新北师大版九年级数学下册《一章 直角三角形的边角关系 2 30°,45°,60°角的三角函数值》教案_9
九年级数学下册 第1章 直角三角形的边角关系教案 北师大版
九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系教案北师大版§1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第1课时）教学目标1、经历探索直角三角形中边角关系的过程2、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明3、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比4、能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算教学重点和难点重点：理解正切函数的定义难点：理解正切函数的定义教学过程设计一、复习已学过的直角三角形性质和定理（勾股定理和其逆定理，300定理，斜边中线定理等等）二、新课讲授1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？2、生活问题数学化：⑴如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？⑵以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ABC 8mα5m 5mβ13m3、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵222111B AC C B AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论?4、正切函数（1） 明确各边的名称（2） 的邻边的对边A A A ∠∠=tan（3） 明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与∠A 的邻边的比值。
（4） tanA 的值越大，梯子越陡 5、巩固练习如图，在△ACB 中，∠C = 90°， 1） tanA = ；tanB = ；2） 若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB = ；3） 若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB = ； 三、讲解例题例1 图中表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？分析：通过计算正切值判断梯子的倾斜程度。
这是上述结论的直接应用。
ABC∠A 的对边∠A 的邻边斜边ABC例2 如图，在△ACB 中，∠C = 90°，AC = 6，43tanB ，求BC 、AB 的长。
九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 1.2 30°,45°,60°角的三角函数值作业设计
1.2 30 °，45 °，60 °角的三角函数值一、选择题1．sin60°的值为（）A. B. C. D.2．若∠A=30°，则下列判断正确的是（）A．sin A=B．cos A=C．tan A=D．cot A=3．计算sin245°+cos30°×tan60°的结果是（）A．2 B．1 C. D.4．在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A，则tan A等于（）A. B. C. D.5．若∠α为锐角，且tan（α-10°）=，则∠α等于（）A．50° B．60° C．70° D．80°6．如图，小明爬一土坡，他从A处到B处所走的直线距离AB=4 m，此时，他距离地面的高度h=2 m，则这个土坡的坡角∠A的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．以上都不对7．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）A. m B．4 m C．4m D．8 m8．如图，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）A．2 m B．2 mC．（2-2）m D．（2-2）m9．如图，要测量点B到河岸AD的距离，在点A测得∠BAD=30°，在点C测得∠BCD=60°，又测得AC=100 m，则点B到河岸AD的距离为（）A．100 m B．50 m C. m D．50 m二、填空题10．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，如果sin A=，cos B=，那么∠C=________°．11．若α是锐角，tanα=2cos30°，则α=________°.12．如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在点C测得∠ACB=30°，在点D测得∠ADB=60°，若CD=100 m，则河宽AB为________m（结果保留根号）．13．在△ABC中，若锐角∠A，∠B满足关系式+（sin B-）2=0，则∠C=________°.14．