2015年中考数学试卷解析分类汇编专题30-圆的有关性质

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中考数学复习《圆的有关性质》测试题(含答案)

中考数学复习《圆的有关性质》测试题（含答案）一、选择题(每题5分，共30分)1．[2014·梧州]已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O 的位置关系是(C) A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．点A与圆心O重合【解析】∵⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，即点A到圆心O 的距离大于圆的半径，∴点A在⊙O外．2．[2015·珠海]如图29－1，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则∠BOD的度数是(D)A．25°B．30°C．40°D．50°图29－1【解析】∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，∴AD︵＝BD︵，∴∠DOB＝2∠C＝50°.3．[2015·遂宁]如图29－2，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm，OC⊥AB于点C，则OC＝(B) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm图29－2【解析】显然利用垂径定理．如答图，连结OA ， ∵AB ＝6 cm ，AC ＝12AB ＝ 3 cm ，又⊙O 的半径为5 cm ，所以OA ＝5 cm ，在Rt △AOC 中， OC ＝AO 2－AC 2＝52－32＝4(cm)．4．[2015·宁波]如图29－3，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠A ＝72°，则∠BCO 的度数为(B)A ．15°B ．18°C ．20°D ．28°图29－3【解析】连结OB ，如答图，∠BOC ＝2∠A ＝2×72°＝144°，∵OB ＝OC ，∴∠CBO ＝∠BCO ，∴∠BCO ＝12(180°－∠BOC )＝12×(180°－144°)＝18°.5．[2015·巴中]如图29－4，在⊙O 中，弦AC ∥半径OB ，∠BOC ＝50°，则∠OAB 的度数为(A)A ．25°B ．50°C ．60°D ．30° 【解析】 ∵∠BOC ＝2∠BAC ，∠BOC ＝50°，第3题答图第4题答图∴∠BAC＝25°，∵AC∥OB，∴∠BAC＝∠B＝25°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B＝25°.图29－4 图29－56．[2014·荆门]如图29－5，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是(D) A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DEC．AD2＝BD·CD D．AD·AB＝AC·BD【解析】由题意可知，∠ADC＝∠ADB＝90°，A．∵∠ACD＝∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故A正确；B．∵AD＝DE，∴AD︵＝DE︵，∴∠DAE＝∠B，∴△ADC∽△BDA，故B正确；C．∵AD2＝BD·CD，∴AD∶BD＝CD∶AD，∴△ADC∽△BDA，故C正确；D．∵AD·AB＝AC·BD，∴AD∶BD＝AC∶AB，但∠ADC＝∠ADB不是夹角，故D错误．二、填空题(每题5分，共30分)7．[2015·贵州]如图29－6，A ，B ，C 三点均在⊙O 上，若∠AOB ＝80°，则∠ACB ＝__40°__．【解析】 ∠ACB ＝12∠AOB ＝12×80°＝40°.图29－6 图29－78．[2015安徽]如图29－7，点A ，B ，C 在⊙O 上，⊙O 的半径为9，AB ︵的长为2π，则∠ACB 的大小是__20°__．9．[2015·娄底]如图29－8，在⊙O 中，AB 为直径，CD 为弦，已知∠ACD ＝40°，则∠BAD ＝__50__度．【解析】 ∵在⊙O 中，AB 为直径，∴∠ADB ＝90°，∵∠B ＝∠ACD ＝40°，∴∠BAD ＝90°－∠B ＝50°.10.[2015·泰州]如图29－9，⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A ＝115°，则∠BOD 等于__130°__．【解析】 ∵∠A ＝115°，∴∠C ＝180°－∠A ＝65°，∴∠BOD ＝2∠C ＝130°.图29－9 图29－10图29－811．[2015·绍兴]如图29－10，已知点A (0，1)，B (0，－1)，以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交x 轴的正半轴于点C ，则∠BAC 等于__60__度．【解析】 ∵A (0，1)，B (0，－1)， ∴AB ＝2，OA ＝1，∴AC ＝2，在Rt △AOC 中，cos ∠BAC ＝OA AC ＝12， ∴∠BAC ＝60°.12．某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段与原管道同样粗细的新管道．如图29－11，水面宽度原有60 cm ，发现时水面宽度只有50 3 cm ，同时水位也下降65 cm ，则修理人员应准备的半径为__50__cm 的管道．图29－11【解析】如答图所示：过点O 作EF ⊥AB 于点F ，交CD 于点E ，连结OC ，OA ， ∵CD ∥AB ，∴EF ⊥CD ，∵CD ＝60 cm ，AB ＝50 3 cm ， ∴CE ＝12CD ＝12×60＝30 cm ， AF ＝12AB ＝12×503＝25 3 cm ，设⊙O 的半径为r ，OE ＝h cm ，则OF ＝65－h (cm)，在Rt △OCE 中，OC 2＝CE 2＋OE 2，即r 2＝302＋h 2，①第12题答图在Rt△OAF中，OA2＝AF2＋OF2，即r2＝(253)2＋(65－h )2，②①②联立，解得r＝50 cm.三、解答题(共10分)13．(10分)[2014·湖州]如图29－12，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D.(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．图29－12解：(1)证明：如答图，过点O作OE⊥AB于点E.则CE＝DE，AE＝BE.∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD；(2)由(1)可知，OE⊥AB且OE⊥CD，第13题答图如答图，连结OA，OC，∴CE＝OC2－OE2＝82－62＝27.AE＝OA2－OE2＝102－62＝8.∴AC＝AE－CE＝8－27.14．(8分)[2015·安顺]如图29－13，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为(C)图29－13A．2 2 B．4C．4 2 D．8【解析】∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝22OC＝22，∴CD＝2CE＝4 2.15．(10分)某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面宽度为7.2 m，如图29－14，过O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，CD＝2.4 m．现有一艘宽3 m，船舱顶部为方形并高出水面(AB)2 m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？图29－14解：如答图，连结ON，OB.∵OC⊥AB，∴D为AB的中点．∵AB＝7.2 m，∴BD＝12AB＝3.6 m.第15题答图设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝OC－CD＝r－2.4.在Rt△BOD中，根据勾股定理得r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9(m)．∵CD＝2.4 m，船舱顶部为方形并高出水面AB为2 m，∴CE＝2.4－2＝0.4(m)，∴OE＝r－CE＝3.9－0.4＝3.5(m)．在Rt△OEN中，EN2＝ON2－OE2＝3.92－3.52＝2.96，∴EN＝ 2.96 m，∴MN＝2EN＝2× 2.96≈3.44(m)＞3(m)，∴此货船能顺利通过这座拱桥．16．(12分)[2015·台州]如图29－15，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；(2)求证：∠1＝∠2.图29－15解：(1)∵BC＝DC，∴BC︵＝DC︵.∴∠BAC＝∠CAD＝∠CBD.∵∠CBD＝39°，∴∠BAC＝∠CAD＝39°.∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝78°；(2)证明：∵EC＝BC，∴∠CBE＝∠CEB.∵∠CBE＝∠1＋∠CBD，∠CEB＝∠2＋∠BAC，∴∠1＋∠CBD＝∠2＋∠BAC.又∵∠BAC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.。

中考数学试题解析分类汇编汇总 31 圆的有关性质

圆的有关性质一、选择题1. （•湖北宜昌,第12题3分）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，AC，BD相交于点E，则∠ABD=（）A．∠ACD B．∠ADB C．∠AED D．∠ACB考点：圆周角定理．分析：根据圆周角定理即可判断A、B、D，根据三角形外角性质即可判断C．解答：解：A、∵∠ABD对的弧是弧AD，∠ACD对的弧也是AD，∴∠ABD=∠ACD，故本选项正确；B、∵∠ABD对的弧是弧AD，∠ADB对的弧也是AB，而已知没有说弧AD=弧AB，∴∠ABD和∠ACD不相等，故本选项错误；C、∠AED＞∠ABD，故本选项错误；D、∵∠ABD对的弧是弧AD，∠ACB对的弧也是AB，而已知没有说弧AD=弧AB，∴∠ABD和∠ACB不相等，故本选项错误；故选A．点评：本题考查了圆周角定理和三角形外角性质的应用，注意：在同圆或等哦圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．2. （衡阳，第11题3分）圆心角为120，弧长为12π的扇形半径为【】A．6B．9C．18D．36n rπ【考点】弧长计算公式l=180【解析】本题直接把n=120°,l=12π带入解方程即可.【答案】C【点评】正确解答本题只需牢记弧长公式.3．（•重庆A,第9题4分）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．70°考点：圆周角定理．专题：计算题．分析：先根据圆周角定理得到∠ABC=∠AOC，由于∠ABC+∠AOC=90°，所以∠AOC+∠AOC=90°，然后解方程即可．解答：解：∵∠ABC=∠AOC，而∠ABC+∠AOC=90°，∴∠AOC+∠AOC=90°，∴∠AOC=60°．故选C．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．4．（•湖北荆门,第6题3分）如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（）第1题图A．∠ACD=∠DAB B．AD=DE C．A D2=BD•CD D．A D•AB=AC•BD考点：相似三角形的判定；圆周角定理．分析：由∠ADC=∠ADB，根据有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．解答：解：如图，∠ADC=∠ADB，A、∵∠ACD=∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；B、∵AD=DE，∴=，∴∠DAE=∠B，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；C、∵AD2=BD•CD，∴AD：BD=CD：AD，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；D、∵AD•AB=AC•BD，∴AD：BD=AC：AB，但∠ADC=∠ADB不是公共角，故本选项错误．故选D．点评：此题考查了相似三角形的判定以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．5．（•山西，第8题3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．80°考点：圆周角定理．分析：根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，再进一步根据圆周角定理求解．解答：解：∵OA=OB，∠OBA=50°，∴∠OAB=∠OBA=50°，∴∠AOB=180°﹣50°×2=80°，∴∠C=∠AOB=40°．故选：B．点评：此题综合运用了三角形的内角和定理以及圆周角定理．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．6. （•乐山，第9题3分）在△ABC中，AB=AC=5，sinB=，⊙O过点B、C两点，且⊙O 半径r=，则OA的值（）A．3或5 B．5C．4或5 D．4考点：垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形．.专题：分类讨论．分析：作AD⊥BC于D，由于AB=AC=5，根据等腰三角形的性质得AD垂直平分BC，则根据垂径定理的推论得到点O在直线AD上，连结OB，在Rt△ABD中，根据正弦的定义计算出AD=4，根据勾股定理计算出BD=3，再在Rt△OBD中，根据勾股定理计算出OD=1，然后分类讨论：当点A与点O在BC的两旁，则OA=AD+OD；当点A与点O在BC的同旁，则OA=AD﹣O D．解答：解：如图，作AD⊥BC于D，∵AB=AC=5，∴AD垂直平分BC，∴点O在直线AD上，连结OB，在Rt△ABD中，sinB==，∴AD=4，∴BD==3，在Rt△OBD中，OB=，BD=3，∴OD==1，当点A与点O在BC的两旁，则OA=AD+OD=4+1=5；当点A与点O在BC的同旁，则OA=AD﹣OD=4﹣1=3，即OA的值为3或5．故选A．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．7. （•丽水，第9题3分）如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EA D．已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的弦心距等于（）A．B．C．4D．3考点：圆周角定理；勾股定理；旋转的性质．专题：计算题．分析：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再证明△ADE≌△ABF，得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，易得AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=BF=3．解答：解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，在△ADE和△ABF中，∴△ADE≌△ABF，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，而CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=BF=3．故选D．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质．8．(贵州安顺，第10题3分)如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则P A+PB的最小值为（）A．B．1C．2 D．2考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．.分析：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题可得AB′与MN的交点即为P A+PB的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AON=60°，然后求出∠BON=30°，再根据对称性可得∠B′ON=∠BON=30°，然后求出∠AOB′=90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB′=OA，即为P A+PB的最小值．解答：解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，则AB′与MN的交点即为P A+PB的最小时的点，P A+PB的最小值=AB′，∵∠AMN=30°，∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，∵点B为劣弧AN的中点，∴∠BON=∠AON=×60°=30°，由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴AB′=OA=×1=，即P A+PB的最小值=．故选A．点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键．9．(广西南宁，第6题3分）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm考点：垂径定理的应用；勾股定理．.分析：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，由垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求出OM的长，进而可得出ME的长．解答：解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，∵直径为200cm，AB=160cm，∴OA=OE=100cm，AM=80cm，∴OM===60cm，∴ME=OE﹣OM=100﹣60=40cm．故选A．点评：本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．新*课标*10．二、填空题1. （•黑龙江龙东,第6题3分）直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是30°或150°．考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形；垂径定理．.专题：分类讨论．分析：连接OA、OB，根据等边三角形的性质，求出∠O的度数，再根据圆周定理求出∠C 的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠D的度数．解答：解：连接OA、OB，∵AB=OB=OA，∴∠AOB=60°，∴∠C=30°，∴∠D=180°﹣30°=150°．故答案为30°或150°．点评：本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线是解题的关键．2. （•湖南衡阳,第17题3分）如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD 的度数为65°．考点：圆周角定理．分析：根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得∠B的度数，即可求得∠BAD的度数．解答：解：∵AB为⊙O直径∴∠ADB=90°∵∠B=∠ACD=25°∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．故答案为：65°．点评：考查了圆周角定理的推论．构造直径所对的圆周角是圆中常见的辅助线之一．3.4、（•江西，第12题3分）如图，△ABC 内接于⊙O ，AO =2，23BC ，则∠BAC 的度数_______【答案】 60°.【考点】垂径定理，圆周角定理，三解函数关系．【分析】连接OB ，作OD ⊥BC 交BC 于点D ，根据OA =2，BC =23，得OB =2，BD =CD =23，利用三角函数关系sin 32BOD BD BO∠==，易得∠BOD =60°；OB ＝OC ，得角∠BOC ＝120°，所以圆周角∠BAC ＝12∠BOC ＝60°．【解答】解：∵连接OB 、OC ，过点O 作OD ⊥BC ，交BC 于点D 。

