2.1.2 指数函数及其性质(3)
2.1.2指数函数及其性质(3)
|
x
1}
当a 1时, x的取值范围是{x | x 1} 5
5
完成预学案P38拓展问题1
解：由已知,当0 a 1时 x2 5x x 7 即x2 6x 7 0 解得1 x 7 当a 1时 x2 5x x 7 即x2 6x 7 0 解得x 7或x 1 综上所述,当0 a 1时,
问题 引入
问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个， 2个分裂成4个，……以此类推，1个这样的细 胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关 系式是什么？
研究
分裂
次数 1次 2次 3次 4次
x次
……
y 2x(x N*)
细胞 2个 4个 8个 16个
总数
21
22
23
24
2x
问题 引入
问题2、《庄子·天下篇》中写道：“一尺 之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出 截取x次后，木棰剩余量y关于x的函数关 系式？
0 21 1 31
指数函数y (21)x 在R上是减函数
又3.4 0
31 0(
21)3.4
1
2.13.4 3.13.4
31
2.指数函数的图象和性质
练习：
a>1
0<a<1 1.当a (1,+) 时,函数y ax
图
y y=ax
y=ax y
(a 0且a 1)为增函数.这时,
y=1
y=1 (0,1)
4.当x>0时, 0<y<1;当x<0 时, y>1.
5.既不是奇函数也不是偶函数.
0 0.25 2x1 1
函数的值域为 (0,1].
完成课本P58题2、P59题5
课件12：2.1.2. 第1课时 指数函数及其性质
新知初探
知识点一 指数函数的定义 函数__y_＝__a_x_ (a>0 且 a≠1)叫做指数函数，其中 x 是自变量． 指数函数解析式的 3 个特征 (1)底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数． (2)自变量 x 的位置在指数上，且 x 的系数是 1. (3)ax 的系数是 1.
A．y＝(－3)x B．y＝－3x C．y＝3x－1
D．y＝13x
解析：根据指数函数的定义 y＝ax(a>0 且 a≠1)可知只有 D 项正确．
答案：D
3．函数 f(x)＝ 2x1－1的定义域为(
)
A．R B．(0，＋∞) C．[0，＋∞)
D．(－∞，0)
解析：要使函数有意义，则 2x－1>0，∴2x>1，∴x>0. 答案：B 4．已知集合 A＝{x|x<3}，B＝{x|2x>4}，则 A∩B＝( )
跟踪训练 2 (1)已知 1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx 的 图象为( )
(2)若 a>1，－1<b<0，则函数 y＝ax＋b 的图象一定在( ) A．第一、二、பைடு நூலகம்象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
解析：(1)由于 0<m<n<1，所以 y＝mx 与 y＝nx 都是减函数，故排除 A、B，作直线 x＝1 与两个曲线相交，交点在下面的是函数 y＝mx 的图象，故选 C. (2)∵a>1，且－1<b<0，故其图象如右图所示．
跟踪训练 1 (1)若函数 y＝(3－2a)x 为指数函数，则实数 a 的 取值范围是________； (2)下列函数中是指数函数的是________．(填序号) ①y＝2·( 2)x ②y＝2x－1 ③y＝2πx ④y＝xx
高中数学必修一第二章2.1.2指数函数及其性质习题(含答案)
2.1.2 指数函数及其性质知识清单1．指数函数的概念一般地，______________________叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是____．2．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质a >1 0<a<1图象定义域 R 值域 (0，＋∞)性 质 过定点过点______，即x ＝____时，y ＝____函数值 的变化 当x >0时，______； 当x <0时，________ 当x >0时，________； 当x <0时，________单调性是R 上的________是R 上的________基础练习一、填空题1．下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是______．(填序号)①y ＝(－4)x ；②y ＝πx ；③y ＝－4x ；④y ＝a x ＋2(a >0且a ≠1)． 2．函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则a 的值为________． 3．函数y ＝a |x |(a >1)的图象是________．(填序号)4．已知f (x )为R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝3x，那么f (2)＝________.5．如图是指数函数 ①y ＝a x ； ②y ＝b x ； ③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是________．6．函数y ＝(12)x －2的图象必过第________象限．7．函数f (x )＝a x 的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值为____．8．若函数y ＝a x －(b －1)(a >0，a ≠1)的图象不经过第二象限，则a ，b 需满足的条件为________．9．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 二、解答题10．比较下列各组数中两个值的大小：(1)0.2－1.5和0.2－1.7； (2)1314⎛⎫⎪⎝⎭和2314⎛⎫⎪⎝⎭； (3)2－1.5和30.2.11．2000年10月18日，美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息：“市政委员会今天宣布：本市垃圾的体积达到50 000 m 3”，副标题是：“垃圾的体积每三年增加一倍”．如果把3年作为垃圾体积加倍的周期，请你完成下面关于垃圾的体积V (m 3)与垃圾体积的加倍的周期.(1) (2)根据报纸所述的信息，你估计3年前垃圾的体积是多少？ (3)如果n ＝－2，这时的n ，V 表示什么信息？(4)写出n 与V 的函数关系式，并画出函数图象(横轴取n 轴)． (5)曲线可能与横轴相交吗？为什么？12．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是________．(填序号)13．定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足对任意的实数x ，y 都有f (x y )＝yf (x )． (1)求f (1)的值；(2)若f (12)>0，解不等式f (ax )>0.(其中字母a 为常数)．能力提升一、填空题1．设P ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则P 、Q 的关系为________． 2．函数y ＝16－4x 的值域是________．3．函数y ＝a 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是________．4．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则下列命题正确的是________．(填序号)①f (x )与g (x )均为偶函数；②f (x )为偶函数，g (x )为奇函数； ③f (x )与g (x )均为奇函数；④f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．5．函数y ＝f (x )的图象与函数g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，则f (x )的解析式为________． 6．已知a ＝1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1235-⎛⎫⎪⎝⎭，c ＝1243-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 三个数的大小关系是________．7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是________．9．函数y ＝2212x x-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递增区间是________．二、解答题10．(1)设f (x )＝2u ，u ＝g (x )，g (x )是R 上的单调增函数，试判断f (x )的单调性； (2)求函数y ＝2212x x --的单调区间．11．函数f (x )＝4x －2x ＋1＋3的定义域为[－12，12]．(1)设t ＝2x ，求t 的取值范围； (2)求函数f (x )的值域．12．函数y ＝2x －x 2的图象大致是________．(填序号)13．已知函数f (x )＝2x－12x ＋1.(1)求f [f (0)＋4]的值；(2)求证：f (x )在R 上是增函数；(3)解不等式：0<f (x －2)<1517.知识清单1．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1) R 2.(0,1) 0 1 y >1 0<y <1 0<y <1 y >1 增函数 减函数 基础练习 1．②解析 ①中－4<0，不满足指数函数底数的要求，③中因有负号，也不是指数函数，④中的函数可化为y ＝a 2·a x ，a x 的系数不是1，故也不是指数函数． 2．2解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，解得a ＝2. 3．②解析 该函数是偶函数．可先画出x ≥0时，y ＝a x 的图象，然后沿y 轴翻折过去，便得到x <0时的函数图象．4．－19解析 当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝3－x ，即－f (x )＝(13)x ，∴f (x )＝－(13)x .因此有f (2)＝－(13)2＝－19.5．b <a <1<d <c解析 作直线x ＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1，a )、(1，b )、(1，c )、(1，d )，由图象可知纵坐标的大小关系． 6．二、三、四解析 函数y ＝(12)x 的图象上所有的点向下平移2个单位，就得到函数y ＝(12)x －2的图象，所以观察y ＝(12)x －2的图象可知．7.18解析 由题意a 2＝4，∴a ＝2.f (－3)＝2－3＝18.8．a >1，b ≥2解析 函数y ＝a x －(b －1)的图象可以看作由函数y ＝a x 的图象沿y 轴平移|b －1|个单位得到．若0<a <1，不管y ＝a x 的图象沿y 轴怎样平移，得到的图象始终经过第二象限；当a >1时，由于y ＝a x 的图象必过定点(0,1)，当y ＝a x 的图象沿y 轴向下平移1个单位后，得到的图象不经过第二象限．由b －1≥1，得b ≥2.因此，a ，b 必满足条件a >1，b ≥2. 9．[0,8)解析 y ＝8－23－x ＝8－23·2－x ＝8－8·(12)x＝8[1－(12)x ]．∵x ≥0，∴0<(12)x ≤1，∴－1≤－(12)x <0，从而有0≤1－(12)x <1，因此0≤y <8.10．解 (1)考察函数y ＝0.2x . 因为0<0.2<1，所以函数y ＝0.2x 在实数集R 上是单调减函数．又因为－1.5>－1.7，所以0.2－1.5<0.2－1.7.(2)考察函数y ＝(14)x .因为0<14<1，所以函数y ＝(14)x 在实数集R 上是单调减函数．又因为13<23，所以1314⎛⎫ ⎪⎝⎭>2314⎛⎫ ⎪⎝⎭1.(3)2－1.5<20，即2－1.5<1；30<30.2，即1<30.2，所以2－1.5<30.2.11．解 (1)由于垃圾的体积每3年增加1倍，24年后即8个周期后，该市垃圾的体积是50 000×28＝12 800 000(m 3)．(2)根据报纸所述的信息，估计3年前垃圾的体积是50 000×2－1＝25 000(m 3)．(3)如果n ＝－2，这时的n 表示6年前，V 表示6年前垃圾的体积． (4)n 与V 的函数关系式是V ＝50 000×2n ，图象如图所示．(5)因为对任意的整数n,2n >0，所以V ＝50 000×2n >0，因此曲线不可能与横轴相交． 12．①解析 由题意f (x )＝1⊕2x＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0；2x ， x <0.13．解 (1)令x ＝1，y ＝2，可知f (1)＝2f (1)，故f (1)＝0.(2)设0<x 1<x 2，∴存在s ，t 使得x 1＝(12)s ，x 2＝(12)t ，且s >t ，又f (12)>0，∴f (x 1)－f (x 2)＝f [(12)s ]－f [(12)t ]＝sf (12)－tf (12)＝(s －t )f (12)>0，∴f (x 1)>f (x 2)．故f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 又∵f (ax )>0，x >0，f (1)＝0， ∴0<ax <1，当a ＝0时，x ∈∅，当a >0时，0<x <1a ，当a <0时，1a<x <0，不合题意．故x ∈∅.综上：a ≤0时，x ∈∅；a >0时，不等式解集为{x |0<x <1a}．能力提升 1．Q P解析 因为P ＝{y |y ≥0}，Q ＝{y |y >0}，所以Q P . 2．[0,4)解析 ∵4x >0，∴0≤16－4x <16， ∴16－4x ∈[0,4)． 3．3解析 函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，当x ＝1时，y max ＝3. 4．②解析 f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )，g (－x )＝3－x －3x ＝－g (x )．5．f (x )＝－e －x －2解析 ∵y ＝f (x )的图象与g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，∴f (x )＝－g (－x )＝－(e －x ＋2)＝－e －x －2. 6．c <a <b解析 ∵y ＝(35)x 是减函数，－13>－12，∴b >a >1.又0<c <1，∴c <a <b . 7．19解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y 与生长时间的函数关系为y ＝2x －1，当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半． 8．(－∞，－1)解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.当x >0时，由1－2－x <－12，(12)x >32，得x ∈∅；当x ＝0时，f (0)＝0<－12不成立；当x <0时，由2x －1<－12，2x <2－1，得x <－1.综上可知x ∈(－∞，－1)． 9．[1，＋∞)解析 利用复合函数同增异减的判断方法去判断．令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝(12)u 在u ∈R 上为减函数，问题转化为求u ＝－x 2＋2x 的单调递减区间，即为x ∈[1，＋∞)．10．解 (1)设x 1<x 2，则g (x 1)<g (x 2)．又由y ＝2u 的增减性得()12g x<()22g x ，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )为R 上的增函数．(2)令u ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2， 则u 在区间[1，＋∞)上为增函数．根据(1)可知y ＝2212x x --在[1，＋∞)上为增函数． 同理可得函数y 在(－∞，1]上为单调减函数．即函数y 的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．11．解 (1)∵t ＝2x 在x ∈[－12，12]上单调递增，∴t ∈[22，2]．(2)函数可化为：f (x )＝g (t )＝t 2－2t ＋3，g (t )在[22，1]上递减，在[1，2]上递增，比较得g (22)<g (2)． ∴f (x )min ＝g (1)＝2， f (x )max ＝g (2)＝5－2 2.∴函数的值域为[2,5－22]． 12．①解析 当x →－∞时，2x →0，所以y ＝2x －x 2→－∞， 所以排除③、④.当x ＝3时，y ＝－1，所以排除②.13．(1)解 ∵f (0)＝20－120＋1＝0，∴f [f (0)＋4]＝f (0＋4)＝f (4)＝24－124＋1＝1517.(2)证明 设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， 则22x>12x>0,22x－12x>0，∴f (x 2)－f (x 1)＝212121212121x x x x ---++ ＝()()()21212222121x x x x -++>0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在R 上是增函数．(3)解 由0<f (x －2)<1517得f (0)<f (x －2)<f (4)，又f (x )在R 上是增函数，∴0<x －2<4，即2<x <6，所以不等式的解集是{x |2<x <6}．。
高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结
在 R 上是减函数
函数值的 变化情况
a 变化对
图象的影 响
y＞1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜1(x ＜ 0)
y＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜ 1(x ＞ 0)
在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越靠近 y 轴； 在第二象限内， a 越大图象越低，越靠近 x 轴． 在第二象限内， a 越小图象越低，越靠近 x 轴．
y
f ( x) 中反解出 x
1
f ( y) ；
③将 x f 1( y ) 改写成 y f 1 ( x) ，并注明反函数的定义域．
（ 8）反函数的性质
①原函数 y
f (x) 与反函数 y
1
f ( x) 的图象关于直线 y
x 对称．
②函数 y f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1 (x ) 的值域、定义域． ③若 P(a,b) 在原函数 y f (x ) 的图象上，则 P' (b, a) 在反函数 y f 1(x ) 的图象上．
③根式的性质： (n a )n a ；当 n 为奇数时， n an
a ；当 n 为偶数时， n an | a |
a (a 0)
．
a (a 0)
（ 2）分数指数幂的概念
m
①正数的正分数指数幂的意义是： a n n a m (a 0, m, n N , 且 n 1) ． 0 的正分数指数幂等于 0．②正数的负分数
设一元二次方程 ax 2 bx c 0( a 0) 的两实根为 x1, x2 ，且 x1 x2 ．令 f ( x) ax 2 bx c ，从以下四个方
面来分析此类问题：①开口方向： a ②对称轴位置： x
【平煤高中学案必修一】19指数函数及性质3
§2.1.2 指数函数及其性质(3)学习目标（1）熟练掌握指数函数的图象和性质；（2）能运用指数函数的图象和性质解决一些实际问题，体会指数函数是一类重要的函数模型；（3）培养学生从特殊到一般的抽象、归纳的能力以及分析问题、解决问题的能力．知识要点：1.指数函数的性质：2.指数型函数的应用：典型例题1. 从盛满1升纯酒精的容器中倒出13升，然后用水填满，再倒出13升，又用水填满，这样进行n次后，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？2. 一片树林中现有木材30000 m3，如果每年增长5%，经过x年树林中有木材y m3，写出x，y 间的函数关系式，3.截止到1999年底，我国人口已达到13亿，年增长率约为1%．经过20年后，我国人口最多为多少（精确到亿）？4.当1a>时，证明函数1()1xxaf xa+=-是奇函数．5 .设a是实数，2()()21xf x a x R=-∈+，试确定a的值，使()f x为奇函数．当堂检测1. 某地现有绿地100平方公里，计划每年按5%的速度扩大绿地，则五年后该地的绿地为 平方公里.2.一个细胞一次分裂成两个，现有3个细胞，分裂x 次后，得到的细胞的个数为y ，则y 与x 的关系是 .3.一种产品的产量原来是a ，在今后的m 年内，计划使产量平均每年比上一年增加p ﹪,写出产量y 随年数x 变化的函数解析式 .4.函数y = （ ） A.{|1}x x ≥- B. {|2}x x ≥- C. {|1}x x ≤- D. {|2}x x ≤-5.函数22)21(x x y -=的值域 （ ）A .{|1}y y ≥B . {|2}y y ≥C . 1{|}2y y ≥D . 1{|}2y y ≤6．一次函数()f x mx n =+与指数型函数()x g x a b =+， （0,1a a ≠>）的图像交于两点(0,1),(1,2)A B ，解答下列各题：（1）求一次函数()f x 和指数型函数()g x 的表达式；（2）作出这两个函数的图像；（3）填空：当x ∈ 时，()()f x g x ≥；当x ∈ 时，()()f x g x <. o yx 2121。
高一数学必修1：2.1.2《指数函数及其性质的应用》课件
例3 求下列函数的定义域:
1
(1) y 5 x1 ;(2) y 2 x4 .