如图，在△ABC中，∠A=30°，tan B=，BC=，则AB的长为________．三、解答题15．计算：（1）（2cos45°-sin60°）+；（2）-tan45°+tan30°；（3）cos245°+-×tan30°；（4）+3tan30°-（-5）0-（-）-1.16．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：在一副三角板中，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板的直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．17．如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tan B=.（1）求BC的长；（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：≈1.4，≈1.7，）．18．对于钝角∠α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°-α），cosα=-cos（180°-α）．（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；（2）若一个三角形的三个内角的度数之比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sin A，cos B是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的度数．参考答案一、1．C2．A 3．A4．B 5．C 6．A 7．B 8．B 9．B二、10．105 11．60 12．5013．75 14．3+三、15．解：（1）原式=×（2×-）+=2-+=2．（2）原式=-1+×=1-1+1=1．（3）原式=（）2+-×=+-1=．（4）原式=-1+3×-1+3=-1+-1+3=2+1．16．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，∴AC==2，∴EF=AC=2．∵∠ECF=90°，∠E=45°，∴FC=EF·sin E=，∴AF=AC- FC=2-．∴AF的长为2-．17．解：（1）如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D．∵∠ACB=150°，∴∠ACD=30°.在Rt△ADC中，AC=4，∴AD =AC =2，CD =AC ·cos30°=4×=2．在Rt△ABD 中，∵tan B ===，∴BD =16． ∴BC =BD - CD =16-2．（2）如图，在BC 边上取一点M ，使CM =AC ，连接AM ． ∵∠ACB =150°，∴∠AMC =∠MAC =15°． ∴tan15°=tan∠AMD ==≈0.3．18．解：（1）由题意，得sin120°=sin （180°-120°）=sin60°=，cos120°=-cos （180°-120°）=-cos60°=-， sin150°=sin （180°-150°）=sin30°=． （2）∵三角形的三个内角的度数之比是1：1：4， ∴三个内角分别为30°，30°，120°．①当∠A =30°，∠B =120°时，方程的两根分别为，-． 将x=代入方程，得4×（）2-m -1=0，解得m =0． 经检验，x=-是方程4x 2-1=0的根，∴m =0符合题意． ②当∠A =120°，∠B =30°时，两根均为，不符合题意．③当∠A =30°，∠B =30°时，两根分别为12，.将x=代入方程，得4×（）2-m -1=0，解得m =0． 经检验，x=不是方程4x 2-1=0的根．综上所述，m=0，∠A=30°，∠B=120°．。
北师大版九下数学30°,45°,60°角的三角函数值习题课件
B.43 3 cm
C. 5 cm D.2 cm
夯实基础
6．【2019·怀化】已知∠α 为锐角，且 sin α＝12，则∠α＝( A )
A．30° B．45° C．60° D．90°
夯实基础
7．在△ABC 中，∠A，∠B 都是锐角，且 sin A＝12，
cos B＝ 23，则△ABC 的形状是( B )
夯实基础
在 Rt△BDC 中，BD＝AB－AD＝2－12＝32， ∴BC＝ BD2＋CD2＝
322＋ 232＝ 142＝ 3.
整合方法
3
13．【2018·成都】计算：2－2＋ 8－2sin 60°＋－ 3.
3
解：2－2＋ 8－2sin 60°＋－
3＝14＋2－2× 23＋
3＝14＋2－ 3＋ 3＝94.
A．直角三角形 B．钝角三角形C．锐角三角形 D．不能确定
夯实基础
8．已知α为锐角，m＝sin2α＋cos2α，则( B ) A．m＞1 B．m＝1 C．m＜1 D．m≥1
夯实基础
9．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 cos B＝35，则 sin B 的值
是( A )
4
3
3
4
A.5
B.5
整合方法
14．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，点 D 在 AC 上，已知 ∠BDC＝45°，BD＝10 2，AB＝20.求∠A 的度数． 解：∵∠BDC＝45°，∠C＝90°， ∴△BCD 为等腰直角三角形． ∴BC＝CD.又∵BD＝10 2，∴BC＝10. 又∵AB＝20，∴sin A＝BACB＝1200＝12. ∴∠A＝30°.