中考数学专题复习之 30 圆的有关性质(含解析)2 精编

30 圆的有关性质(含解析)一、选择题1．（3分）（2016•攀枝花）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A 的一条弦，则sin∠OBD=（）A．12B．34C．45D．35【考点】锐角三角函数的定义．【分析】连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD即可．【解答】解：∵D（0，3），C（4，0），∴OD=3，OC=4，∵∠COD=90°，∴，连接CD，如图所示：∵∠OBD=∠OCD，∴sin∠OBD=sin∠OCD=ODCD=35．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．2．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BI、BD、DC．下列说法中错误的一项是（）A．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合B．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合C．∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合D．线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合【分析】根据I是△ABC的内心，得到AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，由角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI根据三角形外角的性质得到∠BDI=∠DIB，根据等腰三角形的性质得到BD=DI．【解答】解：∵I是△ABC的内心，∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∠ABI=∠CBI，∴∠BAD=∠CAD，故C正确，不符合题意；，∴BD=CD，故A正确，不符合题意；∴CD BD∵∠DAC=∠DBC，∴∠BAD=∠DBC，∵∠IBD=∠IBC+∠DBC，∠BID=∠ABI+∠BAD，∴∠BDI=∠DIB，∴BD=DI，故B正确，不符合题意；故选D．【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心的，以及等腰三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等．3．（4分）（2016•自贡）如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．75°【考点】圆周角定理；三角形的外角性质．【分析】由三角形外角定理求得∠C的度数，再由圆周角定理可求∠B的度数．【解答】解：∵∠A=45°，∠AMD=75°，∴∠C=∠AMD﹣∠A=75°﹣45°=30°，∴∠B=∠C=30°，故选C．【点评】本题主要考查了三角形的外角定理，圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．2．（3分）（2016•台湾）如图的矩形ABCD中，E为AB的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与AD、BC相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：（甲）作∠DEC的角平分线L，作DE的中垂线，交L于O点，则O即为所求；（乙）连接PC、QD，两线段交于一点O，则O即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确【分析】根据线段垂直平分线的性质判断甲，根据90°的圆周角所对的弦是直径判断乙．，【解答】解：甲，∵ED EC∴△DEC为等腰三角形，∴L为CD之中垂线，∴O为两中垂线之交点，即O为△CDE的外心，∴O为此圆圆心．乙，∵∠ADC=90°，∠DCB=90°，∴PC、QD为此圆直径，∴PC与QD的交点O为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确．故选：A．【点评】本题考查的是确定圆的条件，掌握线段垂直平分线的性质、圆周角定理是解题的关键．3．（3分）（2016•台湾）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若ABD=150°，∠A=65°，∠D=60°，则BC的度数为何？（）A．25 B．40 C．50 D．55【分析】连接OB，OC，由半径相等得到三角形OAB，三角形OBC，三角形OCD都为等腰三角形，根据∠A=65°，∠D=60°，求出∠1与∠2的度数，根据ABD的度数确定出∠AOD 度数，进而求出∠3的度数，即可确定出BC的度数．【解答】解：连接OB、OC，∵OA=OB=OC=OD，∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，∵∠A=65°，∠D=60°，∴∠1=180°﹣2∠A=180°﹣2×65°=50°，∠2=180°﹣2∠D=180°﹣2×60°=60°，∵ABD的度数为150°，∴∠AOD=150°，∴∠3=∠AOD﹣∠1﹣∠2=150°﹣50°﹣60°=40°，则BC的度数为40°．故选B【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，弄清圆心角、弧、弦的关系是解本题的关键．4．4．，连接1．（2016•聊城）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD上一点，且DF BCCF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC 的度数，再由圆周角定理得出∠DCE 的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ABC=105°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．∵DF BC ，∠BAC=25°，∴∠DCE=∠BAC=25°，∴∠E=∠ADC ﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．故选B ．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．1．（4分）（2016•黔南州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB=30°，⊙O 的半径为5cm ，则圆心O 到弦CD 的距离为（）A ．52cmB ．3cmC ．D ．6cm【考点】垂径定理．【分析】根据垂径定理知圆心O 到弦CD 的距离为OE ；由圆周角定理知∠COB=2∠CDB=60°，已知半径OC 的长，即可在Rt △OCE 中求OE 的长度．【解答】解：连接CB ．∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴圆心O 到弦CD 的距离为OE ；∵∠COB=2∠CDB （同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∠CDB=30°，∴∠COB=60°；在Rt △OCE 中，OC=5cm ，OE=OC •cos ∠COB ，∴OE=52cm ．故选A ．【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合应用．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．2．1．（3分）（2016•陕西）如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB 、OC ．若∠BAC 与∠BOC 互补，则弦BC 的长为（）A．．．．【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．【解答】解：过点O作OD⊥BC于D，则BC=2BD，∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，∴∠BOC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=12（180°﹣∠BOC）=30°，∵⊙O的半径为4，∴BD=OB•cos∠OBC=4=2∴故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．1．1．（3分）（2016•玉林）如图，CD是⊙O的直径，已知∠1=30°，则∠2=（）A．30°B．45°C．60°D．70°【考点】圆周角定理．【分析】连接AD，构建直角三角形ACD．根据直径所对的圆周角是90°知三角形ACD是直角三角形，然后在Rt△ABC中求得∠BAD=60°；然后由圆周角定理（同弧所对的圆周角相等）求∠2的度数即可．【解答】解：如图，连接AD．∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°（直径所对的圆周角是90°）；在Rt△ABC中，∠CAD=90°，∠1=30°，∴∠DAB=60°；又∵∠DAB=∠2（同弧所对的圆周角相等），∴∠2=60°，故选C．【点评】本题考查了圆周角定理．解答此题的关键是借助辅助线AD，将隐含是题干中的已知条件△ACD是直角三角形展现出来，然后根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DAB=60°．2．3．4．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．二、填空题1．（4分）（2016•铜仁市）如图，点A，B，C在⊙O上，∠OBC=18°，则∠A=72°．【考点】圆周角定理．【专题】计算题；圆的有关概念及性质．【分析】由OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，进而求出∠BOC的度数，再利用圆周角定理求出∠A的度数即可．【解答】解：∵OB=OC，∠OBC=18°，∴∠OBC=∠OCB=18°，∴∠BOC=144°，∵∠A与∠BOC都对BC，∴∠A=72°，故答案为：72°【点评】此题考查了圆周角定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．2．（12分）（2016•铜仁市）如图，已知AB是⊙O的直径，点P为圆上一点，点C为AB延长线上一点，PA=PC，∠C=30°．（1）求证：CP 是⊙O 的切线．（2）若⊙O 的直径为8，求阴影部分的面积．【考点】切线的判定；扇形面积的计算．【分析】（1）连接OP ，由等腰三角形的性质得出∠C=∠OPA=30°，∠APC=120°，求出∠OPC=90°即可；（2）证明△OBP 是等边三角形，阴影部分的面积=扇形OBP 的面积﹣△OBP 的面积，即可得出结果．【解答】（1）证明：连接OP ，如图所示：∵PA=PC，∠C=30°，∴∠A=∠C=30°，∴∠APC=120°，∵OA=OP，∴∠OPA=∠A=30°，∴∠OPC=120°﹣30°=90°，即OP⊥CP，∴CP 是⊙O 的切线．（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB=90°，∴∠OBP=90°﹣∠A=60°，∵OP=OB=4，∴△OBP 是等边三角形，∴阴影部分的面积=扇形OBP 的面积﹣△OBP 的面积=2604360π﹣1283π﹣【点评】本题考查的是切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、扇形面积公式等知识；熟练掌握切线的判定．证明三角形是等边三角形是解决问题（2）的关键．3．（3分）（2016•呼伦贝尔）小杨用一个半径为36cm 、面积为324πcm 2的扇形纸板制作一个圆锥形的玩具帽（接缝的重合部分忽略不计），则帽子的底面半径为 9 cm ．【考点】圆锥的计算【分析】根据扇形的公式结合扇形的半径及扇形的面积可得出扇形的弧长，再利用圆的周长公式即可得出帽子的底面半径．【解答】解：∵扇形的半径为36cm ，面积为324πcm 2，∴扇形的弧长L=2S R =232436π⨯=18π， ∴帽子的底面半径R 1=2L π=9cm ．故答案为：9．【点评】本题考查了圆锥的计算、扇形的面积以及圆的周长，解题的关键是熟练的运用扇形的弧长以及圆的周长公式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据圆锥的制作过程找出圆锥的底面周长等于扇形的弧长是关键．4．如图，AB 是半圆O 的直径，点C 、D 是半圆O 的三等分点，若弦CD=2，则图中阴影部分的面积为 π32 ．【分析】首先证明OC ∥BD ，得到S △BDC =S △BDO ，所以S 阴=S 扇形OBD ，由此即可计算．【解答】解：如图连接OC 、OD 、BD ．∵点C 、D 是半圆O 的三等分点，∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，∵OC=OD=OB ，∴△COD 、△OBD 是等边三角形，∴∠COD=∠ODB=60°，OD=CD=2，∴OC ∥BD ，∴S △BDC =S △BDO ，∴S 阴=S 扇形OBD =3602602⨯π=32π．【点评】本题考查圆的有关知识、扇形的面积，三角形的面积等知识，解题的关键是学会把求不规则图形面积转化为求规则图形的面积，属于中考常考题型．2．如图（1），PT 与⊙O 1相切于点T ，PB 与⊙O 1相交于A 、B 两点，可证明△PTA ∽△PBT ，从而有PT 2=P A ·PB ．请应用以上结论解决下列问题：如图（2），P AB 、PCD 分别与⊙O 2相交于A 、B 、C 、D 四点，已知P A =2，PB =7，PC =3，则CD = 3 ．【考点】相似三角形的判定与性质；切线的性质．【分析】如图2中，过点P 作⊙O 的切线PT ，切点是T ，根据PT 2=P A ·PB =PC ·PD ，求出PD 即可解决问题．【解答】解：如图2中，过点P 作⊙O 的切线PT ，切点是T ．∵PT 2=P A ·PB =PC ·PD ，∵P A =2，PB =7，PC =3， ∴2×7=3×PD ， ∴PD =314 ∴CD =PD ﹣PC =314﹣3=35．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、切线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用新知解决未知，属于中考常考题型．