问题提出 1.什么是指数函数？其定义域是什么？大致 图象如何？
2.任何一类函数都有一些基本性质，那么指 数函数具有那些基本性质呢？
知识探究（一）：函数 y ax (a 1) 的性质
考察函数
y ax (的a图象:1)
一
2
想 共同点？
指数函数定义：
函数 y=ax （a>0,a≠1）叫做指数函数,
其中x是自变量，函数的定义域为R
探究1：为什么要规定a>0,且a 1呢？
①若a=0，则当x≤0时， ax无意义
②若a<0，对于x的某些数值，可能使 ax无意义11来自如：a 2、a 4等等
③若a=1，则对于任何x R，
a x =1，是一个常量，没有研究的必要性.
思考3:上述函数在其结构上有何共同特点？
思考4:我们把形如 y ax的函数叫做指数函
数，其中x是自变量.为了便于研究，底数a的 取值范围应如何规定为宜？
a 0, a 1
思考5:指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的定义 域是什么？
知识探究（二）:指数函数的图象 思考1:研究函数的基本特性，一般先研究其
探究2：函数 y 2 3x是指数函数吗？
不是！指数函数中要求 a x的系数必须是1
思考:下列函数是指数函数吗,为什么?
y 2x2 y 4x2 y x y 2x
指数函数的图象和性质：
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：
y 2x
列表如下：
y
1
x
2
x -3 -2 -1
2 x 0.13 0.25 0.5
2.1.2指数函数及其性质
图象如下:
y
4 y=2x+1
3 Y=2x
2
1
-2 -1 0 1 2 3
x
思考题: 怎样由y=2x的图象得到y=1+2x的图象。
思考与探究3
观察同一坐标系下不同指数函数的图象，
这些图象总体上看有何规律？幂底数与图象
有何关系？y
y 1 x 2
y 1 x 3
的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是_ｂ__＜_ａ__＜__１_＜__ｄ__＜__ｃ_. 解：ｃ,ｄ大于１且ｃ＞ｄ A B y C D
ａ,ｂ大于０小于１且ｂ＜ａ
∴ｂ＜ａ＜１＜ｄ＜ｃ
O
x
题2.若函数y=2|1-x|+m的图象与x轴有公共点，则m的
取值范围是( A )
A.m≤-1 B.-1≤m＜0
C.m≥1 D.0＜m≤1
例题展示
例 3 求函数 f(x)＝(12)x2－6x＋17 的定义域、值域、单调区间． [解析] 函数 f(x)的定义域为 R.令 t＝x2－6x＋17，则 f(t)＝(12)t. ∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8 在(－∞，3)上是减函数， 而 f(t)＝(12)t 在其定义域内是减函数， ∴函数 f(x)在(－∞，3)上为增函数．
1
O1
x
1
O
1
x
D
A
B
C
解析：函数有意义，需要使 ex ex 0
其定义域为x | x 0 ，排除C、D，
又因为 y = ex + e-x = e2x + 1 = 1 + 2
ex - e-x
e2x - 1
e2x - 1
所以当时x>0时函数为减函数
人教版高中数学必修一2.1.2《指数函数及其性质》word教材分析1
《指数函数及其性质》一、教材分析（一）教材的地位和作用人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书••数学（1）》（人教A版）$2.1.2“指数函数”是在学生系统地学习了函数概念及性质,掌握了指数与指数幂的运算性质的基础上展开研究的。
作为重要的基本初等函数之一,指数函数既是函数近代定义及性质的第一次应用, 又对高中阶段研究对数函数、三角函数等完整的函数知识，初步培养函数的应用意识打下了良好的学习基础，也为今后研究其他函数提供了方法和模式。
指数函数在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以指数函数应重点研究。
（二）课时划分指数函数的教学在中共分三个课时完成。
指数函数的图象及其性质，指数函数及其性质的应用（1），指数函数及其性质的应用（2）。
这是第一课时“指数函数的图象及其性质”。
“指数函数”第一课时是在学习了指数与指数幂的运算基础上学习指数函数的概念和性质，通过学习指数函数的定义，图象及性质，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，并且为学习对数函数作好准备。
二、学情分析（一）有利因素通过初中学段的学习和高中对集合、函数等知识的系统学习，学生对函数和图象的关系已经构建了一定的认知结构，主要体现在三个层面：知识层面：对正比例函数、反比例函数、一次函数，二次函数等最简单的函数概念和性质已有了初步认识，能够从初中运动变化的角度认识函数初步转化到从集合与对应的观点来认识函数。
技能层面：学生对采用“描点法”描绘函数图象的方法已基本掌握，能够为研究《指数函数》的性质做好准备。
由观察到抽象的数学活动过程已有一定的体会，已初步了解了数形结合的思想。
情感层面：学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性。
（二）不利因素本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度。
指数函数及其性质
2.1.2指数函数及其性质课前预习·温故知新 学前温习:1.0a = ；（2）na -= ；（3）mna = ；m na -= .（其中*0,,,1a m n N n >∈>） 2.有理指数幂的运算性质： （1）m n a a = ；（2）()m n a = ；（3）()n ab = .新课感知:1．指数函数的定义：函数 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是2.指数函数的图象和性质： )10(≠>=a a a y x 且的图象和性质a>1 0<a <1 图 象性 质(1) 定义域： （2）值域：（3）过点（ ），即x= 时，y= （4）在 R 上是 函数（4）在R 上是 函数课堂学习·互动探究知识精讲1.指数函数的概念：我们可以从以下几个方面理解指数函数的概念：（1）定义域：因为指数函数的概念已经从整数扩充到实数，在底数a ＞0且a ≠1的情况下，函数的定义域为R ，对任意一个x 都有唯一确定的y 值与之相对应. （2）指数函数的结构特征：①底数：大于0且不等于1的常数； ②指数：自变量x ； ③系数：必须为1.这三个特征是判断函数是指数函数的三个标准，缺一不可，例如函数x y 32⋅=就不是指数函数.（3）规定a>0且a ≠1的原因：①若a=0，则当x>0时，xa =0；当x ≤0时，xa 无意义；②若a<0，则对于x 的某些数值，可使xa 无意义. 如x)2(-，这时对于x=41，x=21，…等等，在实数范围内函数值不存在；③若a=1，则对于任何x ∈R ，xa =1，是一个常量，没有研究的必要性.为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a ≠1.在规定以后，对于任何x ∈R ，xa 都有意义，且xa >0. 因此指数函数的定义域是R ，值域是(0,+∞).2.指数函数的图像及性质：图象特征函数性质1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<<向x 、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R +函数图象都过定点（0，1） 1a 0=自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 1a ,0x x >> 1a ,0x x <> 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 1a ,0x x <<1a ,0x x ><图象上升趋势是越来越陡图象下降趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；需要注意的是：（1）当底数a 大小不定时，必须分1a >和1a 0<<两种情况讨论；（2）指数函数y ＝a x 与y ＝1xa ⎛⎫⎪⎝⎭(a >0，a ≠1)的图象关于y 轴对称；（3）指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系：在y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数由小变大。
2.1.2指数函数及其性质(3)
太原市新希望双语学校高一年级第一学期数学学科练习题2.1.2-3课题：指数函数(3) 责任编辑人：赵晶晶 校对人：杨鹏飞 日期：班级： 姓名：一、选择题：1.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛>=,0,21,0,21x x x x f x 则()()=-4f f （ ） A.-4 B.41- C.4 D. 6 2.函数()()21025--+-=x x y 的定义域是 （ ） A.{}2,5≠≠x x x B.{}2>x x C.{}5>x x D.{}552><<x x x 或 3.若a a 23122121-+⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛，则实数a 的取值范围是 ( )A.()+∞,1B.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21C.()1,∞-D.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21, 4.设函数(),1,1,2,13≥<⎩⎨⎧-=x x x x f x 则满足()()()a f a f f 2=的a 的取值范围是 （ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,32 B.[]1,0 C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,32D.[)+∞,1二、填空题：5.不等式12193-+<x x 的解集为 . 6.方程81323=-x ，则=x .7.方程803322=--+x x ，则=x .8.()=⋅-+⎪⎭⎫ ⎝⎛63430321687 . 9.已知()()x x a a a a -+++>++12126464，则x 的取值范围为 .三、解答题：10.（1）解不等式22112≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ；（2）若43+->x x a a （0>a 且1≠a ）求x 的取值范围.11.设10≤≤x ，求10264+⋅-=--x x y 的最大值和最小值.（选做题）已知定义域为R 的函数()x f 满足()()()y f x f y x f ⋅=+，当0>x 时，()1>x f . ⑴求()0f ；⑵证明：()()()y f x f y x f =-； ⑶判定()x f 的单调性.。
2.1.2指数函数及其性质
x
y
y 2x
y 2x1
y 2x2
y1
o
x
①将指数函数y=2x的图象向左平行移动1个单位
长度,就得到函数y=2x+1的图象;
②将指数函数y=2x的图象向右平行移动2个单位
长度,就得到函数y=2x-2的图象.
函数y=f(x+1)+1的图象可由函数y=f(x)的图象
经过下述哪种变换得到.…………( A )
从而有 1.70.3 0.93.1
3.2 3
2.8 2.6 2.4 2.2
2 1.8
fx = 1.7x 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2
-2
-1.5
-1
-0.5
-0.2
-0.4
0.5
1
1.5
2
2.5
3.2 3
2.8 2.6 2.4 2.2
2 1.8 1.6 1.4 1.2
过点 3, ,求 f 0、f 1、f 3 的值.
分析：指数函数的图象经过点 3, ，
故 f 3 ，
1
即 a3 ， 解得 a 3 x
于是有 f x 3
所以：
f 0 π 0 1,
f
1
1
π3
3
π
,
f
3
π 1
1 π
.
变一变
指数函数 y f (x)的图象经过点 , e ，则
2、指数比较大小的方法； ①同底数幂比较大小,利用指数函数的单调性。
②不同底数幂比较大小,找中间量,如1。
3、指数函数的性质： （1）定义域： （2）函数的特殊值： （3）函数的单调性：
值 域：
◆方法指导:利用函数图像研究函数性质是一种直观而
§2.1.2指数函数及其性质
思 考
思考：为何规定 a 0且a 1？
高中数学必修 ①
x 当 x 0 时 , a 等于0 当a 0时, x 当x 0时,a 无意义 1 1 x 当a 0时, 如y (2) x , x ... ...时， 2 4 函数值在实数范围内不存在!