探究培优
问题解决 (1)直接写出图①中tan∠CPN的值为____2____； (2)如图②，在边长为1的正方形网格中，AN与CM
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系本章小结与复习教案(新版)北师大版
第一章直角三角形的边角关系一、本章知识要点：1、锐角三角函数的概念；2、解直角三角形。
二、本章教材分析：（一）.使学生正确理解和掌握三角函数的定义，才能正确理解和掌握直角三角形中边与角的相互关系，进而才能利用直角三角形的边与角的相互关系去解直角三角形，因此三角形函数定义既是本章的重点又是理解本章知识的关键,而且也是本章知识的难点。
如何解决这一关键问题，教材采取了以下的教学步骤：1.从实际中提出问题，如修建扬水站的实例，这一实例可归结为已知RtΔ的一个锐角和斜边求已知角的对边的问题。
显然用勾股定理和直角三角形两个锐角互余中的边与边或角与角的关系无法解出了，因此需要进一步来研究直角三角形中边与角的相互关系。
2.教材又采取了从特殊到一般的研究方法利用学生的旧知识，以含30°、45°的直角三角形为例：揭示了直角三角形中一个锐角确定为30°时，那么这角的对边与斜边之比就确定比值为1：2，接着以等腰直角三角形为例，说明当一个锐角确定为45°时，其对边与斜边之比就确定为,同时也说明了锐角的度数变化了,由30°变为45°后,其对边与斜边的比值也随之变化了,由到。
这样就突出了直角三角形中边与角之间的相互关系。
3.从特殊角的例子得到的结论是否也适用于一般角度的情况呢？教材中应用了相似三角形的性质证明了:当直角三角形的一个锐角取任意一个固定值时，那么这个角的对边与斜边之比的值仍是一个固定的值，从而得出了正弦函数和余弦函数的定义，同理也可得出正切、余切函数的定义。
4.在最开始给出三角函数符号时，应该把正确的读法和写法加强练习，使学生熟练掌握。
同时要强调三角函数的实质是比值。
防止学生产生sinX=60°,sinX=等错误，要讲清sinA不是sin*A而是一个整体。
如果学生产生类似的错误，应引导学生重新复习三角函数定义。
5.在总结规律的基础上，要求学生对特殊角的函数值要记准、记牢,再通过有关的练习加以巩固。
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系说课稿.4直角三角形公开课
3.使用多媒体工具展示生动的几何图形和动画，帮助学生直观理解直角三角形的边角关系。
4.给予学生成功的体验，通过设计难度适中的练习题，让学生在解决问题中获得成就感，增强学习信心。
5.鼓励学生提出问题和自己的想法，培养他们的探究精神和批判性思维。
4.最后介绍直角三角形的判定与证明方法，通过一系列例题，让学生掌握如何运用这些方法解决实际问题。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习或实践活动：
1.设计一些填空题和选择题，让学生独立完成，以检验他们对基本概念和定理的理解。
2.安排一些证明题，要求学生在小组内合作完成，培养他们的合作能力和逻辑推理能力。
（二）教学反思
在教学过程中，可能遇到的问题包括学生对直角三角形性质的误解、对勾股定理证明过程的困惑以及实际问题解决能力的不足。为应对这些问题，我将采取以下措施：及时澄清误解，通过实例和图示解释概念；分步骤讲解勾股定理的证明，强调每一步的逻辑；设计更多实际问题练习，培养学生的应用能力。课后，我将通过学生的课堂表现、作业完成情况和测验成绩来评估教学效果。具体的反思和改进措施包括：根据学生反馈调整教学方法和进度，针对学生的弱点提供额外的辅导，以及不断更新教学资源，以提高教学质量和学生的学习效果。
2.提供一个自我评价表，让学生根据自己在课堂上的表现和作业完成情况进行自我评价。
3.对学生的表现给予积极的反馈，针对他们的不足提出建设性的建议，帮助他们改进学习方法。
4.鼓励学生相互评价，通过同伴互助，共同提高。
（五）作业布置
课后作业的布置如下：
1.设计一些与直角三角形相关的练习题，包括基本概念的理解题、定理的证明题以及实际问题的应用题。
新北师大版九年级数学下册《一章 直角三角形的边角关系 2 30°,45°,60°角的三角函数值》教案_1
方法二：设 30°角所 对的边为单位 1.则斜 边为 2,另一直角边为
3 。所以
探 三、 sin45、sin60等于多少?
索 新
cos45、cos60等于多少?
知 tan45、tan60等于多少?
四、请同学们完成下表
sin 30 1 2
cos30 3 2
tan 30 3 3
三、
加强学生 的计算及 记忆
, ,
2.sinA=cosB
或
问题 2：互余两角之间的三角函 cosA=sinB.
数关系？
设计意图
知识储备 这部分主 要给探索 新知做辅 助作用，复 习角的三 角函数概 念是是本 节的基础 知识。勾股 定理及 30 ° 的 角 所对的直 角边等于 斜边的一 半是为了 探索 30°， 45°，60° 角的三角 函数值
一、如图,观察一副三角板: 它们其中有几个锐角?分别是多 少度?
二：(1) sin30 等于多少? (2) cos30 等于多少? (3) tan30等于多少?