3．如图，AB 是⊙O 的弦，点C 为半径OA 的中点，过点C 作CD ⊥OA 交弦AB 于点E ，连接BD ，且DE =DB ．（1）判断BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若CD =15，BE =10，tan A =125，求⊙O 的直径．【考点】直线与圆的位置关系；垂径定理；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）连接OB ，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBD =90°，即可证明BD 是⊙O 的切线；（2）过点D 作DG ⊥BE 于G ，根据等腰三角形的性质得到EG =21BE =5，由两角相等的三角形相似，△ACE ∽△DGE ，利用相似三角形对应角相等得到sin ∠EDG =sin A =135，在Rt △EDG 中，利用勾股定理求出DG 的长，根据三角形相似得到比例式，代入数据即可得到结果．【解答】（1）证明：连接OB ，∵OB=OA ，DE=DB ，∴∠A =∠OBA ，∠DEB =∠ABD ，又∵CD ⊥OA ，∴∠A +∠AEC =∠A +∠DEB =90°，∴∠OBA +∠ABD =90°，∴OB ⊥BD ，∴BD 是⊙O 的切线；（2）如图，过点D 作DG ⊥BE 于G ，∵DE =DB ，∴EG =21BE =5， ∵∠ACE =∠DGE =90°，∠AEC =∠GED ，∴∠GDE =∠A ，∴△ACE ∽△DGE ，∴sin ∠EDG =sin A =135=DE EG ，即DE =13，在Rt △ECG 中，∵DG =22EG DE -=12，∵CD =15，DE =13，∴CE =2，∵△ACE ∽△DGE ，∴GECE DG AC =， ∴AC =5241252=⨯=⋅DG GE CE ， ∵点C 为半径OA 的中点，∴⊙O 的直径2OA =4AC =596．【点评】此题考查了切线的判定，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．4．1．（2分）（2016•青海）如图，在⊙O 中，AB 为直径，CD 为弦，已知∠CAB=50°，则∠ADC= 40° ．【考点】圆周角定理．【分析】根据直径所对的圆周角为直角求出∠ACB=90°，得到∠B 的度数，根据同弧所对的圆周角相等得到答案．【解答】解：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，又∠CAB=50°，∴∠ABC=40°，∴∠ADC=∠ABC=40°，故答案为：40°．【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角为直角和同弧所对的圆周角相等是解题的关键．2．（4分）（2016•甘孜州）如图，正方形CDEF 的顶点D ，E 在半圆O 的直径上，顶点C ，F 在半圆上，连接AC ，BC ，则BC AC = 2 ．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质；圆周角定理．【专题】计算题．【分析】首先设正方形CDEF 的边长是a ，应用勾股定理，求出半圆的半径是多少；然后应用圆周角定理并解直角三角形，求出BC AC的值是多少即可．【解答】解：如图，连接CO ，，设正方形CDEF 的边长是a ，则DO=a 2，在Rt △CDO 中，=2a∴AO=CO=2a ，∴AD=2a ﹣a 2=12-a ， ∵∠ACB=90°，∴BCAC =tan ∠BAC=CD AD a =12+．．【点评】此题主要考查了正方形的性质和应用，以及圆周角定理的应用，要熟练掌握．1．（4分）（2016•泉州）如图，⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ，若CE ：BE =2：3，则AE ：DE = 2：3 ．【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理及其推论．（相交弦定理）【分析】根据同弧所对的圆周角相等，得到∠ACE=∠DBE，∠CAE=∠BDE得到△ACE∽△DBE，于是CE：BE=AE：DE．【解答】解：∵⊙O的弦AB、CD相交于点E，∴∠ACE=∠DBE，∠CAE=∠BDE，∴△ACE∽△DBE∴AE：DE=CE：BE=2：3，故答案为：2：3．【点评】此题考查了圆周角定理及其推论，以及相似三角形的判定与性质；熟练运用这些知识是解题的关键．2．（4分）（2016•重庆）如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC，若∠AOB=120°，则∠ACB=60度．【考点】圆周角定理．【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案．【解答】解：∵∠AOB=120°，∴∠ACB=120°×12=60°，故答案为：60．【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．1．（2016•湘西州）四边形ABCD是某个圆的内接四边形，若∠A=100°，则∠C= 80°．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】直接根据圆内接四边形的性质进行解答即可．【解答】解：∵四边ABCD是圆的内接四边形，∠A=100°，∴∠C=180°﹣100°=80°．故答案为：80°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．2．（2016•湘西州）如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=70°，那么圆周角∠C= 35°．【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半列式计算即可得解．【解答】解：∵圆心角∠AOB=70°，∴∠C=12∠AOB=12×70°=35°．故答案为：35°．【点评】本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．（2016•长沙）如图，在⊙O中，弦AB=6，圆心O到AB的距离OC=2，则⊙O的半径长【考点】垂径定理．【分析】根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OA即可．【解答】解：∵弦AB=6，圆心O到AB的距离OC为2，∴AC=BC=3，∠ACO=90°，由勾股定理得：【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解此题的关键是求出AC和OA的长，题目比较好，难度适中．1．（3分）（2016•哈尔滨）如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC、BE．若AE=6，OA=5，则线段DC的长为4．【考点】圆的切线的性质；圆周角定理、垂径定理；矩形的判定．【专题】圆有关的性质．【分析】如图，设OC交BE于F，由圆周角定理得到∠AEB=90°，加上AD⊥l，则可判断BE∥CD，再利用切线的性质得OC⊥CD，则OC⊥BE，原式可判断四边形CDEF为矩形，所以CD=EF，接着利用勾股定理计算出BE，然后利用垂径定理得到EF的长，从而得到CD 的长．【解答】解：OC交BE于F，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵AD⊥l，∴BE∥CD，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴OC⊥BE，∴四边形CDEF为矩形，∴CD=EF，=，在Rt△ABE中，BE8∵OF⊥BE，∴BF=EF=4，∴CD=4．故答案为4．【点评】本题重点考查了圆的切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决本题的关键是判定四边形CDEF为矩形．1．（4分）（2016•海南）如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧ABC上，AB=8，BC=3，则DP= 5.5．【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】解：由AB和DE是⊙O的直径，可推出OA=OB=OD=4，∠C=90°，又有DE⊥AC，得到OP∥BC，于是有△AOP∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB 和DE 是⊙O 的直径，∴OA=OB=OC=OD=4，且∠C=90º；又∵DE ⊥AC ，∴OP ∥BC ；∴△AOP ∽△ABC ，∴OP ∶BC=AO ∶AB ，即OP ∶3=3∶8，∴OP=32，那么DP=OP+OD=32+4=5.5．故答案为：5.5．【点评】本题主要考查了圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．2．1．（3分）（2016•黑龙江）如图，MN 是⊙O 的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B 为弧AN 的中点，点P 是直径MN 上的一个动点，则PA+PB 的最小值为【考点】轴对称-最短路线问题；圆周角定理．【分析】过A 作关于直线MN 的对称点A′，连接A′B ，由轴对称的性质可知A′B 即为PA+PB 的最小值，由对称的性质可知/AN A N =，再由圆周角定理可求出∠A′ON 的度数，再由勾股定理即可求解．【解答】解：过A 作关于直线MN 的对称点A′，连接A′B ，由轴对称的性质可知A′B 即为PA+PB 的最小值，连接OB ，OA′，AA′，∵AA′关于直线MN 对称，∴/AN A N =，∵∠AMN=40°，∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，∴∠A′OB=120°，过O 作OQ ⊥A′B 于Q ，在Rt △A′OQ 中，OA′=2， ∴A′B=2A′Q=32，即PA+PB 的最小值32．故答案为：32．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．3．1．（3分）（2016•巴中）如图，∠A是⊙O的圆周角，∠OBC=55°，则∠A=35°．【考点】圆周角定理．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠BOC的度数，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：∵OB=OC，∠OBC=55°，∴∠OCB=55°，∴∠BOC=180°﹣55°﹣55°=70°，由圆周角定理得，∠A=12∠BOC=35°，故答案为：35°．【点评】本题考查的是圆周角定理的应用和等腰三角形的性质的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．4．5．6．4．5．5．6．7．5．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．三、解答题1．（10分）（2016•株洲）已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形（1）求证：△DFB是等腰三角形；（2）若，求证：CF⊥AB．【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；垂径定理．【分析】（1）由AB是⊙O直径，得到∠ACB=90°，由于△AEF为等边三角形，得到∠CAB=∠EFA=60°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a，根据等边三角形的性质得到FM=EN=a，，在根据已知条件得到AB=AF+BF=8a，根据直角三角形的性质得到AE=EF=AF=CE=2a，推出∠ECF=∠EFC，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：（1）∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，∵△AEF为等边三角形，∴∠CAB=∠EFA=60°，∴∠B=30°，∵∠EFA=∠B+∠FDB，∴∠B=∠FDB=30°，∴△DFB是等腰三角形；（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a，∵△AEF是等边三角形，∴FM=EN=a，，在Rt△DAM中，，，∴DM=5a，∴DF=BF=6a，∴AB=AF+BF=8a，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=4a，∵AE=EF=AF=CE=2a，∴∠ECF=∠EFC，∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，∴∠CFE=30°，∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°，∴CF⊥AB．【点评】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．2．．如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF、DC．已知OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6．（1）求证：①直线AB 是⊙O 的切线；②∠FDC=∠EDC ；（2）求CD 的长．【分析】（1）①欲证明直线AB 是⊙O 的切线，只要证明OC ⊥AB 即可．②首先证明OC ∥DF ，再证明∠FDC=∠OCD ，∠EDC=∠OCD 即可．（2）作ON ⊥DF 于N ，延长DF 交AB 于M ，在RT △CDM 中，求出DM 、CM 即可解决问题．【解答】（1）①证明：连接OC ．∵OA=OB ，AC=CB ，∴OC ⊥AB ，∵点C 在⊙O 上，∴AB 是⊙O 切线．②证明：∵OA=OB ，AC=CB ，∴∠AOC=∠BOC ，∵OD=OF ，∴∠ODF=∠OFD ，∵∠AOB=∠ODF+∠OFD=∠AOC+∠BOC ，∴∠BOC=∠OFD ，∴OC ∥DF ，∴∠CDF=∠OCD ，∵OD=OC ，∴∠ODC=∠OCD ，∴∠ADC=∠CDF ．（2）作ON ⊥DF 于N ，延长DF 交AB 于M ．