连续信号与系统的频域分析
第3章连续信号与系统的频域分析
2013年8月13日8时10分
3.0 引言
LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应
来表征，通过对LTI系统单位冲激响应的研究就可
分析LTI系统的特性。
连续时间信号分解为一系列完备正交信号集， 再根据线性叠加原理求解系统的零状态响应。
9
2013年8月13日8时10分
3.1信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 1 、正交矢量（2维空间）
3.1.2 信号的正交分解 2、正交函数的两个重要定理 定理2：若 则：
f (t ) c1 g1 (t ) cr gr (t ) cn gn (t ) ci gi (t )
i 1
n
t2
t1
f (t ) dt ci gi (t ) dt
t2 i 1 t1
完备正交函 数集
1,cos t,cos 2t,,sin t,sin 2t,
17
2013年8月13日8时10分
3.2 周期信号的连续时间傅立叶级数
一般地，若 即有：
则有：
f ( t ) 在区间(-∞，+
∞)内，每隔周期T重复，
f (t ) f (t kT )
T 2 T 2
V1 V2 0
V1 V3 0
V2 V3 0
11
2013年8月13日8时10分
3.1信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 3 、正交矢量（n维空间）
c3 V3 V3 o V2 c2 V2 V1
V cV1 crVr cnVn 1
V c1 V1
cr
V cos r Vr
3.7 连续信号的抽样定理
信号与系统 第3章-3
解 若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jωt的繁 复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。 将f(t)求导，得到图 3.5-5(b)所示的波形f1(t)，将f1(t)再求导， 得到图 3.5-5(c)所示的f2(t)， 显然有
第3章 连续信号与系统的频域分析
f 2 (t ) = f (t ) = f " (t )
ω ）为各频率点
上单位频带中的信号能量，所以信号在整个频率范围的全部
W = ∫ G (ω )dω
0
∞
式中
G (ω ) =
1
π
F ( jω )
2
第3章 连续信号与系统的频域分析 表 3.2 傅里叶变换的性质
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.6 周期信号的傅里叶变换
设f(t)为周期信号，其周期为T，依据周期信号的傅里叶级数分 析， 可将其表示为指数形式的傅里叶级数。即
f ( −t ) ↔ F ( − jω )
也称为时间倒置定理 倒置定理。 倒置定理
第3章 连续信号与系统的频域分析
若已知f(t) ↔ F(jω )，求f(at - b)的傅立叶变换。
此题可用不同的方法来求解。 解 此题可用不同的方法来求解。
第3章 连续信号与系统的频域分析
(2) 先利用尺度变换性质，有 先利用尺度变换性质，
第3章 连续信号与系统的频域分析 2. 时移性 时移性 若f(t) ←→ F(jω)， 且t0为实常数(可正可负)，则有
f ( t − t0 ) ↔ F ( jω ) e
此性质可证明如下
− jω t 0
F [ f (t − t 0 )] = ∫− ∞ f (t − t 0 )e 令τ = t − t 0
信号与系统—信号的频域分析
信号与系统—信号的频域分析频域分析是指将信号从时间域转换为频域的过程，并通过对信号在频域上的性质和特征进行分析与研究。
频域分析对于理解信号的频率特性、频谱分布等方面的特性有很大的帮助，是信号处理领域中不可或缺的分析工具。
频域分析的基本方法之一是傅里叶变换。
傅里叶变换可以将连续时间域中的信号转换为离散频域中的信号，也可以将离散时间域中的信号转换为连续频域中的信号。
它通过将信号分解为不同频率的正弦波的组合来分析信号的频谱分布。
傅里叶变换的基本公式为：两个公式其中，X(f)表示信号在频域中的频谱，x(t)表示信号在时间域中的波形，f表示频率。
傅里叶变换得到的频谱图可以展示信号在不同频率上的能量分布情况，从而能够更直观地了解信号的频率成分。
频谱图通常以频率为横轴，信号在该频率上的幅度或相位为纵轴，用于描述信号在频域中的变化情况。
除了傅里叶变换，还有其他一些常用的频域分析方法，如离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）等。
离散傅里叶变换是对离散时间域中的信号进行频域分析的方法，快速傅里叶变换是一种高效的计算离散傅里叶变换的方法。
频域分析主要包括信号的频谱分析和系统的频率响应分析两个方面。
在信号的频谱分析中，我们可以通过观察信号在频域上的能量分布情况来判断信号的频率成分、频率范围等信息。
而在系统的频率响应分析中，我们可以通过研究系统在不同频率上的响应特性来了解系统对不同频率信号的传输、增益、衰减等情况。
频域分析在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在音频处理领域中，频域分析可以用于声音信号的频谱分析和音效处理等方面。
在通信系统中，频域分析可以用于信号的调制解调、信道估计、信号检测等。
在图像处理中，频域分析可以用于图像的锐化、降噪、压缩等方面。
总结起来，信号的频域分析是信号与系统课程中的重要内容，它通过将信号从时间域转换为频域来研究信号的频率特性和频谱分布等问题。
傅里叶变换是频域分析中常用的方法之一，它可以将信号分解为不同频率的正弦波的组合。
第4章 连续信号与系统的复频域分析
式（ 4.1-5 ）和（ 4.1-6 ）称为双边拉普 拉斯变换对，可以用双箭头表示f ( t )与F(s) 之间这种变换与反变换的关系
记F (s) L [ f (t )], f (t ) L [ F (s)]
-1
f (t ) F ( s)