一、有 30°、45°、 60°角 二、方法一： 设 30°角所对的边为 x，则斜边为 2x，另
一直角边为 3x 。所 以 sin30 = x 1
锐角 a 三角 函数
正弦 sin α
余弦 cos α
正切 tan α
30
45
60
（1）
cos45
2 2
cos60 1 2
sin 45 2
（2）
2
sin60 3 2
（3） tan45 1 tan60 3
四、
锐正余正
角a 弦 弦 切
三 sin cos tan
角ααα
函
数
北师大版初中数学九年级下册《直角三角形的边角关系》全章教材分析教案设计
九年级数学第一章直角三角形的边角关系教案一、本章教学的指导意见：本章内容从梯子的倾斜程度说起，引出第一个三角函数——正切。
因为相比之下，正切是生活当中用得最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度、山的坡度等。
正弦和余弦的概念，是在正切的基础上、利用直角三角形、通过学生的说理得到的。
接着，又从学生熟悉的三角板引入特殊角30°、45°、60°角的三角函数值的问题。
对于一般包括锐角三角函数值的计算问题，需要借助计算器。
教科书仔细地介绍了如何从角得值、从值得角的方法，并且提供了相应的训练和解决问题的机会。
利用锐角三角函数解决实际问题，也是本章重要的内容之一。
除“船有触礁的危险吗？”“测量物体的高度”两节外，很多实际应用问题穿插于各节内容之中。
直角三角形中边角之间的关系，是现实世界中应用最广泛的关系之一，锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用，如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般说来，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系问题。
研究图形之中各个元素之间的关系，如边和角之间的关系，把这种关系用数量的形式表示出来，即进行量化，是分析问题和解决问题过程中常用的方法，是数学中重要的思想方法。
通过这一章内容的学习，学生将进一步感受数形结合的思想、体会数形结合的方法。
通过直角三角形中边角之间关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等。
直角三角形中边角之间关系的学习，也将为一般性地学习三角函数的知识及进一步学习其它数学知识奠定基础。
（二）教学重点1．使学生经历探索直角三角形中边角之间关系、探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，从中发展学生观察、分析、发现的能力；2．理解锐角三角函数的概念，并能够通过实例进行说明；3．会计算包括30°、45°、60°角的三角函数值的问题；4．能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值，或由已知三角函数值求出相应的锐角；5．能够运用三角函数，解直角三角形及解决与直角三角形有关的实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力；6．体会数、形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。
新北师大版九年级数学下册《一章 直角三角形的边角关系 2 30°,45°,60°角的三角函数值》课件_7
锐角 三角 a 函数
sin a
30°
1 2
45°
60°
cos a
tan a
巧记三角函数值
1、2、3、3、2、1，3、9还有27； 正弦余弦分母2，正切分母变为3； 分子根号记住添，最后结果要化简。
三、新知应用
计算:
(1)sin30°+cos45°; (2) sin260°+cos260°-tan45°.
逆向练习
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB 6, BC 3
求∠A的度数．
解： 如图， AB 6, BC 3
B
sin A BC 3 2 AB 6 2
6
3
A 45
A
C
课堂小结
锐角 三角 a 函数
sin a
cos a
tan a
30°
1 2
45°
60°
观察：在0~90度之间 正弦值随角度数的 增大而增大
正切值随角度数的 增大而增大 余弦值随角度数的 增大而减小
课后
独立
作业
作业
见导学案分层练习
分层练习 1、计算：(1) sin45°+sin60°-2cos45°
(2)3tan30°+2sin60°-2tan45°
2、已知tan(A-30°)=1,求∠A的度数。
3、某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°， 高为7 m，扶梯的长度是多少?