当a 1 时，函数值y恒等于1，没有研究的必要！
高中数学必修 ①
课后作业
69页
第 6、7题
x
2.指数函数的性质：
（1）定义域： , ； 值域 ：
（2）函数的特殊值：x 0, y 1 0 a 1 时，在R上单调减 （3）函数的单调性： a 1 时，在R上单调增
0,
高中数学必修 ①
课堂小结
3.指数比较大小的方法：
作差法、作商法 构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特征是同 底不同指（包括可以化为同底的），若底数是参变量要 注意分类讨论。 ◆方法指导:利用数形结合的方法研究函数性质是一种直观而 形象的方法，记忆指数函数性质时注意联想它的图像！
1 3
1 3
即f (x)
x 3
f 0 1, f 1 , f 3
1
课堂练习
回顾问题一
③
高中数学必修 ①
< 2 2 ___
2
3
④
0.5
2
1.73
___ > 0.5
2.52
分析： 由a 2 1知， f x 2x 在R上为增函数，
高中数学必修 ①
应 用
x f ( x ) a a 0且a 1 的图 例：已知指数函数
像经过点 3， ，求 f (0), f (1), f (3)的值
教学设计6：2.1.2 指数函数及其性质
§2.1.2 指数函数及其性质【入门向导】指数函数图象诗歌鉴赏多个图象像束花，(0,1)这点把它扎． 撇增捺减无例外，底互倒时纵轴夹． x ＝1为判底线，交点y 标看小大． 重视数形结合法，横轴上面图象察．此诗每行字数相等，且押韵，读起来倍感顺口，内容简洁明了，使读者在无形之中把指数函数图象的特点牢记于心．如图所示的就是上面举的指数函数的图象．不难看出，它们就像一束花．每个指数函数的图象都经过(0,1)这点，所以说“(0,1)这点把它扎”就顺理成章了．对于指数函数的图象来说，“撇增捺减”就绝对是事实．当a >1时，从左往右看指数函数y ＝a x 的图象是上升的，类似于汉字中的撇，这时，指数函数y ＝a x 是增函数；当0<a <1时，从左往右看指数函数y ＝a x 的图象是下降的，类似于汉字的捺，这时，指数函数y ＝a x 是减函数．由y ＝2x 和y ＝(12)x 的图象，可以看出它们是关于y 轴对称的．而底数2与12是倒数，所以自然而然地得到“底互倒时纵轴夹”，这也可以从y ＝3x 和y ＝(13)x 的图象中得到充分的体现．解读指数函数图象的应用 一、要点扫描学习指数函数要记住图象，理解图象，由图象能说出它的性质．关键在于弄清楚底数a 对于函数值变化的影响，对于a >1与0<a <1时函数值变化的情况不同，不能混淆，为此必须利用图象，数形结合．二、指数函数的图象及性质 a >10<a <1图象图 象图象分布在一、二象限，与y 轴相交，落在x 轴的上方都过点(0,1)特 征第一象限的点的纵坐标都大于1； 第二象限的点的纵坐标都大于0且小于1第一象限的点的纵坐标都大于0且小于1； 第二象限的点的纵坐标都大于1从左向右图象逐渐上升从左向右图象逐渐下降性 质定义域为R值域为(0，＋∞)图象过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1x >0⇔y >1； x <0⇔0<y <1 x >0⇔0<y <1； x <0⇔y >1 在R 上是增函数在R 上是减函数三、图象应用 1．比较大小例1 若a <0，则2a ，(12)a,0.2a 的大小顺序是________．解析 分别作出函数y ＝2x ，y ＝(12)x 和y ＝0.2x 的图象，如图所示，从图象可以看出，当a <0时，有0.2a >(12)a >2a .答案 0.2a >(12)a >2a点评 本题涉及三个指数函数图象，因此在作图时，一定要抓住图象的特征点(0,1)或特征线y ＝1及指数函数图象的走向正确作图：当a >1时，底数a 越大图象越陡；当0<a <1时，底数a 越小图象越陡．2．求解方程根的问题例2 确定方程2x ＝－x 2＋2的根的个数．解 根据方程的两端分别设函数f (x )＝2x ，g (x )＝－x 2＋2.在同一坐标系中画出函数f (x )＝2x 与g (x )＝－x 2＋2的图象，如图所示． 由图可以发现，二者仅有两个交点，所以方程2x ＝－x 2＋2的根的个数为2.点评 利用指数函数的图象确定方程的根的关键是要正确作出方程两端对应的函数的图象，遇到含有参数的方程时，还要注意分类讨论．3．求解参数问题例3 若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|＋1(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．解析 当a >1时，通过平移变换和翻折变换可得如图1所示的图象，则由图可知1<2a <2， 即12<a <1与a >1矛盾．当0<a <1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图2所示的图象， 则由图可知1<2a <2， 即12<a <1，即为所求． 答案 12<a <1点评 (1)解答此题时要注意底数的不确定性，因此作图时要注意讨论；(2)根据条件确定直线y ＝2a 与函数的图象位置关系，然后由位置关系建立不等式，进而求得结果，其处理的过程体现了数形结合的思想．指数函数定义学习中的两个注意点定义：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R . 注意点1：为什么要规定a >0且a ≠1呢？ (1)若a ＝0，则当x >0时，a x ＝0； 当x ≤0时，a x 无意义．(2)若a <0，则对于x 的某些数值，可使a x 无意义．如(－2)x ，这时对于x ＝14，x ＝12，…在实数范围内函数值不存在．(3)若a ＝1，则对于任意x ∈R ，a x ＝1是一个常量，没有研究的必要性．为了避免上述各种情况，所以规定a >0且a ≠1.在规定以后，对于任意x ∈R ，a x 都有意义，且a x >0.因此指数函数的定义域是R ，值域是(0，＋∞)．注意点2：函数y ＝3·(12)x 是指数函数吗？根据定义，指数函数的解析式y ＝a x 中，a x 的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y ＝a x ＋k (a >0且a ≠1，k ∈Z )；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y ＝a －x (a >0且a ≠1)，因为它可以化为y ＝(1a )x ，其中1a >0，且1a≠1.习根式和分数指数幂的运算三注意有关根式和分数指数幂的运算，和我们学过的加、减、乘、除运算一样，是十分重要的，它也是我们继续学习指数函数和对数函数的基础．由于这一部分内容的概念较多，初学时很容易出错，首先要注意以下三点．(1)根式的运算中，有开方和乘方两种情况并存的情况，此时要注意两种运算的顺序是否可换．如当a ≥0时，n a m ＝(na )m ，而当a <0时，则不一定可换，应视m ，n 的情况而定．(2)分数指数幂不能对指数随意约分．(3)对分数指数幂的运算结果不能同时含有根号和分数指数，不能同时含有分母和负指数．错例分析一、有关方根的概念不清与忽视方根的性质致错分析 例4 设f (x )＝x 2－4，且0<a ≤1，求f (a ＋1a )的值．错解 f (a ＋1a)＝（a ＋1a）2－4＝（a －1a ）2＝a －1a.剖析 在开方运算中忽视根式的两个重要性质： (1)当n 为奇数时，na n ＝a ； (2)当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.性质(2)在解题中是很容易被忽视的，因为此时的n 为偶数，所以不论a 取怎样的值，na n总有意义．因此在上面的解答中应有：由0<a ≤1，得1a ≥1，所以1a －a ≥0，从而（a ＋1a）2－4＝ (a －1a )2＝|a －1a |＝1a－a .教材中，规定了正分数指数幂的意义a m n ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且mn 为既约分数)，从而指数的概念扩充到了有理数指数，继而又扩充到了实数指数．这时底数、指数的范围发生了变化，这在解题中是很容易被忽视的，由于在后面有关指数函数求定义域的问题中经常用到，这里就不再赘述．三、指数函数图象出错例5 根据函数y＝|2x－1|的图象，判断当实数m为何值时，方程|2x－1|＝m无解？有一解？有两解？错解由方程|2x－1|＝m可得2x＝1±m，结合指数函数的图象(如图)可知：当2x＝1±m≤0，即m≤－1或m≥1时，方程|2x－1|＝m无解；当2x＝1±m>0，即－1<m<1时，方程|2x－1|＝m有一解；不存在实数m使方程|2x－1|＝m有两解．剖析不能充分理解函数图象的交点与方程解的关系．没有充分结合指数函数的图象的变换加以解答．可以把这个问题加以转换，将求方程|2x－1|＝m的解的个数转化为求两个函数y＝|2x－1|与y＝m的图象交点个数去理解，而不能结合运算加以分析，这样容易导致错误．正解函数y＝|2x－1|的图象可由指数函数y＝2x的图象先向下平移一个单位长度，然后再作x轴下方的部分关于x轴的对称图形，如图所示．函数y＝m的图象是与x轴平行的直线，观察两图象的关系可知：当m<0时，两函数图象没有公共点，此时方程|2x－1|＝m无解；当m＝0或m≥1时，两函数图象只有一个公共点，此时方程|2x－1|＝m有一解；当0<m<1时，两函数图象有两个公共点，此时方程|2x－1|＝m有两解．点评由于方程解的个数与它们对应的函数图象交点的个数是相等的，所以对于含字母方程解的个数讨论，往往用数形结合方法加以分析，准确作出相应函数的图象是正确解题的前提和关键.指数运算中的几种变形技巧常见的指数运算问题有：化简、求值、证明等，而分数指数幂的引入为这类问题的解决增加了难度，为帮助大家更好的学习，本文就这类问题的求解方法试作分析．一、逆用公式例1 已知a ＝5，b ＝311，c ＝6123，试比较a ，b ，c 的大小． 解 因为a ＝5＝653＝6125， b ＝311＝6112＝6121，c ＝6123， 而121<123<125，所以a >c >b . 即5>6123>311.例2 计算(3－2)2 008·(3＋2)2 009.分析 注意到两个底数3＋2与3－2互为有理化因式，且它们的指数相差不大，所以互化为同指数计算．解 原式＝(3－2)2 008·(3＋2)2 008·(3＋2) ＝[(3－2)·(3＋2)]2 008·(3＋2) ＝12 008·(3＋2)＝3＋ 2. 五、化负为正例3 化简4x4x ＋2＋41－x 41－x ＋2.解 方法一 原式＝4x4x ＋2＋41－x ·4x 41－x ·4x ＋2·4x＝4x 4x ＋2＋44＋2×4x ＝4x 4x ＋2＋22＋4x ＝4x ＋24x ＋2＝1. 方法二 原式＝4x4x ＋2＋4·4－x 4·4－x ＋2·4x ·4－x＝4x 4x ＋2＋44＋2·4x＝1. 点评 对于式子41－x41－x ＋2，方法一是利用分子分母同时乘4x 化简，而方法二是把2写成2·4x ·4－x ，通过约分化简，两种方法都是巧用4x ·4－x ＝1实现化简的．数函数常见题型解法探究 一、指数函数的定义例4 已知指数函数f (x )的图象经过点(2,4)，试求f (－12)的值．解 设指数函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)，由已知得f (2)＝4，即a 2＝4(a >0，a ≠1)，所以a ＝2.故f (－12)＝2－12＝22.二、考查指数的运算性质例5 若f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝e x ＋e －x2，则f (2x )等于( )A ．2f (x )B ．2g (x )C ．2[f (x )＋g (x )]D ．2f (x )·g (x )解析 f (2x )＝e 2x －e－2x 2＝(e x ＋e －x )(e x －e －x )2＝2·(e x ＋e －x )(e x －e －x )4＝2f (x )·g (x )．故选D. 答案 D三、指数函数的单调性例6 设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2解析 y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝(12)－1.5＝21.5.由于指数函数f (x )＝2x 是R 上的增函数，且1.8>1.5>1.44，所以y 1>y 3>y 2，选D.答案 D四、定义域和值域例7 已知函数y ＝f (x )的定义域为(1,2)，则函数y ＝f (2x )的定义域为________． 解析 由函数的定义，得1<2x <2⇒0<x <1. 所以应填(0,1)． 答案 (0,1)五、图象过定点问题例8 已知不论a 为何正实数，y ＝a x ＋1－2的图象恒过定点，则这个定点的坐标是________．解析 因为指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点(0,1)，而函数y ＝a x ＋1－2的图象可由y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象向左平移1个单位后，再向下平移2个单位而得到，于是，定点(0,1)→(－1,1)→(－1，－1)．所以函数y ＝a x ＋1－2的图象恒过定点(－1，－1)．答案 (－1，－1) 六、图象依据：(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象；(2)函数y ＝f (x )的图象与y ＝f (x ＋a )、y ＝f (x )＋b 、y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝|f (x )|、y ＝f (|x |)的图象之间的关系．例9 利用函数f (x )＝2x 的图象，作出下列各函数的图象： (1)y ＝f (x －1)；(2)y ＝f (|x |)；(3)y ＝f (x )－1； (4)y ＝－f (x )；(5)y ＝|f (x )－1|.解 利用指数函数y ＝2x 的图象及变换作图法可作所要作的函数图象．其图象如图所示：点评 函数y ＝2|x |，y ＝2－|x |，y ＝|2x －1|的值域和单调性如何？七、考查参数的取值范围例10 已知函数y ＝a a 2－2(a x －a －x )(a >0，a ≠1)在(－∞，＋∞)上递增，求a 的取值范围．解 设任意x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)<0， 即aa 2－2(ax 1－a －x 1)－aa 2－2(ax 2－a －x 2) ＝a a 2－2(ax 1－ax 2)(1＋1ax 1＋x 2)<0， 所以(a 2－2)(ax 1－ax 2)<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2>0ax 1－ax 2<0.或⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2<0，ax 1－ax 2>0.解得a >2或0<a <1. 异底指数比大小五法 一、化同底例11 比较20.6，(12)－0.7,80.3的大小．解 化同底得20.6，(12)－0.7＝20.7,80.3＝20.9.因为函数y ＝2x 在R 上是增函数，且0.6<0.7<0.9， 所以20.6<20.7<20.9，即20.6<(12)－0.7<80.3.点评 因为化同底后即可运用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底．二、商比法例12比较下列两个数的大小：1.1－0.2与1.3－0.1.解 因为1.1－0.21.3－0.1＝(1.211.3)－0.1＝(1.31.21)0.1>(1.31.21)0＝1，所以1.1－0.2>1.3－0.1.点评 不同底但可以化为同指数的两数比较大小，用商比法即可迎刃而解，这时要特别注意分母的正负．三、取中间值例13下列大小关系正确的是( ) A ．0.43<30.4<π0 B ．0.43<π0<30.4 C ．30.4<0.43<π0D ．π0<30.4<0.43解析 因为π0＝1,0.43<0.40＝1,30.4>30＝1， 所以0.43<π0<30.4，故选B. 答案 B点评 不同底也不同指数时比较大小，宜先与中间值0或1比较大小，再间接地得出所求解．四、估算法例14 若3a ＝0.618，a ∈[k ，k ＋1]，则k ＝________. 解析 因为k ≤a ≤k ＋1，所以3k ≤3a ≤3k ＋1. 把3a ＝0.618代入得3k ≤0.618≤3k ＋1.估算得13≤0.618≤1，即3－1≤0.618≤30.解得k ＝－1.答案 －1点评 估算法既可快速达到比较大小的目的，又可培养同学们的估算能力，它是同学们必备的一种技能，在考试中解答填空、选择题时可用．五、图解法例15 已知实数a ，b 满足等式(12)a ＝(13)b ，下列五个关系式：①0<b <a ； ②a <b <0； ③0<a <b ； ④b <a <0； ⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 在同一坐标系中，分别画出函数y ＝(12)a ，y ＝(13)b 的图象．由图观察可知，当b <a <0时，等式(12)a ＝(13)b 不可能成立；又当0<a <b 时，等式(12)a ＝(13)b 也不可能成立，故选B.答案 B点评 把所要比较的指数化为指数函数，在同一坐标系中画出它们的图象，可以直观地看出其中的大小关系．指数函数考什么？1．(福建高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＋2＝0.①当a >0时，f (a )＝2a,2a ＋2＝0无解； ②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1， ∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3. 答案 A2．(全国Ⅰ高考)已知函数f (x )＝a －12x ＋1.若f (x )为奇函数，则a ＝________.解析 ∵定义域为R ，且函数为奇函数， ∴f (0)＝0，即a －12＝0，∴a ＝12.答案 123．(全国高考)函数y ＝－e x 的图象( ) A ．与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 B ．与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称 C ．与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称 D ．与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称解析 函数y ＝－e x 与y ＝e －x 的自变量x 取相反数时，函数值y 也为相反数，所以其图象关于原点对称．答案 D4．(湖北高考)若函数y ＝a x ＋b －1 (a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则必有( )A ．a >0，b <1B ．0<a <1，b <0C ．0<a <1，b >0D ．a >1，b <0解析 数形结合是解题中常用的方法之一，熟练掌握基本初等函数的图象及性质是利用数形结合法解题的前提．由指数函数y ＝a x 向下平移1－b 个单位，使1－b >1即可得知．答案 B5．(湖北高考)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x )D.12(e x －e －x ) 解析 ∵f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )．∴f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x .又∵f (x )＋g (x )＝e x ，∴g (x )＝e x －e －x 2. 答案 D。
2.1.2指数函数及其性质
0
0.5 1.41
1
1.5 2.83
2
y 2x
1 y ( )x 2
y
6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o -1 -2 【观察、思考】 -3
2
y
6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6