从上述由傅氏变换导出双边拉普拉 斯变换的过程中可以看出，f (t) 的双边 拉普拉斯变换F(s)=F( j )是把f (t)乘 以e - t之后再进行的傅里叶变换，或者 说F(s)是f ( t ) 的广义傅里叶变换。
j
1
j
st
ds
t > 0
(4.1-9）
记为£ -1[ F(s)]。即
F(s) =£ [ f (t) ]
–1 [ F (s) ] 和 f (t) = £
式（4.1-8）中积分下限用0－而不用0＋， 目的是可把t = 0－时出现的冲激考虑到变换中 去，当利用单边拉普拉斯变换解微分方程时， 可以直接引用已知的起始状态f (0－)而求得全 部结果，无需专门计算0－到0＋的跳变。
经过 0 的垂直线是收敛边界，或称为 收敛轴。
由于单边拉普拉斯变换的收敛域是由 Re[s] = > 0的半平面组成，因此其收敛 域都位于收敛轴的右边。
凡满足式(4.1-10)的函数f ( t )称为“指 数阶函数”，意思是可借助于指数函数的 衰减作用将函数f(t) 可能存在的发散性压下 去，使之成为收敛函数。
在收敛域内，函数的拉普拉斯变换存 在，在收敛域外，函数的拉普拉斯变换不 存在。
双边拉普拉斯变换对并不一一对应， 即便是同一个双边拉普拉斯变换表达式， 由于收敛域不同，可能会对应两个完全不 同的时间函数。
因此，双边拉普拉斯变换必须标明收 敛域。
连续时间信号与系统的频域分析报告
连续时间信号与系统的频域分析报告1. 引言连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中的重要分支，通过将信号和系统转换到频域，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
本报告将对连续时间信号与系统的频域分析进行详细介绍，并通过实例进行说明。
2. 连续时间信号的频域表示连续时间信号可以通过傅里叶变换将其转换到频域。
傅里叶变换将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的和。
具体来说，对于连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为X(ω)，其中ω表示频率。
3. 连续时间系统的频域表示连续时间系统可以通过频域中的频率响应来描述。
频率响应是系统对不同频率输入信号的响应情况。
通过系统函数H(ω)可以计算系统的频率响应。
系统函数是频域中系统输出与输入之比的函数，也可以通过傅里叶变换来表示。
4. 连续时间信号的频域分析频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性。
通过频域分析，我们可以获取信号的频率成分、频谱特性以及信号与系统之间的关系。
常用的频域分析方法包括功率谱密度估计、谱线估计等。
5. 连续时间系统的频域分析频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计。
通过分析系统的频响特性，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位变化情况，进而可以对系统进行优化和设计。
6. 实例分析以音频信号的频域分析为例，我们可以通过对音频信号进行傅里叶变换，将其转换到频域。
通过频域分析，我们可以获取音频信号的频谱图，从而了解音频信号的频率成分和频率能量分布情况。
进一步，我们可以对音频信号进行系统设计和处理，比如对音乐进行均衡、滤波等操作。
7. 结论连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中重要的内容，通过对信号和系统进行频域分析，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计，对于音频信号的处理和优化具有重要意义。
总结：通过本报告，我们了解了连续时间信号与系统的频域分析的基本原理和方法。
频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性和系统的频响特性，对系统设计和信号处理具有重要意义。
信号与系统第四章-连续信号复频域分析
j
0
（可以用复平面虚轴上的连续频谱表示） 实际上是把非周期信号分解为无穷多等幅振荡的正
弦分量 d cost 之和。 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
F ( )
f (t )e jt dt
ZB
3. 拉普拉斯变换
2 j f (t ) F ( s)
称 为衰减因子； e- t 为收敛因子。 返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
取 f(t)e- t 的傅里叶变换：
F [ f (t )e
t
]
f (t )e
t jt
e
f (t )e ( j )t dt dt
它是 j的函数，可以表示成
拉普拉斯变换（复频域）分析法 – 在连续、线性、时不变系统的分析方面十分有效 – 可以看作广义的傅里叶变换 – 变换式简单 – 扩大了变换的范围 – 为分析系统响应提供了规范的方法
返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
4.1 拉普拉斯变换
4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
单边拉氏变换的优点： (1) 不仅可以求解零状态响应，而且可以求解零输入响应 或全响应。 (2) 单边拉氏变换自动将初始条件包含在其中，而且只需 要了解 t=0- 时的情况就可以了。 (3) 时间变量 t 的取值范围为 0 ~ ，复频域变量 s 的取 值范围为复平面( S 平面)的一部分。 j S 平面 当 >0 时， f(t)e- t 绝对收敛。
ZB
按指数规律增长的信号：如 e t ，0 =
比指数信号增长的更快的信号：如 e 或t t 找不到0 ， 则此类信号不存在拉氏变换。
《信号与系统(第四版)》习题详解图文
故f(t)与{c0, c1, …, cN}一一对应。
7
3.3 设
第3章 连续信号与系统的频域分析
试问函数组｛ξ1(t),ξ2(t),ξ3(t),ξ4(t)｝在(0，4)区间上是否 为正交函数组，是否为归一化正交函数组，是否为完备正交函 数组，并用它们的线性组合精确地表示题图 3.2 所示函数f(t)。