30°、45°、60°角的三角函数值
一、合作探究
分别求出下方几个锐角的正弦值、余弦值和正切 值．
60°
30° 45°
45°
设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a
另一条直角边长＝ 2a2 a2 3a
新北师大版九年级数学下册《一章 直角三角形的边角关系 2 30°,45°,60°角的三角函数值》教案_12
第一章直角三角形的边角关系2、30°，45°，60°角的三角函数值一、教学目标知识目标1.经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.2.能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算.3.能够根据30°，45°，60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.能力目标1.经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力.情感目标1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯.2..在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.教学重点1.探索30°，45°，60°角的三角函数值.2.能够进行含30°，45°，60°角的三角函数值的计算.3.比较锐角三角函数值的大小.教学难点：三角函数值的应用二、教学过程复习旧知，引入新课活动内容： 1、勾股定理。
勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
如图，用字母表示：a2+b2=c2如图所示在Rt△ABC中，∠C=90°.A（1）a 、b 、c 三者之间的关系是 ，∠A+∠B= . （2）sinA= ，cosA= ，tanA= . sinB= ，cosB= ，tanB= .教师可引导学生，sinA 和cosB 之间的关系tanA 和tanB 之间的关系，让能力强的学生理解三角函数内部之间的关系讲解新课1、探索30°角的三角函数值①观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? ② sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.③ cos30°等于多少?tan30°呢?学生探讨、交流，得出 30°角的三角函数值. 教师提示学生BC=a ，分别求出另外两条边的长.2、求出了30°角的三角函数值，在同一个图中求出60°的三个三角函数值.3、让学生画出45°角的三角形，根据图形求45°三角函数值.并完成下表思考：1．观察表格中函数值说说sinA 和cosB 之间的关系tanA 和tanB 之间的关系.2、观察表格，随着角度的增加，正弦、余弦、正切值的变化情况.3、若对于锐角α有sin α=21,则α= . 例题讲解A例1、计算： (1)sin30°+cos45°； (2)sin260°+cos260°-tan45°.=0基础练习(1)sin600-cos450; (2)cos600+tan600知识运用例2：一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)目的1、让学生能从实际问题中抽象出几何图形，利用几何图形解答实际问题2、熟练30°、45°、60°角的三角函数值的计算.巩固练习1. 某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m，扶梯的长度是多少?.221+=2221+=1212322-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=14143-+=().45cos260sin45sin22300-+().45cos260cos30sin2240222-+*2. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°，∠A,∠B ,∠C的对边分别是a，b，c. 证明:sin2A+cos2A=1.课堂小结1、直角三角形三边的关系.2、直角三角形两锐角的关系.3、直角三角形边与角之间的关系.4、特殊角300，450，600角的三角函数值.5、互余两角之间的三角函数关系.6、同角之间的三角函数关系课后作业习题1.3 1、2选用作业1．如图，为了测量河的宽度，在河边选定一点C，使它正对着对岸的一个目标B，然后沿着河岸走100米到点A（∠ACB=90°），测得∠CAB=45°.问河宽是多少？BC A2．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD=30 m，两楼问的距离AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m，2≈1.41，3≈1.73)三、教学反思cBA C本节课是在学生已有的直角三角形有关知识的基础上，根据三角函数的定义，探究30°，45°，60°三个特殊角的三角函数值，要求能利用特殊角的三角函数值进行基本的运算，并能根据三角函数特殊值求出特殊角；能根据生活中一些较简单的实际问题抽象出一定的几何模型，并由抽象出来的几何模型进行分析和计算，得出实际问题中需要的结果，在教学中要进一步渗透三角函数中量与量之间的相互联系、以及相互转化的观点，培养学生观察、分析、比较、概括的思维能力.对已学习能力较高的学生要求很理解并掌握任意两个锐角互余时，正、余弦之间的关系和正切之间的关系，并能利用这一性质进行简单的三角变换或相应计算.。
北师大版九年级下册数学北师大版九年级下册数学第一章 直角三角形的边角关系1.2 30°,45°,60°角的三角
☆达标检测☆
1．若sinα= ,则锐角α=________.若2cosα=1,则锐角α=_________.
2．若∠A是锐角，且tanA= ,则cosA=_________
3．若∠A=41°，则cosA的大致范围是（）
A．0＜cosA＜1 B. ＜cosA＜ C. ＜cosA＜ D. ＜cosA＜1
1.2 30°，45°，60°角的三角函数值
教学思路
（纠错栏）
教学思路
（纠错栏）
教学目标：1.能利用三角函数概念推导出特殊角的三角函数值.
2.在探索特殊角的三角函数值的过程中体会数形结合思想.
教学重点：特殊角30°、60°、45°的三角函数值.
教学难点：灵活应用特殊角的三角函数值进行计算.
☆预习导航☆
30°
45°
60°
sin a
co求下列各式的值
（1）2sin300－cos450（2）sin600cos600（3）sin2300+cos2300
2.求满足下列条件的锐角 ：
(1)tan(a+10°)=1，(2)sin(a-20°)= .
3.已知：如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AC=2,AD= .分别求出△ABC、△ACD、△BCD中各锐角的度数.