x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 -1 -2 -3 （备用图）
鸡西市第十九中学高一数学组
鸡西市第十九中学学案
2014 年（ ）月（ ）日 班级 姓名
2.1.2 指数函数及其性质 学习 目标 重点 难点
1．理解 指数函数的概念、意义和性质 ； 2. 会画具体指数函数的图象。 指数函数的概念和性质。 用 数形结合 的方法，从具体到一般的探索、概括指数函数的性质。
【引入】印度的舍罕国王打算重赏国际象棋的发明人．这位聪明的大臣说：“陛下，请 你在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小 格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍．直到摆满棋盘上64格”， 国王说：“你的要求不高，会如愿以偿的”．于是，下令把一袋麦子拿到宝座前，计算 麦粒的工作开始了．还没到第二十小格，袋子已经空了，一袋又一袋的麦子被扛到国王 面前来，但是，麦粒数一格接一格地增长得那样迅速，很快看出，即使拿出来全印度的 粮食，国王也兑现不了他对象棋发明人许下的诺言．想一想，共需要多少粒麦子？
，即 x =
时， y =
。
； 。
当 x 0 时， 当 x 0 时，
自左向右看，图象逐渐 在第一象限内的图象纵坐标都 在第二象限内的图象纵坐标都 图象上升趋势是越来越
自左向右看，图象逐渐 在第一象限内的图象纵坐标都 在第二象限内的图象纵坐标都 图象下降趋势是越来越
人教版高中数学必修一2-1-2《指数函数及其性质》公开课教案
课题：指数函数及其性质2.1.2 指数函数及其性质一、教学目标：1.理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质.2.通过教学，掌握研究函数性质的思路方法，如类比、从特殊到一般等，增强学生识图用图的能力.3.在指数函数的学习过程中，培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会分类讨论思想、数形结合等数学思想. 二、教学重点、难点：教学重点：指数函数的定义、图象和性质.教学难点：指数函数定义、图象和性质的发现总结。
三、教学过程：1.创设情境引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……以此类推，1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系式是什么？生: y 与 x 之间的关系式，可以表示为y ＝2x ，*x N .引例2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”则截取x 次后，木棰剩余量y 与x 的函数关系式是什么？生: y 与 x 之间的关系式，可以表示为1()2x y = ，*x N ∈.问题1: 观察函数12()2xxy y ==与的解析式，这两个函数是不是我们以前学习的一次、二次、反比例函数？这两个函数的解析式有何共同特征？生：不是以前学习的一次、二次、反比例函数，他们的共同特征都是xy a =的形式. 问题2: 你能模仿以前学习的一次、二次、反比例函数的定义，给出这一新型函数的定义吗？学生回答xy a =，若回答不出，教师因势利导，然后板书课题：指数函数及其性质. 2. 指数函数的定义一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .（归纳指数函数的定义，学生可能归纳不全，如想不到限制条件0a >且1a ≠，师直接说即可.）问题3: 在指数函数的定义中，为什么规定底数0a >且1a ≠呢？ 生：(1)若0a =，则当0x >时，0xa =；当0x ≤时，xa 无意义；(2)若a <0，则对x 的某些值，可使xa 无意义，如12,2a x =-=； (3)若1a =，则无论x 取何值，它总是1，没有研究的价值.师：以上同学解释得都有一定道理但不够，底数a 范围的确定，是为了保证a 在这个范围内取值时，这一类函数的定义域永远是相同的.师：请大家来看下面一组练习：判断下列函数是不是指数函数？(学生回答)1(1)3x y += (2)3x y = (3)3x y =- 3(4)y x =(5)x y x =(6)x y π= (7)(3)x y =- ()()821xy a =-1(2a >且1)a ≠ 规律总结：指数函数的特征：（1）幂的系数为1；（2）底数是一个正的不等于1常数；（3）指数为自变量x .3. 指数函数的图象师：问题4:要研究一种新函数，如何研究？生：定义—图象—性质-应用师：问题5：研究一个函数，主要研究它的哪些性质呢？ 生：定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性.师：既然我们明晰了研究函数的思路和方法，那请你画指数函数(0,1)xy a a a =>≠且的图象.生：不知道底数a ，画不出来.师：那我们先画哪个指数函数的图象呢？ 生：画12()2xxy y ==与的图象.师：请大家画出以下四个指数函数的图象.()()()()112 2()2133 4()3x x x xy y y y ==== 由学生分组上黑板画图，然后师生一起订正。
最新人教版高一数学《指数函数》教案15篇
人教版高一数学《指数函数》教案15篇人教版高一数学《指数函数》教案15篇人教版高一数学《指数函数》教案(1)课题：§2.1.2指数函数及其性质教学任务：（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；（2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．教学重点：指数函数的的概念和性质．教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．教学过程：一、引入课题（备选引例）1．（合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？到2050年我国的人口将达到多少？你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？2．上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1.073x（x∈N*，x≤20）能否构成函数？3．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？4．上面的几个函数有什么共同特征？二、新课教学（一）指数函数的概念一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析；注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1．巩固练习：利用指数函数的定义解决（教材P68例2、3）（二）指数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．探索研究：1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：（1）（2）（3）（4）（5）2．从画出的图象中你能发现函数的图象和函数的图象有什么关系？可否利用的图象画出的图象？3．从画出的图象（、和）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？4．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上，值域是或；（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；（3）对于指数函数，总有；（4）当时，若，则；（三）典型例题例1．（教材P56例6）．解：（略）例2．（教材P57例7）解：（略）巩固练习：（教材P59习题A组第7题）三、归纳小结，强化思想本节主要学习了指数函数的图象，及利用图象研究函数性质的方法．四、作业布置1．必做题：教材P59习题2．1（A组）第5、6、8、12题．2．选做题：教材P60习题2．1（B组）第1题．人教版高一数学《指数函数》教案(2)3.1.2指数函数的概念教学设计一、教学目标：知识与技能：理解指数函数的概念，能够判断指数函数。
教学设计：2.1.2 指数函数及其性质
2．1.2 指数函数及其性质（分2个课时讲解）第1课时指数函数的概念一．教学目标：1．知识与技能①通过实际问题了解指数函数的实际背景；②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质．③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；2．情感、态度、价值观①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．②培养学生观察问题，分析问题的能力．3．过程与方法展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质．二．重、难点重点：指数函数的概念和性质及其应用．难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用．三、学法与教具：①学法：观察法、讲授法及讨论法．②教具：多媒体．教学过程提出问题1．一种放射性物质不断衰减为其他物质，每经过一年剩留量约是原来的84%，求出这种物质经过x年后的剩留量y与x的关系式是_________．(y=0.84x)2．某种细胞分裂时，由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成十六个，依次类推，一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的关系式是_________．(y=2x)提出问题(1)你能说出函数y=0.84x与函数y=2x的共同特征吗?(2)你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念?(3)为什么指数函数的概念中明确规定a>0，a≠1?(4)为什么指数函数的定义域是实数集?(5)如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数？请你说出它的步骤． 活动：先让学生仔细观察，交流讨论，然后回答，教师提示点拨，及时鼓励表扬给出正确结论的学生，引导学生在不断探索中提高自己的应用知识的能力，教师巡视，个别辅导，针对学生共性的问题集中解决．问题(1)看这两个函数的共同特征，主要是看底数和自变量以及函数值． 问题(2)一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量． 问题(3)为了使运算有意义，同时也为了问题研究的必要性．问题(4)在(3)的规定下，我们可以把a x 看成一个幂值，一个正数的任何次幂都有意义． 问题(5)使学生回想指数函数的定义，根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数，紧扣指数函数的形式．讨论结果：(1)对于两个解析式我们看到每给自变量x 一个值，y 都有唯一确定的值和它对应，再就是它们的自变量x 都在指数的位置上，它们的底数都大于0，但一个大于1，一个小于1，0.84与2虽然不同，但它们是两个函数关系中的常量，因为变量只有x 和y ．(2)对于两个解析式y =0.84x 和y =2x ，我们把两个函数关系中的常量用一个字母a 来表示，这样我们得到指数函数的定义:一般地，函数y =a x (a >0，a ≠1)叫做指数函数，其中x 叫自变量，函数的定义域是实数集R ． (3)a =0时，x >0时，a x 总为0；x ≤0时，a x 没有意义．a <0时，如a =－2，x =21，a x =(－2)21=2-显然是没有意义的．a =1时，a x 恒等于1，没有研究的必要．因此规定a >0，a ≠1．此解释只要能说明即可，不要深化．(4)因为a >0，x 可以取任意的实数，所以指数函数的定义域是实数集R ．(5)判断一个函数是否是一个指数函数，一是看底数是否是一个常数，再就是看自变量是否是一个x 且在指数位置上，满足这两个条件的函数才是指数函数． 提出问题(1)前面我们学习函数的时候，根据什么思路研究函数的性质，对指数函数呢? (2)前面我们学习函数的时候，如何作函数的图象?说明它的步骤． (3)利用上面的步骤，作函数y =2x 的图象．(4)利用上面的步骤，作函数y =(21)x的图象． (5)观察上面两个函数的图象各有什么特点，再画几个类似的函数图象，看是否也有类似的特点?(6)根据上述几个函数图象的特点，你能归纳出指数函数的性质吗? (7)把y =2x 和y =(21)x的图象，放在同一坐标系中，你能发现这两个图象的关系吗? (8)你能证明上述结论吗? (9)能否用y =2x 的图象画y =(21)x的图象?请说明画法的理由． 活动：教师引导学生回顾需要研究的函数的那些性质，共同讨论研究指数函数的性质的方法，强调数形结合，强调函数图象在研究函数性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的运用，渗透概括能力的培养，进行课堂巡视，个别辅导，投影展示画得好的部分学生的图象，同时投影展示课本表21，22及图2.12，2.13及2.14，及时评价学生，补充学生回答中的不足．学生独立思考，提出研究指数函数性质的思路，独立画图，观察图象及表格，表述自己的发现，同学们相互交流，形成对指数函数性质的认识，推荐代表发表本组的集体的认识． 讨论结果：(1)我们研究函数时，根据图象研究函数的性质，由具体到一般，一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，有时也通过画函数图象，从图象的变化情况来看函数的性质．(2)一般是列表，描点，连线，借助多媒体手段画出图象，用计算机作函数的图象． (3)列表．作图如图1图1(4)列表．作图如图2图2(5)通过观察图1，可知图象左右延伸，无止境说明定义域是实数．图象自左至右是上升的，说明是增函数，图象位于x 轴上方，说明值域大于0．图象经过点（0，1），且y 值分布有以下特点，x <0时0<y <1，x >0时y >1．图象不关于x 轴对称，也不关于y 轴对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数．通过观察图2，可知图象左右延伸，无止境说明定义域是实数．图象自左至右是下降的，说明是减函数，图象位于x 轴上方，说明值域大于0．图象经过点（0，1），x <0时y >1，x >0时0<y <1．图象不关于x 轴对称，也不关于y 轴对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数． 可以再画下列函数的图象以作比较，y =3x ，y =6x ，y =(31)x ，y =(61)x ．重新观察函数图象的特点，推广到一般的情形．（6）一般地，指数函数y =a x 在a >1和0<a <1的情况下，它的图象特征和函数性质如下表所示．一般地，指数函数y=a x在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：（7）在同一坐标系中作出y=2x和y=(2)x两个函数的图象，如图3．经过仔细研究发现，它们的图象关于y轴对称．图3(8)证明:设点p(x1，y1)是y=2x上的任意一点，它关于y轴的对称点是p1(－x1，y1)，它满足方程y=(21)x=2－x，即点p1(－x1，y1)在y=(21)x的图象上，反之亦然，所以y=2x和y=(21)x两个函数的图象关于y轴对称．(9)因为y=2x和y=(21)x两个函数的图象关于y轴对称，所以可以先画其中一个函数的图象，利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象，同学们一定要掌握这种作图的方法，对以后的学习非常有好处．应用示例例1判断下列函数是否是一个指数函数？y =x 2，y =8x ，y =2·4x ，y =(2a －1)x (a >21，a ≠1)，y =(－4)x ，y =πx ，y =6x 3+2． 活动：学生观察，小组讨论，尝试解决以上题目，学生紧扣指数函数的定义解题，因为y =x 2，y =2·4x ，y =6x 3+2都不符合y =a x 的形式，教师强调y =a x 的形式的重要性，即a 前面的系数为1，a 是一个正常数（也可是一个表示正常数的代数式），指数必须是x 的形式或通过转化后能化为x 的形式． 解：y =8x ，y =(2a －1)x (a >21，a ≠1)，y =(－4)x ，y =πx 是指数函数；y =x 2，y =2·4x ，y =6x 3+2不是指数函数． 变式训练函数y =23x ，y =a x +k ，y =a －x ，y =(a 2)－2x (a >0，a ≠1)中是指数函数的有哪些? 答案：y =23x =(23)x ，y =a －x =(a 1)x ，y =(a 2)－2x =［(a2)－2］x 是指数函数．例2比较下列各题中的两个值的大小: （1）1.72.5与1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2；(3)1.70.3与0.93.1．活动：学生自己思考或讨论，回忆比较数的大小的方法，结合题目实际，选择合理的，再写出（最好用实物投影仪展示写得正确的答案），比较数的大小，一是作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大；二是作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小；三是计算出每个数的值，再比较大小；四是利用图象；五是利用函数的单调性．教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正并及时评价．解法一：用数形结合的方法，如第（1）小题，用图形计算器或计算机画出y =1.7x 的图象，如图4．图4在图象上找出横坐标分别为2.5、3的点，显然，图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以1.72.5<1.73，同理0.8－0.1<0.8－0.2，1.70.3>0.93.1．解法二：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77，1.73≈4.91， 所以1.72.5<1.73．同理0.8－0.1<0.8－0.2，1.7.3>0.93.1．解法三：利用函数单调性，①1.72.5与1.73的底数是1.7，它们可以看成函数y =1.7x ，当x =2.5和3时的函数值；因为1.7>1，所以函数y =1.7x 在R 上是增函数，而2.5<3，所以1.72.5<1.73； ②0.8－0.1与0.8－0.2的底数是0.8，它们可以看成函数y =0.8x ，当x =－0.1和－0.2时的函数值；因为0<0.8<1，所以函数y =0.8x 在R 上是减函数，而－0.1>－0.2，所以0.8－0.1<0.8－0.2；③因为1.70.3>1，0.93.1<1，所以1.70.3>0.93.1．点评：在第（3）小题中，可以用解法一、解法二解决，但解法三不适合．由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小，这里的1是中间值． 思考在上面的解法中你认为哪种方法更实用?活动：学生对上面的三种解法作比较，解题有法但无定法，我们要采取多种解法，在多种解法中选择最优解法，这要通过反复练习，强化来实现． 变式训练1．已知a =0.80.7，b =0.80.9，c =1.20.8，按大小顺序排列a ，b ，c ． 答案：b <a <c (a 、b 可利用指数函数的性质比较，而c 是大于1的)． 2．比较a 31与a 21的大小（a ＞0且a ≠0）．答案：分a ＞1和0<a <1两种情况讨论．当0<a <1时，a 31>a 21；当a >1时，a 31<a 21．例3求下列函数的定义域和值域:(1)y =241-x ；(2)y =(32)||x -；(3)y =10112-+x x ．活动：学生先思考，再回答，由于指数函数y =a x ，(a ＞0且a ≠1)的定义域是R ，所以这类类似指数函数的函数的定义域要借助指数函数的定义域来求，教师适时点拨和提示，求定义域，只需使指数有意义即可，转化为解不等式． 