【创新设计】2015高考数学(人教通用,理科)二轮专题整合：限时练5

限时练(五)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{x |y ＝2－x 2}，则M ∩N ＝ ( )． A ．[－1，＋∞) B ．[－1，2] C ．[2，＋∞)
D ．∅
解析 集合M 表示的是函数的值域，即M ＝[－1，＋∞)，集合N 表示函数定义域[－2，2]，则M ∩N ＝[－1，2]． 答案 B
2．下列说法错误的是
( )．
A ．“sin θ＝12”是“θ＝π
6”的充分不必要条件
B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：“若a ≠0，则ab ≠0”
C ．若命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1＝0，则綈p ：“∀x ∈R ，x 2－x ＋1≠0
D ．若命题“綈p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题 解析 sin θ＝12的角θ为2k π＋π6和2k π＋5π6(k ∈Z )，不一定是θ＝π
6，反之当θ＝π6时，sin θ＝12，所以，“sin θ＝12”是“θ＝π6”的必要不充分条件，A 错误；命题的否命题是原命题的前提和结论都否定，所以B 正确；p 是特称命题，非p 是全称命题的形式，故C 正确；非p 与p 必一真一假，所以此题说明p 假，而p 或q 真，故q 真，故D 正确． 答案 A
3．函数y ＝sin (2x ＋φ)(0＜φ＜π2)图象的一条对称轴在(π6，π
3)内，则满足此条件的一个φ值为 ( )．
A.π12 B ．π6 C.π3
D ．5π6
解析 令2x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解出x ＝k π2＋π4－φ
2，因为函数y ＝sin (2x ＋φ)(0＜φ＜π2)图象的一条对称轴在(π6，π3)内，所以令π6＜k π2＋π4－φ2＜π3，解出k π－π6＜φ＜k π＋π
6(k ∈Z )．四个选项只有A 符合，故选A. 答案 A
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
( )．
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析 根据三视图，可知原几何体是一个棱长分别为2、2、1的长方体和一个横放的直三棱柱的组合体，三棱柱底面是一个直角边分别为1、1的直角三角形，高是2，所以几何体体积易求得是V ＝2×2×1＋1
2×1×1×2＝5. 答案 B
5．已知平面向量a ＝(1,2)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝53，则|b |＝ ( )．
A ．5 2
B ．25
C ．3 2
D ．2 5
解析 |a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝5＋2×10＋b 2＝53， 解得|b |＝5 2. 答案 A
6．运行如图所示框图的相应程序，若输入a ，b 的值分别为log 23和log 32，则输出M 的值是
( )．
A．0 B．1
C．2 D．－1
解析a＝log23，b＝log32，∴a＞1，0＜b＜1，∴a＞b，根据程序框图，M＝ab＋1＝log23·log32＋1＝2.
答案 C
7．设a＝log2.83.1，b＝logπe，c＝log eπ则()．A．a＜c＜b B．c＜a＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
解析易知0＜b＜1,1＜a＝log2.83.1＜log2.8π，又1＞logπ2.8＞logπe＞0，
∴1＜log2.8π＜log eπ＝c，∴1＜a＜c，∴b＜a＜c.
答案 C
8．已知函数f(x)＝x2＋2x＋1－2x，则y＝f(x)的图象大致为()．
解析 f (x )＝x 2＋2x ＋1－2x ＝(x ＋1)2－2x ，令g (x )＝(x ＋1)2，h (x )＝2x ，则f (x )＝g (x )－h (x )，在同一坐标系下作出两个函数的简图，根据函数图象的变化趋势可以发现g (x )与h (x )的图象共有三个交点，其横坐标从小到大依次设为x 1，x 2，x 3，在区间(－∞，x 1)上有g (x )＞h (x )，即f (x )＞0；在区间(x 1，x 2)上有g (x )＜h (x )，即f (x )＜0；在区间(x 2，x 3)上有g (x )＞h (x )，即f (x )＞0；在区间(x 3，＋∞)上有g (x )＜h (x )，即f (x )＜0. 答案 A
9．已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5.若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋9
n 的最小值为 ( )．
A.83 B ．114 C.145
D ．176
解析 设数列的公比为q ，由a 7＝a 6＋2a 5得a 5q 2＝a 5q ＋2a 5，解得q ＝2(q ＝－1舍)，由a m a n ＝4a 1得a 12m ＋n －22＝4a 1
，所以m ＋n ＝6，所以1m ＋9n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋9n ·m ＋n
6＝16＋9m 6n ＋n 6m ＋96≥5
3＋29m 6n ·n 6m ＝83.
答案 A
10．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为 ( )．
A.x 29－y 2
16＝1 B ．x 24－y 2
3＝1 C.x 216－y 2
9＝1
D ．x 23－y 2
4＝1
解析 如图所示PF 1⊥PF 2，故圆的半径为5，|F 1F 2|＝10，又b a ＝4
3，∴a ＝3，b ＝4.
答案 A
11．定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，已知y ＝f ′(x )的图象如图所示，若两个正数a 、b 满足f (2a ＋b )＜1，则b ＋1
a ＋2
的取值范围是
( )．
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫
52，＋∞
C.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，14 D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，52
解析 根据导函数图象可知，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f (2a ＋b )＜1＝
f (4)，所以依题意可得到⎩⎨⎧
2a ＋b ＜4，
a ＞0，
b ＞0，
画出a ，b 的可行域，则所求
b ＋1
a ＋2
可看作点(a ，b )与(－2，－1)连线斜率，画图易知选D.
答案 D
12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
log 2(1－x )＋1，－1≤x ＜k ，
x 3－3x ＋2，k ≤x ≤a ，若存在k 使得函数f (x )的值域是
[0,2]，则实数a 的取值范围是
( )．
A ．[3，＋∞)
B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤12，3
C ．(0，3]
D ．{2}
解析 先作出函数f (x )＝log 2(1－x )＋1，－1≤x ＜k 的图象，再研究f (x )＝x 3－3x ＋2，k ≤x ≤a 的图象，
令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，当x ＞1时，f ′(x )＞0，当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，
∴当x ＝1时，f (x )在(－1，＋∞)上取得最小值f (1)＝0，又f (3)＝2.若存在k 使f (x )的值域是[0,2]，a 只需 满足1
2＜a ≤ 3. 答案 B 二、填空题
13．i 为虚数单位，则复数5＋10i
3－4i
的虚部是________．
解析 利用复数除法的运算法则，5＋10i 3－4i ＝(5＋10i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝－25＋50i
25＝－1＋
2i ，虚部是2.
答案 2
14．在△ABC中，若2sin A＝sin C，a＝b，则角A＝__________.
解析根据正弦定理，可将条件化为c＝2a，又b＝a，根据余弦定理得
cos A＝b2＋c2－a2
2bc＝
2
2，A＝
π
4.
答案π4
15．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y＝ax2(a＞0)的准线相切，则a＝______.
解析抛物线的准线方程为y＝－1
4a，圆的方程可转化为(x－3)
2＋y2＝16，圆与
准线相切，可得到1
4a＝4，解得a＝
1
16.
答案1 16
16．在区间[0，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为______．
解析依题意知，要使函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，则Δ＝4a2－4(π－b2)≥0，整理可得a2＋b2≥π，因为总的事件的范围是以π为边长的正方形区域，
故所求概率为P＝π2－
1
4π(π)
2
π2＝
3
4.
答案3 4。