一、链接：1.如图，用小写字母表示下列三角函数：
sinA = sinB =
cosA = cosB =
tanA = tanB =
2. 中，如果∠A=30°,那么三边长有什么特殊的数量关系？
如果∠A=45°,那么三边长有什么特殊的数量关系？
二、导读：
仔细阅读课本内容后完成下面填空：
角度a
北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教案
北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》主要介绍了直角三角形的性质，包括锐角三角函数的概念、直角三角形的边角关系等。
本章内容是初中数学的重要知识点，为后续学习三角形相似、解直角三角形等知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但学生在学习过程中，可能对锐角三角函数的理解和应用存在困难，因此需要通过本章内容的学习，帮助学生巩固直角三角形的性质，提高解题能力。
三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握锐角三角函数的概念。
2.学会运用直角三角形的性质解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质，锐角三角函数的概念。
2.难点：锐角三角函数的应用，解直角三角形。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 教学准备1.教学课件：制作直角三角形性质、锐角三角函数的课件。
2.教学素材：提供相关案例，如实际问题、例题等。
3.学习工具：准备好直角三角形、锐角三角函数的相关资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如测量身高、测距等，引出直角三角形的性质和锐角三角函数的概念。
激发学生的学习兴趣，引导学生思考直角三角形在实际生活中的应用。
2.呈现（15分钟）呈现直角三角形的性质和锐角三角函数的定义，通过动画、图片等形式展示，帮助学生直观地理解。
同时，给出相关案例，让学生体会直角三角形性质和锐角三角函数在实际问题中的作用。
3.操练（15分钟）针对直角三角形的性质和锐角三角函数，设计一系列练习题。
让学生独立完成，巩固所学知识。
教师及时批改、讲解，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过小组合作学习，让学生运用直角三角形的性质和锐角三角函数解决实际问题。
九下第一章直角三角形的边角关系230°45°60°角的三角函数值作业新版北师大版
D
【点拨】A.sin 45°＋cos 45°＝ ，故错误； B．因为2tan 30°＝ ，tan 60°＝ ， 所以2tan 30°≠tan 60°，故错误； C．因为2sin 60°＝ ，tan 45°＝1， 所以2sin 60°≠tan 45°，故错误； D．因为sin230°＝ ， cos 60°＝ ， 所以sin230°＝ cos 60°，故正确．故选D.
5．计算： (1)4cos 30°－cos 45°tan 60°＋2sin 245°；
6.
30°
60°
30°
45°
45°
45°
60°
30°
60°
7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝ ，则∠B的大小是( ) A．30° B．45° C．60° D．75°
A
8．已知α是锐角，3tan (90°－α)－ ＝0，则α＝( ) A．30° B．40° C．45° D．60°
C
14．【新考向】定义一种运算：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.例如：当α＝60°，β＝45°时，sin(60°－45°)＝ ＝ ，则sin 75°的值为____________．
15．已知α为锐角，sin (α＋15°)＝ ，计算 －4cos α＋tan α＋ 的值．
16．【学科素养·应用意识】为保证车辆行驶安全，现在公路旁设立一检测点A观测行驶的汽车是否超速．如图，检测点A到公路的距离是24 m，在公路上取两点B，C，使得∠ACB＝30°，∠ABC＝120°. (1)求BC的长(结果保留根号)；
1．
α
sin α
cos α
北师版九年级下册数学第1章 30°,45°,60°角的三角函数值
解：△ABC是直角三角形. 理由如下：
sin A
3 2
+（ 23-tanB）2=0,
sin A
3 2
0,
（ 23-tanB）2≥0,
∴
3 sin A- 2 =0,
3 3 -tanB=0,
∴
3
3
sin A- 2 , tanB= 3 .
知1－练
6 将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，
那么折痕PQ的长是( B )
A. cm2 3
B. cm34 C. cm3
3
D．2c5m
知识点 2 已知特殊三角函数值求角
知2－讲
通过该表可以方便地知道30°，45°，60°角的 三角函数值．它的另一个应用：如果已知一个锐角的
三角函数值，就可以求出这个锐角的度数．例如：若 sinθ＝，则2 锐角θ＝45°.
sinB, cosB, tanB.
解：过点A作AD⊥BC于点D.
∵△ABC是等腰三角形，
∴BD＝CD＝B1C＝3. 2
在Rt△ABD中，∵AD＝＝A4，B2 BD2
∴sinB＝＝A，DcosB＝4 ＝，tanB＝B＝D. 3
AB 5 AD 4
AB 5
BD 3
（来自教材）
知2－练
2
(中考·庆阳)在△ABC中，若角A，B满足|cosA－|
4
∴由勾股定理得AC5＝＝＝15.