解：(1)令x －4≠0，则x ≠4，所以函数y =241-x 的定义域是｛x ∈R ∈x ≠4｝，又因为41-x ≠0，所以241-x ≠1，即函数y =241-x 的值域是｛y |y >0且y ≠1｝．(2)因为－|x |≥0，所以只有x =0． 因此函数y =(32)||x -的定义域是｛x ∈x =0｝．而y =(32)||x -=(32)0=1，即函数y =(32)||x -的值域是｛y ∈y =1｝．(3)令12+x x ≥0，得12+x x ≥0，即11+-x x ≥0，解得x <－1或x ≥1， 因此函数y =10112-+x x 的定义域是｛x ∈x <－1或x ≥1｝．由于12+x x －1≥0，且12+x x≠2，所以112-+x x ≥0且112-+x x ≠1． 故函数y =10112-+x x的值域是｛y ∈y ≥1，y ≠10｝．点评：求与指数函数有关的定义域和值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性，特别是第(1)题千万不能漏掉y >0． 变式训练求下列函数的定义域和值域: (1)y =(21)22x x -；(2)y =91312--x ；(3)y =a x －1(a >0，a ≠1)． 答案：(1)函数y =(21)22x x -的定义域是R ，值域是［21，+∞）；(2)函数y =91312--x 的定义域是［21-，+∞），值域是［0，+∞）；(3)当a >1时，定义域是{x |x ≥0}，当0<a <1时，定义域是{x |x ≤0}，值域是［0，+∞）． 知能训练课本P 58练习 1、2． 【补充练习】1．下列关系中正确的是( )A ．(21)32<(51)12<(21)31B ．(21)31<(21)32<(51)32C ．(51)32<(21)31<(21)32D ．(51)32<(21)32<(21)31答案：D2．函数y =a x (a >0，a ≠1)对任意的实数x ，y 都有( ) A ．f (xy )=f (x )·f (y ) B ．f (xy )=f (x )+f (y )C．f(x+y)=f(x)·f(y) D．f(x+y)=f(x)+f(y)答案：C3．函数y=a x+5+1(a>0，a≠1)恒过定点________．答案：（－5，2）拓展提升探究一：在同一坐标系中作出函数y=2x，y=3x，y=10x的图象，比较这三个函数增长的快慢．活动：学生深刻回顾作函数图象的方法，交流作图的体会．列表、描点、连线，作出函数y=2x，y=3x，y=10x的图象，如图5．图5从表格或图象可以看出:(1)x<0时，有2x>3x>10x；(2)x>0时，有2x<3x<10x；(3)当x从0增长到10，函数y=2x的值从1增加到1 024，而函数y=3x的值从1增加到59 049．这说明x>0时y=3x比y=2x的函数值增长得快．同理y=10x比y=3x的函数值增长得快．因此得：一般地，a>b>1时，(1)x<0时，有a x<b x<1；(2)x=0时，有a x=b x=1；(3)x>0时，有a x>b x>1；(4)指数函数的底数越大，x>0时其函数值增长就越快．探究二：分别画出底数为0.2、0.3、0.5的指数函数的图象(图6)，对照底数为2、3、5的指数函数的图象，研究指数函数y=a x(0<a<1)中a对函数的图象变化的影响．图5由此得：一般地，0<a<b<1时，(1)x>0时，有a x<b x<1；(2)x=0时，有a x=b x=1；(3)x<0时，有a x>b x>1；(4)指数函数的底数越小，x>0时，其函数值减少就越快．课堂小结1．指数函数的定义．2．指数函数的图象和性质．3．利用函数的图象说出函数的性质，即数形结合的思想(方法)，它是一种非常重要的数学思想和研究方法．4．利用指数函数的单调性比较几个数的大小，特别是中间变量法．作业课本P59习题2.1 A组5、6、8、10．第2课时指数函数的应用一．教学目标：1．知识与技能①进一步熟练掌握指数函数的概念、图象、性质；②会求指数形式的函数定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性、奇偶性；③能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小，解不等式．2．情感、态度、价值观①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．②培养学生观察问题，分析问题的能力．3．过程与方法能够解决指数函数有关的应用问题．二．重、难点重点：指数函数的概念和性质及其应用．难点：能够解决指数函数有关的应用问题．三、学法与教具：①学法：观察法、讲授法及讨论法．②教具：多媒体．教学过程1、复习指数函数的图象和性质提出问题(1)指数函数有哪些性质?(2)利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些?(3)对复合函数，如何证明函数的单调性?(4)如何判断函数的奇偶性，有哪些方法?活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容.讨论结果：(1)指数函数的图象和性质一般地，指数函数y=a x在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：(4)x >0时，y >1;x <0时，0<y <1(4)x >0时，0<y <1;x <0时，y >1 （5）在R 上是增函数（5）在R 上是减函数(2)依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤是：①取值.即设x 1、x 2是该区间内的任意两个值且x 1＜x 2. ②作差变形.即求f （x 2）－f （x 1），通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形.③定号.根据给定的区间和x 2－x 1的符号确定f （x 2）－f （x 1）的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论.④判断.根据单调性定义作出结论.(3)对于复合函数y =f (g (x ))可以总结为:当函数f (x )和g (x )的单调性相同时，复合函数y =f (g (x ))是增函数;当函数f (x )和g (x )的单调性相异即不同时，复合函数y =f (g (x ))是减函数;又简称为口诀“同增异减”.(4)判断函数的奇偶性:一是利用定义法，即首先是定义域关于原点对称，再次是考察式子f (x )与f (－x )的关系，最后确定函数的奇偶性;二是作出函数图象或从已知图象观察，若图象关于原点或y 轴对称，则函数具有奇偶性.2、例题讲解例1：（P 66例7）比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5 与 1.73( 2 )0.10.8-与0.20.8-( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1解法1：用数形结合的方法，如第（1）小题，用图形计算器或计算机画出 1.7xy =的图象，在图象上找出横坐标分别为2.5， 3的点，显然，图象上横坐标就为3的点在横坐标1.7x y =为2.5的点的上方，所以 2.531.7 1.7<.解法2：用计算器直接计算： 2.51.7 3.77≈ 31.7 4.91≈所以， 2.531.7 1.7<解法3：由函数的单调性考虑因为指数函数 1.7x y =在R 上是增函数，且2.5＜3，所以， 2.531.7 1.7< 仿照以上方法可以解决第（2）小题 .注：在第（3）小题中，可以用解法1，解法2解决，但解法3不适合 .由于1.70.3=0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小 .思考：1、已知0.70.90.80.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c .2. 比较1132a a 与的大小（a ＞0且a ≠0）.指数函数不仅能比较与它有关的值的大小，在现实生活中，也有很多实际的应用. 例2（P 67例8）截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？分析：可以先考试一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：1999年底 人口约为13亿经过1年 人口约为13（1+1%）亿经过2年 人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)2亿经过3年 人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿经过x 年 人口约为13(1+1%)x 亿经过20年 人口约为13(1+1%)20亿解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x 年后，我国人口数为y 亿，则 13(11%)x y =+当x =20时，2013(11%)16()y =+≈亿答：经过20年后，我国人口数最多为16亿.小结：类似上面此题，设原值为N ，平均增长率为P ，则对于经过时间x 后总量(1),(1)(x x x y N p y N p y ka K R =+=+=∈像等形如，a ＞0且a ≠1）的函数称为指数型函数 .思考：P 68探究：（1）如果人口年均增长率提高1个平分点，利用计算器分别计算20年后，33年后的我国人口数 .（2）如果年平均增长率保持在2%，利用计算器2020~2100年，每隔5年相应的人口数 .（3）你看到我国人口数的增长呈现什么趋势？（4）如何看待计划生育政策？例3设a >0，f (x )=x x ea a e +在R 上满足f (－x )=f (x ). (1)求a 的值;(2)证明f (x )在(0，+∞)上是增函数.活动：学生先思考或讨论，如果有困难，教师提示，引导.(1)求单独一个字母的值，一般是转化为方程，利用f (－x )=f (x )可建立方程.(2)证明增减性一般用定义法，回忆定义法证明增减性的步骤，规范书写的格式.(1)解：依题意，对一切x ∈R 有f (－x )=f (x )成立，即x ae1+ae x =x x e a a e +. 所以)1)(1(x x ee a a --=0对一切x ∈R 成立.由此可得a a 1-=0，即a 2=1. 又因为a >0，所以a =1.(2)证明:设0<x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)=212111x x x x e e e e -+-=)11)((2121--+x x x x e e e =)1(121--x x x e e ·2121)1(x x x x e e ++-. 由x 1>0，x 2>0，x 2－x 1>0，得x 2+x 1>0，12x x e ->0，112x x e +-<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在（0，+∞）上是增函数.点评：在已知等式f (－x )=f (x )成立的条件下，对应系数相等，求出a ，也可用特殊值求解.证明函数的单调性，严格按定义写出步骤，判断过程尽量明显直观.知能训练求函数y =(21)|1+2x |+|x －2|的单调区间.活动：教师提示，因为指数含有两个绝对值，要去绝对值，要分段讨论，同时注意底数的大小，分析出指数的单调区间，再确定函数的单调区间，利用复合函数的单调性学生思考讨论，然后解答.解：由题意可知2与21-是区间的分界点. 当x <21-时，因为y =(21)－1－2x －x +2=(21)1－3x =23x －1=21•8x ， 所以此时函数为增函数. 当21-≤x <2时，因为y =(21)1+2x －x +2=(21)3+x =2－3－x =81•(21)x ， 所以此时函数为减函数. 当x ≥2时，因为y =(21)1+2x +x －2=(21)3x －1=21－3x =2•(81)x ， 所以此时函数为减函数.当x 1∈［21-，2），x 2∈［2，+∞）时，因为2•(81)x 2－81•(21)x 1=12222233x x •-•-- =1233122x x ----，又因为1－3x 2－(－3－x 1)=4－3x 2+x 1=4+x 1－3x 2<0，所以1－3x 2<－3－x 1，即2•(81)x 2<81•(21)x 1. 所以此时函数为减函数. 综上所述，函数f (x )在（－∞，21-］上单调递增，在［21-，+∞）上单调递减. 拓展提升设m <1，f (x )=244+x x，若0<a <1，试求: (1)f (a )+f (1－a )的值; (2))10011000()10013()10012()10011(f f f f ++++ 的值. 活动：学生思考，观察，教师提示学生注意式子的特点，做这种题目，一定要有预见性，即第(2)问要用到第(1)问的结果，联系函数的知识解决.解：(1)f (a )+f (1－a )=24424411+++--a a a a =24444244+++a a a a =aa a 4244244•+++=a a a 422244+++=2424++a a =1. (2))10011000()10013()10012()10011(f f f f ++++ =［)]1001501()1001500([)]1001999()10002([)]10011000()10001([f f f f f f ++++++ =500×1=500.点评：第(2)问是第(1)问的继续，第(1)问是第(2)问的基础，两个问号是衔接的，利用前一个问号解决后一个问号是我们经常遇到的情形，要注意问号与问号之间的联系.课堂小结本节课复习了指数函数的性质，借助指数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的函数图象的变换进行了学习，要高度重视，在不断学习中升华提高.作业：P 69 A 组第 7 ，8 题 P 70 B 组 第 1，4题。
指数函数及其性质知识点总结超详细版(共66页)
指数函数及其性质知识点总结本节知识点（1）指数函数的概念 （2）指数函数的图象和性质 （3）指数函数的定义域和值域 （4）指数函数的单调性及其应用 （5）指数函数的图象变换 知识点一 指数函数的概念一般地,函数xa y =（0>a 且1≠a ）叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R . 1.为什么规定“0>a 且1≠a ”?答:若0=a ,则当0>x 时,0=x a ,当x ≤0时,xa 无意义;若0<a ,则对于x 的某些值,xa 无意义,如函数()xy 2-=,当 41,21=x 时,函数无意义;若1=a ,则对任意的∈x R ,都有1=x a ,没有研究的必要.基于上面的原因,在指数函数的定义中,规定0>a 且1≠a .上面的定义,是形式定义. 2.为什么指数函数的定义域是R ?答:对于指数幂来说,当底数大于0时,指数已经由整数指数推广到了实数指数,所以在指数函数的定义里面,自变量的取值范围是全体实数,即函数的定义域为R . 3.指数函数的结构特征指数函数的定义是形式上的定义,其函数解析式的结构具有非常明显的特征,如下: （1）指数中只有一个自变量x ,而不是含自变量的多项式; （2）xa 的系数必须为1,不能是其它的数字,也不能含有自变量; （3）底数a 必须满足0>a 且1≠a 的一个常数.根据上面的三个特征,可以判断一个函数是否为指数函数,也可以在已知指数函数的前提下,求参数的值或参数的取值范围.例1. 已知函数()()x a a x f ⋅-=32是指数函数,求a 的值. 分析:本题考查指数函数的定义,指数函数的定义有三个特征: （1）指数的位置只有一个自变量,但不是含自变量的多项式; （2）底数是一个大于0且不等于1的常数;（3）x a 的系数必须为1.解:∵函数()()x a a x f ⋅-=32是指数函数∴⎪⎩⎪⎨⎧≠>=-10132a a a ,解之得:2=a . 例2. 已知指数函数()()32--+=a a a y x 的图象过点()4,2,则=a _________.解:由题意可得:()()⎪⎩⎪⎨⎧≠>=--10032a a a a ,解之得:2=a 或3=a .∵函数的图象经过点()4,2 ∴2=a .例3. 若指数函数()x f 的图象经过点()9,2,求()x f 的解析式及()1-f 的值. 解:设函数()x a x f =.∵其图象经过点()9,2,∴2239==a ,∴3=a . ∴()x f 的解析式为()x x f 3=. ∴()31311==--f . 例4. 函数()x a a a y 442+-=是指数函数,则a 的值是【 】 （A ）4 （B ）1或3 （C ）3 （D ）1解:由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧≠>=+-101442a a a a ,解之得:3=a .∴x y 3=.选择【 C 】.例5. 若函数()xa y 12-=（x 是自变量）是指数函数,则a 的取值范围是_________.解:∵函数()xa y 12-=是指数函数∴⎩⎨⎧≠->-112012a a ,解之得:21>a 且1≠a .∴a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠>121a a a 且.例6. 若函数()xa a y 32-=是指数函数,求实数a 的取值范围.解:∵函数()xa a y 32-=是指数函数∴⎩⎨⎧≠->-130322a a a a ,解之得:⎪⎩⎪⎨⎧±≠<>213303a a a 或. ∴实数a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧±≠<>213303a a a a 且或.知识点二 指数函数的图象和性质一般地,指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象和性质如下表所示:指数函数函数值的特点:（1）当10<<a 时,若0<x ,则恒有1>y ;若0>x ,则恒有10<<y ; （2）当1>a 时,若0<x ,则恒有10<<y ;若0>x ,则恒有1>y . 1. 指数函数图象的画法对于指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）,当0=x 时,1=y ;当1=x 时,a y =;当1-=x时,a y 1=.所以指数函数的图象经过三个关键点:()1,0,()a ,1和⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,1.在画指数函数图象的草图时,应抓住以上三个关键点作图.（1）由于指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象经过点()a ,1,所以指数函数的图象与直线1=x 的交点的纵坐标等于函数的底数.交点的位置越高,底数a 就越大. （2）由于指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛-a 1,1,所以指数函数的图象与直线1-=x 的交点的纵坐标等于底数的倒数.交点的位置越高,a1越大,底数就越小. 2. 函数xa y =（0>a 且1≠a ）与函数xa y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1（0>a 且1≠a ）的图象的关系在同一平面直角坐标系中,函数xa y =（0>a 且1≠a ）与函数xa y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1（0>a 且1≠a ）的图象关于y 轴对称.即两个指数函数底数互为倒数,图象关于y 轴对称. 如下图所示,指数函数x y 2=与xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的图象关于y 轴对称.（1）指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）与函数xa y -=（0>a 且1≠a ）的图象关于x 轴对称.如上右图所示,指数函数xy 2=与函数xy 2-=的图象关于x 轴对称.（2）指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）与函数xa y --=（0>a 且1≠a ）（即xa y ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1）的图象关于原点对称（成中心对称）.