题图 3.10
51
第3章 连续信号与系统的频域分析 52
第3章 连续信号与系统的频域分析 53
第3章 连续信号与系统的频域分析 54
第3章 连续信号与系统的频域分析 55
第3章 连续信号与系统的频域分析 56
第3章 连续信号与系统的频域分析 57
第3章 连续信号与系统的频域分析
题解图 3.19-1
8
第3章 连续信号与系统的频域分析
题图 3.2
9
第3章 连续信号与系统的频域分析
解 据ξi(t)的定义式可知ξ1(t)、ξ2(t)、ξ3(t)、ξ4(t)的波形如题 解图3.3-1所示。
题解图 3.3-1
10
不难得到：
第3章 连续信号与系统的频域分析
可知在(0,4)区间ξi(t)为归一化正交函数集,从而有
激励信号为f(t)。试证明系统的响应y(t)=－f(t)。
69
证 因为
第3章 连续信号与系统的频域分析
所以
即
70
系统函数
第3章 连续信号与系统的频域分析
故
因此
71
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.23 设f(t)的傅里叶变换为F(jω)，且 试在K≥ωm条件下化简下式：
72
第3章 连续信号与系统的频域分析 73
107
第三、四章连续时间信号与系统的频域分析内容总结
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
8 页
例15、试求信号f(t)=cos(4t+ )的频谱 。 3
解：
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
9 页
例16、一因果LTI系统的输入和输出，由下列微分方程表示：（采用傅里叶变
换计算）。 （1）求系统的单位冲激响应 h( t ) ；
d 2 y( t ) dy( t )
X
第
连续时间信号与系统的频域分析内容总结
2 页
第四章是傅里叶变换在LTI系统分析中的应用。 在第三章信号频域分解、分析基础上，研究不同激励信号 通过系统的响应、信号通过系统无失真条件、理想低通滤波器 模型以及物理可实现条件、希尔伯特变换、抽样定理等主要内 容。
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
3) (j
5)
1ห้องสมุดไป่ตู้
j
3
1
j 5
2
j
4
y z s(t ) e 3t (t ) e 5t (t ) 2e 4t (t )
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
10 页
例17、如图所示系统，其乘法器的两个输入端分别为：f (t) sin(2t) , s(t) cos(6t)
系统的频率响应为
8
15y( t ) 2 f ( t )
dt 2
dt
（2）若 f ( t ) e4t( t ) ，求该系统的零状态响应 yzs (t) 。
解： （1）
H ( j)
2
11
j2 8 j 15 j 3 j 5
h(t) e 3t(t) e 5t(t)
（2）
《信号与系统》第3章 连续信号与系统的频域分析 PPT课件
3.1 信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 V2
1. 正交矢量
90 °
o
V1
图 3.1-1 两个矢量正交
两矢量V1与V2正交时的夹角为90°。不难得到两正交矢量的点积为零， 即
V1V 2 V1 V2 cos90 0
V1 Ve
o c12 V2
V2
图 3.1-2 矢量的近似表示及误差
t2 t1
gi
(t)
g
* j
(t
)dt
0 Ki
则该函数集就称为区间(t1, t2)上的正交函数集。 如果
t2 t1
gi
(t)
g
* j
(t
)dt
0 1
则称该函数集为归一化正交函数集。
i j i j
i j i j
用一个在区间(t1, t2)上的正交函数集｛gi(t)｝中各函数的线性组合就可逼近定 义在(t1, t2)区间上的信号f(t)，即
A6 0.8
6 30
其余 An 0
An 3 3
2 2
1
0.8
0.4
o 2 3 4 5 6
(a)
n 45 °
45 °
30 ° 30 °
20 °
15° 10°
图 3.3-1 例 3.3-1 信号
(a) 振幅谱；
o
2
3
4 5
6
(b) 相位谱
(b)
|F n |
上述正交三角函数集中，当n=0时，cos 0°=1, sin 0°=0，而0不应计在此正交函数集 中，故一正交三角函数集可具体写为
信号与系统-连续系统的复频域分析
内容提要
l 拉普拉斯变换 l 系统的拉氏变换分析法
– 零输入响应 – 零状态响应
l 系统稳定条件
§5.1 拉普拉斯变换
一 拉普拉斯变换的定义及收敛域 ①定义 双边拉普拉斯变换对
∞ F (s) = ∫ f ( t ) e st d t −∞ σ + j∞ 1 st F ( s ) e ds f (t ) = ∫ − ∞ σ j 2π j
− st
。
③时移和尺度变换都有时：
1 s f (at − b) ⇔ F ( )e a a
b −s a
④f(t)时间微分，积分函数的拉普拉斯变换不 仅与 F(s)有关，还与 t-0 点函数值 f(0)，函数的 微分值 f (0) 或 函数的积分值 f
n (−n)
(0) 有关。这
一点需要与傅立叶变焕相区分(这里的 n 取整数)
at
才收敛，所以收敛坐标为 σ 0 = a 。 ④右边信号的收敛域在收敛轴以右的 s 平面,既
σ >a
⑤左边信号的收敛域在收敛轴以左的 s 平面， 既σ < β ⑥双边信号的收敛域为 s 平面的带状区域，即
α <σ < β
另外， 对所有拉普拉斯变换来 说，ROC 内部不包括任何极点； 如果信号的收敛域包括虚轴， 则 这个信号的傅立叶变换和拉普 拉斯变换都存在。
⑤初值定理和终值定理应用的条件 关于初值定理，要注意所求的初值是 f(t)在 t=0+时刻的值,而不是 f(t)在 t=0-和 t=0 时刻的值,无论拉氏变换 F(s) 是采用 0-系统的结果还是采用 0-系统 的结果,所求的初值总是 f(0+).