AB2 BC2 252 202
∴C△ABC＝AB＋BC＋CA＝25＋20＋15＝60，
S△ABC＝1 BC·AC＝×1 20×15＝150.
2
2
北师大版九年级数学下册：第一章直角三角形的边角关系-回顾与思考(教案)
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《直角三角形的边角关系》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量高度或距离的情况？”（如测量树的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索直角三角形边角关系的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理、三角函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对直角三角形边角关系的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“直角三角形的边角关系在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
5.培养学生严谨的数学态度和良好的数学学习习惯，形成对数学知识的深度理解和长期记忆。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理及其应用、正弦、余弦、正切函数的定义及性质、直角三角形的边角关系。
-重点讲解：
a.勾股定理的推导、证明及其在直角三角形中的应用；
b.正弦、余弦、正切函数的图形表示、定义域、值域及基本性质；
c.直角三角形中各角度与各边的关系，以及在实际问题中的应用。
数学北师大版九年级下册《230°,45°,60°角的三角函数值》课件公开课(1)
活动探究
让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位 置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰 好和斜边重合且过树梢C点，30°的邻边和水 平方向平行，用卷尺测出AB的长度和BE的长 度，因为DE=AB，所以只需在Rt△CDA中求出 CD的长度即可.
tan30°= CD CD
AD a
则CD=a·tan30°
你能求出30°角的三个三角函数值吗?
探索30°角的三角函数值
1、探索30°角的三角函数值①观察一副三角尺， 其中有几个锐角?它们分别等于多少度? ② sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴 交流 ③cos30°等于多少?tan30°呢？ 2、我们求出了30°角的三个三角函数值，还有 两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值 分别是多少?你是如何得到的?
随堂练习
计算：(1)sin600-cos450; (2)cos600+tan600; 3 2 sin 450 sin 600 2 cos 450.
2
4 2 sin 2 300 cos2 600 2 cos2 450.
还有哪些困惑?
300 600
做一做 请找出下列方程的共同特点:
锐角α
三角函数
300
正弦sinα
450
600
余弦cosα
正切tanα
（1）我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、 45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢? （2）再次观察表格，你还能发现什么？ 从下列两个方面考虑： a、随着角度的增加，正弦、余弦、正切值的变化情况。 b、若对于锐角有sina=1/2,则a= ？
第一章 直角三角形的边角关系
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系 北师大版
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系 北师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：直角三角形的边角关系二. 教学目标：1. 理解锐角三角函数的概念，熟练掌握直角三角形的边角之间的关系。
2. 会计算含30°，45°，60°角的三角函数值的问题。
3. 能运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题。
三、重点及难点：重点：1. 会计算含30°，45°，60°角的三角函数值的问题。
2. 能运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题。
难点：能运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题。
四. 课堂教学 ［知识要点］1. 如图，在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即的邻边的对边A A A tan ∠∠=∠A 的对边A ∠A 的邻边 C2. A tan 的值越大，梯子越陡。
3. 正切也经常用来描述山坡的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比））4. ∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A sin ∠=5. ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A cos ∠=6. sinA 的值越大，梯子越陡；cosA 的值越小，梯子越陡。
7. 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数。
8.9. 测量底部可以到达的物体的高度。
所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离。
如图，要测量物体MN 的高度，可按下列步骤进行：（1）在测点A 处安置测倾器，测得M 的仰角∠MCE=α。
（2）量出测点A 到物体底部N 的水平距离AN=l 。
（3）量出测倾器的高度AC=a （即顶线成水平位置时，它与地面的距离）。
则物体MN=ME+EN=l tan α+a10. 测量底部不可以到达的物体的高度。
九年级数学下册教材目录(北师大版)
九年级数学下册教材目录（北师大版）第一章直角三角形的边角关系
1 锐角三角函数
2 30°，45°，60°角的三角函数值
3 三角函数的计算
4 解直角三角形
5 三角函数的应用
6 利用三角函数测高
回顾与思考
复习题
第二章二次函数
1 二次函数
2 二次函数的图象与性质
3 确定二次函数的表达式
4 二次函数的应用
5 二次函数与一元二次方程
回顾与思考
复习题
第三章圆
1 圆
2 圆的对称性
*3 垂径定理
4 圆周角和圆心角的关系
5 确定圆的条件
6 直线和圆的位置关系*
7 切线长定理
8 圆内接正多边形
9 弧长及扇形的面积
回顾与思考
复习题。
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1.2 30°、45°、60°角的三角函数值
教学分析：
本节在前两节介绍了正切、正弦、余弦定义的基础上，经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义，并能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
因此本节的重点是利用三角函数的定义求30°、45°、60°这些特殊角的特殊三角函数值，并能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算.难点是利用已有的数学知识推导出30°、45°、60°这些特殊角的三角函数值.