如下图所示,指数函数x y 2=与函数xy --=2（即xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21）的图象关于原点对称.3.与指数函数有关的恒过定点问题由于指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象恒过定点()1,0,因此我们讨论与指数函数有关的函数的图象过定点的问题时,只需令指数等于0,解出相应的y x ,,即为定点坐标.例7. 函数()531-=-x a x f （1,0≠>a a 且）的图象恒过定点_________. 解:令01=-x ,则1=x ,2513-=-⨯=y .∴函数()531-=-x a x f （1,0≠>a a 且）的图象恒过定点()2,1-.例8. 函数1-=x a y （1,0≠>a a 且）的图象恒过定点P ,则点P 的坐标为【 】 （A ）()1,0 （B ）()1,1 （C ）()1,1- （D ）()0,1 解:令01=-x ,则1=x ,10==a y . ∴定点P 的坐标为()1,1.选择【 B 】.例9. 函数1+=x a y （1,0≠>a a 且）的图象恒过的定点坐标为_________. 解:令01=+x ,则1-=x ,10==a y .∴函数1+=x a y （1,0≠>a a 且）的图象恒过定点()1,1-.例10. 函数33+=-x a y （1,0≠>a a 且）的图象过定点_________.解:令03=-x ,则3=x ,43130=+=+=a y .∴函数33+=-x a y （1,0≠>a a 且）的图象过定点()4,3.例11. 如果指数函数()()xa x f 1-=是R 上的减函数,那么a 的取值范围是【 】（A ）2<a （B ）2>a （C ）21<<a （D ）10<<a分析 对于指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）,当10<<a 时,函数的图象从左到右是下降的,函数为R 上的减函数.解:∵函数()()xa x f 1-=是R 上的减函数∴110<-<a ,解之得:21<<a . ∴a 的取值范围是()2,1.选择【 C 】.例12. 已知集合{}3<=x x A ,{}42>=x x B ,则=B A __________. 分析:指数函数x y 2=为R 上的增函数. 解:42>x ,222>x∵函数x y 2=为R 上的增函数 ∴2>x ,∴{}2>=x x B ∴{}32<<=x x B A .例13. 解不等式22112>⎪⎭⎫ ⎝⎛-x .解:()22121>--x ,2221>-x∵函数x y 2=为R 上的增函数 ∴121>-x ,解之得:0<x . ∴原不等式的解集为()0,∞-. 例14. 不等式422<-xx 的解集为__________.解:2222<-xx∵函数x y 2=为R 上的增函数 ∴22<-x x ,解之得:21<<-x . ∵原不等式的解集为()2,1-.4.指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的底数a 对函数图象的影响 底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”:（1）当1>a 时,指数函数的图象是上升的,函数是R 上的增函数.底数越大,函数图象在y 轴右侧部分越接近于y 轴,即图象越陡,说明函数值增长得越快;（2）当10<<a 时,指数函数的图象是下降的,函数为R 上的减函数.底数越小,函数图象在y 轴左侧部分越接近于y 轴，即函数图象越陡,说明函数值减小得越快.根据上面的介绍,在上图中,各个指数函数的底数之间的大小关系为:01>>>>>>>f e d c b a .前面已经提到,因为指数函数x a y =（0>a ,且1≠a ）的图象经过三个关键点:()1,0,()a ,1和⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,1,所以直线1=x 与指数函数图象的交点即为点()a ,1,交点的纵坐标等于指数函数的底数,故底数越大,交点的位置越高.于是有下面的结论:结论 底数a 的大小决定了指数函数图象相对位置的高低:不论是1>a 还是10<<a ,在第一象限内底数越大,函数图象越靠上.简记为:在y 轴右侧,底大图高.另外,直线1-=x 与指数函数图象的交点为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,1（即()1,1--a ）,交点的纵坐标等于底数的倒数,故底数越小,倒数越大,交点的位置越高.简记为:在y 轴左侧,底大图低.5.指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）与xb y =（0>b 且1≠b ）的图象特点（1）若1>>b a ,则当0<x 时,总有10<<<xxb a ;当0=x 时,总有1==xxb a ;当0>x 时,总有1>>x x b a ;（2）若10<<<a b ,则当0<x 时,总有1>>xxa b ;当0=x 时,总有1==xxb a ;当0>x 时,总有10<<<x x a b .综上所述,当0>x ,0>>b a ,且1≠a ,1≠b 时,总有xx b a >;当0<x ,0>>b a ,且1≠a ,1≠b 时,总有xx b a <.6. 指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象和性质再说明 指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的定义域是R ,值域是()+∞,0.图象:（1）若1>a ,当-∞→x 时,0→y ,即x 的值越小,函数的图象越接近于x 轴,但不相交; （2）若10<<a ,当+∞→x 时,0→y .即x 的值越大,函数的图象越接近于x 轴,但不相交.因此,x 轴（即直线0=y ）是指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象的一条渐近线. 性质:（1）若1>a ,则当0>x 时,总有1>y ,即函数图象y 轴右侧的部分在直线1=y 的上方;当0<x 时,总有10<<y ,即函数图象y 轴左侧的部分在直线1=y 和x 轴之间. （2）若10<<a ,则当0>x 时,总有10<<y ,即函数图象y 轴右侧的部分在直线1=y 和x 轴之间;当0<x 时,总有1>y ,即函数图象y 轴左侧的部分在直线1=y 的上方.例15. 设0>x ,且x x a b <<1,则【 】（A ）10<<<a b （B ）10<<<b a （C ）a b <<1 （D ）b a <<1 解法一:∵0>x ,且x x a b <<1∴指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）和x b y =（0>b 且1≠b ）在y 轴右侧的图象f x () =12(都在直线1=y 的上方,它们的的图象是上升的,∴1>a ,1>b∵在y 轴右侧,指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象在x b y =（0>b 且1≠b ）的图象的上方∴根据第一象限“底大图上”,有b a >. ∴1>>b a .选择【 C 】.解法二:∵x x a b <<1,∴x x a a b b <<00, ∵0>x ,∴1,1>>a b . ∵x x a b <,0>x a ,0>x∴1<⎪⎭⎫⎝⎛=xx x a b a b ,∴10<<a b ,∴b a >.∴1>>b a .例16. 已知实数b a ,满足ba ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛3121,给出下面的五种关系,则其中可能成立的序号为__________.①b a <<0; ②a b <<0; ③0<<a b ; ④0<<b a ; ⑤0==a b . 分析:采用数形结合的方法解决本题:在同一平面直角坐标系中分别画出指数函数x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21和xy ⎪⎭⎫⎝⎛=31的草图,在画图时要注意y 轴左侧“底小图高”和y 轴右侧“底大图高”,还有指数函数的图象都经过定点()1,0.解:如下图所示,在同一平面直角坐标系中分别画出函数x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21和xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=31的图象.为便于观察并发现问题,设m ba=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛3121.当0<x 时,有0<<b a ; 当0>x 时,有a b <<0;当0=x 时,有0==b a ,此时1=m . ∴可能成立的序号为②④⑤.例17. 设3132⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ,3231⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ,3131⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ,则c b a ,,的大小关系是【 】 （A ）b c a >> （B ）c b a >> （C ）b a c >> （D ）a c b >>分析:（1）对于同底数幂比较大小,则可以利用指数函数的单调性比较.如本题中b 与c 的大小比较;（2）对于非同底数幂比较大小,则要借助于中间量或借助于指数函数的图象比较大小.如本题中a 与c 的大小比较.本题知识储备（1）对于指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）,当10<<a 时,函数在R 上为减函数,即y 随x 的增大而减小.（2）对于指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）与xb y =（0>b 且1≠b ）,若b a >,则当0<x 时,xxb a <;当0>x 时,xxb a >.解:∵指数函数xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=31在R 上为减函数∴31323131⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛,即b c >. ∵3132>,∴31313132⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛,即c a >. ∴b c a >>,选择【 A 】.另外,也可以这样比较a 与c 的大小:∵12231323132031313131=>=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=ca ,∴c a >. 例18. 设6.06.0=a ,5.16.0=b ,6.05.1=c ,则c b a ,,的大小关系是__________.解:∵指数函数xxy ⎪⎭⎫⎝⎛==536.0在R 上为减函数∴6.05.16.06.0<,即a b <. ∵16.06.006.0=<,15.15.106.0=>∴6.06.05.16.0<,即c a <. ∴c a b <<.另外,根据: 对于指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）与x b y =（0>b 且1≠b ）,若b a >,则当0<x 时,x x b a <;当0>x 时,xx b a >.可直接得到c a <.例19. 设9.014=y ,61.028=y ,5.1321-⎪⎭⎫⎝⎛=y ,则【 】（A ）321y y y >> （B ）312y y y >> （C ）231y y y >> （D ）123y y y >>分析:三个幂是不同底数的幂,但每个幂根据底数与2的关系都可以化为以2为底的幂,最后借助于指数函数的单调性即可得到三者之间的大小关系. 解:∵9.014=y ,61.028=y ,5.1321-⎪⎭⎫ ⎝⎛=y∴()8.19.02122==y ,()83.161.03222==y ,()5.15.11322==--y .∵指数函数x y 2=在R 上为增函数∴83.18.15.1222<<,即61.09.05.18421<<⎪⎭⎫⎝⎛-∴312y y y >>.选择【 B 】.例20. 设1212121<⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<ab ,那么【 】（A ）a b a b a a << （B ）b a a a b a << （C ）a a b b a a << （D ）a a b a b a <<解:∵1212121<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<a b ,∴0121212121⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛a b . ∵指数函数xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21为R 上的减函数∴10<<<b a .在同一平面直角坐标系中分别画出函数x a y =与x b y =的图象如下页图所示.x x由图象可得:a a b b a a <<.选择【 C 】.知识点三 指数函数的定义域和值域 1 定义域（1）指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的定义域为R . （2）函数()x f ay =（0>a 且1≠a ）的定义域与函数()x f 的定义域相同.（3）函数()xa f y =的定义域与函数()x f 的定义域不一定相同.例如,函数()x x f =的定义域为[)+∞,0,而函数x a y =的定义域为R .注意:求指数型复合函数的定义域时,先观察函数是()xa f y =型还是()x f ay =型.例21. 函数()3121++-=x x f x 的定义域为【 】（A ）(]0,3- （B ）(]1,3-（C ）()(]0,33,--∞- （D ）()(]1,33,--∞-解:由题意可得:⎩⎨⎧>+≥-03021x x,解之得:x <-3≤0.∴函数()x f 的定义域为(]0,3-.选择【 A 】. 例22. 求下列函数的定义域:（1）xy ⎪⎭⎫⎝⎛-=211; （2）153-=x y .解:由题意可知:x⎪⎭⎫ ⎝⎛-211≥0,∴x⎪⎭⎫ ⎝⎛21≤1021⎪⎭⎫ ⎝⎛=,∴x ≥0.∴该函数的定义域为[)+∞,0;（2）由题意可知:15-x ≥0,解之得:x ≥51.∴该函数的定义域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,51.例23. 函数()2311-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x f x的定义域为__________. 解:由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧≠-≥⎪⎭⎫⎝⎛-020311x x,解之得:x ≥0且2≠x .∴函数()x f 的定义域为[)()+∞,22,0 . 例24. 求函数()423212-⨯-=xxx f 的定义域.解:由题意可得:042322>-⨯-x x∴()()04212>-+x x ,解之得:12-<x （舍去）,42>x . ∵函数x y 2=为R 上的增函数,2242=>x ,∴2>x . ∴函数()x f 的定义域为()+∞,2.2 值域（1）指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的值域为()+∞,0.（2）求形如()x f ay =的函数的值域时,设()x f t =,先求出()x f 的值域（即t 的范围）,然后根据函数ta y =的单调性,即可求出函数()x f a y =的值域.（3）求形如()xa f y =的函数的值域时,转化为求()+∞∈=,0xat 时,函数()t f y =的值域.例25. 求函数1241--=+x x y 的值域. 解:()122212421-⨯-=--=+x x x x y .设x t 2=,则0>t ,∴()211222--=--=t t t y .∵()+∞∈,0t∴()21min -==f y ,无最大值.∴函数1241--=+x x y 的值域为[)+∞-,2. 例26. 求函数1241-+=+x x y 的值域. 解:()122212421-⨯+=-+=+x x x x y .设x t 2=,则0>t ,∴()211222-+=-+=t t t y .∴函数在()+∞∈,0t 上为增函数 ∴函数1241-+=+x x y 的值域为()+∞-,1. 注意例25和例26的区别.例27. 已知函数()1-=x a x f （x ≥0）的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛21,2,其中0>a ,且1≠a .（1）求a 的值;（2）求函数()x f 的值域.分析:求指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）的解析式,只需要其图象上一个点的坐标即可.解:（1）把⎪⎭⎫⎝⎛21,2代入()1-=x a x f 得:21=a ;（2）由（1）知()121-⎪⎭⎫⎝⎛=x x f ,为R 上的减函数∵x ≥0,∴1-x ≥1-,∴()x f <0≤2211=⎪⎭⎫⎝⎛-.∴函数()x f 的值域为(]2,0.注意:指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象位于x 轴的上方,并且在一个方向上无限接近于x 轴,函数的值域为()+∞,0.本题易错结果为(]2,∞-.总结 求形如()x f ay =的函数的值域时,设()x f t =,先求出()x f 的值域（即t 的范围）,然后根据函数t a y =的单调性,即可求出函数()x f ay =的值域.例28. 若函数()1-=x a x f （0>a 且1≠a ）的定义域和值域都是[]2,0,求实数a 的值.分析:指数函数的单调性与底数和1的大小关系有关,若关系不明确,必要时要进行分类讨论. 解:由题意可知:当10<<a 时,函数()1-=x a x f 在[]2,0上为减函数∴⎩⎨⎧=-=-012120a a ,显然无解; 当1>a 时,函数()1-=x a x f 在[]2,0上为增函数∴⎩⎨⎧=-=-210120a a ,解之得:3=a （3-=a 舍去）. 综上所述,实数a 的值为3. 例29. 求下列函数的定义域和值域: （1）412-=x y ; （2）32221--⎪⎭⎫⎝⎛=x x y .本题知识点储备 （1）函数()x f ay =（0>a 且1≠a ）的定义域与函数()x f 的定义域相同.（2）求形如()x f ay =的函数的值域时,设()x f t =,先求出()x f 的值域（即t 的范围）,然后根据函数ta y =的单调性,即可求出函数()x f ay =的值域.解:（1）由题意可得:04≠-x ,解之得:4≠x . ∴函数412-=x y 的定义域为()()+∞∞-,44, .∵041≠-x ,∴122041=≠=-x y ,且0>y . ∴函数412-=x y 的值域为{}10≠>y y y 且;（2）函数32221--⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 的定义域为R .∵()413222--=--x x x ≥4-∴32221--⎪⎭⎫ ⎝⎛x x ≤16214=⎪⎭⎫ ⎝⎛-,且021322>⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x .∴函数32221--⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 的值域为(]16,0.例30. 求下列函数的定义域和值域:（1）xy -⎪⎭⎫⎝⎛=32; （2）222x x y -=.解:（1）函数xy -⎪⎭⎫⎝⎛=32的定义域为R .