单调区间为（ －∞ ，＋∞ ）
函数在该区间上是减函数
(2) f (x) ( 1 )|x1| 2
单调区间为： （－∞，1]、 [1，＋∞）
比较函数
y 2x y 2x1 y 2x2
的图象关系.
-4
y
9 8 7 6 5 4 3 2 1
-2 O
2 4x
比较函数
y 2x y 2x1 y 2x2
的图象关系.
指数型复合函数的单调性
[1, ) 上是减函数
∴函数 y (1)x22x6 的单调增区是（-，1]，
2
单调减区间是 [1, )
四.判断复合函数y=f[g(x)]的单调性的步骤：
(1) 确定函数的定义域； （2）将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x);
(3) 分别确定分解成的两个函数的单调性； (4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都
口诀：同增异减 注意：定义域优先原则。
变式训练：求函数 y (1)x22x6 的单调区间
2
解：函数f (x)的定义域是 R。
令u x2 2x 6 x 12 7,则y 3u
y (1)u 在定义域内是减函数。 2
又u x 12 7在 ,1上是减函数，在 1,上是增函数。
∴求函数
y
(
1 ) x2 2
2x6
在
（-，1]上是增函数，在
对于复合函数y=f[g(x)] ，其单调性
一般有四种情况：
y f (x)
增函数
u g(x)
增函数
y f [g(x)] 增函数
增函数 减函数
减函数 增函数
减函数 减函数
减函数
减函数
增函数
口诀：同增异减。
注意：研究函数的单调性，优先考虑函数的定义域，即坚 持定义域优先原则
三.例题分析
相关主题
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恭喜本节课 获得新知识
.精品课件.
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自己本节课 的疑惑点 本节课自己的 表现是否满意
16
2017
谢谢观看
主讲人：洪俊卫
制作人：洪俊卫
.精品课件.
17
限制呢
t x2 2x 1
小函数
f (x) ( 1 )x2 2x1
2
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7
同增异减
宗旨
复合函数单调性求解
.精品课件.
8
掌握要点
同增 异减
内函数
（注意x的范围哦）
求出内函数单调区间
外函数
下结论
.精品课件.
判断外函数单调性
结合内外函数分析
写出函数单调区间 及单调性
9
展示
第一小组
第三小组
两者的区别？
当0 x 3时，又如何？
.精品课件.
12
学案第五题（2）
求函数f (x) 3x2-2x-1的单调区间.
.精品课件.
13
学案第六题
求函数f (x) ( 2)-x2-4x的单调区间. 5
.精品课件.
14
研究方法与思路
研究方法
同增异减
先确定函数类型 研究思路
研究方法 逐个击破
.精品课件.
第一组，第二组 第六组，第九组
.精品课件.
4
反馈问题
1、指数函数的底 数a与函数单调性 的关系 2、复合函数的内 外函数的确定
3、求解复合函数 单调性书写过程的 规范
1x qx = 3 6 hx = 3x
5
4
1x 3
gx = 2 2百度文库
fx = 2x
1
-4
-2
.精品课件.
2
4
5
指数函数底数a（复习）
2017
指数函数与二次函数复合而成的 复合函数的单调性
高2020届数学组 洪俊卫
.精品课件.
1
2017
反馈展示课
.精品课件.
2
学习目标重新定位
1、指数函数性质强化 2、会求解指数函数与二次函数复合而成 的复合函数的单调性
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3
学情反馈
优秀个人：
优秀学科小组：
曹瑞瑞，惠海涛 王佳乐、高梦洁
第五小组
第七小组
学案 第三题
学案 第五题 （1）
学案 第五题 （2）
学案 第六题
各小组讲评员进行讲解
.精品课件.
10
学案第三题
函数f (x) a x (a 0且a 1)
在区间1,2上的最大值比
最小值大 a ，求a的值. 2
.精品课件.
11
学案第五题（1）
求函数f (x) ( 1 )-x2 2x的单调区间. 2
a>1
0<a<1
图
6
6
5
5
象
4
4
3
3
2
2
1
11
-4
-2
-1
2
4
6
-4
-2
0
-1
2
4
6
性 1.定义域：R (图象的宽度)
质 2.值域：(0,＋∞) (图象的高度)
3.过定点 ：(0,1) (平移变换中：图动点动)
4.在 R上是 函数 在R上是 函数
.精品课件.
6
复合函数 重新认识
大小 内外
大函数
f (t ) ( 1 )对t x加一 2 定的条件