三角尺是学生非常熟悉的学习用具，教学中，教师应大胆地鼓励学生用所学的数学知识如“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”的特性，经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生的推理能力和计算能力.
课题
1.2 30°，45°，60°角的三角函数值
教学目标
(一)教学知识点
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.
2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.
(二)思维训练要求
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力.
2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
(三)情感与价值观要求
1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯.
2.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
教具重点
1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.比较锐角三角函数值的大小.
教学难点
进一步体会三角函数的意义.
教学方法
自主探索法
教学准备
一副三角尺
多媒体演示
教学过程
Ⅰ.回顾与思考。
[师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，请同学们回顾正弦，余弦，及正切的相关概念。
Ⅱ.讲授新课
1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
[师]观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?
[生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°.
[师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.
[生]sin30°＝21. sin30°表示在直角三角 形中，30°角的对边与 斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a ，所以sin30°＝
212=a a . [师]cos30°等于多少?tan30°呢?
[生]cos30°＝2
323=a a . tan30°=333
13==a a [师]我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?
[生]求60°的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.利用上图，很容易求得sin60°=2
323=a a , cos60°=2
12=a a , tan60°＝
33=a a . [生]也可以利用上节课我们得出的结论：一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60°＝cos(90°-60°)＝cos30°=2
3cos60°=sin(90°- 60°)=sin30°=2
1. [师生共析]我们一同来
求45°角的三角函数值.含
45°角的直角三角形是等腰
直角三角形.(如图)设其中一
条直角边为a ，则另一条直角
边也为a ，斜边2a.由此可求得
sin45°=222
12==a a , cos45°＝
22212==a a , tan45°=1=a
a [师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示)
这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小.
为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢?
[生]30°、45°、60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为1，2，3，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大.
[师]再来看第二列函数值，有何特点呢?
[生]第二列是30°，45°、60°角的余弦值，它们的分母也都是2，而分子从大到小分别为3，2，1，余弦值随角度的增大而减小.
[师]第三列呢?
[生]第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan45°=1比较特殊.
[师]很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30°、 45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒.
2.例题讲解(多媒体演示)
[例1]计算：
(1)sin30°+cos45°；
(2)sin 260°+cos 260°-tan45°.
分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角
函数值进行计算时，一般不取近似值，另外sin 260°表示(sin60°)2，cos 260°表示
(cos60°)2.
解：(1)sin30°+cos45°=2212221+=+, (2)sin 260°+cos 260°-tan45° =(23)2+(2
1)2-1 =43 +4
1 -1 ＝0.
[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)
分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 解：根据题意(如图)
可知，∠BOD=60°，
OB=OA ＝OD=2.5 m ，
∠AOD ＝2
1×60°＝30°， ∴OC=OD ·cos30° =2.5×2
3≈2.165(m). ∴AC ＝2.5-2.165≈0.34(m).
所以，最高位置与最低位置的高度约为
0.34 m.
Ⅲ.随堂练习
多媒体演示
1.计算：
(1)sin60°-tan45°；
(2)cos60°+tan60°；
(3) 2
2sin45°+sin60°-2cos45°. 解：(1)原式＝
23-1=223-； (2)原式=2
1+=23213+= (3)原式=22×22+23×2
2；
=2
2231-+ 2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少? 解：扶梯的长度为
21
730sin 7=︒=14(m)， 所以扶梯的长度为14 m.
Ⅳ.课时小结
本节课总结如下：
(1)探索30°、45°、60°角的三角函数值.
sin30°＝2
1，sin45°＝22，sin60°＝23； cos30°＝23，cos45°＝ 22，cos60°＝2
1； tan30°=
33，tan45° ＝1，tan60°=3.
（2）会进行30°、45°、60°角的三角函数值计算及有关的实际应用。
V.布置作业。
习题1.3 1,2,3题。