另外，用初值定理 f (0+ ) = lim sF ( s ) 求函数
信号与系统课件：连续信号与系统的频域分析
双边谱指的是当 n 为任何值时( -∞< n <∞ )， 和 θn 随频
率 nω 0变化的图形。
连续信号与系统的频域分析
若某周期信号傅里叶级数为
连续信号与系统的频域分析
图 3.3－1 周期信号频谱
连续信号与系统的频域分析
【例 3.3－1 】 试画出图 3. 2－1 所示的周期方波信号
的单边频谱和双边频谱。
A 2 =8 ， A 3 =0 ， A 4 =2 ，相位 φ 1 =-180° ， φ 2 =0° ，
φ 3 =0° ， φ 4 =90° 。于是 f ( t )的单边频谱如图 3. 3 4 所
示。
连续信号与系统的频域分析
图 3.3－4 信号 f ( t )的单边谱
连续信号与系统的频域分析
由单边频谱和双边频谱的关系，可得 f (t )的双边频谱如
种简洁形式:
连续信号与系统的频域分析
两种表达式中的系数的关系为
由式( 3. 2－5 )可知， A n 是 n 的偶函数; φ n 是 n 的奇函数。
连续信号与系统的频域分析
也可由式(3. 2－4 )得到式( 3. 2－2 )，系数的关系为
连续信号与系统的频域分析
式( 3. 2－4 )表明，任意周期信号可以分解为直流和许
指函数 ej ωt 为基本信号，将任意连续信号分成一系列不同频
率的正弦信号或虚指函数信号线性组合，并加分析。对周期
信号的分解工具是傅里叶级数，对非周期信号的分解工具是
傅里叶变换。利用信号的正弦分解思想，系统的响应可看做
各不同频率正弦信号产生响应的叠加，这种思想将时域映射
到频域，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与频
第5章 连续时间信号与系统的频域分析
般的周期信号都满足狄里赫利条件，所以以后不再 提及。 ❖ 由以上的讨论可知，任意一个周期信号均可以展开 成以下的傅里叶级数
信号与系统
第5章 连续时间信号与系统的频域分析
n0tdt
T0 2
t0 T0 12 dt T0 t0
信号与系统
第5章 连续时间信号与系统的频域分析
❖ 式中，和均为正整数；0 2/T0 。上式说明三角函数 集是正交函数集。由于三角函数集中的元素有无穷 多个，所以三角函数集是完备正交集。也就是说， 任意一个周期信号 f (t) 均可展开成傅里叶级数，但 前提是必须满足以下的狄里赫利条件：
❖
❖ 所以
第5章 连续时间信号与系统的频域分析
(Cn e jn0t )*
Cn (e jn0t )*
C ejn0t n
(5-22)
❖
∞
f (t) C0 2 Re(Cn e jn0t )
(5-23)
n 1
❖ 2. 由指数函数集的正交性到指数形式的傅里叶级数
❖ 指数函数集 ejn0t n 0,1,2, 的元素为无数个不同角频率的虚
f
(t)
a0 2
N n 1
(ancos n0t
bnsin n0t)
信号与系统
第5章 连续时间信号与系统的频域分析
❖ 【例5-1】 求图5.2所示标准方波信号的傅里叶级数展开式。
❖ 解：由图5.2可以看出，该方波信号的周期为 T0 。在一个
周期内，f (t) 的表达式为
f
(t t T0 2
连续时间信号与系统的频域分析
t2 t1
gi
(t ) g
j
(t)dt
0
t2 t1
gi
(t ) g
j
(t )dt
Ki
i j i j
(5-7) (5-8)
凡是满足（5-7）与（5-8）两式的函数称为正交函数，当
然在复变函数中仍然可以讨论两个函数之间的正交性，在
此不再赘述。
10
5-1-1 信号的正交分解
当周期信号 f (t)满足狄里赫利条件时，就可以用复指数函 数集或三角函数集的线性组合来表示，这种线性组合的表 示称为傅立叶级数展开。 狄里赫利条件：
• 在一个周期内，信号绝对可积； • 在一个周期内，极大值与极小值数目为有限个； • 在一个周期内，信号的间断点数目应是有限个， 工程中所遇到的信号都满足狄氏条件。
在此定义 C12 为两个信号的相关系数. 8
5-1-1 信号的正交分解
在对信号的分解过程中，需要遵循信号能量误差最小的原
则，也就是说 f e(t)的均方值 2 应该最小。令 2 为误差 函数的均 方值 , 则
2
fe2 (t)
1 t2 t1
t2 t1
fe2 (t)dt
从而求得相关系数C12的大小:
称为相互正交的基底函数，上式适用于任何正交函数集。 式中
11
5-1-1信号的正交分解
Cr
t2 t1
f
(t)gr (t)dt
Kr
Cr 表示信号f(t) 与基底函数间的相关系数,
• C1, C2, , Cn 是相互独立的，互不影响，计算时先抽
取哪一个都可以，非正交函数就无此特性。
•
12
5-1-2 完备正交函数集
实验三 连续信号与系统的频域分析
学号
0174280
同组人：无
实验项目
实验三连续信号与系统的频域分析
☑必修□选修
□演示性实验☑验证性实验□操作性实验□综合性实验
实验地点
H113
实验仪器台号
F0
指导教师
蒋娜
实验日期及节次
week14->2-12
一、实验目的及要求：
1、目的
1．掌握非周期信号的傅里叶变换：fourier函数和ifourier函数；
四、实验结果与数据处理：
1．利用fourier函数求下列信号的傅里叶变换F(jω)，并用ezplot函数绘出其幅度谱和相位谱。