∵x ≥0,∴x -≤0. ∴1320min=⎪⎭⎫⎝⎛=y ∴函数xy -⎪⎭⎫⎝⎛=32的值域为[)+∞,1;（2）函数222x x y -=的定义域为R . ∵()11222+--=-x x x ≤1∴()2211max ===f y ,且0>y . ∴函数222x x y -=的值域为(]2,0.例31. 如果函数122-+=x x a a y （0>a 且1≠a ）在[]1,1-上有最大值,且最大值为14,试求a 的值.分析:这是求()x a f y =型函数的定义域和值域.求形如()xaf y =的函数的值域时,转化为求()+∞∈=,0xat 时,函数()t f y =的值域.解:()121222-+=-+=x x x x a a a a y .设x a t =,则0>t ,∴()211222-+=-+=t t t y .当1>a 时,∵[]1,1-∈x ,∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈a a t ,1.∵函数()212-+=t y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈a a t ,1上为增函数∴()14122max =-+==a a a f y ,解之得:3=a （5-=a 不符合题意,舍去）;当10<<a 时,∵[]1,1-∈x ,∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈a a t 1,∵函数()212-+=t y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈a a t 1,上为增函数∴1412112max =-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a f y ,解之得:31=a （51-=a 不符合题意,舍去）.综上所述,3=a 或31=a . 例32. 求函数12141+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=xxy 的值域.解:12121121412+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=xxxxy 设xt ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,则0>t ,∴4321122+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=t t t y . ∴函数43212+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t y 在()+∞∈,0t 上为增函数.取0=t ,得1=y .∴函数12141+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=xx y 的值域为()+∞,1.例33. 已知[]3,2-∈x ,求函数()12141+-=x x x f 的最值. 解:()1212112141121412+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-=xxxxx x x f .设xt ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,∵[]3,2-∈x ,∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,81t .∴4321122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=t t t y∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,81t∴()134,4321max min ===⎪⎭⎫ ⎝⎛=f y f y .例34. 若122+x ≤241-⎪⎭⎫ ⎝⎛x ,则函数x y 2=的值域是_________.解:∵122+x ≤241-⎪⎭⎫ ⎝⎛x ,∴122+x≤()x x 242222---=.∵函数x y 2=在R 上为增函数∴12+x ≤x 24-,解之得:3-≤x ≤1,即[]1,3-∈x .∴函数x y 2=在[]1,3-上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,81.例35. ()1331+=+x x x f 的值域是【 】（A ）()+∞,3 （B ）()3,0 （C ）()2,0 （D ）()+∞,2解法一:()13331331+⋅=+=+x xx x x f 设x t 3=,则()+∞∈,0t ,()()133131313+-+=+-+=+=t t t t t t f . ∵()+∞∈,0t ,∴0133<+-<-t ,∴31330<+-+<t .∴()30<<t f ,即函数()1331+=+x x x f 的值域为()3,0.选择【 B 】.解法二:()xxx xx x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+⋅=+=+3113311313331331. ∵031>⎪⎭⎫ ⎝⎛x ,∴1311>⎪⎭⎫ ⎝⎛+x,∴331130<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<x,∴()()3,0∈x f .例36. 已知定义在R 上的偶函数()x f 满足:当x ≥0时,()x x a x f 22+=,()251=f . （1）求实数a 的值;（2）用定义法证明()x f 在()+∞,0上是增函数; （3）求函数()x f 在[]2,1-上的值域. 解:（1）∵当x ≥0时,()x x a x f 22+=,()251=f ∴2522=+a ,解之得:1=a ; （2）证明:由（1）可知:()xx x f 212+=. 任取()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则()()()()()212121212122112122221212221221221x x x x x x x x x x x x x x x f x f ++--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-∵()+∞∈,0,21x x ,且21x x < ∴02,012,022212121>>-<-++x x x x x x ∴()()()()2121,0x f x f x f x f <<-. ∴()x f 在()+∞,0上是增函数;（3）∵函数()x f 为偶函数,且在[)+∞,0上为增函数 ∴()x f 在(]0,∞-上为减函数 ∴()()20min ==f x f .∵()252211=+=-f ,()4174142=+=f ,25417> ∴在区间[]2,1-上()()4172max ==f x f .∴函数()x f 在[]2,1-上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡417,2.利用单调性法求最值的结论（1）如果函数()x f y =在区间[]b a ,上单调递增,在区间[]c b ,上单调递减,那么函数()x f y =在区间[]c a ,上有最大值)()(max b f x f =.如下页图所示;（2）如果函数()x f y =在区间[]b a ,上单调递减,在区间[]c b ,上单调递增,那么函数()x f y =在区间[]c a ,上有最小值)()(min b f x f =.如下图所示.f x ()max = f b ()f x ()min = f b ()第（3）问另解:∵函数()x f 为定义在R 上的偶函数 ∴()x f 在区间[]0,1-和[]1,0上的值域相同 ∴()x f 在[]2,1-上的值域即在[]2,0上的值域. ∵()x f 在[)+∞,0上为增函数 ∴()x f 在[]2,0上为增函数∴()()20min ==f x f ,()()4172max ==f x f . ∴函数()x f 在[]2,1-上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡417,2.例37. 设函数()axx f -⎪⎭⎫⎝⎛=1021,a 是不为零的常数.（1）若()213=f ,求使()x f ≥4的x 的取值范围; （2）当[]2,1-∈x 时,()x f 的最大值是16,求a 的值.解:（1）∵()axx f -⎪⎭⎫⎝⎛=1021,()213=f ∴2121310=⎪⎭⎫ ⎝⎛-a,∴1310=-a ,解之得:3=a . ∴()()103310122---==x xx f .∵()x f ≥4,∴1032-x ≥22,∴103-x ≥2,解之得:x ≥4. ∴使()x f ≥4的x 的取值范围是[)+∞,4;（2）()()10101102221----==⎪⎭⎫⎝⎛=ax axaxx f .当0>a 时,()x f 在[]2,1-上为增函数∴()()4102max 21622====-a f x f ,∴4102=-a ,解之得:7=a ; 当0<a 时,()x f 在[]2,1-上为减函数∴()()410max 21621===-=--a f x f ,∴410=--a ,解之得:14-=a . 综上所述,7=a 或14-=a .例38. 已知函数()ax a x f -=3（0>a 且1≠a ）. （1）当2=a 时,()4<x f ,求x 的取值范围;（2）若()x f 在[]1,0上的最小值大于1,求a 的取值范围. 解:（1）当2=a 时,()x ax a x f 2332--==.∵()4<x f ,∴223242=<-x ,∴223<-x ,解之得:21>x . ∴x 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21;（2）∵0>a 且1≠a∴函数ax y -=3在[]1,0上为减函数. 当1>a 时,()x f 在[]1,0上为减函数∴()()03min 11a a f x f a =>==-,∴03>-a ,解之得:3<a . ∴31<<a ;当10<<a 时,()x f 在[]1,0上为增函数 ∴()()103min >==a f x f ,显然不成立. 综上所述,a 的取值范围是()3,1.例39. 已知函数()1+=-a x a x f 的图象（0>a 且1≠a ）过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21.（1）求实数a 的值;（2）若函数()121-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x f x g ,求函数()x g 的解析式;（3）在（2）的条件下,若函数()()()12--=x mg x g x F ,求()x F 在[]0,1-∈x 上的最小值()m h .本题知识储备 求形如()xaf y =的函数的值域时,转化为求()+∞∈=,0xat 时,函数()t f y =的值域.解:（1）∵函数()1+=-a x a x f 的图象过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21∴2121=+-a a,解之得:21=a . ∴实数a 的值为21; （2）由（1）知:()12121+⎪⎭⎫⎝⎛=-x x f∵()121-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x f x g∴()xx x g ⎪⎭⎫⎝⎛=-+⎪⎭⎫⎝⎛=-+2111212121;（3）∵()()()12--=x mg x g x F∴()xx x x m m x F ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-212212121212. 设xt ⎪⎭⎫⎝⎛=21,∵[]0,1-∈x ,∴[]2,1∈t∴()()2222m m t mt t t F --=-=,[]2,1∈t .①当2>m 时,()t F 在[]2,1∈t 上为减函数∴()()()442222min +-=--==m m m F t F ,∴()44+-=m m h ;②当1≤m ≤2时,()()2min m m F t F -==,∴()2m m h -=; ③当1<m 时,()t F 在[]2,1∈t 上为增函数∴()()()121122+-=--==m m m F t F ,∴()12+-=m m h .综上所述,()⎪⎩⎪⎨⎧<+-≤≤->+-=1,1221,2,442m m m m m m m h .例40. 已知函数()x a x f =,()m a x g x +=2,其中1,0,0≠>>a a m 且.当[]1,1-∈x 时,()x f y =的最大值与最小值之和为25. （1）求a 的值;（2）若1>a ,记函数()()()x mf x g x h 2-=,求当[]1,0∈x 时,()x h 的最小值()m H . 分析:（1）指数函数()x a x f =（10≠>a a 且）在其定义域内为单调函数,所以指数函数在给定闭区间上的最值在区间的端点处取得,故本问不用进行分类讨论. 解:（1）∵函数()x a x f =（10≠>a a 且）在[]1,1-上为单调函数 ∴由题意可知:()()2511=-+f f . ∴251=+a a ,解之得:2,2121==a a . ∴a 的值为21或2;（2）∵1>a ,∴2=a ,∴()()m x g x f x x +==22,2. ∵()()()x mf x g x h 2-=∴()()m m m m x h x x x x +⋅-=⋅-+=22222222.设x t 2=,∵[]1,0∈x ,∴∈t []2,1 ∴()()m m m t m mt t t h +--=+-=2222①当2>m 时,()t h 在[]2,1上为减函数 ∴()()432min +-==m h t h ,即()43+-=m m H ;②当1≤m ≤2时,()()m m m h t h +-==2min ,即()m m m H +-=2; ③当1<m 时,()t h 在[]2,1上为增函数 ∴()()11min +-==m h t h ,即()1+-=m m H .综上所述,()⎪⎩⎪⎨⎧<+-≤≤+->+-=1,121,2,432m m m m m m m m H .例41. 已知函数()1242--⋅=x x a x f . （1）当1=a 时,解不等式()0>x f ; （2）当21=a ,∈x []2,0时,求()x f 的值域. 解:（1）当1=a 时,()()122212422--=--⋅=x x x x x f . 设x t 2=,则0>t ,()122--=t t t f .∵()0>x f ,∴0122>--t t ,解之得:1>t 或21-<t .∵0>t∴1>t ,∴0212=>x ,∴0>x . ∴不等式()0>x f 的解集为()+∞,0; （2）当21=a 时,()()1221242--=--=x x x x x f . 设xt 2=,∵∈x []2,0,∴∈t []4,1,()4521122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=t t t t f∵()t f 在[]4,1上为增函数∴()()()()114,11max min ==-==f t f f t f .∴函数()t f 的值域为[]11,1-,即函数()x f 在∈x []2,0上的值域为[]11,1-. 例42. 已知函数()x x b a x f +=（其中b a ,为常数,10,10≠>≠>b b a a 且且）的图象经过点()6,1A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-43,1B .（1）求函数()x f 的解析式;（2）若b a >,函数()211+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xx b a x g ,求函数()x g 在[]2,1-上的值域.解:（1）把()6,1A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-43,1B 分别代入()x x b a x f +=得:⎪⎩⎪⎨⎧=+=+43116b a b a ,解之得:⎩⎨⎧==42b a 或⎩⎨⎧==24b a . ∴函数()x f 的解析式为()x x x f 42+=; （2）若b a >,则2,4==b a∴()22141211+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xx x x b a x g设xt ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,∵∈x []2,1-,∴∈t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,41,()4721222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=t t t t g . ∴()4721min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=g t g ,()()42max ==g t g .∴()t g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,41上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,47,即函数()x g 在[]2,1-上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,47.说明:方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+43116b a b a 可以这样求解:∵⎪⎩⎪⎨⎧=+=+43116b a b a ,∴⎩⎨⎧==+86ab b a .∴b a ,是方程0862=+-x x 的两个实数根（方程思想）.解之得:4,221==x x ,∴⎩⎨⎧==42b a 或⎩⎨⎧==24b a .例43. 函数221341+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xxy ,∈x []2,2-的值域是__________.解:设xt ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,∵∈x []2,2-,∴∈t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,41,41232322-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=t t t y . ∴()64,4123max min ==-=⎪⎭⎫⎝⎛=f y f y∴函数41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y 在∈t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,41上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,41.∴函数221341+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xx y ,∈x []2,2-的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,41. 例44. 已知函数()ax xx f ++-=223（∈a R ）.（1）若()271=f ,求a 的值; （2）若()x f 有最大值9,求a 的值. 解:（1）∵()271=f∴3213273==++-a ,∴31=+a ,解之得:2=a ; （2）设()()11222++--=++-=a x a x x x g∴()()11max +==a g x g∴()()21max 3933max ====+a x g x f ,∴21=+a ,解之得:1=a .例45. 若函数()m x f x -=-3的最大值为2,则实数m 的值为【 】 （A ）1- （B ）2- （C ）3- （D ）4- 解:设()x x g -=3,则()x g <0≤130=,即函数()x g 的最大值为1. ∵函数()m x f x -=-3的最大值为2 ∴()2max =-m x g ,∴21=-m 解之得:1-=m .