谈谈如何解含绝对值的方程

谈谈如何解含绝对值的方程

施静忠

绝对值概念在初中代数，乃至初等数学中，均占有相当重要的地位。解含绝对值的方程在初中数学竞赛中经常出现，同学们往往感到困惑，难于解答。下面举例说明解这类方程的几种常用方法。

一. 运用基本公式：若，则解方程

例1. 解方程

解：去掉第一重绝对值符号，得

移项，得或

所以

所以原方程的解为：

例2. 解方程

解：因为

所以

即

或

解方程（1），得

解方程（2），得

又因为，所以

所以原方程的解为

二. 运用绝对值的代数意义解方程例3. 方程的解的个数是（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4或4以上

解：方程可化为

所以

所以方程的解有无数个，故选（D）。

三. 运用绝对值的非负性解方程

例4. 方程的图像是（）

A. 三条直线：

B. 两条直线：

C. 一点和一条直线：（0，0），

D. 两个点：（0，1），（-1，0）

解：因为

而

所以

所以原方程的图象为两个点（0，1），（-1，0）

故选（D）。

四. 运用绝对值的几何意义解方程

例5. 解方程

解：设，由绝对值的几何意义知

所以

又因为

所以

从数轴上看，点落在点与点的内部（包括点与点在内），即原方程的解为。

五. 运用方程的图象研究方程的解

例6. 若关于x的方程有三个整数解，则a的值是（）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

解：作的图象，如图1所示，由于方程解的个数就是直线与的图象的交点个数，把直线平行于x轴上、下移动，通过观察得仅当时方程有三个整数解。故选（B）。

图1

同时，我们还可以得到以下几个结论：

（1）当时，方程没有解；

（2）当或时，方程有两个解；

（3）当时，方程有4个解。