（1）
syms t v w phase im re;%定义变量t,v,w,phase,im re
f=sym('Heaviside(t)-Heaviside(t-2)');%
Fw=fourier(f);
plot([07.0711],[0.7070.707],':');
axis([04001.1]);
grid;
xlabel('角频率(\omega)');
ylabel('幅度');
title('H(j\omega)的幅频特性');
subplot(212);
plot(w,h2*180/pi);
axis([0400200]);
（2）
syms t v w phase im re;%定义变量t,v,w,phase,im re
f=exp(-1*t)*sym('Heaviside(t)');%
Fw=fourier(f);
subplot(311);
《信号、系统与数字信号处理》第二章 连续时间信号与系统的频域分析
0 21
/4
/2
(b)相位图
图2.1-2例2.1-2的频谱图
二、指数形式的傅里叶级数
利用欧拉公式将三角形式的傅里叶级数，表示为 复指数形式的傅氏级数
其中
f t F n1 e jn1t
n
F n1
1 T
t0 T t0
f t e jn1tdt
F n1 是复常数，通常简写为 Fn 。
21t
5
4
2
sin
1t
1 2
sin
31t
解：将 f t 整理为标准形式
f
(t)
1
2cos 1t来自4cos 21t
5
4
1 2
cos
31t
2
1
2
cos
1t
4
cos
21t
4
1 2
cos
31t
2
振幅谱与相位谱如图2-1所示。
cn
2
1
1
1/2
0 1 21 31
(a) 振幅图
n
/4
31
第二章 连续时间信号与系统的频域分析 ——Fourier变换
2. 1 周期信号的傅里叶级数分析 2. 2 非周期信号的频谱--傅里叶变换 2. 3 傅里叶变换的性质及定理 2. 4 系统的频域分析方法 2. 5 无失真传输系统与滤波
LTI系统分析的一个基本任务，是求解系统对任意 激励信号的响应，基本方法是将信号分解为多个基本信 号元。
一、三角形式傅里叶级数
周期信号: f t f t nT
其中
T
是信号的最小重复时间间隔，f1
1 是信号的基波频率。 T
若 f t 满足狄里赫利条件，则 f t 可以展开为三角形
信号与系统的频域分析
信号与系统的频域分析信号与系统是电子、通信、自动控制、计算机等领域的重要基础课程，频域分析是其中的重要内容之一。
频域分析是指将信号在频域上进行分析和处理，通过分析信号的频谱特性和频率分量来了解信号的频率成分和频率响应。
一、频域分析的基本概念和原理频域分析是将时域信号转换为频域信号的过程，可以通过傅里叶变换来实现。
傅里叶变换是一种将非周期信号或有限时长的周期信号分解为一系列基础频率分量的技术，可以将信号在频域上进行表达和处理。
在频域中，信号的频率成分和相对能量分布可以清晰地呈现出来，方便人们对信号进行分析和理解。
二、傅里叶级数和傅里叶变换傅里叶级数是用来分解周期信号为一系列余弦和正弦函数的技术，适用于周期信号的频域分析。
傅里叶级数展开后，通过求解各个频率分量的振幅和相位，可以得到该周期信号在频域中的频率成分和能量分布。
傅里叶变换是对非周期信号或有限时长的周期信号进行频域分析的方法。
傅里叶变换将信号从时域转换到频域，得到信号的频谱特性。
通过傅里叶变换，可以将时域中的信号分解为一系列基础频率分量，同时还可以得到每个频率分量的相位和振幅信息。
三、频域分析的应用频域分析在信号处理和系统分析中广泛应用。
在通信系统中，频域分析可以用于信号调制、解调和信道估计等方面。
在音频和视频信号处理中，频域分析可以用于音频和视频编码、去噪和增强等技术。
在自动控制系统中，频域分析可以用于系统的稳定性和响应特性分析。
四、常见的频域分析方法除了傅里叶变换外，还有一些常见的频域分析方法，如离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、功率谱密度分析（PSD）等。
这些方法在不同的领域和应用中有着各自的优缺点和适用范围。
熟练掌握这些方法的原理和使用技巧，可以更好地进行频域分析和信号处理。
五、总结频域分析是信号与系统领域中重要的理论和实践内容，通过分析信号在频域上的频率成分和能量分布，可以深入理解信号的特性和系统的行为。
傅里叶变换作为频域分析的核心工具，能够将信号在时域和频域之间进行转换，为信号处理和系统分析提供了强有力的工具。
连续时间信号与系统的频域分析实验报告（共9篇）
连续时间信号与系统的频域分析实验报告(共9篇)信号与系统实验五__连续时间信号的频域分析实验名称：连续时间信号的频域分析报告人：姓名班级学号一、实验目的1、熟悉傅里叶变换的性质；2、熟悉常见信号的傅里叶变换；3、了解傅里叶变换的MATLAB实现方法。
二、实验内容及运行结果1、编程实现下列信号的幅度频谱：（1）求出f(t)=u(2t+1)-u(2t-1)的频谱函数F（w）;请与f1(t) u(2t+1)-u(2t-1)的频谱函数F1（w）进行比较，说明两者的关系。