∵ON ⊥DF ，∴DN=NF=3，在RT △ODN 中，∵∠OND=90°，OD=5，DN=3，∴ON=22DN OD -=4，∴OC ∥DF ，∵∠OCM+∠CMN=180°，∠OCM=90°，∴∠OCM=∠CMN=∠MNO=90°，∴四边形OCMN 是矩形，∴ON=CM=4，MN=OC=5，在RT △CDM 中，∵∠DMC=90°，CM=4，DM=DN+MN=8，∴CD=22CM DM +=2248+=54．【点评】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质、垂径定理、平行线的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．2．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O 于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）连接BE交AC于点F，若cos∠CAD=45，求AFFC的值．【考点】切线的性质．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质和已知求出OC∥AD，求出∠OCA=∠CAO=∠DAC，即可得出答案；（2）连接BE、BC、OC，BE交AC于F交OC于H，根据cos∠CAD=45=ADAC，设AD=4a，AC=5a，则DC=EH=HB=3a，根据cos∠CAB=45=ACAB，求出AB、BC，再根据勾股定理求出CH，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，又∵CD⊥AD，∴AD∥OC，∴∠CAD=∠ACO，∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∴∠CAD=∠CAO，即AC平分∠DAB；（2）解：连接BE、BC、OC，BE交AC于F交OC于H．∵AB是直径，∴∠AEB=∠DEH=∠D=∠DCH=90°，∴四边形DEHC是矩形，∴∠EHC=90°即OC⊥EB，∴DC=EH=HB，DE=HC，∵cos∠CAD=45=ADAC，设AD=4a，AC=5a，则DC=EH=HB=3a，∵cos∠CAB=45=ACAB，∴AB=254a，BC=154a，在Rt△CHB中，CH 94 a，∴DE=CH=94a，AE=74a，∵EF∥CD，∴79 AF AEFC ED==．【点评】本题考查了切线的性质，平行线的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系的应用，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．3．（10分）（2016•自贡）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC 交DC的延长线于点E．（1）求证：∠1=∠BAD；（2）求证：BE是⊙O的切线．【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理；切线的判定．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理得出即可；（2）连接BO，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根据切线的判定得出即可；【解答】证明：（1）∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD，∵∠1=∠BDA，∴∠1=∠BAD；（2）连接BO，∵∠ABC=90°，又∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BCO+∠BCD=180°，∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO，∴∠CBO+∠BCD=180°，∴OB∥DE，∵BE⊥DE，∴EB⊥OB，∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．4．1．1．（9分）（2016•河南）如图，在Rt△ ABC中，∠ ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙ O分别交AC，BM于点D，E．（1）求证：MD=ME；（2）填空：①若AB=6，当AD=2DM时，DE=2；②连接OD，OE，当∠ A的度数为60°时，四边形ODME是菱形．【考点】菱形的判定．【分析】（1）先证明∠ A=∠ ABM，再证明∠ MDE=∠ MBA，∠ MED=∠ A即可解决问题．（2）①由DE∥ AB，得DE MDAB MA=即可解决问题．②当∠ A=60°时，四边形ODME是菱形，只要证明△ ODE，△ DEM都是等边三角形即可．【解答】（1）证明：∵∠ ABC=90°，AM=MC，∴BM=AM=MC，∴∠ A =∠ ABM，∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠ ADE+∠ ABE=180°，又∠ ADE+∠ MDE=180°，∴∠ MDE=∠ MBA，同理证明：∠ MED=∠ A，∴∠ MDE=∠ MED，∴MD=ME．（2）①由（1）可知，∠ A=∠ MDE，∴DE∥ AB，∴D E M D A B M A=，∵AD=2DM，AM=AD+DM ∴DM：MA=1：3，∴DE=13AB=13×6=2．故答案为2．②当∠ A=60°时，四边形ODME是菱形．理由：连接OD、OE，∵OA=OD，∠ A=60°，∴△ AOD是等边三角形，∴∠ AOD=60°，∵DE∥ AB，∴∠ ODE=∠ AOD=60°，∠ MDE=∠ MED=∠ A=60°，∴△ ODE，△ DEM都是等边三角形，∴OD=OE=EM=DM，∴四边形OEMD是菱形．故答案为60°．【点评】本题考查圆内接四边形性质、直角三角形斜边上中线性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，记住菱形的三种判定方法，属于中考常考题型2．（9分）（2016•大庆）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，以BC 为直径的⊙O 交斜边AB 于点M ，若H 是AC 的中点，连接MH ．（1）求证：MH 为⊙O 的切线．（2）若MH=23，tan ∠ABC=43，求⊙O 的半径．（3）在（2）的条件下分别过点A 、B 作⊙O 的切线，两切线交于点D ，AD 与⊙O 相切于N 点，过N 点作NQ ⊥BC ，垂足为E ，且交⊙O 于Q 点，求线段NQ 的长度．【考点】圆的综合题．【分析】（1）连接OH 、OM ，易证OH 是△ABC 的中位线，利用中位线的性质可证明△COH ≌△MOH ，所以∠HCO=∠HMO=90°，从而可知MH 是⊙O 的切线；（2）由切线长定理可知：MH=HC ，再由点M 是AC 的中点可知AC=3，由tan ∠ABC=43，所以BC=4，从而可知⊙O 的半径为2；（3）连接CN ，AO ，CN 与AO 相交于I ，由AC 、AN 是⊙O 的切线可知AO ⊥CN ，利用等面积可求出可求得CI 的长度，设CE 为x ，然后利用勾股定理可求得CE 的长度，利用垂径定理即可求得NQ ．【解答】解：（1）连接OH 、OM ，∵H 是AC 的中点，O 是BC 的中点，∴OH 是△ABC 的中位线，∴OH ∥AB ，∴∠COH=∠ABC ，∠MOH=∠OMB ，又∵OB=OM ，∴∠OMB=∠MBO ，∴∠COH=∠MOH ，在△COH 与△MOH 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=OH OH MOH COH OM OC ，∴△COH ≌△MOH （SAS ），∴∠HCO=∠HMO=90°，∴MH 是⊙O 的切线；（2）∵MH 、AC 是⊙O 的切线，∴HC=MH=23， ∴AC=2HC=3， ∵tan ∠ABC=43， ∴BC AC =43， ∴BC=4，∴⊙O 的半径为2；（3）连接OA 、CN 、ON ，OA 与CN 相交于点I ，∵AC 与AN 都是⊙O 的切线，∴AC=AN ，AO 平分∠CAD ，∴AO ⊥CN ，∵AC=3，OC=2，∴由勾股定理可求得：AO=13， ∵21AC•OC=21AO•CI ， ∴CI=13136， ∴由垂径定理可求得：CN=131312，设OE=x ，由勾股定理可得：CN 2﹣CE 2=ON 2﹣OE 2， ∴14413﹣（2+x ）2=4﹣x 2， ∴x=1310， ∴CE=1310，由勾股定理可求得：EN=1324， ∴由垂径定理可知：NQ=2EN=1348．【点评】本题考查圆的综合问题，涉及垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，切线的判等知识内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．3．（10分）（2016•哈尔滨）已知：△ABC 内接于⊙O ，D 是BC 上一点，OD ⊥BC ，垂足为H ．（1）如图1，当圆心O 在AB 边上时，求证：AC =2OH ；（2）如图2，当圆心O 在△ABC 外部时，连接AD 、CD ，AD 与BC 交于点P ，求证：∠ACD =∠APB ；（3）在（2）的条件下，如图3，连接BD ，E 为⊙O 上一点，连接DE 交BC 于点Q 、交AB 于点N ，连接OE ，BF 为⊙O 的弦，BF ⊥OE 于点R 交DE 于点G ，若∠ACD ﹣∠ABD =2∠BDN ，AC =，BN =，tan ∠ABC =12，求BF 的长．【考点】圆的综合题．【分析】（1）由OD ⊥BC ，根据垂径定理可知点H 是BC 的中点，又由中位线的性质可得AC =2OH ；（2）由垂径定理可知：BD CD ，所以∠BAD =∠CAD ，由因为∠ABC =∠ADC ，所以∠ACD =∠APB ；（3）由∠ACD ﹣∠ABD =2∠BDN 可知∠AND =90°，由tan ∠ABC =12可知NQ 和BQ 的长度，再由BF ⊥OE 和OD ⊥BC 可知∠GBN =∠ABC ，所以BG =BQ ，连接AO 并延长交⊙O 于点I ，连接IC 后利用圆周角定理可求得IC 和AI 的长度，设QH =x ，利用勾股定理可求出QH 和HD 的长度，利用垂径定理可求得ED 的长度，最后利用tan ∠OED =12即可求得RG 的长度，最后由垂径定理可求得BF 的长度．【解答】解：（1）∵OD ⊥BC ，∴由垂径定理可知：点H 是BC 的中点，∵点O 是AB 的中点，∴OH 是△ABC 的中位线，∴AC =2OH ；（2）∵OD ⊥BC ，∴由垂径定理可知：BD CD =，∴∠BAD =∠CAD ，∵AC AC =，∴∠ABC =∠ADC ，∴180°﹣∠BAD ﹣∠ABC =180°﹣∠CAD ﹣∠ADC ，∴∠ACD =∠APB ，（3）连接AO 延长交于⊙O 于点I ，连接IC ，AB 与OD 相交于点M ，∵∠ACD ﹣∠ABD =2∠BDN ，∴∠ACD ﹣∠BDN =∠ABD +∠BDN ，∵∠ABD +∠BDN =∠AND ，∴∠ACD ﹣∠BDN =∠AND ，即∠ACD =∠BDN +∠AND ，∵∠ACD +∠ABD =180°，∴∠BDN +∠AND +∠ABD =180°，又∵∠ABD +∠BDN =∠AND∴2∠AND =180°，∴∠AND =90°，∵tan ∠ABC =12，BN =，∴NQ ，∴由勾股定理可求得：BQ =152，∵∠BNQ =∠QHD =90°，∴∠ABC =∠QDH ，∵OE =OD ，∴∠OED =∠QDH ，∵∠ERG =90°，且∠GNB =90°，∠RGE =∠NGB ， ∴∠OED =∠GBN ，∴∠GBN =∠AB C ，又∵AB ⊥ED ，易得△BNG ≌△BNQ ，∴BG =BQ =152，GN =NQ =2， ∵AI 是⊙O 直径，∴∠ACI =90°，∵tan ∠AIC =tan ∠ABC =12， ∴12AC IC =，∴IC =∴由勾股定理可求得：AI =25，连接OB ，设QH =x ，∵tan ∠ABC =tan ∠ODE =12， ∴12QH HD =， ∴HD =2x ， ∴OH =OD ﹣HD =252﹣2x ， BH =BQ +QH =152+x ，由勾股定理可得：OB 2=BH 2+OH 2， ∴2222515252222x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：x =92或x =52，当QH =92时，∴QD ，∴ND =QD +NQ =∴MN=，MD=15∵MD152 >，∴QH=92不符合题意，舍去，当QH=52时，∴QD=2∴ND=NQ+QD=由垂径定理可求得：ED=∴GD=GN+ND=2∴EG=ED﹣GD=2，∵tan∠OED=12，∴12 RGER=，∴EG，∴RG=92，∴BR=RG+BG=12∴由垂径定理可知：BF=2BR=24．【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，中位线的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．2．1．（8分）（2016•陕西）如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．求证：（1）FC=FG；（2）AB2=BC•BG．【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；切线的性质．【专题】证明题．【分析】（1）由平行线的性质得出EF⊥AD，由线段垂直平分线的性质得出FA=FD，由等腰三角形的性质得出∠FAD=∠D，证出∠DCB=∠G，由对顶角相等得出∠GCF=∠G，即可得出结论；（2）连接AC，由圆周角定理证出AC是⊙O的直径，由弦切角定理得出∠DCB=∠CAB，证出∠CAB=∠G，再由∠CBA=∠GBA=90°，证明△ABC∽△GBA，得出对应边成比例，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵EF∥BC，AB⊥BG，∴EF⊥AD，∵E是AD的中点，∴FA=FD，∴∠FAD=∠D，∵GB⊥AB，∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，∴∠DCB=∠G，∵∠DCB=∠GCF，∴∠GCF=∠G，∴FC=FG；（2）连接AC，如图所示：∵AB⊥BG，∴AC是⊙O的直径，∵FD是⊙O的切线，切点为C，∴∠DCB=∠CAB，∵∠DCB=∠G，∴∠CAB=∠G，∵∠CBA=∠GBA=90°，∴△ABC∽△GBA，。