选择【 A 】.例46. 例45的第三种解法 以下几例为求()x a f y =型函数的值域()1331+=+x x x f 的值域是【 】（A ）()+∞,3 （B ）()3,0 （C ）()2,0 （D ）()+∞,2 解:设x t 3=,则0>t ,()13+==t t t f y . ∴03>-=yyt ,解之得:30<<y .选择【 B 】.例47. 函数x y --=328（x ≥0）的值域为__________.不等分析法和单调性法解:∵x ≥0,∴x -≤0,∴x -3≤3 ∴x -<320≤823=,∴8-≤023<--x .∴0≤8283<--x ,0≤8<y ,即函数x y --=328（x ≥0）的值域为[)8,0.注意: 不要漏掉023>-x这一范围.例48. 函数x y 416-=的值域是__________.解:由题意可知:x 40<≤16,∴16-≤04<-x ,∴0≤16416<-x . ∴0≤4416<-x ,0≤4<y . ∴函数x y 416-=的值域是[)4,0. 例49. 函数()xxx f 242-=的定义域是__________,值域是__________. 解:由题意可知:0242>-xx,∴024>-x ,解之得:2<x . ∴函数()x f 的定义域是()2,∞-.设x t 2=,则40<<t （2<x ）,()tt t t g -+-=-=4414. ∵40<<t ,∴04<-<-t ,∴440<-<t ,∴144>-t（可结合图象）∴0441>-+-t ,()0>t g ,∴()0>x f∴函数()x f 的值域为()+∞,0. 例50. 函数xx y +-=112的值域为__________.解:()xxx xx y ++-+++-+-===12112111222∵012≠+x ,∴1121-≠++-x ,∴21221121=≠-++-x ,即21≠y . ∵0>y ,∴该函数的值域为⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,2121,0 .例51. 函数()xx xx x f --+-=10101010的值域是【 】（A ）(][)+∞-∞-,11, （B ）()()+∞-∞-,11, （C ）[]1,1- （D ）()1,1-解:()11021110211011011010110101101010101022222+-=+-+=+-=+-=+-=--x x x x x xx x x x x xxx f . ∵0102>x ,∴11102>+x ,∴2110202<+<x ,∴0110222<+-<-x∴11102112<+-<-x ,即()11<<-x f .∴函数()xx xx x f --+-=10101010的值域是()1,1-.选择【 D 】. 解法二:()11011010110101101010101022+-=+-=+-=--x x xxx x x x x x x f 设t x =210,则0>t ,11+-=t t y∴011>---=y y t ,∴011<-+y y ,解之得:11<<-y . ∴函数()x f 的值域为()1,1-. 例52. 求下列函数的值域:（1）11+-=x x a a y （0>a ,且1≠a ）;（2）124+-=x x y .解:（1）12112111+-=+-+=+-=xx x x x a a a a a y . ∵0>x a ,∴11>+x a ,∴2120<+<x a ,∴0122<+-<-x a ∴11211<+-<-x a ,即11<<-y . ∴该函数的值域为()1,1-.解法二:设x a t =,则0>t ,11+-=t t y ∴011>---=y y t ,∴011<-+y y ,解之得:11<<-y . ∴该函数的值域为()1,1-. （2）()1221242+-=+-=x x x x y设xt 2=,则0>t ,4321122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=t t t y∵()+∞∈,0t ,∴4321min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=f y .∴函数124+-=x x y 的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,43.例53. 已知函数()b a x f x +=（10≠>a a 且）的定义域和值域都是[]0,1-,则=+b a _________.解:当10<<a 时,函数()x f 在[]0,1-上为减函数∴()()⎩⎨⎧-==-1001f f ,即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+1101b b a ,解之得:⎪⎩⎪⎨⎧-==221b a .∴=+b a 23-; 当1>a 时,函数()x f 在[]0,1-上为增函数∴()()⎩⎨⎧=-=-0011f f ,即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+0111b b a ,显然方程组无解.综上所述,=+b a 23-. 例54. 函数124--=x y 的值域为【 】 （A ）[)+∞,1 （B ）()1,1- （C ）()+∞-,1 （D ）[)1,1-解:由题意可知:x 20<≤4,∴4-≤02<-x ,∴0≤424<-x ∴0≤224<-x ,∴1-≤1124<--x ,即1-≤1<y . ∴函数124--=x y 的值域为[)1,1-,选择【 D 】. 例55. 已知函数()13-=-x x f ,则()x f 的【 】 （A ）定义域是()+∞,0,值域是R （B ）定义域是R ,值域是()+∞,0 （C ）定义域是R ,值域是()+∞-,1 （D ）定义域、值域都是R 解:函数()13-=-x x f 的定义域为R . ∵03>-x ,∴13->-x ,即()1->x f∴函数()13-=-x x f 的值域为()+∞-,1.选择【 C 】. 例56. 下列各函数中,值域为()+∞,0的是【 】 （A ）22x y -= （B ）x y 21-= （C ）12++=x x y （D ）113+=x y解:（A ）函数22x y -=的定义域为R ,值域为()+∞,0,故（A ）正确; （B ）∵x 20<≤1,∴1-≤02<-x ,∴0≤121<-x ,∴0≤121<-x . ∴函数x y 21-=的值域为[)1,0;（C ）∵4321122+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=x x x y ≥43 ∴函数12++=x x y 的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,43;（D ）对于函数113+=x y ,因为011≠+x ,所以130=≠y ,且0>y ,故该函数的值域为()()+∞,11,0 .例57. 关于x 的方程0131=--⎪⎭⎫⎝⎛a x有解,则a 的取值范围是__________.解:∵0131=--⎪⎭⎫ ⎝⎛a x,∴131+=⎪⎭⎫ ⎝⎛a x∵x ≥0,∴x⎪⎭⎫ ⎝⎛<310≤1∵方程0131=--⎪⎭⎫⎝⎛a x有解∴10+<a ≤1,解之得:a <-1≤0. ∴a 的取值范围是(]0,1-.例58. 关于x 的方程a a x-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛52353有正实数根,则实数a 的取值范围是_________. 分析:该方程有正实数根指的是0>x .解:∵方程a a x-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛52353有正实数根 ∴0>x ,∴1535300=⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<x,∴15230<-+<a a . 解之得:4332<<-a ,即实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛-43,32. 例59. 已知方程013329=-+⋅-k x x 有两个实数解,求实数k 的取值范围. 分析:设x t 3=,则0>t ,方程可转化为关于t 的一元二次方程,且方程有两个正实数根.结论 一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个正实数根的条件是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=⋅>-=+≥∆0002121ac x x a b x x 解:设x t 3=,则0>t ,∵013329=-+⋅-k x x ,∴01322=-+-k t t由题意可知:方程01322=-+-k t t 有两个正实数根∴()()⎪⎩⎪⎨⎧>-=⋅>=+≥---013020134221212k t t t t k ,解之得:k <31≤32.∴实数k 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛32,31.例60. 已知函数122-+=x x a a y （0>a 且1≠a ）,当x ≥0时,求该函数的值域. 解:设x a t =,则0>t ,()211222-+=-+=t t t y .当1>a 时,∵x ≥0,∴t ≥1∵函数()212-+=t y 在[)+∞,1上为增函数∴()21min ==f y ,∴函数的值域为[)+∞,2; 当10<<a 时,∵x ≥0,∴t <0≤1∴()y f <0≤()1f ,∴y <-1≤2,即函数的值域为(]2,1-.综上所述,当1>a 时,函数的值域为[)+∞,2;当10<<a 时,函数的值域为(]2,1-.知识点四 指数函数的单调性及其应用 1 单调性当1>a 时,函数xa y =在R 上为增函数;当10<<a 时,函数xa y =在R 上为减函数.利用这一性质,可以判断复合函数()x f a y =的单调性,判断的依据是:同增异减.如下表:注意 讨论形如()x f ay =的函数的单调性,首先要确定函数()x f 的单调性,然后结合底数a 的范围来确定函数()x f a y =的单调性.确定的依据是:同增异减.2 单调性的应用 （1）应用于比较大小类型一 比较同底数不同指数的幂的大小,利用指数函数的单调性进行比较;类型二 比较不同底数同指数的幂的大小,借助于函数的图象比较大小,或者借助于口诀:在y 轴右侧（即0>x ）底大图高（函数值大）,在y 轴左侧,底小图高;类型三 比较不同底数不同指数的幂的大小,利用中间量（如0和1）并结合函数的单调性比较大小.（2）应用于解简单不等式 不等式可化为()()x g x f a a<的形式,利用指数函数的单调性,将不等式转化为()()x g x f <（当1>a 时）或()()x g x f >（当10<<a 时）,然后进行求解.例61. 求函数x y -=2的单调性.解:设x t -=,则函数t 在(]0,∞-上为增函数,在[)+∞,0上为减函数 ∴函数x y -=2在(]0,∞-上为增函数,在[)+∞,0上为减函数.例62. 求函数xy -⎪⎭⎫⎝⎛=21的单调性.解:设x t -=,则函数t 在(]0,∞-上为增函数,在[)+∞,0上为减函数∴函数xy -⎪⎭⎫⎝⎛=21在(]0,∞-上为减函数,在[)+∞,0上为增函数.例63. 函数xx y 2221+-⎪⎭⎫⎝⎛=的单调递增区间是【 】（A ）[)+∞-,1 （B ）(]1,-∞- （C ）[)+∞,1 （D ）(]1,∞-解:设()11222+--=+-=x x x t ,则函数t 在(]1,∞-上为增函数,在[)+∞,1上为减函数∵指数函数ty ⎪⎭⎫⎝⎛=21在R 上为减函数∴函数xx y 2221+-⎪⎭⎫⎝⎛=的单调递增区间为[)+∞,1.选择【 C 】.例64. 求函数()2222++-=x xx f 的单调区间.解:设()312222+--=++-=x x x t ,则()t y x f 2==.∵函数t 在(]1,∞-上为增函数,在[)+∞,1上为减函数,函数t y 2=在R 上为增函数 ∴函数()x f 的单调递增区间为(]1,∞-,单调递减区间为[)+∞,1. 例65. 求函数32212+-=+x x y 的单调区间. 解:()3222322212+⋅-=+-=+x x x x y设x t 2=,则0>t ,且函数x t 2=在R 上为增函数 ∴()213222+-=+-=t t t y∴函数()212+-=t y 在∈t (]1,0上为减函数,此时(]0,∞-∈x ;在[)+∞∈,1t 上为增函数,此时[)+∞∈,0x .∴函数32212+-=+x x y 的单调递增区间为[)+∞,0,单调递减区间为(]0,∞-.例66. 求函数1121+-⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 的单调区间.解:设12112111+-=+-+=+-=x x x x x t ,()()+∞--∞-∈,11, x ,则ty ⎪⎭⎫⎝⎛=21,且1≠t .∵函数121+-=x t 在()1,-∞-和()+∞-,1上均为增函数 函数ty ⎪⎭⎫⎝⎛=21在()()+∞∞-∈,11, t 上为减函数∴函数1121+-⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 的单调递减区间为()1,-∞-和()+∞-,1,无单调递增区间.1例67. 函数()()32212---=x x x f 的单调增区间为__________.解:∵221<<,∴1120<-< ∴函数()()32212---=x x x f 的单调增区间即函数322--=x x t 的单调减区间.∵()413222--=--=x x x t∴函数t 的单调减区间为(]1,∞- ∴函数()()32212---=x x x f 的单调增区间为(]1,∞-.例68. 若函数axxy +-=22在()1,∞-内单调递增,则a 的取值范围是__________.解:设42222a a x ax x t +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=∵函数axxy +-=22在()1,∞-内单调递增∴函数4222a a x t +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=在()1,∞-内单调递增∴2a≥1,解之得:a ≥2,即a 的取值范围是[)+∞,2. 例69. 若函数12-=x y 在(]m ,∞-上单调递减,则m 的取值范围是__________. 解法一:设x t 2=,则0>t ,1-=t y . ∵函数1-=t y 在(]1,0∈t 上为减函数 ∴x 20<≤021=,解之得:x ≤0.∴函数12-=x y 在(]0,∞-∈x 上为减函数. ∵函数12-=x y 在(]m ,∞-上单调递减 ∴m ≤0,即m 的取值范围是(]0,∞-. 解法二:函数12-=x y 的图象大致如图所示. 由图象可知:函数12-=x y 的单调递减区间 为(]0,∞-,所以(]0,∞-∈m .。
2[1].1.2 指数函数及其性质
![2[1].1.2 指数函数及其性质](https://img.taocdn.com/s3/m/f743303a580216fc700afdc6.png)
§2.1.2指数函数及其性质一．教学目标：理解指数函数的概念和意义，在此基础上理解和掌握指数函数的图象和性质；会用概念判断一个表达式是不是指数函数，并能运用性质比较两个指数的大小。
二．能力目标：通过探究、思考，培养学生理性思维能力，观察能力以及分析问题的能力，在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合以及类比的数学思想方法。
三．情感态度：通过学生的参与过程，培养学生首脑并用，多思勤练的学习习惯和勇于探索，锲而不舍的治学精神。
四．教学重点、难点：重点：理解指数函数定义，在此基础上理解和掌握指数函数的图象和性质，难点：弄清楚底数a对于指数函数图象和性质的影响五．教学方法启发引导，合作交流。
六．教学基本流程七．教具三角板。
八．教学过程T:前面，我们学习了有关指数与指数幂的运算性质，这节课我们继续来学习有关指数的一类基本初等函数------【板书】§2.1.2指数函数及其性质T:第一章学了集合之后，我们用集合是思想定义和研究了函数，并且知道，研究函数具有一般模式【板书】（定义---图像---性质）。
【补充说明】也就是说先得研究函数的定义，在研究函数的图像，根据图像得到函数的性质。
由图像得出性质是数学里面一个极为重要的数学思想---称为“数形结合”；而函数的性质我们着重研究了：定义域，值域，单调性，奇偶性以及最值问题；以后我们还要介绍函数还具有周期性。
T:指数函数是一个基本初等函数，研究它无外乎也从（定义---图像---性质）这个模式入手。
【设计意图】复习旧知识，引导学生回忆研究函数的一般方法，让学生整体把握本堂课的研究主线。
（1）创设情境，引出定义T:在得到定义之前，请同学们和我一起来看本章节的两个大问题。
问题1：我国GDP 值与时间的对应关系：问题2：碳14含量与时间的对应关系：t>0T:首先来看，这两个表达式能否构成函数？若能，它们具有怎样的共同特征？【设计意图】根据学生已有的知识，回忆函数的概念，明确指数函数是一个函数。
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谢谢指导！
我思故我在：
例2：已知下列不等式 , 比较 m,n 的大小:
（1） 2m 2n
（2） 0.2m 0.2n
（3） am an (a 0且a 1)
别忘了讨论底数 的范围哦！
课堂小结：
定义 y=ax (a0，且a 1)
指数函数 图象
性质
0<a<1
a>1
布置作业：
教材 60页 B组 第1题、第4题
截取
次数 1次 2次 3次 4次
x次
y (1)x 2
木棰
1
1
2
1
3
1 4
剩余
2
2 2
2
1 x 2
于是，我们得到下面两个函数：
思考：
y
2x，
y
(1)x 2
1.这两个解析式是否构成函数？
பைடு நூலகம்
2.它们有什么共同特征？
（1）底数是常数
(a 1)
y
y 2x
y ax
(0 a 1)
1 1
0
x
0
1
1
0x
x
4.指数函数y=ax 的图像及性质
图 象 y=1
a>1
y
y=ax
(a>1)
(0,1)
0
x
0<a<1
y=ax
y
(0<a<1)
(0,1)
y=1
0
x
定 义 域 :R
性
值 域:( 0,+ ∞ )
恒过定点: ( 0 , 1 ) ,即x=0时,y = 1
§2.2 .1指数函数图像 与性质（1）
1.创设情境，导入新课：
问题1：你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根 很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合、拉 伸，反复多次，就能拉成许多细面条．如图所示：
拉伸次数x: 1
2
3
得到根数y: 2
4
8
即： 2
22
23
x
y 2x
问题2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日 取其半，万世不竭。”请你写出截取x次后，木棰剩 余量 y 关于 x 的函数关系式？
（2）指数为自变量
（3）幂的形式 a x
2.概念生成：
一般地，函数y=ax (a>0,且a≠1）叫做指数函数， 其中x是自变量，函数的定义域是R。
系数为1
y＝1 ·ax 自变量为x
a是常数（a>0,且a≠1）
我思故我在：
下列函数中，哪些是指数函数？
y 4x
y x4
y 4x
我 不 是
y 4x1
3.指数函数 y=ax 的图像
在同一坐标系中画出 y
2 x与
y
(1)x 2
的图像
x
… -2
-1
0
1 2…
11
y=2x …
42
y (1)x 2
…
4
2
1
2 4…
1 11… 24
y
y 1 x 2
y 2x
1
0
1
x
y
y
y 1 x
y2 a x
质 在R上是单调 . 增函数 在 R 上是单调减函数
5.例题讲解： 例1.比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.72.5 ， 1.73 ；底同指不同：单调性法；
（2）
1 4
0.8
,
1
1.8
2
不同底可化同底；
（3）1.70.3 ， 0.93.1. 底不同指不同：中间值法