%(1)f(t)=u(2t+1)-u(2t-1)与f(t)=u(t+1)-u(t-1) syms t w t1 w1Gt=sym('Heaviside(2*t+1)-Heaviside(2*t-1)');Gt1=sym('Heaviside(t1+1)-Heaviside(t1-1)');Fw=fourier(Gt,t,w);Fw1=fourier(Gt1,t1,w1);FFw=maple('convert',Fw,'piecewise');FFw1=maple('convert',Fw1,'piecewise');FFP=abs(FFw);FFP1=abs(FFw1);subplot(2,1,1);ezplot(FFP,[-10*pi 10*pi]);axis([-10*pi 10*pi 0 1.5]);subplot(2,1,2);ezplot(FFP1,[-10*pi 10*pi]);grid;axis([-10*pi 10*pi 0 2.2]);不同点：F1(w)的图像在扩展，幅值是F（w）的两倍。
（2）三角脉冲f2(t)=1-|t|;|t|=1;ft=sym('(1+t)*Heaviside(t+1)-2*t*Heaviside(t)+(t-1)*Heaviside( t-1)');Fw=fourier(ft);subplot(211)ezplot(abs(Fw)); g2)');ft=ifourier(Fw,w,t)ft =exp(-4*t)*heaviside(t)-exp(4*t)*heaviside(-t)（2）F(w)=((i*w)+5*i*w-8)/((i*w)+6*i*w+5)syms t wFw=sym('((i*w)+5*i*w-8)/((i*w)+6*i*w+5)');ft=ifourier(Fw,w,t)ft =dirac(t)+(2*exp(-5*t)-3*exp(-t))*heaviside(t)三、讨论与总论通过本实验，掌握了信号的傅里叶变换的性质以及方法，对傅里叶变换的性质有进一步的提高。
第3章信号与系统的频域分析 (1)
这个问题的实质 就是找一个最佳系数C12，使Ve的模最 小。如左上图所示，知V1垂直于V2时，Ve的模才能最小。 2 2012-8-10
V e V1 c12 V 2
此时，
c12 V 2 V 1 cos
c 12 V 1 cos V
2
所以最佳系数为
随着 角的增加，直至
V1V V
2012-8-10
2
t1
f 1 ( t ) f 2 ( t ) dt 0
5
2 信号的正交分解 *正交函数集：设一函数集
t2 t1
g ( t ) g 1 ( t ), g 2 ( t ),...,
* j
g N ( t ) ,
t ( t1 , t 2 ) 若 g i (t )g
f 1(t)，其误差信号为
f e ( t ) f 1 ( t ) c12 f 2 ( t )
平方误差定义为： E e
t2
2
t1
f e (t )
dt
改变c12的大小，如果使Ee 为最小时相应的c12＝0，称 f 1(t) 和 f 2(t)在区间（t1 ,t2)上正交。 判定两信号正交的条件： t *
正交性：
t0 T
cos n t cos m tdt
t0
0 T /2
mn mn
2012-8-10
t0 T
sin n t sin m tdt
cos n t sin n tdt
t0
t0 T
0 T /2
mn mn
t0
0 0
mn mn
连续时间信号与系统的复频域分析课件
子e-t使之变为收敛函数，满足绝对可积条件；从物理意义
上看，是将频率ω变换为复频率s，ω只能描述振荡的重复
频率，而s不仅能给出重复频率，还可以表示振荡的增长的
速率或衰减速率。
例：求信号f(t)= e-atu(t)在a>0时的拉普拉斯变换。
解： f(t)的拉普拉斯变换为
F (s) f (t)estdt eatestdt 1
性质4 若f(t)是右边信号，即有始信号，则其收敛域为 从最右边极点开始的右半平面。
性质5 若f(t)是左边信号，即有终信号，则其收敛域为 从最左边极点开始的左半平面。
性质6 若f(t)是双边信号，则其收敛域是S平面的一条带 状区域。
例：已知信号f(t)=e-b|t|，试对b>0及b<0两种情况求其拉普拉斯 变换及收敛域。
0
sa
Re{s} a
如果a=0，f(t)就是阶跃函数，其拉普拉斯变换对为
u(t) 1 s
Re s 0
再来看一下信号f(t)= -e-atu(-t)的拉普拉斯变换。
F (s) eatu(t)estdt 0 e(sa)tdt 1
sa
Re{s} a
不同信号的拉氏变换表示式是一样的，但使表示式有
4. 尺度特性
若 f (t) F(s) 收敛域为：R
则 f (at) 1 F ( s ) aa
R1 aR
若a=-1，则有 f (t) F(s)
如： eatu(t) 1 sa
Re{s} a
R1 R
则 eatu(t) 1
saΒιβλιοθήκη eatu(t) 1Re{s} a
sa
Re{s} a eatu(t) 1 sa
A
A1
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行分解。
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3.1 引言