2015年全国中考数学试卷解析分类汇编专题圆的有关性质

MP+NQ=14 ，AC+BC=18，则 AB 的长为（ C
A．
B．
C． 13
D．
16
13. （2015 年浙江衢州 14，4 分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 OA 1m ，水面宽 AB 1.2m ，某天下雨后，水管水面上升了 0.2m ，则此时排水管水面宽 CD 等于
②当AB=AP时
③当 PA=PB 时
∴ ，
易得△PFB∽△ CGB，
设 BG=t，则 CG=2t，易得∠PAF=∠ ACG， ∵∠ AFP=∠AGC=90°， ∴△ APF∽△ CAG， ∴ ∴ ，，解得 t= ，
在 Rt△ BCG 中， BC= t=
16．（ 2015•长沙，第 18 题 3 分）如图， AB 是⊙O 的直径，点 C 是 ⊙O 上的一点，若 BC=6， AB=10，OD ⊥ BC 于点 D ，则 OD 的长为 \．
1. （2015•江苏南通，第 15 题 3 分）如图，在⊙O 中，半径 OD 垂直于弦 AB ，垂足为 C ， OD=13cm ，AB=24cm ，则 CD= cm．
8
5．（2015•青岛 ,第 13 题 3 分）如图，圆内接四边形 ABCD 两组对边的延长线分别相交于点 E， F，且∠ A=55°， ∠E=30°，则∠ F=
8.（ 2015•宁夏第 13 题 3 分）如图，在⊙O 中， CD 是直径，弦 AB⊥CD ，垂足为 E，连接 BC．若 AB=2 ，∠BCD=30° ，则⊙ O 的半径为．
10．（4 分）（ 2015•黔南州）（第 15 题）如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点 A 、 B，并使 AB 与车轮内圆相切于点 D ，半径为 OC ⊥AB 交外圆于点 C．测得 CD=10cm ，AB=60cm ，则这个车轮的外圆半径是．

2015年中考数学模拟试卷汇编圆的有关性质(解析版)

2015年全国各地中考数学模拟试卷精选汇编（解析版）圆的有关性质一.选择题1．（2015·江苏江阴青阳片·期中）如图，已知A、B两点的坐标分别为(－2，0)、(0，1)，⊙C的圆心坐标为(0，－1)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是（▲）A．3 B．113C．103D．4答案：B2. . (2015·安徽省蚌埠市经济开发·二摸)如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O (0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则tan OBC∠的值为【】A．12B．32C．33D．3答案; C3 (2015·安庆·一摸)已知,如图，以△ABC的一边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E.下面判断中：①当△ABC为等边三角形时，△ODE是等边三角形；②当△ODE是等边三角形时，△ABC为等边三角形；③当45A∠=时，△ODE是直角三角形；④当△ODE 是直角三角形时，45A∠=.正确的结论有（）第8题图图1 图2 图 3A.1个B.2个C.3个D.4个答案： C ；4. （2015·广东广州·二模）如图2，AB 是⊙O 的直径，∠AOC =130°，则∠D 的度数是A ．65°B ．25°C ．15°D ．35°答案：B5．（2015•山东滕州张汪中学•质量检测二）如图1，点A 、B 、C 是⊙O 上三点，∠AOC =120°，则∠ABC 等于（）A ．50°B ．60°C ．65°D ．70°答案：B ；6．（2015•山东潍坊•第二学期期中）如图2，△ABC 内接于⊙O ，∠ABC =71º，∠CAB =53°，点D 在AC 弧上，则∠ADB 的大小为A. 46°B. 53°C. 56°D. 71°答案：C ；7.（2015•山东潍坊广文中学、文华国际学校•一模）如图3，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB =8，CD =2，则EC 的长为（）A. 210B. 213C. 215D. 8答案：B ；. 8．（2015·辽宁东港市黑沟学校一模，3分）如图，⊙O 的半径是3，点P 是弦AB 延长线上的一点，连接OP ，若OP =4，∠APO =30°，则弦AB 的长为（）A ．2B ．C ．2D ．（图2）答案：A9.（2015·山东省济南市商河县一模）如图，在半径为6cm 的⊙O 中，点A 是劣弧BC 的中点，点D 是优弧BC 上一点，且∠D =30°，下列四个结论：①OA ⊥BC ；②BC =36cm ；③sin ∠AOB =23； ④四边形ABOC 是菱形．其中正确结论的序号是A. ①②③④B. ①③C.②③④D.①③④答案：A10.(2015·广东从化·一模)如图2，在⊙O 中，∠AOB =45°，则∠C 为（ * ）．A ．22.5°B ．45°C ．60°D ．90°答案：A11.（2015.河北博野中考模拟）．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB =30°，⊙O 的半径为3cm ，则弦CD 的长为【】A ．23cmB ．3cmC ．23cmD ．9cm答案：B12. (2015•山东青岛•一模)如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（）.A．3 B．4 C．32D．24答案：C13．(2015·江苏南菁中学·期中)如图，点A、B、C、D都在⊙O上，且四边形OABC是平行四边形，则∠D的度数为－－－( ▲ )A. 45°B. 60°C. 75°D. 不能确定第9题图答案: B14．(2015·江苏南京溧水区·一模)如图，在平面直角坐标系中，⊙M与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙M于P，Q两点，点P在点Q的右方，若点P的坐标是(－1，2)，则点Q的坐标是( ▲)A．(－4，2) B．(－4.5，2) C．(－5，2) D．(－5.5，2)答案: AQ POMy（第6题）（第11题图）CA BOED15．（2015·无锡市南长区·一模）如图，矩形ABCD 为⊙O 的内接四边形，AB =2，BC =3，点E 为BC 上一点，且BE =1，延长 AE 交⊙O 于点F ，则线段AF 的长为 ( )A ．75 5B ．5C ．5＋1D ．325 答案：A16．（2015·无锡市宜兴市洑东中学·一模）如图，在等边△ABC 中，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，垂足分别为M 、N ，如果MN ＝1，那么△ABC 的面积（） A ．3 B ．3 C ．4 D ．33答案：B17．（2015·无锡市新区·期中）如图，AB 是半圆O 直径，半径OC ⊥AB ，连接AC ，∠CAB 的平分线AD 分别交OC 于点E ，交BC ︵于点D ，连接CD 、OD ，以下三个结论：①AC ∥OD ；②AC ＝2CD ；③线段CD 是CE 与CO 的比例中项，其中所有正确结论的序号是（ ▲ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③答案：B二.填空题1．（2015·江苏江阴·3月月考）如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O 上，斜边和第9题图 A B C D EOF· O B C D E （第8题）一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB=_____________．答案：30°2．（2015·江苏江阴·3月月考）如图，已知⊙O经过点A(2，0)、C(0，2)，直线y＝kx（k≠0）与⊙O分别交于点B、D，则四点A、B、C、D组成的四边形面积的最大值为．答案：423．（2015·江苏江阴长泾片·期中）如图，点C是⊙O优弧AB上的一动点（异于A、B两点），OM⊥AB于点M。

2015年中考数学试卷分类汇编圆(9)解析

52015中考数学真题分类汇编：圆(8)一 •解答题(共30小题)1. ( 2015?大连)如图，AB 是O O 的直径，点 C , D 在O O 上，且AD 平分/ CAB ,过点D 作AC 的垂线，与AC 的延长线相交于点 E ,与AB 的延长线相交于点F .(1) 求证：EF 与O O 相切；(2) 若 AB=6, AD=4逅，求 EF 的长.2. ( 2015?潍坊)如图，在 △ABC 中，AB=AC , 以 AC 为直径的O O 交BC 于点D ，交 AB 于点E ,过点D 作DF 丄AB ,垂足为F ，连接DE .(1) 求证：直线DF 与O O 相切；(2 )若 AE=7, BC=6，求 AC 的长.3. (2015?枣庄)如图，在 A ABC 中，/ ABC=90°以AB 的中点O 为圆心、OA 为半径的圆交AC 于点D , E 是BC 的中点，连接 DE , OE .(1) 判断DE 与O O 的位置关系，并说明理由；(2) 求证：BC 2=CD?2OE ;(3 )若 cos / BAD= ； BE=6，求 OE 的长.4. (2015?西宁)如图，已知 BC 为O O 的直径，BA 平分/ FBC 交O O 于点A , D 是射线BF 上的一点，且满足':,过点O 作OM 丄AC 于点E ,交O O 于点M ,连接BM ,BA BCAM .(1) 求证：AD 是O O 的切线；(2) 若 sin /ABM= , AM=6，求O O 的半径.5. (2015?广元)如图，AB 是O O 的弦，D 为半径OA 的中点，过 D 作CD 丄OA 交弦于点E ,交O O 于点F ，且CE=CB .(1) 求证：BC 是O O 的切线；(2) 连接AF 、BF ,求/ ABF 的度数；(3) 如果 CD=15, BE=10, sinA=±，求O O 的半径.13AB 、CD 为O O 的直径，弦 AE II CD ，连接BE 交CD 于点F ,E 作直线EP 与CD 的延长线交于点 P ,使/ PED=Z C .求证：PE 是O O 的切线；(2) 求证：ED 平分/ BEP ;(3) 若。