利用这种方法来分析信号和系统，称为信号和系统的频域分析。 频域分析法不但简化了对系统响应的求解，而且揭示了信号与系统 的频域性质，为人们提供了在频域上进行分析、设计系统的另一途 径。
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3.2 信号分解为正交函数组合
1． 函数（信号）正交定义式
任意两个实函数
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.1 引言 3.2 信号分解为正交函数组合 3.3 周期信号的分解——傅立叶级数 3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换 3.5 付里叶变换的性质 3.6 傅里叶变换的应用
3.1 引言
分析线性系统的基本任务在于求解系统对于输入信号的响应。 在第2章里读者已经看到，连续信号可以表示为基本信号如阶跃函数 或冲激函数的线性组合。在时域分析中，就是以冲激函数为基本信 号，把任意信号分解为一系列加权的冲激信号之和，而系统的零状 态响应是输入信号与冲激响应的卷积。
f (t) c0 cn cos(n1t n )
n1
或 f (t) d0 dn sin(n1t n )
n1
3．傅立叶级数存在的充分条件
傅立叶级数存在的充分条件
周期信号f(t)须满足“狄利赫利”条件，即
1）一个周期内仅有有限个间断点；
2）一个周期内仅有有限个极值；
3）一个周期内绝对可积，即 t0 T1 f (t) dt t0 上一页 下一页 返回
gi
(t)g
j
(t)dt＝K0
i j i j
则称此实函数集合在区间（ t1, t2 ）的正交函数集合。如果
K=1，称此实函数集合为归一化正交函数集合。
复函数集合 1(t),2(t),,N (t) 如果是在区间 t1,t2 正交的，
则应满足关系式
t2 t1
i
(t)
j
(t)dt
0 K
i j i j
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3.3 周期信号的分解——傅立叶级数
2．傅里叶级数的系数求解
1) 偶函数信号(f(t)=f(-t))
4
an T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
bn 0
2）奇函数信号(f(t)=-f(-t))
a0 0，an 0
bn
4 T1
T1
2 0
f (t) sin(n1t)dt
7．虚指数函数
虚指数函数 e j0t 是具有虚指数 j0t 的无时限信号，由傅里 叶变换定义式可知，
F e j0t e j0t e jt dt e j0 t dt
2 0
8．高斯脉冲
高斯脉冲或称钟形脉冲它的表达式为
其
f
(t)
Ae
t
2
t
F
j
f
t e jt dt A
0
1
e(a j )t
(a j)
0
(a
1 j)
e(a
j )t
0
1 1 2a a j a j a2 2
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3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换
3．矩形脉冲信号的傅里叶变换
F
()
A
Sa
2
4．符号函数的傅里叶变换
符号函数：
1
sgn(t)
0
1
t0
eat
t 0 t0
F1( j)
eat (t)e jtdt
ea jt dt
0
1 a j a j a2 2
2．双边指数信号的傅里叶变换
偶双边指数：f (t) ea t
其傅里叶变换为：
F ( j) f (t)e jtdt
(a 0)
ea t e jt dt
0 eate jt dt eate jt dt
3）奇谐函数信号 f (t) f (t T1 )
2
奇谐函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上
下反转，此时波形并不发生变化，即满足：
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3.3 周期信号的分解——傅立叶级数
a0 0
n为偶数 an bn 0
n为奇数
an
4 T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
示，这种图就称为频谱图。图中每一条谱线代表一个谐波分量，谱
线的高度代表这一正弦分量的振幅，谱线所在的横坐标的位置代表
这一正弦分量的频率，这种频谱，因为它只表示出了各分量的振幅，
所以称为振幅频谱。
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3.3 周期信号的分解——傅立叶级数
有时把分量的相位的用一个个线段代表并且排列成谱状，这样 的频谱就称为相位频谱。下面以周期矩形脉冲信号的频谱图为例说 明。
lim
a
eat
t0 t0sgn(t)Fra biblioteklim
a0
eat
(t)
eat
(t
)
因此它的傅立叶变换为
F
j
lim
a0
F
a
1 j
a
1 j
2 j
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3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换