2015全国中考试题汇编--圆

图52015年全国中考数学试题汇编------圆一、选择题1．（2015•广东广州,第3题3分）已知⊙O 的半径为5，直线l 是⊙O 的切线，则点O 到直线l 的距离是（） A 2.5B 3C 5D 102．（2015•广东梅州,第6题，3分）如图1，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心.若∠B =20°，则∠C 的大小等于（）A ．20°B ．25°C ． 40°D ．50°3. （2015•浙江嘉兴，第7题4分）如图2，△ABC 中，AB =5，BC =3，AC =4，以点C 为圆心的圆与AB 相切，则⊙C 的半径为（）（A ）2.3（B ）2.4 （C ）2.5（D ）2.64. （2015•四川省内江市，第10题，3分）如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB 是直径，∠BCD =120°，过D 点的切线PD 与直线AB 交于点P ，则∠ADP 的度数为（） A ．40° B ． 35°C ． 30°D ． 45°5．（2015•广东广州,第9题3分）已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（）A ． 3B ． 9C ． 18D ． 366.（2015•山东莱芜,第8题3分）已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为( )A ．2.5B ．5C ．10D ．157. （2015•浙江宁波，第9题4分）如图4，用一个半径为30cm ，面积为π300cm 2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r 为（）A . 5cmB . 10cmC . 20cmD . π5cm8. （2015•浙江衢州,第10题3分）如图5，已知等腰，以为直径的圆交于点，过点的⊙O 的切线交于点，若，则⊙O 的半径是（）A .B .C .D .9.(2015•江苏南京,第6题3分)如图6，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为（） A ．B ．C ．D ．二、填空题1. （2015•浙江宁波，第17题4分）如图7，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =12，过点A ，D 两点的⊙O 与BC 边相切于点E ，则⊙O 的半径为2. （2015•淄博第17题,4分）如图8，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A 、B 、C 、D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y =x 2﹣2x ﹣3，AB 为半圆的直径，则这个“果圆”被y 轴截得的弦CD 的长为．ACBO图1 图2B图3 图4图6 图8图7三、解答题1. （2015•浙江省台州市，第22题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC。

2015中考数学真题分类汇编：圆

一．选择题12．（漳州）已知⊙P的半径为2，圆心在函数y=﹣的图象上运动，当⊙P与坐标轴相切于点D时，则符合条件的点D的个数为（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 4解：根据题意可知，当⊙P与y轴相切于点D时，得x=±2，把x=±2代入y=﹣得y=±4，∴D（0，4），（0，﹣4）；当⊙P与x轴相切于点D时，得y=±2，把y=±2代入y=﹣得x=±4，∴D（4，0），（﹣4，0），∴符合条件的点D的个数为4，故选D．24．（达州）如图，AB为半圆O的在直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，连接OD、OC，下列结论：①∠DOC=90°，②AD+BC=CD，③S△AOD：S△BOC=AD2：AO2，④OD：OC=DE：EC，⑤OD2=DE•CD，正确的有（）A． 2个B． 3个C． 4个D． 5个解：连接OE，如图所示：∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，∴CD=DE+EC=AD+BC，选项②正确；在Rt△ADO和Rt△EDO中，，∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），∴∠AOD=∠EOD，同理Rt△CEO≌Rt△CBO，∴∠EOC=∠BOC，又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，选项⑤正确；∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，∴△EDO∽△ODC，∴=，即OD2=DC•DE，选项①正确；∵∠AOD+∠COB=∠AOD+∠ADO=90°，∠A=∠B=90°，∴△AOD∽△BOC，∴===，选项③正确；同理△ODE∽△OEC，∴，选项④错误；故选C．28．（衢州）如图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（）A． 3 B． 4 C．D．解：如图1，连接OD、BD，∵DE⊥BC，CD=5，CE=4，∴DE=，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵S△BCD=BD•CD÷2=BC•DE÷2，∴5BD=3BC，∴，∵BD2+CD2=BC2，∴，解得BC=，∵AB=BC，∴AB=，∴⊙O的半径是；．故选：D．29．（河池）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（）A． 6 B． 8 C． 10 D． 12解：∵直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∴B（0，4），∴OB=4，在RT△AOB中，∠OAB=30°，∴OA=OB=×=12，∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，∴PM=PA，设P（x，0），∴PA=12﹣x，∴⊙P的半径PM=PA=6﹣x，∵x为整数，PM为整数，∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数，∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6．故选A．30．（岳阳）如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE．对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（）A．①②B．①②③C．①④D．①②④解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，而AB=CB，∴AD=DC，所以①正确；∵AB=CB，∴∠1=∠2，而CD=ED，∴∠3=∠4，∵CF∥AB，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2=∠3=∠4，∴△CBA∽△CDE，所以②正确；∵△ABC不能确定为直角三角形，∴∠1不能确定等于45°，∴与不能确定相等，所以③错误；∵DA=DC=DE，∴点E在以AC为直径的圆上，∴∠AEC=90°，∴CE⊥AE，而CF∥AB，∴AB⊥AE，∴AE为⊙O的切线，所以④正确．故选D．一．填空题4．（台州）如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O 可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边），当这个正六边形的边长最大时，AE的最小值为﹣．解：当这个正六边形的边长最大时，作正方形ABCD的内切圆⊙O．当正六边形EFGHIJ的顶点H与O重合，且点E在线段OA上时，AE最小，如图所示．∵正方形ABCD的边长为1，∴⊙O的半径OE为，AO=AC=×=，则AE的最小值为﹣．故答案为﹣．8．（恩施州）如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于5π．解：由图形可知，圆心先向前走OO1的长度即圆的周长，然后沿着弧O1O2旋转圆的周长，则圆心O运动路径的长度为：×2π×5+×2π×5=5π，故答案为：5π．21．（河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为+．解：连接OE、AE，∵点C为OC的中点，∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，∴△AEO为等边三角形，∴S扇形AOE==π，∴S阴影=S扇形ABO﹣S扇形CDO﹣（S扇形AOE﹣S△COE）=﹣﹣（π﹣×1×）=π﹣π+=+．故答案为：+．24．（乐山）如图，已知A（2，2）、B（2，1），将△AOB绕着点O逆时针旋转，使点A旋转到点A′（﹣2，2）的位置，则图中阴影部分的面积为π．解：∵A（2，2）、B（2，1），∴OA=4，OB=，∵由A（2，2）使点A旋转到点A′（﹣2，2），∴∠A′OA=∠B′OB=90°，根据旋转的性质可得，S=S OBC，∴阴影部分的面积等于S扇形A'OA﹣S扇形C'OC=π×42﹣π×（）2=，故答案为：π．29．（遵义）如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA=2cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为（π+﹣）cm2．解：连结OC，过C点作CF⊥OA于F，∵半径OA=2cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，∴OD=OE=1cm，OC=2cm，∠AOC=45°，∴CF=，∴空白图形ACD的面积=扇形OAC的面积﹣三角形OCD的面积=﹣×=π﹣（cm2）三角形ODE的面积=OD×OE=（cm2），∴图中阴影部分的面积=扇形OAB的面积﹣空白图形ACD的面积﹣三角形ODE的面积=﹣（π﹣）﹣=π+﹣（cm2）．故图中阴影部分的面积为（π+﹣）cm2．1．（大连）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F．（1）求证：EF与⊙O相切；（2）若AB=6，AD=4，求EF的长．（1）证明：连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD=∠EAD．∵OE=OA，∴∠ODA=∠OAD．∴∠ODA=∠EAD．∴OD∥AE．∵∠ODF=∠AEF=90°且D在⊙O上，∴EF与⊙O相切．（2）连接BD，作DG⊥AB于G，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AB=6，AD=4，∴BD==2，∵OD=OB=3，设OG=x，则BG=3﹣x，∵OD2﹣OG2=BD2﹣BG2，即32﹣x2=22﹣（3﹣x）2，解得x=，∴OG=，∴DG==，∵AD平分∠CAB，AE⊥DE，DG⊥AB，∴DE=DG=，∴AE==，∵OD∥AE，∴△ODF∽△AEF，∴=，即=，∴=，∴EF=．2．（潍坊）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．（1）求证：直线DF与⊙O相切；（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．（1）证明：如图，连接OD．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OD=OC，∴∠ODC=∠C，∴∠ODC=∠B，∴OD∥AB，∵DF⊥AB，∴OD⊥DF，∵点D在⊙O上，∴直线DF与⊙O相切；（2）解：∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，∴∠AED+∠ACD=180°，∵∠AED+∠BED=180°，∴∠BED=∠ACD，∵∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴=，∵OD∥AB，AO=CO，∴BD=CD=BC=3，又∵AE=7，∴=，∴BE=2，∴AC=AB=AE+BE=7+2=9．3．（枣庄）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2=CD•2OE；（3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长．（1）证明：连接OD，BD，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴CE=DE=BE=BC，∴∠C=∠CDE，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，∴DE为⊙O的切线；（2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AC=2OE，∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴=，即BC2=AC•CD．∴BC2=2CD•OE；（3）解：∵cos∠BAD=，∴sin∠BAC==，又∵BE=6，E是BC的中点，即BC=12，∴AC=15．又∵AC=2OE，∴OE=AC=．4．（西宁）如图，已知BC为⊙O的直径，BA平分∠FBC交⊙O于点A，D是射线BF上的一点，且满足=，过点O作OM⊥AC于点E，交⊙O于点M，连接BM，AM．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若sin∠ABM=，AM=6，求⊙O的半径．（1）证明：连接OA；∵BC为⊙O的直径，BA平分∠CBF，AD⊥BF，∴∠ADB=∠BAC=90°，∠DBA=∠CBA；∵∠OAC=∠OCA，∴∠DAO=∠DAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°，∴DA为⊙O的切线．（2）解：连接CM，∵OM⊥AC于点E，OM是半径，∴=，∴∠ABM=∠CBM，AM=CM=6，∴sin∠ABM=sin∠CBM=，∵BC为⊙O的直径，∴∠BMC=90°，在RT△BMC中，sin∠CBM=，∴=，∴BC=10，∴⊙O的半径为5．5．（广元）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．（1）证明：连接OB∵OB=OA，CE=CB，∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC又∵CD⊥OA ∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°∴∠OBA+∠ABC=90°∴OB⊥BC ∴BC是⊙O的切线．（2）解：如图1，连接OF，AF，BF，∵DA=DO，CD⊥OA，∴AF=OF，∵OA=OF，∴△OAF是等边三角形，∴∠AOF=60°∴∠ABF=∠AOF=30°；（3）解：如图2，过点C作CG⊥BE于G，∵CE=CB，∴EG=BE=5，∵∠ADE=∠CGE=90°，∠AED=∠GEC，∴∠GCE=∠A，∴△ADE∽△CGE，∴sin∠ECG=sin∠A=，在R t ECG中，∵CG==12，∵CD=15，CE=13，∴DE=2，∵△ADE∽△CGE，∴，∴AD=，CG=，∴⊙O的半径OA=2AD=．6．（北海）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求证：ED平分∠BEP；（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．（1）证明：如图，连接OE．∵CD是圆O的直径，∴∠CED=90°．∵OC=OE，∴∠1=∠2．又∵∠PED=∠C，即∠PED=∠1，∴∠PED=∠2，∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°，∴OE⊥EP，又∵点E在圆上，∴PE是⊙O的切线；（2）证明：∵AB、CD为⊙O的直径，∴∠AEB=∠CED=90°，∴∠3=∠4（同角的余角相等）．又∵∠PED=∠1，∴∠PED=∠4，即ED平分∠BEP；（3）解：设EF=x，则CF=2x，∵⊙O的半径为5，∴OF=2x﹣5，在RT△OEF中，OE2=OF2+EF2，即52=x2+（2x﹣5）2，解得x=4，∴EF=4，∴BE=2EF=8，CF=2EF=8，∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵AB=10，BE=8，∴AE=6，∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，∴△AEB∽△EFP，∴=，即=，∴PF=，∴PD=PF﹣DF=﹣2=．7．（莆田）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D 两点，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE=．求证：CB是⊙O的切线．证明：连接OD，可得OB=OD，∵AB=AD，∴AE垂直平分BD，在Rt△BOE中，OB=3，cos∠BOE=，∴OE=，根据勾股定理得：BE==，CE=OC﹣OE=，在Rt△CEB中，BC==4，∵OB=3，BC=4，OC=5，∴OB2+BC2=OC2，∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，则BC为圆O的切线．10．（包头）如图，AB是⊙O的直径，点D是上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF•DB；（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长和⊙O的半径．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠EBA=90°，∵∠EDB=∠EAB，∠BDE=∠CBE，∴∠EAB=∠CBE，∴∠ABE+∠CBE=90°，∴CB⊥AB，∵AB是⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线；（2）证明：∵BD平分∠ABE，∴∠ABD=∠DBE，=，∴∠DEA=∠DBE，∵∠EDB=∠BDE，∴△DEF∽△DBE，∴=，∴DE2=DF•DB；（3）解：连接DA、DO，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∵∠EBD=∠OBD，∴∠EBD=∠ODB，∴OD∥BE，∴=，∵PA=AO，∴PA=AO=OB，∴=∴=，∴=，∵DE=2，∴PD=4，∵∠PDA+∠ADE=180°，∠ABE+∠ADE=180°，∴∠PDA=∠ABE，∵OD∥BE，∴∠AOD=∠ABE，∴∠PDA=∠AOD，∵∠P=∠P，∴△PDA∽△POD，∴=，设OA=x，∴PA=x，PO=2x，∴=，∴2x2=16，x=2，∴OA=2．11．（本溪）如图，点D是等边△ABC中BC边的延长线上一点，且AC=CD，以AB为直径作⊙O，分别交边AC、BC于点E、点F（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）连接OC，交⊙O于点G，若AB=4，求线段CE、CG与围成的阴影部分的面积S．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC，又∵AC=CD，∴AC=BC=CD，∴△ABD为直角三角形，∴AB⊥AD，∵AB为直径，∴AD是⊙O的切线；（2）解：连接OE，∵OA=OE，∠BAC=60°，∴△OAE是等边三角形，∴∠AOE=60°，∵CB=BA，OA=OB，∴CO⊥AB，∴∠AOC=90°，∴∠EOC=30°，∵△ABC是边长为4的等边三角形，∴AO=2，由勾股定理得：OC==2，同理等边三角形AOE边AO上高是=，S阴影=S△AOC﹣S等边△AOE﹣S扇形EOG==．12．（常德）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．证明：（1）如图1，连接FO，∵F为BC的中点，AO=CO，∴OF∥AB，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°，∴∠0EC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE为⊙O的切线；（2）如图2，∵⊙O的半径为3，∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE，∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，∴CD=，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=，AC=6，∴AD=．13．（武汉）如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB．（1）求证：AT是⊙O的切线；（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．解：（1）∵∠ABT=45°，AT=AB．∴∠TAB=90°，∴TA⊥AB，∴AT是⊙O的切线；（2）作CD⊥AT于D，∵TA⊥AB，TA=AB=2OA，设OA=x，则AT=2x，∴OT=x，∴TC=（﹣1）x，∵CD⊥AT，TA⊥AB∴CD∥AB，∴==，即==，∴CD=（1﹣）x，TD=2（1﹣）x，∴AD=2x﹣2（1﹣）x=x，∴tan∠TAC===．15．（攀枝花）如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径R=3，求的值．（1）证明：连结OD，如图，∵EF=ED，∴∠EFD=∠EDF，∵∠EFD=∠CFO，∴∠CFO=∠EDF，∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO=90°，而OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵OF：OB=1：3，∴OF=1，BF=2，设BE=x，则DE=EF=x+2，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDE，而∠ADO=∠A，∴∠BDE=∠A，而∠BED=∠DAE，∴△EBD∽△EDA，∴==，即==，∴x=2，∴==．16．（河池）如图，AB为⊙O的直径，CO⊥AB于O，D在⊙O上，连接BD，CD，延长CD与AB的延长线交于E，F在BE上，且FD=FE．（1）求证：FD是⊙O的切线；（2）若AF=8，tan∠BDF=，求EF的长．（1）证明：连结OD，如图，∵CO⊥AB，∴∠E+∠C=90°，∵FE=FD，OD=OC，∴∠E=∠FDE，∠C=∠ODC，∴∠FDE+∠ODC=90°，∴∠ODF=90°，∴OD⊥DF，∴FD是⊙O的切线；（2）解：连结AD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠A+∠ABD=90°，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠A+∠ODB=90°，∵∠BDF+∠ODB=90°，∴∠A=∠BDF，而∠DFB=∠AFD，∴△FBD∽△FDA，∴=，在Rt△ABD中，tan∠A=tan∠BDF==，∴=，∴DF=2，∴EF=2．23．（厦门）已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=90°，∠DCB＜90°，对角线AC平分∠DCB，延长DA，CB相交于点E．（1）如图1，EB=AD，求证：△ABE是等腰直角三角形；（2）如图2，连接OE，过点E作直线EF，使得∠OEF=30°，当∠ACE≥30°时，判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．（1）证明：∵对角线AC平分∠DCB，∴∠ACD=∠ABC，∴=，∴AD=AB，∵EB=AD，∴AB=EB，∵∠EBA=∠ADC=90°，∴△ABE是等腰直角三角形（2）解：直线EF与⊙O相离．理由如下：∵∠DCB＜90°，∠ACD=∠ABC，∵∠ACE≥30°，∴60°≤∠DCE＜90°，∴∠AEC≤30°，∴AE≥AC，∵OE＞AE，∴OE＞AC，作OH⊥EF于H，如图，在Rt△OEH中，∵∠OEF=30°，∴OH=OE，∴OH＞OA，∴直线EF与⊙O相离．26．（营口）如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP 交⊙O于点C，连接AC交OP于点D．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PD=cm，AC=8cm，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，若点E是的中点，连接CE，求CE的长．（1）证明：如图1，连接OC，∵PA切⊙O于点A，∴∠PAO=90°，∵BC∥OP，∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∴∠AOP=∠COP，在△PAO和△PCO中，，∴△PAO≌△PCO，∴∠PCO=∠PAO=90°，∴PC是⊙O的切线；（2）解：由（1）得PA，PC都为圆的切线，∴PA=PC，OP平分∠APC，∠ADO=∠PAO=90°，∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD，∴∠PAD=∠AOD，∴△ADP∽△PDA，∴，∴AD2=PD•DO，∵AC=8，PD=，∴AD=AC=4，OD=3，AO=5，由题意知OD为△的中位线，∴BC=6，OD=6，AB=10．∴S阴=S⊙O﹣S△ABC=﹣24；（3）解：如图2，连接AE、BE，作BM⊥CE于M，∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90°，∵点E是的中点，∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45°，CM=MB=3，BE=AB•cos45°=5，∴EM==4，则CE=CM+EM=7．27．（宜宾）如图，CE是⊙O的直径，BD切⊙O于点D，DE∥BO，CE的延长线交BD于点A．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AE=2，tan∠DEO=，求AO的长．解：（1）连接OD，∵DE∥BO，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∵OD=OE，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2，在△DOB与△COB中，，∴△DOB≌△COB，∴∠OCB=∠ODB，∵BD切⊙O于点D，∴∠ODB=90°，∴∠OCB=90°，∴AC⊥BC，∴直线BC是⊙O的切线；（2）∵∠DEO=∠2，∴tan∠DEO=tan∠2=，设；OC=r，BC=r，由（1）证得△DOB≌△COB，∴BD=BC=r，由切割线定理得：AD2=AE•AC=2（2+r），∴AD=2，∵DE∥BO，∴，∴，∴r=1，∴AO=3．30．（广安）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若=，且OC=4，求PA的长和tanD的值．资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除（1）证明：连接OB，则OA=OB，∵OP⊥AB，∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB ，在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O 的切线；（2）连接BE，∵=，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO==2，∴AE=2OA =4，OB=OA=2，在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OC•PC，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，在Rt △APO中，由勾股定理得：AP==3，∴PB=PA=3，∵AC=BC，OA=OE，∴OC=BE，OC∥BE，∴BE=2OC=8，BE∥OP ，∴△DBE ∽△DPO，∴，即，解得：BD=，在Rt △OBD中，tanD===．----完整版学习资料分享----。

2015年中考数学试卷分类汇编圆(7)解析

2015中考数学真题分类汇编：圆(7)一•解答题(共30小题)1. (2015?六盘水)如图，在Rt△ACB中，/ ACB =90。

，点O是AC边上的一点，以O 为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连接OD .(1)求证：A ADO ACB .(2)若。

O的半径为1,求证：AC =AD ?BC .2. ( 2015?东营)已知在△ABC中，/ B=90°以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E.(1)求证：AC?AD=AB?AE ;(2)如果BD是O O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长.3. (2015?遂宁)如图，AB为O O的直径，直线CD切O O于点D , AM丄CD于点M , BN丄CD于N .求证：/ ADC=Z ABD ;求证：AD 2=AM ?AB ;:;,求线段BN的长.54. ( 2015?丽水)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的O O分别与BC, AC 交于点D, E,过点D作O O的切线DF，交AC于点F.(1)求证：DF丄AC ;(2)若。

O的半径为4,/ CDF=22.5 °求阴影部分的面积.(1)(2)△ABC 内接于O O, AB=AC , BD 为O O 的弦，且AB II CD,过点A作O O的切线AE与DC的延长线交于点E, AD与BC交于点F.(1) 求证：四边形ABCE是平行四边形;(2) 若AE=6, CD=5,求OF 的长.6. ( 2015?咸宁)如图，在A ABC中，/ C=90°以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F .(1)若/ B=30°,求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形.(2)若AC=6, AB=10,连结AD，求O O的半径和AD的长.7. (2015?乌鲁木齐)如图，AB是O O的直径，CD与O O相切于点C,与AB的延长线交于点D , DE丄AD且与AC的延长线交于点E.(1) 求证：DC=DE ;(2) 若tan/ CAB= , AB=3，求BD 的长.28 (2015?陕西)如图，AB是O O的直径，AC是O O的弦，过点B作O O的切线DE ,与AC的延长线交于点D，作AE丄AC交DE于点E.(1 )求证：/ BAD =/ E;(2)若。