5．冲激函数的傅里叶变换
单位冲激函数 (t) 是一个实偶函数，其付氏变换也应该是一个
实偶函数。
3.3 周期信号的分解——傅立叶级数
4．基波、谐波
或应的d1通sin常把1t 频率1 为称或为f1 基T1波分2n1量f1。称同为称理基为，波n频次或率谐一波次波谐称分波为量，cn。1次cdon 谐ssin波1tn其t 对1 n
cn cosnt n 5．幅度谱、相位谱
用一些长度不同的线段来分别代表基波、二次谐波、三次谐波 等等的振幅，然后将这些线段按照频率高低依次排列起来如图3-1所
周期信号的特点，具有离散性、谐波性、收敛性.
3.3.2 指数形式的傅里叶级数
1．指数形式的傅里叶级数
设f(t)为任意周期信号（周期
T1
，角频率
1
2 T1
）
则其可展开为指数形式的傅立叶级数。
f (t)
Fne jn1t
n
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3.3 周期信号的分解——傅立叶级数
2．指数形式表示的信号频谱--复数频谱 下面以周期性矩形脉冲的幅度频谱和相位频谱为例来看看它的 特点。由于Fn一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。
为 , ，即要求信号f(t)在区间绝对可积，则有
F( j)
f (t) e jtdt
f (t) dt
3.4.4 常用信号的傅里叶变换
1．实指数函数的傅里叶变换
f1(t) eat (t) (a 0) 由定义式可算出 f1 t 的频谱密度函数
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3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换
F j
(t)e jtdt
1
6．直流信号
如图3-21所示，设f(t)=1的付氏变换为 F j
变换定义式有
f (t) 1 F j e jtd 1
2
，则由其反
考虑到 (t) 是偶函数，则可得
F 1 F j e jtdt 2
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3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换
完备正交函数集包含无穷多个函数。
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3.3 周期信号的分解——傅立叶级数
将任意周期信号在三角函数或复指数函数组成的完备正交函数
集 sin n0t,cos n0t , n 1, 2,, 或{ e jn0t , n 0, 1, 2,, }分解而得到
的级数统称为傅立叶级数
3.3.1 三角函数形式的傅里叶级数
3.3.3 三角函数形式的傅立叶级数与指数形式傅 立叶级数的关系
三角函数与虚指数函数有密切的关系，根据欧拉公式，有
cos n1t
e jn1t
e 2
jn1t
sinn1t
e
jn1t
e 2j
jn1t
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3.3 周期信号的分解——傅立叶级数
故三角型傅立叶级数和指数型傅立叶级数实质上是同一种级数
1．一种三角函数形式的傅里叶级数
设f(t)为任意周期信号(周期 T1
,角频率
1
2 T
)
则其可展
开为三角函数形式的傅立叶级数
f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
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3.3 周期信号的分解——傅立叶级数
2．另一种三角函数形式的傅里叶级数
f(t)展开为常用形式
3.4.1 从傅里叶级数到傅里叶变换
f (t) 1
2
f (t)e jtdt e jtd
上式方括号中的部分是参变量 的函数，记为 F j ，即
F j f (t)e jtdt
代入上式 f (t) 1 F je jtd
2
这就是著名的傅里叶变换。常记作 F j F f (t)
4
bn T1
T1
2 0
f (t)sin(n1t)dt
其傅立叶级数三角展开式中仅含基波和奇次谐波。
4）偶谐函数信号 f (t) f (t T1 )
2
偶谐函数也是周期性函数，它的任意半个周期的波形与前半个
周期的波形完全相同，这种函数中只包含偶次谐波分量。
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3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换
e e dt
t
2
jt
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3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换
9．阶跃信号
单位阶跃信号 t 可用直流信号和符号函数表示如下
(t) 1 1 sgn(t)
22
由此可确定其频谱密度函数为
F (t) () 1