中考数学圆(上)圆的有关概念和性质

圆的有关概念和性质
考点聚焦
考查频率考查题型命题特点
方法点拨
有关概念
圆
圆的基本性质
圆心、半径、直径弧、弦、弦心等圆、同心圆圆心角、圆周角
圆的轴对称性
中心对称性和旋转不变性
垂径定理圆周角定理圆内接四边形的性质
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
C
·O
E
O
例3（2013贵州省黔西南州，3分）如图所示⊙O中，已知 ∠BAC=∠CDA=20°，则∠ABO的度数为 50°．
【解析】连结OA，由题意得
小试身手
（2013贵州省黔西南州，12分）如图，AB是⊙O的直径，
【解析】（1）证明：∵∠C=∠P．又∵∠1=∠C ∴∠1=∠P ．∴CB∥PD
（2）解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，
A
B
D
几何语言表达
C
O
A
M
B
D
2．圆心角、弧、弦之间的关系
A
C
O
B
A' C'
B'
D
B E
●
O
A
C
C
A
●
B
O
B
A
C
●
O
D
【命题角度】本题考查的是垂径定理及勾股定理. 【方法点拨】根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
【解析】∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，∴AC=AB=4，
类型二：运用圆心角、弧、弦的关系解决问题
A
E
C
D
B
O
（1）证明：连接 OA、OB、OC，∵点 A 是弧 BC 的中点，

中考数学真题分类汇编第一期专题30圆的有关性质试题含解析

圆的有关性质一、选择题1．（xx•山东枣庄•3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（）A． B．2 C．2D．8【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA﹣AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH=OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=，所以CD=2CH=2．【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC=HD，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA﹣AP=2，在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，∴∠POH=60°，∴OH=OP=1，在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，∴CH==，∴CD=2CH=2．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．2．（xx•四川凉州•3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（）A．40° B．30° C．45° D．50°【分析】首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠AOB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出∠ACB的度数．【解答】解：△AOB中，OA=OB，∠ABO=50°，∴∠AOB=180°﹣2∠ABO=80°，∴∠ACB=∠AOB=40°，故选：A．【点评】本题主要考查了圆周角定理的应用，涉及到的知识点还有：等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．3. （xx•山东菏泽•3分）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（）A．64° B．58° C．32° D．26°【考点】M5：圆周角定理；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】根据垂径定理，可得=，∠OEB=90°，根据圆周角定理，可得∠3，根据直角三角形的性质，可得答案．【解答】解：如图，由OC⊥AB，得=，∠OEB=90°．∴∠2=∠3．∵∠2=2∠1=2×32°=64°．∴∠3=64°，在Rt△OBE中，∠OEB=90°，∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，利用垂径定理得出=，∠OEB=90°是解题关键，又利用了圆周角定理．4. （xx•江苏盐城•3分）如图，为的直径，是的弦，，则的度数为（）A.B.C. D.7.【答案】C【考点】圆周角定理【解析】【解答】解：∵，∠ADC与∠B所对的弧相同，∴∠B=∠ADC=35°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠B=55°，故答案为：C【分析】由同弧所对的圆周角相等可知∠B=∠ADC=35°；而由圆周角的推论不难得知∠ACB=90°，则由∠CAB=90°-∠B即可求得。

中考数学复习整理专题30 圆的有关性质

圆的有关性质一.选择题1．(2015•湖南株洲,第6题3分)如图，圆O 是△ABC 的外接圆，∠A ＝68°，则∠OBC 的大小是( )A ．22°B ．26°C ．32°D ．68° 【试题分析】本题考点为：通过圆心角∠BOC ＝2∠A ＝136°，再利用等腰三角形AOC 求出∠OBC 的度数答案为：A第6题图B2、（2015·湖南省常德市，第6题3分）如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD ＝100°，则∠BCD 的度数为：A 、50°B 、80°C 、100°D 、130°【解答与分析】圆周角与圆心角的关系，及圆内接四边形的对角互补：答案为D3, （2015•四川南充,第8题3分）如图，P A 和PB 是⊙O 的切线，点A 和B 是切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠P ＝40°，则∠ACB 的大小是（）第6题图（A）60°（B）65°（C）70°（D）75°【答案】C考点：切线的性质、三角形外角的性质、圆的基本性质.4．（2015•四川资阳,第8题3分）如图4，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是考点：动点问题的函数图象．.分析：根据图示，分三种情况：（1）当点P沿O→C运动时；（2）当点P沿C→D运动时；（3）当点P沿D→O运动时；分别判断出y的取值情况，进而判断出y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是哪个即可．解答：解：（1）当点P沿O→C运动时，当点P在点O的位置时，y=90°，当点P在点C的位置时，∵OA=OC，∴y=45°，∴y由90°逐渐减小到45°；（2）当点P 沿C →D 运动时，根据圆周角定理，可得 y ≡90°÷2=45°；（3）当点P 沿D →O 运动时，当点P 在点D 的位置时，y =45°，当点P 在点0的位置时，y =90°， ∴y 由45°逐渐增加到90°．故选：B ．点评：（1）此题主要考查了动点问题的函数图象，解答此类问题的关键是通过看图获取信息，并能解决生活中的实际问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即学会识图．（2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．5、（2015•四川自贡,第9题4分）如图，AB 是⊙O的直径，弦,CD AB CDB 30CD ⊥∠==o ，,则阴影部分的面积为（） A .2π B .π C .3π D .23π考点：圆的基本性质、垂径定理，勾股定理、扇形的面积公式、轴对称的性质等.分析：本题抓住圆的相关性质切入把阴影部分的面积转化到一个扇形中来求.根据圆是轴对称图形和垂径定理，利用题中条件可知E 是弦CD 的中点,B 是弧CD 的中点；此时解法有三：解法一，在弓形CBD 中，被EB 分开的上面空白部分和下面的阴影部分的面积是相等的，所以阴影部分的面积之和转化到扇形COB 来求；解法二，连接OD ,易证△ODE ≌△OCE ，所以阴影部分的面积之和转化到扇形BOD 来求；解法三，阴影部分的面积之和是扇形COD 的面积的一半.略解：∵AB 是⊙O 的直径， AB CD ⊥∴E 是弦CD 的中点,B 是弧CD 的中点（垂径定理）∴在弓形CBD 中，被EB 分开的上下两部分的面积是相等的(轴对称的性质)A∴阴影部分的面积之和等于扇形COB 的面积.∵E 是弦CD 的中点，CD =11CE CD 22==⨯ ∵AB CD ⊥ ∴OEC 90∠=o∴COE 60∠=o ,1OE OC 2= . 在Rt △OEC 中，根据勾股定理可知：222OC OE CE =+即2221OC OC 2⎛⎫=+⎪⎝⎭.解得:OC 2=;S 扇形COB = 2260OC 60223360360πππ⨯⨯⨯⨯==o o o o.即阴影部分的面积之和为23π.故选D .6. （2015•浙江滨州,第11题3分）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为( ) A .B .C .D .—1【答案】B 【解析】试题分析：如图，等腰直角三角形ABC 中，⊙D 为外接圆，可知D 为AB 的中点，因此AD =2，AB =2AD =4，根据勾股定理可求得AC =，根据内切圆可知四边形EFCG 是正方形，AF =AD ,因此EF =FC =AC －AF =－2.故选B考点：三角形的外接圆与内切圆7,（2015湖南邵阳第7题3分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，已知∠ADC =140°，则∠AOC 的大小是（）8, （2015•淄博第11题,4分）如图是一块△ABC余料，已知AB=20cm，BC=7cm，AC=15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是（）=21=9 , （2015上海,第6题4分）如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A、AD＝BD；B、OD＝CD；C、∠CAD＝∠CBD；D、∠OCA＝∠OC B．【答案】B【解析】因OC⊥AB，由垂径定理，知AD＝BD，若OD＝CD，则对角线互相垂直且平分，所以，OACB为菱形。

全国各地中考数学试题分类汇编(第2期)专题30 圆的有关性质(含解析)

圆的有关性质选择题1．（2016·山东省滨州市·3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（）A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤【考点】圆的综合题．【分析】①由直径所对圆周角是直角，②由于∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角角，③由平行线得到∠OCB=∠DBC，再由圆的性质得到结论判断出∠OBC=∠DBC；④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；⑤用三角形的中位线得到结论；⑥得不到△CEF和△BED中对应相等的边，所以不一定全等．【解答】解：①、∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，②、∵∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角角，∴∠AOC≠∠AEC，③、∵OC∥BD，∴∠OCB=∠DBC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OBC=∠DBC，∴CB平分∠ABD，④、∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，∵OC∥BD，∴∠AFO=90°，∵点O为圆心，∴AF=DF，⑤、由④有，AF=DF，∵点O为AB中点，∴OF是△ABD的中位线，∴BD=2OF，⑥∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，故选D【点评】此题是圆综合题，主要考查了圆的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌握圆的性质．2．（2016·山东省德州市·3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”（）A．3步B．5步C．6步D．8步【考点】三角形的内切圆与内心．【专题】圆的有关概念及性质．【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可确定出内切圆半径．【解答】解：根据勾股定理得：斜边为=17，则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r==3（步），即直径为6步，故选C【点评】此题考查了三角形的内切圆与内心，Rt△ABC，三边长为a，b，c（斜边），其内切圆半径r=．3．（2016·山东省济宁市·3分）如图，在⊙O中， =，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（）A．40° B．30° C．20° D．15°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵在⊙O中， =，∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=40°，∴∠AOC=40°，∴∠ADC=∠AOC=20°，故选C．4. （2016·云南省昆明市·4分）如图，AB为⊙O的直径，AB=6，AB⊥弦CD，垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A=30°，连接AD、OC、BC，下列结论不正确的是（）A．EF∥CD B．△COB是等边三角形C．CG=DG D．的长为π【考点】弧长的计算；切线的性质．【分析】根据切线的性质定理和垂径定理判断A；根据等边三角形的判定定理判断B；根据垂径定理判断C；利用弧长公式计算出的长判断D．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点B，∴AB⊥EF，又AB⊥CD，∴EF∥CD，A正确；∵AB⊥弦CD，∴=，∴∠COB=2∠A=60°，又OC=OD，∴△COB是等边三角形，B正确；∵AB⊥弦CD，∴CG=DG，C正确；的长为： =π，D错误，故选：D．5. （2016·浙江省湖州市·3分）如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（）A．25° B．40° C．50° D．65°【考点】切线的性质；圆周角定理．【分析】首先连接OC，由∠A=25°，可求得∠BO C的度数，由CD是圆O的切线，可得OC⊥CD，继而求得答案．【解答】解：连接OC，∵圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∴AB是直径，∵∠A=25°，∴∠BOC=2∠A=50°，∵CD是圆O的切线，∴OC⊥CD，∴∠D=90°﹣∠BOC=40°．故选B．6. （2016·浙江省绍兴市·4分）如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上， =，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（）A．60° B．45° C．35° D．30°【考点】圆周角定理．【分析】直接根据圆周角定理求解．【解答】解：连结OC，如图，∵=，∴∠BDC=∠AOB=×60°=30°．故选D．7．（2016广西南宁3分）如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，则∠P的度数为（）A．140° B．70° C．60° D．40°【考点】圆周角定理．【分析】先根据四边形内角和定理求出∠DOE的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，∴∠DOE=180°﹣40°=140°，∴∠P=∠DOE=70°．故选B．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．8．（2016贵州毕节3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（）A．100° B．72° C．64° D．36°【考点】圆周角定理．【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=28°，根据等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：连接OA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=28°，∴∠OAB=64°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=64°，故选：C．9.(2016河北3分）图示为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是（）第9题图A．△ACD的外心B．△ABC的外心C．△ACD的内心D．△ABC的内心答案：B解析：点O在△ABC外，且到三点距离相等，故为外心。